ALIRAN PANAS DAN ARUS DALAM THERMISTOR JENIS PTC PADA
RANGKAIAN LISTRIK
Zumrotus Sya’diyah
Staf Pengajar FKIP Universitas Darussalam-Ambon Diterima 27-2-2012 Diterbitkan 25-3-2012
ABSTRACT
Thermistor is an important electrical component. Many electrical instruments use it as the one of their composing part. Thermistor usually consists of semiconductor material which gives a high resistance of change by a low heat of change. For this purpose, the heat flow in a thermistor is very important to be studied. In this paper, we will construct the mathematical modeling to represent the heat flow in a thermistor, especially thermistor in a electrical circuit. This kind of heat flow is devided in 3 phases. They are cold, warm and hot phase. Furthermore, we also give the analytical solution of the model along with the geometrical representation, i.e graphically, of electrical potential and the temperature in the thermistor.
Keywords: Thermistor, mathematical modeling, analytical solution, electrical potential, temperatur.
PENDAHULUAN
Thermistor adalah resistor dengan besar hambatan yang diberikannya bergantung pada tinggi rendahnya temperatur. Thermistor biasanya tersusun dari material atau bahan semikonduktor yang dapat memberikan perubahan resistansi yang tinggi melalui perubahan panas yang cukup kecil. Bagian yang khas dari sebuah thermistor adalah bagian yang berbentuk koin dari sebuah bahan keramik khusus, bertebal Kira-kira 1 mm dengan jari-jari 5 mm, dan bersinggungan dengan logam pada permukaan datar.
Terdapat dua macam termistor, yaitu NTC (Negative Temperature Coefficient) dan PTC (Positive Temperature Coefficient). Tetapi, dalam paper ini hanya akan dibahas mengenai thermistor jenis PTC untuk lebih memudahkan proses penurunan model. Thermistor jenis ini dapat memberikan penambahan resistansi ketika suhunya meningkat. Jika arus melewati thermistor, hasil pemanasan Ohmic (I2R) meningkatkan resistansi (hambatan) sehingga pada suatu waktu tertentu dapat memutus arus jika dicapai suhu yang maksimal. Kemudian ketika arus tidak mengalir (hilang), thermistor dapat mendingin dan bekerja dengan normal kembali[1].
Thermistor banyak digunakan sebagai salah satu komponen penting dalam berbagai alat elektronika. Seperti televisi dan hairdrayer yang
memanfaatkan thermistor sebagai pelindung terhadap panas yang berlebihan. Keberadaan thermistor dalam kedua alat inilah yang menyebabkan televisi dan hairdrayer mati sementara ketika dicapai suhu yang terlalu panas. Terdapat beberapa sebab yang melatarbelakangi analisis terhadap aliran panas dan arus dalam thermistor. Diantaranya adalah sifat-sifat thermistor seperti waktu alat mati sebagai reaksi terhadap gelombang arus berdasarkan parameter-parameter fisika. Selain itu, terdapat juga berbagai permasalahan dalam quality control. Beberapa thermistor dapat rusak karena perluasan termal yang cepat disebabkan karena perubahan suhu yang tinggi terlalu menekan bahan material.
Konstruksi penurunan model ini telah dilakukan sebelumnya dalam [2]. Model ini merupakan suatu pemodelan matematika yang merepresentasikan aliran panas di dalam termistor, terutama termistor yang berada dalam rangkaian tertutup.Namun, terdapat beberapa penurunan formula yang tidak lengkap dan butuh kajian yang lebih mendalam untuk memahaminya. Dalam makalah ini formula tersebut akan dilengkapi. Sehingga tidak terdapat loncatan langkah pengerjaan yang dapat menyebabkan sulitnya proses pemahaman. Selain itu, akan diberikan pula gambaran geometris melalui grafik dari penyelesaian analitik keadaan setimbangnya. Dalam artikel ini akan diturunkan model aliran
panas dan arus dalam thermistor pada suatu rangkaian listrik. Namun sebelumnya, perlu dijelaskan terlebih dahulu mengenai beberapa teori dan beberapa bahasan lain yang nantinya akan digunakan dalam penurunan model.
