Koreksi Boson Gauge
SU(6) dalam Anomali
NuTeV
Skripsi
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains
Ardy Mustofa
0300020111
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan ALam
Universitas Indonesia
Depok
2004
Lembar Persetujuan
Judul Skripsi : Koreksi Boson Gauge SU(6) dalam Anomali NuTeV
Nama : Ardy Mustofa
NPM : 0300020111
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui
Depok, 20 Oktober 2004 Mengesahkan
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. L. T. Handoko Dr. Terry Mart
Penguji I Penguji II
Kata Pengantar
Seiring dengan perkembangan teknologi, eksperimen-eksperimen dibidang par-tikel mengalami peningkatan dalam hal skala energi. Diharapkan dengan pe-ningkatan skala energi ini akan dapat ditemukan partikel-partikel yang sudah diprediksi secara teoritik dalam teori Standard Model, serta meningkatkan keaku-ratan dari nilai parameter-parameter yang telah diukur. Semakin akurat nilai parameter-parameter yang telah kita ketahui akan semakin menguji kebenaran dari teori tersebut.
Suatu hal yang menarik adalah apabila nilai parameter yang sama yang telah kita ukur dengan eksperimen pada skala energi yang lebih tinggi memiliki ni-lai yang berbeda (perbedaan yang cukup signifikan) dengan apa yang telah kita dapatkan sebelumnya dengan skala energi yang lebih rendah (tentu dengan ekspe-rimen yang berbeda). Hal inilah yang membuat para fisikawan teoritik berusaha untuk mengkaji kembali teori yang dipakai atau membuat teori yang lebih umum dari teori telah ada, sehingga dapat menjawab permasalahan-permasalahan yang muncul pada skala energi yang lebih tinggi.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Pak Handoko yang telah membim-bing penulis dengan sabar, penuh pengertian, dan juga selalu memberi semangat untuk segera menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Pak Terry, Pak Anto, Mas Haryo di Fermilab yang telah mem-berikan ide, dorongan semangat, peminjaman buku, pemberian referensi paper, serta jawaban dari pertanyaan yang saya tidak mengerti, dan untuk teman-teman di Lab teori yang telah membantu saya dalam menulis tugas akhir dalam format latex, Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak lain yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung yang namanya tidak bisa disebutkan satu-persatu.
Hasil karya ini tidaklah sempurna. Penulis menerima saran dan kritikan yang membangun dari para pembaca.
Abstrak
Kolaborasi NuTeV telah melaporkan sebuah anomali sebesar ∼ 3σ dalam perbandingan dari NC/CC untuk deep inelastic scattering νµ-nukleon. Kami
telah menghitung koreksi yang berasal dari boson gauge dalam teori SU(6) un-tuk anomali NuTeV, dengan membandingkan hasilnya dengan hasil dari teori Standard Model, untuk nilai a = 1.1 akan kita dapatkan nilai GN/GF berada
diantara 0.0331 dan 0.0818, sedangkan untuk nilai a = 1.5 akan kita dapatkan nilai GN/GF berada diantara 0.0064 dan 0.0154.
Kata kunci: Kolaborasi NuTeV, deep inelastic scattering, boson gauge SU(6). viii+30 hlm.; lamp.
Daftar Acuan: 34 (1961-2004)
Abstract
The NuTeV collaboration has reported a ∼ 3σ anomaly in the NC/CC ratio of deep-inelastic νµ-nucleon scattering. We have evaluated correction from gauge
boson SU(6) Grand Unified Theories to the NuTeV anomaly, compared this result with the Standard Model theory, for a = 1.1 we get the value for GN/GF between
0.0331 and 0.0818, otherwise, for a = 1.5 we get GN/GF between 0.0064 and
0.0154.
Keywords: NuTeV Collaboration, deep inelastic scattering, SU(6) gauge boson. viii+30 pp.; appendices.
Daftar Isi
Kata Pengantar iii
Abstrak v
Daftar Isi vi
Daftar Gambar viii
1 Pendahuluan 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . 2
1.3 Metode Penelitian . . . 3
1.4 Tujuan Penelitian . . . 3
2 Tinjauan Pustaka 4 2.1 Teori Glashow-Weinberg-Salam (GWS) . . . 4
2.1.1 Massa Boson Gauge . . . 5
2.1.2 Coupling dengan Fermion . . . 7
2.1.3 Massa Fermion dan Mixing pada Fermion . . . 9
2.2 Konsekuensi Eksperimen dari Teori GWS . . . 11
2.3 Gambaran Singkat Teori SU(6) . . . 15
3 Neutrino Deep Inelastic Scattering 16 3.1 Kinematik Deep Inelastic Scattering . . . 16
3.2 Cross Section Hamburan Neutrino-Nukleon . . . 18
4 Hasil dan Pembahasan 25
5 Kesimpulan dan Saran 30
A Notasi 31
B Perhitungan 32
Daftar Gambar
2.1 Beberapa proses yang melibatkan coupling antara weak boson de-ngan fermion. . . 12 3.1 Skema proses deep inelastic scattering dengan partikel datang
beru-pa lepton (e,µ,ν) dan target beruberu-pa nukleon. . . 17 3.2 Diagram Feynman untuk CC dan NC hamburan neutrino-quark. . 22 4.1 Diagram Feynman untuk CC dan NC hamburan neutrino-quark
dalam teori SU(6). . . 26 4.2 Grafik Rν vs G
N/GF untuk hasil yang diprediksi SM dengan global
fit, hasil eksperimen NuTeV dan hasil koreksi teori SU (6) untuk nilai a = 1.1 dan a = 1.5 . . . 28 4.3 Grafik Rν vs a untuk hasil yang diprediksi SM dengan global fit,
hasil eksperimen NuTeV dan hasil koreksi teori SU (6) untuk nilai GN/GF = 0.01 dan GN/GF = 0.05 . . . 29
Bab 1
Pendahuluan
1.1
Latar Belakang Masalah
Keingintahuan manusia tentang alam semesta ini telah membawa manusia kepada suatu peradaban yang tinggi dengan majunya ilmu pengetahuan dan teknologi. Yang menjadi pertanyaan mendasar yang membawa manusia kepada tingginya peradaban tersebut adalah: “Apakah yang menjadi penyusun alam semesta ini?”, dan “Bagaimanakah interaksinya?”. Hal inilah yang menjadi sebuah dasar dalam perkembangan sains saat ini.
Hingga saat ini (sampai dengan skala eksperimen beberapa ratus GeV) telah diketahui bahwa partikel dasar penyusun alam semesta ini terbagi menjadi dua macam, yaitu fermion dan boson. Fermion yang menjadi partikel dasar terbagi menjadi dua grup: quark dan lepton. Quark berinteraksi melalui gaya magnetik, gaya kuat, dan gaya lemah. Lepton berinteraksi melalui gaya elektro-magnetik dan gaya lemah. Quark dikatakan memiliki enam buah flavor, mereka adalah up (u), down (d), charm (c), strange (s), top (t), dan bottom (b). Lepton dikatakan memiliki tiga buah tipe, yaitu elektron (e) dan neutrinonya (νe), muon
(µ) dan neutrinonya (νµ), serta tau (τ ) dan neutrinonya (ντ). Sedangkan boson
yang menjadi partikel dasar adalah gluon yang menjadi mediasi dalam interaksi kuat, photon yang menjadi mediasi dalam interaksi elektromagnetik, serta boson W dan Z yang menjadi mediasi dalam interaksi lemah.
