Bab III Dasar Teori
III.1 Batubara
Batubara merupakan batuan sedimen organik yang terbentuk dari akumulasi hancuran tumbuhan yang terendapkan pada lingkungan tertentu, akumulasi endapan tersebut dipengaruhi oleh proses synsedimentary dan post-sedimentary sehingga menghasilkan batubara dengan berbagai peringkat/rank dalam proses pembentukan batubara. Terdapat dua tahapan penting dalam proses pembentukan batubara, tahap pertama adalah terbentuknya gambut oleh proses mikrobial dan perubahan kimia. Tahap kedua adalah terbentuknya batubara oleh proses yang terdiri dari perubahan kimia dan fisika (Larry Thomas, 2005).
III.2 Pembentukan Gambut
Tumbuhan yang tumbang atau mati di permukaan tanah pada umumnya akan mengalami proses pembusukan dan penghancuran sehingga setelah beberapa waktu kemudian tidak terlihat kembali bentuk asalnya. Pembusukan dan penghancuran tersebut pada dasarnya merupakan proses oksidasi yang disebabkan oleh adanya oksigen dan aktivitas bakteri atau jasad renik lainnya. Jika tumbuhan tumbang di suatu rawa yang dicirikan dengan kandungan oksigen yang sangat rendah sehingga tidak memungkinkan bakteri aerob (bakteri yang memerlukan oksigen) hidup, maka sisa tumbuhan tersebut tidak mengalami proses pembusukan dan penghancuran yang sempurna sehingga tidak akan terjadi proses oksidasi yang sempurna. Pada kondisi tersebut hanya bakteri-bakteri anaerob saja yang berfungsi melakukan proses dekomposisi yang kemudian membentuk gambut (peat). Lingkungan yang ideal untuk pembentukan gambut misalnya delta
sungai, danau dangkal atau daerah dalam kondisi tertutup udara. Meskipun oksigen tidak tersedia dalam jumlah yang cukup, komponen utama
pembentuk kayu akan teroksidasi menjadi H2O, CH4, CO dan O. Gambut umumnya berwarna kecoklatan sampai hitam yang bersifat porous dan masih memperlihatkan struktur tumbuhan asli, kandungan airnya lebih besar dari
75 % beratnya dan komposisi mineralnya kurang dari 50% jika dalam keadaan kering.
III.3 Pembentukan Batubara
Pembentukan batubara sangat dipengaruhi oleh meningkatnya temperatur dan lamanya proses pembentukannya. Perubahan temperatur dapat dikarenakan kontak langsung dengan intrusi batuan beku sehingga unsur-unsur seperti oksigen, volatile matter, air dan methane dalam batubara akan berkurang. Selain itu perubahan temperatur akan semakin meningkat dengan semakin dalamnya lapisan sedimen yang terbentuk di bawah permukaan bumi. Pada endapan gambut yang telah terbentuk dapat segera ditutupi oleh lapisan sedimen lainnya, sehingga tidak ada lagi bahan anaerob, atau oksigen yang dapat mengoksidasi, maka lapisan gambut akan mengalami tekanan dari lapisan sedimen di atasnya. Tekanan terhadap lapisan gambut akan meningkat dengan bertambah tebalnya lapisan sedimen. Tekanan yang bertambah besar akan mengakibatkan peningkatan suhu. Demikian juga terhadap kedalaman yang semakin meningkat akan menyebabkan temperatur pada lapisan batuan semakin tinggi. Faktor tumbuhan purba yang jenisnya berbeda-beda sesuai dengan jaman geologi dan lokasi tempat tumbuh dan berkembangnya, ditambah dengan lokasi pengendapan tumbuhan, pengaruh tekanan batuan serta pengaruh kontrol geologi yang berlangsung, akan menyebabkan terbentuknya batubara dengan ciri khas yang berbeda-beda.
III.4 Bentuk Endapan Batubara 1. Parting
Parting adalah lapisan batuan atau material yang terdapat di dalam lapisan batubara sehingga memisahkan batubara menjadi beberapa lapisan.