Thermistor
Thermistor adalah resistor yang besar hambatan yang diberikannya bergantung pada tinggi rendahnya temperatur. Thermistor biasanya tersusun dari material atau bahan semikonduktor yang dapat memberikan perubahan resistansi yang tinggi melalui perubahan panas yang cukup kecil karena dalam badan thermistor terdapat beberapa lapis elektroda tipis yang semuanya dihubungkan oleh bahan semikonduktor.
Thermistor digunakan untuk menjaga rangkaan elektronik dari gelombang daya yang biasanya muncul ketika alat yang “dingin” mulai digunakan dan berangsur-angsur menjadi panas. Ketika alat diaktifkan pertama kali, listrik yang mengalir sangat kuat. Hal ini menyebabkan komponen elektronik dalam alat menerima muatan yang terlalu berat. Thermistor mengurangi dan mengontrol gelombang ini. Selain itu, thermistor juga membatasi gelombang muatan ini dengan menambah input secara berangsur-angsur. Cara ini jauh lebih baik daripada membiarkan gelombang listrik masuk sekaligus[4]. Suhu yang terjadi dalam thermistor bisa mencapai nilai yang sangat tinggi, namun thermistor ini dirancang sedemikian hingga suhu didalam thermistor tidak mempengaruhi rangkaian di luar thermistor itu sendiri[8]. Terdapat dua macam termistor, yaitu NTC (Negative Temperature Coefficient) dan PTC (Positive Temperature Coefficient). Tapi, dalam makalah ini akan digunakan termistor jenis PTC untuk lebih memudahkan proses penurunan formula.
Hukum Ohm
Bahan telaah hukum ini cenderung pada arus yang mengalir pada konduktor yang memiliki beda potensial. Hukum Ohm menyatakan bahwa besar arus yang mengalir pada suatu konduktor pada suhu tetap sebanding dengan beda potensial antara kedua ujung-ujung konduktor. Pernyataan ini dapat ditulis secara matematis menjadi:
R
V
I
Dengan I menyatakan besar arus yang mengalir pada konduktor dengan satuan Ampere (A), V adalah beda potensial dengan satuan Volt (V)
dan R adalah besarnya hambatan atau resistansi dari konduktor dengan satuan ohm (
). Dalam aplikasinya pada ilmu fisika, hukum ohm juga mengalami beberapa perluasan. Salah satunya adalah:E
j
Dengan j adalah kerapatan arus pada area material resistif yang diberikan, E adalah perubahan medan magnet pada area tersebut, sedangkan
adalah parameter bergantung dari material yang disebut konduktifitas (konduktifitas listrik).Hukum Kirchoff
Kirchoff adalah hukum yang menelaah kuat arus pada rangkaian, baik tertutup atau pada percabangan. Terdapat dua Hukum Kirchoff. Yang pertama membahas tentang arus yang mengalir pada sebuah rangkaian bercabang, sedangkan yang kedua membahas tentang arus pada suatu rangkaian tertutup. Berikut akan dijelaskan tentang Hukum Kirchoff I dan II. Hukum Kirchoff I
Pada pertengahan abad 19 Gustav Robert Kirchoff (1824 – 1887) menemukan cara untuk menentukan arus listrik pada rangkaian bercabang yang kemudian di kenal dengan Hukum Kirchoff. Hukum ini berbunyi “ Jumlah kuat arus yang masuk dalam titik percabangan sama dengan jumlah kuat arus yang keluar dari titik percabangan”. Yang kemudian di kenal sebagai hukum Kirchoff I. Hukum ini dapat dinyatakan dengan persamaan matematika, yaitu:
masuk keluar
I
I
atau
I
masuk
I
keluarBila digambarkan dalam bentuk rangkaian bercabang maka akan diperoleh sebagai berikut:
Gambar 2.1 Gambaran penerapan Hukum Kirchoff pada rangkaian bercabang Dengan menggunakan Hukum Kirchoff, gambar diatas menunjukkan bahwa besarnya arus yang masuk adalah sama dengan besarnya jumlah arus yang keluar dari ketiga cabang pada rangkaian[3]. Pernyataan ini dapat ditulis secara matematis sebagai berikut:
1 2 3 masuk
I
I
I
I
Hukum Kirchoff IISetelah dijelaskan mengenai Hukum Kirchoff I yang berlaku pada suatu rangkaian bercabang, maka akan dibahas juga mengenai Hukum Kirchoff II yang dipakai untuk
menentukan kuat arus yang mengalir pada rangkaian bercabang dalam keadaan tertutup (saklar dalam keadaan tertutup). Perhatikan gambar berikut:
Gambar 2.2 Rangkaian tertutup dengan dua sumber tegangan dan tiga resistor
Hukum Kirchoff 2 menyatakan bahwa dalam rangkaian tertutup, jumlah gaya gerak listrik (GGL),
E
0
dan jumlah penurunan potensial sama dengan nol. Maksud dari jumlah penurunan potensial sama dengan nol adalah tidak ada energi listrik yang hilang dalam rangkaian tersebut, atau dalam arti semua energi listrik bisa digunakan atau diserap[3].Dari Gambar 2.2, kuat arus yang mengalir dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa aturan sebagai berikut :
1) Tentukan arah putaran arusnya untuk masing-masing loop.
