Penaksiran Parameter Model Regresi Polinomial Berkson Menggunakan Metode Minimum Distance

Penaksiran Parameter Model Regresi Polinomial Berkson

Menggunakan Metode Minimum Distance

Dian Kurniawati

Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 dian2612@gmail.com

Abstrak

Berkson Measurement Error Model merupakan model regresi dimana nilai dari variabel prediktor yang terobservasi telah ditentukan sebelumnya dan mengandung error pengukuran atau error observasi. Pada model regresi nonlinier dengan kasus Berkson Measurement Error, fungsi regresi tidak hanya nonlinier dalam parameter tetapi fungsi regresinya dapat nonlinier dalam variabel prediktor seperti pada model regresi polinomial Berkson. Penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson dapat dilakukan dengan beberapa metode diantaranya dengan metode OLS dan metode Minimum Distance. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan variabel prediktor terobservasi. Penaksir parameter model diperoleh dengan mensubstitusikan taksiran dari parameter-parameter baru yang muncul pada momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan nilai variabel prediktor terobservasi.

Kata Kunci : Berkson Measurement Error, regresi polinomial Berkson, Minimum Distance, momen

pertama dan kedua

Abstract

Berkson Measurement Error model is a regression model where the value of the observed predictor variable was determined and contained errors of measurement or error of observation. In the nonlinier regression model with Berkson case, the regression function not only nonlinear in parameters but it can be nonlinear in predictor variables such as Berkson polynomial regression model. The Parameter estimation of Berkson polynomial regression model can be estimated with several methods such as by OLS method and Minimum Distance methods. The method used in this journal is the Minimum Distance based on the first two conditional moment of the response variable given the value of observed predictor variable. Parameter estimators of model were obtained by substituting the value of new parameter estimators that appear on the first two conditional moment of the response variable given the value of observed predictor variable.

Keywords : Berkson Measurement Error, Berkson polynomial regression model, minimum distance, first

two conditional moment

1. PENDAHULUAN

Pada model regresi linier maupun nonlinier yang dipelajari pada umumnya, diasumsikan bahwa nilai variabel prediktornya merupakan nilai yang sesungguhnya yang diperoleh dari hasil pengukuran atau observasi. Namun, adakalanya nilai yang sesungguhnya tersebut tidak diketahui atau tidak dapat diukur secara tepat sehingga hasil pengukuran yang terbaca mengandung error pengukuran atau error observasi. Variabel prediktor yang tak dapat diukur nilainya secara tepat ini disebut variabel prediktor tak terobservasi, sedangkan variabel yang

diperoleh dari hasil pembacaan pengukurannya disebut variabel prediktor terobservasi. Dalam analisis regresi, kasus ini dikenal dengan Measurement Error

Model atau Error in Variable Model. Salah satu tipe Measurement Error Model adalah Berkson Measurement Error Model yang dapat dipelajari pada

[1], [2], [3]. Pada model ini diasumsikan bahwa error observasi independen dengan variabel prediktor terobservasi, sedangkan antara error observasi dan variabel prediktor tak terobservasi saling dependen. Dalam hal ini nilai variabel prediktor terobservasi

Diasumsikan fix sedangkan nilai variabel prediktor tak terobservasi bervariasi secara random diantara nilai variabel prediktor terobservasi tersebut.

Pada definisi model regresi nonlinier dengan kasus Berkson Measurement Error Model, fungsi regresinya tidak hanya nonlinier dalam parameter seperti dalam teori model regresi umumnya [6], tetapi fungsi regresinya dapat merupakan fungsi nonlinier dalam variabel prediktor seperti model regresi polinomial Berkson yang dipelajari dalam [5],[7].

Penaksiran parameter model regresi polinomial

Berkson dapat dilakukan dengan beberapa metode

diantaranya dengan metode Ordinary Least Square yang dipelajari dalam [5] atau dengan metode

Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan

kedua dari variabel respon diberikan variabel prediktor terobservasi yang diperkenalkan dalam [7]. Penelitian ini akan membahas proses penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson

menggunakan metode Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan variabel prediktor terobservasi.Variabel prediktor yang akan digunakan yaitu variabel prediktor univariat dan distribusi dari Measurement

Error adalah normal dengan mean nol dan variansi

konstan.

