Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
DAN METODE GAUSS NEWTON DALAM PENAKSIRAN
PARAMETER REGRESI NONLINIER
SKRIPSI
SRIDEWI NAINGGOLAN
070823007
FAKULTAS MATEMATIKA
ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN
MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
PERBANDINGAN METODE MARQUARDT COMPROMISE DAN METODE GAUSS NEWTON DALAM PENAKSIRAN PARAMETER
REGRESI NONLINIER
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai Sarjana Sains
SRIDEWI NAINGGOLAN 070823007
FAKULTAS MATEMATIKA
ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
PERSETUJUAN
Judul : PERBANDINGAN METODE MARQUARDT
COMPROMISE DAN METODE GAUSS NEWTON DALAM PENAKSIRAN PARAMETER REGRESI NONLINIER
Kategori : SKRIPSI
Nama : SRIDEWI NAINGGOLAN
Nomor Induk Mahasiswa : 070823007
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, 15 Juli 2009
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. H. Haluddin Panjaitan Dra. Rahmawati Pane, M.Si.
NIP 130701888 NIP 131474682
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
PERNYATAAN
PERBANDINGAN METODE MARQUARDT COMPROMIE DAN METODE GAUSS NEWTON DALAM PENAKSIRAN PARAMETER REGRESI
NONLINIER
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2009
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang Maha Kuasa yang telah memberikan anugerahnya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan sebaik-baiknya.
Ucapan terimakasih saya sampaikan kepada Ibu Dra. Rahmawati Pane, M.Si dan Bapak Drs.H.Haluddin Panjaitan selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini dan juga kepada Drs. Pengarapen Bangun M.Si dan Drs. Ramli Barus M.Si selaku penguji skripsi yang telah mengarahkan saya serta telah meluangkan waktu, tenaga, pikiran, dan bantuannya sehingga skripsi saya ini dapat selesai tepat waktu.
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
ABSTRAK
Regresi Nonlinier adalah regresi yang memuat parameter nonlinier, artinya
jika parameter tersebut diturunkan terhadap parameter itu sendiri maka hasil
turunannya masih mengandung parameter itu sendiri (masih tetap nonlinier).
Estimasi regresi dilakukan untuk menentukan estimator parameter regresi. Metode
yang digunakan mengestimasi parameter model regresi nonlinier adalah nonlinear
least square dimana secara konseptual sama dengan metode least square pada
model regresi linear. Skripsi ini bertujuan untuk membandingkan penaksiran
parameter regresi nonlinear dengan menggunakan metode Marquardt
Compromise dan metode Gauss Newton. Dari analisa yang dilakukan didapat
bahwa metode Marquardt dan metode Gauss Newton dapat menaksir parameter
ABSTRACT
Nonlinear Regression is regression that contain nonlinear parameter, it means
that if the parameter is derivated to parameter it self, hence the result of it is
derivative still contain that parameter (Intrisically nonlinear). Regression
estimation is done to detemine estimator of regression parameter. One of the
method that used to estimate nonlinear regression model parameter is nonlinear
least square where conceptually it’s equal to least square method at linear
regression model. The skripsi purpose to compare estimate with the Marquardt
Compromise and Gauss Newton method. Both of the method can use to implies
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan iii
Pernyataan iv
Penghargaan v
Abstrak vi
Abstract vii
Daftar Isi viii
Bab 1 Pendahuan 1
1.1 Latar belakang 1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Pembatasan Masalah 3
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Kontribusi Penelitian 3
1.6 Metodologi Penelitian 4
1.7 Tinjauan Pustaka 4
Bab 2 landasan Teori 6
2.1 Penaksiran Parameter 6
2.2 Turunan Parsial 8
2.3 Deret Taylor 8
2.4 Regresi Nonlinier 9
2.5 Kuadrat Terkecil dalam Kasus Nonlinier 10
2.6 Metode Marquardt Compromise 13
Bab 3 Pembahasan 14
3.1 Pendugaan Parameter suatu Sistem Nonlinear 14
3.2 Jumlah Kuadrat Galat 16
3.3 Algoritma Marquardt Compromise 17
3.4 Algoritma Gauss Newton 17
3.5 Penyelesaian contoh 18
Bab 4 Kesimpulan dan Saran 30
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada umumnya dalam suatu penelitian tidak diketahui secara tepat nilai-nilai
parameter dari distribusi teoritis dimana sampel diambil. Hal ini terjadi karena
tidak terambilnya seluruh unsur populasi yang akan diteliti. Intinya ditemukan
kesulitan untuk menentukan sampel yang representatif yang dapat mewakili
populasi dengan metode dan cara yang efektif. Adapun sampel yang digunakan
untuk menduga parameter disebut penaksir parameter dan angka yang merupakan
hasilnya disebut penaksiran secara statistik.
Misalkan sebuah variabel acak X berdistribusi normal dengan parameter θ. Parameter θ dapat berupa mean populasi, simpangan baku populasi, koefisien regresi populasi dan sebagainya. Parameter θ adalah parameter yang akan
ditaksir. Penaksiran dapat digolongkan menjadi dua bagian, yaitu penaksiran titik
dan penaksiran selang. Sedangkan cara untuk melakukan penaksiran ada
bermacam-macam diantaranya, momen, simpangan kuadrat terkecil, kemungkinan
maksimum ataupun sifat penaksiran takbias linear terbaik. Salah satu dari
beberapa metode yang digunakan untuk menaksir parameter adalah metode
kuadrat terkecil nonlinier yang secara konseptual sama dengan metode kuadrat
terkecil linier. Dalam penelitian ini metode yang digunakan untuk menaksir
parameter adalah dengan metode kuadrat terkecil pada model regresi nonlinier.
Regresi nonlinier digunakan apabila dalam kasus tidak tersedianya informasi yang
pasti tentang bentuk hubungan antara peubah responden peubah bebas. Ada
Eksponensial, 3) Model Logistik. Dalam Skripsi ini Penulis membicarakan
Regresi Nonlinier pada model Eksponensial.
Penaksiran parameter model nonlinier akan menghasilkan nilai yang
berbeda untuk penaksir yang sama karena galat acaknya mempunyai fungsi
pembangkit. Oleh karena itu, berbeda dengan kuadrat terkecil pada model linier,
penaksir atau estimator metode kuadrat terkecil yang diterapkan pada model
nonlinier ditentukan dengan melakukan suatu prosedur atau algoritma yang dapat
menjamin bahwa penaksir tersebut secara nyata memenuhi kriteria dari fungsi
tujuan, yaitu memberikan jumlah kuadrat galat pada nilai yang paling minimum.
