BAB V MOMENT, SKEWNESS DAN KURTOSIS - STATISTIKA DASAR ; MOMENT , KURTOSIS

BAB V

MOMENT, SKEWNESS DAN KURTOSIS

A. MOMENT

1. Data Tunggal

Misalkan diberikan variabel X dengan harga-harga X1, X2 , X3, …,XN dengan r = 0,1,2,

… maka :

 Moment ke r dari X didefinisikan :

N

Jika r = 1 maka menjadi Mean Aritmatika

Contoh : Tentukan moment pertama, kedua, ketiga dan kempat dari 2, 3, 7, 8, 10 !

PENYELESAIAN:

a. moment pertama:

6

b. moment kedua:

2

c. moment ketiga:

378

Atau dapat dikerjakan dengan : X j

10 10 100 1.000 10.000

Jumlah 30 226 1890 16.594

6  Moment ke r disekitar X didefinisikan :

Jika r = 2 maka

m

₂s2

Contoh : Tentukan moment pertama, kedua, ketiga dan kempat disekitar rata-rata dari 2, 3, 7, 8, 10 !

6 5 30 5

10 8 7 3 2

      

X

X j



X_j X





X_j X



2



Xj X



3



XjX



4

2 -4 16 -64 256

3 -3 9 -27 81

7 1 1 1 1

8 2 4 8 16

10 4 16 64 256

Jumlah 0 46 -18 610

0 5 0

1 

m

3,60

5 18

3 

 

m

2 , 9 5 46

2 

m

122

5 610

4 

m

 Moment ke r disekitar A (A adalah sebuah bilangan tetap) didefinisikan :





_

_



X A



N

A X N

A X

m j

r j N

j

r j

r    









0 '

Contoh : Diberikan data 2,3,7,8,10 empat moment pertama disekitar 4 adalah : X j



Xj 4





Xj4



2



Xj 4



3



Xj4



4

2 -2 4 -8 16

3 -1 1 -1 1

7 3 9 27 81

8 4 16 64 256

10 6 36 216 1296

Jumlah 10 76 298 1650

2 5 10 '

1 

m

59,6

5 298

'

3 

m

2 , 13 5 76 '

2 

m

330

5 1650

'

4 

2.

Data Berdaftar Distribusi Frekuensi

 Moment ke r dari X didefinisikan :

Dengan N =

_

fj , Xj tanda kelas interval

Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga dari X berikut adalah Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ

Tinggi badan

(in) f

63–65 18 64 4096 262144 1152

66–68 42 67 4489 300763 2814

69–71 27 70 4900 343000 1890

72–74 8 73 5329 389017 584

 Moment ke r disekitar X didefinisikan :





_

_

Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga disekitar X berikut adalah

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ

Tinggi

 Moment ke r disekitar A (A adalah sebuah bilangan tetap) didefinisikan :











Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ

Tinggi badan

(in) f

j

X _{(Xj A) (X A)}2

j 

3

)

(X_j A fj(Xj A) f2(Xj A)2

3

) (X A f_{j j}

60 - 62 5 61 -4 16 -64 -20

63–65 18 64 -1 1 -1 -18

66–68 42 67 2 4 8 84

69–71 27 70 5 25 125 135

72–74 8 73 8 64 512 64

JUMLAH 100 - - - - 245



1 '

m 2,45 100

245





2 '

m



3 '

m



Metode Koding

 

₎

(

'

N fc d

m

r r

r 



dengan d = panjang kelas interval

c = sandi

Tinggi badan (in) f c c2 _c3 _fc1 _fc2 _fc3

60 - 62 5 -2 4 -8 -10 20 -40

63–65 18 -1 1 -1 -18 18 -18

66–68 42 0 0 0 0 0 0

69–71 27 1 1 1 27 27 27

72–74 8 2 4 8 16 32 64

JUMLAH 100 - - - 15 97 33



1 '

m 0,45 100

15 31

      



2 '

m 8,73 100

97 32

      



3 '

m 8,91 100

33 33

      

