IR este continu ã în

DERIVABILITATE

_ª

I DIFEREN

_Þ

IABILITATE

În acest capitol vom generaliza noþiunea de derivabilitate cunoscutã _{din liceu} pentru funcþii de mai multe variabile. Noþiunea de diferenþiabilitate pe care o vom studia aici ne va permite sã _aproximã_{m valoarea unei funcþii într-un punct cu} valoarea unui polinom de gradul întâi în acel punct, îmbunã_tã_{þind astfel rezultatele} cunoscute de la funcþiile continue.

Reamintim cã _dacã _{f : A} _IRp_{→ IR este continu}ã _{în a}_{A, atunci exist}ã _o vecinãtate U

_V

_{a pentru care f}

   

_x _{f a , pentru x}_U_{A (aproximare cu o} constantã_{). Aici vom ar}ã_{ta c}ã_{, în anumite condiþii, exist}ã _{un polinom de gradul întâi} de p variabile T1 pentru care f

 

x T1

 

x , pentru xUA.

A. DERIVATE PAR

Þ

IALE

Definiþia 1. Fie AIRp. Un punct aA se numeºte punct interior al mulþimii

A dacã _existã _{o sfer}ã _{cu centrul în a inclus}ã _{în A, adic}ã_, 0

r 

 astfel încât S

 

a,r A.

Mulþimea punctelor interioare ale mulþimii A se numeºte interiorul mulþimii A ºi se noteazã _{Å sau int A.}

Observa_þia 1. Mulþimea A IRp este deschisã _dacã_{ºi numai dac}ã _A=Å. Într-adevã_{r, dac}ã _{A este deschis}ã, atunci pentru orice aA existã _r _{0 astfel ca}

 

a,r A

S  , deci a este punct interior ºi prin urmare AÅ; în plus din definiþia1 rezultã _cã ÅA, deci A=Å. Invers, dacã Å=A, atunci pentru orice aA existã _r ₀ astfel ca S

 

a,r A; deci A este o mulþime deschisã_.

Observaþia 2. Interiorul mulþimii A este cea mai mare mulþime deschisã inclusã _{în A; deci dac}ã _{G este o mulþime deschis}ã _inclusã în A atunci G Å.

Exemplul 1. Fie A={(x,y,z) IR3_{ x,y,z}

≥ 0, x2+y2+z2 ≤ 1}. Atunci Å={(x,y,z)  IR3_{ x,y,z > 0, x}2_+y2_+z2 _{< 1}.}

Propozi_þia 1. Dacã _A _IRp _{atunci Å}_A'.

Demonstraþie. Fie aÅ. Conform definiþiei 1 rezultã _cã _existã _r _{0 astfel ca}

 

a,r A

S  , deci S

 

a,r A\

 

a Ø, adicã _{a este un punct de acumulare al mulþimii} A.

Consecinþã_{. Dac}ã aÅ atunci existã

 

_{x A\}

 

_a

n  astfel ca limxn a n  .

Afirmaþia rezultã _{din propoziþia 1 ºi propoziþia 5 din cap.1.}

Definiþia 2. Fie f : A  IRpIRq o funcþie ºi B



e1,...,ep



respectiv



1 q



q e ,...,e

B    bazele canonice din spaþiile liniare IRp, respectiv IRq. Spunem cã

funcþia f este derivabilã _{parþial în raport cu xi (unde i}



_1,2,...,p



) în punctul aÅ dacã existã_:

 

 

f(a)] ) te [f(a t 1

lim _i

I t

0 t

R

Aceastã _limitã _{se numeºte derivata parþial}ã _{a funcþiei f în raport cu xi în} numai dacã _{cele q componente scalare sunt derivabile parþial în a; în plus:}

 

 

 

_

m cunoaºte din liceu formula de derivare a produsului(formula lui Leibniz):

 

  n n k  k (respectiv v). Cum derivatele parþiale sunt, de fapt, derivatele funcþiilor parþiale, deci derivate ale unor funcþii de o singurã _variabilã_{, rezult}ã _cã _{formula lui Leibniz este} valabilã _{ºi pentru produse de funcþii scalare de mai multe variabile.}

Exemplul 4. Sã _calculã_m

Exemplul 5. Sã _calculã_{m derivatele mixte de ordinul doi pentru funcþia}

Deci:

x y

f y

x

f 2

2

 

   



Sã _remarcã_{m c}ã _dacã _{trecem la coordonate polare: x}  _cos _,y  _sin_, atunci:

   

x,y  0,0 0 ºi: 0 f

 

x,y 2 0, deci limf

 

x,y 0 f

 

0,0

0 y ,

x    ; prin

urmare fC0

(

IR2

)

, iar:

 

x,y 4 0 f

0 x   , deci

0

x C

f  ( IR2) ºi

 

x,y 2 0 f

0 _y   , deci fy C0( IR

2

), adicã _f_C1_{( IR}2_).

Cu toate cã _existã _{derivatele mixte f ,f :}

yx xy  IR

2_

IR ele nu sunt continue, deci fC2 (IR2). Într-adevã_{r dac}ã _y _{mx este ecuaþia unei drepte prin origine,} atunci:

 









limf

 

x,y

m 1

m 3 m 6 1 mx , x f lim y , x f

lim _yx

mx y

0 x 3 2

4 2

xy 0 x xy

mx y

0

x _  

   

 

  



 ,

deci nu existã _{limita în origine (în raport cu ansamblul variabilelor), adic}ã _{(0,0) este} un punct de discontinuitate al derivatelor mixte.

În continuare vom arã_{ta c}ã _{funcþiile de clas}ã _C2 _{au derivatele mixte egale.} Pentru simplificarea notaþiilor vom arã_{ta aceast}ã _{proprietate pentru p}_{2 ºi q}_{1 în} ipoteze mai generale.

Teorema 1 (Schwarz). Fie f : A  IR2 IR ºi

 

a,b Å. Dacã _existã _o vecinã_{tate deschis}ã V

_V

_{(a,b) ºi exist}ã _{derivatele parþiale f}

     

_{x,y,f x,y,f x,y}

xy y

x  

pentru orice

 

x,y V , iar f_xy este continuã _în

 

_{a,b atunci exist}ã _f''

 

_a,b

yx ºi

 

a,b f

 

a,b

f_xy  _yx .