2) Arus yang searah dengan arah perumpamaan dianggap positif.
3) Arus yang mengalir dari kutub negatif ke kutub positif di dalam elemen dianggap positif.
4) Pada loop dari satu titik cabang ke titik cabang berikutnya kuat arusnya sama. 5) Jika hasil perhitungan kuat arus positif maka
arah perumpamaannya benar, bila negatif berarti arah arus berlawanan dengan arah pada perumpamaan [3].
Kapasitas Pemanasan Volumetris dari Benda Padat
Pemanasan volumetris artinya bahwa material atau bahan dapat menyerap energi di dalam sistem secara langsung dan mengubahnya menjadi panas. Pengukuran
kapasitas pemanasan volumetris pada cairan berbeda dengan pengukurannnya pada benda padat. Dalam pembahasan nanti akan digunakan salah satu pengukuran terhadap benda padat yaitu dengan menggunakan metode DPHP (dual-probe heat-pulse). Metode ini melibatkan pengukuran kenaikan suhu maksimal pada suatu jarak tertentu. Impuls pnas dilepaskan dari penguji panas dengan melewatkan arus listrik pada kabel. Kemudian kenaikan suhu dipantau dengan menggunakan thermocouple atau thermistor. Pada tahun 1991 Campbell mengembangkan hubungan antara kenaikan maksimum suhu dengan kapasitas pemanasan volumetris[5]. Bentuk matematis dari hubungan tersebut dapat dituliskan sebagai:
2 m
q
c
e r T
Dengan
c
adalah kapasitas pemanasan volumetris pada benda padat (J m c
3
1), q adalah cuantiítas panas per satu satuan panjang (J m
1), r adalah jarak antara pemanas denganpenguji (m), dan
T
m adalah kenaikan maksimal suhu (
c
).Hukum Pendinginan Newton
Dari pengamatan experimental, diketahui (pendekatan yang lebih baik) bahwa suhu permukaan dari objek pengamatan berubah sebanding dengan temperatur relatifnya. Yaitu, beda antara temperatur sistem dengan temperatur lingkunga sekitar. Jika
T t
( )
adalahsuhu objek pada waktu t, maka diperoleh persamaan:
a
dT
k T T
dt
dengan
T
a adalah temperatur lingkungan sekitar dan k adalah konstanta. Studi kualitatif terhadap perbedaan suhu ini akan menunjukkan bahwa0
k
. Tanda minus (
) menandakan adanya proses pendinginan yang berarti bahwa terjadi penurunan suhu.PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan dipaparkan tentang penurunan model aliran panas dan arus dalam thermistor pada suatu rangkaian listrik. Didalamnya nanti akan digunakan beberapa hukum yang telah dibahas dalam bab sebelumnya.
