Algadfma A. Pembsatan Parameter Domain

ALGORITMA ECC

Algadfma A.

Pembsatan Parameter Domain

Input: Suatu

F,

,

FR,

tingkat keamanan L memenuhi 160

<

L <

LlogZpJ

clan

f > _ 4

&

Output:

Parameter-parameter domain D

=

@,

Fq

S,

a,

b, P, n, h)

1.

Pilih

a,

b

E

Fp secara random dengan menggunakan Algoritma

C

untuk

kurva eliptik E, yaitu

9

=

x3

+

mc

+

b.

2. Hitung

N =

#E(F,).

3.

Periksa bahwa N dapat dibagi dengan suatu prima besw

n

yang

memenuhi

n

>

2L.

Jika tidak, maka ke langkah 1.

4.

Periksa bahwa n

tidak

membagi

pk

-

1 untuk 1

<

k

<

20. Jika tidak,

maka ke langkah 1.

5.

Periksa bahwa

n

# p .

Jika tidak, maka ke langkah I .

6.

Buat h

t

Nln.

7 .

Pllih sembmng titik

P'

E

E(Fp) d m buat P

=

hhP

'.mgi

w

p

a

i

P

#

03.

8.

Hasilnya

(p,

a,

B, P,

n,

h).

Algoritma

B.

Validasi Eksplisit dari Parameter Domain.

Input: Set parameter domain D

=

@,

a,

b,

P,

n,

h)

Output:

Penerimaan atau penolakan validasi D

1.

Periksa bahwap adalah prima.

2.

Peiksa baliwa

a, 6,

xp, y p

(dimana

P i x ,

y)) addah elemen-elemen

dari

F,.

3.

Periksa bahwa

a

dan b meridefinisikan matu kurva eliptik atas

F,

(yaitu,

&

+

27b2

#

0

untuk fapangan-lapangan denganp

>

3).

4.

P&sa bahwa

P

;t co

5. Periksa bahwa

P

memenuhi persamaan kurva eliptik ynag

dideflnisikan oleh a d m b

6.

Periksa bahwa n adalah prima, bahwa n

>

2I6O

d m bahwa

n

>

_4&.

7.

Periksa bahwa

nP

= m.

8.

Hitung

h'

=

k&

+

I ) ~ / ~ J

dan periksa bahwa

h

=

h'.

9.

Periksa bahwa

n

tidak membagi

qk

-

1 untuk

1<

k < 20.

10. Periksa bahwa n t p .

11.

Jika beberapa pemeriksaan gagal maka hasilnya ("Invalid"); lainnya

("Valid").

Algoritma C. Pembuatan Kuwa Eliptik Random atas

Fp

Input: Suatu primap, dan hngsi

hash

1-bit H

Output: Sebuah seed

S dengan ukuran minimal 160 bit, dan

a,

b

G

Fp

mendefinisikan suatu kurva eliptik

E:

yz

=

2

+

ax

+

b

1.

~ ~ ~ t t t r 1 0 ~ ~ l , ~ t r ( t - 1 ) 1 t 1 , ~ t t t ~ 1 .

2. Pilih sembarang string bit

S

dengan panjang g

2

1

bit.

3.

Hitung

h

=

H(S), d m misalkan r o adalah string bit dengan panjmg

v

bit

yang diperoleh dengan menggunakan bit-bit paling kanan

v

dari h.

4.

Misalkan

Ro

adalah string bit yang diperoleh dengan meletakkan bit paling

kiri

YO

ke 0.

5.

Misalkan z adalah intejertepresentasi biliernya adalah

S.

6.

Untuk

i

=

1

ke

s

maka:

6.1 Misalkan

s,

adalah representasi bner g-bit dari intejer (z

+

i)

mod

Zg.

6.2

Hitung

Ri

=

H(si).

7.

Misalkan

R

=

&

11

RI

11

...

(1

R,.

8.

Misdkan

r

adalah intejer yang representasi binemya adalah

R.

9.

Jika

r

=

0 atau jika

4v

+

27

-=

0 (modp)

maka

ke langkah

2.

10. Pilih sembarang

a,

b

E

Fp

,

a, b

it

0, sehingga

r .

b2 =

d

(modp).

1

1. Hasilnya (S,

a,

b).

Algoritma

D.

Pemeriksaan Kurva Eliptik Random atas

F,

Input: Prima p

>

3,

fungsi hash

H,

seed

S

dengan panjang bit

g

>-

1, dan

a,

b

G

Output:

Penerimaan atau penolakan bahwa E dibuat menggunakan algoritma

C.

1 .