Demonstraþie. Fie h, k IR* astfel ca



a  h,b  k



 V ºi

  

h,k f a h,b k

 

f a h,b

 

f a,b k

  

f a,b

F         (1)

Dacã _notã_{m g}

  

_x,y _{f x,y}_k

  

_{f x,y , atunci:}

  

h,k ga h,b

  

ga,b

F   

Aplicând teorema lui Lagrange funcþiei parþiale g

 

x,b pe intervalul



a,ah



rezultã cã _existã 

 

_{0,1 astfel încât:}

 

h,k hg



a h,b



F  _x  .

Þinând seama de definiþia funcþiei g rezultã _cã_:

 

h,k h



f



a h,b k



f



a h,b





F  _x    _x  .

Deoarece pe V existã _{derivata mixt}ã

xy

f rezultã _cã _{funcþia parþial}ã _f



_{a h,y}



x 

verificã _{ipotezele teoremei lui Lagrange pentru y}



_b,b_k



_{, deci exist}ã '

 

_0,1 astfel încât:

 

h,k hkf



a h,b k



F  _xy   (2) Dar f_xy este continuã _în

 

_{a,b , deci funcþia:}

 

h,k f_xy



ah,bk



f_xy

 

a,b

 

h,k 0 lim

0 k ,

h    . (4)

Fie

 

h lim

 

h,k

0 k 

 

 . (5) Desigur, din (4) ºi (5) rezultã _cã_:

 

h 0 lim

0

h   . (6)

Înmulþind egalitatea (1) cu k 1

ºi înlocuind F

 

h,k din (2) ºi f_xy



ah,bk



din (3) obþinem:

 

 





 







f



a,b k

  

f a,b



k 1 b , h a f k b , h a f k 1 k , h h b , a f

h_xy           . (7)

Deoarece pe V existã _{derivata parþial}ã

y

f , trecând la limitã _{pentru k}_{0 în (7) ºi} þinând seama de (5) avem:

 

a,b h

 

h f



a h,b



f

 

a,b f

h_xy    _y   _y , sau:





 



f a h,b f a,h



f

   

a,b h h

1

xy y

y       . (8)

Trecând la limitã _{în (8) pentru h}_{0 , din (6) rezult}ã _cã _existã _f

 

_a,b

yx ºi

 

a,b f

 

a,b

f_yx  _xy .

Consecinþã_{. Fie A}  IRp _{o mulþime deschis}ã_{. Dac}ã _f_C2

 

_{A , atunci}

derivatele mixte de ordinul doi sunt egale pe A (numã_{rul lor fiind} 2

p

C pentru p2).

B. DERIVATE DUP

Ã

_VEC

_TORI

Am vã_{zut c}ã _{derivata parþial}ã _{a unei funcþii în raport cu variabila xi presupune} existenþa limitei (*) (definiþia2). În acest context vectorul

i

te

a tinde la a IRp când t0. De exemplu în IR2 pentru derivata în

 

a,b în raport cu variabila x,



at,b



tinde (când t0 ) la

 

a,b de-a lungul unei drepte paralele cu Ox. Fie (u,v)

 

0,0 . Atunci punctul de coordonate



atu,btv



tinde la punctul de coordonate

 

a,b (când t0) de-a lungul unei drepte paralele cu vectorul uivj . Vom generaliza noþiunea de derivatã parþialã _{înlocuind vectorul}

i

e din (*) cu un vector oarecare, introducând conceptul de derivatã _dupã _{un vector (ori o} direcþie), concept care joacã _{un rol important în studiul} fenomenelor electromagnetice.

Defini_þia 4. Fie f : A  IRp IRq o funcþie vectorialã_,  A

a ºi v  IRp\{0} un vector. Dacã _existã



  





q

I t

0

t _t f a tv f a I

1

lim R

R

   

(**) spunem cã _{f este derivabil}ã _{în a dup}ã _{(în raport cu) vectorul v. Limita (**), dac}ã existã_{, se noteaz}ã

 

_a

v f  

ºi se numeºte derivata funcþiei f dupã _{(în raport cu) vectorul} 0

(a,b)

0 x

(u,v)

(a,b) y

A

v în punctul a. Derivata în a a funcþiei f dupã _{versorul vectorului v (adic}ã _dupã _v v 1

) se mai numeºte derivata lui f dupã _{direcþia lui v.}

Observaþia 1. Dacã

p i B

e

v   atunci

 

 

a x

f a e

f

i

i 

  



.

Observa_þia 2. Pentru pq1 notând atv x, sau



x a



v

1

t   remarcã_m cã _{(**) devine:}

 

   

vf

 

a a

x a f x f lim a v f

a

x   

 

 

 ,

deci, în acest caz particular, derivabilitatea dupã _{un vector implic}ã _{derivabilitatea.} Invers, dacã _{f este derivabil}ã în a ºi v IR*_{, luând vt} _x_{a avem:}

 

   





  



 

a v

f v 1 v 1 a f tv a f t 1 lim a

x a f x f lim a f

I t

0 t a

x 

  

 

  



 

R

,

deci derivabilitatea implicã _{derivabilitatea dup}ã _{orice vector nenul.}

Exemplul 6. Derivata dupã _{orice vector v nenul a unei aplicaþii liniare este} chiar aplicaþia respectivã _calculatã _{în v. Într-adev}ã_{r dac}ã fL(IRp_{, IR}q), a IRp_ºi v IRp \{0} atunci f



atv

    

f a tf v , pentru orice t  IR. Din (**) rezultã _cã

   

a f v v

f  

 _{, oricare ar fi a} IRp.

Definiþia 5. Fie x = (x1, …, xp), y = (y1, …, yp) IRp. Numãrul real





  



 p

1 k

p p 1

1 k

ky x y ... x y

x y

, x

se numeºte produsul scalar al vectorilor xºi y.

Observa_þie. Produsul scalar are urmã_{toarele propriet}ã_þi: (P1) x,x  x 2,x IRp ºi x,x 0x0 (P2)

<x,y>=<y,x>,



x,y

 IRp

(P3) x,yx,y,IR,x,y IRp (P4) xy,zx,zy,z,x,y,z IRp

(P5) x,y  x  y,x,y IRp (inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwarz).

