BAB 3.Penerapan Diferensial
Fungsi Sederhana dalam Ekonomi
A. Elastisitas
E
E
l
l
a
a
st
s
ti
is
si
it
ta
as
s
me
m
er
ru
up
p
ak
a
ka
an
n
p
p
e
e
r
r
s
s
e
e
n
n
t
t
a
a
s
s
e
e
p
pe
e
r
r
ub
u
ba
ah
ha
an
n
y
y
t
t
e
e
r
r
h
h
a
a
d
d
a
a
p
p
p
p
e
e
r
r
s
s
e
e
n
n
t
t
a
a
s
s
e
e
p
p
e
e
r
r
u
u
b
b
a
a
h
h
a
a
n
n
x
x
.
.
1.1 Elastisitas Permintaan
Elastisitas Permintaan adalah
besarnya perubahan jumlah
permintaan
barang, akibat
adanya perubahan harga.
R
R
u
u
m
m
u
u
s
s
e
e
l
l
a
a
s
s
t
t
i
i
s
s
i
i
t
t
a
a
s
s
p
p
e
e
r
r
m
m
i
i
n
n
t
t
a
a
a
a
n
n
→η
d d = = dP dQd . . d Q P , ,K
K
e
e
t
t
:
:
Q
Q
d
d
f
f
u
u
n
n
g
g
s
s
i
i
p
p
e
e
r
r
m
m
i
i
n
n
t
t
a
a
a
a
n
n
,
,
P
P
H
H
a
a
r
r
g
g
a
a
P
P
e
e
rm
r
mi
in
nt
ta
aa
an
n
s
s
u
u
a
a
t
t
u
u
ba
b
ar
ra
an
ng
g
d
d
i
i
k
k
a
a
t
t
a
a
k
k
a
a
n
n
b
b
e
e
r
r
s
s
i
i
f
f
a
a
t
t
:
:
E
E
l
l
a
a
s
s
t
t
i
i
s
s
→j
j
i
i
k
k
a
a
η dd>
>
0
0
jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg t teerrsseebbuutt bbeerruubbaahh sseebbeessaarr pprreesseennttaassee tteerrtteennttuu,, m maakka a peperrmmininttaaaann ttererhhaaddaappnnyyaa akakanan beberruubbaahh d deennggaann peperrssenenttaassee yayanngg lelebbiihh bebessaarr dadarriippaaddaa p peerruubbaahhaann haharrggaannyyaaI
I
n
n
e
e
l
l
a
a
s
s
t
t
i
i
s
s
→j
j
i
i
k
k
a
a
η dd<
<
0
0
jijikka a haharrggaa babarraanngg t teerrsseebbuutt beberruubbaahh sesebbeessaarr prpreesseennttasase e ttererttenenttu,u, m maakkaa peperrmmininttaaaann ttererhhaaddaappnnyyaa akakanan beberruubbaahh d deennggaann peperrssenenttaassee yayanngg lelebbiihh kekeccilil dadarriippaaddaa p peerruubbaahhaann haharrggaanynyaaU
U
n
n
i
i
t
t
e
e
r
r
→j
j
i
i
k
k
a
a
η dd=
=
0
0
jijikkaa haharrggaa babarraanngg t teerrsseebbuutt beberruubbaahh sesebbeessaarr prpreesseennttaasse e ttererttenenttuu,, m maakka a peperrmmininttaaaann ttererhhaaddaappnnyyaa akakanan beberruubbaahh d deennggaann peperrsseennttasase e yyanangg sasamma a dedennggaann peperruubbaahhaann h haarrggaannyyaaC
Co
on
nt
t
oh
o
h
:
:
Fu
F
un
ng
gs
si
i
pe
p
er
rm
mi
in
nt
ta
aa
an
n
a
a
k
k
a
a
n
n
s
s
u
u
a
a
t
t
u
u
b
ba
ar
r
an
a
ng
g
→Q
Q
=
=
2
25
5
–
–
3
3
P
P
22T
Te
en
nt
tu
u
k
k
an
a
n
e
e
l
l
a
a
s
s
t
t
i
i
s
s
i
i
t
t
a
a
s
s
p
p
e
e
r
r
m
m
i
i
n
n
t
t
a
a
a
a
n
n
n
n
y
y
a
a
p
p
a
a
d
d
a
a
t
ti
in
ng
g
k
k
at
a
t
h
h
ar
a
rg
ga
a
P
P
=
=
5
5.