2. Split Coal
Split Coal adalah lapisan batubara yang terpisah oleh parting lempung, serpih, atau sandstone dengan ketebalan tertentu sehingga mengakibatkan lapisan yang terpisah tidak dapat ditambang secara bersamaan (Thrush, P.W., and staff of Bereau of Mines, 1968).
Gambar III.1 Split karena adanya lempung yang masuk ke dalam rekahan batubara (Robert Stefanko, Coal Mining Technology, Theory and Practice, hal 14, 1983)
3. Pinch dan Horseback
Istilah pinch, squeeze atau swell digunakan ketika suatu bagian dari lapisan batubara menjadi mengecil atau menipis kemudian menebal kembali. Hal ini disebabkan oleh naiknya lantai (floor) atau turunnya atap (roof) dari lapisan batubara. Pinch dan horseback terbentuk sebagai akibat dari adanya tekanan yang mempengaruhi lapisan batubara oleh pergerakan kerak bumi selama masa pembentukan atau oleh perubahan lapisan yang berbatasan langsung dengan lapisan batubara.
Gambar III.2 Bentuk endapan batubara pinch dan horseback
4. Lipatan
Lipatan adalah hasil perubahan bentuk atau volume dari suatu bahan yang ditunjukkan sebagai lengkungan atau kumpulan di lingkungan pada unsur garis atau bidang di dalam bahan tersebut (Robert Stefanko, 1983). Pada umumnya unsur yang terlibat di dalam lipatan adalah struktur bidang, misalnya bidang perlapisan atau foliasi. Lipatan merupakan gejala penting yang mencerminkan sifat dari deformasi batuan.
Gambar III.3 Lipatan pada laipsan batubara,
(Robert Stefanko, Coal Mining technology ,Theory and Practice, hal 15, 1983)
5. Sesar
Sesar adalah rekahan atau patahan pada kerak bumi atau batuan dengan satu bagian bergerak relative terhadap bagian yang lain (Robert Stefanko, 1983). Pergerakan – pergerakan in bisa secara vertikal, horizontal, atau perputaran.
Gambar III.4 Sesar Normal (Robert Stefanko, Coal Mining technology, Theory and Practice, hal 16,
6. Washed Out
Washed Out adalah adanya cut out lapisan batubara. Cut out sendiri didefinisikan sebagai batu lempung, batuserpih atau batu lempung yang mengisi bagian tererosi dalam lapisan batubara (Dictionary of Geological Term, 3rd edition). Menurut Robert Stefanko, 1983, washed out adalah
hilangnya sebagian atau seluruh lapisan batubara yang kemudian tergantikan oleh endapan sediment lain akibat adanya erosi dan pengendapan. Hilangnya lapisan batubara tersebut bisa disebabkan oleh pengikisan sungai purba maupun sungai recent, ataupun gletser.
Gambar III.5 Washout karena erosi oleh sungai
(Robert Stefanko, Coal Mining technology, Theory and Practice, hal 16, 1983)
7. Intrusi Batuan Beku
Konstribusi utama dari intrusi batuan beku pada struktur lapisan batubara adalah pemanasan dan efek devolatilisasi (penguapan materi volatile) yang terjadi ketika magma panas membentuk suatu sill atau lacolith di dekat lapisan batubara, atau ketika korok (dike) menembus formasi batubara. Lacolith dan sill memiliki daerah pengaruh pemanasan yang lebih besar terhadap formasi batuan di sekitarnya dibanding korok. Kualitas batubara atau kandungan karbon akan meningkat dengan semakin dekatnya jarak lapisan batubara terhadap sumber panas. Terjadinya gradasi dalam rank ini adalah disebabkan oleh perbedaan tingkat devolatilisasi yang dipengaruhi oleh panas.