Dari '

r

m harga-hargamr untuk beberapa harga r dapat ditentukan berdasarkan hubungan :

Sehingga contoh di atas dengan menghubungkan hubungan di atas :



2

m _{8,73 – 0,45}2 _{= … .}

 3

m _{8,91 – 3x 0,45x8,73 + 2x0,45 = … .}

Dan untuk yang lain :



A₀ d



A₀ m'1

X    



₀



2 ₀2 ₀ 2 ₀2 ₀ '1 '2 2 _{A d A 2Ad d A 2A m m}

X        



₀



3 ₀3 ₀2 ₀ 2 3 ₀3 ₀2 '1 ₀ '2 '3 3 _{A d A 3A d 3Ad d A 3A m 3A m m}

B. SKEWNESS

Skewness adalah ukuran ketidaksimetrisan (kemencengan) distribusi. Yang dapat menentukan atau dapat dijadikan ukuran tentang simetris atau tidak simetris dari sebuah distribusi ialah letak dari nilai Mean, Median, dan Modus. Makin tinggi tingkat (derajat) ketidak simetrisan suatu distribusi frekuensi akan semakin besar pula perbedaan antara nilai ketiga ukuran tendensi pusat tersebut.

Pada diagram yang simetris besarnya mean = median = modus. Pada distribusi yang tidak simetris besarnya mean ≠ median ≠ modus. Pada distribusi semacam ini apabila datanya cukup banyak berlaku ketentuan sbb:

Modus – Median = 2 (median - mean)

Modus = 3 (median) - 2(mean)

Untuk mengukur tingkat kecondongan atau simetris atau tidaknya suatu distribusi dapat kita gunakan Koefisien Kecondongan atau Coefficient of Skewness.

UKURAN SIMETRIS DAN CONDONGNYA SUATU KURVA

Untuk mengukur simetris atau condongnya suatu kurva kita gunakan koefisien skewness,yang dapat dihitung dengan rumus ;

1. METODE PEARSON

Koefisien Skewness dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut

Sk =

_s

X

-

Mo (Rumus I)

Keterangan :

Sk

= Koefisien skewness

X

= Rata-rata

Mo

= Nilai modus

Contoh

Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ Rentang nilai frekuensi

50-54 1

55-59 2

60-64 11

65-69 10

70-74 12

75-79 21

80-84 6

85-89 9

90-94 4

95-99 4

80

    

    





j j j

f c f d

A

X ₀ . . _{= 97 + 5} 80

346







Rumus ke-2

Contoh :

Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ Rentang nilai frekuensi

50-54 1

55-59 2

60-64 11

65-69 10

70-74 12

75-79 21

80-84 6

Jadi distribusi di atas mempunyai skewness negatif

2.METODE BOWLEY

Diperoleh:

Jika :

1. Q3-Q2= Q2 Q1 maka hasilnya akan 0.

2. Q3-Q2  Q2 Q1 maka hasilnya akan skewness positif.

3. Q3-Q2 Q2 Q1 maka hasilnya akan skewness negatif.

3. METODE PERCENTIL

10 – 90 persentil Sk-nya dinyatakan dengan:

   

 90 10

10 50 10 90

P P

P P P P Sk

    

Setelah kita ketahui besarnya koefisien skewness maka untuk menentukan gambar dari distribusi itu condong ke kiri,ke kanan atau simetris didasarkan atas ketentuan berikut :

a. Bila koefisien skewness itu positif berarti mean > median dan mode ,maka kurva condong ke kiri atau ekornya disebelah kanan.

b. Bila koefisien skewness itu negatif berarti mean < median dan mode ,maka kurva itu condong ke kanan atau ekornya di sebelah kiri.

c. Bila koefisien skewnes itu besarnya sama dengan nol berarti mean=median=modus, maka kurva itu simetris.