.
J
J
a
a
w
w
a
a
b
b
:
:
→η
dd=
=
dP dQd.
.
d Q P=
=
(
(
-
-
6
6
P
P
)
)
2 3 25 P P −=
=
-
-
6
6
(5
(
5)
)
2 ) 5 ( 3 25 ) 5 ( −=
=
3
3
→η
dd=
=
3
3
(
(
e
e
l
l
a
a
s
s
t
t
i
i
s
s
)
)
a
a
r
r
t
t
i
i
n
n
y
y
a
a
p
p
a
a
d
d
a
a
k
k
e
e
d
d
u
u
d
d
u
u
k
k
a
a
n
n
h
h
a
a
r
r
g
g
a
a
P
P
=
=
5
5
,
,
j
j
i
i
k
k
a
a
h
h
a
a
r
r
g
g
a
a
b
b
a
a
r
r
a
a
n
n
g
g
n
n
a
a
i
i
k
k
s
se
eb
be
e
sa
s
ar
r
1
1
%,
%
,
m
m
a
a
k
k
a
a
pe
p
er
rm
mi
in
nt
ta
aa
an
nn
ny
ya
a
a
a
k
k
an
a
n
t
tu
ur
ru
un
n
s
se
eb
ba
an
ny
ya
ak
k
3
3
%
%
.
.
1.2 Elastisitas Penawaran
adalah adalah besarnya perubahan
jumlah barang yang ditawarkan, jika
ada perubahan harga
Ru
R
um
mu
us
s
E
El
la
as
st
ti
is
si
i
t
t
a
a
s
s
P
P
e
e
n
n
a
a
w
w
a
a
r
r
a
a
n
n
η
s s=
=
dP dQs.
.
s Q PK
K
et
e
t
:
:
Q
Qs
s
f
f
u
u
n
n
g
g
s
s
i
i
p
p
e
e
n
n
a
a
w
w
a
a
r
r
a
a
n
n
,
,
P
P
H
Ha
ar
rg
g
a
a
P
P
e
e
n
n
a
a
w
w
a
a
r
r
a
a
n
n
s
s
u
u
a
a
t
t
u
u
ba
b
ar
ra
an
ng
g
di
d
ik
ka
at
ta
ak
ka
an
n
be
b
er
rs
si
if
fa
at
t:
:
C
C
on
o
nt
t
o
o
h
h
:
:
Fu
F
un
ng
gs
si
i
pe
p
en
na
aw
wa
ar
ra
an
n
s
s
ua
u
at
tu
u
ba
b
a
r
r
an
a
ng
g
d
di
ip
pe
e
r
r
l
l
ih
i
ha
a
t
t
k
k
an
a
n
→Q
Q
=
=
-
-
2
2
0
0
0
0
+
+
7
7
P
P
22Tentukan elastisitas penawarannya,
pada tingkat harga P = 10
J
Ja
aw
wa
a
b
b
:
:
η
ss=
=
dP dQs.
.
s Q P=
=
(
(
1
1
4
4
P
P
)
)
2 7 200 P P + −P
P
a
a
da
d
a
P
P
=
=
10
1
0
→η
ss=
=
(1
(
14
4)
)(
(1
10
0)
)
2 ) 10 )( 7 ( 200 ) 10 ( + −=
=
2
2
,
,
8
8
(
(
e
e
l
l
a
a
s
s
t
t
i
i
s
s
)
)
η
ss=
=
2
2
,
,
8
8
a
a
r
r
t
t
i
i
n
n
y
y
a
a
p
p
a
a
d
d
a
a
k
k
e
e
d
d
u
u
d
d
u
u
k
k
a
a
n
n
h
h
a
a
r
r
g
g
a
a
P
P
=
=
10
1
0,
,
j
j
i
i
k
k
a
a
ha
h
ar
rg
ga
a
b
b
a
a
r
r
a
a
n
n
g
g
na
n
ai
ik
k
1
1
%
%
,
,
ma
m
ak
ka
a
j
ju
um
ml
la
ah
h
ba
b
ar
ra
an
ng
g
y
y
a
a
n
n
g
g
d
d
i
i
ta
t
aw
wa
a
rk
r
ka
an
n
j
j
ug
u
ga
a
a
a
k
k
a
a
n
n
n
n
a
a
i
i
k
k
s
s
e
e
b
b
a
a
n
n
y
y
a
a
k
k
2
2
,
,
8
8
%
%
.