Gambar III.6 Intrusi Batuan Beku pada lapisan batubara
(Robert Stefanko, Coal Mining technology,Theory and Practice, hal 17, 1983)
III.5 Klasifikasi Sumberdaya Batubara
Perhitungan sumberdaya batubara dapat mengacu pada dua klasifikasi yaitu sumberdaya batubara yang dikeluarkan oleh Amerika Serikat yaitu Coal Resources Classification System of The United State Geological Survey Circular No. 891 tahun 1983 serta Klasifikasi Sumberdaya dan Cadangan Batubara oleh Badan Standarisasi Nasional Indonesia 1997 pada Amandemen 1- SNI 13-5014 tahun 1998.
III.5.1 Klasifikasi Sumberdaya Batubara USGS No. 891 tahun 1983
Klasifikasi sumberdaya batubara ini dibuat oleh badan organisasi milik pemerintah Amerika Serikat yaitu USGS (United Stated Geological Survey) disusun oleh Gordon H. Wood tahun 1983. Merupakan klasifikasi sumberdaya dan cadangan batubara sebagai revisi / perbaikan pada USGS Circular 831. Klasifikasi tersebut disusun mengacu pada dua aspek yaitu aspek tingkat keyakinan geologi (geological assurance) dan aspek tingkat kelayakan ekonomi (economic feasibility).
Tingkat keyakinan geologi mempunyai keterkaitan terhadap jarak dari titik pengamatan/informasi yang telah diukur atau diambil conto batuan, ketebalan batubara dan lapisan tanah penutup, pengetahuan tentang rank, kualitas, genesa endapan batubara, perluasan area, korelasi antar lapisan batubara, stratigrafi, dan struktur geologi yang berkembang.
Tingkat kelayakan ekonomi tidak hanya dipengaruhi oleh faktor fisik maupun kimia berupa ketebalan, kualitas, rank, namun juga sangat dipengaruhi oleh variabel faktor ekonomi seperti halnya harga batubara, biaya peralatan tambang, pekerja, pengolahan, transportasi, pajak, bunga bank, permintaan dan kebutuhan, hukum lingkungan dan aturan-aturan hukum suatu negara.
Klasifikasi USGS Circular 891 membahas tentang sumberdaya dan cadangan batubara yang menjelaskan tentang :
1. Jarak standar terhadap titik pengamatan singkapan batubara sehingga menghasilkan sumberdaya terukur (measured), tereka (indicated), terunjuk (inferred), dan hipotetik (hypotetical).
2. Cadangan batubara tertambang (similar to coal currently being mined).
3. Sumberdaya potensial saat ini yang bersifat ekonomis (reserves and inferred reserves)
4. Sumberdaya potensial yang menguntungkan berkaitan dengan perubahan ekonomi (marginal reserves and inferred marginal reserves)
5. Sub-ekonomis, dikarenakan menipisnya lapisan batubara, terlalu dalam, ketidakmenerusan lapisan batubara.
Klasifikasi tersebut mempunyai dua hal keterbatasan yaitu :
1. Para geologist maupun pengguna lainnya dalam menentukan sumberdaya batubara tidak kompeten / mahir dalam permasalahan ekonomi tambang, transportasi, pengolahan, dan pemasaran.
2. Kondisi ekonomi yang berubah sepanjang waktu, sehingga menyebabkan nilai ekonomis batubara relatif mengambang, sebagai contoh batubara sub-ekonomis dapat berubah nilainya menjadi ekonomis secara tiba-tiba sebaliknya cadangan ekonomis dapat berubah menjadi rendah nilai ekonomisnya.
III.5.2 Klasifikasi Sumberdaya Batubara Amandemen 1- SNI 13-5014 -1998 Klasifikasi sumberdaya ini dibuat oleh Badan Standarisasi Nasional Indonesia 1997 dengan amandemen 1 tahun 1998. Latar belakang dibuatnya klasifikasi ini dikarenakan dalam penggolongan sumberdaya dan cadangan batubara di Indonesia masih beragam sehingga perlu dibuat suatu standar yang dapat digunakan sebagai pedoman pada pengklasifikasian sumberdaya dan cadangan batubara di Indonesia. Klasifikasi ini diharapkan untuk menghindari kerancuan dalam menafsirkan berbagai istilah dan pengertian yang berkenaan dengan sumberdaya dan cadangan batubara di Indonesia.