Dengan perkatan lain, dalam penentuan penaksir pada model nonlinier
diperlukan pengetahuan mengenai teori titik optimum secara statis. Berdasarkan
teori, untuk menentukan titik optimum yang diyakini sebagai solusi dalam
penentuan penaksir model nonlinier akan digunakan operasi turunan pertama dan
kedua. Turunan yang pertama digunakan dalam prosedur itersasi diterapkan
didalam algoritma Gauss Newton dan model iterasi jalan tengah marquardt.
Algoritma Gauss Newton digunakan untuk menyelesaikan penaksiran kuadrat
terkecil. Metode ini sering disebut metode linearisasi yang menggunakan expansi
deret Taylor untuk menghampiri model regresi nonlinier menjadi bentuk linier.
Sedangkan metode marquardt juga merupakan suatu metode penyelesaian
penaksiran kuadrat terkecil yang merupakan kompromi atau jalan tengah antara
metode linierisasi dengan metode Stepest descent (turunan tercuram).
Dari uraian diatas penulis tertarik memilih judul penelitian:
”Perbandingan metode Marquardt Compromise dan metode Gauss Newton dalam
penaksiran parameter regresi Nonlinier”.
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
Masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana cara menaksir
parameter dalam regresi nonlinier menggunakan metode Marquardt dan metode
Gauss Newton serta membandingkan kedua metode tersebut.
1.3 Batasan Masalah
Ruang lingkup dari penelitian ini dibatasi pada penaksiran parameter model
regresi nonlinier pada model Eksponensial dengan menggunakan metode iterasi
jalan tengah Marquardt dan metode gauss Newton dan hanya mendapatkan
penaksiran parameter saja.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk membandingkan penaksir parameter pada
model regresi nonlinier melalui iterasi Marquardt dan iterasi Gauss Newton
sehingga dapat diketahui metode mana yang lebih efisien menyelesaikan
penaksiran parameter regresi nonlinier.
1.5 Kontribusi Penelitian
Kontribusi penelitian ini adalah menambah pengetahuan dalam regresi nonlinier
dan bagaimana menaksir parameternya.
1.6 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini penulis melakukan studi literatur dengan mengumpulkan
bahan yang membahas mengenai regresi nonlinier dan metode kuadrat terkecil
pada kasus nonlinier. Adapun langkah-langkah penelitian ini adalah sebagai
berikut:
2. Menaksir parameter pada model eksponensial dalam regresi nonlinier
dengan metode kuadrat terkecil
3. Melakukan iterasi dengan iterasi jalan tengah Marquardt dan iterasi Gauss
Newton.
4. Kedua iterasi dilakukan sampai hasilnya konvergen
5. Menyelesaikan contoh kasus dengan menggunakan metode Marquardt dan
metode Gauss Newton.
6. Membandingkan penaksiran yang dilakukan melalui iterasi jalan tengah
Marquardt dan iterasi Gauss Newton.
1.7 Tinjauan Pustaka
(Draper and Smith, 1966)
Secara umum model nonlinier dapat ditulis sebagai berikut:
(
ξ ξ ξ θ θ θ)
+ε= f k p
Y 1, 2,, ; 1, 2,,
Dengan
galat parameter
bebas peubah
respon peubah
Y
= = = =
ε θξ
Persamaan dapat diperingkas menjadi:
( )
ξ θ +ε= f ,
Y
Atau
( ) ( )
y f ξ,θE =
Jika diasumsikan bahwa E
( )
ε =0 dan diasumsikan galat-galatnya tidak berkorelasi, yang berarti V( )
ε =σ2Pada umumnya
( )
2, 0
~ σ
ε N yang berarti galat-galatnya berdistribusi normal serta saling bebas satu sama lain.
Bila n data amatannya berbentuk:
ku u
u u
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
Untuk u=1,2,,n dapat dituliskan dalam bentuk alternatifnya
( )
uu f
Y = ξ,θ +ε
Dengan εu adalah galat ke u=1,2,n dapat diperingkas menjadi
( )
uu f
Y = ξ,θ +ε dengan
(
u u ku)
u ξ ξ ξ
ξ = 1 , 2 ,,
Asumsi kenormalan dan kebebasan galat dapat dituliskan sebagai :
(
2)
, 0
~ σ
ε N I
(
ε ε εn)
ε = 1, 2,,
0= Vektor nol
I = Matriks Identitas
Dan keduanya berukuran sama
Jumlah kuadrat galat untuk model nonlinier didefenisikan sebagai:
( )
∑
{
( )
}
= −
= n
u
u
u f
Y S
1
2
,θ ξ θ
(Gallant, 1942)
Atau
( )
{
( )
}
2
1
,
∑
= −= n
u
u
u f
Y
SSEθ ξ θ
(Steven C Chapra)
Terdapat banyak kasus dalam rekayasa dimana model-model taklinear harus
dicocokkan pada data. Dalam konteks yang sekarang model-model ini
didefenisikan sebagai model yang mempunyai ketergantungan taklinier pada
parameter-parameternya.
Misalnya: f
( )
x a(
1 e a1x)
0 −
− =
Tidak terdapat cara untuk memanipulasi persamaan ini sehingga sesuai dengan
bentuk umum persamaan:
e z a z
a z a z a
(Mohammad Ehsanul Karim)
Metode Gauss Newton atau yang sering disebut metode linearisasi menggunakan
expansi deret Taylor untuk menghampiri model regresi nonlinier menjadi bentuk
linier dan menggunakan kuadrat terkecil untuk menaksir parameter. Misalkan
modelnya berbentuk
( )
uu f
Y = ξ +,θ ε dan
p θ θ
θ10, 20,,
adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameterθ1,θ2,θp
Nilai-nilai awal itu mungkin merupakan dugaan kasar belaka atau mungkin pula
merupakan nilai-nilai dugaan awal bersasarkan informasi yang tersedia.
Nilai-nolai awal itu diharapka n akan diperbaiki dalam proses iterasi.
