TUGAS DINAMIKA STRUKTUR
( Derajat kebebasan tunggal dan Derajat kebebasan banyak )ADVENTUS KRISTIAN TAMBUNAN
105060105111002
DERAJAT KEBEBASAN ( DEGREE OF FREEDOM )
Derajat kebebasan adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi berupa kordinat suatu sistem atau struktur pada setiap saat. Titik yang ditinjau derajatnya bergerak kearah Horisontal, Vertikal, dan rotasi.
Derajat kebebasan terbagi menjadi dua yaitu Derajat kebebasan tunggal/SDOF ( Single Degree Of Freedom ) dan Derajat kebebasan banyak/MDOF (Multi Degree Of Freedom ).
1. Derajat kebebasan tunggal/SDOF ( Single Degree Of Freedom )
Sistem derajat kebebasan tunggal adalah sistem pergerakan benda yang hanya memiliki satu sumbu koordinat sehingga benda hanya bergerak pada satu modus atau kejadian saja. Jadi jika benda mengalami suatu gaya yang akan merubah kedudukan benda tersebut maka benda tersebut akan bergerak kembali menuju kedudukan awalnya
Contoh 1, pegas yang ditekan akan kembali dalam bentuk awalnya. Sistem satu derajat kebebasan memiliki frekuensi natural dan memerlukan koordinat untuk menyatakan persamaan geraknya. Bila getaran terjadi pada frekuensi tersebut maka terdapat hubungan yang pasti antara amplitudo Dengan koordinat dan konfigurasinya dinyatakan sebagai ragam normal. Sehingga sistem getaran ini memiliki ragam normal sebagaimana frekuensi naturalnya.
Contoh 2, Suatu portal seperti gambar dibawah ini dibebani dengan beban dinamis P ( t ). Akibat beban P ( t ) portal akan bergoyang kekiri dan kekanan sepanjang sumbu X. Jadi portal disamping ini mempunyai satu derajat
kebebasan, atau Single Degree of Freedom dan disingkat S.D.O.F
Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa m, kekakuan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal.
Derajat kebebasan tunggal dibagi menjadi 2 yaitu : 1. Derajat kebebasan tunggal tak teredam
2. Derajat kebebasan tunggal teredam Derajat kebebasan tunggal tak teredam
Jika tidak ada kekuatan eksternal yang diterapkan pada sistem ini , maka f(t) = 0. Sistem akan mengalami gerakan bebas. Gerak sistem akan
dibentuk oleh gangguan awal (kondisi awal). Selain itu jika tidak ada resistensi atau redaman dalam sistem Cv = 0. Gerak osilasi akan berjalan terus dengan amplitudo yang konstan. Sistem seperti itu disebut undamped (tidak teredam) dan ditunjukkan pada gambar berikut :
Derajat kebebasan tunggal yang teredam
Derajat kebebasan tunggal yang teredam adalah derajat kebebasan sebagai isolator sederhana dengan redaman. Gaya – gaya ini melepaskan
energi lebih tepat lagi, adanya gaya geser yang tidak dapat diabaikan. Sistem seperti itu Dapat dilihat pada gambar
Persamaan Differensial Pada Struktur SDOF
System derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah salah satu contoh bangunan derajat kebebasan tunggal.
Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram, maka dapat diperoleh hubungan,
p(t) – fS – fD = mÿ atau mÿ + fD + fS = p(t) (pers.1)
dimana :
fD = c.ý
fS = k.y (pers.2)
Apabila persamaan 1 disubtitusikan ke persamaan 2 , maka akan diperoleh :
mÿ+ cý+ ky = p(t) ( pers.3 )
Persamaan (3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). pada problema dinamik. Yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaaan tersebut adalah y(t).