2. METODE PENELITIAN

Metode penelititan yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur tentang Nonlinear

Regression Measurement Error Model khususnya

pada teori Berkson Measurement Error Model dan studi literatur tentang ekspektasi matematika khususnya pada teori ekspektasi matematika bersyarat. Literatur yang dipelajari akan digunakan untuk mengembangkan penelitian tentang penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Secara umum model regresi polinomial Berkson dapat dimodelkan sebagai berikut :

𝑦𝑖 = 𝜃0+ 𝜃1𝑥𝑖+ 𝜃2𝑥𝑖2+ . . . + 𝜃𝑝𝑥𝑖 𝑝 + 𝜀𝑖(1) 𝑥𝑖 = 𝑧𝑖− 𝛿𝑖 ; i = 1,2,…n

.

(2) dimana: 𝑦𝑖 = variabel respon,

𝑥𝑖𝑘 = variabel prediktor yang tak terobservasi,

k = 1,2, . . .p

𝜃𝑚 parameter model yang tidak diketahui,𝜃𝑚≠ 0 m = 0,1, . . .p

𝜀𝑖 = error model

𝑧𝑖 = variabel prediktor yang terobservasi 𝛿𝑖 = error observasi (Measurement Error)

dengan asumsi bahwa :

1. 𝑦𝑖 𝜖 𝑅 , 𝑥𝑖 𝜖 𝑅 , 𝑧𝑖 𝜖 𝑅 , i = 1,2,…n dimana nilai-nilai 𝑧𝑖 dikotrol dan merupakan variabel yang fix dalam beberapa pengulangan pengambilan sampel sedangkan nilai 𝑥𝑖 berkisar seara random diantara 𝑧𝑖

2. 𝜽 𝜖  𝑅𝑃+1 _{dimana 𝜽 = 𝜃}

0, 𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑝 adalah vektor yang entri-entrinya adalah parameter 𝜃𝑚 , 𝑚 = 0,1,2, … 𝑝 dan  adalah ruang paremeter dari nilai-nilai 𝜽 yang mungkin. 3. Error model, 𝜀𝑖 ~ 𝑁𝑖𝑖𝑑 (0, 𝜎𝜀2) , 𝜎𝜀2∈ 𝜀𝑅

dimana 𝜀 adalah ruang paremeter dari nilai-nilai variansi error model 𝜎𝜀2 yang mungkin. 4. Error observasi, 𝛿𝑖 ~ 𝑁𝑖𝑖𝑑 0, 𝜎𝛿2 , 𝜎𝛿2∈ 𝛿𝑅

dimana δ adalah ruang paremeter dari nilai-nilai variansi error observasi 𝜎𝛿2 yang mungkin. 5. Antara 𝜀𝑖 , 𝛿𝑗 dan 𝑧𝑙 mutually independen untuk

semua i, j dan 𝑙

dimana i = 1,2,…n , j = 1,2,…n dan 𝑙= 1,2,…n Berdasarkan persamaan (1), model regresi polinomial Berkson mengandung parameter-parameter yang tidak diketahui nilainya. Parameter-parameter tersebut yaitu : koefisien regresi 𝜃𝑚 , 𝑚 = 0,1,2, … , 𝑝; variansi error model 𝜎𝜀2dan variansi

Measurement Error 𝜎𝛿2. Dalam penelitian ini, metode

Minimum Distance akan digunakan untuk menaksir

parameter-parameter tersebut.

Misalkan 𝑦𝑖, 𝑧𝑖 menyatakan data sampel untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Maka berdasarkan persamaan (1), penaksir parameter model regresi polinomial Berkson menggunakan metode Minimum Distance diperoleh dengan meminimumkan fungsi objektif :

𝑄𝑛(𝜸)= 𝑛𝑖=1[(𝑦𝑖− 𝑚1 𝑧𝑖; 𝜸 )2+ (𝑦𝑖2− 𝑚2 𝑧𝑖; 𝜸 )2] dimana:

𝑚1 𝑧𝑖; 𝜸 = model untuk 𝐸[𝑦|𝑧𝑖] (momen pertama dari variabel respon 𝑦 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧 = 𝑧𝑖) 𝑚2 𝑧𝑖; 𝜸 = model untuk 𝐸[𝑦2|𝑧𝑖] (momen kedua

dari variabel respon 𝑦 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧 = 𝑧𝑖) 𝜸 = vektor dari parameter-parameter dalam

model (1) yang nilainya tidak diketahui. dimana 𝜸 = (𝜽t_{, 𝜎}

𝜀2, 𝜎𝛿2)𝒕dan 𝜸 ∈RP+3. Himpunan  merupakan ruang parameter yang memuat nilai-nilai 𝜸 yang mungkin.

