PEMANFAATAN SIMULASI MONTE CARLO PADA OPSI KEUANGAN

(1)

Bab IV Pemanfaatan Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Keuangan

BAB IV

PEMANFAATAN SIMULASI MONTE

CARLO PADA OPSI KEUANGAN

4.1 Program GUI Simulasi Monte Carlo untuk Menilai

Opsi Keuangan.

Berikut adalah tampilan dari program GUI Simulasi Monte Carlo untuk Menilai Opsi Keuangan yang telah dibuat berdasarkan Tugas Akhir ini:

Gambar 4. 1 tampilan GUI Matlab Penentuan Harga Opsi dengan simulasi Monte Carlo

(2)

Pada kotak Input terdapat kolom-kolom untuk memasukkan inputan dari Opsi keuangan. Inputan pertama adalah Style. Pada inputan Style ini terdapat 4 macam inputan yang harus diisi, yaitu: inputan jenis opsi Eropa atau Amerika, inputan jenis opsi call atau put, inputan jenis opsi standar atau exotic (Asia, Barrier, atau Lookback), dan inputan jenis untuk masing-masing opsi exotic. Opsi Asia terdiri dari : aritmatik average asset, aritmatik average strike, geometrik average asset, dan geometrik average strike. Opsi Barrier terdiri dari : down and in, down and out, up and in, dan up and out. Opsi Lookback terdiri dari : fixed strike dan floating strike. Kolom-kolom inputan lain yaitu : Price, strike, interest rate, volatility, simulation, barrier (optional hanya untuk opsi barrier), dan kotak expiration. Pada kotak expiration ini terdapat 4 macam inputan yang akan saling mempengaruhi yaitu : starting date, expiration date, life, dan maturity.

Kotak Real Data adalah kotak pilihan untuk menentukan apakah kita akan menggunakan data saham real atau tidak. Jika check box di depan tulisan Historical volatility diaktifkan, maka kita diberi fasilitas untuk memasukkan data histori yang dapat di download langsung dari www.financial.yahoo.com. Hasil download dari situs tersebut disimpan dalam satu folder dengan program ini dan secara otomatis program akan mendeteksi nama dari saham yang telah didownload tersebut beserta data saham, data tanggal awal dan akhir pengambilan data. Untuk program ini, penulis mengatur program untuk mendeteksi harga saham hanya saat penutupan saja, tetapi untuk keperluan-keperluan tertentu program dapat diubah untuk mendeteksi harga saham yang lain. Jika check box diaktifkan maka secara otomatis kotak inputan volatility tidak dapat diedit, dan secara otomatis kotak ini akan berisi historical volatility dari data harga saham yang diminta.

Pada kotak output, terdapat kotak option price dan confidence interval, yang akan memberikan hasil penghitungan jika tombol calculate di tekan. Disamping itu

(3)

terdapat jg pilihan selang kepercayaan yang diinginkan yaitu : 80, 90, 95, 99 persen.

4.2 Simulasi Harga Opsi Eropa dan Amerika

Misalkan diberikan data-data sebagai berikut :

1. Harga saham awal adalah 36$ 2. Strike price-nya adalah 40$

3. Suku bunga tahunan tanpa resikonya adalah 6%

− jadi nilai diskontonya adalah 0.941765 4. Volatilitas pergerakan harga saham 20%

Hasil simulasi dapat dilihat pada lampiran I. Berikut adalah plot dari simulasi yang telah dilakukan.

1. Periode harga saham N =50

0 1000 2000 5000 10000 20000 100000 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 50

Jumlah Sampel Opsi Pu t B-S Eropa Binomial LSM biasa

Gambar 4. 2 LSM tanpa Reduksi Variansi

(4)

Bab IV Pemanfaatan Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Keuangan 0 1000 2000 5000 10000 20000 100000 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Jumlah Sampel Op si Pu t B-S Eropa Binomial LSM AV

Gambar 4. 3 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate

0 ₁₀₀₀ ₂₀₀₀ ₅₀₀₀ ₁₀₀₀₀ ₂₀₀₀₀ ₁₀₀₀₀₀ 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

Jumlah Sampel Op si Pu t B-S Eropa Binomial LSM CV

Gambar 4. 4 LSM dengan Reduksi Variansi control variate

(5)

0 ₁₀₀₀ ₂₀₀₀ ₅₀₀₀ ₁₀₀₀₀ ₂₀₀₀₀ ₁₀₀₀₀₀ 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8