Untuk data tunggal komputasi skewness melalui Ms. Excel adalah

insert – function- select category : statistical – skew

C. KURTOSIS

Kurtosis adalah ukuran mengenai keruncingan dari kurva suatu distribusi frekuensi. Kurtosis ada 3 macam :

1. Leptokurtik

Ialah distribusi frekuensi yang kalau digambarkan kurvanya merupakan kurva yang agak sempit pada bagian puncaknya atau mendekati runcing.

Distribusi Simetrik Distribusi Positif Skewness

2. Platikurtik

Ialah distribusi frekuensi yang digambarkan kurvanya agak mendatar (tumpul) pada puncaknya.

3. Mesokurtik

Ialah distribusi frekuensi yang kurvanya normal yakni bukan leptokurtik dan plaktikurtik.

Dalam perhitungan untuk mengetahui runcingan kurva dapat mendasarkan pada moment keempat.

Momen keempat ialah rata-rata dari kuatnya penyimpangan keempat dari nilai mean dalam suatu distribusi frekuensi.

Kurtosis dalam suatu distribusi frekuensi diukur atas dasar momen keempat tersebut dan ukuran ini diberik symbol a4

 





 

2 2

4

2 2

4 4

4 4

m N

X X

m m s

m a



 

 

Distribusi frekuensi yang normal (Mesokurtik) nilai a4 = 3

Distribusi yang lebih mendatar (Platikurtik) Nilai a4< 3

Distribusi yang lebih runcing (Leptokurtik) nilai a4> 3

Contoh :

1. Tentukan kurtosis dari 2, 3, 7, 8, 10 !

6 5 30 5

10 8 7 3 2

      

X

X j



X_j X





X_j X



2



X_j X



4

2 -4 16 256

3 -3 9 81

7 1 1 1

8 2 4 16

   

 

   

 

 

 

j

Q j

f F jxn d L

Q 4

Jumlah 0 46 610

2 , 9 5 46

2 

m

122

5 610

4 

m

 

9,2 1,44 122

2 2

2 4

4  

m m a

Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)

2. Hitunglah Kurtosis dari data berikut !

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ

Tinggi

badan f

j

X (XjX) (Xj X)2 (XjX)4 f2(Xj X)2 fj(XjX)4

60 - 62 5 61 -6,45 41,60 1730,56 208 8652.80

63–65 18 64 -3,45 11,90 141,61 214,2 2548.98

66–68 42 67 -0,45 0,20 0,04 8,4 1.68

69–71 27 70 2,55 6,50 42,25 175,5 1140.75

72–74 8 73 5,55 30,80 948,64 246,4 7589.12

JUMLAH 100 - - - - 852.5 19933.3



X 67,45



2

m 8.525

100 5 . 852



4

m ₌ 199.333 100

3 . 19933





4

a

 2  525 . 8

333 .

199 _2,74

Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)

Momen coefficient of kurtosis dan alpha empat, ukuran keruncingan tersebut dapat juga dicari dengan menggunakan nilai kuartil dan persentil. Ukuran yang demikian dinamakan quartile coefficient of kurtosis dan dinyatakan dengn rumus ;

K =

10 90

1 3

P P

) Q (Q 2 1

 

Dari hasil koefisiensi kurtosis di atas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data, yaitu:

1. Jika koefisien kurtosisnya < 0,263, maka distribusinya adalah platikurtik. 2. Jika koefisien kurtosisnya = 0,263, maka distribusinya adalah mesokurtik. 3. Jika koefisien kurtosisnya > 0,263, maka distribusinya adalah leptokurtik.

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ Tinggi badan (in) frekuensi

60 - 62 5

63 – 65 18

66 – 68 42

69 – 71 27

72 – 74 8

64

Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)

Untuk data tunggal komputasi kurtosis melalui Ms. Excel adalah insert

– function- select category : statistical – kurt

TUGAS

DATA TINGGI 40 MAHASISWA LAKI-LAKI UNMUH PONOROGO

Tinggi (cm) Frekuensi 121 – 130 3

Jumlah 40

Hitunglah :

a. _{X, X}2_{, X}3_{, X}4

b. m1, m2, m3, m4

c. m'1, m'2, m'3, m'4 dengan A = 150