Berdasarkan persamaan model (1) beserta asumsi pada model tersebut akan ditentukan momen pertama dan kedua dari variabel respon 𝑦𝑖 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧𝑖 sebagai berikut : Dalam teorema binomial diketahui bahwa

𝑎 − 𝑏 𝑟 _{= (−1)}i 𝑟 𝑖 𝑎 𝑟−𝑖_𝑏i 𝑟 𝑖=0 (3)

berdasarkan teorema tersebut dan berdasarkan bentuk momen ke-k dari Measurement Error 𝛿𝑖 yang dijelaskan dalam [4] : 𝐸 𝛿𝑘 ₌ 0 , 𝑘 bilangan ganjil 𝜎𝑘 _𝑘! 2𝑘/2 𝑘 2 ! , 𝑘 bilangan genap

maka momen pertama dari variabel respon 𝑦𝑖 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧𝑖 adalah : 𝐸 𝑦𝑖|𝑧𝑖 =𝐸 𝜃0+ 𝜃1𝑥𝑖+ 𝜃2𝑥𝑖2+ . . . + 𝜃𝑝𝑥𝑖 𝑝 + 𝜀 |𝑧𝑖 =𝐸 𝜃0+ 𝜃1(𝑧𝑖− 𝛿𝑖 + 𝜃2(𝑧𝑖− 𝛿𝑖)2+ . . . . + 𝜃𝑝(𝑧𝑖− 𝛿𝑖)𝑝+ 𝜀 |𝑧𝑖 = 𝜃0∗+ 𝜃1∗𝑧𝑖+ 𝜃2∗𝑧𝑖2+ . . . + 𝜃𝑝∗𝑧𝑖 𝑝 (4) dimana 𝜃0∗ = 00 𝜃0+ 22 𝜃2𝜎𝛿2+ 44 𝜃4 𝜎4 4! 22 _{2 !}+ ⋯ + −1 𝑝 𝑝 𝑝 𝜃𝑝𝐸 𝛿𝑖 𝑃 𝜃1∗ = 1₀ 𝜃1+ 3₂ 𝜃3𝜎𝛿2+ 5 4 𝜃5 𝜎4 4! 22 _{2 !}+ ⋯ + −1 𝑝−1 𝑝 𝑝−1 𝜃𝑝𝐸 𝛿𝑖𝑃−1 𝜃2∗ = 2₀ 𝜃2+ ₂4 𝜃4𝜎𝛿2+ 6₄ 𝜃6 𝜎4 4! 22 _{2 !}+ ⋯ + −1 𝑝−2 𝑝 𝑝−2 𝜃𝑝𝐸 𝛿𝑖𝑃−2 ⋮ 𝜃𝑝∗ = 𝑝0 𝜃𝑝 (5)

Selanjutnya akan ditentukan momen kedua dari variabel respon 𝑦𝑖 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧𝑖 sebagai berikut :