5 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 100

Jumlah Sampel Op si Pu t B-S Eropa Binomial LSM biasa

0 1000 2000 5000 10000 20000 100000 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Gambar 4. 6 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate

(6)

0 1000 2000 5000 10000 20000 50000 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8

5 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 200

(7)

0 1000 2000 5000 10000 20000 50000 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

(8)

0 ₁₀₀₀ ₂₀₀₀ ₅₀₀₀ ₁₀₀₀₀ ₁₅₀₀₀ ₂₀₀₀₀ 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

0 1000 2000 5000 10000 15000 20000 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

(9)

Bab IV Pemanfaatan Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Keuangan 0 1000 2000 5000 10000 15000 20000 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

0 1000 2000 2500 5000 7500 10000 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

(10)

0 1000 2000 2500 5000 7500 10000 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

Gambar 4. 16 LSM dengan Reduksi Variansi control variate

(11)

Dari grafik-grafik di atas dapat dilihat bahwa metode Kuadrat Terkecil Monte Carlo memberikan hasil yang konvergen mendekati taksiran nilai Opsi Binomial seiring bertambahnya jumlah simulasi yang dipakai

( )

M .

Metode reduksi variansi dapat memperkecil kesalahan baku dari Metode Monte Carlo atau dengan kata lain dapat mempercepat kekonvergenan. Variansi reduksi

antithetic variate memberikan hasil yang lebih baik yaitu dapat memperkecil kesalahan baku dari Metode Monte Carlo standar dengan rasio . Sedangkan variansi reduksi antithetic variate memperkecil kesalahan baku Metode Monte Carlo standar dengan rasio

2.8

≈

1.2

≈ .

4.3 Metode Monte Carlo untuk opsi

exotic

Opsi Asia

Telah dilakukan simulasi penghitungan nilai opsi exotic dengan menggunakan metode Binomial dan penghitungan secara analitik oleh saudara Riswan Harapan dalam tugas akhirnya yang berjudul “PENENTUAN HARGA OPSI ASIA”. Pada kesempatan ini, akan dilakukan simulasi Monte Carlo untuk opsi asia dengan input seperti pada simulasi yang dilakukan oleh saudara Riswan Harapan, yaitu sebagai berikut:

0.09, 0.2, 100,

r= σ = saham awal=

Time to maturity = 1/3, strike price = 95 (untuk tipe average value).

Hasil dari simulasi Binomial dengan N=50 untuk Average strike call options

eropa sebesar 3.51 dengan nilai eksaknya 3.51, sedangkan untuk harga opsi Put eropa sebesar 1.91. [1]

(12)

Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut: M C Conf Int 10 3.94103 [2.10406,5.778] 100 3.70135 [3.18279,4.21991] 1000 3.37462 [3.23763,3.51161] 10000 3.51784 [3.47257,3.56311]

Tabel 4. 1 Asian Geometrik Average Strike Call Option

0 10 100 1000 10000 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 C all o p tion Simulation

Gambar 4. 17 Asian Geometrik Average Strike Call Option

M P Conf Int

10 2.19083 [0.946207,3.43545] 100 1.97254 [1.61211,2.33298] 1000 1.78356 [1.68139,1.88573] 10000 1.89333 [1.86003,1.92663]

Tabel 4. 2 Asian Geometrik Average Strike Put Option

(13)

Bab IV Pemanfaatan Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Keuangan 0 10 100 1000 10000 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Simulation Put o p tion

Gambar 4. 18 Asian Geometrik Average Strike Put Option

Sedangkan untuk Average value call options eropa adalah sebesar 6.7543 dan untuk put adalah 0.5468.

Tabel 4. 3 Asian Geometrik Average Value Call Option

(14)

Bab IV Pemanfaatan Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Keuangan 0 10 100 1000 10000 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 Simulation Call O p tion

Gambar 4. 19 Asian Geometrik Average Value Call Option

M P Conf Int

10 0.469843 [-0.0992289,1.03891] 100 0.633185 [0.419115,0.847256] 1000 0.52227 [0.457619,0.58692] 10000 0.541223 [0.520156,0.562291]

Tabel 4. 4 Asian Geometrik Average Value Put Option

0 10 100 1000 10000 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Simulation P u t optio n

Gambar 4. 20 Asian Geometrik Average Value Put Option

(15)

Opsi Barrier

Berdasarkan penghitungan yang telah dilakukan oleh saudara Aditya Rachman dalam buku Tugas akhirnya yang berjudul “PENENTUAN NILAI BARRIER OPTION TIPE EROPA DAN AMERIKA” adalah sebagai berikut:

Diberikan masukan:

Masukan Simbol Nilai

Harga saham saat t₀ S₀ 95

Maturity time T 1

Volatilitas σ 0.25

Non-risk interest rate r 0.1 Nilai barrier (bawah) B_low 90

Strike price K 100

Tabel 4. 5 Input Down and Out Barrier Call Option

Dihitung down and out Call option (nilai barrier tetap) didapatkan nilai akurat analitik 5.9968. [7]

Tabel 4. 6 Down and Out Barrier Call Option

(16)

Bab IV Pemanfaatan Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Keuangan 0 10 100 1000 10000 0 2 4 6 8 10 12 Call o p tion Simulation

Gambar 4. 21 Down and Out Barrier Call Option

Kemudian dengan masukan sebagai berikut :

Masukan Simbol Nilai

Harga saham saat t₀ S₀ 95

Maturity time T 1

Volatilitas σ 0.25

Non-risk interest rate r 0.1 Nilai barrier (atas) B_up 125

Strike price K 100

Tabel 4. 7 Input Up and Out Barrier Put Option

Dihitung Up and Out Put Option dengan nilai barrier konstan didapatkan nilai akurat analitik 6.9859

Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut: M P Conf Int 10 6.73949 [3.64297,9.83602] 100 7.54621 [6.60882,8.4836] 1000 6.78318 [6.49028,7.07607] 10000 6.94439 [6.8516,7.03916]

Tabel 4. 8 Up and Out Barrier Put Options

(17)

Bab IV Pemanfaatan Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Keuangan 0 10 100 1000 10000 3 4 5 6 7 8 9 10 Put o p tion Simulation

Gambar 4. 22 Up and Out Barrier Put Options

4.4 Penggunaan data nyata pada Opsi

Sekarang kita akan memakai program simulasi Monte Carlo untuk menghitung harga opsi di dunia nyata. Kita akan menggunakan data saham yang tersedia di internet, menghitung nilai historical volatility-nya, kemudian membandingkan hasil estimasi yang diperoleh dengan harga opsi yang terdapat di internet untuk beberapa strike price K dan berbagai waktu jatuh tempo T. Alamat website yang akan kita pakai adalah www.finance.yahoo.com dan www.cboe.com, dimana telah tersedia informasi-informasi harga opsi yang kita butuhkan.

Berikut adalah contoh penggunaan program simulasi Monte Carlo untuk menghitung harga opsi Yahoo! Inc. (YHOO) tanpa dividen. Sebelumnya, akan kita lakukan pengambilan database data saham dari alamat website www.finance.yahoo.com. Kita ambil data saham harian Yahoo! Inc. Dari tanggal 18 Maret 2007 sampai dengan 14 September 2007, dimana pada selang waktu tersebut terdapat 125 hari perdagangan saham. Dari data ini, dapat dihitung

(18)

historical volatility-nya yaitu sebesar 0.3387. Kemudian, masih dari alamat website yang sama, kita dapat mengetahui informasi harga saham saat ini. Suku bunga yang dipakai adalah 4.75% sesuai dengan suku bunga di Amerika Serikat yang dapat dilihat pada alamat website www.tradingeconomics.com seperti tampilan berikut.

Gambar 4. 23 website interest rate

(19)

Pada saat pengambilan data saham awal ini, yaitu pada tanggal 19 September 2007 harga saham Yahoo! Inc. Adalah $25.06. Kita juga akan mendapatkan informasi waktu jatuh tempo, yaitu tanggal 21 September 2007, 19 Oktober 2007, 18 Januari 2008, 18 April 2008, 16 Januari 2009, dan 15 Januari 2010.

Opsi saham yahoo di atas merupakan Opsi Amerika, oleh karena itu simulasi dan perhitungan harga opsi dengan metode Monte Carlo berikut juga memakai aturan Opsi Amerika.

(20)

Jatuh tempo 21 September 2007

Pada alamat website akan didapatkan tampilan sebagai berikut :

Gambar 4. 24 Harga opsi jatuh tempo 21 September 2007

(21)

Sedangkan dengan simulasi monte carlo sebanyak 10000 simulasi harga saham dengan informasi-informasi tersebut diperoleh hasil sebagai berikut:

Opsi Call

Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs. Rel. error

10.00 14.7 15.0598 [15.0476, 15.072] 0.024476 12.50 12.20 12.5606 [12.5484, 12.5728] 0.029557 15.00 8.70 8.7614 [8.7492, 8.7737] 0.007057 17.50 7.00 7.56225 [7.55002, 7.57449] 0.080321 20.00 5.00 5.00307 [4.99084, 5.01531] 0.000614 22.50 2.50 2.5039 [2.49166, 2.51613] 0.00156 25.00 0.33 0.330764 [0.323089, 0.338439] 0.002315 27.50 0.04 0 [0, 0] 1 30.00 0.05 0 [0, 0] 1 32.50 0.05 0 [0, 0] 1 35.00 0.05 0 [0, 0] 1 37.50 0.05 0 [0, 0] 1

Tabel 4. 9 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 21 September 2007

Opsi Put

Strike Harga Opsi Selang kepercayaan 95% Abs. Rel. error

17.5 0.01 0 [0, 0] ₁ 20.00 0.01 0 [0, 0] ₁ 22.50 0.03 0 [0, 0] ₁ 25.00 0.30 0.278535 [0.256372, 0.300698] _0.07155 27.50 2.60 2.58227 [2.54888, 2.61567] _0.006819 30.00 5.40 4.96911 [4.93648, 5.00174] _0.079794

Tabel 4. 10 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 21 September 2007

Dapat kita lihat pada tabel hasil simulasi di atas bahwa simulasi Monte Carlo gagal pada strike price US$ 10, US$ 12.5,dan US$ 17.5 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put gagal pada strike price US$ 30.00. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 17.5 yaitu sebesar 0.080321

pada call dan strike price US$ 30.00 sebesar 0.079794 pada put.

(22)

Jatuh tempo 18 Januari 2008

Gambar 4. 25 Harga opsi dengan jatuh tempo 18 Januari 2008

(23)

Berikut adalah hasil simulasi dengan Metode Monte Carlo untuk opsi yahoo di atas:

Opsi Call

Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs Rel. Error

10.00 14.30 15.2242 [15.1282, 15.3201] _0.064629 12.50 14.67 12.7734 [12.6775, 12.8693] _0.129284 15.00 10.10 10.3265 [10.2307, 10.4222] _0.022426 17.50 7.90 7.91406 [7.81965, 8.00846] _0.00178 20.00 5.70 5.63992 [5.55033, 5.72951] _0.01054 22.50 3.90 3.86733 [3.79747, 3.9472] _0.008377 25.00 2.45 2.4692 [2.40344, 2.53495] _0.007837 27.50 1.35 1.37567 [1.32543, 1.42592] _0.019015 30.00 0.75 0.7809 [0.744667, 0.817132] _0.0412 32.50 0.3 0.282032 [0.256988, 0.307067] _0.059893 35.00 0.15 0.130715 [0.11399, 0.14744] _0.128567 40.00 0.10 0.0228294 [0.0157619, 0.0298969] _0.771706 42.50 0.05 0.0101449 [0.0056, 0.01467] _0.797102 45.00 0.05 0.0041 [0.0014, 0.00697] _0.918 50.00 0.05 0.000496 [-0.00041, 0.00141] _0.99008 55.00 0.05 0 [0, 0] ₁ 60.00 0 0 [0, 0] - 65.00 0 0 [0, 0] -

Tabel 4. 11 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 18 Januari 2008

(24)

Opsi Put

10.00 0.03 0 [0, 0] 1 12.50 0.05 0 [0, 0] 1 15.00 0.10 0 [0, 0] 1 17.50 0.2 0 [0, 0] ₁ 20.00 0.54 0 [0, 0] ₁ 22.50 1.05 0 [0, 0] ₁ 25.00 1.95 1.71772 [1.59155, 1.8439] _0.119118 27.50 3.50 3.41923 [3.26921, 3.56925] _0.023077 30.00 5.40 5.4152 [5.24587, 5.58453] _0.002815 32.50 7.80 7.68478 [7.49304, 7.87652] _0.014772 35.00 10.30 10.1557 [9.95598, 10.3554] _0.023718 40.00 15.30 15.235 [15.0759, 15.3942] _0.023856 45.00 20.00 19.9884 [19.8239, 20.153] _0.00058 50.00 26.70 24.9626 [24.8886, 25.0365] _0.065071 60.00 36.70 36.7078 [36.644, 36.7776] _0.048834

Tabel 4. 12 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 18 Januari 2008

Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo gagal pada strike price US$ 10, US$ 12.5, US$ 15, dan US$ 35 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put gagal pada strike price US$ 25.00 dan US$ 50. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 12.5 yaitu sebesar 0.129284 pada call dan strike price US$ 25.00 sebesar 0.119118 pada put.

