INPUT 8A SIFAT-SIFAT KERATAN

SIFAT-SIFAT KERATAN

OBJEKTIF AM :

Mempelajari dan memahami sentroid, momen luas kedua dan modulus keratan .

OBJEKTIF KHUSUS:

Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat:-

 Menerangkan kesan daya sisi ke atas keratan rasuk.

 Mengira nilai momen luas kedua (momen sifat tekun) .

INPUT 8A

SIFAT-SIFAT KERATAN

8.0 PENGENALAN

Cuba anda perhatikan kedua-dua rasuk pada rajah 8.1. Kedua-dua rasuk tersebut menerima tahap pembebanan yang sama. Pertimbangkan…….

 Rasuk manakah yang anda fikir LEBIH kukuh?

 Sekiranya anda menjawab rasuk A; apakah rasionalnya?

 Sekiranya anda menjawab rasuk B; apakah rasionalnya?

 Adakah bentuk keratan rasuk menentukan tahap kekukuhan sesuatu rasuk?

Amnya terdapat pelbagai bentuk anggota struktur yang digunakan dalam bidang Kejuruteraan Awam. Sebagaimana dalam rajah 8.1, rasuk A mempunyai bentuk keratan rentas segiempat sama manakala rasuk B mempunyai bentuk keratan rentas segiempat tepat. Selain daripada jenis bahan yang digunakan (i.e konkrit atau keluli), bentuk anggota struktur juga menentukan kekuatan dan ketegaran sesuatu struktur.

Persoalan rasuk manakah yang lebih kukuh dapat ditentukan dengan menganalisis nilai momen luas kedua. Penentuan nilai momen luas kedua sangat berkait rapat dengan sentroid. Oleh yang demikian, unit ini akan membincangkan dengan lebih lanjut berhubung sentroid dan momen luas kedua bagi bentuk keratan yang lazim dalam bidang kejuruteraan.

8.1 KESAN DAYA SISI

Pertimbangkan dua bentuk rasuk mudah yang dibebankan seperti rajah 8.2(a) dan 8.2 (b). Kedua-dua jenis rasuk tersebut mengalami lenturan pada arah yang berbeza. Lenturan tersebut ditindakkan oleh beban momen pada bahagian sisi rasuk tersebut. Kesan beban momen adalah wujudnya momen lentur yang seterusnya menyebabkan berlaku tegasan lentur dalam rasuk.

Perhatikan filamen pada rasuk yang melendut (rajah 8.2a), permukaan atas rasuk mengalami mampatan dan beransur kurang sehingga permukaan bawah rasuk pula mengalami zon tegangan. Bayangkan sekiranya rasuk tersebut terdiri dari ratusan lapisan filamen. Adakah terdapat filamen yang tidak mengalami apa-apa perubahan i.e. mampatan atau tegangan? Ya, memang terdapat filamen yang tidak mengalami ubahbentuk dan ia terletak pada satah neutral. Satah neutral bagi sesuatu jasad amnya, melalui pusat graviti, manakala bagi satu unsur luasan, ia melalui titik sentroid. Bahagian yang seterusnya akan membincangkan sentroid dengan lebih lanjut.

W

B A

Rajah 8.2(a) : Rasuk Melendut

Zon Mampatan

M M

Zon Tegangan

A B Zon Tegangan M M

Zon Mampatan W

Rajah 8.2(b) : Rasuk Meleding

8.2 SENTROID

Anda pasti maklum bahawa bumi berputar pada paksi yang melalui pusat di mana semua jisimnya terpumpun; ia dikenali sebagai pusat graviti. Sentroid merupakan istilah yang digunakan untuk menggambarkan pusat bagi sesuatu satah luasan (bahan yang tidak mempunyai jisim). Kedua-dua pusat graviti dan sentroid merupakan titik keseimbangan. Amnya sentroid boleh dianggap pusat graviti bagi sesuatu bentuk yang hanya mempunyai luasan dan tidak mempunyai berat. Penentuan kedudukan titik sentroid boleh ditentukan berdasarkan bentuk geometri.