Teorema 2 (Riesz). Fie fL(IRp, IR). Atunci existã un unic a _IRp _astfel încât:

(a) f

 

x  x,a, pentru orice x IRp

(b) A  a , unde A este matricea aplicaþiei liniare f. Demonstraþie. Fie x



x₁,...,x_p



 IRp. Atunci:

 

_

_

 

 

  

   

 

 p

1 i

i i p

1 i

i

ie xf e x,a

x f x

f ,

Dacã _existã 







p 1,...,b

b

b IRp astfel ca: f

 

x x,b, pentru orice x IRp, atunci 



e_i,b e_i,a , pentru orice i1,p, deci b_i a_i,i1,p adicã _b_{a ºi punctul (a)} este demonstrat. Desigur A=a, deci (b) este, de asemenea, dovedit.

Vom da în continuare un set de condiþii suficiente pentru derivabilitatea dupã un vector ºi formula de calcul a derivatei dupã _{un vector.}

Teorema 3 (Condiþii suficiente de derivabilitate). Fie f : A  IRp IRq ºi aÅ.

Dacã _existã _{o vecin}ãtate V

_V

_{a astfel ca f s}ã _aibã _{derivate parþiale pe V, continue în} a, atunci f este derivabilã _dupã orice vector v IRp_{\{0} ºi:}

 

_

 

 

  

 p

1 i

i i

v a x

f a

v f

, unde v = (v1,…, vp).

Demonstra_þie. Fie t IR* astfel ca atvV. Atunci:



atv

  

f a f



a₁tv₁,a₂ tv₂,...,a_p tv_p

 

f a₁,a₂ tv₂,...,a_ptv_p



 f



  

 

  



 

f a₁,a₂ tv₂,a₃ tv₃,...,a_p tv_p f a₁,a₂,a₃ tv₃,...,a_p tv_p ...



a1,a2,...,ap 1,ap tvp

 

f a1,a2,...,ap1,ap



f _   _

 . (1)

Cum f este derivabilã _{parþial pe V, aplicând teorema lui Lagrange pe intervalele}



a_k,a_k tv_k



, k1,p, pentru cele p diferenþe din (1) rezultã _{existenþa elementelor}

  

t a ,a tv



,k 1,p

c_k  _{k k}  _k  , astfel ca:



  



 

 



 

  

 1 2 2 p p

1

1 c t,a tv ,...,a tv

x f tv a f tv a f

 







a

,

a

,

a

,...,

a

,

c

 

t



x

f

tv

...

tv

a

,...,

tv

a

,

t

c

,

tv

a

x

f

tv

_{1 2 3 p1 p}

2 p p

p 3 3 2 1 1 2

2

_





















(2)

Din ipoteza teoremei ºtim cã _{derivatele parþiale sunt continue în a; înmulþind} ambii membri din (2) cu

t 1

ºi trecând la limitã _{cu t}_{0 , cum c}

 

_{t a ,k 1,p}

k

k   ,

rezultã_:

 





  



 

 

p p 1

1 0

t _x a v

f ... v a x

f a f tv a f t 1 lim a v f

    

    

 

 ,

deci f este derivabilã _dupã _{vectorul v ºi formula de calcul a derivatei este} demonstratã_.

Definiþia 6. Fie f : A IRp IR o funcþie scalarã _derivabilã parþial în aÅ. Vectorul:

 

 

_

 

        

  

  

 p

1 k

k k p

1

e a x

f a

x f ,..., a x

f

se numeºte gradientul funcþiei f în a ºi se noteazã _{grad f}

 

_{a , sau} _f

 

_{a (a se citi} “nabla aplicat funcþiei f în punctul a”). Dacã _{A=Å ºi f este derivabil}ã _{parþial pe A;} funcþia vectorialã_:

grad  

   







A : f , e x

f f

f _k

p

1

k k

IRp

,

a→f(a)

Dacã _p_{2, j}

Observa_þie. Derivabilitatea unei funcþii într-un punct dupã _{orice vector nenul} implicã _{continuitatea acesteia de-a lungul oric}ã_{rei drepte care trece prin punctul} respectiv. Totuºi ea nu implicã _{continuitatea pentru p}_1.

 

   

t   , conform observaþiei precedente, obþinem concluziile din text.

Observaþie. Mulþimea funcþiilor f : A  IRp IRq derivabile în aÅ dupã _v dotatã _{cu operaþia de adunare a funcþiilor ºi cu operaþia de înmulþire cu scalari din} corpul IR este, conform propoziþiei 2, un spaþiu liniar peste IR.

Definiþia 7. Fie f : A  IRp IRq,

Desigur dacã

i

Analog se definesc derivatele de ordin mai mare ca doi în raport cu vectori nenuli din IRp.

cosinuºii directori ai versorilor v ºi u:

p Conform formulei precedente:

deci

 

0 2 2

1 2 2

2 2 2

1 1 , 1 v

f 2 2

 

 



 _.

C. DIFEREN

Þ

IABILITATE

Vom extinde acum noþiunea de diferenþiabilitate studiatã _{la funcþiile de o} singurã _variabilã_{. Reamintim c}ã _{funcþia f:A}  _{IR→ IR este diferenþiabil}ã în aÅ dacã _existã _{o aplicaþie liniar}ã _{daf numit}ã _{diferenþiala funcþiei f în a astfel ca:}

   

x f a d f



x a

 

x a



(x),

 

a 0

f   _a      

unde :A IR este o funcþie continuã _{în a. Mai mult, f este diferenþiabil}ã _{în a dac}ã ºi numai dacã _{f este derivabil}ã _{în a, iar d f}

 

_{h f'}

 

_ah

a  , sau, cu notaþiile de la definiþia

6, d_af

 

h  f

 

a,h.

Defini_þia 8. Fie f : A IRp IRqºi aÅ. O aplicaþie liniarã _{d f:}

a IR

p

→ IRq se numeºte diferenþiala funcþiei f în punctul a (în sensul lui Fréchet) dacã_:

   







  



 



 _{x a} f x f a d f x a 0

1

lim _a

0

h IR

q

, sau, echivalent (notând xah)



  

 



f a h f a d f h



0

h 1

lim _a

a

x     .

