ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER
FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN
METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
NUR AISYAH 110803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN
METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
NUR AISYAH 110803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : Analisis Numerik untuk Persoalan Water Flo-oding dengan Menggunakan Metode Volume Hingga
Kategori : SKRIPSI
Nama : Nur Aisyah
Nomor Induk Mahasiswa : 110803010
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETA-HUAN ALAM
Medan, Agustus 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Dr. Esther S.M. Nababan, M.Sc Dr. Mardiningsih, M.Si NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19630405 198811 2 001
Diketahui oleh :
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING
DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Agustus 2015
NUR AISYAH
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah
me-limpahkan rahmat dan karuniaNya serta memberikan banyak kemudahan sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”Analisis Numerik pada
Perso-alanWaterfloodingdengan Menggunakan Metode Volume Hingga” . Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallallahu ’Alaihi wa Sallam, keluarga,
para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada orang tua penulis yang
begitu sabar dan selalu mendukung penulis baik secara moril maupun materi,
kepa-da abangkepa-da Rahmat Hikepa-dayat kepa-dan adinkepa-da Ade Irma Suryani selalu setia
mengingatk-an, setia mendengar curahmengingatk-an, memberikan nasihat dan memberi motivasi kepada
penulis .
Dengan tulus penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Tulus, M.Si
selaku ketua Departemen Matematika yang banyak berjasa kepada penulis dimana
beliau telah banyak meluangkan waktu untuk memberikan masukan, kritik, saran
dan perbaikan untuk skripsi ini. Beliau telah memberikan berbagai fasilitas yang
lebih dari apa yang dibutuhkan oleh penulis, sehingga penulis merasa fokus dan
nyaman dalam mengerjakan skripsi, kepedulian beliau terhadap penulis tidak akan
pernah penulis lupakan dan penulis sangat bersyukur pernah mengenal beliau dan
menjadi pembimbing bagi penulis.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku
pem-bimbing I yang telah meluangkan waktu, pikiran dan bersedia mendengarkan
keluh-an dkeluh-an curahkeluh-an penulis serta bkeluh-anyak memberikkeluh-an nasehat kepada penulis, kepada
Ibu Dr. Esther Sorta Nababan, M.Sc selaku pembimbing II yang telah meluangkan
waktu, fikiran dan saran untuk perbaikan skripsi ini serta memberikan motivasi
ke-pada penulis bahkan disela kesibukannya masi meluangkan waktu keke-pada penulis
untuk mendengarkan keluhan dan curahan penulis.
Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Dr. Sawaluddin M.IT selaku
penguji I dan Bapak Dr. Syahriol M.IT selaku penguji II yang telah meluangkan
waktu, fikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan
sebagai pembelajaran bagi penulis.
penga-jar tetap University of Wyoming (USA) yang telah banyak membantu penulis,
bahk-an telah membbahk-antu secara penuh kepada penulis dalam menyelesaikbahk-an skripsi ini.
Mengajarkan penulis akan segala sesuatu tentang materi skripsi dimana penulis
ti-dak memiliki ilmu tentangnya sama sekali sebelum memulai menulis skripsi ini.
Untuk beliau, penulis ucapkan terima kasih sebesar-besarnya karena
pengorbanan-nya akan waktu, fikiran dan tenaga yang diberikan bagi penulis. Bapengorbanan-nyak hal yang
penulis pelajari dari beliau bahkan kesabaran yang ditunjukkan kepada penulis
ter-lebih ketika berdiskusi tentang code MATLAB. Walaupun terpaut jarak yang cukup
jauh namun beliau bersedia menghubungi penulis untuk menjelaskan materi yang
tidak penulis fahami hingga penulis dapat memahami materi, beliau juga bersedia
mendengarkan keluhan penulis dalam mengerjakan skripsi dan membantu
semam-punya. Penulis sangat bersyukur karena telah dipertemukan dengan beliau sebagai
dosen dan sahabat bagi penulis.