𝐸 𝑦𝑖2|𝑧𝑖 = 𝐸 (𝜃0+ 𝜃1𝑥𝑖+ 𝜃2𝑥𝑖2+ . . . + 𝜃𝑝𝑥𝑖 𝑝 + 𝜀)2|𝑧𝑖 =𝐸[𝜃02+ 2𝜃0𝜃1𝑥𝑖+ 2𝜃0𝜃2𝑥𝑖2+ ⋯ + 𝜃0𝜃𝑝𝑥𝑖 𝑝 + 2𝜃0𝜀 + 𝜃12𝑥𝑖2+ 2𝜃1𝜃2𝑥𝑖3+ ⋯ + 2𝜃1𝜃𝑝𝑥𝑖 𝑝+1 + 2𝜃1𝑥𝑖𝜀 + 𝜃22𝑥𝑖4+ ⋯ + 2𝜃2𝜃𝑝𝑥𝑖 𝑝+2 + 2𝜃2𝑥𝑖2𝜀 +. . . +𝜃𝑝2𝑥𝑖 2𝑝 + 2𝜃𝑝𝑥𝑖 𝑝 𝜀 + 𝜀2_|𝑧 𝑖] = 𝜃0#+ 𝜃1#𝑧𝑖+ 𝜃2#𝑧𝑖2+ . . . + 𝜃2𝑝# 𝑧𝑖 2𝑝 (6) dimana 𝜃0# = 𝜃02 0 0 + 2𝜃0𝜃2 2 2 𝜎𝛿2+ ⋯ + 2𝜃0𝜃𝑝 −1 𝑝. 𝑝 𝑝 𝐸 𝛿𝑖 𝑝 +𝜃12 2 2 𝜎𝛿2+2𝜃1𝜃3 4 4 4!𝜎4 22 _{2 !}+ ⋯ + 2𝜃1𝜃𝑝 −1 𝑝+1 2𝜃2𝜃4 66 6!𝜎6 23 _{3 !}+…+ 2𝜃2𝜃𝑝 −1 𝑝+2 𝑝+2_𝑝+2 𝐸 𝛿𝑖 𝑝+2 +. . . + 𝜃𝑝2(−1)2𝑝 2𝑝_2𝑝 𝐸 𝛿𝑖 2𝑝 + 𝜎𝜀2 𝜃1# = 2𝜃0𝜃1 10 +…+2𝜃0𝜃𝑝 −1 𝑝−1 𝑝−1𝑝 𝐸[𝛿𝑖 𝑝−1 ]+ 2𝜃1𝜃2 3 2 𝜎𝛿2+…+2𝜃1𝜃𝑝 −1 𝑝 𝑝+1 𝑝 𝐸 𝛿𝑖 𝑝 2𝜃2𝜃3 5₄ 4!𝜎4 22 2 !+…+2𝜃2𝜃𝑝 −1 𝑝+1 𝑝+2 𝑝+1 𝐸 𝛿_𝑖𝑝+1 + ⋯ + 2𝜃𝑝 −1𝜃𝑝 −1 2𝑝−2 2𝑝 − 1 2𝑝 − 2 𝐸 𝛿𝑖 2𝑝−2 𝜃2# = 2𝜃0𝜃2 2₀ + ⋯ + 𝜃0𝜃𝑝 −1 𝑝−2 _𝑝−2𝑝 𝐸 𝛿𝑖 𝑝−2 + 𝜃₁2 2 0 + 2𝜃1𝜃3 4 2 𝜎𝛿 2_{+ ⋯ + 2𝜃} 1𝜃𝑝 −1 𝑝+1. 𝑝+1 𝑝−1 𝐸 𝛿𝑖 𝑝−1 + 𝜃₂2_𝜎 𝛿2+ ⋯ + 2𝜃2𝜃𝑝 −1 𝑝+2. 𝑝+1_𝑝−1 𝐸 𝛿𝑖 𝑝+2 +...+ −1 2𝑝−2 2𝑝 2𝑝−2 𝜃𝑝2𝐸[𝛿2𝑝−2] ⋮ ⋮ 𝜃2𝑝# = 𝜃𝑝2 (7) (3.21) Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh model

untuk momen pertama dan kedua dari variabel respon 𝑦𝑖 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧𝑖 :

𝑚1(𝑧𝑖; 𝛾) = 𝜃0∗+ 𝜃1∗𝑧𝑖+ 𝜃2∗𝑧𝑖2+ . . . + 𝜃𝑝∗𝑧𝑖 𝑝 (8)𝑚2 𝑧𝑖; 𝛾 = 𝜃0#+ 𝜃1#𝑧𝑖+ 𝜃2#𝑧𝑖2+ . . . + 𝜃2𝑝# 𝑧𝑖 2𝑝 (9) Langkah selanjutnya adalah mencari penaksir dari 𝜃0∗, 𝜃1∗, 𝜃2∗, . . . 𝜃𝑝∗ , 𝜃0#𝜃1#, 𝜃2#, . . . 𝜃2𝑝# pada persamaan (8) dan (9) menggunakan metode

Minimum Distance. Penaksir dari parameter-parameter dalam kedua persamaan tersebut diperoleh dengan mencari solusi dari :

Min𝑄𝑛 𝛾 =Min

(𝑦𝑖− 𝑚1 𝑧𝑖; 𝛾 )2+ (𝑦𝑖2− 𝑚2 𝑧𝑖; 𝛾 )2 𝑛

𝑖=1

Fungsi 𝑄𝑛(𝛾) diatas harus diminimumkan terhadap 𝜃0∗, 𝜃1∗, 𝜃2∗, . . . 𝜃𝑝∗ , 𝜃0#𝜃1#, 𝜃2#, . . . 𝜃2𝑝# sedemikian sehingga memenuhi persamaan-persamaan berikut :

