Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
A-6
JUMLAH GRUP BAGIAN DALAM DARAB LANGSUNG
GRUP SIKLIS BERHINGGA
M.V.Any HerawatiProgram Studi Matematika Universitas Sanata Dharma [email protected]
Abstrak
Masalah yang akan dibuktikan dalam penelitian ini adalah mencari jawaban atas pertanyaan tentang berapa banyak grup bagian dari suatu grup. Pertanyaan ini, secara umum, jawabannya tidaklah mudah. Beberapa penulis telah menghitung banyaknya grup bagian dalam keluarga grup berhingga tertentu. Joseph Petrillo dalam tulisannya yang berjudul ‘Counting Subgroups in a Direct Product of Finite Cyclic Groups’,
dalam The College Mathematics Journal, Vol.42, No.3 tahun 2011 menyumbangkan
hasil pemikirannya untuk kasus darab langsung grup siklis berhingga, Penelitian ini adalah studi pustaka atas tulisan Joseph Petrillo tersebut.
Untuk grup berhingga G dengan kisi grup bagian L(G), misalkan | L(G),| menyatakan banyaknya grup bagian dari G.. Misal
Z
n menyatakan grup siklis tunggal yang berorde n , yang dapat dipandang sebagai grup bilangan bulat dengan penlumlahan modulo n. Tujuan penelitian ini adalah membahas rumus untuk menghitung|
L
(
Z
m
Z
n)
|
untuk semua bilangan bulat positif m dan n.. Alat utama yang dipakai di sini adalah Teorem Goursat yang dituliskan di bawah nanti . Pertama diperhatikan untuk kasus di mana m dan n relatif prima dan merupakan pangkat bilangan prima yang sama. Kemudian hasilnya diperluas untuk darab langsung dari sebarang grup siklis maupun tidak siklis.Kata kunci: grup, grup siklis, orde grup, teorema Goursat.
A. PENDAHULUAN
Pengalaman di kelas, apabila mahasiswa diminta mencari grup bagian dari suatu darab langsung grup
G
H
, biasanya adalah dengan cara mencari grup bagian A dari G dan grup bagian C dari H lalu dibentukA
C
sebagai grup bagian dariG
H
. Atau kalau tidak, dipilih diagonal dariG
G
, yatuD
(
g
,
g
)
|
g
G
yang merupakan grup bagian dariG
G
. Padahal secara umum masih ada grup bagian yang lainnya lagi. Sebagai contoh , misalkan
0
,
1
,
2
3
Z
dan perhatikan darab langsungZ
3Z
3, maka dapat diperiksa bahwa himpunan {(0,0), (1,2), (2,1)} merupakan grup bagian dariZ
3Z
3 yang bukan merupakan darab langsung grup bagian dan bukan pula grup bagian diagonal. Sehingga muncul pertanyaan ada berapa grup bagian dariZ
3Z
3 seluruhnya?Pada tahun 1889, Edouard Goursat (1858-1936) membuktikan teorema yang menggambarkan struktur grup bagian dari darab langsung
G
1G
2 dalam hubungannya dengan kuosien dalam G1 dan G2. Yang dimaksud kuosien dalam grup G adalah grup faktor A / B di manatepatnya menyatakan bahwa bila G dan H adalah grup, maka terdapat bijeksi antara himpunan S yang memuat semua grup bagian dari
G
H
dan himpunan T yang terdiri dari semua tripel) , / , /
(A B C D
di mana A / B adalah kuosien dalam G, C /D adalah kuosien dalam H, danD C B
A/ /
:
adalah isomorfisma. Atau secara singkat, Teorema Goursat menyatakan bahwa struktur grup bagian dari suatu darab langsung bergantung pada struktur kuosien dari grup-grup faktornya. Penting diperhatikan bahwa, selain isomorfisma identitas, isomorfisma yang lain mungkin ada antara kuosien-kuosien yang tak trivial, masing-masing bersesuaian dengan satu grup bagian dalam darab langsung. Itulah alasan mengapaZ
3Z
3 mempunyai grup bagian yang tidak dapat diperoleh dari darab langsung grup-grup bagian maupun dari diagonalnya3
3
Z
Z
. Dan bila diselesaikan menggunakan Teorema Goursat diperoleh bahwa banyaknya grup bagian dariZ
3Z
3 seluruhnya ada 3, yang secara teknis mencarinya adalah sebagai berikut. Pertama, dicari semua grup bagian dariZ
3, yaitu grup bagian {0} danZ
3 sendiri. Dari kedua grup bagian tersebut dibentuk grup – grup kuosien {0}/{0},Z
3/{
0
}
, danZ
3/Z
3. Selanjutnya, dicari semua automorfisma dari {0}/{0},Z
3/{
0
}
, danZ
3/Z
3.(i). Karena | {0}/{0} | = 1, maka hanya ada satu automorfisma dari {0}/{0}, yaitu automorfisma yang memasangkan koset 0{0}0{0}. Dari automorfisma ini dihasilkan grup bagian trivial dari
Z
3Z
3, yaitu {(0,0)}.(ii). Sedangkan |
Z
3/{
0
}
| = 3, makaZ
3/{
0
}
Z
3.. Karena ada 2 automorfisma dari3
Z
, maka automorfisma dariZ
3/{
0
}
ada 2 pula, yaitu yang memetakan 0{0}0{0}, } 0 { 1 } 0 {1 , 2{0}2{0}. Dari sini dihasilkan grup bagian {(0,0), (1,1), (2,2)}. Sedangkan automorfisma yang satunya adalah yang memetakan 0{0}0{0} ,
} 0 { 2 } 0 {
1 , 2{0}1{0}. Dari automorfisma ini dihasilkan grup bagian {(0,0), (1,2), (2,1)}.
(iii). Dan yang terakhir karena |
Z
3/Z
3.| = 1, makaZ
3/
Z
3
Z
1 dan hanya ada satu automorfisma dariZ
1, sehingga automorfisma dariZ
3/ Z
3 hanya ada satu pula,yaitu yang memetakan0
Z
3 0
Z
3 dan dari pemetaan ini dihasilkan grup bagian {(0,0)} yang sudah muncul di bagian (i) di atas.Dari uraian di atas diperoleh bahwa grup bagian dari
Z
3Z
3 seluruhnya ada 3, yaitu {(0,0)}, {(0,0), (1,1), (2,2)}, dan {(0,0), (1,2), (2,1)}.Seperti yang diperlihatkan melalui contoh di atas bahwa Teorema Goursat tid
ak
menyediakan rumus untuk menghitung banyaknya grup bagian dari darab langsung grupG
H
tetapi lebih pada bagaimana mengonstruksi semua grup bagian dariG
H
. Sedangkan penelitian ini bertujuan membahas secara detail tulisan Joseph Petrillo yang berjudul ‘Counting Subgroups in a Direct Product of Finite Cyclic Groups.’ dalam The College Mathematics Journal, March 2009 tentang penurunan rumus untuk menghitung banyaknya grup bagian dalam darab langsung dari grup siklis berhingga. Adapun karena adanya pembatasan jumlah halaman, maka bukti teorema dan lampiran tidak disertakan dalam tulisan ini.B. PEMBAHASAN
Teorema Goursat Misal G1 dan G2 adalah grup. Maka terdapat bijeksi antara himpunan
semua grup bagian dari
G
1G
2 dan himpunan semua tripel (A / B , C / D,
) di mana A / B adalah kuosien dalam G1 , C / D adalah kuosien dalam G2 , dan
:A/BC/D adalahBukti dari teorema Goursat tersebut dapat dilihat dalam [ 3 ] atau [4 ]. Dalam tulisan tersebut ditunjukkan bagaimana cara membentuk gup bagian U dari
G
1G
