Ba b I
G
G
AY
A
YA
A
-
-
G
G
A
A
YA
Y
A
ST
S
T
A
A
T
T
I
I
S
S
PA
P
A
DA
D
A
ME
M
E
KA
K
A
NI
N
I
SM
S
M
E
E
1.1 De finisi
G a ya a d a la h b e sa ra n ve kto r ya ng d ite ntuka n o le h a ra h, ha rg a
ve kto rnya d a n titik ta ng ka p nya . G a ya sta tis a d a la h g a ya d ima na b a ik
a ra h d a n ha rg a ve kto rnya te ta p se p a nja ng wa ktu, a ta u ko nsta n.
1.2 Ke se im b a ng a n Sta tis Tra nsla si
Ke se imb a ng a n sta tis a d a la h ko nd isi te rte ntu d a ri ko n d isi d ina m is
ya ng me me nuhi p e rsa ma a n d a ri Hukum Ne wto n II :
Σ F = m . a ( 1 – 1 ) ya itu b a hwa p e rc e p a ta nya , a = 0, b e ra rti me rup a ka n ko nd isi ya ng d ia m
a ta u b e rg e ra k d e ng a n ke c e p a ta n ko nsta n. Se hing g a p e rsa ma a n
me nja d i :
Σ F = 0 ( 1 – 2 )
Σ F : jumla h d a ri ve kto r g a ya -g a ya lua r ya ng d ike na ka n (b e ke rja ) p a d a b e nd a , d a la m ha l ini p a d a b a ta ng a ta u link. G a ya lua r te rm a suk g a ya
a ksi d a n g a ya re a ksi, g a mb a r 1a
( a ) ( b ) ( c ) G a m b a r-1.1, G a ya-g a ya lua r ( a ksi d a n re a ksi ) b e nd a ya ng d a la m ke se imb a ng a n.
Ad a la h b e nd a ya ng me nd a p a t g a ya a ksi F1 d a n F2, g a m b a r-1b , re a ksi
ya ng te rja d i p a d a b e nd a untuk me nd a c a p a i ke se imb a ng a n sta tis, d a n
g a m b a r-1c p o lig o n g a ya ya ng me lukiska n ke se imb a ng a n g a ya , d a ri
g a ya lua r), b e ra rti ke se imb a ng a n sta tis te rja d i b ila g a ya re sulta n a d a la h
no l.
1.3 Ke se im b a ng a n Sta tis Ro ta si
Ke se imb a ng a n ro ta si d a ri Hukum Ne wto n II :
Σ M = I . α ( 1 – 3 ) Sta tis ro ta si te rc a p a i b ila b e nd a d ia m a ta u b e rg e ra k d e ng a n p uta ra n
ko nsta n, p e rsa ma a n (1 -3) me nja d i :
Σ M = 0 ( 1 – 4 ) mo me n sta tis ya ng d iha silka n o le h g a ya -g a ya lua r te rha d a p titik p uta r
a d a la h no l.
F1
a b F2 F1 F2
A B B
L RA
( a ) ( b )
F1 F2 F1 F2
A
RB RA RB
( c ) ( d )
G a mb a r-1.2, G a ya-g a ya lua r ( a ksi d a n re a ksi ) b e nd a ya ng d a la m ke se imb a ng a n ro ta si.
Pa d a g a m b a r-1.2a , me nunjukka n b a ta ng ya ng d ike na i g a ya a ksi F1
d a n F2, b a ta ng d ip e n d i A d a n d i tum p u ro l d i B. Ilustra si d a ri p e rsa ma a n
(1-4) a d a la h: b ila titik p uta r d i B, ma ka ke se imb a ng a n sta tis ro ta si
me nd a p a tka n re a ksi RA, g a m b a r-1.2b . Untuk titik p uta r d i A ke se imb a ng a n
sta tis ro ta si me nd a p a tka n re a ksi d i B, g a m b a r-1.2c .
Da la m ha l ini b a ta ng jug a se imb a ng d a la m tra nsla si, ya ng me me nuhi
1.4. Gaya -G a ya Ta k Se ja ja r
G a mb a r 1.1 me rup a ka n ilustra si d a ri g a ya -g a ya ta k se ja ja r, b ila
te rja d i ke se imb a ng a n , g a ya -g a ya te rse b ut b e rte mu p a d a sa tu titik.
Be rikut a ka n d ip e rje la s g a ya -g a ya ta k se ja ja r ya ng b e ke rja p a d a b a ta ng .