8.2.1 Sentroid Bentuk Geometri Asas

Kedudukan titik sentroid lazimnya berpandukan kepada paksi rujukan iaitu paksi pugak (y) dan paksi ufuk (x). Nilai sentroid ditulis dalam sistem koordinat (x,y). Rajah 8.3 menunjukkan kedudukan titik sentroid, s bagi bentuk geometri asas.

8.2.2 Sentroid Bentuk Yang Mempunyai Dua Paksi Simetri

Terdapat bentuk yang mempunyai gabungan beberapa bentuk geometri asas yang mempunyai dua paksi simetri. Sentroid bagi bentuk ini adalah garispusat persilangan kedua-dua paksi. Ianya sangat mudah untuk ditentukan, hanya perlu membahagi dua nilai lebar bentuk bagi mendapatkan nilai x dan membahagi dua nilai tinggi bagi mendapatkan nilai y. (Rajah 8.4)

S

S

(a) Bentuk ‘I’ (b) Bentuk Bulatan Berongga

8.2.3 Sentroid Bagi Luas Komposit

Terdapat bentuk geometri yang langsung tidak mempunyai paksi simetri. Ia mungkin terdiri dari gabungan pelbagai bentuk geometri asas dan mempunyai keluasan rencam/komposit. Sentroid bentuk komposit dapat ditentukan dengan kaedah momen. Pertimbangkan bentuk seperti rajah 8.5.

Bentuk komposit pada rajah 8.5 mempunyai rongga/lubang bulat. Bagi memudahkan kiraan, bentuk di atas dibahagikan kepada tiga komponen bentuk geometri i.e segitiga, segiempat, bulatan dan masing-masing mempunyai keluasan A1, A2 dan A3.

Katakan:-

= Komponen 1 @ A1

= Komponen 2 @ A2

= Komponen 3 @ A3

x1, x2, x3 = Jarak sentroid komponen dari paksi y y1, y2, y3 = Jarak sentroid komponen dari paksi x

y

y1 y2 y3

x1 x x2

x3

Rajah 8.5 : Bentuk Komposit



Menentukan sentroid keratan dengan dua paksi simetri

Tentukan kedudukan sentroid bagi keratan pembentung kekotak pada rajah 8.6. Pembentung tersebut mempunyai keratan 1000mm x 800mm dengan ketebalan 300mm.

Rajah 8.6 : Keratan Pembentung Kekotak

Penyelesaian

 Kedudukan sentroid ke paksi y, x = 2

b

= 2 800

= 400mm

 Kedudukan sentroid ke paksi x, y = 2

h

= 2 1000

= 500mm

PENYELESAIAN MASALAH 8 a

1000mm

800mm

Tips…..

Keratan di atas mempunyai dua paksi simetri, maka sentroid bagi keratan ini terletak pada persilangan kedua-dua paksi.

y

Menentukan sentroid keratan dengan satu paksi simetri

Tentukan kedudukan sentroid bagi keratan rasuk ‘T’ seperti rajah 8.7.

Bentuk ‘T’ mempunyai satu paksi simetri, yy. Dengan itu kedudukan sentroid merujuk kepada paksi y, x

boleh ditentukan dengan membahagi dua lebar keratan ‘T’ tersebut i.e 75mm. Hanya kedudukan ysahaja

Menentukan sentroid keratan komposit

Tentukan kedudukan sentroid bagi bentuk seperti pada rajah 8.8.

y 120mm

2 40mm

140mm 1

x 40mm

Rajah 8.8: Keratan Tidak Simetri Penyelesaian

A1 = 140 x 40

= 5600mm2

A2 = 80 x 40

= 3200mm2

Kedudukan sentroid bentuk 1 ke paksi x, y1 = 140  2

= 70mm

Kedudukan sentroid bentuk 2 ke paksi x, y₂ = 100 2 40 _

= 120mm

Kedudukan sentroid bentuk 1 ke paksi y, x₁ = 40  2

= 20mm

Kedudukan sentroid bentuk 2 ke paksi y, x₂ = 40 2 80 _

= 80mm

Tips…..