.
1.3 Elastisitas Produksi
Elastisitas Produksi adalah besarnya
perubahan jumlah output yang
dihasilkan, karena adanya perubahan
jumlah input.
R
R
u
u
m
m
u
u
s
s
E
E
l
l
a
a
s
s
t
t
i
i
si
s
it
ta
as
s
P
Pr
ro
od
du
uk
ks
si
i
η
p
p
=
=
dx dP.
.
P xK
K
e
e
t
t
:
:
P
P
j
j
u
u
m
m
l
l
a
a
h
h
p
p
r
r
o
o
d
d
u
u
k
k
y
y
a
a
n
n
g
g
d
d
i
i
h
h
a
a
s
s
i
i
l
l
k
k
a
a
n
n
(
(
o
o
u
u
t
t
p
p
u
u
t
t
)
)
x
x
j
j
u
u
m
m
l
l
a
a
h
h
f
f
a
a
k
k
t
t
o
o
r
r
p
p
r
r
o
o
d
d
u
u
k
k
s
s
i
i
y
y
a
a
n
n
g
g
d
d
i
i
g
g
u
u
n
n
a
a
k
k
a
a
n
n
(
(
i
i
n
n
p
p
u
u
t
t
)
)
C
C
o
o
n
n
t
t
o
o
h
h
:
:
F
F
u
u
n
n
g
g
s
s
i
i
p
p
r
r
o
o
d
d
u
u
k
k
s
s
i
i
s
s
u
u
a
a
t
t
u
u
b
b
a
a
r
r
a
a
n
n
g
g
d
d
i
i
t
t
u
u
n
n
j
j
u
u
k
k
k
k
a
a
n
n
P
P
=
=
6
6
X
X
22–
–
X
X
33H
H
i
i
t
t
u
u
n
n
g
g
el
e
la
as
st
ti
is
si
it
ta
as
s
p
pr
ro
od
du
uk
ks
si
in
ny
ya
a,
,
pa
p
ad
da
a
ti
t
in
ng
gk
ka
at
t
p
p
e
e
n
n
g
g
g
g
u
u
n
n
a
a
a
a
n
n
f
f
a
a
k
k
t
t
o
o
r
r
p
p
r
r
o
o
d
d
u
u
k
k
s
s
i
i
(
(
i
i
n
n
p
p
u
u
t
t
)
)
s
s
e
e
b
b
e
e
s
s
a
a
r
r
X
X
=
=
3
3
J
J
a
a
w
w
a
a
b
b
:
:
η
pp=
=
dx dP.
.
Px=
=
(
(
1
1
2
2
X
X
–
–
3
3
X
X
22)
)
2 3 6X X X −
P
P
a
a
d
d
a
a
X
X
=
=
3
3
→η
pp=
=
(
(
1
12
2
.
.
3
3
–
–
3
3
.
.
3
3
22)
)
2 3 ) 3 ( ) 3 ( 6 3 −=
=
1
1
η
pp=
=
1
1
(
(
u
u
n
n
i
i
t
t
e
e
r
r
)
)
a
a
r
r
t
t
i
i
n
n
y
y
a
a
p
p
a
a
d
d
a
a
t
t
i
i
n
n
g
g
k
k
a
a
t
t
p
p
e
e
n
n
g
g
g
g
u
u
n
n
a
a
a
a
n
n
i
i
n
n
p
p
u
u
t
t
X
X
=
=
3
3
,
,
j
j
i
i
k
k
a
a
i
i
n
n
p
p
u
u
t
t
d
d
i
i
t
t
a
a
m
m
b
b
a
a
h
h
1
1
%
%
,
,
ma
m
ak
ka
a
ju
j
um
ml
la
ah
h
pr
p
ro
od
du
uk
ks
si
i
(
(o
ou
ut
tp
pu
ut
t)
)
j
ju
ug
ga
a
a
ak
ka
an
n
b
be
er
rt
ta
am
mb
ba
ah
h
1
1
%
%.
.