Model Sederhana
Penurunan model aliran panas dan arus dalam thermistor pda rangkaian listrik dimulai dengan menurunkan model aliran panas dan arus dalam thermistor itu sendiri. Pemodelan dimulai dengan penetapan kondisi awal yaitu tegangan
V
0 digunakan padat
0
. Lalu permasalahan diperluas dengan menempatkan thermistor dalam suatu rangkaian sederhana.Dalam penurunannya, perlu ditinjau terlebih dahulu tentang bagaimana arus listrik mengalir melewati benda padat. Untuk itu, dibutuhkan generalisasi dari Hukum Ohm
V
I R
untuk sebuah resistor. Diasumsikan bahwa terdapat versi lokal dari Hukum Ohm yang berkaitan dengan kerapatan arus( )
t E
j
dengan
( )
t
adalah sifat bahan yang disebut dengan konduktifitas, yang bergantung pada suhu T. Di dalam rangkaian juga terdapat potencial listrik
denganE
dan bahwa arus bersifat kekal (tetap). Sehingga
j
0
. Oleh karena itu, diperoleh persamaan eliptik berikut:j
( )
t
0
( )
0
( )
0
t
t
j
( )
t
0
Jika, penampang atas dan bawah dari thermistor dilapisi kondukor yang baik, maka potensial akan mendekati konstan. Sementara tidak ada arus yang melewati sisi tersebut. sedangkan untuk
t
0
diperoleh:0
padaz
H
,
0
padaz
0
dan0
n
padar a
dengan r,z adalah elemen koordinat polar dari silindris dengan titik asal pada pusat thermistor di permukaan bawah. H adalah ketebalan dan r adalah jari-jari silinder.
Perlu dituliskan pula model untuk pembangkit panas dan konduksi. Artinya dibutuhkan versi lokal dari hukum pembangkitan daya dalam resistor, yaitu:
2 2
V
VI
I R
R
sehingga diperoleh angka lokal dari produksi panas dengan menggunakan teori pemanasan volumetrik dimana material atau bahan dapat menyerap energi di dalam sistem secara langsung dan mengubahnya menjadi panas. kemudian dapat ditulis menjadi:
2
E
j
Persamaan ini muncul sebagai suku awal dalam persamaan aliran panas untuk temperatur
( , )
T x t
. Artinya persamaan (2) muncul sebagai suku penambah dalam persamaan heat transfer2
T
k T
t
. Sehingga didapatkanpersamaan 3 sebagai berikut:
2 2
T
c
k T
t
dengan
adalah kerapatan c adalah kapasitas panas khusus dan k adalah konduktivitas termal. Tapi,
c
biasanya disebut dengan kapasitas pemanasan volumetris pada benda padat.Kondisi batas untuk persamaan (3) diperoleh dari penggunaan Hukum Pendinginan Newton pada sisi thermistor, yaitu:
a
T
k
h T T
n
dengan
T
a adalah suhu lingkungan dan h adalah koefisien aliran panas. Diharapkan bahwa model efek pendinginan dari penghantar pada permukaan atas dan bawah dengan penghantar pada kabel dan paterinya mempunyai kondisi yang sama. Tapi, dengan nilai h yang lebih besar. Karena persamaan aliran panas adalah parabolik maju, maka didapat kondisi awalnya sebagai berikut:( , 0)
a( )
T x
T x
NondimensionalisasiDiberikan skala r dan z dengan ketebalan H, dan dikalikan dengan skala konduksi panas,
2
H
K
dengan K =c
k
adalah difusifitas termal. Sedangkan
menyatakan kerapatan, c menyatakan kapasitas panas khusus dan k adalah konduktivitas termal. Konduktivitas harus berubah menjadi fungsi perubahan temperaturT
dari
dan nilai “dingin” dari konduktivitas dinyatakan dengan
0, untuk
( )
T
, maka diperoleh scalling sebagai berikut:1.
T T
a
T u x t
( , )
T
T u x t
( , )
T
a 2.
*
0 3.