Sedangkan terdapat empat buah interaksi yang terjadi di alam semesta yang masih diyakini hingga saat ini, keempat buah interaksi tersebut adalah interaksi kuat, interaksi elektromagnetik, interaksi lemah, dan interaksi gravitasi. Diantara
keempat buah interaksi ini, interaksi elektromagnetik-lah yang pertamakali dapat dimengerti dengan baik dan dapat dijelaskan dengan sangat baik oleh teori Quan-tum ElectroDynamics (QED), kemudian dibuat sebuah teori yang dapat menje-laskan interaksi kuat yang prototype-nya diambil dari teori QED yang diberi nama teori Quantum ChromoDynamics (QCD), walaupun perhitungan secara anali-tiknya sangat rumit (sehingga sering digunakan metode numerik) tapi teori ini dapat cukup baik menjelaskan fenomena interaksi kuat. Setelah itu S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam mencoba menjelaskan fenomena interaksi elektromag-netik dan interaksi lemah dengan sebuah teori yang disebut teori Electroweak atau sering juga disebut dengan teori Glashow-Weinberg-Salam, walaupun tidak sebaik QED namun teori ini dapat menjelaskan fenomena interaksi lemah dengan cukup baik. QCD bersama dengan teori Electroweak tergabung menjadi teori Standard Model (SM), sedangkan fenomena interaksi gravitasi belum dapat dijelaskan hingga saat ini. SM inilah yang menjadi kerangka dasar berfikir fisikawan teori-tik saat ini untuk menjelaskan fenomena-fenomena yang terjadi di alam semesta ini.
1.2
Perumusan Masalah
Salah satu parameter yang muncul dalam SM adalah weak mixing angle (θw).
Menentukan nilai dari parameter ini dengan berbagai macam eksperimen adalah salah satu usaha untuk membuktikan kebenaran teori SM. Eksperimen NuTeV merupakan salah satu eksperimen yang dilakukan untuk menentukan nilai dari parameter ini (biasanya dihitung dalam sin2θw), eksperimen ini adalah proses
hamburan neutrino-nukleon pada skala energi tinggi (neutrino berenergi tinggi). Suatu hal menarik yang dilaporkan oleh kolaborator NuTeV setelah memfit data dari eksperimen dengan menggunakan teori SM adalah didapatkannya ni-lai sin2θw sebesar 0,2277 ± 0,0013 (stat) ± 0,0009 (syst) [1], jika dibandingkan
dengan nilai yang diprediksi oleh SM dengan memfit data yang dihasilkan oleh eksperimen yang lain didapat nilai sin2θ
w sebesar 0,2227 ± 0,0004 [2,3]. Nilai
nilai yang telah diprediksi oleh SM.
Hal ini telah mendorong para fisikawan teoritik di bidang partikel untuk men-coba menjelaskan masalah ini. Sebelum adanya kemungkinan dari teori diluar SM (new physics), mereka telah melihat kemungkinan koreksi yang berasal dari SM, yaitu electroweak radiative corrections, koreksi dari pengaruh next-to-leading order dalam teori QCD, dan ketidakpastian yang terkait dengan parton distribu-tion funcdistribu-tions (PDFs). Namun ternyata hal ini belum dapat menjelaskan masalah yang terjadi, sehingga mereka mulai mencari-cari teori diluar SM (new physics). Sampai sekarang, hal ini menjadi salah satu permasalahan dalam High Energy Physics (HEP) yang berusaha untuk dijelaskan.
1.3
Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat teoritik. Kerangka dasar teoritik yang digunakan adalah teori electroweak yang dikenalkan oleh S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam [4,5,6]. Berdasarkan teori ini anomali NuTeV belum dapat dijelaskan dengan baik, sehingga dibutuhkan teori-teori baru diluar SM yang sering disebut sebagai new physics, yang dapat menjelaskan secara lebih baik dari hasil yang didapat oleh SM. Dalam hal ini penulis menggunakan teori SU(6) yang menjadi kandidat baru sebagai Grand Unified Theory (GUT).
1.4
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk melihat sejauh mana koreksi dari boson gauge SU(6) dapat menjelaskan anomali NuTeV, sekaligus untuk memberikan batasan (constraint) dalam teori SU(6) sebagai Grand Unified Theory (GUT).
Bab 2
Tinjauan Pustaka
Pada bab ini penulis akan memberikan gambaran secara singkat dari teori yang dikenalkan oleh S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam untuk menjelaskan tentang interaksi lemah. Hal ini disebabkan karena hamburan νµ-nukleon
meru-pakan salah satu fenomena dalam interaksi lemah. Disini juga akan diberikan gambaran singkat teori SU(6) terkait dengan penelitian yang dilakukan.
2.1
Teori Glashow-Weinberg-Salam (GWS)
Dalam teori medan kuantum dipelajari bahwa setiap teori yang dibangun berdasar-kan suatu simetri tertentu maka teori tersebut haruslah invariant terhadap trans-formasi lokal atau transtrans-formasi gauge dari simetri yang dibangun. Jika teori tersebut invariant maka besaran-besaran fisis yang dihasilkan, nilainya tidak bergantung pada kerangka acuan inersia dimana besaran tersebut diukur. Teori GWS yang dapat dikatakan cukup berhasil dalam menjelaskan fenomena interaksi lemah dibangun berdasarkan simetri terhadap SU (2)L × U(1)Y, dengan
trans-formasi gauge yang berbentuk
φ→ eiαaτa
eiβ/2φ, (2.1)
disini kita telah memasukkan sebuah muatan +1/2 terhadap simetri U (1)Y, dan
nilai τa= 12σa dengan σa adalah matriks Pauli 2× 2.
Agar teori GWS ini invariant, maka covariant derivative dari φ harus berben-tuk Dµφ = (∂µ− igWµaτa− i 1 2g 0B µ)φ, (2.2)
dengan Wa
µ dan Bµ adalah boson gauge dari SU (2)L dan U (1)Y. Sedangkan g
dan g0 merupakan konstanta coupling dari SU (2)L dan U (1)Y.
2.1.1
Massa Boson Gauge
Suku massa dari boson gauge dapat diperoleh dengan cara mengkuadratkan pers.(2.2) dengan memasukkan φ sebagai medan Higgs Φ (cara ini disebut se-bagai mekanisme Higgs) yang berbentuk
Φ = √1 2 0 v ! , (2.3)
maka akan kita dapatkan suku massa dari boson gauge yang berbentuk Lmassa boson gauge =
1 2 v2 4 h g2(Wµ1)2+ g2(Wµ2)2 + (−gWµ3+ g0Bµ)2 i . (2.4)
Dari persamaan diatas akan muncul tiga buah boson bermassa dan sebuah boson yang tidak bermassa sebagai berikut
Wµ± = √1 2(W 1 µ ∓ iWµ2) dengan massa mW = g v 2; Zµ0 = √ 1 g2+ g02(gW 3 µ − g0Bµ) dengan massa mZ = q g2+ g02v 2; Aµ = 1 √ g2+ g02(g 0W3 µ+ gBµ) dengan massa mA = 0. (2.5)
Dua buah boson baru yang bermassa yang muncul pada persamaan diatas, yaitu boson W dan Z disebut sebagai weak boson, adalah boson yang muncul dari interaksi lemah. Sedangkan boson yang tidak bermassa pada persamaan diatas telah muncul sebelumnya dalam teori QED yang dikenal sebagai photon, adalah boson yang muncul dari interaksi elektromagnetik.