În acest cã _{caz spunem c}ã _{f este diferenþiabil}ã _{în a. Dac}ã _{f este diferenþiabil}ã în orice aA funcþia f se numeºte funcþie diferenþiabilã _{(pe A).}

Observaþie. Ca ºi în cazul pq1, putem reformula acestã _definiþie: aplicaþia d_afL ( IRp, IRq) este diferenþiala funcþiei f în a dacã _existã _{o funcþie}



:A IRq continuã _{în a cu} 

 

_a _{0 ºi f}

   

_{x f a d f}



_{x a}



_{x a}

 

_x

a    



 sau

echivalent, existã _{o vecin}ãtate V

_V

_{0 ºi o funcþie}  _:V

0 IR

q

, continuã în O IRq astfel ca:



a h

  

f a d f

 

h h

 

h,(h V)

f    _a  ₀  ºi _o

 

0 0.

Folosirea sintagmei “diferenþiala funcþiei f în a” impune demonstrarea urmã_{torei propoziþii.}

Propozi_þia 3. Dacã _{funcþia f :A}  _IRp_{→ IR}q _{este diferenþiabil}ã în aÅ atunci diferenþiala sa în acest punct este unicã_.

Demonstraþie. Sã _{presupunem c}ã _{d f}

a ºi d'afL( IR

p

, IRq) sunt diferenþiale ale funcþiei f în a.

Atunci:

 

 







f



a h

  

f a d f

  

h



f a h

  

f a d' f

 

h





0 h

1 lim h

f d h f ' d h 1

lim _{a a}

0 h a

a 0

h            (1)

Luând în (1) hte_k,t0, unde



e₁,e₂,...,e_p



, este baza canonicã _{din IR}p _obþinem:

 

 



a k a k



a

 

k a

 

k

o

t _t d' f te d f te d' f e d f e

1 lim

0    

 , adicã

 

e d f

 

e ,k 1,p. f

'

d_{a k}  _{a k} 

Prin urmare cele douã _{aplicaþii liniare coincid: d' f d f.}

a a 



    



f a h f a f h



0 h

1 lim

0

h     , deci f este diferenþiabilãºi daf  f, pentru orice a IR

p

. Prin urmare orice aplicaþie liniarã _{este diferenþiabil}ã _{ºi diferenþiala ei este chiar} aplicaþia liniarã _respectivã_{. În particular, dac}ã g : A  IRp  IRq _{este diferenþiabil}ã _în aÅ, cum d_agL( IRp, IRq) rezultã _cã_{: d}

 

_{d g} _{d g,}_b

a a

b IR

p

.

Ne punem acum problema de a gã_{si o formul}ã _{de calcul (în caz de existenþ}ã₎ pentru d_af . Am vã_{zut c}ã _dacã _p_q_{1, ºi f este derivabil}ã _{în a, atunci}

 

v f

 

a,v f

d_a   . Este acestã _formulã _valabilã _{ºi pentru p} _{1(desigur q}_{1) în caz c}ã existã _f

 

_{a ? Existenþa derivatelor parþiale în a(care asigur}ã _{existenþa grad f(a) ) este} suficientã _{pentru ca f s}ã _{fie diferenþiabil}ã _{în a? Pentru a r}ã_{spunde la aceste întreb}ã_ri vom începe prin a prezenta câteva condiþii necesare de diferenþiabilitate a unei funcþii într-un punct precum ºi formula de calcul a diferenþialei într-un punct.

Teorema 4: Dacã f : A  IRp  IRq _{este diferenþiabil}ã în aÅ atunci: (a) f este continuã _{în a}

(b) f este derivabilã _dupã orice v _IRp _{\{0} ºi}

 

_{a d f}

 

_v. v

f

a

  

(c)

 



 

    p

1 k

k k

a ah

x f h

f

d , pentru orice h



h₁,....,h_p



 IRp. Demonstra_þie: Fie d_afL( IRp, IRq) diferenþiala funcþiei f în a.

(a) Deoarece d_af este diferenþiala lui f în a rezultã _cã _existã _:A _IRq_, continuã _{în a, cu} 

 

_a _{0 ºi f}

   

_{x f a d f}



_{x a}



_{x a}

 

_{x,x A}

a     



 . Dar daf este o

funcþie uniform continuã _{(vezi exerciþiul 24 cap.1), iar d f}

 

_{0 0}

a  deci, trecând la limitã

când x a în acestã _{egalitate obþinem limf}

   

_{x f a}

a

x  ; prin urmare f este continu

ã _în a.

(b) Fie v  IRp\{0} . Din ipotezã _rezultã _cã



  

 



f a h f a d f h



0

h 1

lim _a

0

h     . (1) Punând htv , cu t IR* , cum h0 IRp rezultã _t_{0 ,iar din (1) obtinem:}



  

 



f a tv f a d f tv



0, v

t 1

lim _a

0

t     

sau, echivalent:



  

 









  



 

   



 _{  }

 

  



 _t f a tv f a d f v

1 t t lim v

f td a f tv a f t 1 lim

0 _a

0 t a

0

t , de unde:



  



f a tv f a



d f

 

v 0 t

1

lim a

0

t     . (2) Dar funcþia normã _{este continu}ã_{; atunci din (2) obþinem:}



  



f a tv f a



d f

 

v, t

1

lim _a

a

t    sau _v

 

a d f

 

v f

a

 



.

 

_

 

_

 

_

 

a atunci funcþia liniarã

 

h,k  f'

 

0,0hf'

 

0,0k k,

 

h,k  urmatoarele exemple:

 



f

   

tu,0 f 0,0



0 Dã_{m în continuare condiþii suficiente de diferenþiabilitate.}

Teorema 5: Fie f : A  IRp_{ IR}q_{ºi aÅ. Dacã}

existã _V

_V

_{a astfel ca f s}ã admitã _{derivate parþiale pe V continue în a, atunci f este diferenþiabil}ã _{în a.}

Demonstra_þie. Vom arã_{ta, în acord cu teorema 4 (c), c}ã

 



 

derivatelor parþiale pe intervalul



a,ah



V, aplicând teorema lui Lagrange, rezultã existenþa elementelor:



a ,a h



, k 1,p

Exemplul 15. Funcþia

 

ºi nici una dintre implicaþii nu este, în general, echivalenþã_.