*
V
0
4.t
1
t
*K
dan dengan mengubah pemberian lambang pada persamaan (3), diperoleh persamaan:
2 2 * * *
T
c
k T
t
Kemudian substitusikan scalling 1 sampai 4 pada persamaan diatas. Sehingga
* 2 2 * * * 2 2 * * 2 2 0 0 * a a c T T k t k T K T t k T u T K T u T V t k
2 2 2 0 0 * 2 2 2 0 01
aT u T
V
T
u
k
t
K
V
T u
T
u
t
k
maka didapatkan persamaan
2 2 2 0 0
V
u
u
t
T k
dengan memisalkan 2 0 0V
T k
, persamaandiatas berubah menjadi:
2 2
u
u
t
Dengana
H
dan 2 0 0V
k T
. Untuk0
z
1, 0
r
a
H
, kondisi batasnya menjadi:
0,1
padaz
0,1
yang mengakibatkan0
n
padar
dandengan menggunakan hukum pendinginan Newton diperoleh:
0
u
u
n
denganhH
k
Dimisalkan 3 1 1 1 1 1 0 3 3 0 2 2 1 5.6 10 , 540 , 2 , 2 , 100 , 250 , 5 10 , 10 , 10 10 c J Kg K k Wm K m T K V K r m H m h sisi ke atas W m K maka diperoleh
5
,
10
2sampai10
1dan
625
.Terlihat bahwa terdapat tiga parameter tak berdimensi, dua diantaranya adalah parameter yang besar dan satu yang lain adalah parameter bernilai kecil. Ratio
yang besar mengesankan bahwa model satu dimensional merupakan model yane lebih baik. Dan dugaan ini diperkuat dengan kenyataan bahwa
bernilai sangat kecil pada sisi alat. Yang berarti bahwa banyak panas yang akan hilang pada permukaan atas dan bawah thermistor.Kenyataan bahwa
bernilai sangat besar menunjukkan bahwa pemberian skala pada variabel waktu kemungkinan salah, paling tidak pada waktu awal suhu dinaikkan. Meskipun begitu, alat tetap bekerja, sehingga penurunan konduktivitas yang diikuti dengan kenaikan suhu akan menghentikan pemanasan dengan cepat. Jika dilakukan pen-skala-an ulang pada variabel waktu, yaitu:t
, maka: 2 2 2 2u
u
t
u
u
Persamaan (4) menjadi: 2 21
u
u
Diasumsikan bahwa pada kondisi awal, suhu di seluruh permukan thermistor adalah nol (0). Sedangkan pada ujung-ujungnya terdapat perbedaan suhu. Pada ujung yang merupakan titik masuknya arus memiliki suhu yang juga sama dengan nol (0).
Thermistor dalam Rangkaian Listrik
Pada aplikasinya, thermistor merupakan salah sat6u bagian dari rangkaian listrik, seperti tampak pada Gambar 3.2, dimana komponen rangkaian yang lain merepresentasikan resistansi luar
R
0. Hal ini memberikan beberapa komplikasi kecil, yaitu tegangan dalam thermistor turun, tetapi dari sinilah didapatkan hubungan antara tegangan dengan arus yang mengalir dalam alat.Gambar 3.1 Thermistor dalam rangkaian listrik sederhana. Sakelar ditutup pada saat
t
0
Diasumsikan bahwa pada
t
0
, potensial listrik di seluruh permukaan hermistor adalah nol (0). Kemudian pada permukaan atas dan bawah thermistor diberikan:0,
z
0
dan( ) ,
V t
z H
dengan
V t
( )
belum diketahui. Untuk menyelesaikannya dapat digunakan Hukum Ohm pada resistor untuk menetapkan bahwa tegangan yang Turín adalah senilai dengan0
( )
I t R
, denganI t
( )
adalah arus dalam rangkaian, sehingga diperoleh:0 0 0 0
( )
( )
( )
( )
V
V t
I t R
V
I t R
V t
