Edisi 10 Maret Pekan Ke-2, 2008 Nomor Soal: 91-100

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 10

Maret Pekan Ke-2, 2008

Nomor Soal: 91-100

91. Hitunglah sin 947



 2008 sin 1663

 

 2008



.

A.

2008

B.

1004

C.

502

D.



502

E.



1004

Solusi:[C]



 



2008sin 947

2008 sin 1663

2008



 



 





2008sin 2955 sin 345









 



2008sin 75

8 360 sin 360

15



  



  



2008sin 75 sin





 

15







1004 2sin 75 sin15

 





 

1004 cos 90



 

cos 60





1004 0

1

502

2





 

_



_







92. Dalam ABC, sudut B sama dengan dua kali sudut A. Jika sisi b adalah 1,5 kali sisi a, tentukan cos 2A

A.

3

4

B. 2

3 C. 3

4 D. 1

8 E. 5 8 Solusi: [D]

Misalnya

 

A



, sehingga

   

B

2

A

2



dan

b



2

a

Menurut Aturan Sinus:

sin sin

a b

A B

3 2 sin sin 2

a a







3

sin 2 ₂

sin

a

a







2sin cos 3

sin 2









3 cos

4





2

2 3 18 2 1

cos 2 2 cos 1 2 1 1

4 16 16 8





 

    _{ }     

 

93. Yang mana dari bilangan identitas berikut yang benar?

(1)



cscxcotx



1cosx



sinx (3) x x x

x

csc cos 2 sin

2 cos

1 _

(2) secxcscxcotxtanx ₍₄₎ cos 2x 1 2 sin2x

A. hanya (1) C. hanya (2) dan (3) E. semua identitas B. hanya (1) dan (2) D. hanya (1) dan (4)

Solusi: [E]

A B

C

 2

a

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

Jadi, semua identitas benar.

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

0

1 2 2_{ }

x x

2 2 2 2 1 _{ 0}

  

  

x x

0 1 2 ₄ 4_{  }

x x

2 1

4 4_{ }

x x

 

2 2

4

4 1 _{  2}   

  

x x

4 1

2 ₈

8_{  }

x x

2 1

8 8_{ }

x x

96. Jika tanatanb24 dan cotacotb32, berapakah tan



a b



?

A.

288 B. 144 C. 108 D. 96 E. 64 Solusi: [D]

cotacotb32

1 1

32 tana tanb

tan tan

32 tan tan

a b

a b

 _

tan tan 24 3 tan tan

32 32 4

a b a b   





tan tan 24

tan 96

3 1 tan tan

1 4

a b

a b

a b 

   

 _

97. Persamaan kuadrat (polinomial kuadrat) ax2bx c 0 _{dengan koefisien} a, b, dan c bulat. Jika akar-akarnya adalah cos72 dan cos144, tentukan nilai a b c.

A. 8 _{B. 7 C. 6 D. 5 E. 4} Solusi: [D]

Karenanya,





4 1 5 18 sin 18 90 cos 72

cos       dan





4 5 1 36 cos 36

180 cos 144

cos      



2 1 144 cos 72

cos   dan

4 1 144 cos 72

cos  

Karenanya persamaan kuadrat yang dinginkan adalah 0 4 1 2 1

2_{  }

x

x  4x22x10. Jadi, nilai a     b c 4 2 1 5

98. Hitunglah jumlah

2008

2 3 1999

cos cos cos ... cos

1000 1000 1000 1000

   

   

 

 

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

A.0 B. 1 C. 1 D.

2

2

E. 2 Solusi: [B]





cos



x  cosx

2 3 1999

cos cos cos ... cos

1000 1000 1000 1000

   

   

2 999 1000 1001 1999

cos cos ... cos cos cos ... cos

1000 1000 1000 1000 1000 1000

     

       

2 999 999

cos cos ... cos cos cos ... cos

1000 1000 1000 1000 1000

   _{ }  _ 

     



_





_

 



_





_









2 999 999

cos cos ... cos cos cos ... cos

1000 1000 1000 1000 1000

   _  

       

0 0 ... 0 cos



1

      

 

2008

2008

2 3 1999

cos cos cos ... cos 1

1000 1000 1000 1000

   

    

  _

 

 

99. Jika

2 2

2 2 1

1 1

a ab b a b b a

 _  _

  , dengan 0a b, 1, tentukan nilai 2 2

a b .

A.5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1 Solusi 1: [E]

Misalnya asin dan bsin , sehingga

2 2

2 2 1

1 1

a ab b a b b a

 

 

 



2



₂



2



₂

2 2 2 2

1 ₁ 1 ₁

1

1 1 1 1

a b _b b a _a

b b a a

 _  _

   

   

2 2

1 1 1

a b b a 

2 2

sin 1 sin  sin 1 sin  1

sin cos sincos 1





sin   1

90    





2 2 _sin2 _sin2 _sin2 _sin2 _{90 sin}2 _cos2 ₁

a b         

Solusi 2: [E]

Misalnya acos dan bcos, sehingga

2 2

2 2 1

1 1

a ab b a b b a

 _  _

 



2



₂



2



₂

2 2 2 2

1 ₁ 1 ₁

1

1 1 1 1

a b _b b a _a

b b a a

 _  _

   

   

2 2

1 1 1

a b b a 

2 2

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

cos sin cos sin  1





sin   1

90    





2 2 _sin2 _sin2 _sin2 _sin2 _{90 sin}2 _cos2 ₁

a b         

Solusi 3: [E]

2 2

2 2 1

1 1

a ab b a b b a

 _  _

 



2



₂



2



₂

2 2 2 2

1 ₁ 1 ₁

1

1 1 1 1

a b _b b a _a

b b a a

 _  _

   

   

2 2

1 1 1

a b b a 

2 2

1 1 1

a b  b a 



 



2 2 2 2 2

1 1 2 1 1

a b b a  b a 

2 2 2 2 2 2 2

2 1 1

a a b b a b  b a 

2 2 2

2b 1a b a 1





2 2 4 4 2 2 2 2

4b 1a b a  1 2a b 2b 2a

2 2 2 4 4 2 2 2 2

4b 4a b b a  1 2a b 2b 2a





4 ₂ 2 2 4 ₂ 2 2 _{1 0}

a  a b b  a b  



_{2 2}

 

2 _{2 2}



2 1 0

a b  a b  





2

2 2 _{1 0}

a b  

2 2 _{1 0}

a b  

2 2 ₁

a b 

100. Diberikan _{f x}

 

_{ x 3 3 x}2 _{2, dengan x adalah bilangan real dan}

0 x 1. Tentukan nilai maksimum f .

A.

4 B. 3 C. 2 D. 3 E. 1 Solusi: [A]

Misalnya xcos, di mana 0  .

 

2



2



3 3 2 cos 3 1 cos 2

f x  x  x       cos 3 sin2

 

cos tan sin 2 3

f x    

 

cos cos cos sin sin 2cos

3 3 3 3

f x         

 

cos cos 2cos

3 3 3

f x   _ _ 

 

 

2cos 2 3

f x  _ _

 

Karena nilai kosinus maksimum adalah 1, maka nilai maksimum fmax   2 2 4 yang dicapai jika

3 

 , yaitu jika 1 2