Observaþia 2. În calculul diferenþialelor se utilizeazã _{pentru proiecþiile pr :}

diferenþiabilitate

continuitate

Continuitate relativã _la

mulþimile{a+tv|tIR} continuitate parþialã derivabilitate dupã orice

df = dy y f dx x

f

   



ºi operatorul de diferenþiere:

d = dy

y dx

x 

  



,

operator care asociazã _{unei funcþii diferenþiabile f diferenþiala sa total}ã _{df. Notaþiile ºi} formulãrile precedente se extind pentru orice p, q  IN* _:

- diferenþiala lui fîn punctul a:

da f = (a)dx L

x f

k p

1

k k

 







( IRp, IRq)

- diferenþiala lui fîn punctul a calculatã _{în x=(x1, …,xp) :} daf (x) = f

 

a xk

p

1 k

'

xk 





IRq

- diferenþiala totalã _{a lui f pe o mulþime deschis}ã_:

d f = _k

p

1

k k

dx x

f



  

- operatorul de diferenþiere

d = _k

p

1

k k

dx x



  

.

Sã _considerã_{m acum c}ã _{f =}





q 1,...,f

f : A  IRp  IRq este diferenþiabilã _în aÅ. Conform teoremei 4 (c):

daf (x) = i

p

1

i i

x (a) x

f



 



= ( _i

p

1

i 1

1 _{(a) x}

x f



 



, ... , _i

p

1

i i

q

x (a) x

f



 



),

deci matricea aplicaþiei liniare daf  L ( IRp, IRq) în perechea de baze canonice din

IRp, respectiv IRq este:

 

a

J_f =

 

q , 1 j

p 1, i i j

a x

f      

 

 

care se numeºte matricea Jacobi ( sau matricea jacobianã _{) a funcþiei f în punctul a.} Atunci:

  

 

  

 

q a

1 a

f d ...

f d

=

 

  

 

  

 

p 1 f

dx ... dx a

J .

Dacã _{p=q , not}ã_{m determinantul matricii jacobiene a funcþiei f în a :}

 

a J

det _f =

_





_

p 1

p 1

x ,..., x D

f ,..., f

D

_{ }

a

ºi îl numim jacobianul funcþiei f în punctul a sau determinantul funcþional al funcþiilor

p 1,...,f

f în a.

Formula de calcul a diferenþialei indicã _{faptul c}ã _{unele propriet}ã_{þi ale} operatorilor de derivare parþialã

x 



Propozi_þia 4. Fie f,g : A = Å  IRp  IR, f,g _C1

 

A _{. Atunci:} (a) d(fg) = gdf + fdg

(b) d(f + g) = df + dg,  IR (c) d _

    

g f

= ₂ g

1

(gdf - fdg), dacã g(x) 0, xA

Demonstraþie. (a) da(fg) = k p

1

k k

dx (a) x fg



  

=

       

_{x k}

p

1 k

x a ga f a g a )dx

f (

k

k  







=

= g(a)

 

_k

p

1 k

x adx

f k





 +f(a)

 

_k

p

1 k

x adx

g k





 = g

 

ad_aff

 

ad_ag , pentru orice a A, deci

 

fg

d =fdggdf .

b) da(f+g)=

 

x

 

k p

1 k

x a g a)dx

f

( _k  _k





= p

 

_k

1 k

x a dx

f _k





 + p

 

_k

1 k

x adx

g _k



 

=d_af d_ag, pentru orice aA, deci d



f g



=dfdg. (c) _

    

g f

d_a =

          

x k p

1 k

x

2 _a f aga f ag a dx

g 1

k

k  







=

=

 

a g

1

2



g(a)

 

k p

1 k

x adx

f k





 -f(a)

 

_k

p

1 k

x a dx

g k









=

 

a



g

 

ad f f

 

ad g



g

1

a a

2  , pentru orice

aA, deci _     

g f

d =



gdf fdg



g

1

2  .

Interpret

ã

_{ri geometrice}

1. Am vã_{zut c}ã _{funcþia f : A}  IR_{→ IR este diferenþiabil}ã în aÅ dacã _ºi numai dacã _{f este derivabil}ã _{în a, deci curba de ecuaþie y=f}

 

_x , xA ( care este graficul funcþiei f ) admite o tangentã _{în punctul M}



_a,f

 

_a



_{de ecuaþie y-f(a) =} =f'

 

a xa



, sau , echivalent y=f

 

a d_af



xa



.

2. Dacã f : A= Å  IR2  IR, f_C1

 

_A

ºi

 

a,b A atunci ecuaþia: C : f(x,y) – f(a,b) = 0

are ca reprezentare geometricã _{o curb}ã _{care trece prin punctul P(a,b). S}ã presupunem cã _aceastã _{ecuaþie se poate explicita în funcþie de x, adic}ã _existã _o funcþie g : B IR  IR astfel încât f(x,y) – f(a,b) = y – g(x), xB. Atunci:

 

x,y -g

 

x

f_x   , iar f_y

 

x,y 1;

ecuaþia d_{ a,b}f



xa,yb



0 este echivalentã _{cu ecuaþia}

 

a,b x a



f

 

a,b y b



-g

 

a x a



y b 0

f_x   _y        ,

sau

 

a x a



g b

y   

Prin urmare ecuaþia

d(a,b)f



xa,yb



=0

este ecuaþia dreptei tangente la curba C în punctul P de pantã _m=g

 

_{a = -}

 

 

a,b f

b , a f

y x

 

, iar grad f

 

a,b = -g

 

a i jeste un vector perpendicular pe aceastã _dreaptã_.

3. Dacã f : A IR3 IR, f_C1

 

_A

ºi



a,b,c



Aatunci ecuaþia:

S: f



x,y,z

 

f a,b,c



are ca reprezentare o suprafaþã _{ce trece prin P(a,b,c)} iar ecuaþia: da,b,cf



xa,yb,zc



0

sau echivalent:

: f_x



a,b,c



xa



f_y



a,b,c



yb



f_z



a,b,c



zc



=0 are ca reprezentare graficã _{un plan ce trece prin P, este tangent la S ºi are ca normal}ã _vectorul:

grad f(a,b,c) =f_x



a,b,c



if_y



a,b,c



jf_z



a,b,c



k.