(Sanjoyo,2006)
Metode Jalan Tengah Marquardt mengaplikasikan metode iterasi seperti halnya
pada Metode Gauss Newton yaitu bertujuan menghasilkan jumlah kuadrat galat
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
LANDASAN TEORI
2.1. Penaksiran Parameter
Dengan statistika dapat disimpulkan karakteristik populasi yang dapat dipelajari
berdasarkan data yang diambil baik secara sampling ataupun sensus. Sehingga
dengan keperluan tersebut diambil sampel yang representatif, dan berdasarkan
hasil analisis terhadap sampel tersebut dapat diambil kesimpulan mengenai
populasi yang diteliti. Adapun sampel yang digunakan untuk menduga parameter
disebut penaksir parameter, dan angka yang merupakan hasilnya disebut
penaksiran secara statistik. Penaksir sendiri juga merupakan peubah acak. Teori
penaksiran dibagi dalam dua golongan yaitu penaksiran titik dan penaksiran
selang. Sedangkan cara melakukan penaksiran ada bermacam-macam diantaranya
adalah cara momen, simpangan kuadrat terkecil, kemungkinan maksimum
ataupun sifat penaksiran tak bias linear yang terbaik.
Suatu penaksiran akan menghasilkan bermacam-macam penaksir.Diantara
penaksir-penaksir itu haruslah dipilih mana yang terbaik yang dapat dipakai
sebagai penghampir parameter populasi. Oleh karena itu perlu diketahui ciri-ciri
penaksir yang baik. Penaksir yang baik harus memenuhi beberapa syarat,
tergantung kepada besar ukuran sampelnya. Akan diuraikan beberapa defenisi
yang berkaitan dengan kriteria penaksir yang baik. Kriteria penaksir yang baik
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
(1) Ketakbiasan
θˆ merupakan penduga tak bias (unbias estimator) dari θ jika E
( )
θˆ =θ. Sebuah penduga dikatakan tak bias kalau rata-rata dari seluruhkemungkinan sampel akan sama dengan nilai parameter dari populasi yang
diduga.
Tetapi kritria tak bias saja tak cukup selama variansi sebagai ukuran
penyebaran suatu penaksir tak bias diketahui. Yang diinginkan penaksir
takbias dengan variansi terkecil yang merupakan kriteria efisiensi.
(2) Efisiensi
θˆ merupakan penduga yang efisien (efficient estimator) bagi θ apabila nilai θˆ memiliki varians atau standar deviasi yang lebih kecil
dibandingkan dengan penduga lainnya. Kalau ada penduga yang takbias
1
ˆ
θ dan θˆ2 dimana varians atau standar deviasi dari penduga θˆ1 lebih kecil
dibandingkan varians atau standar deviasi pendugaθˆ2, maka θˆ1 relative
lebih efisien dibandingkan dengan θˆ2.
(3) Konsistensi
θˆ merupakan penduga konsisten (consistent estimator) bagi θ apabila
nilai θˆ cenderung mendekati nilai parameter θ untuk n (besarnya sampel) yang semakin besar mendekati tak hingga
(
n→∞)
. Jadi ukuran sampel yang besar cenderung memberikan penduga titik yang lebih baikdibandingkan ukuran sampel kecil. X merupakan penduga konsisten dari
µ, sebab apabila n→N, maka X →µ.
Dari contoh ini jelas, kalau n= N maka X =µ. 2 = 1
∑
(
X −X)
2 nS i
merupakan penduga konsisten dari 2 1
(
)
2∑
−= µ
σ Xi
(4) Penduga yang cukup
θˆ merupakan penduga yang cukup (sufficient estimator) bagi θ apabilaθˆ mencakup seluruh informasi tentang θ yang terkandung didalam sampel.
2.2. Turunan Parsial
Misalkan z= f
( )
x,y fungsi 2 variabel yang terdfenisi disekitar titik( )
x,y , turunan parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhadap x dan ytetapkonstan
Turunan parsial z= f
( )
x,y terhadap x ditulis:( ) ( )
x y f x yf x z
x ∂ , = ,
∂ =
∂∂ didefenisikan sebagai berikut:
( )
( )
f(
x h yh) ( )
f x yy x f y x f
x x h
, ,
lim ,
,
0
− + =
=
∂∂ →
Turunan parsial z= f
( )
x,y terhadap yditulis:( ) ( )
f(
x y kk) ( )
f x yy x f y x f
y y k
, ,
lim ,
,
0
− + =
=
∂∂ →
2.3 Deret Taylor
Deret Taylor dapat memberikan nilai hampiran bagi suatu fungsi pada suatu titik,
berdasarkan nilai fungsi dan derivatifnya pada titik yang lain. Suku pertama dari
deret Taylor adalah f
( ) ( )
xi+1 ≈ f Xi dan disebut aproksimasi orde nol. Hubungan ini hendak menunjuk bahwa nilai fungsi f pada titik yang baru, f( )
Xi+1 adalah sama dengan nilai fungsi pada titik yang lama f( )
Xi . Bila fungsi mengalami perubahan suku, sehingga dikembangkan aproksimasi orde 2 yaitu:( ) ( )(
Xi f Xi Xi Xi)
f + ' +1−
Dan secara umum deret Taylor dirumuskan sebagai berikut:
( ) ( ) ( )(
)
( )(
)
( )( )(
)
nn i i i n I
I i i
i i i
i X X R
n X f x
x X f X X X f X f X
f +1 ≈ + +1 − + +1 − 2 + + +1− +
! !
2 "
'
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
( )
( )
( )
11
1
+ +
−
= n
n
n h
n f
R ξ
Dengan indeks n menyatakan aproksimasi orde ke n dan ξ adalah suatu nilai X
dalam selang interval X hingga i Xi+1. Dan h adalah Xi+1 −Xi.
2.4 Regresi Nonlinier
Model nonlinier (yaitu nonlinier dalam parameter yang akan diduga) dapat dibagi
menjadi dua bagian yaitu model linier intrinsik dan model nonlinier Intrinsik.
(1) Model linier Intrinsik
Jika suatu model adalah linier intrinsik, maka model ini dapat dinyatakan
melalui transformasi yang tepat terhadap peubahnya kedalam bentuk linier
baku. Contoh:
(
t e)
eks
Y = θ1 +θ2 2 +
Persamaan ini dapat ditransformasi melalalui pelogaritmaan dengan
basis e , menjadi bentuk, lnY=θ1+θ2t2 +e
Yang bersifat linier dalam parameter-parameternya.
(2) Model nonlinier intrinsik
Jika suatu model nonlinier intrinsik maka model ini tidak dapat diubah
menjadi bentuk baku. Contoh:
[
e e]
eY t − t +
−
= −2 −1
2 1
1 θ θ
θ
θ θ
Model ini tidak mungkin dapat diubah kedalam suatu bentuk linier dalam
parameternya.