Terima kasih penulis ucapkan kepada seluruh dosen Matematika USU yang
telah membagikan ilmunya kepada penulis selama perkuliahan, terutama Bapak
Prof. Saib Suwilo yang memiliki kesan tersendiri bagi penulis ketika belajar
de-ngan beliau. Mudah-mudahan ilmu yang diberi dapat bermanfaat bagi penulis dan
orang lain, kepada seluruh staff administrasi FMIPA USU yang telah membantu
mengurus syarat-syarat kelengkapan administrasi tugas akhir, terlebih kepada bang
Bandi yang selalu mengingatkan penulis agar segera menyelesaikan tugas akhir
se-bagai syarat kelulusan.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapakan kepada teman-teman
seper-juangan matematika stambuk 2011 (GOLDEN GENERATION) terutama Tilsa
di-mana kami memiliki dosen pembimbing yang sama sehingga selalu bebagi keluh
kesah bersama dan saling membantu dan berbagi ilmu dalam mengerjakan
skri-psi, Sundari dan khairunisa yang selalu mendengar curahan, memberikan nasihat,
dukungan, berbagi ilmu dan saran kepada penulis sehingga dapat memberikan
kete-nangan bagi penulis, kepada Meriyanti, Mantari, Ratih dan Indah yang
memberik-an motivasi dmemberik-an berbagi ilmu kepada penulis, kepada kawmemberik-an-kawmemberik-an bidmemberik-ang murni
(joseph, tilsa, sundari, mantari, merryanty, ratih). Seluruh kawan-kawan yang
ti-dak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu yang telah memberikan dukungan
kepada penulis, kawan-kawan IM Kubik dan adik-adik stambuk yang selalu
Penulis sadar bahwa banyak kekurangan dari skripsi ini dikarenakan
keterba-tasan ilmu, oleh karenanya penulis mohon kritik dan saran yang membangun dari
pembaca untuk perbaikan skripsi ini. Atas perhatiannya penulis ucapkan terima
ka-sih, penulis berharap tulisan ini bermanfaat bagi penulis sendiri maupun bagi orang
lain.
Medan, Juli 2015
Penulis
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN
METODE VOLUME HINGGA
ABSTRAK
Simulasiwaterfloodingbiasanya dilakukan dengan menggunakan persamaan Buck-ley-Leverett (BL), yaitu persamaan transportasi pada fluida dinamik yang meng-gambarkan dua fase aliran fluida yang immisciblepada media berpori. Dalam hal ini, penulis memfokuskan diri pada efek nonekuilibrium dalam permeabilitas relatif dengan mengabaikan tekanan kapiler yang dapat digambarkan oleh model Baren-blatt yaitu model dari tekanan kapiler nonekuilibrium dan permeabilitas relatif. Pa-da kasus ini, flux Pa-dari setiap fase paPa-da persamaan BL tiPa-dak bergantung paPa-da saturasi saat ini saja (saturasi aktual), akan tetapi juga bergantung pada saturasi efektif (sa-turasi yang akan datang). Sehingga pada penyelesaiannya diperlukan persamaan evolusi yang diajukan oleh Barenblatt. Tulisan ini merupakan kajian ulang dari apa yang telah dilakukan oleh Juanes. Namun, penulis melakukan diskritisasi dengan menggunakanvertex centered finite volumepada hukum kekekalan masa (persama-an diferensial parsial) d(persama-an persama(persama-an evolusi (persama(persama-an diferensial biasa).
NUMERICAL ANALYSIS FOR WATER FLOODING PROBLEM USING FINITE VOLUME METHOD
ABSTRACT
Waterflooding simulation is usually done using Buckley-Leverett (BL) equation, which is the transport equation on dynamic fluid that describe two phase flow im-miscible in porous media. In this case, we focus on nonequilibrium effect in the relative permeability with neglible capillary pressure, described by Barenblatt mo-del, which includes both nonequilibrium capillary pressure and relative permeabili-ty. In this case, flux fluid of each phase on BL equation does not only depend on the current saturation (actual saturation) but also on the so called effective saturation. This paper is a review of what has been done by Juanes. However, the numerical discretization employs vertex centered finite volume for conservation laws (partial differential equation) and evolution relation (ordinary differential equation).