4. Sã _considerãm acum f : A IR2  IR, f_C1

 

_{A . Atunci graficul funcþiei f} este o suprafaþã _{de ecuaþie}

S : z = f(x,y), (x,y) A,

suprafaþã _{care admite un plan tangent în P}



_a,b,f

 

_a,b



0



 

a,b A



de ecuaþie:

: z-f(a,b) =

 





 



a x b , a x

f

_{ }

_

b y b , a y

f

 



=d_{ a,b}f



xa,yb



0

x

z

S s

) P ( f



y 

O

y=g

 

x

d_{ }a,b f



xa,yb



=0

P

) b , a ( f



Fie acum P



x,y,f

 

x,y



S ºi PP’ dreapta dusã _{prin P, paralel}ã _{cu Oz. Atunci} Q(x,y, f(a,b) +d_{ a,b}f(xa,yb)) PP’, iar distanþa de la P la Q este :

d(P,Q)= |(f

 

x,y -f

 

a,b -d_{ a,b}f



xa,yb



|. Prin urmare relaþia de aproximare:

f

 

x,y f

 

a,b +d_{ a,b}f



xa,yb



este echivalentã cu d(P,Q)0; deci, dacã _{P este “suficient de aproape” de P}

0, atunci

punctul PS este “aproape” de punctul Q   ºi valoarea f(x,y) este aproximativ egalã _{cu valoarea în (x-a, y-b) a polinomului de gradul întâi f(a,b) + d(a,b)f.}

Exemplul 16 . Fie f : IR2  IR, f(x,y) =

4 y 2 x2 2

 . Ecuaþia f(x,y) = f(1, 2),

sau echivalent:

4 y 2 x2 _ 2

= 1 are ca reprezentare graficã _{o elips}ã _{de semiaxe 2 ºi} 2, iar ecuaþia:

) 2 , 1 (

d ) f(x-1, y- 2 ) = 0, este echivalentã cu 2(x –1) + 2 (y - 2 )= 0,

sau cu ecuaþia x  y = 2  1 ºi are ca reprezentare o dreaptã _{de pant}ã _{m = -1} tangentã _{la elips}ã _{în P(1, 2); vectorul grad f(1, 2 ) = 2 ((i}_{j) este perpendicular} pe aceastã _dreaptã_.

x



1, 2



f



y O

x

Q P0

P S

z



P’(x,y,0)

Exemplul 17. Ecuaþia f(x, y, z) = f ( , 3 perpendicular pe acest plan.

Exemplul 18. Dacã _f:

  

_0,  _0,2



_IR _IR-



 

_0,0

    

_{, f} _,  _{x,y ,} 

 x

unde cos _{ºi y=}_sin_{, este funcþia care realizeaz}ã _{trecerea la coordonatele} polare, atunci:

 

_

În continuare vom arã_{ta c}ã_{, în caz de diferenþiabilitate, diferenþiala compusei} a douã _{funcþii compozabile este compusa diferenþialelor celor dou}ã _funcþii.

 

x 0 lim

a

x   ºi f

   

x f a daf



xa



 xa 

 

x (1) Cum g este diferenþiabilã în b=f(a)



B existã  : B_{→ IR}r _{astfel ca:}

 

x 0 lim

b

x   ºi g

   

y gb dbg



yb



 yb 

 

y (2)

Punând în (2) y=f(x), din (1) rezultã _cã_: g_{f (x)= g}_{f (a)+d g}

b



daf



xa



 xa 

 

x



+ daf



xa



 xa 

 

x 

 

y =

= g_{f (a)+d g d f}



_{x a}



_{x a}

 

_x

a

b      , unde pentru xa:

 

x

 = a x

1





xadbg





 

x



 daf



xa



 xa 

   

x  y



(3)

Mai trebuie sã _{dovedim c}ã

a x

lim

 

 

x =0. Folosind inegalitatea triunghiului în (3) obþinem:

 

x

  d_bg ((

 

x) + a x

1

 (y)



daf



xa



 xa  (x)



(4)

Dar daf  L (IR p

,IRq) ºi dbg  L ( IR q

,IRr); folosind inegalitatea de la exerciþiul 14, cap.1, rezultã _cã_:



x a



J

 

a x a f

d_a   _f   ºi d_bg





 

x



 J_g(b)  

 

x (5) Atunci din (4) ºi (5) rezultã _cã_:

0 

 

x  J_g(b)  (x)  (x)  (f(x))  J_f(a)  (f(x)) 0, pentru xa ( cã_ci 



_x)

 

_a _0,

 

_f

 

_x 

 

_b ₀



_.

Prin urmare lim

 

x 0

a

x   , g

_{f este diferenþiabil}ã _{în a ºi d}



_{g f}



a  =df agdaf.

Consecinþa 1. Jgo_f (a) = J_g (f(a))  J_f (a), cãci matricea aplicaþiei liniare d_a(g o f) este Jgo_f (a), iar matricea aplicaþiei liniare d_f(a)g o d_af este produsul J_g (f(a))  J_f (a).

Consecinþa 2. Dacã _{p = q = r, f = (f1,..., fp), g = (g1,...,gp), iar g o f = (h1,..., hp ),} atunci:





_{ }









 

 









 

a x ,..., x D

f ,..., f D a f y ,..., y D

g ,..., g D a ) x ,..., x ( D

h ,..., h D

p 1

p 1 p

1 p 1 p

1 p

1 _{  }

df(a)f –1 o daf = p

R

I

1 ºi daf o df(a)f –1 = p

R

I

1 ºi aplicaþia liniarã _daf  L (IRp_{, IR}p_{) este} inversabilã_{; deci matricea Jf (a), este de asemenea inversabil}ã _{ºi (daf)}–1_=df(a)f–1_, Jf –1(f(a)) = (Jf (a))–1, iar









 

 









 

a

x ,..., x D

f ,..., f D

1 a

f y ,..., y D

g ,..., g D

p 1

p 1 p

1 p 1

 .

Formulele obþinute ne indicã _{modalitatea de derivare parþial}ã _{a funcþiilor}

compuse.

Exemplul 19. Fie h(t) = f(x1(t),..., xp(t)), unde x1,...,xp  C1(IR) ºi f  C1( p).