Bagi memudahkan kiraan, bahagikan bentuk tersebut kepada bentuk geometri asas i.e dua komponen segiempat tepat.

sambungan ...

Dengan menggunakan formula sentroid untuk bentuk komposit;

Menentukan sentroid luas komposit

Tentukan kedudukan sentroid bagi luas yang berwarna pada rajah 8.9.

Rajah 8.9 : Keratan Simetri Pada Satu Paksi Penyelesaian

(i) Jarak sentroid dari paksi y, x = 30mm#(keratan simetri pada paksi y)

(ii) Jarak sentroid dari paksi x, y , diselesaikan dalam jadual.

 SEBELUM MENERUSKAN KE INPUT YANG BERIKUTNYA, SILA UJI KEFAHAMAN ANDA.

 SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DI

HALAMAN BERIKUTNYA.

8.1

Benar

–

Palsu [ Tandakan



pada kotak yang berkenaan ]

(a) Sentroid adalah titik di mana semua jisim sesuatu jasad terpumpun.

Benar Palsu

(b) Sentroid bagi bentuk yang mempunyai dua paksi simetri adalah titik persilangan paksi-paksi tersebut.

Benar Palsu

(c) Sentroid merupakan satu kriteria penting dalam penentuan sifat keratan.

Benar Palsu

(d) Sekiranya keratan mempunyai paksi simetri y-y, hanya jarak yperlu dikira.

Benar Palsu

8.2 Nyatakan jarak y ke sentroid suatu keratan semi bulatan dengan jejari r.

_____________

8.3 Lakarkan kedudukan sentroid bagi bentuk keratan pada rajah 8.10.

Rajah 8.10: Keratan Simetri

8.4 Tentukan kedudukan sentroid bagi keratan segiempat tepat yang mempunyai ukuran 50mm lebar dan 100mm dalam.

8.1 (a) Palsu

(b) Benar

(c) Benar

(d) Palsu

8.2 y=  3 4r

8.3

8.4 y= 2

b

= 2 50

= 25mm#

x= 2

h

= 2 100

= 50mm#

SIFAT-SIFAT KERATAN

8.3 MOMEN LUAS KEDUA

Momen luas kedua juga di kenali sebagai momen sifat tekun. Momen luas kedua melambangkan kekukuhan sesuatu bentuk luasan. Ianya ditakrifkan sebagai momen dari momen luas pertama. Antara lain, momen luas kedua merupakan luasan didarab dengan kuasa dua lengan momen terhadap sesuatu paksi. Nilainya tidak sama bagi paksi yang berlainan.

Rajah 8.11 : Unsur Luas A

Momen luas kedua terhadap paksi x;

Ix = dA A

y



2

Momen luas kedua terhadap paksi y;

Iy = dA

A

x



2

dA x

y

x y



Bentuk A (mm2) Ipg Ixx

Ipg = Asalan paksi-paksiterletak di sentroid

Di dalam merekabentuk sesuatu anggota struktur, keupayaan sesuatu anggota menanggung beban merupakan faktor yang penting. Nilai momen luas kedua merupakan antara faktor yang utama bagi memastikan kemampuan anggota struktur menanggung beban kenaan. Pertimbangkan dua keratan rasuk segiempat tepat berikut;

Kedua-dua rasuk mempunyai luas keratan yang sama, namun nilai momen luas kedua, Ipg yang berbeza. Keratan yang pertama memberi nilai momen

luas kedua yang lebih besar, dengan itu ianya lebih kukuh dari bentuk yang kedua. Bagi tujuan perbandingan, pertimbangkan keratan bagi bentuk pada rajah 8.14.