Mulai sekarang akan lebih baik jika kita menuliskan semua persamaan dalam hubungannya dengan mass eigenstates, karena bentuk inilah yang memiliki arti fisis yang diukur oleh orang eksperimen. Untuk fermion dalam representasi umum SU (2), dengan muatan U (1) adalah Y , covariant derivative-nya akan berbentuk Dµ = ∂µ− igWµaTa− ig0Y Bµ. (2.6)
dalam hubungannya dengan mass eigenstates persamaan diatas akan menjadi Dµ = ∂µ− i g √ 2(W + µT++ Wµ−T−)− i 1 √ g2+ g02Zµ(g 2T3− g02Y ) −i√ gg0 g2+ g02Aµ(T 3+ Y ), (2.7)
dengan T±= (T1 ± iT2). Normalisasi dipilih sedemikianrupa sehingga
T± = 1 2(σ
1± iσ2) = σ±. (2.8)
Agar pers.(2.7) menjadi persamaan yang memiliki bentuk yang terkait dengan interaksi elektromagnetik, maka kita perlu mendefinisikan sebuah koefisien dari interaksi elektromagnetik sebagai muatan elektron e,
e = √ gg0
g2+ g02, (2.9)
dan mendefinisikan bilangan kuantum muatan listrik sebagai
Q = T3+ Y. (2.10)
Untuk menyederhanakan pers.(2.7), akan kita definisikan weak mixing angle, θw, sebagai sudut yang muncul dalam perubahan basis dari gauge eigenstates
(W3
µ, Bµ) menjadi mass eigenstates (Zµ0, Aµ):
Z0 µ Aµ ! = cos θw − sin θw sin θw cos θw ! W3 µ Bµ ! , (2.11) sehingga cos θw = g √ g2+ g02, sin θw = g0 √ g2+ g02, (2.12)
maka kita dapat menulis pers.(2.7) dalam bentuk Dµ = ∂µ− i g √ 2(W + µT++ Wµ−T−)− i g cos θw Zµ(T3− sin2θwQ) −ieAµQ, (2.13) dengan g = e sin θw . (2.14)
Dapat kita lihat disini bahwa semua pasangan (coupling) dari weak boson dideskripsikan oleh dua buah parameter: muatan elektron e dan sebuah parame-ter baru θw. Sedangkan massa boson W dan Z memiliki hubungan berdasarkan
pers.(2.5) adalah sebagai berikut
mW = mZcos θW (2.15)
Semua proses yang melibatkan pertukaran boson W dan Z, setidaknya pada perhitungan tree level, dapat dituliskan dalam tiga buah parameter dasar e, θw,
dan mW.
2.1.2
Coupling dengan Fermion
Bentuk covariant derivative pada pers.(2.13) secara unik dapat menentukan cou-pling boson W dan Z dengan fermion, segera setelah bilangan kuantum dari fermion ditentukan. Sebelum kita menentukan bilangan kuantum dari fermion, kita perlu melihat suku kinetik dari persamaan Dirac berikut ini
ψi∂/ψ = ψLi∂/ψL+ ψRi∂/ψR. (2.16)
pada persamaan diatas kita telah memisahkan medan fermion yang left-handed dengan yang right-handed. Dalam representasi SU (2)Lfermion left-handed
memi-liki bentuk doublet, sedangkan fermion right-handed memimemi-liki bentuk singlet se-bagai berikut QL ≡ u i L di L ! dan QR≡ uiR, diR, LL ≡ ν i L `i L ! dan LR≡ `iR, (2.17)
dengan uiberarti untuk up, charm, dan top; diuntuk down, strange, dan bottom;
`i untuk elektron, muon, dan tau; νi untuk ν
e, νµ, dan ντ. Setelah kita dapat
menentukan nilai T3 untuk setiap medan fermion, nilai Y dapat kita tentukan
dari pers.(2.10). Hal ini berarti bahwa cara menentukan nilai Y akan berbeda untuk komponen left-handed dan right-handed dari quark dan lepton. Untuk medan fermion right-handed, T3 = 0, sehingga nilai Y akan sama dengan muatan
listriknya. Sebagai contoh untuk uR, Y = +2/3; untuk e−R, Y = −1. Untuk
medan fermion left-handed, contohnya EL= νe e− ! L , QL= u d ! L , (2.18)
ditentukan nilai Y = −1/2 dan Y = +1/6, sedemikian rupa sehingga jika diga-bung dengan T3 =±1/2 akan menghasilkan muatan listrik yang sesuai.
Disini kita tidak akan membahas massa dari fermion, kita anggap fermion tidak bermassa. Deskripsi ini akan cukup berguna bila kita menganalisa feno-mena interaksi lemah pada energi tinggi, dimana massa quark dan lepton dapat diabaikan.
Jika kita mengabaikan suku massa fermion, maka Lagrangian suku kinetik dari interaksi lemah untuk quark dan lepton sesuai dengan penyusunan muatan seperti yang telah dijelaskan diatas adalah
Lkinetik = LL(iD/)LL+ ` i
R(iD/)`iR+ QL(iD/)QL+ uiR(iD/)uiR+ d i
R(iD/)diR. (2.19)
untuk setiap suku diatas, bentuk covariant derivative-nya sesuai dengan pers.(2.6), dengan nilai Tadan Y tergantung dari komponen medan fermion, sebagai contoh
QL(iD/)QL= QLiγµ(∂µ− igAaµTa− i
1 6g
0B
µ)QL. (2.20)
Untuk membangun konsekuensi fisis dari coupling fermion-boson vektor, kita harus menuliskan pers.(2.19) dalam hubungannya dengan mass eigenstates dari boson vektor, dengan menggunakan bentuk covariant derivative pada pers.(2.13). Sehingga pers.(2.19) akan menjadi
Lkinetik = LL(i∂/)LL+ ` i
R(i∂/)`iR+ QL(i∂/)QL+ uiR(i∂/)uiR+ d i R(i∂/)diR +g(Wµ+JWµ++ Wµ−JWµ−+ Zµ0JZµ) + eAµJEMµ , (2.21) dengan JWµ+ = √1 2 (νL iγµ`i L + uLiγµdiL), JWµ− = √1 2 (`L i γµνLi + dL i γµuiL), JZµ = 1 cos θw h νLi 1 2 γµνLi + `L i γµ−1 2 + sin 2θ w `iL + `R i γµ(sin2θw)`iR
+ uLiγµ(12 − 23sin2θw)uLi + uRiγµ(−23 sin2θw)uiR + dL i γµ(−1 2 + 1 3sin 2θ w)diL + dR i γµ(1 3sin 2θ w)diR i , JEMµ = ` i γµ(−1)`i + uiγµ(2 3)ui + d i γµ(−1 3)di. (2.22)
2.1.3
Massa Fermion dan Mixing pada Fermion
Pada subbab diatas kita telah melihat bagaimana weak boson ter-couple dengan fermion. Sekarang kita ingin melihat bagaimana pengaruh dari massa fermion pada persamaan diatas. Sebelumnya kita akan terlebih dahulu membuat massa fermion.
Prinsip mekanisme Higgs yang kita lakukan untuk mendapatkan massa dari boson gauge, dapat juga kita gunakan untuk mendapatkan massa fermion. Agar diperoleh massa fermion, maka suku massa harus diperkenalkan pada lagrangian, yang berbentuk interaksi antara partikel dengan antipartikel-nya:
Lmassa = mψψ. (2.23)
Disini m merupakan parameter sembarang, yang belum tentu berarti massa. Jika ditulis dalam komponen left-handed dan right-handed, maka pers.(2.23) menjadi
Lmassa = mψψ = m(ψLψR+ ψRψL). (2.24)
Jika kita mengingat kembali pers.(2.17) yang menuliskan komponen left-handed dalam bentuk doublet dan komponen right-handed dalam bentuk singlet, maka dalam pers.(2.24) diatas tidak dapat dilakukan operasi perkalian. Disinilah kita kembali menggunakan mekanisme Higgs, yaitu dengan cara memasukkan medan Higgs Φ diantara fermion. Sehingga sekarang Lagrangian suku massa mengan-dung medan boson Higgs dan fermion, yang dituliskan sebagai
LHF = −fuijQ i LΦu˜ j R− f ij d Q i LΦd j R− f ij ` ` i LΦ` j R = −fuij(uiLφ0ujR+ diLφ−ujR+ vuiLujR) −fdij(uiLφ+d j R+ d i Lφ0d j R+ vd i Ld j R) −f`ij(νiLφ+` j R+ ` i Lφ0` j R+ v` i L` j R), (2.25) dengan ˜ Φ = iτ2Φ?. (2.26)
Disini terdapat besaran coupling baru, yaitu fu, fd, dan f` yang menandakan
adanya interaksi fermion dengan boson Higgs yang dikenal dengan nama in-teraksi Yukawa. Sedangkan inin-teraksi partikel dengan antipartikel-nya akan memberikan suku massa pada Lagrangian diatas sebagai berikut
Lmassa =−uiLvfuiju j R− d i Lvf ij d d j R− ` i Lvf ij ` ` j R. (2.27)
Namun karena konstanta coupling fu, fd, dan f` secara umum tidak diagonal,
massa fermion yang memiliki arti fisis belum didapatkan. Agar mendapatkan massa fermion yang memiliki arti fisis, maka pada pers.(2.27) diatas harus di-lakukan diagonalisasi sebagai barikut
Lmassa = −u0kL(U†)kivfuijUjlu0jR− d 0k L(V†)kivf ij d Vjld0jR− ` 0k L(S†)kivf ij ` Sjl`0jR = −ukmkluδklul− dkmkld δkldl− `kmkl` δkl`l, (2.28) dengan mklu = (U†)kivfuijUjl, mkld = (V†)kivfdijVjl, dan mkl` = (S†)kivf`ijSjl. (2.29) Disini medan fermion telah teredefinisi menjadi
ui = Uiju0j, di = Vijd0j, dan `i = Sij`0j, (2.30) dengan U , V , dan S merupakan matriks satuan yang memenuhi
U†U = V†V = S†S = 1. (2.31)
keadaan fermion yang mengandung tanda (’) merupakan mass eigenstate.