B. Biaya Marjinal dan Penerimaan
Marjinal
1. Biaya Marjinal
B Biiaayyaa MMaarrjjiinnaall (( MMCC )) aaddaallaahh bbeessaarrnnyyaa b biiaayyaa yyaanngg hhaarruuss ddiittaammbbaahhkkaann ,, jjiikkaa j juummllaahh pprroodduukkssii ddiittaammbbaahh 11 uunniitt.. RRuummuuss bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall MMCC == TTCCII == dQ dC d daann M MCC mmiinniimmuumm jjiikkaa MMCCII == 00C Coonnttoohh :: B Biiaayya a totottaall (T(TCC)) = = f f ((QQ) ) == QQ 33 –– 33 Q Q 22 + + 4 4 Q Q ++ 44 B Biiaayya a MMararjjiinnaall (M(MCC)) = = TCTC ‘‘ == 3 3 Q Q 22 – – 6 6 Q Q + + 44 P Paaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii// ppeennjjuuaallaann bbeerraappaakkaahh b biiaayya a mamarrjijinnaall miminniimmuum m ? ? BBereraappaa bebessararnnyyaa b biiaayya a mamarrjjiinnaall mmiinniimmuumm tterersseebbuutt ? ? JJaawwaabb == MMCC mmiinniimmuumm ppaaddaa MMCC ‘‘ == 00 M MCC ‘‘ == 66 QQ –– 66 == 00 → 66 QQ == 66 → QQ == 11→ MMCC m miinniimmuumm M MCC mmiinniimmuumm == 33 QQ 22 –– 66 QQ ++ 44 == 33 (( 11 )) 22 –– 6 6 (( 11 )) ++ 44 == 66 JJaaddii bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall mmiinniimmuumm s seebbeessaarr RRPP.. 66 ppaaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii 11 uunniitt..
2. Penerimaan Marjinal
P Peenneerriimmaaaann MMaarrjjiinnaall aaddaallaahh bbeessaarrnnyyaa t taammbbaahhaann ppeenneerriimmaaaann,, jjiikkaa jjuummllaahh p prroodduukkssii aattaauu bbaarraanngg yyaanngg tteerrjjuuaall b beerrttaammbbaahh 11 uunniitt RRuummuuss ppeenneerriimmaaaann mmaarrjjiinnaall MMRR == TTRR II == dQ dR d daann TTRR mmaakkss.. JJiikkaa MMRR == 00 CCoonnttoohh :: ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu bbaarraanngg → P P == 1166 –– 22 QQ B Beerraappaakkaahh bbeessaarrnnyyaa ppeenneerriimmaaaann mmaakkssiimmuumm ?? J Jaawwaabb :: F Fuunnggssii PPeenneerriimmaaaann TToottaall ((TTRR)) == PP..QQ == ( (1166 –– 22 QQ)) ((QQ)) == 1166 QQ –– 22 QQ 22 P Peenneerriimmaaaann MMaarrjjiinnaall ((MMRR)) == TTRR ‘‘ == 1166 –– 44 QQ T TRR aakkaann mmaakkssiimmuumm jjiikkaa MMRR == 00→ 1166 –– 44 QQ == 00 →44 QQ == 1166→QQ == 44 T TRR MMaakkss.. == 1166 QQ –– 22 QQ 22 == 1166 ((44)) –– 22 ((44)) 22== 3322 JJaaddii bbeessaarrnnyyaa ppeenneerriimmaaaann ttoottaall mmaakkssiimmuumm s seebbeessaarr RRpp.. 3322,,0000
C. Utilitas Marjinal
Utilitas marginal (MU)utilitas tambahan
yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi.
Fungsi utilitas total dinyatakan dengan U= f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal :
MU = U’ = dU / dQ
Kurva utilitas marginal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.
Contoh : U = f(Q) = 90Q – 5Q2 MU = U’ = 90 – 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0 Sehingga nilai Q = 9 Maka, Umaksimum = 90(9) – 5(9)2 = 810 – 405 = 405
D. Produk Marjinal
Produk marginal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjinal
merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan,
Maka produk marginal : MP = P’ = dp/ dx
Contoh:
Produksi total P = f(x) = 9x2 – x3 produk marjinalnya adalah
MP = P’ = 18x – 3x2
Sehingga Pmaksimum pada P’ = 0 yaitu pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108 P berada dititik belok dan MP maksimum pada P’’ = (MP)’ = 0 yaitu pada x = 3
E. Analisis Keuntungan
Maksimum
Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau memberikan kerugian maksimum dapat diselidiki dengan pendekatan diferensial.