(i) (ii)

Ix’ =

12

3 bh

Ix’ =

12

3 hb

Rajah 8.13 : Keratan Segiempat Tepat b

h x x

x x b

Bentuk rasuk Luas keratan rentas

Momen luas kedua

100 mm

200 mm A = 20 x 103 mm2 I = 66.7 x 106 mm4

A = 20 x 103 mm2 I = 172.2 x 106 mm4

A = 20 x 103 mm2 I = 228.4 x 106 mm4

50 mm

200mm

A = 20 x 103 mm2 I = 191.7 x 106 mm4

Rajah 8.14 : Bentuk Keratan Sama Luas 40 mm

240 mm 300 mm

40 mm

100 mm

300 mm

50 mm 50 mm

100 mm

50 mm

Daripada rajah 8.14 kita dapati luas keratan rasuk yang sama tetapi memberi nilai momen luas kedua yang berbeza. Jelas, bentuk keratan mempengaruhi nilai momen luas kedua dan seterusnya keupayaan rasuk menanggung beban.

x’

Teorem paksi selari menyatakan bahawa momen luas kedua terhadap sesuatu paksi mempunyai kaitan dengan momen luas kedua pada paksi sentroid sesuatu luas keratan. Momen luas kedua terhadap sebarang paksi andaian dalam arah x di berikan oleh;

Ix = dA A

y



2

--- (i)

Pertimbangkan satu luasan seperti berikut

Rajah 8.15 : Unsur Luasan A

 Kedudukan paksi sentroid x’ yang melalui titik sentroid, s adalah selari dengan paksi x.

 d, merupakan jarak antara dua paksi i.e paksi x dan paksi sentroid.

 _{Jarak luas satu unsur kecil dA dari paksi x ialah y = y’ + d}

 Kamiran pertama :- Momen luas kedua melalui paksi sentroid

 Kamiran kedua :- Memberi nilai sifar kerana jumlah momen pada

d

b

8.4 MODULUS KERATAN

Takrifan: Nisbah di antara nilai momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi sesuatu keratan dengan jarak terjauh diantara paksi sentroid

dengan bahagian bawah/atas keratan.

Lazimnya simbol yang digunakan adalah Z.

Pertimbangkan keratan segiempat tepat dengan lebar, b dan tinggi, d seperti pada rajah 8.16.

Rajah 8.16 : Keratan Rasuk

Anggap Ix sebagai momen luas kedua sekitar paksi xx.

Zx =

= 2

b I_xx

( di mana b/2 merupakan jarak sentroid terjauh ke hujung keratan @ ymak)

@

y

x x

y

Momen luas kedua terhadap paksi sentroid Jarak terjauh keratan dengan paksi sentroid

Z= max

y I

50mm

50mm

Mengira momen luas kedua bentuk geometri asas

Kirakan momen luas kedua bagi segiempat tepat melalui paksi x.(Rajah 8.17)

Rajah 8.17

x

Penyelesaian

Bagi segiempat tepat, momen luas kedua sekitar paksi sentroid;

Ipg =

Menentukan momen luas kedua bentuk ‘T’

(i) Bahagikan keratan ‘T’ kepada dua komponen segiempat tepat. (ii) Tentukan kedudukan sentroid.

Keratan T menpunyai paksi simetri pada

(iii) Menentukan momen luas kedua untuk dua komponen keratan ‘T’.

Komponen 1

Ipg =

12

3 bh

= 12

10 100x 3

= 8.33 x 103 mm4

Dari teorem paksi selari ;

Ipg1 = Ipg + Ad2

= 8.33 x 103 + [1000 x (105 – 77.5)2]

= 7.65 x 105 mm4

Komponen 2

Ipg =

12

3 bh

= 12

100 10x 3

= 8.33 x 105 mm4

Dari teorem paksi selari ;

Ipg2 = Ipg + Ad2

= 8.33 x 105 + [1000 (77.5 – 50)2]

= 1.59 x 106 mm4

Momen luas kedua sekitar paksi sentroid;

Ipg = Ipg1 + Ipg2

= 7.65 x 105 + 1.59 x 106

= 23.55 x 105 mm4 #

Menentukan momen luas kedua keratan ‘I’

__________________________________________________________________

Kirakan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi satu rasuk keratan – I seperti rajah 8.20.