Regresi nonlinier adalah regresi yang memuat parameter nonlinier, artinya jika
parameter tersebut diturunkan terhadap parameter itu sendiri maka hasil
turunannya masih mengandung parameter itu sendiri. Estimasi dilakukan untuk
menentukan estimator parameter regresi. Salah satu metode yang digunakan untuk
mengestimasi parameter model regresi nonlinier adalah kuadrat terkecil nonlinier
dimana secara konseptual sama dengan metode kuadrat terkecil pada model
Terdapat banyak kasus dalam rekayasa dimana model-model nonlinier harus
dicocokkan pada data. Dalam konteks ini model-model ini didefenisikan sebagai
model yang mempunyai ketergantungan nonlinier pada parameter-parameternya.
Seperti halnya dengan kuadrat terkecil, regresi nonlinier didasarkan pada
penentuan nilai-nilai parameter yang meminimumkan jumlah kuadrat galatnya.
Namun dalam kasus nonlinier, penyelesaian haruslah berjalan dengan cara iterasi
dan bergantung pada nilai-nilai dugaan awal.
2.5Metode Kuadrat Terkecil dalam Kasus Nonlinier
Metode kuadrat terkecil atau seing disebut dengan metode OLS (Ordinary Least
Square) diperkenalkan oleh Carl Friedrich Gauss, seorang matematikawan
Jerman. Penaksir- penaksir yang dihasilkan berdasarkan metode kuadrat terkecil
adalah bersifat tak bias dan konsisten. Didalam kenyataannya, salah satu penaksir
tak bias linier memiliki varians yang minimum, sehingga disebut penaksir takbias
linier terbaik (Best Linear Unbiased Estimator/BLUE). Sifat ini merupakan dasar
dari dalil Gauss- markov theorem yaitu sebagai berikut:
Dalil Gauss Markov : Berdasarkan sejumlah asumsi tertentu pendugaan
berdasarkan metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga takbias linier
terbaik (Best Linear Unbiased Estimator/ BLUE), dengan koefisien regresi
memiliki varians yang minimum.
Namun demikian berbeda dengan kuadrat terkecil dalam model linier,
penaksiran parameter pada kuadrat terkecil dalam model nonlinier ditentukan
dengan melakukan suatu prosedur atau algoritma yang dapat menjamin bahwa
penaksir tersebut secara nyata memenuhi kriteria dari fungsi tujuan yaitu
memberikan jumlah kuadrat galat pada nilai yang paling minimum atau
memberikan nilai maksimum pada fungsi likelihood. Notasi Baku yang digunakan
untuk kuadrat terkecil nonlinier berbeda dengan yang digunakan untuk kasus
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
(
)
ef
Y = ξ1,ξ2,ξk;θ1θ2,θp +
Dilambangkan dengan
(
ξ ξ ξk)
ξ = 1, 2,,
(
θ1,θ2, ,θp)
'θ =
Maka persamaannya dapat ditulis menjadi
( )
ef
Y = ξ,θ + Atau
( ) ( )
Y f ξ,θE =
Bila data amatannya berbentuk
ku u
u u
Y ,ξ1 ,ξ2 ,,ξ
Untuk u=1, 2,n maka dapat dituliskan modelnya kedalam bentuk:
(
u u k p)
uu f e
Y = ξ1 ,ξ2 ,ξ ;θ1,θ2,θ +
dan dapat diperingkas bentuknya menjadi:
( )
u uu f e
Y = ξ ,θ +
Jumlah kuadrat galat untuk persamaan nonlinier ditulis sebagai berikut:
( )
{
( )
}
21
,
∑
= −= n
u
u
u f
Y
S θ ξ θ
Karena y dan u ξu merupakan amatan, dan bersifat tetap, maka jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari θ. Nilai taksiran kuadrat terkecil bagi θ akan
dilambangkan denganθˆ . Nilai taksiran ini tidak lain adalah nilai yang
meminimumkan S
( )
θ . Untuk menemukan nilai taksiran kuadrat terkecil θˆ , terlebih dahulu persamaan jumlah kuadrat galat dideferensialkan terhadap θ. Iniakan menghasilkan ppersamaan normal, yang harus diselesaikan untuk
memperoleh θˆ . Persamaan normal tersebut berbentuk :
( )
( )
{
( )
} ( )
θ θ θθ ξ θ
ξ
θθ ˆ
, ,
=
∂ ∂ −
= ∂ ∂
i u u
u i
f f
Y S
Untuk i=1,2,,p sedangkan besaran dalam kurung adalah turunan dari
( )
ξu,θmerupakan fungsi dari ξu saja dan tidak mengandung θˆ sama sekali. Misalnya
jika
( )
u u u pmf ξ ,θ =θ1ξ +θ2ξ2 +θ
Maka
p i
f
iu i
, , 2 ,
1
= =
∂∂θ ξ
dan tidak bergantung pada θ. Ini mengakibatkan persamaan normalnya terdiri
atas persamaan- persamaan linier dalam θ1,θ2,θp. Bila modelnya tidak linier
dalam θ, maka sama halnya dengan persamaan normalnya. Sekarang akan
diilustrasikan dengan suatu contoh sederhana berupa penaksiran suatu parameter θ didalam sebuah moel nonlinier. Misalnya akan diperoleh persamaan normal untuk mendapatkan nilai taksiran kuadrat terkecilθˆ bagi parameter θ dalam model Y = f
( )
θ,t +ε dengan f( )
θ,t =e−θt misalkan n pasangan amatan yang tersedia adalah( ) (
Y1,t1 , Y2,t2) (
,, Yn,tn)
. Melalui pendifrensialan parsial terhadapθ diperoleh t
te
f θ
θ =− −
∂∂ yang menghasilkan persamaan normal tunggal.
Selanjutnya persamaan normal tunggal dapat ditulis sebagai berikut:
[
]
[
ˆ]
01
ˆ
= −
− −
=
−
∑
tuu n
u
t
u e t e
Y θ θ
Atau
0
ˆ 2 ˆ
1
=
−
∑
∑
−=
n
u
t u t
u n
u u
u
u t e
e t
Y θ θ
Perhatikan bahwa dengan hanya satu parameter dan suatu model nonlinier
yang relatif sederhana , penentuan nilai θˆ melalui penyelesaian persaman normal tidaklah mudah. Bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit,
penyelesaian persamaan- persamaan normalnya bisa sangat sulit, dan hampir
dalam semua kasus, pemecahannya harus menggunakan metode iteratif yang
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
2.6Metode Marquardt Compromise (Jalan tengah Marquardt)
Metode ini dikembangkan oleh D.W Marquardt atau sering juga disebut metode
Levenberg Marquardt adalah salah satu metode didalam pendugaan nonlinier.