Atunci notând g(t) = (x1(t),...,xp(t))  p , t  rezultã cã h = f o g, iar din consecinþa

1, Jh =Jf Jg sau:

) f ,..., f , f ( h

p 2

1 x x

x  

 

    

 

    

 

  

p 2 1

x x x

 , deci

p

1 p x

x

1 f ... x f

x

h      

Exemplul 20. Dacã _{p=2, q=2 ºi r=1 ºi w(x,y)=g(u(x,y),v(x,y)), unde u, v ºi g} sunt diferenþiabile, atunci notând f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) rezultã _cã _w=g  _{f ºi din} consecinþa 1: J_u J_gJ_f. Deci :



 



_

  

   

y x

y x v u y x

v' ' v

u' ' u g' g' w' ' w

Prin urmare:

În particular, dacã _w

 

_x,y _g



_x2 _y2_,



_x_y



_exy



_{, s}ã _calculã_{m d w}

 

_1,0

0 ,

0 .

Deoarece :

 w

 

1,0 w'

   

0,0dx1,0 w'

   

0,0 dy1,0 w'

 

0,0

d_0,0  _x  _y  _x , iar

 

x,y 2xg'



x y ,



x y



e



e (1 x y)g' (x y ,(x y)e ) '

w 2 2 x y

v y

x y x 2

2 u x

 

 _{    }

 



rezultã _cã _{d w}

 

_{1,0 g}'

 

_0,0

v 0

,

0  .

Exemplul 21. Dacã _{p=2, q=3, r=1 ºi h(x,y)=g(u(x,y),v(x,y),w(x,y)), u, v,w ºi g} diferenþiabile, atunci notând f(x,y)=(u(x,y),v(x,y),w(x,y)) IR3 urmeazã _cã _h_g_f este o funcþie diferenþiabilã _ºi:

f g h J J

J   , adicã_: v x u x

x u' g' v' g' '



h'x h'y



=



g'u g'v g'w



  

 

  

 

y x

y x

y x

w' ' w

v' ' v

u' ' u

.

Prin urmare:

Fie, în particular, h

 

x,y g



x2 y2,xy,xy



ºi gC1(IR3). Sã _calculã_m  h.

d_0,1 Deoarece d_{ 0,1}h=h'_x

 

0,1dxh'_y

 

0,1dy, iar

 

x,y '

h_x =2xg'_u



u,v,w



g'_v



u,v,w



+g'_w



u,v,w



ºi

 

x,y '

h_y = 2yg'_u



u,v,w



g'_v



u,v,w



+ g'_w



u,v,w



, unde _u_x2 _y2 _{, v=x-y,}

w=x+y, atunci:  h

d_0,1 =



g'_v



1,1,1



g'_w



1,1,1





dx



2g'_u



1,1,1



g'_v



1,1,1



g'_w



1,1,1





dy. În punctul (1,1) aceastã _{aplicaþie liniar}ã _{are valoarea:}

 h

 

1,1 2



g'



1, 1,1



g'



1, 1,1





d_0,1  _u   _v  .

Exemplul 22. Fie f

 

x,y g



u

   

x,y,v x,y



,unde u,v,g 2

C

 ( IR2). Sã _calculã_m

y x

f

2

 



. Conform formulelor cunoscute de la exemplul 20

v x u x

x u' g' v' g'

'

f   . Deoarece g ºi '_u g'v sunt funcþii de x ºi y prin intermediul funcþiilor

u ºi v, derivatele parþiale ale acestora se calculeazã _dupã _{aceleaºi formule. Prin} urmare:



_u y uv y



xy v x



vu y _v y



x

u xy

xy u g u g u g v v g v g u g v

f      2             2  , sau þinând seama de teorema lui Schwarz:





2

2 _{x y y x uv x y v}

u y x v xy u xy

xy u g v g u u g u v u v g v v g

f                      .

E. FUNC

Þ

II OMOGENE Î

N SENS EULER.

Vom prezenta aici o aplicaþie a formulelor de derivare ale funcþiilor compuse concretizatã _{în identitatea lui Euler.}

Definiþia 9. Funcþia f : A IRp IR se numeºte funcþie omogenã _{( în sens}

Euler ) pe Adacã _existã mIR astfel încât pentru orice xA _ºi t0 pentru care txA: f(tx) =_tm_f(x).

Numã_{rul real m se numeºte gradul de omogenitate al funcþiei f. Mai spunem c}ã _{f este}

omogenã _{de grad m.}

Exemplul 23. Fie f : IR3  IR, f(x, y, z) = 5 _x3 _3x2_y_y3 _{. Desigur, pentru}

orice t  0, t(x, y, z) = (tx,ty,tz) IR3

ºi f(tx, ty, tz) = t3/5f(x,y,z), oricare ar fi (x,y,z)IR3.

Prin urmare funcþia f este omogenã _{pe IR}3 _{având gradul de omogenitate m=} 5 3

. Exemplul 24. Fie f : A  IR2 _{ IR, A ={(x,y)}

IR2x ∙ y > 0} ºi f(x,y) = ln y x

. Deoarece pentru orice t  0 ºi (x, y)  A:

ºi

w g x w v g x v u g x u x h

                

w g y w v g y v u g y u y h



tx,ty



A ºi f(tx,ty)=f(x,y)

rezultã _cã _{f este omogen}ã _{cu gradul de omogenitate m = 0. S}ã _calculã_{m expresia} E = xf’x + yf’y. Cum f’x(x,y) =

x 1

ºi f’y (x, y) = -

y 1

rezultã _cã _{E = 0.}

Propoziþia 5. Fie f  C1 (A), A  IRp, o funcþie omogenã _{cu gradul de} omogenitate m. Atunci f_x_k este o funcþie omogenã _{cu gradul de omogenitate m-1,} pentru orice k



1,...,p



.

Demonstra_þie. Fie t  o pentru care tx 



tx₁,...,tx_p



 A. Atunci



tx1,...,txp



f = _tm_f



_x1,....,xp



_{. Aplicând operatorul de derivare par}

þialã

k

x 



, obþinem:





x



1 p



m

p 1

x tx ,....,tx t f x ,....,x

f t

k

k  

 , deci fk este omogenã cu gradul de

omogenitate m-1.

Consecinþã_{. Dac}ã _{funcþia f}  Cn_{(A) este omogen}ã _{de grad m, atunci orice} derivatã _parþialã _{de ordin n este o funcþie omogen}ã _{de gradul m-n.}

Propoziþia 6. Fie f : A  IRp  IR de clasã _C1_{. Condiþia necesar}ã _ºi suficientã _{ca f s}ã _{fie omogen}ã _{de grad m este ca:}

 

x mf

 

x x

f x

p

1

k k

k _ 







, pentru orice x=(x₁,...,x_p



A.