DAFTAR ISI
2.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori . . 11
2.2 Deret Taylor . . . 12
2.3 Metode Iterasi Newton Pada Sistem Aljabar . . . 12
2.4 Integrasi Numerik . . . 13
2.4.1 Aturan Trapesium . . . 15
2.4.4 Aturan Titik Kiri . . . 16
2.6 Solusi Numerik pada Persamaan Diferensial Partial . . . 22
2.6.1 Metode Volume Hingga . . . 24
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN . . . 29
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
2.1 Metode Pias . . . 14
2.2 Trapezoidal . . . 15
2.3 Aturan Titik Tengah . . . 15
2.4 Aturan Titik Kanan . . . 16
2.5 Aturan Titik Kiri . . . 17
2.6 Control Volume . . . 25
2.7 Upwinding . . . 26
2.8 Persamaan Burger dengan batas1−x2,∆t= 0.5dan∆x= 0.3. 28 3.1 Proses Injeksi . . . 29
3.2 Aliran Dua fase denganvR = 5 . . . 38
3.3 Aliran Dua Fase denganvR = 10 . . . . 39
3.4 Aliran Dua Fase dengan Efek Nonekuilibrium dimanavR= 3dan τ = 0.01 . . . . 46
DAFTAR ISTILAH
control volume : istilah yang digunakan untuk membetuk grid pada diskri-tisasi ketika menggunakan metode volume hingga
diskritisasi : membagi sebuah objek kontinu menjadi sejumlah bilangan berhingga dari unsur diskrit
equilibrium : setimbang
fluida : suatu zat yang dapat mengalir
hukum Darcy : persamaan yang mendefinisikan kemampuan suatu fluida mengalir melalui media berpori
hukum konservasi : hukum kesetimbangan dalam suatu proses alam
immiscible : tidak dapat tercampur
incompressible : suatu aliran tidak mengalami perubahan massa jenis ketika diberi tekanan
isothermal : perubahan yang terjadi pada suatu sistem dimana suhunya tetap
kapilaritas : peristiwa naik atau turunnya zat cair pada bahan yang ter-diri atas beberapa pembuluh halus akibat gaya adhesi atau kohesi
massa jenis : ukuran kerapatan benda yang homogen
mobilitas : perbandingan permeabiltas terhadap viskositas fluida nonequilibrium : ketidaksetimbangan
permeabilitas : kemampuan batuan dalam mendistribusiikan fluida
permeabilitas absolut : kemampuan batuan dalam mendistribusiikan semua fase fluida yang terkandung didalam batuan
permeabilitas efektif : kemampuan batuan dalam mendistribusiikan salah satu fluida yang terkandung didalam batuan
permeabilitas relatif : perbandingan dari permeabilitas efektif terhadap permea-bilitas absolut
porositas : perbandingan antara volume pori batuan yang berisi fluida dengan total volume batuan
reservoir : tempat berkumpulnya minyak dan gas bumi
saturasi : perbandingan antara volume pori batuan yang berisi fluida tertentu terhadap total volume pori batuan
steady state : kondisi dimana suatu system tidak mengalami perubahan walaupun waktu terus mengalaami perubahan atau disebut konstan
tekanan kapiler : selisih tekanan antara fluida yang dapat membasahi batuan terhadap fluida yang tidak dapat membasahi batuan upwind : salah satu teknik pendekatan numerik pada persamaaan
di-ferensial parsial
viskositas : ketahanan internal suatu fluida untuk mengalir
viskositas relatif : perbandingan antara viskositas fluida yang didorong (mi-nyak) terhadap viskositas pendorong (air)