Akibat meredefinisi medan pada suku massa, maka secara umum eigenstates pada Lagrangian yang gauge invariant (biasa disebut sebagai weak eigenstates) juga harus diredefinisi. Sekarang kita harus meredefinisi semua eigenstate dari Lagrangian suku kinetik pada pers.(2.21) sehingga memiliki arti fisis. Proses re-definisi akan saling menghilangkan pada interaksi yang melibatkan pertukaran boson Z dan photon, sedangkan untuk interaksi yang melibatkan pertukaran bo-son W akan menjadi
JWµ+ = √1 2(ν i Lγµ`iL+ uiLγµdiL) = √1 2(ν i LγµSij`0jL+ u0iLγµ(U†)ikVkjd0jL) = √1 2(ν 0i Lγµ`0jL+ u0iLγµV ij CKMd0jL) (2.32)
JWµ− = 1 √ 2(` i LγµνLi + d i LγµuiL) = √1 2(` 0i Lγµ(S†)ijνLj + d 0i Lγµ(V†)ikUkju0jL) = √1 2(` 0i LγµνL0i+ d 0i LγµV ij CKMu0jL) (2.33)
dengan VCKM adalah matriks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa [7,8], yang berbentuk
VCKM = Vud Vus Vub Vcd Vcs Vcb Vtd Vts Vtb ≈ 0.9739− 0.9751 0.221− 0.227 0.0029− 0.0045 0.221− 0.227 0.9730− 0.9744 0.039− 0.044 0.0048− 0.014 0.037− 0.043 0.9990− 0.9992 . (2.34)
2.2
Konsekuensi Eksperimen dari Teori GWS
Sekarang kita telah memiliki teori dasar untuk proses yang melibatkan coupling antara boson W dan Z dengan fermion, dari teori ini kita akan melihat konsekuen-si eksperimen untuk proses yang dimediakonsekuen-si oleh weak bosons. Hakonsekuen-sil analikonsekuen-sis ini akan mereproduksi gambaran Lagrangian efektif dari interaksi lemah yang akan kita gunakan dalam hamburan netrino-nukleon seperti pada anomali NuTeV.
Pada eksperimen yang dilakukan dengan energi yang lebih rendah dari massa boson vektor, coupling dari weak bosons memiliki pengaruh yang dominan pada proses yang melibatkan pertukaran weak bosons. Proses ini ditunjukkan pada Gb. 2.1. Propagator dari boson W dan Z diberikan oleh persamaan berikut
hWµ+(p)Wν−(−p)i = −ig µν p2− m2 W , hZµ(p)Zν(−p)i = −ig µν p2− m2 Z . (2.35)
Agar lebih sederhana, kita akan melihat diagram proses yang melibatkan per-tukaran boson W seperti yang kita lihat pada Gb.2.1 dalam batas energi yang lebih rendah dari massa W , sehingga kita dapat mengabaikan suku p2pada
penye-but dari propagator W dalam pers.(2.35). Dengan menggunakan coupling W pa-da pers.(2.21), kita pa-dapatkan bahwa diagram tersebut pa-dapat digambarkan oleh Lagrangian efektif ∆LW = g2 m2 W JWµ−JµW+ = g 2 2m2 (` 0i LγµνL0i+ d 0i LγµV ij CKMu0jL)(ν0iLγµ`0iL+ u0iLγµVCKMij d0jL). (2.36)
W Z u ν l ν d u -ν u
Gambar 2.1: Beberapa proses yang melibatkan coupling antara weak boson dengan fermion.
koefisiennya sering dituliskan dalam hubungannya dengan konstanta Fermi GF √ 2 = g2 8m2 W . (2.37)
karena interaksi diantara lepton-lepton dan quark-quark ini dimediasi oleh per-tukaran boson vektor yang bermuatan, maka interaksi ini dinamakan interaksi charge-current (CC).
Dengan cara yang sama, kita dapat mengerjakan Lagrangian efektif dari per-tukaran boson Z. Kita dapatkan
∆LZ = g2 2m2 Z JZµJµZ = 4G√F 2 X f f γµ(T3− sin2θ wQ)f 2 , (2.38)
dengan penjumlahan terhadap seluruh komponen left-handed dan right-handed, disini kita juga telah menggunakan pers.(2.15). Kita katakan bahwa Lagrangian efektif diatas memediasi proses interaksi lemah neutral-current (NC).
Lagrangian efektif untuk neutral current dalam pers.(2.38) mengandung suku yang memasangkan secara bersama semua jenis quark dan lepton. Suku ini melanggar paritas, sehingga membedakan interaksi lemah dengan interaksi kuat dan elektromagnetik. Sebagai contoh, pers.(2.38) memprediksi keberadaan dari proses deep inelastic scattering untuk kasus neutral current, dimana neutrino
berenergi tinggi menghamburkan nukleon tetapi tidak mengubah keadaan akhir neutrino menjadi muon atau elektron. Sama halnya, interaksi neutral current memprediksi kemunculan dari pengaruh pelanggaran paritas dalam electron deep inelastic scattering. Interaksi neutral current juga memprediksi pelanggaran pa-ritas dalam interaksi antara elektron-nukleon yang seharusnya mencampur level-level energi atom, hal ini juga berlaku untuk interaksi antara nukleon-nukleon. Dalam teori GWS, seberapa besar kuatnya pengaruh ini diprediksi di dalam kons-tanta Fermi dan sebuah parameter tambahan, yaitu nilai sin2θw. Jadi, teori
GWS dapat diuji dengan cara mengamati tiap masing-masing pengaruh ini dan mendapatkan sebuah nilai tunggal dari parameter ini untuk setiap proses yang berbeda-beda.
Karena interaksi lemah untuk neutral current memiliki begitu banyak manifes-tasi yang berbeda (misalnya: perbandingan total cross section N C terhadap CC dalam neutrino-nukleon deep inelastic scattering, polarization asymmetry dalam peluruhan Z0 → ff, total cross section dari neutrino-elektron elastic
scatter-ing, dll), teori GWS untuk interaksi lemah dapat dilakukan serangkaian uji coba dengan cara membandingkan nilai parameter sin2θw yang dihitung untuk
seti-ap proses yang berbeda. Tabel 2.1 [9] menunjukkan nilai sin2θw yang didapat
dari berbagai macam proses. Untuk semua kasus, koreksi radiatif one-loop harus dimasukkan untuk menganalisis eksperimen pada tingkat keakuratan yang lebih tinggi. Koreksi radiatif ini menyimpan sesuatu yang tersembunyi didalamnya.