~ ~ ~ t t t r ~ ~ ~ ~ ~ l , ~ t r ( t - i ) / i 1 , ~ t t t ~ z .

2.

Hitutig h

=

H(S),

d m misalkan

ro

adalah string bit dengaa panjang

v

bit

yang diperoleh dengan menggunakan bit-bit paling

kanan v

dari

h.

3.

Misalkan

&,

adalah string bit yarig diperoleh dengm meletakkan bit paling

kiri

ro ke

0.

4.

Misalkan

z

adalah intejer representasi binemya adalah

S.

5.

Untuk

I =

1

ke

s

maka:

5.1

Misalkan

s,

adalah representasi bner g-bit dari intejer

(z

+

i )

mod

2g.

5.2

Hitung Ri

=

H(s,).

6. MisalkanR

=Roll

RI

11

...

11

R,.

7.

Misalkan

r

adalah intejer yang representasi binernya adalah

R.

8.

Jika

r

. b2

5

d

(modp) maka hasilnya ("Terima"); lainnya ("Tolak").

Algoritma E. Pembuatan Pasangftn Kunei

Input: Parameter domain D

=

(p,

a,

b,

P,

n, h)

Output: Kunci publik Q, kunci pribadi

d

1. Pilih d

ER

[I, n-11.

2 .

Hitung

Q

= 6%'.

3.

Hasilnya (Q,

4.

Algoritma F. Pengesahan Pasangan Kunci

Input: Parameter domain D

=

@,

a, b,

P,

n,

h)

Ourput: Penerimaan atau penolakan validitas

Q

1.

Periksa Q

# m.

2.

Periksa bahwa

XQ

dan

ye

merepresentasikan elemen-elemen

dari

F,

(misalkan intejer-intejer dalam interval [0,

p l ] ) .

3.

Periksa bahwa

Q memenuhi persamaan kurva eliptik yang didefmisikan

dengan a dan b.

4.

Periksa bahwa

nQ

=

a.

5.

Jiia beberapa verifikasi gagal

rnaka

hasilnya ("Invalid");

lainnya

("Valid").

Lamplran

2

PROGRAM TES KEPRIMAAN DAN PEMBANGKITAN KUNCI

ELGAMAL

PROGRAM TES KEPRIMAAN

with (numtheory) :

Tes Miller- Rabin

tesmilrab := proo (randp1::anything)

local r, s, t, r a n k , a, y, tes, j, integerp, flag, hasil, tesmilrab; r := randpl-1; s := 0; for s while 'modb(r, 2) = 0 do s := s; r := iquo(r, 2) end do; for t from 0 to 30 do t := t;

randx

:=

rand(2

..

randpl-2); a := rank(); y := 'mod'('CA'(a, r), randpl);

if y <> 1 and y <> randpl-1 then tes := 0;

for j to s

while j

<=

8-1 and y

<>

randpl-1 do y := 'mod'(yA2, randpl);

if y = 1 then

tes := 0; j := j+l; integerp := komposit else

tes := 1 integerp := pseudoprim end if

end do;

if y <> randpl-1 then

tes := 0 integerp := komposit end if

else

flag := 1; tes : 1 integerp := pseudoprim end if

end do;

t :- t; tes := integerp; tesmilrab := tes end proc:

Tes Syarat Prima

tesprim : = proc (prima) 10-1 - 5 , tesprim; tes := 'mod' (prima, 4) ;

if tes = 3 then tesprim := 1 else tesprim := 0 end if end proc:

Tes Prima

Biasa

teqriail := proc (prima) local d, tesl, tespriml; for d from 2 to prima-1

while t e s l

<>

0 do

d := d ; t e s l := 'mod' (prima, d) end do;

t e s p r h l := tesl

end proe:

Tes Prima Aman

teaprim2 := proc (prima) l o c a l y , tesprim2;

i f tespriml (prima) = 1 then

y := prima-1: y := (1/2)*y end i f ; i f tespriml(y) = 1 then tesprim2 := 1 e l s e tesprim2 := 0 end i f end proc:

Memilih suatu generator

dari grup siklikZp

primitif := proc (prima)

l o c a l a l f a , a l f a l , f l a g , q , b, b l , p r i m i t i f ; f l a g := 0; while f l a g

<>

1 do a l f a l := rand(1

..

prima-2); a l f a := a l f a l 0 ; q := ( 1 / 2 ) *prima-1/2; b

:=

'mod'(alfaA2, prima)

:

i f b = 1 then f l a g := 0 e l s e b l := 'mod'(alfaAq, prima) end i f ; i f b l = 1 then f l a g := 0 e l s e f l a g := 1 end i f end do; primitif := a l f a end proc:

Memilih

Prima

Aman

Randon:

rand1 := rand(50

. .