Dengan menggunakan Hukum Kirchoff yang mengatakan bahwa jumlah tegangan di dalam rangkaian tertutup adalah bernilai nol. Dapat juga dikatakan bahwa arus
I t
( )
sama dengan arus yang mengalir melalui thermistor. Sehingga diperoleh kondisi batas berikut:Pada
z
H
didapatkan 0 0 02
a z HV
R
r
dr
z
Efek dari hambatan luar dalam model non-dimensional adalah membawa parameter lain untuk kondisi batas
. Model non-dimensional yang telah didapatkan adalah:
( )
t
0
, 2 21
u
u
Untuk0
z
1, 0
r
a
H
, kondisibatasnya menjadi
0,1
padaz
0,1
yang mengakibatkan0
n
padar
dan0
u
u
n
.Dengan nondimensinalisasi tersebut dapat diturunkan nilai untuk
adalah sebagai berikut:0 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 0 1 2 1 2 1 2 a z H a H z a H z V R r dr z H R r dr z H R r dr z
Misalkan 2 0 02
HR
, maka diperoleh nilai
menjadi: 2 0 12
1
a zr
dr
z
Nilai parameter
dengan mengambil0
400
R
adalah10
1, yang merupakan nilaiyang sangat kecil. Perlu diketahui bahwa dengan mengambil nilai
menuju
menunjukkan bahwa dalam rangkaian tidak terdapat hambatan luar. Pernyataan ini dapat ditulis secara matematis menjadi:(1, ) 1,
t
t
0
Sehingga model (6) menjadi:
( )
t
0
, 2 21
u
u
Dengan kondisi batas untuk suhunya adalah persamaan (7):
0
u
z
, untukz
0,
0( ,0) 0
u z
untuk0
z
1
, dan0
u
u
z
, untukz
1,
0Sedangkan kondisi batas untuk potensial listriknya adalah:
(0, ) 0
t
untuk 0( , 0) 0
z
untuk0
z
1
, dan(1, ) 1,
t
0Dengan sedikit merubah penotasian, model diatas dapat juga ditulis sebagai berikut:
0
z
z
, 2 2 2u
u
t
z
z
Dengan kondisi batas untuk suhunya adalah:
0
u
z
, untukz
0,
t
0
( ,0) 0
u z
untuk0
z
1
, dan0
u
u
z
, untukz
1,
t
0
Sedangkan kondisi batas untuk potensial listriknya adalah:
(0, ) 0
t
untukt
0
( , 0) 0
z
untuk0
z
1
, dan(1, ) 1,
t
t
0
Solusi Model Nondimensional
Thermistor jenis Positive Themperature Cofficient (PTC) dibuat dari sebuah bahan semikonduktor (seperti keramik BaTiO3) yang
memiliki sifat bahwa hambatan (resistansi) akan meningkat seiring dengan meningkatnya suhu. Dari pembahasan sebelumnya, telah diperoleh model kinerja thermistor, yaitu:
Transfer panas diberikan oleh persamaan:
2 2 2
u
u
t
z
z
Dengan kondisi awal dan batasnya adalah:
0
u
z
, untukz
0,
t
0
,u z
( ,0) 0
untuk0
z
1
, danu
u
0
z
, untukz
1,
t
0
Dengan u adalah temperatur,
adalah potensial listrik,
adalah rasio dari tingkatproduksi panas dalam thermistor dan
adalah koefisien transfer panas permukaan.Sedangkan potensial listrik diberikan oleh persamaan:
0
z
z
Dengan kondisi awal dan batasnya adalah:
(0, ) 0
t
untukt
0
,
( , 0) 0
z
untuk
0
z
1
, dan
(1, ) 1,
t
t
0
dengan
adalah konduktifitas. Misalkan,
1
1 s
, s adalah area penghubung dan nilai khusus dari
adalah sekitar10
5.Solusi Eksak Keadaan Setimbang
Gambar 3.2 konfigurasi keadaan seimbang: (a) fase dingin, (b) fase hangat, (c) fase panas
Karena suhu awal thermistor adalah nol (0) dan
0
, dapat diasumsikan bahwa kemonotonan profil suhu sehingga titikz
0
akan selalu menjadi titik terpanas dan selalu menjadi titik pertama yang mencapai suhu kritis (misalu