Pertama, awalnya kita harus mengambil sebuah skema renormalisasi yang mendefinisikan sin2θ
w dan menggunakannya secara konsisten dalam semua
per-hitungan yang kita lakukan. Dalam tabel 2.1 ditunjukkan sebuah skema renor-malisasi. Pada skema tersebut, nilai objek yang kita amati dalam interaksi lemah dituliskan dalam fungsi α, GF, dan sebuah parameter bebas. Pada kolom pertama
parameter ini adalah perbandingan mW/mZ, dan dari pers.(2.15) kita gunakan
perbandingan ini untuk mendefinisikan sebuah nilai terenormalisasi dari sin2θw:
s2W ≡ 1 − m2 W m2 Z . (2.39)
skema ini dikenal dengan nama skema on-shell.
one-Tabel 2.1: Nilai dari s2W untuk berbagai macam pengamatan. Terkecuali jika
disebutkan dalam tabel, massa top quark mt = 177.9± 4.4 GeV. Angka yang
berada didalam kurung adalah nilai simpangan baku dalam digit terakhir
Data s2
W
All data 0.2228(4)
All indirect (no mt) 0.2229(4)
Z pole (no mt) 0.2231(6) LEP 1 (no mt) 0.2237(7) SLD + MZ 0.2217(6) A(b,c)F B + MZ 0.2244(8) MW + MZ 0.2221(8) MZ 0.2227(5) QW (APV) 0.2207(19) DIS (isoscalar) 0.2274(21) SLAC eD 0.213(19) polarized Moller 0.2207(43) elastic νµ(νµ)e 0.2220(77) elastic νµ(νµ)p 0.203(33)
loop untuk proses weak neutral current adalah kebergantungan terhadap massa top quark (mt) dan juga massa Higgs (MH).
2.3
Gambaran Singkat Teori SU(6)
Teori SU(6) yang akan dijelaskan disini hanyalah merupakan bagian kecil dari teori yang sebenarnya [10]. Disini penulis hanya akan memberikan penjelasan singkat bagaimana dalam teori SU(6) akan kita dapatkan tambahan boson gauge baru yang akan memberikan koreksi dalam teori SM untuk menjelaskan anomali NuTeV.
Teori SU(6) adalah penyatuan teori GWS dengan teori QCD. Perusakan Simetri (symmetry breaking) dari teori SU(6) ini adalah sebagai berikut:
SU (6) ⇓
SU (3)C ⊗ SU(3)DW ⊗ U(1)B
SU (3)C sebagaimana yang telah kita ketahui adalah simetri gauge untuk teori
QCD. Selanjutnya SU (3 )DW ter-breaking menjadi:
SU (3)DW
⇓
SU (2)⊗ U(1)C
SU (2), U (1)B, dan U (1)C harus dapat mereproduksi teori GWS dalam skala
elec-troweak.
Untuk setiap simetri gauge yang terbentuk, maka akan muncul boson gauge-baru, boson gauge yang tidak muncul dalam teori SM inilah yang akan digunakan untuk memberikan koreksi dalam teori SM.
Bab 3
Neutrino Deep Inelastic Scattering
Dalam bab ini akan diberikan kinematik dari proses deep inelastic scattering (DIS) yang akan digunakan dalam perhitungan cross section hamburan neutrino-nukleon, serta nilai cross section hamburan neutrino-nukleon dalam teori SM.
3.1
Kinematik Deep Inelastic Scattering
Anomali NuTeV yang merupakan salah satu fenomena interaksi lemah, meli-batkan proses yang disebut deep inelastic scattering. Dalam eksperimen NuTeV, neutrino dapat menghamburkan nukleon dengan hamburan inelastik. Dalam sub-bab ini akan diperkenalkan variabel yang terkait dengan proses deep inelastic scat-tering (DIS). Gb.2.2 akan menunjukkan diagram proses deep inelastic scatscat-tering yang prosesnya ditunjukkan sebagai berikut
l(k) + p(p)→ l(k0) + X(p0). (3.1)
lepton yang datang dapat berupa elektron, muon, neutrino; boson vektor yang dipertukarkan dapat berupa photon, W±, atau Z0. Lepton menghamburkan
nuk-leon, yang berupa proton atau neutron, dengan hamburan inelastik, sehingga menghasilkan keadaan akhir yang berupa lepton serta hadron-hadron yang ber-asal dari pecahan-pecahan nukleon. Nukleon yang tersusun atas quark dan gluon, dengan cepat membentuk hadron-hadron sehingga muncul sebagai hujan hadron. X dalam pers.(3.1) menandakan keadaan hadron yang kompleks.
Sekarang kita akan melihat kasus untuk neutrino deep inelastic scattering. Momentum empat dimensi dari neutrino yang datang (k), muon (neutrino) yang
W (q=k-k') Z,
γ,
l (k) l (k')
p (P) X (p+q)
Gambar 3.1: Skema proses deep inelastic scattering dengan partikel datang beru-pa lepton (e,µ,ν) dan target beruberu-pa nukleon.
keluar (k0) untuk interaksi CC (NC), boson W (Z) yang dipertukarkan (q)
un-tuk interaksi CC (NC), nukleon target (p), dan keadaan akhir hadron (p0) dalam
kerangka acuan lab adalah sebagai berikut
k = (E, k), (3.2)
k0 = (E0, k0), (3.3)
p = (M, 0, 0, 0), (3.4)
q = (ν, q), (3.5)
p0 = p + q = p + (k− k0). (3.6)
dengan E adalah energi neutrino yang datang, E0 untuk energi muon (neutrino) yang keluar, M adalah massa nukleon, k adalah momentum ruang dari neutrino yang datang, k0 untuk momentum ruang dari muon (neutrino) yang keluar, dan ν adalah energi transfer ke nukleon. Disini kita tidak mengabaikan massa neutrino. Digunakan juga beberapa variabel yang lain, yaitu
• Q2 = momentum dari boson yang dipertukarkan yang mendefinisikan skala
energi interaksi; yaitu momentum transfer “space-like” antara lepton de-ngan hadron:
dengan m adalah massa neutrino yang datang dan m0 adalah massa muon (neutrino) yang keluar untuk kasus CC (NC).
• ν = energi yang ditransfer dari lepton ke sistem hadron: ν = p· q
M = E− E
0. (3.8)
• W2 = massa invariant dari sistem hadron:
W2 = (q + p)2 = M2 + 2M ν− Q2. (3.9)
dan ditambah dengan dua buah variabel tidak berdimensi, yang kita definisikan sebagai:
• y = inelasticity, fraksi dari energi total lepton yang ditransfer ke sistem hadron dalam kerangka acuan lab:
y = p· q p· k =
ν
E. (3.10)
• x = the Bjorken scaling variable, fraksi dari momentum total yang dibawa oleh quark yang terlepas:
x = −q 2 2p· q = Q2 2M ν = Q2 2M Ey. (3.11)
3.2
Cross Section Hamburan Neutrino-Nukleon
Nilai cross section dari kasus deep inelastic neutrino-nucleon scattering yang pro-sesnya adalah sebagai berikut
νµ(νµ) + N → µ−(µ+) + X (3.12)
νµ(νµ) + N → νµ(νµ) + X (3.13)
dalam orde terendah (lowest order) dituliskan sebagai perkalian sebuah tensor leptonik Lµν dan sebuah tensor hadronik Wµν yang menggambarkan interaksi