Klasifikasi Sumberdaya dan Cadangan Batubara SNI 1997 didasarkan pada dua aspek yaitu :
1. Aspek Geologi
Tingkat keyakinan geologi secara kuantitatif dicerminkan oleh jarak titik informasi yaitu berupa singkapan, maupun data lubang pemboran dan kondisi geologi.
2. Aspek Ekonomi
Ketebalan minimal lapisan batubara yang dapat ditambang dan ketebalan maksimal lapisan pengotor yang tidak dapat dipisahkan pada saat ditambang menyebabkan kualitas batubara menurun, sehingga dapat mempengaruhi aspek ekonomi.
Sistem klasifikasi SNI tahun 1997 membahas tentang sumberdaya dan cadangan batubara yang menjelaskan tentang :
Istilah dan Pengertian Sumberdaya Batubara
• Sumberdaya batubara hipotetik (hypothetical coal resource)
Jumlah batubara di daerah penyelidikan atau bagian dari daerah penyelidikan yang dihitung berdasarkan data yang memenuhi syarat-syarat yang ditetapkan untuk tahap survei tinjau.
• Sumberdaya batubara tereka (inferred coal resource)
Jumlah batubara di daerah penyelidikan atau bagian dari daerah penyelidikan yang dihitung berdasarkan data yang memenuhi syarat-syarat yang ditetapkan untuk tahap prospeksi.
• Sumberdaya batubara terindikasi/terunjuk (indicated coal resource)
Jumlah batubara di daerah penyelidikan atau bagian dari daerah penyelidikan yang dihitung berdasarkan data yang memenuhi syarat-syarat yang ditetapkan untuk tahap eksplorasi pendahuluan.
• Sumberdaya batubara terukur (measured coal resource)
Jumlah batubara di daerah penyelidikan atau bagian dari daerah penyelidikan yang dihitung berdasarkan data yang memenuhi syarat-syarat yang ditetapkan untuk tahap eksplorasi rinci.
Istilah dan Pengertian Cadangan Batubara
• Cadangan batubara terkira (probable coal reserve)
Sumberdaya batubara terindikasi dan sebagian sumberdaya batubara terukur, tetapi berdasarkan kajian kelayakan semua faktor yang terkait telah terpenuhi sehingga penambangan dapat dilakukan secara layak. • Cadangan batubara terbukti (proved coal reserve)
Sumberdaya batubara terukur yang berdasarkan kajian kelayakan semua faktor yang terkait telah terpenuhi sehingga penambangan dapat dilakukan secara layak.
Tipe Endapan Batubara dan Kondisi Geologi 1. Kondisi Geologi Sederhana
• Endapan batubara umumnya tidak dipengaruhi oleh aktivitas tektonik seperti sesar, lipatan, dan intrusi.
• Lapisan batubara umumnya landai, menerus secara lateral sampai ribuan meter, dan hampir tidak memiliki percabangan.
• Ketebalan lapisan batubara secara lateral dan kualitasnya tidak menunjukkan variasi yang berarti.
• Contoh batubara di Bangko (Sumsel), Senakin (Kalsel), dan Cerenti (Riau) 2. Kondisi Geologi Moderat
• Endapan batubara sampai tingkat tertentu telah mengalami pengaruh deformasi tektonik.
• Pada beberapa tempat, intrusi batuan beku mempengaruhi struktur lapisan dan kualitas batubaranya.
• Dicirikan pula oleh kemiringan lapisan dan variasi ketebalan lateral yang sedang.
• Sebaran percabangan batubara masih dapat diikuti sampai dengan jarak ratusan meter.
• Contoh batubara di Senakin, Formasi Tanjung (Kalsel), Loa Janan-Loa Kulu, Petanggis (Kaltim), Suban - Air Laya (Sumsel), Gunung Batu Besar (Kalsel).
3. Kondisi Geologi Kompleks
• Umumnya telah mengalami deformasi tektonik yang intensif.