𝑛𝜃 _{+ 𝜃0}∗ 1∗ 𝑧_𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 _𝑧2∗ 𝑖2 𝑛 𝑖=1 + . . . + 𝜃 _𝑧𝑝∗ 𝑖 𝑝 𝑛 𝑖=1 = 𝑦_𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜃 𝑧0∗ 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 𝑧1∗ 𝑖2 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 𝑧2∗ 𝑖3 𝑛 𝑖=1 + . . . + 𝜃 𝑧𝑝∗ 𝑖 𝑝+1 𝑛 𝑖=1 = 𝑦𝑖𝑧𝑖 𝑛 𝑖=1 ⋮ 𝜃₀∗ 𝑧_𝑖𝑝 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 _𝑧1∗ 𝑖 𝑝+1 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 _𝑧2∗ 𝑖 𝑝+2 𝑛 𝑖=1 + . . . + 𝜃 𝑧𝑝∗ 𝑖 2𝑝 𝑛 𝑖=1 = 𝑦𝑖𝑧𝑖 𝑝 𝑛 𝑖=1 𝑛𝜃 + 𝜃0# 𝑧1# 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 𝑧2# 𝑖2 𝑛 𝑖=1 + . . . + 𝜃 𝑧2𝑝# 𝑖 2𝑝 𝑛 𝑖=1 = 𝑦𝑖2 𝑛 𝑖=1 𝜃 𝑧₀# 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 𝑧₁# 𝑖2 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 𝑧₂# 𝑖3 𝑛 𝑖=1 + . . . + 𝜃 𝑧_2𝑝# 𝑖 2𝑝+1 𝑛 𝑖=1 = 𝑦𝑖2 𝑛 𝑖=1 𝑧𝑖 ⋮ 𝜃 _𝑧0# 𝑖 2𝑝 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 _𝑧1# 𝑖 2𝑝+1 𝑛 𝑖=1 + 𝜃 _𝑧2# 𝑖 2𝑝+2 𝑛 𝑖=1 + . . . +𝜃 _𝑧2𝑝# 𝑖 4𝑝 𝑛 𝑖=1 = 𝑦𝑖2 𝑛 𝑖=1 𝑧_𝑖2𝑝 (3.24) yaitu terbentuk persamaan normal sebanyak 3p+2 ,

jika dinotasikan dalam matriks maka diperoleh :

Maka penaksir untuk 𝜃0∗, 𝜃1∗, 𝜃2∗, . . . 𝜃𝑝∗ , 𝜃0#𝜃1#, 𝜃2#, . . . 𝜃2𝑝#

dapat diperoleh dengan cara :

B  = A

⇔ 𝐁−𝟏 _{B  = 𝐁}−𝟏_A

⇔  = 𝐁−𝟏_A

Berdasarkan persamaan (5) secara rekursif diperoleh : 𝜃𝑝 = 𝜃𝑝∗ 𝜃𝑝−1 = 𝜃𝑝−1∗ 𝜃𝑝−2 = 𝜃𝑝−2∗ − 𝑝₂ 𝜃𝑝𝜎𝛿2 𝜃𝑝−3 = 𝜃𝑝−3∗ − 𝑝−1 2 𝜃𝑝−1𝜎𝛿2 ⋮ ⋮ 𝜃1 = 𝜃1∗− 32 𝜃3∗− ⋯ − −1 𝑝−3 𝑝−3𝑝 𝜃𝑝∗𝐸 𝛿𝑖𝑃−3 𝜎𝛿2− 5 4 𝜃5∗− ⋯ − −1 𝑝−5 𝑝−5𝑝 𝜃𝑝∗𝐸 𝛿𝑖𝑃−5 𝜎4 _4! 22 2 !− ⋯ − −1 𝑝−1 𝑝 𝑝−1 𝜃𝑝∗𝐸 𝛿𝑖𝑃−1 𝜃0 = 𝜃0∗− 22 . 𝜃2∗− 42 𝜃4∗− ⋯ − −1 𝑝−4 𝑝−4𝑝 𝜃𝑝∗𝐸 𝛿𝑖𝑃−4 𝜎𝛿2− 6 4 𝜃6∗− ⋯ − −1 𝑝−6 𝑝−6𝑝 𝜃𝑝∗𝐸 𝛿𝑖𝑃−6 𝜎4 _4! 22 _{2 !}− ⋯ − −1 𝑝−2 𝑝 𝑝−2 𝜃𝑝∗𝐸 𝛿𝑖𝑃−2 𝜎𝛿2