2 dari dua kuosien isomorfis yang diberikan, dan sebaliknya. Gambar 1 memperlihatkan hubungan antara U dan kuosien-kuosien yang bersesuaian dengan U. Di sini A dan B adalah grup bagian dari G1 dan Cdan D adalah grup bagian dari G2, dan kuosien antara A / B dan C / D isomorfis melalui
.Di samping memberikan cara membentuk grup-grop bagian A / B dan C / D , teorema Goursat juga memberikan cara untuk menghitung banyaknya grup bagian, minimal secara teori. Bila kita dapat menentukan semua kuosien antara G1 dan G2 , dan kemudian menentukan
semuaisomorfisma antara pasangan kuosien-kuosien yang isomorfis, maka kita dapat menghitung grup-grup bagian dari dengan menghitung semua tripel (A / B , C / D,
) di mana A / B adalah kuosien dalam G1 , C / D adalah kuosien dalam G2 , dan
:A/BC/D adalah isomorfisma.Gambar 1 Visualisasi grup bagian U dari darab langsung
G
1G
2.Contoh 1 Grup bagian dari
Z
9Z
9 yang bukan merupakan darab langsung dari grup-grup bagian dariZ
9 adalah {(0,0),(3,3),(6,6)}. Dengan teorema Goursat, grup bagian ini bersesuaian dengan tripel
3
/
0
,
3
/
0
,
, di mana
adalah automorfisma identitas pada3
/
0
Z
3
. Karena hanya ada satu automorfisma yang lain (selain automorfisma identitas) dariZ
3, yaitu yang memetakan 0 ke 0, 1 ke 2, dan 2 ke 1, maka ada tepat satu grup bagian lain yang diperoleh dari pasangan kuosien ini, yaitu {(0,0),(6,3),(3,6)}.
Secara umum, setiap pasangan kuosien berorde satu,tiga, atau sembilan dalam
Z
9Z
9 menghasilkan satu, dua, atau enam grup bagian, berturut-turut., sama dengan banyaknya automorfisma dariZ
1,Z
3, danZ
9 DalamZ
9 , ada tiga kuosien berorde satu, dua kuosien berorde tiga, dan satu kuosien berorde 9. Dengan Teorema Goursat,Z
9Z
9 mempunyai 3.3.1+2.2.2+1.1.6 = 23 grup bagian (Lampiran 1). Kisi grup bagian dariZ
9Z
9 ditunjukkan dalam Gambar 2.Pendekatan yang dipakai dalam Contoh ini menjadi dasar untuk menghitung jumlah grup bagian dari
Z
pr
Z
pr , di mana p adalah bilangan prima. Pertama, diamati untuk kasus paling sederhana, yaitu ketika grup-grup faktor tersebut mempunyai orde relatif prima dan perkalian dari pangkat bilangan prima yang sama. Akhirnya, hasil tersebut diperluas untuk hasilkali langsung dari grup siklik dan tak-siklik sebarang.Menghitung grup bagian dari
Z
m
Z
n bila m dan n relatif prima Teorema 1Bila m dan n adalah bilangan-bilangan bulat positif yang relatif prima, maka grup
Z
m danZ
m tidak mempunyai kuosien tak-trivial yang isomorfis.Bukti : (Lampiran)
Menurut Teorema Goursat, setiap grup bagian dari
Z
m
Z
n berpadanan dengan suatu tripel (A/A,C/C,
) , di manaA
Z
m,C
Z
n, dan
adalah isomorfisma identitas. Ini berarti bahwa setiap grup bagian dariZ
m
Z
n mempunyai bentukA
C
, dan dari sini kisi grup bagian dariZ
m
Z
n adalah darab Kartesius dariZ
m danZ
n.Gambar 2 Diagram kisi grup bagian dari
Z
9Z
9Teorema 2. Misal m dan n adalah dua bilangan bulat positif yang relatif prima, dengan
faktorisasi prima k r k r p p m 1... 1 dan l t k t q q n 1... 1
. Maka banyaknya grup bagian dari n m
Z
Z
adalah).