Rajah 8.20 : Keratan -I Penyelesaian

(i) Bahagikan keratan-I kepada tiga komponen segiempat. (ii) Tentukan kedudukan sentroid.

x

- Anggap y, sebagai jarak sentroid bagi setiap komponen dengan bahagian tapak keratan, paksi x.

- Anggap y sebagai jarak sentroid keratan-I dengan tapak keratan, paksi x

Komponen 1

A1 = 60 x 20

= 1200 mm2

y1 = 20 + 100 + 20 ₂

= 130 mm

PENYELESAIAN MASALAH 8h

100mm 60mm

20mm

20mm 100mm 20mm

1

 SEBELUM MENERUSKAN KE INPUT YANG BERIKUTNYA,

SILA UJI KEFAHAMAN ANDA.

 SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DI

HALAMAN BERIKUTNYA.

8.5

Benar

–

Palsu [ Tandakan



pada kotak yang berkenaan ]

(a) Momen luas kedua menunjukkan kekukuhan sesuatu keratan.

Benar Palsu (b) Teorem paksi selari hanya boleh digunapakai sekiranya salah satu paksi keratan adalah paksi sentroid.

Benar Palsu

(c) Momen luas kedua adalah salah satu kriteria untuk menentukan ketahanan sesuatu bentuk keratan menahan lenturan

Benar Palsu

(d) Keratan segiempat tepat lebih kukuh dari keratan –T.

Benar Palsu

8.6 Bandingkan dua keratan rasuk berikut dan nyatakan keratan manakah yang lebih kukuh.

(a) (b)

8.7 Kirakan momen luas kedua bagi keratan segiempat tepat sekitar paksi

sentroid. Keratan tersebut mempunyai ukuran 60mm lebar dan 40mm dalam.

8.8 Tentukan modulus keratan bagi keratan pada (8.3).

8.9 Kirakan momen luas kedua bagi keratan bulat bergarispusat 40mm terhadap paksi sentroid.

AKTIVITI 8B

b

h x x b

8.5 (a) Benar

(b) Benar

(c) Benar

(d) Palsu

8.6 Keratan (a)

8.7 Ix = 7.2 x 105 mm4

Iy = 3.2 x 105 mm4

8.8 Zx = 3.6 x 104 mm3

Zy = 1.6 x 104 mm3

8.9 125.7 x 103 mm4

_______________________________________________________________________________________________________

SEKIRANYA ANDA TELAH YAKIN , ANDA BOLEH MENCUBA

PENILAIAN KENDIRI BERIKUTNYA.

30mm

40mm 20mm

20mm

ANDA DIGALAKKAN MEMBUAT RUJUKAN TAMBAHAN

1. Satu per empat daripada keratan rasuk 50mm x 50mm seperti rajah di bawah telah di potong. Tentukan kedudukan sentroid dan nilai momen luas kedua sekitar paksi sentroid.

2. Kirakan momen luas kedua bagi keratan T di sekitar paksi sentroid. Tentukan juga modulus keratan bagi keratan tersebut.

3. Tentukan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi keratan yang ditunjukkan di bawah. Keratan tersebut mempunyai lubang bergarispusat 15mm.

PENILAIAN KENDIRI

90mm 15mm

4. Kirakan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi keratan rasuk H di bawah.

5. Kirakan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi keratan pembentung kekotak di bawah.

-

SELAMAT MENCUBA

–

40mm

70mm

10mm 10mm

5mm

15mm

15mm

75mm

Anda digalakkan membuat rujukan tambahan dan menyemak

jawapan dengan pensyarah.

___________________________________________________________