Persamaan Differensial Struktur SDOF akibat Base Motion
Beban dinamik yang umum dipakai pada analisa struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar.Tanah yang bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar. Di dalam hal ini masih ada
anggapan bahwa antara fondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersama-sama atau fondasi dianggap menyatu dengan tanah. Anggapan ini sebetulnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara tanah dan fondasi tidak akan bergerak secara
bersamaan. Fondasi masih akan bergerak horizontal relative terhadap tanah yang mendukungnya
Untuk menyusun persamaan differensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada
kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan difrensial gerakan massa struktur SDOF akibat
gerakan tanah selanjutnya dapat diturunkan dengan mengambil model seperti pada gambar :
( gambar 1. Struktur SDOF Akibat Base Motion )
Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar di atas maka deformasi total yang terjadi adalah :
Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia f1 tampak bahwa persamaan kesetimbangannya menjadi
fI + fD + fS = 0 ( pers 5 ) dimana inersia adalah,
fI = my t ( pers 6 )
Dengan mensubstisusikan persamaan (pers 2) dan (pers 6) ke (pers 4) dan (pers 6), sehingga diperoleh persamaaannya sebagai berikut,
my + cy + ky= - mÿg (t) ( pers 7 )
Persamaan tersebut disebut persamaan difrensial relative karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga – tiganya timbul akibat adanya simpangan relative. Ruas kanan pada persamaan (pers 7) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa :
2 Derajat kebebasan banyak/MDOF (Multi Degree Of Freedom )
MDOF (Multi Degree Of Freedom ) merupakan Struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak.
Contohnya Suatu portal 2 tingkat seperti gambar 9 dibawah ini dibebani dengan gaya dinamis sebesar F ( t ). Akibat beban dinamis portal akan
bergoyang kekanan dan kekiri sepanjang sumbu X. Lantai 1 akan bertranslasi y1 dan lantai 2 akan bertranslasi y2 . Sistem portal seperti gambar disamping ini dikatakan Multi Degree of Freedom dan disingkat M.D.O.F.
Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman
Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip
keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.
Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara
langsung dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram. maka akan diperoleh :
Pada persamaan-persamaan diatas tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan Tersebut bersifat coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut bergantung satu sama lain. Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakannya merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain.
persamaan-persamaan disusun berdasarkan parameter yang sama (percepatan, kecepatan dan simpangan) diperoleh :
Persamaan diatas dapat dibuat menjadi matriks-matriks sebagai berikut :
Persamaan 2.4.14 dapat dijadikan matriks yang lebih kompleks, yaitu: [M]{Ÿ} + [C]{Ỳ} + [K]{Y} = {F(t)}
Yang mana [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
Sedangkan {Ÿ}, {Ỳ} dan {Y} dan {F(t)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangandan vektor beban.
keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar :
Gambar Keseimbangan Gaya Dinamik dengan fS, fD, dan f1 Matriks Redaman
Pada persamaan diferensial di atas, maka tersusunlah berturut-turut matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. Kekakuan kolom dapat dihitung berdasarkan model kekakuan balok yang dipakai. Dengan demikian matriks kekakuan sudah dapat disusun dengan jelas. Apabila model distribusi massa struktur sudah dapat dikenali dengan baik, maka massa setiap derajat kebebasan juga dapat dihitung dengan mudah. Sehingga matriks massa juga dapat disusun secara jelas. Maka sesuatu yang perlu dibahas lebih lanjut adalah matriks redaman.
Non Klasikal / Non Proporsional Damping
Apabila matriks massa dan matriks kekakuan telah dapat disusun, maka selanjutnya tinggallah matriks redaman. Pada struktur SDOF, koefisien redaman c dapat dihitung yaitu merupakan produk antara rasio antara
redaman-redaman kritik. Sistem redaman ada dua yaitu redaman klasik (
clasiccal damping ) dan redaman non-klasik ( non clasiccal damping ).