• Pergeseran dan perlipatan akibat aktivitas tektonik menjadikan lapisan batubara sulit dikorelasikan.
• Perlipatan yang kuat juga mengakibatkan kemiringan lapisan yang terjal. • Sebaran lapisan batubara secara lateral terbatas dan hanya dapat diikuti
Tahapan Eksplorasi Status Kajian Survei Tinjau (Reconnaissance) Prospeksi (Prospecting) Eksplorasi Pendahuluan (Preliminary Exploration) Eksplorasi Rinci (Detailed Exploration) Belum Layak Layak Sumberdaya Hipotetik (Hypotetical Resources) Sumberdaya Tereka (Inferred Resources) Sumberdaya Terindikasi (Indicated Resources) Sumberdaya Terukur (Measured Resources) Cadangan Terkira (Probable Reserves) Cadangan Terbukti (Proven Reserves)
Tingkat Keyakinan Geologi
Ti ng kat Keya ki na n E k ono m i
• Contoh batubara di Belahing dan Upau (Kalsel), Sawahluhung (Sumbar), Air Kotok (Bengkulu), Bojongmanik (Jabar), serta daerah batubara yang mengalami ubahan intrusi batuan beku di Bunian Utara (Sumsel).
Tabel III.1 Istilah sumberdaya batubara serta jarak titik informasi berupa lubang bor ataupun singkapan batuan menurut kondisi geologi
Tabel III.2 Klasifikasi sumberdaya dan cadangan batubara SNI 1998 beserta dua aspek yang mempengaruhi.
III.6 Konsep Dasar Metode Elemen Hingga
Konsep dasar dalam metode elemen hingga adalah prinsip diskritisasi yaitu membagi benda menjadi benda-benda yang berukuran lebih kecil supaya mempermudah dalam pengelolaannya (C.S. Desai dialihbahasakan oleh Sri Jatno Wirjosoedirjo, 1988). Beberapa contoh usaha manusia dalam melakukan diskritisasi misalkan pada perhitungan luas suatu lingkaran dengan menggambarkan segi banyak secara bertahap dan menaikan atau menurunkan ukuran di sebelah dalam atau di luar lingkaran, demikian juga halnya pada pengukuran luas suatu bidang tanah, maka bidang tersebut dibagi menjadi bidang-bidang yang lebih kecil, dan setiap bidang-bidang yang lebih kecil tersebut diukur secara terpisah. Penggabungan dari hasil-hasil pengukuran individual akan memberikan suatu hasil pengukuran yang berupa pendekatan dari seluruh bidang tanah tersebut.
Gambar III.7 Evaluasi nilai pendekatan luas suatu lingkaran dengan menggambar segi banyak (poligon) di dalam lingkaran sehingga akan mendekati luas lingkaran sebenarnya. Proses berurutan yang bergerak menuju jawaban yang eksak atau benar dikenal sebagai konvergensi.
Metode ini akan mengadakan pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui (u) pada setiap titik-titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda dengan membagi-bagi dalam bagian yang kecil yang secara keseluruhan masih mempunyai sifat yang sama dengan benda yang utuh sebelum terbagi dalam bagian yang kecil. Diskritisasi domain solusi menjadi elemen-elemen tidaklah harus teratur, ukuran dan jenis elemen-elemen dapat berbeda. Pemilihan elemen yang digunakan tergantung dari karakteristik sistem massanya, misal untuk sistem berbentuk batang maka elemen yang dipakai adalah elemen garis. Untuk massa berbentuk endapan seperti halnya lapisan atas batubara (roof) merupakan suatu luasan elemen yang kontinyu sehingga dapat dipilih elemen berbentuk luasan yaitu elemen segitiga.