1
(
)
1
(
)
(
)
(
1 1
l j j k i ir
r
n
d
m
d
Bukti : (Lampiran)Berikut ini adalah kasus khusus dari Teorema 2 bila m dan n berupa pangkat dari bilangan-bilangan prima.
Akibat 3. Bila p dan q adalah dua bilangan prima yang berbeda, maka banyaknya grup bagian dari
Z
pr
Z
qt adalah (r+1)(t+1).Bukti : (Lampiran)
Gambar 3 Kisi grup bagian dari
Z
3Z
32 danZ
9Z
8.Contoh 2. Grup
Z
27
Z
4 danZ
9Z
8 masing-masing mempunyai 12 grup bagian dan kisi grup bagiannya saling isomorfis. Meskipun kisi grup bagian dariZ
3Z
328 tidak isomorfisdengan kedua kisi tersebut, grup ini juga mempunyai 12 grup bagian. (Gambar 3 dan 4). Secara
umum, bila p dan q adalah dua bilangan prima yang berbeda, maka grup
Z
pZ
q5 dan3 2
q p
Z
Z
masing-masing mempunyai 12 grup bagian, namun kisi grup bagiannya tidak isomorfis..(Lampiran 2)
Gambar 4 Kisi grup bagian dari
Z
27
Z
4Menghitung grup bagian dari
Z
p
r
Z
p
s
, di mana p adalah bilangan prima dan r ≤ s Dalam bagian ini kita mengamati secara khusus darab langsung Zpr Zps , di mana p adalah bilangan prima dan r ≤ s. Tujuan utamanya adalah menghitung grup-grup bagian yang berpadanan dengan tripel (A / B , C / D,
) untuk kuosien-kuosien tertentu A/B dan C/D, yangkeduanya isomorfis dengan
Z
pk , 0 ≤ k ≤ r, di mana
mencakup semua automorfisma darik
p
Z
.Karena
L
(
Z
pr)
adalah rantai,Z
pr mempunyai r+1 grup bagian (kuosien berorde 1), rkuosien berorde p, r – 1 kuosien berorde
2
p
, dan seterusnya. Secara umum, rp
Z
mempunyair – k + 1 kuosien berorde k
p
, 0 ≤ k ≤ r . Selanjutnya, menghitung automorfisma dari suatu grup siklis adalah ekivalen dengan menghitung banyaknya pembangun. Dengan menggunakan fungsitotient Euler pada
p
k, diperoleh bahwa kp
Z
mempunyai 1
k kp
p
automorfisma bila k > 0, dan mempunyai satu automorfisma bila k = 0.Sekarang, untuk setiap kuosien berorde
k
p
,k > 0, kita dapat memilih kuosien dalam
Z
pr dalam r – k + 1 xara, memilih kuosien dalam sp
Z
dalam s – k + 1 xara,dan kemudian memilihisomorphism dalam
1
kk
p
p
cara.. Untuk k = 0, banyaknya grup bagian adalah (r + 1)(s + 1), dan untuk 0.< k ≤ r, , banyaknya grup bagian adalah(r – k + 1)(s – k + 1)(
1
kk
p
p
). Maka, total jumlah grup bagian dari sp Z r p Z adalah
),
)(
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
1 1
k r k kp
p
k
s
k
r
s
r
yang dengan beberapa hitungan secara aljabar diperoleh :
s r p p
Z
Z
L
(
=
2 1 1 1)
1
(
1
2
1
1
)
1
(
p
p
p
p
rp
p
p
s
r
r r rDan dengan beberapa penyederhanaan diperoleh hasil sebagai berikut :
Teorema 4. Bila p adalah bilangan prima, dan r dan s adalah bilangan bulat tak-negatif sedemikian hingga r ≤ s, maka banyaknya grup bagian dari s
p Z r p Z adalah
1
. 2 1 3 2 1 1 2 1 p p r s p r s pr Bukti : (Lampiran)Berikut adalah beberapa kasus khusus dari Proposisi 2 : ). 5 ( ) 3 ( 2 ( 1 2 2 r s r s Z Z L r s r . 5 2 ) 3 ( 2 ( 1 2 2 r Z Z L r r r . 2 3 (Z3 Z3 1r L r r r . ) 1 ( 1 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( ( 2 1 p p p r p p Z Z L r p pr s
.