Pada gambar 2.4.a tampak kombinasi antara struktur beton di bagian bawah misalnya dan struktur baja pada bagian atas. Jenis bahan akan
mempengaruhi rasio redaman. Antara struktur beton dan struktur baja akan mempunyai perbedaan rasio redaman yang cukup signifikan. Oleh karena itu sistem struktur mempunyai rasio redaman yang berbeda. Pada gambar 2.4.b adalah sistem struktur yang memperhitungkan efek / pengaruh tanah dalam analisis struktur. Analisis struktur seperti itu biasanya disebut analisis
interaksi antara tanah dengan bangunan (soil-structure interaction analysis). Struktur tanah umumnya mempunyai kapasitas meredam energi atau
mempunyai rasio redaman yang jauh lebih besar daripada bangunan atas. Disamping itu interaksi antara tanah dan fondasi sebenarnya adalah interaksi
frequency dependent, artinya kualitas interaksi akan dipengaruhi oleh frekuensi beban yang bekerja.
(a) (b)
Apabila interaksi antara tanah dengan struktur dipengaruhi frekuensi, maka kekakuan dan redaman interaksi juga frequency dependent. Dengan
memperhatikan kenyataan-kenyataan seperti itu maka ada empat hal yang perlu diperhatikan. Pertama rasio redaman struktur atas yang dipengaruhi oleh level respon, kedua rasio redaman pada stuktur atas dan bawah sangat berbeda, ketiga rasio redaman struktur bawah tergantung pada frekuensi beban dan keempat sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes. Apabila analisis struktur akan memperhatikan hal itu semua, maka problemnya tidak hanya terletak pada redaman tetapi penyelesaian yang komprehensif terhadap sistem struktur.
Klasikal / Proposional Damping
Damping dengan sistem ini relatif sederhana bila dibanding dengan nonklasikal damping. Namun demikian penggunaan sistem damping seperti ini juga terbatas, yaitu hanya dipakai pada analisis struktur yang tidak memperhatikan interaksi antara tanah dengan bangunan. Analisis struktur yang menggunakan damping jenis ini adalah analisis struktur elastik maupun inelastik yang mana struktur bangunan dianggap dijepit pada dasarnya.
Pada analisis dinamik yang menggunakan superposisi atas persamaan independen (uncoupled modal superposition method) maka masih dapat
dipakai, prinsip ekivalen damping rasio, yaitu yang dinyatakan dalam bentuk, Cj = 2 ξj Mj ωj (2.4.18)
yang mana Cj, Mj adalah suatu simbol yang berasosiasi dengan mode j, ξ dan ω j berturut-turut adalah rasio redaman dan frekuensi sudut mode ke-j.
Untuk menyederhanakan persoalan umumnya dipakai rasio redaman yang konstan, artinya nilai rasio redaman diambil sama untuk semua mode. Cara ini mempunyai kelemahan, karena pada mode yang lebih tinggi
umumnya frekuensi sudut ω dan rasio redaman ξ akan lebih besar.
Pada analisis dinamik yang melakukan integrasi secara langsung dan analisis dinamik inelastik, maka konsep ekivalen damping ratio sebagaimana tercantum pada persamaan 2.4.18 tersebut tidak dapat dipakai.Pada kedua analisis ini diperlukan suatu matriks redaman, dan oleh karenanya matriks redaman perlu disusun. Didalam analisis tersebut damping matriks disusun berdasarkan satu dan dua nilai proporsional damping. Terdapat beberapa sistem redaman proporsional yang dapat disusun yang secara skematis ditunjukkan oleh gambar.
DAFTAR PUSTAKA http://delvianaeputri.blogspot.com/2011/05/sistem-sdof.html http://triwahyukuningsih.wordpress.com/2011/05/16/derajat-kebebasan-degree-of-freedom-dof/ http://nonadayu.blogspot.com/2011/06/derajat-kebebasan-degree-of-freedom.html http://lutfy-fynduk.blogspot.com/2011/05/v-behaviorurldefaultvmlo.html .