Gambar III.8 Distribusi nilai u pada titik-titik kordinat yang tidak diketahui nilainya. X Y Ue (x,y) Node/ titik simpul (A) (B)
Distribusi titik-titik u (x,y) pada permukaan bidang batubara
Diskritisasi dapat juga diterapkan pada estimasi endapan batubara, di mana sumberdaya batubara ditaksir secara kuantitatif mempunyai besar yang proposional terhadap dua besaran yaitu volume dan state variable dalam volume tersebut. State variable di sini dapat berupa distribusi titik-titik kordinat, parameter kualitas, dan tebal lapisan. Untuk perhitungan luas dan volume maka lapisan batubara akan didiskritisasi menjadi bagian-bagian yang lebih kecil yang disebut finite element.
III.6.1 Langkah-langkah dalam Metode Elemen Hingga a. Langkah 1. Diskritisasi dan Pemilihan Elemen
Diskritisasi adalah pembagian suatu sistem menjadi elemen-elemen. Sistem yang dimaksud adalah endapan batubara. Diskritisasi ini akan menghasilkan suatu harga pendekatan terhadap keadaan endapan batubara sesunguhnya. Jadi bukan merupakan suatu solusi eksak. Sistem tersebut dibagi menjadi sejumlah elemen yang disebut finite element. Titik potong sisi-sisi elemen disebut titik nodal (node) dan pertemuan antara elemen-elemen disebut garis nodal. Kadang perlu menambahkan titik nodal tambahan sepanjang garis nodal atau bidang nodal. Besarnya jumlah titik nodal tambahan tersebut sangat bergantung pada jenis elemen yang digunakan di mana jenis elemen tersebut dipengaruhi oleh oleh karakteristik massanya.
Proses diskritisasi di dalamnya mencakup mencakup prinsip-prinsip pembagian, kesinambungan, konvergensi, dan kesalahan/penyimpangan. Pembagian dapat diterapkan untuk semua hal, di mana segala sesuatu dapat dibagi-bagi menjadi satuan yang lebih kecil.
Kesinambungan menjelaskan bahwa suatu massa yang berkesinambungan terbagi atas elemen-elemen, contohnya adalah antara dua titik pada suatu garis terdapat titik-titik yang lainnnya.
Prinsip konvergensi dapat dijelaskan secara sederhana di dalam pengukuran luas suatu lingkaran dengan menggunakan poligon-poligon ataupun segi
banyak. Semakin banyak sisi poligon yang digunakan, maka semakin teliti pendekatan pada luas yang dicari, dengan kata lain bahwa solusi pendekatan tersebut konvergen mendekati harga sebenarnya.
Proses diskritisasi hanyalah merupakan suatu pendekatan, sehingga apa yang diperoleh bukanlah suatu solusi eksak. Harga penyimpangan yang diperoleh disebut sebagai kesalahan atau residu, kesalahan ini akan semakin kecil bila elemen yang digunakan semakin banyak.
b. Langkah 2. Menentukan Fungsi Pendekatan dan Turunannya
Pada langkah ini akan akan dicari pola atau bentuk distribusi dari besaran yang dicari. Besaran tersebut dapat berupa ketebalan, kadar, kualitas, maupun berupa titik-titik kordinat. Titik-titik nodal (node) dari tiap elemen merupakan titik-titik yang dipilih sebagai fungsi matematis untuk menggambarkan bentuk distribusi dari besaran yang dicari pada suatu elemen.
Penelitian ini menggunakan elemen segitiga untuk bidang dua dimensi, di mana merupakan suatu pendekatan linier terhadap besaran yang tidak diketahui (u).
Fungsi polinomial pada elemen segitiga dapat dipergunakan sebagai fungsi pendekatan karena cukup sederhana dan mudah untuk perumusan elemen hingga.