3
)
(
Z
Z
p
L
p p.
1
)
(
(
Z
0
Z
L
Z
s
L
s s p p pTeorema 5. Misal p adalah bilangan prima, dan misal r dan s adalah bilangan bulat tak-negatif sedemikian hingga r ≤ s . Maka
(a) . 1 ) 1 ( ) ( ( ) ( 1 p p r s Z Z L Z Z L r p p p pr s r r (b) 1 ) ( 2 ) 1 ( ) 1 )( ( ( ) ( 2 1 1 p r s p p p p Z Z L Z Z L r s p p p ps s r r (c) 1 . ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 )( ( ( ) ( 1 2 1 1 p p r s p p p p Z Z L Z Z L r r s p p p ps s r s
Bukti : (Lampiran)
Jumlah grup bagian dari
Z
mZ
n untuk sebarang m dan n Perhatikan grupZ
m
Z
ndan andaikan bahwam
1
n
. Bilak
p
p
p
,
,...,
2 1 adalahbilangan-bilangan prima yang saling berbeda dan membagi hasilkali mn, maka m dan n dapat difaktorkan sebagai
m
p
r1p
r2...
p
krk 2 1
dan sk k s sp
p
p
n
1 2...
2 1
, di manar
i dans
i adalah bilangan bualt tak negatif dan mungkin sama dengan nol pada paling banyak satu dalam dekomposisi untuk m dan n. Dengan Teorema Fundamental dari grup Abel berhinggaZ
mZ
ndapat didekomposisikan menjadi
Z
mZ
n sk k k r k s r p p p p Z Z Z Z 1 ... 1 1 1 . (2)Pada tahun 1951,Suzuki [ ] membuktikan teorema yang dapat digunakan untuk menghasilkan generalisasi Teorema 2.
Teorema Suzuki. Misal
G
1 danG
2 adalah grup berhingga. Maka)
(
)
(
)
(
G
1G
2L
G
1L
G
2L
dan|
L
(
G
1
G
2)
|
|
L
(
G
1)
|
.
|
L
(
G
2)
|
bila dan hanya bila|
|
G
1dan
|
G
2|
relatif prima.Teorema 6. Misal m dan n adalah bilangan positif, dan misal
p
1,
p
2,...,
p
k adalah bilangan-bilangan prima saling berbeda yang membagi hasilkali mn sedemikian hinggak r k r r
p
p
p
m
1 2...
2 1
dann
p
s1p
s2...
p
ksk 2 1
. Maka . | ) ( | | ) ( | 1 i s i i r i p k i p n m Z L Z Z Z L
Setiap faktor dalam Proposisi 3 dapat dihitung menggunakan Proposisi 2 dan akibatnya.
Bukti : (Lampiran)
Contoh 3. Karena 18 2.32 dan 30 = 2.3.5, maka
|
)
(
|
.
|
)
(
|
.