Metode Marquardt merupakan kompromi atau jalan tengah antara metode
linearisasi (atau deret Taylor) dengan metode turunan tercuram (Stepest Descent).
Metode Marquardt mengaplikasikan metode iterasi seperti halnya pada metode
Gauss Newton yaitu meminimumkan jumlah kuadrat galat, bedanya hanya
terletak pada penambahan perkalian skalarλdan matriks identitas I . Secara k
umum metode Marquardt Compromise dinyatakan sebagai berikut:
( ) ( )
(
)
( )
( )
θ θ
θθ λ
θ θ θ
θ
ˆ 1
1
' ˆ
= −
+
∂ ∂ +
−
= t D D nIk S
n n n n n
( ) ( )
(
)
1' + −
= n k
n n
n Z Z I
p θ θ λ
Dengan
n
θ = Nilai dugaan awal parameter
1
ˆn+
θ = Parameter yang ditaksir
( ) ( )
n nD
Dθ ' θ = Matriks yang dihasilkan dari data n
λ = Perkalian skalar
n
t = Panjang langkah
k
I = Matriks Identitas
( )
( )
nS
θ
θθ ˆ
∂
2.7Metode Gauss Newton
Metode Gauss Newton merupakan suatu algoritma untuk meminimumkan jumlah
kuadrat galat. Konsep kunci yang mendasari teknik tersebut adalah uraian deret
Taylor yang digunakan untuk menyatakan persamaan nonlinier semula dalam
suatu bentuk hampiran yang linier. Dengan demikian, teori kuadrat terkecil dapat
digunakan untuk memperoleh taksiran-taksiran baru dari parameter yang bergerak
kearah yang meminimumkan galat tersebut.
Secara umum iterasi gauss Newton dinyatakan sebagai berikut:
( )
( )
( )
( )[
θ θ]
( )
θ( )(
( )
ξ θ)
θ
θˆ 1 D 'D 1D ' Yt f ,
n n
n n
n+ = + − −
Dengan
n
θ = Nilai dugaan awal parameter
1
ˆn+
θ = Parameter yang akan ditaksir ( )
( )
nDθ = Matrik yang dihasilkan dari data
( )
(
Yt− f ξ,θ)
= Vektor yang dihasilkan dari perbedaan antara pengukuran dan prediksiMetode Gauss Newton dimulai dengan nilai awal untuk parameter regresi yaitu
1 1
0,θ , θp−
θ dan didalam penaksirannya dirobah menjadi ( ) ( ) ( )0 1 0
1 0
0 ,g , ,gp−
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
PEMBAHASAN
3.1 Pendugaan Parameter suatu Sistem Nonlinier
Pada sebagian masalah nonlinier,cara yang sering dilakukan dan ternyata berhasil
adalah menuliskan persamaan normal secara terinci dan mengembangkan suatu
teknik iteratif untuk memecahkannya.Apakah cara ini berhasil atau tidak
bergantung pada persamaan normalnya dan metode iterasi yang digunakan, dalam
memperoleh taksiran parameter. Diantaranya adalah :1) Metode Gauss Newton
(metode linearisasi), 2) Metode Stepest Descent (Turunan tercuram), 3)
Marquardt Compromise ( jalan tengah Marquardt). Dan metode-metode ini dapat
diselesaikan dengan menggunakan program komputer.
Metode Gauss Newton menggunakan hasil-hasil kuadrat terkecil dalam
beberapa tahap. Misalkan model yang ditentukan berbentuk:
( )
uu f
Y = ξ,θ +ε
Dan θ10,θ20,,θp0 adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter θ0,θ1,,θp
Nilai-nilai awal itu merupakan taksiran kasar belaka atau mungkin pula
merupakan nilai-nilai dugan awal berdsarkan informasi yang tersedia. (Misalnya
perkiraan berdasarkan informasi yang diperoleh dari perhitungan lain yang serupa
atau yang diperkirakan benar oleh peneliti berdasarkan pengalaman dan
pengetahuannya). Nilai-nilai awal itu diharapkan akan diperbaiki dalam proses
Bila dilakukan penguraian deret Taylor bagi f
( )
ξ,θ disekitar titik(
10 20 0)
0 θ ,θ ,θpθ = dan membatasi penguraian sampai turunan pertama, maka dapat
dikatakan bahwa, bila θ dekat pada θ0 maka
( ) (
)
( ) (
0)
ˆ 1
0
, ,
, i i
p i i u u u f f
f θ θ
θ θ ξ θ ξ θ ξ θ θ − ∂ ∂ + = = =
∑
Bila ditetapkan(
)
( )
0 , , 0 0 0 0 0 θ θ θ θ ξ θ θ β θ ξ = ∂ ∂ = − = = i u iu i i i u u f Z f fMaka bentuknya menjadi
u p i iu i u
u f Z
Y −
∑
β +ε=1 0 0 0
Dengan kata lain persamaan tersebut sudah berbentuk linier. Oleh karena
itu dapat ditaksir parameter-parameter i ,i 1,2, ,p 0
=
β dengan cara menerapkan
teori kuadrat terkecil. Bila ditetapkan
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
Misalnya, dengan notasi yang sudah jelas maksudnya, maka taksiran bagi
(
0 0)
2 0 1
0 β ,β , ,βp
β = diberikan oleh
(
)
(
0)
0 1 0 0
0 Z 'Z Z 'Y f
b = − −
dengan demikian vektor b akan meminimumkan jumlah kuadrat galat. o
3.2 Jumlah Kuadrat Galat (Sum Square Error)
Penaksiran Kuadrat terkecil dari θadalah meminimumkan jumlah kudrat galat
dari parameterθ yaitu θˆ , didefenisikan sebagai:
( )
{
( )
}
21
,
∑
= −= n
i
i f
Y
S θ ξ θ
Untuk menghitung jumlah kuadrat galat dapat juga dilakukan dengan
menggunakan matrik sebagai berikut:
( )
[
( )
]
[
( )
]
( ) ( )
[
f f( ) ( )
f]
Y[
Y Y Yn]
f
f Y f Y S
, , , ,
, , , ,
, 1 2
1 =
=
− −
=
θ ξ θ
ξ θ ξ θ
θ θ
θ
Untuk menemukan nilai dugaan kuadrat terkecil θˆ , persamaan
( )
θ[
Y f( )
θ]
[
Y f( )
θ]
S = − − dideferensialkan terhadap θ dan akan menghasilkan
ppersamaan normal. Persamaan normal itu berbentuk:
( )
( )
( )
θ θ θ
θ θ
θ ξ θ ξ
θ θ
ξ
ˆ 1
ˆ 1
, ,
,
= =
=
=
∂ ∂ −
∂
∂
∑
∑
in
i i
n
i i
f f
f Y
Dan selanjutnya dapat dilakukan penaksiran parameter model nonlinier dengan
menggunakan kuadrat terkecil dan melakukan pengiterasian dengan menggunakan
3.3 Algoritma Marquardt Compromise
Menentukan nilai awal yaitu θ00,θ10,,θp0−1 dan didalam pengiterasiannya notasi
awal berubah menjadi 0
1 0
1 0
0,g , ,gp−
g . Selanjutnya menyelesaiakan persamaaan
normal dari suatu model regresi nonlinier yang akan ditaksir, dan kemudian
menentukan nilai perkalian skalar dinotasikan dengan λ dengan 0<λ≤1 dan matriks identitas I. Iterasi pada metode ini akan berhenti pada saat nilai iterasi
tersebut sudah konvergen.