u (x,y) = α1 + α2x + α3y --- (1)
untuk elemen segitiga dengan tiga titik, maka nilai u dapat diperoleh dengan persamaan linier sebagai berikut :
Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matrik : u1 1 x1 x2 α1
u2 = 1 x2 y2 α2 atau {q1} = [ A1 ] { α } u3 1 x3 y3 α3
Kemudian persamaan di atas dapat diturunkan menjadi
{α} = [ A1]-1 {q1} --- (2)
di mana [A1]-1 adalah invers matrik dari A1
1 x1 x2
[A1]-1 = 1 x2 y2 adjoint dari [A
1] dibagi dengan determinan dari [A1]
1 x3 y3
1 a1 a1 a1 = b1 b2 b2 ∆ c1 b3 b3
Tinjau kembali pada persamaan (1) u (x,y) = α1 + α2x + α3y, dapat pula ditulis
α1
u = [1 x y ] α1 atau u = [1 x y ] {α},substitusikan α ke persamaan(2) α1
u = [1 x y ] [A1]-1{ q1 }
1 a1 a1 a1 u1
u = [1 x y ] b1 b2 b2 u2
u1 u = 1/ ∆ [ a1 + b1x + c1y a2 + b2x + c2y a3 + b3x + c3y ] u2 u3 u1 u = [ N1 N2 N3 ] u2 u3 di mana : N1 = 1/ ∆ (a1 + b1x + c1y) N2 = 1/ ∆ (a2 + b2x + c2y) N3 = 1/ ∆ (a3 + b3x + c3y) ∆ = determinan dari matrik A1
ai = x2y3 – x3y2, bi = y2 – y3, c1 = x3 – x2,
a2 = x3y1 – x1y3, b2 = y3 – y1, c2 = x2 – x3
a3 = x1y2 – x2y1, b3 = y1 – y2, c3 = x2 – x1,
Bila u dianggap sebagai besaran yang dicari (tidak diketahui), maka fungsi interpolasinya dapat dinyatakan sebagai berikut :
u = N1u1 + N2u2 + ... + Nmun = [ N ]{q}
di mana,
u1, u2, ...., un = besaran yang dicari pada titik-titik nodal N1, N2,..., Nm = fungsi interpolasi
[ N ] = matriks fungsi interpolas
Setelah semua langkah tersebut dilakukan, maka dapat diketahui nilai-nilai dari besaran u yang tidak diketahui di semua simpul yaitu u1,u2,u3,...um.
c. Menurunkan Persamaan Elemen
Untuk menurunkan persamaan elemen digunakan metode residu berbobot (method of weighted residual). Metode ini didasarkan pada minimalisasi residu (sisa) yang tertinggal setelah suatu pendekatan disubstitusikan ke dalam persamaan-persamaan diferensial yang telah ditentukan.
III.7 Penentuan Luas Segitiga
Penelitian ini menggunakan elemen berbentuk segitiga dengan fungsi basis orde satu, sehingga estimasi yang dilakukan dengan elemen segitiga adalah estimasi linier. Fungsi basis elemen segitiga disimbolkan dengan A. Misalkan titik-titik kordinat pada elemen segitiga diberi nama dengan P1,P2,P3, masing-masing koordinat (x1,y1) (x2,y2) dan (x3,y3). Fungsi-fungsi basis dalam hubungannya dengan ketiga node tersebut didefinisikan sebagai fungsi basis linier yang mempunyai ekspresi sebagai berikut :
Gambar III.9 Penentuan luas elemen segitiga dengan fungsi basis orde satu. P1 (x1,y1) P3 (x3,y3) P2 (x2,y2) M1 M2 M3 X Y
Luas segitiga pada gambar II.14 dapat dinyatakan dalam titik-titik kordinat sebagai berikut :
A = ½ (x1y2 + x2y3 + x3y1 – x3y2 – x2y1 – x1y3)
Penentuan luas (A) elemen segitiga tersebut dapat dibuktikan dengan cara sederhana yaitu sebagai berikut :
Luas Segitiga = Luas trapesium M3P3P1M1 + Luas Trapesium M2P2P3M3 –
Luas Trapesium M2P2P1M1
= ½ (x3 – x1) (y1+y3) + ½ (x2 - x3) (y2 + y3) – ½ (x2 – x1) (y1 + y2)
= ½ (x1y2 + x2y3 + x3y1 – x3y2 - x2y2 - x1y3)
Luas segitiga tersebut dapat ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut :
x1 y1 1
Luas Segitiga (A) = ½ x2 y2 1