Demonstraþie. Necesitatea. Presupunem cã _{f este omogen}ã _{de grad m. Fie}



x ,...,x



A

x _{1 p}  fixat ºi funcþiile definite prin: y_k

 

t tx_k ,k1,p,

 

t f



y

 

t ,...,y

 

t



F  _{1 p} . Cum f este omogenã _{de gradul m rezult}ã _cã_:

 

t t f

 

x

F _ m _{. (1)}

Desigur FC

 

D , unde D



t0|txA



. Din (1) , prin derivare, obþinem:

 

t y

 

t f



y

 

t ,...,y

 

t



mt f

 

x

F k 1 p m 1

p

1 k

k





 

 





,

adicã_:



tx

,...,

tx



mt

f

 

x

f

x

m1

p 1 x p

1 k

k k











(2) Dar

k

x

f este, conform propoziþiei 5, o funcþie omogenã _{de grad m-1, deci}



tx ,...,tx



t f

 

x

f_x_{k 1 p}  m1 _x_k ; atunci din (2) urmeazã _cã _{x f k}

 

_{x mf}

 

_x

x p

1 k

k  





.

Suficienþa. Presupunem acum cã _{funcþia f are proprietatea:}

 

x mf

 

x f

x k

x p

1 k

k  





, x



x₁,..,x_p



A (3) Fie xA fixat, D



t0|txA



ºi:

:D IR , (t)=tmf

 

tx Desigur  este derivabilã _{pe D ºi}

(t)=

_{ }

p _k

1 k

x m 1

m f (tx) x

t 1 tx f t

m

k 

 







Din (3) ºi (4) obþinem:

g= Din consecinþa propoziþiei 5 rezultã _cã _{g, care este o combinaþie liniar}ã _{a derivatelor} parþiale de ordin n-1 ale funcþiei f, este o funcþie omogenã _{de grad m-n+1; aplicând} din nou propoziþia 6, din (2) rezultã _cã_: Prin urmare:

 

 



ln2 2



F. DIFEREN

Þ

IALE DE O

RDIN SUPERIOR

Fie f : A  IRp  IRq o funcþie diferenþiabilã în punctul aÅ. Diferenþiala funcþiei f în punctul a se mai numeºte diferenþiala de ordinul întâi a funcþiei f în

punctul a. Ne propunem aici sã _{introducem, ca în cazul derivatelor parþiale ori a celor} dupã _{vectori, diferenþiale de ordin superior pentru funcþia f în punctul a.}

În schimb dacã _{f este diferenþiabil}ã _{în a atunci d f}

a este o funcþie liniarã ºi

 

d f

d_{b a} =d_af ( vezi exemplul 10 ) pentru orice b IRp. Prin urmare, în acest context, folosirea sintagmei “derivata derivatei de ordin întâi este derivata de ordinul al doilea” este perfect justificatã_{, pe când – subliniem din nou – în acest context, expresia} “diferenþiala diferenþialei de ordinul întâi este diferenþiala de ordinul al doilea“ nu are acoperire logicã_.

Pe de altã _{parte, dac}ã _{f este diferenþiabil}ã _{pe A putem considera funcþia:} d f : A x IRp_→ IRq ,

 

x,h d_xf

 

h ,

deci funcþia care asociazã _{cuplului (x,h)} _{A x IR}p _diferenþiala în xA a func_{þiei f} calculatã în h _IRp_{( adic}ã _{o funcþ}ie de 2p variabile ); fixând h IRp _{obþinem restricþia} acestei funcþii:

 

h :A

df IRq,xdxƒ(h),

restricþie care ne permite sã _{introducem diferenþiala de ordinul al doilea a funcþiei f în} a.

Definiþia 10. Fie f :A  IRp → IRq o funcþie diferenþiabilã în punctul aA. Dacã _{pentru orice h} _IRp _funcþia:

df(h):A→ IRq, xd_xf

 

h (*) este diferenþiabilã _{în a spunem c}ã _{f este diferenþiabil}ã _{de dou}ã _{ori în a, iar diferenþiala} acestei funcþii calculatã în h _IRp_{, d}



_df

 

_h

 

_h

a se noteazã cu d f

 

h 2

a ; funcþia

: f

d2_a IRp→ IRq, hd2_af

 

h

se numeºte diferenþiala de ordinul al doilea ( diferenþiala a II _–a ) a funcþiei f în

punctul a.

Teorema 8. Funcþia diferenþiabilã _{f :A}  _IRp _{→ IR}q _{este diferenþiabil}ã _de douã ori în punctul aA dacã _{ºi numai dac}ã _{derivatele parþiale de ordinul întâi ale lui f} sunt diferenþiabile în a. În acest caz:

 

i j j

i 2 p

1 j p

1 i 2

a adxdx

x x

f f

d

 

 





 

.

Demonstraþie. 1. Dacã _{f este diferenþiabil}ã _{de dou}ã _{ori în punctul a aplicaþia} (*) este diferenþiabilã _{ºi pentru}

i

e

h , i= p1, , adicã _aplicaþia

 

 

_x x

f e f d x

i i

x

  



(care este chiar funcþia fx_i) este diferenþiabilã în a, conform definiþiei 10. În plus:

 



df h

 

k

d_a =d f h_i

 

k

p

1 i

x a i 

  

  _





=

 

_{i j}

p

1 i

x x p

1 j

k h a f

j i 

  

  _





 

, deci:

 



 

 

i j j

i 2 p

1 j p

1 i

a ahk

x x

f k

h df d

 

 





 

(1) pentru orice h



h₁,...,h_p



, k



k₁,...,k_p



 IRp. Punând h=k obþinem diferenþiala a II–a a funcþiei f în a calculatã _{în h:}

 

 

i j

j i

2 p

1 j p

1 i 2

a ahh

x x

f h

f d

 

 





 

 

i j ordin superior.

Operatorul diferenþial de ordinul al doilea:

 

  proiecþiile constante ºi diferenþiem:

)

Analog pocedãm pentru calculul diferenþialelor de ordin n3.

Exemplul 26.Sã _calculã_{m d}2_{ f0,0 pentru funcþia f}

 

_x,y  _x2_ey _y2_ex_{. Cum}

Prin acelaºi procedeu: