BAB 17 Vektor fixs (1)

(1)

BAB 17 VEKTOR

Pada bab ini akan dibahas mengenai operasi aljabar vektor, sudut – sudut pada vektor, proyeksi skalar, dan proyeksi vektor.

A. PENGERTIAN VEKTOR

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Penulisan vektor biasanya pakai huruf kecil, misalnya : u,v,t

r r r

dst. Atau dengan huruf besar ,misalnya : AB,BC ,AC

uur uur uur

dst. Besar vektor artinya panjang vektor. Arah vektor artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif

Perhatikan gambar !

Gambar tersebut menunjukkan sebuah vektor dengan keterangan sebagai berikut :

 Titik A sebagai titik pangkal vektor  Titik B sebagai titik ujung vektor

 Vektor tersebut dinotasikan / ditulis dengan vektor ABuur atau vektor ur.  ABuur artinya B – A

B. PANJANG VEKTOR

Panjang suatu vektor dinotasikan dengan | |. Misalnya panjang vektor ABuur, maka ditulis | ABuur|

Panjang vektor ada 2 rumus :  Vektor di R2

Misal diketahui vektor ur = (x,y), maka berlaku rumus :

2 2

ur  x y

Misal diketahui titik A (x1,y1) dan titik B(x2,y2), maka berlaku rumus:



 

2



2

2 1 2 1

AB  x x  y y uur

 Vektor di R3

A

B

u r

AB

(2)

Misal diketahui vektor ur = (x,y,z), maka berlaku rumus :

2 2 2

ur  x  y z

Misal diketahui diketahui titik A (x1,y1,z1) dan titik B(x2,y2,z2), maka

berlaku rumus:



 

2

 

2



2

2 1 2 1 2 1

ABuur  x x  y y  z z C. VEKTOR BASIS DAN ATURAN PENULISAN

Basic concept :

Misalkan vektor u

 

a,b r

terletak di R2, maka vektor basis u

r

= ai + bj. Sedangkan vektorv



a,b,c



r

terletak di R3, maka vektor basis u

r

= ai+ bj + ck. Penulisan vektor bisa dalam bentuk vektor basis, atau dalam bentuk matriks.

 Vektor u

 

a,b r

atau

 

a ur _b

 Vektor v



a,b,c



r

atau a v b c ��



�� r

D. OPERASI HITUNG PADA VEKTOR

Ada beberapa operasi hitung pada vektor yaitu :  Operasi Penjumlahan

Operasi penjumlahan bisa menggunakan dua aturan yakni aturan segitiga dan aturan jajar genjang (secara geometris)

1. Aturan segitiga

Perhatikan gambar berikut !

2. Aturan jajar genjang Perhatikan gambar berikut :

u

v

u v

b

(3)

Operasi penjumlahan vektor pada R2 secara non geometris adalah :

Misal diketahui vektor

 Operasi Pengurangan

Operasi pengurangan vektor pada R2 secara adalah :

 

 Perkalian Skalar dengan Vektor

(4)

 Vektor yang segaris/kolinear

Diketahui titik A (x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), dan C(x3,y3,z3) segaris, maka

berlaku :

AB n AC atau BA n BC atau CA n CB  

uur uur uur uur uur uur

 Vektor yang saling tegak lurus

Jika vektor ur tegak lurus dengan vektor vr , maka dot product u v 0r rg 

Contoh :

Diketahui vektor ur= (2,3,k) dan vektor vr= (-1,2,2), maka nilai k yang memenuhi adalah…

Jawab :

syarat 2 vektor saling tegak lurus u v 0 2 6 2k 0

2k 4 k 2



   

�

   

� �

r r g

E. SUDUT PADA VEKTOR Basic concept : sudut pada vektor



a b cos

a b

  g



2 2 2

a b�  a b �2 a b cos



  

2 2

a b a b   a  b



 

2

b a b  a b cos  b

 Jika diketahui titik A(x,y,z), B(d,e,f) dan C(k,l,m) maka mencari sudut ABC adalah : (karena B ditengah maka cari BA dan BC

uur uur ) F. PANJANG PROYEKSI DAN PROYEKSI VEKTOR

Metode supertrik :

 Panjang proyeksi vektor/proyeksi skalar = hasilnya bilangan panjang proyeksi vektor a pada b adalah c

a b c

b

(5)

panjang proyeksi vektor b pada a adalah d a b

d a

 g

 Proyeksi vektor atau orthogonal vektor a pada b adalah c : hasilnya vektor

2

a b

c b

b

 g �

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN 1. UN 2010

Diketahui segitiga PQR dengan P (1,5,1), Q (3,4,1), dan R (2,2,1). Besar sin PQR adalah…

A. 1 D.

1 2

B. 1

3

2 _{E. 0}

C. 1

2 2

Pembahasan :

Metode supertrik :

Yang ditengah adalah Q maka cari QP dan QR .





