-4 4 𝜃4 ∗_{− ⋯ − −1} 𝑝−4 𝑝 𝑝 − 4 𝜃𝑝 ∗_{𝐸 𝛿} 𝑖𝑃−4 𝜎4 _4! 22 _{2 !}− ⋯ − −1 𝑝 𝑝 𝑝 𝜃𝑝∗𝐸 𝛿𝑖𝑃 (10)

Berdasarkan persamaan (7) diperoleh bahwa : 𝜃2𝑝# = 𝜃𝑝2 𝜃2𝑝 −2# =2𝜃𝑝−2∗ 𝜃𝑝∗+ 𝜃𝑝−1∗ 2 − 2 𝑝₂ 𝜃𝑝∗ 2 − 2𝑝₂ 𝜃2𝑝# 𝜎𝛿2 Sehingga diperoleh : 𝜎𝛿2 = 2𝜃𝑝 −2∗ 𝜃𝑝∗−𝜃2𝑝 −2# + 𝜃𝑝 −1∗ 2 2 𝑝₂ 𝜃𝑝∗ 2 − 2𝑝₂ 𝜃2𝑝#

Dengan mensubtitusikan setiap 𝜃2𝑝# , 𝜃2𝑝−2# , 𝜃𝑝∗, 𝜃𝑝−1∗ dan 𝜃𝑝−2∗ dengan 𝜃 , 𝜃2𝑝# , 𝜃2𝑝−2# , 𝜃𝑝∗ dan 𝜃𝑝−1∗ yang 𝑝−2∗ diperoleh dari matriks  maka diperoleh penaksir bagi variansi error observasi (measurement error) 𝜎_𝛿2 yaitu : 𝜎𝛿2

=

2𝜃 𝜃𝑝 −2∗ − 𝜃𝑝∗ 2𝑝 −2# + 𝜃 𝑝 −1∗ 2 2 𝑝₂ 𝜃 𝑝∗ 2 − 2𝑝₂ 𝜃 _2𝑝# (11) Jika derajat polinom 𝑝adalah ganjil maka berdasarkan bentuk 𝐸 𝛿𝑘 _{dan dengan mensubstitusi 𝜎}

𝛿 𝑝+2𝑚 +1 dengan 𝜎𝛿 𝑝+2𝑚 +1 maka akan diperoleh :

𝐸 𝛿𝑖 𝑝+2𝑚 +1

Sebaliknya, jika 𝑝 adalah genap maka akan diperoleh:

𝐸 𝛿_𝑖𝑝+2𝑚 Dengan mensubstitusi 𝜃0∗, 𝜃1∗, 𝜃2∗, . . . , 𝜃𝑝−2∗ , 𝜃𝑝−1∗ , 𝜃𝑝∗ dengan 𝜃 _{, 𝜃0}∗ 1∗ , 𝜃 _{, . . . , 𝜃2}∗ 𝑝−2∗ , 𝜃 _{, 𝜃𝑝−1}∗ 𝑝∗ 𝜎𝛿2 yang diperoleh matriks  dan mensubstitusikan 𝜎_𝛿2, 𝐸 𝛿_𝑖𝑝+2𝑚 +1 atau 𝐸 𝛿_𝑖𝑝+2𝑚 masing-masing dengan 𝜎 dan 𝐸 𝛿𝛿2 𝑖

𝑝+2𝑚 +1

atau 𝐸 𝛿𝑖 𝑝+2𝑚

maka diperoleh penaksir bagi 𝜃0, 𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑝−2, 𝜃𝑝−1, 𝜃𝑝 dalam persamaan (10) yaitu :

𝜃0

, 𝜃 , 𝜃1 , . . . , 𝜃2 , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝−1 𝑝 (12) Langkah selanjutnya ialah mencari penaksir bagi variansi error model 𝜎𝜀2. Berdasarkan bentuk 𝜃0# dalam persamaan (7) dan dengan mensubstitusikan setiap 𝜃0, 𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑝−2, 𝜃𝑝 −1, 𝜃𝑝, 𝜃0# , 𝜎𝛿2 dan 𝐸 𝛿_𝑖𝑝+2𝑚 +1 atau 𝐸 𝛿_𝑖𝑝+2𝑚 dengan 𝜃0 , 𝜃 , 𝜃1 , . . . , 𝜃2 , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝−1 , 𝜃𝑝 , 𝜎0# dan 𝐸 𝛿𝛿2 𝑖 𝑝+2𝑚 +1 atau 𝐸 𝛿𝑖 𝑝+2𝑚