200) :

randpl := r a n d l 0 :

i f 'and' ( r e 1

+

3, type(randp1, men) ) than randpl : = randpl+l e l s e randpl := randpl end i f ; i f te&lrab(randpl) = 1 then integcrpl := t e s m i l r a b ( r a n a 1 ) ; 'impliea'(lakukan, lakukan*tes*prima*lagi) e l s e

.integarpl : = tesmilrab (randpl) end i f ;

i f isprime (randpl)

<>

t r u e then prima : = nextprima (randpl)

else

prima : = randpl end if;

if 'and'(tesprim(prima) = 1, tasprid(prima) = 1) then generatorprima := primitif(prima)

else

primanya inplies tidak*lolos*uji; lakukan implies pilih*primanya*lagi; prima : = safeprime (prima) ;

generatorprima : = primitif (prima) end if;

randpl :=95 integerpl := kon~posit

piimu := 97

lakukun pilih printo~lya lugi prima := 10:

PROGRAM PEMBANGKITAN KUNCI ALGORITMA ENKRIPSI

ELGAMAL

Pembangkitan Kunci Penyandian Kunci Publik ElGamal

alpha := primitif (p) :

acak := rand(1

..

p-2): a := acak0 :

y := 'mod' ( ' L A ' (alpha, a), p) :

print(Kunci*Publik*A*a&lah*('p' = p, 'alpha' = alpha, ' y o = y ) ) ;

print(Kunci*Pribadi*A*a&1ah*('a1 = a));

Kzaxci Publik A udnluh { p = 467,

n

= 418,y

-

57) Kunci Pn'hadi A uduluh ( a = 2 13)

Lampiran

3

PROGRAM ARITMATIKA KURVA ELIPTIK

Program Kuna Ellptlk

restart:

Peudefinisian F'rcsedw yang digunakan

with (numtheory) :with (RandomTools) :

with(RandomTools[MersemeTwister]):

W i r i m a A c a k

adalah hosedur

untuk membangkitkan bilangan prima secara acak m bit

PrimaAcak := proc (m: :posint)

local AcIn::PrimaAcak, ml,m2,R,i::integer, T::symbol: ml := 2*(m-1):

m2 := 2"(m) ;

AcIn := rand(ml. .m2) :

R:=AcIn ( ) :

T: =isprime (R) :

for i while '&false do R:=AcIn() : T: =isprime (R) : end do: return (R) : end proc:

Contob:

st := time0 :Bit:=6:

P:=PrimaAcak(Bit) ;waktu := time0 -st;

P : = 1 7

,*.lr!.-ru . .

-

. .. . . . .=O

-

.

ECAcak

adalah

Pmsedur untuk membangkitkan parameter

a dan

b (persamaan kurva) dengan b tidak no1 (agar

kurva

tidak memuat tit& [O,O]),

secara

acak

ECAcak := proc(P::posint)

local Ac1n::PrimaAcak. a,b,T,i::integer: AcIn := NewGenerator(range=l..P-1):

a:=AcIn() :

b:=AcInO :

T:=(4*aA3+27*b*2) mod P: for i while T=O and b=O do

a:=AcInO : b:=AcInO : T:=(4*aA3+27*bA2) mod P: end do: return(Ia,bl): end proc:

Contoh:

>

K:=ECAcak (P) ;

K

:= [2,2]

Titik-titik Kurva EBptik adalah hsedur untuk membangkitkan

semua

titik pada

kurva

Titik2 := proc (P::posint, K::list)

local s. R. T, x , y, B, i, waktu, st, j, ordarp; st := time0 ; s := ['$'(O

. .

P-l)]; i := 0; for

x

in s do R :- .d' (xA3+K[11 *x+K[2],

P)

; T :

-

legendre (R, P) ; if T = 1 then i := i+l;

y := mroot(R, 2, P);print([x, yl); B := [x, yI;y := 'mod'(-op(2

,

a),

P) ;

print ( [x, yl )

end if end -do ;

j := 2 * i + l ; print('OrderP1

=

j ; orderp

:=

j; waktu

:=

tima()-st;print('waktut = waktu) end proc :

Contoh:

>

~ i t i k Z ( ~ ,

x);

[461,[O.llI,[3, 11,[3.16],k5, lI,[5,16],[6.31,[6, 14I3~7,6j,[7,11],[9,l,1'),16] [10,61, [10,11], [13.7] [13, lOj [16,4] [16.13] Orderl'= 19 trahiu =00.06C

AdisiTtk

adalah

prosedw menjumlahkan dua titik

X

dan

Y

pada M a

eliptik

A,

dengan unsur

identitas

[O,O] (titik

di

talc hingga).