1.4.1 Tig a g a ya ta k se ja ja r.
1 . Ka sus-1 .
Bila p a d a b a ta ng b e ke rja tig a g a ya : F1, F2, d a n F3. Ara h d a n
b e sa rnya F1, F2, d ike ta hui, m a ka siste m b a ta ng a ka n se im b a ng b ila F3
ve kto r p e nutup d a ri d ua ve kto r g a ya se b e lumnya .
F1 F2
F1 F2 F1
F3
F3
( a ) ( b ) ( c )
G a m b a r-1.3, Siste m tig a g a ya ta k se ja ja r Ka sus-1 d a la m ke se imb a ng a n.
2. Ka sus-2
Bila p a d a b a ta ng b e ke rja tig a g a ya : F1, F2, d a n F3. Ara h d a n
b e sa rnya F1 d ike ta hui, F2, F3ha nya a ra hnya sa ja , m a sing -ma sing l2 d a n
l3, g a m b a r-1.4a . Siste m b a ta ng a ka n se imb a ng b ila ke tig a nya
me mb e ntuk se g itig a ve kto r te rtutup .
of F1 of F1
l2
F1 l3 l1 F3 F2
l3
( a ) ( b ) ( c ) G a m b a r-1.4, Siste m tig a g a ya ta k se ja ja r Ka sus-2 d a la m ke se imb a ng a n.
p ind a hka n a ra h ve kto r g a ya F2: l2, d a n a ra h ve kto r g a ya F3: l3,
se hing g a ke d ua a ra h g a ya te rse b ut b e rp o to ng a n, g a mb a r-1.4b ; 4)
Te ntuka n a ra h g a ya F2 d a n F3, se d e mikia n me mb e ntuk se g itig a ve kto r
te rtutup , g a m b a r-1.4c .
3. Ka sus-3
Bila p a d a b a ta ng b e ke rja tig a g a ya : F1, F2, d a n F3. Ara h d a n
b e sa rnya F1 d ike ta hui, F2, ha nya a ra hnya sa ja : l2, d a n F3 titik
ta ng ka p nya : m , g a m b a r-1.5a . Siste m b a ta ng a ka n se imb a ng b ila
ke tig a nya me mb e ntuk se g itig a ve kto r te rtutup .
l2 l1 l2 F1
F1 n l3
l2 F3
F1
. m . m
F2
( a ) ( b ) ( c ) ( d )
G a m b a r-1.4, Siste m tig a g a ya ta k se ja ja r Ka sus-2 d a la m ke se imb a ng a n.
Pe nye le sa ia nnya a d a la h : 1) Bua t g a ris a ra h g a ya F1: l1, p e rp a nja ng
sa mp a i me mo to ng g a ris l2, d i titik n; 2) Hub ung ka n titik n d a n titik m
me nja d i se b ua h g a ris untuk a ra h g a ya F3: l3, g a m b a r-1.5b ; 3) Susun
g a ya F1 d a n ke d ua g a ris a ra h g a ya l2, l3, d ima na ke d ua nya a ka n
b e rp o to ng a n, g a m b a r-1.5c ; 4) Te ntuka n a ra h g a ya F2 d a n F3,
se d e mikia n me mb e ntuk se g itig a ve kto r te rtutup , g a mb a r-1.5d .
1.4.2 Em pa t g a ya ta k se ja ja r.
Emp a t g a ya ta k se ja ja r me rup a ka n p e ng e mb a ng a n d a ri ka
sus-ka sus tig a g a ya ta k se ja ja r. Ba nya k ke mung kina n d a ri sus-ka sus e mp a t
g a ya , d a la m ha l ini, d ip ilih m o d e l d a ri ka sus ya ng se ring m unc ul.
Bila ke e mp a t g a ya d ike ta hui, d a n siste m d iha ra p ka n d a la m
ke se imb a ng a n, ma ka ke e mp a t g a ya te rse b ut a ka n me mb e ntuk
se g ie mp a t ve kto r g a ya ya ng te rtutup , g a mb a r-1.1.
2 . Ka sus-2 .
Bila tig a d a ri ke e mp a t g a ya d ike ta hui a ra h d a n b e sa rnya , ma ka
g a ya ya ng ke -e mp a t se b a g a i p e nutup , untuk me mb ua t se g ie mp a t
ve kto r g a ya te rtutup , sup a ya te rja d i ke se imb a ng a n.