Persamaan iterasi ditulis sebagai berikut :
( ) ( )
(
)
( )
( )
θ θ
θθ λ
θ θ θ
θ
ˆ 1
1
' ˆ
= −
+
∂ ∂ +
−
= t D D nIk S
n n n n n
Dan pada proses iterasi notasi parameter yang ditaksir akan menjadi
( ) ( )
(
) ( )
( )
n
g n k
n n n n n n
g g S I
g D g D t g
g
∂ ∂ +
−
= −
+1 1
' λ
3.4 Algoritma Gauss Newton
Pada umumnya proses iterasi Gauss Newton dilakukan dengan langkah sebagai
berikut:
1) Dianggap θˆ( )0 sebagai estimasi awal untuk θ
2) Hitung θˆ( )i+1 =θˆ( )0 +bi
3) Nilai θˆ( )i+1 digunakan sebagai nilai untuk menghampiri model linier
4) Kemudian kembali lagi ke langkah pertama dan menghitung nilai buntuk
setiap iterasi, nila b yang baru ditambahkan kepada penaksiran yang
didapat dari iterasi sebelummya.
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
3.5 Penyelesaian Contoh
Contoh
Pernyatan masalah: Cocokkan fungsi f
(
Xi;θ0,θ1)
=θ0(
1−exp(
−θ1Xi)
)
pada data sebagai berikut:Tabel 3.5.1 Data yang harus dicocokkan pada fungsi
x y
0,25 0,28
0,75 0,57
1,25 0,68
1,75 0,74
2,25 0,79
(Sumber: Buku Metode Numerik oleh Steven C Chapra halaman 318-319)
Gunakan dugaan-dugaan awal θ0 =1,00danθ1=1,00 untuk parameter-
parameter.
Penyelesaian
Dengan Bentuk f
(
Xi;θ0,θ1)
=θ0(
1−exp(
−θ1,Xi)
)
yang terdiri dari dua parameter. Digunakan kuadrat terkecil untuk meminimumkan kuadrat galatdengan terlebih dahulu menaksir parameter pada model tersebut dan selanjutnya
menyelesaikan persamaan normalnya dengan iterasi jalan tengah Marquardt dan
Model tersebut akan dibentuk kedalam regresi nonlinier yaitu sebagai berikut:
(
i)
ii f X
Y = ,θ +ε
Dengan Kuadrat terkecil Q adalah
(
)
[
]
21 ,
∑
= − = n i k ii f X
Y
Q θ ; k =0,1,,p−1 Turunan parsial dari Q terhadap θk adalah
(
)
[
,]
(
,)
02 ˆ 1 = ∂ ∂ − − =
∂∂
∑
= k =gi n i i i k X f X f Y Q θ θ θ θ θ
g adalah vektor dari taksiran kuadrat terkecil g yaitu: k
= −1 1 0 p g g g g
Dari contoh diatas dapat diselesaikan sebagai berikut:
(
Xi)
(
(
Xi)
)
f ;θ =θ0 1−exp−θ1
Sehingga untuk contoh diatas turunan-turunan parsial fungsi terhadap
parameter-parameter adalah:
(
)
(
)
(
)
(
)
i i i i i X X X f X X f 1 0 1 1 0 exp , exp 1 , θ θ θ θ θ θ θ − = ∂ ∂ − − = ∂ ∂Ubahlah simbolθ0 dan θ1 untuk menaksir parameter dengan g dan 0 g . Akan 1
didapat persamaan normal dari turunan parsial diatas yaitu sebagai berikut:
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
1 exp(
)
)
exp(
)
0exp 0 exp 1 exp 1 exp 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 = − − − − − = − − − − − − −
∑
∑
∑
∑
i i i i i i i i i X g X g X g g X g X g Y X g Xi g g X g YPersamaan normal dapat diubah menjadi:
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
exp(
)
exp(
2)
0Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
Karena persamaan normal diatas tidak linier didalam parameter g dan 0 1
g maka cara yang tepat untuk menyelesaikan persamaan normal diatas adalah
dengan menggunakan metode numerik untuk melakukan penaksiran secara iterasi.
Metode numerik yang sering kali dipakai untuk menyelesaikan permasalahan
didalam penaksiran parameter model nonlinier adalah Metode Gauss Newton dan
Metode Marquardt compromise.