leptonik dan hadronik : d2σν,ν dxdy = G2 F y 16π 1 (1 + Q2/M2 W,Z)2 LµνWµνλ, (3.14)
dengan MW adalah massa boson vektor untuk interaksi CC dan MZ untuk
in-teraksi NC, GF adalah konstanta Fermi, dan sebuah parameter baru λ(Q2, x, y)
yang muncul jika kita tidak mengabaikan massa lepton, yang memiliki bentuk:
λ = 2E 2 Q2 (1− y) 1 1− 4m2M2x2y2 Q4 2 1− QM22(1x−y)2y2 − 1− 2mQ24M(12−y)x2y2 −2mQ024M(1−y)2x2y2 − 2M2x2y2 Q2(1−y) 1 1−4m2 M 2x2 y2Q4 + 1 1−4m02 M 2 x2y2Q4 (1−y)2 , (3.15)
suku λ ini akan bernilai 1 jika kita membuat nilai m = m0 = 0, sehingga akan
di-dapatkan hasil seperti pada referensi [11]. Sedangkan bentuk dari tensor leptonik adalah sebagai berikut:
Lµν = 2Tr[(k/ + m0 0)γµ(1− γ5)k/γν] (3.16)
dengan m0 = mµuntuk kasus CC dan m0 = mν untuk kasus NC. Bentuk yang
pa-ling umum dalam menuliskan tensor hadronik adalah dengan menghubungkannya dengan fungsi skalar Wi, yang menggambarkan struktur nukleon. Untuk kasus
CC tensor hadroniknya memiliki bentuk: Wµν = − gµν W1(x, Q2) + pµpν M2 W2(x, Q 2) + iµνλσpλqσ 2M2 W3(x, Q 2) + q µqν M2 W4(x, Q 2) + (pµqν + pνqµ) 2M2 W5(x, Q 2) , (3.17)
sedangkan untuk kasus NC tensor hadroniknya berbentuk: Wµν = − gµν (g2 L+ gR2)W1(x, Q2) + pµpν M2 (g 2 L+ gR2)W2(x, Q2) + iµνλσpλqσ 2M2 (g 2 L− g2R)W3(x, Q2) + qµqν M2 (g 2 L+ gR2)W4(x, Q2) + (p µqν + pνqµ) 2M2 (g 2 L+ gR2)W5(x, Q2) , (3.18)
dengan nilai gLdan gRseperti yang ditunjukkan dalam tabel 3.1. Selanjutnya kita
akan mengganti fungsi Wi kedalam oleh fungsi struktur yang tidak berdimensi
Fi, yang memiliki sebuah representasi yang sederhana dalam quark parton model:
F1(x, Q2) = W1(x, Q2) (3.19)
F2(x, Q2) =
ν
Tabel 3.1: Fermion dalam SM dan coupling Z-nya. coupling Z gL gR νe, νµ, ντ 12 0 e, µ, τ −1 2 + sin 2θ w sin2θw u, c, t 12 − 23sin2θw −23sin2θw d, s, b −1 2 + 1 3sin 2θ w 13sin2θw F3(x, Q2) = ν MW3(x, Q 2) (3.21) F4(x, Q2) = ν MW4(x, Q 2) (3.22) F5(x, Q2) = ν MW5(x, Q 2) (3.23)
Kontraksi antara tensor leptonik dan hadronik dalam kasus CC akan meng-hasilkan nilai differential cross section dari neutrino-nukleon deep inelastic scat-tering adalah sebagai berikut:
d2σν,ν dx dy = G2 FM Eλ π(1 + Q2/M2 W)2 y2 2 + m02y 4M Ex+ m2y 4M Ex 2xF1(x, Q2) +1− y −M xy2E − m02 4E2 − m 2 4E2 F2(x, Q2) ±y(1− y2)− m02y 4M Ex + m2y 4M Ex xF3(x, Q2) +m2M E02xy +m2M E2xy − m2m02 2M2E2 + m 04 4M2E2 + m 4 4M2E2 F4(x, Q2) +m2M Ex2(1−y) − m02 2M Ex xF5(x, Q2) , (3.24) dari Ward-Takahashi Identity :
qµWµν = qνWµν = 0, (3.25)
akan didapatkan hubungan
W5 =−2 p· q q2 W2, (3.26) W4 = M2 q2 W1+ p· q q2 2 W2, (3.27)
dengan memasukkan pers.(3.4), (3.5), (3.12), dan mengubah bentuk Wi kedalam
bentuk Fi, pers.(3.28) dan (3.29) diatas akan menjadi
F5 =
1
F4 =
1
4x2 F2−
1
2x F1. (3.29)
Jika kita memasukkan pers.(3.30), dan (3.31) diatas kedalam pers.(3.26) maka akan kita dapatkan
d2σν,ν dx dy = G2 FM Eλ π(1 + Q2/M2 W)2 y2 2 + m02y 4M Ex + m2y 4M Ex − m02y 8M Ex − m2y 8M Ex +8Mm22mE202x2 − m 04 16M2E2x2 − m 4 16M2E2x2 2xF1(x, Q2) +1− y − M xy 2E − m02 4E2 − m 2 4E2 + m 02y 8M Ex +8M Exm2y − m2m02 8M2E2x2 + m 04 16M2E2x2 + m 4 16M2E2x2 +2M Exm2 − m2y 2M Ex − m02 2M Ex F2(x, Q2) ±y(1− y2)− m02y 4M Ex+ m2y 4M Ex xF3(x, Q2) . (3.30) dengan tanda +(−) pada suku terakhir mengacu untuk kasus hamburan neutri-no (antineutrineutri-no). Fungsi struktur Fi(x, Q2) dalam persamaan diatas bergantung
pada tipe interaksi dan target yang ditumbuk pada proses hamburan tersebut. Ji-ka menggunaJi-kan asumsi dari quark parton model, fungsi struktur dapat ditulisJi-kan dalam kaitannya dengan komposisi quark dalam nukleon target.
3.3
Model Parton dari Hadron
Dalam asumsi model parton, digambarkan proses hamburan neutrino-nukleon da-lam kaitannya dengan terhamburnya penyusun-penyusun nukleon, seperti yang digambarkan pada Gb.3.1.
Dalam quark parton model, nukleon tersusun atas parton (quark dan gluon), yang berlaku sebagai partikel titik. Dengan perhitungan kasar, setengah dari momentum nukleon berasal dari gluon yang mengikat quark-quark tetapi tidak berinteraksi melalui gaya lemah. Setengah dari momentum yang tersisa ber-asal dari quark-quark, yaitu valence quark dan sea quark. valence quark menen-tukan muatan dan spin dari nukleon. Proton misalnya, tersusun atas dua buah u valence quark dan sebuah d valence quark. Neutron tersusun atas sebuah u valence quark dan dua buah d valence quark. Dalam teori QCD, quark-quark berinteraksi dengan cara menukarkan gluon yang menyebabkan adanya fluktuasi membentuk pasangan-pasangan quark-antiquark, yang secara umum pasangan quark-antiquark ini disebut sea quark.
Z q q µ ν µ ν q' q − µ µ ν W
Gambar 3.2: Diagram Feynman untuk CC dan NC hamburan neutrino-quark. Quark parton model mengasumsikan sebuah kerangka Lorentz dengan
|p| m, M (3.31)
sehingga semua massa dapat diabaikan. Dalam kerangka ini, momentum nukleon bahkan diasumsikan jauh lebih besar dibandingkan dengan momentum transfer terkait dengan interaksi kuat antara quark. Oleh karena itu, hamburan neutrino-nukleon dapat digambarkan sebagai hamburan elastis dari sebuah parton tunggal yang tidak saling berinteraksi dengan parton lainnya. Karena parton diasumsikan bebas, fungsi struktur nukleon Fi dapat dituliskan sebagai jumlah probabilitas
hamburan dari parton tunggal.
Disini kita akan menuliskan 2xF1 dan xF3 sebagai:
2xF1(x, Q2) = 2 X i=u,d,··· xqi(x) + xqi(x) xF3(x, Q2) = 2 X i=u,d,··· xqi(x)− xqi(x) (3.32)
dengan penjumlahan terhadap seluruh jenis parton. Setiap parton membawa sebuah fraksi x = Q2/2M ν dari momentum nukleon, sehingga q(x) merupakan
probabilitas menemukan parton yang memiliki fraksi momentum (x). Sedangkan F2 memiliki hubungan dengan F1 adalah sebagai berikut:
relasi ini dalam quark parton model dikenal dengan nama Callan-Gross relation [12].