3. Ka sus-3.
Bila d ua g a ya F1, F2 d ike ta hui b e sa r d a n a ra hnya , se d a ng d ua la innya
d ike ta hui a ra hnya : l3 d a n l4, g a m b a r-1.6a . Untuk p e nye le sa ia n
ke se imb a ng a n a d a la h : 1). Susun d ua g a ya ya ng sud a h d ike ta hui F1, d a n F2; 2). Le ta kka n g a ris a ra h g a ya F4: l4 p a d a p a ng ka l F1, d a n g a ris a ra h
g a ya F3: l3 d i ujung F2, se hing g a b e rp o to ng a n, g a mb a r-1.6b ; 3) Te ntuka n
a ra h (p a na h) ve kto r g a ya F3 d a n F4, se hing g a me mb e ntuk se g ie mp a t
ve kto r ya ng te rtutup , g a m b a r-1.6c .
F2
F1
of of
F1 F4
F1
l4 l3
l4 l3 F2 F3 F2
( a ) ( b ) ( c )
G a mb a r 1.6. Siste m Emp a t G a ya Ta k se ja ja r Ka sus -3.
4 . Ka sus-4.
Bila d ua g a ya F1, F2 d ike ta hui b e sa r d a n a ra hnya , se d a ng F3
d ike ta hui a ra hnya : l3 d a n F4, titik ta ng ka m nya m, g a mb a r-1.7a . Untuk
p e nye le sa ia n ke se imb a ng a n a d a la h : 1). Susun d ua g a ya ya ng sud a h
d ike ta hui F1, d a n F2 me nja d i se b ua h g a ya R1, g a m b a r-1.7b ; 2). G a ris
a ra h g a ya R1: p1, d ip o to ng ka n d e ng a n g a ris a ra h l3 d i titik n, g a m b a
me mb e ntuk se g itig a ve kto r ya ng te rtutup , g a mb a r-1.6c . [ liha t 1.4.1,
ka sus 3 ]. 4). Ura ika n ke mb a li R1 m e n
F2
F1 r1
l1 l2
n
l3
l3 F1
l3 . m .m
. m
F2
R1
R1
( a ) ( b ) ( c )
G a mb a r 1.7. Siste m Emp a t G a ya Ta k se ja ja r Ka sus -3.
Ja d i F1 d a n F2, se hing g a te rb e ntuk se g ie mp a t ve kto r te rtutup se p e rti
1.4.2, ka sus 3.
1.4.3 Siste m le b ih da ri e m pa t g a ya .
Pe nye le sa ia n le b ih d a ri tig a a ta u e mp a t g a ya se c a ra g ra fis untuk
me nd a p a tka n ke se imb a ng a n a d a la h d e ng a n me me ne hi d ua va ria b e l
ve kto r ya ng tid a k d ike ta hui. Umumnya ka sus-ka sus ya ng te rja d i a ka n
c e nd e rung se rup a d e ng a n ka sus-3 p a d a 1.4.1 d a n 1.4.2.
1.5 Siste m G a ya Pa ra le l (Se ja ja r)
Siste m g a ya p a ra le l, d a la m p e nye le sa ia n ke se imb a ng a n a ka n
d itinja u d a la m siste m d ua g a ya d a n siste m le b ih d a ri d ua g a ya .
Ke d ua nya ha rus me me nuhi ke se imb a ng a n tra nsla si lurus d a n ro ta si :
1.5.1 Siste m dua g a ya pa ra le l.
1. Dua g a ya b e rim pit.
F1 Bila d ua g a ya p a ra le l, ke d ua g a ris
g a ya nya b e rim p it ,ma ka b ila te rja d i
ke se imb a ng a n b e sa r (m a g nitud e)
ke d ua g a ya sa ma b e sa rnya ,
te ta p i a ra h ve kto rnya b e r
la wa na n. Ja d i :
F2 F1 = F2
F1 F1 = - F2
F2 ( 1 – 5 )
G a mb a r 1.7. Siste m d ua g a ya p a ra le l , (a ) Siste m d ua g a ya , (b ). p o lig o n g a ya
2.Dua g a ya ta k b e rim pit.
Pa d a siste m d ua g a ya b e rimp it
me ng a kib a t ke c e nd e rung a n siste m
untuk b e rg e ra k tra nsla si Bila d ua g a ya
ta k b e rim p it, syste m c e nd e rung b e ro ta si
a kib a t ke d ua g a ya me mp unya i
ja ra k
a nta r ke d ua g a ris g a ya nya .