Dengan menggunakan algoritma Gauss Newton, langkah awal adalah
menentukan nilai awal terlebih dahulu kemudian dihampiri dengan rata-rata
respon f
(
Xi,θ)
untuk n pengamatan oleh bentuk linier mengunakan ekspansi deret Taylor disekitar nilai awal 0k
g diperoleh pengamatan ke i
(
)
(
( ))
(
)
(
( )0)
0 ˆ
1
0
0 ,
,
, f X g f X g
X
f k
g p
k k
i i
i −
∂ ∂ + ≈
= −
=
∑
θθ θ
θ
θ
Dan
( ) ( )
( )
=
− 0
1 0 1
0 0
p
g g g
g
adalah vektor dari parameter nilai awal
Sekarang akan disederhanakan notasi:
( )
(
)
( ) ( )
( )
(
)
( )0 ( )0
ˆ 0
0 0
0 0
, ,
g k
i ik
k k k
i i
X f D
g g X f f
=
∂ ∂ =
− = =
θ
θ θ
Hampiran deret Taylor
(
)
(
( ))
(
)
(
0( )0)
ˆ 1 0 0 , ,, f X g f X g
X f k g p k k i i
i −
∂ ∂ + ≈ = − =
∑
θ θ θ θ θuntuk rata-rata respon pengamatan ke i notasinya akan disederhanakan menjadi
(
)
( )∑
− ( ) ( ) = + ≈ 1 0 0 0 0 , p k k ik ii f D
X
f θ β
Dan hampiran untuk model regresi nonlinier Yi = f
(
Xi,θ +)
εi akan menjadi( ) ( ) ( ) i p k k ik i
i f D
Y ≈ +
∑
β +ε− = 1 0 0 0 0
Dari bentuk diatas fi( )0 digeser kekiri akan menjadi ( )
0
i
i f
Y − dengan akan
diperoleh pendekatan model regresi linier sebagai berikut:
( ) ( ) i n
D Y i p k k ik
i 1, ,
1 0 0 0 = + ≈
∑
− = β ε Karena( )0 ( )0
i i
i Y f
Y = −
Maka akan didapat pendekatan didalam bentuk matriks seperti dibawah ini:
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
Selanjutnya parameter β( )0 dapat ditaksir dari persamaan normal pada model
regresi linier sederhana dan diperoleh:
( )0
(
( )0 ( )0)
1 ( ) ( )0 0'
'D D Y
D
b = −
Dimana b( )0 adalah vektor dari koefisien regresi kuadrat terkecil yang akan ditaksir. Dan dapat digunakan untuk memperoleh taksiran parameter regresi
berikutnya dengan koefisien regresi gk( )1 .
( )1 ( )0 ( )0
k k
k g b
g = + .
Kriteria perhitungan kuadrat terkecil untuk koefisien regresi awal g( )0 dinotasikan
dengan
( )
[
(
( ))
]
( )
(
)
21 0 2 1 0 0 ,
∑
∑
= = − = − = n i i i n i i i f Y g X f Y SSEDari contoh sebelumnya dapat diselesaikan dengan iterasi Gauss Newton sebagai
berikut
Untuk lebih memudahkan pengiterasian dapat dilakukan dengan penerapan
( )
(
)
( ) ( )(
(
( ))
)
( )
(
)
(
)
( )(
)
( ) ( )(
(
( ))
)
( )(
)
( ) ( )(
(
( ))
)
( )(
)
( ) ( )(
(
( ))
)
( )(
)
( ) ( )(
(
( ))
)
8946 , 0 exp 1 , 8264 , 0 exp 1 , 7153 , 0 exp 1 , 5276 , 0 exp 1 , 2212 , 0 25 , 0 1 exp 1 1 exp 1 , 5 0 1 0 0 0 5 0 5 4 0 1 0 0 0 4 0 4 3 0 1 0 0 0 3 0 3 2 0 1 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1 = − − = = = − − = = = − − = = = − − = = = − − = − − = = X g g f g X f X g g f g X f X g g f g X f X g g f g X f X g g f g X f iUntuk : Yi =0,28 maka penyimpangannya dapat dihitung sebagai berikut:
( ) ( )0 0,28 0,2212 0,0588
1 0
1 =Y − f = − =
Y i
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
Sehingga untuk semua data pengamatan akan didapat:
( )
[
(
( ))
]
( )(
)
(
) (
) (
) (
) (
)
0247490 , 0 1046 , 0 0862 , 0 0335 , 0 0424 , 0 0588 , 0 , 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 0 0 = − + − + − + + = − = − =∑
∑
= = n i i i n i i i f Y g X f Y SSE( )0
(
( )0 0)
1 ( ) ( )0 0'
'D D Y
D
b = −
( ) ( ) = = 4404 , 0 9489 , 0 9489 , 0 3193 , 2 2371 , 0 8946 , 0 3041 , 0 8262 , 0 3581 , 0 7153 , 0 3543 , 0 5276 , 0 1947 , 0 2212 , 0 2731 , 0 3041 , 0 3581 , 0 3543 , 0 1947 , 0 8946 , 0 8262 , 0 7135 , 0 5276 , 0 2212 , 0 ' 0 0 D D ( ) ( )
(
)
(
) (
)
− − = − − = − 1676 , 19 8421 , 7 8421 , 7 6397 , 3 3193 , 2 9489 , 0 9489 , 0 4404 , 0 9489 , 0 . 9489 , 0 4404 , 0 . 3193 , 2 1 ' 0 1Oleh karena itu:
( )
− =
− −
−
− =
50256923 ,
0
27172936 ,
0
0365 , 0
1533 , 0
1676 , 19 8421 , 7
8421 , 7 6397 , 3 0
b
Maka akan diperoleh penaksiran kuadrat terkecil g : ( )1
( ) ( ) ( )
=
− + =
+ =
50256923 ,
1
72826923 ,
0
50256923 ,
0
27172936 ,
0
1 1
0 0 1
b g g
Dengan cara yang sama seperti diatas dapat diperoleh iterasi berikutnya sehingga
didapat iterasi yang menghasilkan galat yang paling minimum
Iterasi g 0 g SSE 1
0 1,0000 1,0000 0,0247490
1 0,7282 1,5025 0,0243422
2 0,7911 1,6774 0,0006622
3 0,7921 1,6774 0,0006622
Dari hasil iterasi yang ketiga telah diperoleh iterasi yang konvergen, sehingga
itterasi dapat berhenti dan didapat MSE sebagai berikut:
0002206 ,
0 2 5 000662 ,
0
= −
= − =
p n
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
Dengan menggunakan algoritma Marquardt, langkah awal yang dilakukan adalah
menentukan nilai awal yaitu θ00,θ10,,θp0−1 dan didalam pengiterasiannya notasi
nilai awal tersebut akan berubah menjadi g00,g10,g0p−1, selanjutnya
menyelesaikan persamaan normal dari suatu model regresi nonlinier yang akan
ditaksir, setelah itu akan ditentukan nilai skalar dari setiap iterasi yang dinotasikan
dengan λ dimana 0<λj ≤1dan biasanya nilai λ merupakan faktor dari 10. Dan
iterasi akan berhenti pada saat nilai iterasi tersebut sudah konvergen yaitu
ε θ θk 1+ − k ≤
Persamaan iterasi ditulis sebagai berikut:
( )
(
( ) ( )
)
( )
( )
θ θ θθ λ
θ θ θ
θ
ˆ 1
1
' ˆ
= −
+
∂ ∂ +
−
= n tn D n D n nIk S
n
Pada proses iterasi notasi parameter yang ditaksir menjadi:
( )
(
( ) ( )
)
( )
( )
gnk n n n n n n
g g S I
g D g D t g g
∂ ∂ +
−
= −
+1 1
' λ
Untuk lebih memahami metode Marquardt kemudian akan diselesaikan contoh
yang sebelumnya. Diambil nilai awal taksiran untuk model
(
Xi)
(
(
Xi)
)
f ;θ =θ0 1−exp−θ1 yang sama dengan nilai awal yang diberikan pada metode Gauss Newton yaitu g0( )0 =1,00 dan g1( )0 =1,00. Sehingga dapat diketahui metode mana yang lebih efisien atau metode yang lebih cocok digunakan dalam
contoh ini. Nilai awal tersebut dapat digunakan untuk mencari nilai taksiran
berikutnya.