F Fuunnggssii kkeeuunnttuunnggaann ((
π
))→π
== TTRR –– TTCCπ
aakkaann ooppttiimmuumm jjiikkaaπ
II = = 00π
’’’’ << 00 →π
mmaakkssiimmuumm == kkeeuunnttuunnggaann m maakkssiimmuummπ
’’’’ >> 00 →π
mmiinniimmuumm == kkeerruuggiiaann mmaakkssiimmuumm C Coonnttoohh :: j jiikkaa ffuunnggssii ppeenneerriimmaaaann → TTRR == -- 22 QQ 22++ 11000000 QQ D Daann ffuunnggssii bbiiaayyaa ttoottaall → TTCC==QQ33––5599QQ22++11331155QQ++ 22..000000B Beerraappaakkaahh ttiinnggkkaatt kkeeuunnttuunnggaann m maakkssiimmuumm ?? J Jaawwaabb ::
π
== TTRR –– TTCC ==((-- 22 QQ 22 + + 11000000 QQ)) –– ((QQ 33 –– 5599 QQ 22 + + 11331155 QQ ++ 22..000000))π
== -- QQ 33 + + 5577 QQ 22 -- 331155 QQ –– 22..000000 A Aggaarr kkeeuunnttuunnggaann mmaakkss.. →π
’’ == 00 →π
’’ == -- 33 QQ 22++ 111144 QQ –– 331155 == 00 -- QQ 22++ 3388 QQ –– 110055 == 00 ( ( -- QQ ++ 33 )) (( QQ –– 3355 )) == 00 →QQ 11== 33 ddaann QQ 22 == 3355 →π
’’’’ == -- 66 QQ ++ 111144 p paaddaa QQ == 33 →π
’’’’ == -- 66 QQ ++ 111144 == -- 66 (( 33 )) ++ 111144 = = 9966 >> 00 b beerraarrttii ppaaddaa QQ == 33 ,, mmaakkaa kkeerruuggiiaann aakkaann m maakkssiimmuumm.. p paaddaa QQ == 3355 →π
’’’’ == -- 66 QQ ++ 111144 == -- 66 (( 3355 )) ++ 1 11144 == -- 9966 << 00b beerraarrttii ppaaddaa QQ == 3355 ,, mmaakkaa kkeeuunnttuunnggaann a akkaann mmaakkssiimmuumm → π == -- QQ 33 ++ 5577 QQ 22 -- 331155 QQ –– 22..000000 == ((-- 3355)) 33 ++ 5 577 ((3355)) 22–– 331155 ((3355)) –– 22..000000 → π == 1133..992255 → jjaaddii kkeeuunnttuunnggaann mmaakkssiimmuumm sseebbeessaarr RRpp.. 1 133..992255,,0000 ppaaddaa jjuummllaahh ppeennjjuuaallaann sseebbaannyyaakk 3 355 uunniitt..
Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk
Diferensiasi fungsi majemuk
diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang
mengandung lebih dari satu macam
variabel bebas.
A. Diferensial Parsial
Diferensial Parsial
diferensiasi
secara bagian demi bagian
• Fungsi yang mengandung lebih
dari satu variabel bebas, maka
turunannya akan lebih dari satu
macam pula. Misal, fungsi
memiliki n macam variabel bebas,
maka ia akan memiliki n macam
turunan.
Contoh :
)
,
(
x
z
f
y
=
Diferensiasi Total:
Contoh:
B. Derivatif dari Derivatif Parsial
Masing-masing turunan parsialnya
masih mungkin diturunkan lagi
∂ ∂ = ∂ ∂ = z y z x f b x y z x f a y x x ) , ( ) ) , ( ) ? '...
dz
z
y
dx
x
y
dy
∂
∂
+
∂
∂
=
D. Optimasi Bersyarat
Apabila fungsi ingin dioptimumkan
tetapi terhambat oleh fungsi lain
yang harus dipenuhi, maka dapat
diselsaikan dengan metode :
Referensi :