Jika relasi-relasi diatas kita masukkan kedalam pers.(3.30) dengan mengabaikan suku massa lepton dan proton, serta mengabaikan faktor dari propagator, ma-ka ama-kan kita dapatma-kan nilai cross section dari hamburan neutrino-nukleon untuk kasus charge current adalah
d2σν CC dx dy = 2G2 FM E π [xq(x) + (1− y) 2xq(x)] d2σν CC dx dy = 2G2 FM E π [xq(x) + (1− y) 2xq(x)], (3.34)
Sedangkan nilai cross section hamburan neutrino-nukleon untuk kasus NC memi-liki bentuk sebagai berikut:
d2σν N C dx dy = 2G2 FM E π " g2 L[xq(x) + (1− y)2xq(x)]+ g2 R[xq(x) + (1− y)2xq(x)] # (3.35) d2σν N C dx dy = 2G2 FM E π " g2 L[xq(x) + (1− y)2xq(x)]+ g2 R[xq(x) + (1− y)2xq(x)] # , (3.36) dengan g2
Ldan g2Radalah komponen left handed dan right handed dari weak neutral
current.
isoscalar coupling, g2
L dan gR2 didefinisikan sebagai jumlah dari kuadrat coupling
quark, dari tabel 3.1 kita dapatkan nilai: g2L = u2L+ d2L= 1 2 − sin 2θ w+ 5 9sin 4θ w (3.37) g2R = u2R+ d2R= 5 9sin 4θ w. (3.38)
Dengan mensubstitusi pers.(3.34), (3.37), dan (3.38) kedalam pers.(3.35) dan (3.36), maka akan didapat
d2σN Cν dx dy = 1 2 − sin 2θ w + 5 9sin 4θ w ·d 2σν CC dx dy + 5 9sin 4θ w· d2σCCν dx dy d2σν N C dx dy = 1 2 − sin 2θ w + 5 9sin 4θ w ·d 2σν CC dx dy + 5 9sin 4θ w· d2σν CC dx dy. (3.39) Jika kita membandingkan nilai cross section untuk kasus neutral current dan charge current, maka akan kita dapatkan hubungan langsung dengan nilai sin2θw
sebagai berikut: Rν ≡ σ(νµN → νµX) σ(νµN → µ−X) = σ ν N C σν CC = gL2 + rgR2 = 1 2− sin 2θ w+ 5 9(1 + r) sin 4θ w , (3.40) Rν ≡ σ(νµN → νµX) σ(νµN → µ+X) = σ ν N C σν CC = gL2 + 1 rg 2 R = 1 2 − sin 2θ w+ 5 9 1 + 1 r sin4θw , (3.41) dengan r = σ(νµN → µ +X) σ(νµN → µ−X) = σ ν CC σν CC . (3.42)
Bab 4
Hasil dan Pembahasan
Koreksi yang akan kita lakukan dengan menggunakan teori SU(6) adalah dengan menambah boson gauge baru kedalam interaksi neutral current (boson N ) dan interaksi charge current (boson C), tanpa merubah interaksi boson gauge didalam teori SM; seperti yang terlihat dalam Gb.4.1. Dalam gambar tersebut kita telah menambahkan boson N untuk yang dimediasi boson Z, sedangkan untuk yang dimediasi boson W kita tambahkan boson C, inilah yang kita sebut sebagai ko-reksi boson gauge SU(6) dalam anomali NuTeV.
Didalam teori SM nilai amplitude invariant dari suatu proses hamburan neutrino-nukleon dituliskan sebagai berikut:
−iM(νN → µX) = −iG√F 2 1 (1 + Q2/M2 W) [µγµ(1− γ5)ν] Z d4x eiq·xhX|Jµ(x)|P i , (4.1) untuk interaksi charge current, dan
−iM(νN → νX) = −iG√F 2 1 (1 + Q2/M2 Z) [νγµ(1− γ5)ν] Z d4x eiq·xhX|Jν(x)|P i , (4.2) untuk interaksi neutral current (disini kita telah menggunakan nilai GN = GF
untuk perhitungan dalam orde terendah). Koreksi boson gauge SU(6) akan di-tambahkan dalam amplitude invariant diatas tanpa mengubah interaksi boson gauge dalam teori SM, maka jika kita melakukan hal tersebut akan kita dapatkan amplitude invariant dalam teori SU(6) adalah sebagai berikut:
−iMSU (6)(νN → µX) = −i 1 √ 2 GF (1 + Q2/M2 W) + GC (1 + Q2/M2 C) ! [µγµ(1− γ5)ν] Z d4x eiq·xhX|Jµ(x)|P i ,
+ + N q' q q q W Z q q' q q µ µ ν νµ µ ν µ µ ν µ ν µ ν C
Gambar 4.1: Diagram Feynman untuk CC dan NC hamburan neutrino-quark dalam teori SU(6).
= −i√1 2 GF (1 + Q2/M2 W) 1 + GC GF (1 + Q2/M2 W) (1 + Q2/M2 C) ! [µγµ(1− γ5)ν] Z d4x eiq·xhX|Jµ(x)|P i , (4.3)
dengan GCdan MC adalah konstanta coupling dan massa dari boson gauge SU(6)
untuk interaksi charge current. Sedangkan untuk interaksi neutral current, am-plitude invariant-nya berbentuk:
−iMSU (6)(νN → νX) = −i 1 √ 2 GF (1 + Q2/M2 Z) + GN (1 + Q2/M2 N) ! [νγµ(1− γ5)ν] Z d4x eiq·xhX|Jν(x)|P i , = −i√1 2 GF (1 + Q2/M2 W) 1 + GN GF (1 + Q2/M2 Z) (1 + Q2/M2 N) ! [νγµ(1− γ5)ν] Z d4x eiq·xhX|Jν(x)|P i , (4.4) dengan GN dan MN adalah konstanta coupling dan massa dari boson gauge SU(6)
untuk interaksi neutral current. Kedua buah persamaan diatas dapat dituliskan dalam kaitannya dengan amplitude invariant teori SM sebagai berikut:
−iMSU (6)(νN → µX) = 1 + GC GF (1 + Q2/M2 W) (1 + Q2/M2 C) ! (−iMSM(νN → µX)) , (4.5) −iMSU (6)(νN → νX) = 1 + GN GF (1 + Q2/M2 Z) (1 + Q2/M2 N) ! − iMSM(νN → νX) , (4.6)
sehingga nilai |M|2 untuk setiap proses diatas adalah |M|2 SU (6)(νN → µX) = 1 + GC GF (1 + Q2/M2 W) (1 + Q2/M2 C) !2 |M|2 SM(νN → µX) , (4.7) |M|2 SU (6)(νN → νX) = 1 + GN GF (1 + Q2/M2 Z) (1 + Q2/M2 N) !2 |M|2 SM(νN → νX) . (4.8)
Jika kita mengabaikan faktor dari propagator maka persamaan diatas menjadi |M|2 SU (6)(νN → µX) = 1 + GC GF 2 |M|2 SM(νN → µX) , (4.9) |M|2 SU (6)(νN → νX) = 1 + GN GF 2 |M|2 SM(νN → νX) . (4.10)
Selanjutnya kita akan mengaitkan konstanta coupling GN dengan GC.
GC = a GN. (4.11)
Dengan menggunakan relasi diatas maka akan kita dapatkan perbandingan nilai Rν
SU (6) dalam hubungannya dengan nilai RνSM adalah sebagai berikut:
RSU (6)ν = 1 + GN GF 1 + aGN GF 2 RνSM . (4.12)
Jika kita membuat plot grafik Rν terhadap G
N/GF untuk hasil yang telah kita
peroleh diatas, maka akan kita peroleh grafik seperti dalam Gb.4.2.
Dari grafik tersebut kita dapatkan bahwa untuk nilai a = 1.1 akan kita dap-atkan range nilai 0.0331 < GN/GF < 0.0818, sedangkan untuk nilai a = 1.5 akan
kita peroleh range nilai 0.0064 < GN/GF < 0.0154. Dari hasil tersebut dapat kita
simpulkan bahwa untuk nilai a yang semakin besar, akan kita peroleh range un-tuk nilai GN/GF semakin sempit, bahkan untuk nilai a 1, akan kita dapatkan
nilai GN/GF ≈ 0. Ini berarti jika semakin besar konstanta coupling C
diband-ingkan dengan konstanta coupling N, maka semakin lemah interaksi dari boson gauge SU(6) dibandingkan dengan interaksi dalam teori SM. Hal ini memang sudah dapat diprediksi bahwa interaksi dalam teori SU(6) untuk skala energi di-atas electroweak scale harus lebih lemah dibandingkan interaksi dalam teori SM. Dari grafik diatas juga dihasilkan bahwa nilai a harus lebih besar dari 1 agar teori SU(6) dapat menjelaskan anomali NuTeV. Ini artinya dalam teori SU(6)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 GN/GF 0.308 0.309 0.31 0.311 0.312 0.313 0.314 0.315 R ν RSU(6) ; a=1.1 RSU(6) ; a=1.5 RSM RNuTeV Gambar 4.2: Grafik Rν vs G
N/GF untuk hasil yang diprediksi SM dengan global
fit, hasil eksperimen NuTeV dan hasil koreksi teori SU (6) untuk nilai a = 1.1 dan a = 1.5 .
interaksi charge current lebih kuat jika dibandingkan dengan interaksi neutral current-nya, hal ini berbeda dengan teori SM dimana interaksi neutral current lebih kuat dibandingkan dengan interaksi charge current-nya.