Dengan menggunakan persamaan iterasi diatas maka dapat dilakukan perhitungan
seperti dibawah ini. Dari matriks sebelumnya yaitu:
( ) ( )
(
)
=
4404 , 0 9489 , 0
9489 , 0 3193 , 2 ' 0
( ) ( )
(
)
[
]
( ) ( )(
)
[
]
− − = + = + = + − 1678 , 19 8421 , 7 8421 , 7 6397 , 3 ' 4404 , 0 9489 , 0 9489 , 0 3193 , 2 1 0 0 1 00001 , 0 4404 , 0 9489 , 0 9489 , 0 3193 , 2 ' 1 0 0 0 0 k n k n I D D I D D λ λ ( )( )
( )( )
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
( )( )
( )( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
0365 , 0 ) 9487 , 0 9122 , 0 ( 0 5 , 4 exp 25 , 2 exp 25 , 2 5 , 0 exp 25 , 0 exp 25 , 0 1 25 , 2 exp 77 , 1 75 , 0 exp 47 , 0 25 , 0 exp 07 , 0 0 0 2 exp exp exp 1533 , 0 ) 3192 , 2 1659 , 2 ( 0 25 , 2 exp 1 75 , 1 exp 1 25 , 1 exp 1 75 , 0 exp 1 25 , 0 exp 1 1 25 , 2 exp 1 79 , 0 75 , 1 exp 1 74 , 0 25 , 1 exp 1 68 , 0 75 , 0 exp 1 57 , 0 25 , 0 exp 1 28 , 0 0 0 exp 1 exp 1 1 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 0 1 0 0 = − − = − − − + + − − − − − + + − + − − = = − − − − − = ∂ ∂ = − − = − − + − − + − − + − − + − − − − − + − − + − − + − − + − − − = = − − − − − = ∂ ∂∑
∑
∑
∑
i i i i i i i i i X g X g X g X g X Y g g S X g g X g Y g g S ( ) ( )[
]
( )
( ) ( ) − = − − = ∂ ∂ + − 50256923 , 0 27172936 , 0 0365 , 0 1533 , 0 1369 , 19 8421 , 7 8421 , 7 6397 , 3' 0 1
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
Dengan cara yang sama diatas dapat diperoleh iterasi berikutnya sehingga didapat
iterasi yang menghasilkan galat yang paling minimum dan menjadi konvergen
kenilai 0,001 yaitu sebagai berikut:
Iterasi g 0 g 1 SSE
0 1,0000 1,0000 0,0247490
1 0,7282 1,5025 0,0243422
2 0.7911 1,6774 0,0006622
3 0,7921 1,6774 0,0006622
Dari penyelesaian dengan dua metode ditatas dapat diketahui bahwa dengan
metode Marquardt dan metode Gauss Newton sama-sama menghasilkan galat
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 KESIMPULAN
Dari analisa yang dilakukan didapat bahwa metode Marquardt dan metode Gauss
Newton dapat menyelesaikan penaksiran parameter dalam kasus nonlinier dan
kedua metode itu menghasilkan jumlah kuadrat galat ke nilai yang paling
minimum. Metode Marquardt telah dikembangkan untuk mengatasi kekurangan
kekurangan yang terdapat dalam Metode Gauss Newton seperti kekonvergenan
yang mungkin melambat dan kemungkinan berosilasi secara lebar. Dan dalam
masalah-masalah yang praktis kedua metode lainnya dapat diterapkan sama
baiknya seperti Metode Marquardt.
4.2 SARAN
Dalam tulisan ini penulis hanya membahas tentang penaksiran parameter regresi
non linier model eksponensial dengan operasi turunan pertama yaitu metode
Marquardt dan metode Gauss Newton. Bagi para pembaca yang tertarik untuk
mengembangkan penelitian ini dapat menyelesaikan penaksiran parameter regresi
nonlinier dengan metode lainnya misalnya dengan menggunakan operasi turunan
kedua dan dengan model yang lain.
DAFTAR PUSTAKA
Ananth Ranganathan, The Levenberg- Marquardt, 2004
(Jurnal, diakses 20 April2009)
Chapra. C. Steven and Canale. P. Raymond. 1988. Metode Numerik. Pt Gramedia
Pustaka Utama, anggota IKAPI, Jakarta.
Danapriatna, Nana dan Setiawan Rony. 2005. Pengantar Statistika. Penerbit
Graha Ilmu, Yogyakarta.
Draper, N.R. and Smith, H. 1966. Analisis Regresi Terapan. Pt Gramedia Pustaka
Utama, anggota IKAPI, Jakarta.
Davidian, M.1966. Nonlinear Regression. New York.
Gallant, A. Ronald. 1942. Nonlinear Statistical Models. New York:
Jhon Wiley & Son
Mohammad Ehsanul Karim, Nonlinear Models, University of Dhaka.
(Jurnal, diakses 28 Maret 2009)
Neter, Jhon and Wasserman, William. 1985. Applied Linear Statistical Models.
Printed in the United States of America.
Sanjoyo, Nonlinear estimation, 2006 ( Jurnal, diakses 28 Maret 2009)
Soelistiyo. 2001. Dasar-Dasar Ekonometrika. Yogyakarta:BPPE.