maka diperoleh penaksir bagi variansi

error model : 𝜎 = 𝜃𝜀2 − 𝜃0# 0 2 ₀ 0 − 2𝜃 𝜃0 , 2 2 2 𝜎 − ⋯ −𝛿2 2𝜃 𝜃0 −1 𝑝 𝑝 𝑝_𝑝 𝐸 𝛿𝑖 𝑝 𝜃1 2 ₂ 2 𝜎 −𝛿2 2𝜃 𝜃1 3 4₄ 4!𝜎_𝛿4 22 _{2 !}− ⋯ − 2𝜃 𝜃1 −1 𝑝 𝑝+1_. 𝑝 + 1 𝑝 + 1 𝐸 𝛿𝑖 𝑝+1 − 𝜃2 2 4 4 4! 𝜎_𝛿4 22 _{2 !}− 2𝜃 𝜃2 4 6 6 6! 𝜎_𝛿6 23 _{3 !}− 𝜃2 2 4 4 4! 𝜎_𝛿4 22 _{2 !}− 𝜃2 2 4 4 4! 𝜎𝛿4 22 _{2 !}− 𝜃2 2 4 4 4! 𝜎𝛿4 22 _{2 !}− 2𝜃 𝜃2 4 6 6 6! 𝜎_𝛿6 23 _{3 !}− ⋯ + 2𝜃 𝜃2 −1 𝑝 𝑝+2_. 𝑝+2 𝑝+2 𝐸 𝛿𝑖 𝑝+2 −. . . −𝜃𝑝 2 (−1)2𝑝 2𝑝 2𝑝 𝐸 𝛿𝑖 2𝑝 (13)

sehingga diperoleh penaksir bagi parameter-parameter model polinomial Berkson, yaitu :

𝜃 , 𝜃0 , 𝜃1 , . . . , 𝜃2 , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝−1 , 𝜎𝑝 dan 𝜎𝜀2 . 𝛿2 Model fit Minimum Distance untuk regresi polinomial

Berkson adalah : 𝑦𝑖 = 𝜃 + 𝜃0 𝑥1 𝑖 + 𝜃 𝑥2 𝑖2+ . . . + 𝜃 𝑥𝑝 𝑖 𝑝 ; 𝑥𝑖 = 𝑧𝑖− 𝛿𝑖 ; i = 1,2,…n

4. KESIMPULAN

Penaksir parameter model regresi polinomial

Berkson dapat diperoleh dengan meminimumkan

fungsi objektif Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon

diberikan vaiabel prediktor terobservasi. Dengan mensubstitusikan parameter-parameter baru yang muncul pada momen pertama dan kedua secara simultan maka akan diperoleh seluruh parameter-parameter model regresi polinomial Berkson.

UCAPAN TERIMAKASIH

Penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada Ibu Siti Nurrohmah dan Ibu Dian Lestari selaku pembimbing skripsi yang telah memberikan banyak masukan dan arahan dalam penulisan makalah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih banyak kepada orangtua penulis dan adik-adik tercinta terutama dudu yang setia menemani dan memberikan doa-doa terbaiknya, terima kasih atas kado terindahnya.

DAFTAR ACUAN

[1] J. Berkson, Are There Two Regression?.

American Statistical Association, 45, (1950),

164-180.

[2] R. J. Carroll,D. Ruppert, and L. A. Stefanski,

Measurement Error In Nonlinier Models,

Chapman and Hall, London,2006

[3] W. A. Fuller,Measurement Error Models, John Wiley & Sons, New York ,1987

[4] R. V.Hogg, andA. T.Craig, Introduction to

mathematical statistics, 5th ed, Prentice Hall Inc,

New Jersey, 1995

[5] L. Huwang, andY. H. S. Huang,Y. H,On error-in

Variables in Polinomial Regression Berkson case.

Statistic Sinica, 10, (2000), 923-936.

[6] D. C.Montgomery, E. A.Peck, andG.G. Vining,

Introduction to Linier Regression Analysis, 3rd ed,

John Wiley & Sons, New York, 2001

[7] L. Wang,Estimation Of Nonlinier Berkson-Type

Measurement Error Models. Statistica Sinica, 13,