Sya ra t ke se imb a ng a n tra nsla si
te ta p ha rus te rp e nuhi, se hin g g a :
F1 = F2 d a n F1 = - F2. Siste m d ua
g a ya ta k b e rimp it d e ng a n b e sa r ya ng sa ma d a n b e rla wa n
ke se im b a ng a n g a ya (b ). a ra h ve kto r g a ya nya a ka n me nimb ulka n
ko p e l, ya ng c e nd e rung a ka n me muta r siste m, g a mb a r-1.8. Ko p e l id e ntik d e ng a n b e sa ra n m o m e n .
K = F . d …………. ( 1 – 6 ) Ditinja u d a ri titik ma na p un b e sa rnya ko p e l te ta p , ya itu g a ya d ika lika n
d e ng a n ja ra k a nta ra ke d ua g a ya ya ng p a ra le l. Sup a ya siste m
se imb a ng te rha d a p ro ta si ma ka a ka n d ib e rika n ko p e l la wa n, ya ng a
b
ke se imb a ng a n g a ya (b ).
Dua g a ya b e rim p it (a ).
a ra hnya te n tunya b e rla wa na n d e ng a n ko p e l ya ng d ia kib a tka n o le h
d ua g a ya p a ra le l ta d i.
ma ka : Σ M = 0
K – TL = 0
F.d = TL ( 1 – 7 )
Dima na a ra h ve kto r to rsi la wa n b e rla wa n d e ng a n a ra k ko p e l d a ri d ua
g a ya ta k b e rim p it
F2 m .
TL F1 F2
F1 R
G a mb a r 1.9. Ke se imb a ng a n ro ta si. G a mb a r 1.10. Re sulta n
g a ya p a ra le l
3.Re sulta n dua g a ya se a ra h.
Dua g a ya se a ra h ya ng tid a k b e rimp it d a p a t d ig a nti me nja d i g a ya
tung g a l. G a ya tung g a l me rup a ka n jumla h ve kto r ke d ua g a ya
se b a g a i g a ya re sulta n,R. ma ka :
R = F1 + F2 ( 1 – 8 )
Le ta k re sulta n d ite ntu ka n b e rd a sa rka n te o re ma Va rig no n, ya ng
me nya ta ka n b a hwa mo me n d a ri g a ya -g a ya te rha da p sua tu titik sa ma
de ng a n mo me n ya ng dia kib a tka n o le h re sulta n da ri g a ya -g a ya ta d i. Bila
d itinja u d a ri titik m, a ja ra k F1 te rha d a p m, d a n d ja ra k ke d ua g a ya , se rta r
ja ra k se b a g a i lo ka si R te rha d a p m.( g a m b a r-1.10 ) d id a p a t p e rsa m a a n :
R.r = F1.a + F1.( a + d ) ( 1 – 9 )
ma ka :
R
)
d
a
(
F
a
.
F
r
=
1+
2+
( 1 – 10 )se hing g a p a d a b a ta ng b e ke rja g a ya tung g a l R te rha d a p titik m,
g a m b a r-1.11 ya ng c e nd e rung a ka n me ng a kib a tka n b a ta ng
Rm 2
m . m .
r r
R R
G a mb a r 1.11 Rm 1
G a mb a r 1.12. Tra nfo rma si R ke titik m
ka n ke se im b a ng a n, a ta u ke sta b ila n, m a ka p a d a titik m d ib e rika n d ua b ua h g a ya ya ng sa m a b e sa rnya d a n a ra h ve kto rnya b e rla wa na n,
g a m b a r-1.12.
Rm 1 = Rm 2 = R
Rm 1 = - Rm 2,Rm 1 = R R = - Rm 2
Da ri g a ya -g a ya Rd a n Rm 2 te rja d i ko p e l Km, d id a p a tka n :
Km = Rm2 . r = R . r , se a ra h ja rum ja m.
Rm
m . Km m . Tm
F1
F2
Rm 1= R G a m b a r 1.14. Siste m ya ng te la h se im b a ng
G a mb a r 1.13. Be b a n d i titik m: R= F1+ F2dan Km .
Ja d i se ka ra ng p a d a titik m b e ke rja b e b a n a kib a t d ua g a ya se ja ja r F1
d a n F2 a d a la h Rm 1 = R d a n ko p e l se a ra h ja rum ja m, Km, g a m b a r-1.13.
Sup a ya te rja d i ke se imb a ng a n, ma ka p a d a titik m te rd a p a t g a ya d a n
ko p e l ya ng sa m a b e sa rnya d a n b e rla w a na n a ra h, ya itu Rm d a n Tm ,