c
1
). Sehingga pada akhirnya, laju hilangnya panas padaz
1
akan sama dengan pembangkitan panas internal dan keseimbangan akan dicapai. Jadi, keadaan seimbang merupakan salah satu dari ketiga gambar di atas.Dari persamaan potensial listrik, didapatkan: 2 2 2 2 1 1 2
0
0
0
z
z
z
z
c
z
c z c
Dengan memasukkan kondisi awal dan batas diperoleh
z0
0
c
2
0
dan 1 11
1
zc
. Sehingga persamaan
menjadi
( , )
z t
z
0
z
1,
t
0
. Sedangkan untuk persamaan suhu sedikit berbeda. Hal ini disebabkan karena adanya tiga fase dalam kenaikan suhu.Dalam fase dingin
s
0
sehingga1
, diperoleh: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 20
1
2
u
u
t
z
z
u
z
u
z
u
z c
z
u
z
c z c
Untuk
z
0
diketahui bahwau
0
z
sehingga didapatkan
c
1
0
. Sedangkan untuk1
z
diketahui bahwau
u
0
z
sehinggadapat dilakukan operasi berikut:
1 1
0
0,
1,
0
0
u
u
z
z c
u
z
c
u
u
Dimana1
2 1 22
u
z
c z c
sehingga 2 2 2 1 , 1 2 2 z c z c 21
1
2
c
Sehingga dengan substitusi nilai
c
1 danc
2 diperoleh:
2 21
1
1
,
0
2
2
1
1
2
2
u z t
z
z
21 1
2
z
,0
z
1
(9)Dalam fase hangat
0
s
1
sehingga1 (
1)s
, diperoleh:
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 20
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
u
u
t
z
z
u
s
z
u
s
z
u
s z c
z
u
s z
c z c
u
s
z
c z c
Untuk
z
0
diketahui bahwau
0
z
sehingga didapatkan
c
1
0
. Sedangkan untuk1
z
diketahui bahwau
u
0
z
sehinggadapat dilakukan operasi berikut:
1 1 0 1 1 0, 1, 0 1 1 0 1 1 u u z s z c u z c s u u s Sehingga dengan substitusi nilai
c
1 danc
2 diperoleh Persamaan (10):
2 1 2 1 2 2 2 1 , 1 1 , 0, 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 u z t s z c z c c z s s z c c s s
1
1
1
1
2
s
,0
z
1
Sehingga dengan substitusi nilai
c
1 danc
2 diperoleh Persamaan (11):
2 2 2 1 1 , 1 1 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 u z t s z s s z s z s
1 1 2 1 1 2 z s ,0
z
1
Dalam fase panass
1
sehingga
, diperoleh: 2 2 2 2 2 2 2 0 u u t z z u z u z 1 2 1 21
2
u
z c
z
u
z
c z c
Untuk
z
0
diketahui bahwau
0
z
sehingga didapatkan
c
1
0
. Sedangkan untuk1
z
diketahui bahwau
u
0
z
sehinggadapat dilakukan operasi berikut:
1 1
0
0,
1,
0
0
u
u
z
z c
u
z
c
u
u
Sehingga dengan substitusi nilai
c
1 danc
2 diperoleh Persamaan (12):
2 21
1
1
,
0
2
2
1
1
2
2
u z t
z
z
21 1
2
z
,0
z
1
Persamaan (9), (11) dan (12) adalah penyelesaian dari masing-masing fase suhu. Selanjutnya, perlu ditetapkan area penghubung, s. Tampak pada Gambar 3.3 (b) bahwa kondisi batas untuk zs adalah
u z
( ) 1
. Sehingga diperoleh fungsi kuadrat dalam s berikut:2
( )
f s
as
bs c
Dengana
1,
b
1
1
2
(
1)
dan2
2
1
c
. Sehingga untuk nilai2
4
0
b
ac
, fungsi diatas mempunyai dua penyelesaian. Meskipun demikian, hanya satu dari kedua penyelesaian tersebut yang berada pada domain (0,1), yaitu2
4
2
b
b
ac
. Hal ini disebabkan karena
1, (0)
0
2
b
f
c
a
dan
f
(1)
a b c
0
.Misalkan diambil nilai parameter-parameter
0
.
01
[
0
.
01
,
0
.
1
],
z
[
0
,
1
],
625
dan
,
1
.