AdisiTtk:= proc(X::list,Y::list,A::list,P::posint) local l,hl,h2::intager:

if Eq(X,[o,O])=t~e or Eq(Y,[O,Ol)=true then return([X[ll+Y[ll ,X[2l+Y 1211) ;

elif Eq(X,Y)=true then

I:=( (3*X[1lA2+A[1I)/ (2*X[2]) ) mod P: hl:=(lA2-2*X[11) mod P:

h2:=(l*(X[l]-h1)-X[21) mod P: return([hl,hZ]) ;

elif Eq(Y ,Neg(X,P) )=true then return([O,OI) ; else 1:=((Y~~l-x[2l)/(Y[1l-x[ll)) mod P: hl:=(lA2-X[l]-Y[l]) mod P: h2:=(l*(X[l]-h1)-X[21) mod P: return( [hl ,h2] ) ; end if: end proc:

MultiTtk adalah Prosedur

untuk

menghitung

kelipatan

titik

sebanyak k kali.

&ltiTtk:~proc(A::list,k::integer,K::list,P::integer) local H,G,X::list, i::integer:

X:=convert (k ,bass , 2 ) ;

G:=A: H:=[O,Ol :

if op(l,X)=l then H:=G:

end if:

for i from 2 to nops (X) do G:=AdisiTtk(G,G,K,P) : if op(i,X)=l then H:=AdisiTtk(H,G,K,P) : end if: end do: return ( A ) ; end proc:

Neg

adalah

Prosedur

untuk

menexitdm negatif

suatu titik.

Neg := proc(B::list,P::posint) local y::posint:

Y

:= -(op(2,B)) mod P; =turrn([op(l,B) ,yl): end proc:

Contoh:

>

nA:=Neg(A,P) ;

nA :=[17; 141

Eq adalah Prosedm untuk memeriksa kesamaan dua titik.

Eq := proc(A::list,B::list) if A[lI=B[ll and A[2I=Bf21 then

return (true) ; else return (false) ; end if: end proc: Contoh:

>

Test:=Eq(A,nA) ; T i t :=false

PilihTitikAcak adalah F'rosedur untuk pembangkitan satu titik

pada

kurva secara

acak

orderP:=19: TitiWcak := proc(K::list,P::posint) local AcIn,x,y,T,R,i,k,A,G,A,X,orderA: AcIn := NewGenerator(range=l..P-1): x:=AcIn(); R:=(xA3+K[1] *x+K[2] ) mod P; T: =legendre (R,P) ; for i while T=(-1) do x:=AcIn() ;#print('xl'=x) ; R:=(xA3+K[1] *x+K[2] ) mod P: T: =legendre (R, P) ; end do: y:=nuoot(R,2,P) ; A:=[x,yl; k:=(2*P)+l;X:=convert(k,base,2); if op(l,X)=l then G:=A: end if: H:=G; for i from 1 to k

while Eq(H, [O,Ol)=false do

H:=MultiTtk(A,i,K,P):#print(i= A): end do:

orderA:=i-1; #print('orderA1=i-1);

for i while orderA

<>

orderP do for i while T=(-1) do x:=AcIn() : R:=(xA3+K[11*x+K[2]) mod P: T : -legendre (R, P) ; end do: y:=mroot(R,2,P) ;

end do: A:-[x,y] ;

end proc:

contoh:

>

A := ~ i t i k ~ c a k ( ~ , P) ;

A := [3,1 j

Sub-grup kurva Eliptik yang dibangkitkan o l d titik generator k:-(2+P)+1:

OenO~pSiklik:=proa(A::list,k::integer,K::list,P::intager) local H,G,X::list, i,ordcrA::integer:

X:=convert(k,baee,2); if op(l,X)=l then G:=A: end if: H:=G; for i from 1 to

k

while E q ( H , [O,O])=false do X:=MultiTtk(A,i,K,P):print(i- X): end do:

orderA:=i-1; print ( 'orderAT=i-1) ;

end proc:

>

GenGrupSiklik (Ask ,K, P) :

1 = [ 3 , l ] 2 = [ 1 3 , 7 ] 3=[0.11], 4=[10,11], 5 = [ 5 , l ] , 6=[9.16J, 7 = [ 7 , 6 ] , 8=[16,4], 9=16.14J, 10=[6,3J, 1 1 = [ I & 131 12=[7,11], 13=[9,1], 14=[5. 161, 15=[10,64 16= [0,6], 17= [13, 101, 18= [3,16j, 19- [O,O], orderA = 19