|
)
(
|
|
)
(
|
3 1 5 3 2 2 30 18Z
L
Z
Z
L
Z
2Z
L
Z
Z
Z
L
= 5.10.2 = 100.Menghitung Jumlah Grup Bagian dari Grup Berhingga Tak Siklik
Secara prinsip, untuk menghitung grup bagian dari hasilkali langsung dari sebarang grup berhingga
G
1 danG
2 adalah dengan Teorema Goursat, yang tentunya dibutuhkan informasi lebih tentang struktur dariG
1 danG
2. Dalam prakteknya, untuk menghitung grup bagian dari2
1
G
G
pada umumnya lebih sederhana bila menggunakan Teorema Goursat secara langsung daripada dengan rumus. Berikut adalah contohnya.Contoh 4. Akan dihitung jumlah grup bagian dari hasil kali langsung
A
4, grup alternating pada empat elemen, danD
4, grup simetri dari persegi (Diagram Hassenya di Gambar 5). Orde dari4
A
adalah 12 yang mempunyai pembagi 1, 2, 3, 4, 6, dan12. KarenaA
4 tidak mempunyai kuosien berorde 6 danD
4 tidak mempunyai kuosien berorde 3 maupun 12, berarti cukup diperhatikan kuosien berorde 1, 2,dan4.(Lampiran)Gambar 5. Diagram Hasse dari
A
4 danD
4.Kuosien berorde 1.
A
4 danD
4 masing-masing mempunyai 10 kuosien berorde satu (yaitu dari sepuluh grup bagian), dan hanya ada satu automorfisma antara setiap pasang kuosien-kuosien tersebut. Dengan demikian, total jumlah grup bagian yang bersesuaian dengan kuosienberorde satu adalah 10 . 10 . 1 = 100.Kuosien berorde 2
A
4 mempunyai 6 kuosien berorde dua, sedangkanD
4 mempunyai limabelas (Lampiran). Semua kuosien tersebut isomorfis denganZ
2, yang mana hanya ada satu automorfisma dariZ
2. Dengan demikian, ada 6 . 15 . 1 = 90 grup bagian.Kuosien berorde 4.
A
4 mempunyai 1 kuosien berorde empat (Lampiran) yang isomorfis dengan grup Klein-4Z
2Z
2. (BilaZ
3 adalah sebarang grup bagian berorde 3 dalamA
4 ,makaA
4/ Z
3 bukan kuosien karenaZ
3 bukan grup bagian normal dariA
4.) Di lain pihak,4
D
mempunyai 4 kuosien berorde empat,tapi salah satunya siklik, jadi mempunyai 3 kuosien yang isomorfis dengan grup Klein-4(Lampiran). KarenaAut
(
Z
2
Z
2)
S
3(Lampiran) , grup simetris pada 3 elemen,Z
2Z
2 mempunyai 6 elemen, yang berarti jumlah total grup bagianBerdasar pengamatan di atas
A
4D
4 mempunyai 100 + 90 + 18 = 208 grup bagianC. KESIMPULAN
Dari uraian di atas diperoleh rumus untuk menghitung banyaknya grup bagian dari darab langsung grup dua grup, yaitu :
1. Teorema 2 digunakan untuk darab langsung dari dua grup siklis berhingga yang orde-ordenya relatif prima .
2. Akibat 3 digunakan untuk darab langsung dari dua grup siklis berhingga yang orde-ordenya adalah bilangan prima yang berbeda
3. Teorema 4 digunakan untuk darab langsung dari dua grup siklis berhingga yang orde-ordenya merupakan pangkat dari bilangan prima yang sama,
4. Teorema 6 digunakan untuk darab langsung dari dua grup siklis berhingga yang orde-ordenya adalah bilangan positif sebarang.
5. Untuk darab langsung dari dua grup tak siklis pada umumnya lebih sederhana bila menggunakan Teorema Goursat .
D. DAFTAR PUSTAKA
Fraleigh,J.B., A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson Education, Inc., 2003.
Gallian,J.A., Contemporary Abstract Algebra. 7th edition, .Boston: Houghton Mifflin, 2010.
Herawati, A., Teorema Goursat : Konstruksi subgrup dari grup darab langsung, Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, FMIPA UNY, 2009.
Petrillo, J., Goursat’s Other Theorem, The College Mathematics Journal, Vol.40, No.2 (2009) 119.
Petrillo, J., Counting Subgroups in a Direct Product of Finite Cyclic Groups, The College Mathematics Journal, Vol.42, No.3 (2011) 215.