Jika kita membuat plot grafik Rν terhadap nilai a, maka akan kita dapatkan
grafik seperti dalam Gb.4.3. Dari grafik tersebut dapat kita lihat bahwa untuk nilai GN/GF = 0.01 akan kita peroleh range untuk nilai 1.3234 < a < 1.7637,
sedangkan untuk nilai GN/GF = 0.05 maka akan kita dapatkan range nilai
1.0672 < a < 1.1588. 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 a 0.31 R ν RSU(6) ; GN/GF=0.05 RSU(6) ; GN/GF=0.01 RSM RNuTeV
Gambar 4.3: Grafik Rν vs a untuk hasil yang diprediksi SM dengan global fit,
hasil eksperimen NuTeV dan hasil koreksi teori SU (6) untuk nilai GN/GF = 0.01
Bab 5
Kesimpulan dan Saran
Setelah dilakukan perhitungan dan hasilnya ditunjukkan oleh grafik, maka anoma-li NuTeV dapat dijelaskan dengan teori SU (6) -dengan cara menambahkan gauge boson baru yang tidak muncul dalam teori SM - untuk nilai a = 1.1 maka di-dapatkan range nilai 0.0331 < GN/GF < 0.0818, sedangkan untuk nilai a = 1.5
maka akan kita dapatkan range nilai 0.0064 < GN/GF < 0.0154. Nilai a pada
perhitungan diatas harus lebih besar dari satu (a > 1) agar dapat menjelaskan anomali NuTeV. Sebaliknya jika kita memfit nilai GN/GF = 0.01 akan kita
da-patkan range nilai 1.3234 < a < 1.7637, sedangkan untuk nilai GN/GF = 0.05
akan kita dapatkan range nilai 1.0672 < a < 1.1588.
Saran untuk penelitian lebih lanjut adalah menerapkan teori SU(6) untuk eksperimen-eksperimen lain yang belum dapat dijelaskan oleh teori SM, misalnya untuk menjelaskan peluruhan proton. Hal ini akan memberikan batasan (con-straint) untuk nilai GN/GF serta nilai a, sehingga akan dapat nilai GN/GF dan
Lampiran A
Notasi
Sistem satuan yang digunakan dalam perhitungan ini adalah sistem satuan alami (natural system of units), di mana didefinisikan ¯h = c = 1 dan tidak berdimensi. Energi, massa, dan momentum, seluruhnya berdimensi energi, yakni dengan sa-tuan MeV. Dengan demikian, dimensi panjang dan luas masing-masing menjadi energi−1 dan energi−2. Untuk mendapatkan nilai dan mengembalikan dimensi besaran yang ingin diketahui, digunakan konversi berikut [14]:
¯
h = 6.58212233(49)× 10−22 MeV s (A.1)
¯
hc = 197.327053(59) MeV fm (A.2)
Lampiran B
Perhitungan
Pers.(3.15) dapat diperoleh dengan cara berikut:
dσ = 1 4(k· p)2− m2M21/2 |M| 2 d 3k0 2E0 (2π)3, (B.1) dengan −iM(νN → µX) = −iG√F 2 1 (1 + Q2/M2 W) [µγµ(1− γ5)ν] Z d4x eiq·xhX|Jµ(x)|P i, (B.2) −iM(νN → νX) = −iG√N 2 1 (1 + Q2/M2 Z) [νγµ(1− γ5)ν] Z d4x eiq·xhX|Jν(x)|P i, (B.3) dalam perhitungan orde terendah nilai GN = GF. Jµ dalam pers.(B.2) adalah
quark charge current, sedangkan Jν dalam pers.(B.3) adalah quark neutral
cur-rent, sehingga akan didapatkan nilai |M|2 = G 2 F 2 1 (1 + Q2/M W,Z)2 LµνWµν4π, (B.4)
faktor 4π berasal dari normalisasi Wµν, untuk nilai
WCCµν = 1 4π X N 1 2 X s Z YN n=1 d3p0 n 2E0 n(2π)3 X sn hp, s|Jµ†|XihX|Jµ|p, si(2π)4δ(4)(p + q−X n p0n), (B.5) WN Cµν = 1 4π X N 1 2 X s Z YN n=1 d3p0 n 2E0 n(2π)3 X hp, s|Jν†|XihX|Jν|p, si(2π)4δ(4)(p + q−Xp0n), (B.6)
Selanjutnya dengan menggunakan pers.(3.2) dan (3.4) kita dapatkan dσ = 1 4M (E2− m2)1/2 |M| 2 |k0| 2 dk0 dΩ 2E0 (2π)3 , (B.7)
dengan menggunakan relasi momentum-energi relativistik, kita dapatkan
dσ = 1 64π3M |M|2 (E02− m02 )1/2 (E2− m2)1/2 dE 0 dΩ, (B.8)
dengan menggunakan pers.(3.7) dan (3.8), kita mengubah dE0dΩ kedalam bentuk
dν dQ2 dengan relasi berikut:
dE0 dΩ = 2π Q2 1 1−4m2MQ42x2y2 1/2 1− 4mQ024(1−y)M2x22y2 1/2 " 2 1− M 2x2y2 Q2(1− y) ! − 1− 2m 2M2x2y2 Q4(1− y) − 2m02M2x2y2 Q4(1− y) − 2M2x2y2 Q2(1− y) ! × 1 1− 4m2MQ24x2y2 + 1 1− 4m02M2x2y2 Q4(1−y)2 dν dQ2, (B.9) kemudian kita mengubah dν dQ2 kedalam bentuk dx dy dengan menggunakan
pers.(3.10) dan (3.12), sehingga akan didapatkan relasi:
dν dQ2 = 2M E2y dx dy, (B.10)
langkah terakhir adalah dengan cara mengubah suku ketiga dari pers.(B.8) kedalam kaitannya dengan x dan y sebagai berikut:
(E02− m02)1/2 (E2− m2)1/2 = (1− y)1− 4mQ024(1−y)M2x22y2 1/2 1− 4m2MQ24x2y2 1/2 , (B.11)
langkah terakhir adalah mensubstitusi pers.(B.4), (B.9), (B.10), dan (B.11) kedalam pers.(B.8), maka akan didapatkan pers.(3.15).
Daftar Acuan
[1] NuTeV: G. P. Zeller et. al., Phys. Rev. Lett. 88, (2002) 091802.
[2] V. A. Uvarov et. al., “A Combination of Preliminary Electroweak Mea-surements and Constraint on the Standard Model”, CERN-EP/2001-98,hep-ex/0112021.
[3] M. Gruenewald, private communication, for the fit of Ref.[2] without neutrino-nucleon scattering data included.
[4] S. L. Glashow, Nucl. Phys. 22, (1961) 579. [5] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, (1967) 1264.
[6] A. Salam, in Elementary Particle Theory, (edited by N. Svartholm), Almquist and Forlag, Stokcholm, 1968.
[7] M. Kobayashi dan T. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49, (1973) 652. [8] N. Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10, (1963) 531
[9] Particle Data Group, Review of Particle Physics, Phys. Lett. B, (2004) 592 [10] A. Hartanto dan L.T. Handoko, Physics Journal of the Indonesian Physical
Society C8, (2004) 0502.
[11] R. P. Feynman dan M. Gell-Mann, Phys. Rev. 109 (2002) 193. [12] C. G. Callan dan D. G. Gross, Phys. Rev. Lett 22, (1969) 156.
[13] F. Halzen dan A. D. Martin, Quarks and Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, Wiley, New York, 1984.
[14] M. E. Peskin dan D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field The-ory, Westview, USA, 1995.
[15] G. P. Zeller, A Precise Measurement of the Weak Mixing Angle in Neutrino-Nucleon Scattering, Ph.D Thesis, Northwestern University, 2002.