0
, maka diperoleh hasil suhu yang ditunjukkan dalam tabel berikut ini. Tabel 3.1 Nilai suhu masing-masing faseNo. z Suhu Fase Dingin (s=0) Suhu Fase Panas (s=1) Suhu Fase Hangat (s=0.7) 1 0 62812.5 6281.25 102384.375 2 0.1 62753.125 6275.3125 102287.5938 3 0.2 62700 6270 102201 4 0.3 62653.125 6265.3125 102124.5938 5 0.4 62612.5 6261.25 102058.375 6 0.5 62578.125 6257.8125 102002.3438 7 0.6 62550 6255 101956.5 8 0.7 62528.125 6252.8125 101920.8438 9 0.8 62512.5 6251.25 101895.375
10 0.9 62503.125 6250.3125 101880.0938 11 1 62500 6250 101875
Data z yang ditampilkan dalam Tabel 3.1 bukanlah data yang sebenarnya. Data ini dibangkitkan dimana satu nilai z dengan nilai z berikutnya mempunyai beda (selang) yang sama. Pembangkitan data z ini dimaksudkan untuk menampilkan banyaknya kemungkinan suhu yang bisa terjadi dalam suatu thermistor. Sedangkan data suhu tiap fase merupakan data hasil eksekusi program, dalam hal ini digunakan Matlab 7.8.0 (2009a). Selanjutnya, data yang diperoleh dalam Tabel 3.1 ditampilkan dalam bentuk grafik suhu termistor beserta potensial listrik untuk setiap fase, yaitu fase dingin, hangat dan panas.
Gambar 3.3 (a). Grafik potensial listrik dalam thermistor pada fase dingin, (b). Grafik suhu thermistor pada fase dingin
Gambar 3.4 (a). Grafik potensial listrik dalam thermistor pada fase panas ,
(b). Grafik suhu thermistor pada fase panas
Gambar 3.5 (a). Grafik potensial listrik dalam thermistor pada fase hangat ,
(b). Grafik suhu thermistor pada fase hangat
Tampak dari Gambar 3.3, Gambar 3.4 dan Gambar 3.5 bahwa grafik potensial listrik dalam thermistor pada semua fase berupa suatu garis lurus. Sedangkan grafik dari suhu dalam thermistor berbentuk lebih landai. Hal ini disebabkan karena fungsi suhu pada tiap fase bukan berbentuk persamaan linier.
KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan tentang aliran panas dan arus dalam thermistor pada rangkaian listrik diperoleh pendekatan yang lebih baik dari model non-dimensional, yaitu model non dimensional sebagaimana dituliskan berikut:
0
z
z
, 2 2 2u
u
t
z
z
Dengan kondisi batas untuk suhunya adalah:
0
u
z
, untukz
0,
t
0
,u z
( ,0) 0
untuk0
z
1
, danu
u
0
z
, untukz
1,
t
0
Sedangkan kondisi batas untuk potensial listriknya adalah:
(0, ) 0
t
untukt
0
,
( ,0) 0
z
untuk
0
z
1
, dan
(1, ) 1,
t
t
0
Dengan penyelesaian eksak pada keadaaan seimbangnya adalah:
( , )
z t
z
0
z
1,
t
0
Sedangkan untuk suhunya dibagi menjadi tiga fase, yaitu:
1. Fase dingin, dengan penyelesaiannya: 2
1 1
( , )
2
z
u z t
,0
z
1,
t
0
2. Fase hangat, dengan penyelesaiannya:
1 1
2( , )
1
1
2
z
u z t
s
,0
z
1,
t
0
3. Fase panas, dengan penyelesaiannya:
2
1 1
( , )
2
z
u z t
,0
z
1,
t
0
DAFTAR PUSTAKABahadir, A.R. 2002. Steady-State SolutionOf The PTC ThermistorProblem Using a Quadratic Spline Finite Element Method. Departments of Mathematics, Faculty of Arts and Science, Inonu Univercity, Turkey.
Howison, Sam.2003. Practical Applied Mathematics Modelling, Analysis,
Approximation. Mathematical
Institute.Oxford University
Ikiru.2009. Hk. Ohm danHk. Kirchoff. Blog Fisika Dasar. www.facebook.com
Lee, Byoung Kwon dan Young-Je Cho.2001.The Principal Of Microwave Oven And Microwave Heating. Department of Electrical and Electronic Engineering, Yonsei University
Weisstein, Eric.2009. Newton’s Law of Cooling. www.scienceworld.wolfram.com
www.wikimediafoundation.org .Ohm’s Law. 2009 Karns, Kristie. 2009. How Do Thermistors
Work?. United States.
eHow,Inc.<www.ehow.com>
Wallener, David. 2009. What are Thermistor?. www.wisegeek.com
www.electronics-manufacturers.com .Thermistor. 2009.