0 0

QP dan QR

QP P Q 2,1,0 QR R Q 1, 2,0

QP QR 2 2 0 cos QP,QR

5 5 QP QR

0 ₀ 5

Maka besar QP,QR 90 sin QP,QR sin 90 1

        

 

 

�

  

�

 �  

(6)

Jawaban:A

Proyeksi vektor AB pada AC :





(7)

Yang ditengah adalah B maka cari BA dan BC .

Maka besar BA,BC 90 atau 2 orthogonal vektor a pada vektor b adalah…

A. i j k 

Proyeksi vektor a pada b

r r

Diketahui vektor

(8)

C. -63

Diketahui vektor

2 3 maka besar a,b 90

(9)

Diketahui vektor a 5i 6j k dan b i 2j 2k      . Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah…

A. i + 2j + 2k B. i + 2j – 2k C. i – 2j + 2k D. – i + 2j + 2k E. 2i + 2j – k

Pembahasan :

Proyeksi vektor a pada b

r r

=

2

a b b b �

g





2

5 12 2 9

b b

9 1 4 4

i 2j 2k

  

 �  �

 

  

Jawaban:D 8. UN 2012

Diketahui vektor a i 2j xk , b 3i 2j k , dan c 2i j 2k        

r r r r r r r r r r r r

. Jika

   

a tegak lurus c, maka a b a c �

r r r r r r

adalah . . .

A. -4 D. 2

B. -2 E. 4

C. 0

(10)

   

Maka AB,AC 90

(11)

B.





15 _{2i j 3k} 14  

r r r

C.





8 _{2i j 3k} 7  

r r r

D.





9

2i j 3k 7  

r r r

E. 4i 2j 6k 

r r r

Pembahasan :

















2

a b Proyeksi a ke b b

b

8 1 9 _{2i j 3k} 4 1 9

18

2i j 3k 14

9 _{2i j 3k} 7

�



 

  

 

  

r r r r

r r r

Jawaban:D 11. UN 2012

Diketahui vektor a i xj 3k , b 2i j k      dan c i 3j 2k   . Jika a b , maka hasil dari 2a b cg

 

 adalah…

A. – 20 D. – 8 B. – 12 E. – 1 C. – 10

Pembahasan :

(12)

 

12. Diketahui titik P(6,4,7), Q(2,-4,3), dan R(-1,4,2). Titik A terletak pada garis

(13)

B. 10 E. 13 C. 11

Pembahasan :

Metode supertrik : Ingat !

(14)

1. Diketahui vektor – vektor

4. Diketahui vektor – vektor sebagai berikut :

(15)

6. Diketahui titik A (1, – 1, 2), B (4,5,2), dan C(1,0,4). Titik D terletak pada AB sehingga AD : DB = 2 : 1. Maka CD

uur =…

A. 61 D. 17

B. 17 E. 3

C. 61

7. Diketahui proyeksi skalar orthogonal vektor

2 4

p m pada q 4

m 2 2



� � � �

_� _� _{� �}

  

� � � �

adalah 7

3 . Nilai m yang memenuhi adalah…

A. 3 D. – 2

B. 13

6 _{E. – 3}

C. 2

8. Diketahui titik A (2, - 1, 3), B (5, 0, - 2), dan C (1,1,1). ABuur mewakili ur dan AC

uur

mewakili vr. Proyeksi vektor orthogonal ur pada vr adalah… A. i + 2j + 2k D. – i – 2j – 2k

B. i + 2j – 2k E. – i – 2j + 2k C. – i + 2j – 2k

9. Diketahui a b  14 dan a b i j 4k    . Hasil dari a b ...g 

A. 0 D. 2

B. 1

2 _{E. 4}

C. 1

10. Diketahui a  3 , b 1 ,dan a b 1   . Maka nilai a b =…

A. 3 D. 6

B. 8 E. 3

C. 7

11. Diketahui a 2 , b 3, dan b a b  �



 



12. Besar sudut antara kedua vektor tersebut adalah…

A. 1500 _{D. 60}0

(16)

C. 900

12. Diketahui a  6 , a b





 

ga b



0 , dan a a b�







3. Besar sudut antara vektor a dan b adalah…

A. 6



D. 2



B. 4



E. 2

3



C. 3



13. Diketahui vektor

1 2

a x , b 1

2 1

��

_�� _{� �}



�� _{, dan panjang proyeksi a pada b}

adalah 2

6 . Sudut antara a dan b adalah, maka cos =… A.

2

3 6 _D.

2 6

B. 1

3 _E.

6 3

C. 2 3

14. Diketahui vektor a   2i 6j k , b i 3j , dan c 3i 5j 4k     . Panjang proyeksi vektor



2a b pada c



adalah…

A. 2 2 D. 6 2

B. 4 2 E. 7 2

C. 5 2

15. Diketahui titik A (5,1,3), B (2, - 1, - 1), dan C (4,2, - 4). Besar sudut ABC adalah…

A.  D. 6



B. 2



(17)

C. 3