(25)

• Jatuh tempo 18 April 2008

Gambar 4. 26 Harga Opsi dengan jatuh tempo 18 April 2008

(26)

Opsi Call

10.00 20.15 _20.0193 _{[19.9459, 20.0926]} _0.006486 12.50 16.65 _16.7329 _{[16.6595, 16.8063]} _0.004979 15.00 15.00 _15.0499 _{[14.9747, 15.1252]} _0.003327 17.50 12.75 _12.7824 _{[12.7013, 12.8634]} _0.002541 20.00 10.05 _10.07175 _{[9.97652, 10.16698]} _0.002164 22.50 8.00 _8.02496 _{[7.90703, 8.1429]} _0.00312 25.00 5.60 _5.6259 _{[5.48185, 5.76995]} _0.004625 30.00 2.22 _2.45925 _{[2.2922, 2.6263]} _0.10777 32.50 0.87 _0.9413 _{[0.79069, 1.09191]} _0.081954 35.00 0.36 _0.41692 _{[0.290173, 0.54367]} _0.158111 37.50 0.08 _0.082452 _{[-0.02049, 0.185392]} _0.03065 40.00 0.07 _0.095456 _{[0.013308, 0.177603]} _0.363657

Tabel 4. 13 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 18 April 2008

Opsi Put

10.00 0.02 ₀ _{[0, 0]} ₁ 12.50 0.04 ₀ _{[0, 0]} ₁ 15.00 0.05 ₀ _{[0, 0]} ₁ 17.50 0.13 ₀ _{[0, 0]} ₁ 20.00 0.25 ₀ _{[0, 0]} ₁ 22.50 0.48 ₀ _{[0, 0]} ₁ 25.00 0.84 ₀ _{[0, 0]} ₁ 30.00 2.26 _2.23997 _{[2.04894, 2.431]} _0.008863 32.50 3.70 _3.72043 _{[3.49833, 3.94252]} _0.005522 35.00 5.55 _5.58727 _{[5.34407, 5.83048]} _0.006715 37.50 8.55 _8.41306 _{[8.15045, 8.67568]} _0.016016 40.00 10.20 _10.4557 _{[10.1703, 10.7411]} _0.025069

Tabel 4. 14 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 18 April 2008

(27)

Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo gagal pada strike price US$ 10 dan US$ 30 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put selalu berhasil. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 10 yaitu sebesar 0.006486 pada call dan strike price US$ 40.00 sebesar 0.025069 pada put.

(28)

• jatuh tempo 16 Januari 2009

Gambar 4. 27 Harga Opsi dengan jatuh tempo 16 Januari 2009

(29)

Opsi Call

10.00 19.50 _19.9033 _{[19.5076, 20.299]} _0.020682 12.50 16.75 _16.7972 _{[16.3841, 17.2103]} _0.002818 15.00 14.80 _14.8472 _{[14.411, 15.2834]} _0.003189 17.50 12.65 _12.6579 _{[12.1972, 13.1186]} _0.000625 20.00 10.20 _10.2327 _{[9.7492, 10.7162]} _0.003206 22.50 7.95 _8.0021 _{[7.50069, 8.5036]} _0.006553 25.00 6.30 _6.58646 _{[6.07513, 7.0978]} _0.04547 30.00 3.21 _3.29656 _{[2.79236, 3.80075]} _0.026966 32.50 2.01 _2.40908 _{[1.91963, 2.89853]} _0.198547 35.00 1.16 _1.45159 _{[0.98048, 1.9227]} _0.251371 37.50 0.58 _0.7093 _{[0.25884, 1.15977]} _0.222931 40.00 0.30 _0.45601 _{[0.02709, 0.88493]} _0.520033 45.00 0.15 _0.24939 _{[-0.1368, 0.63559]} _0.6626

Opsi Put

10.00 0.06 ₀ _{[0, 0]} ₁ 12.50 0.23 ₀ _{[0, 0]} ₁ 15.00 0.30 ₀ _{[0, 0]} ₁ 17.50 0.50 ₀ _{[0, 0]} ₁ 20.00 0.85 ₀ _{[0, 0]} ₁ 22.50 1.21 ₀ _{[0, 0]} ₁ 25.00 1.83 _1.83048 _{[1.5606, 2.10037]} _0.000262 30.00 3.66 _3.60601 _{[3.25156, 3.96047]} _0.014751 32.50 5.00 _5.18015 _{[4.78786, 5.57243]} _0.03603

(30)

35.00 6.70 _6.71625 _{[6.29899, 7.1335]} _0.002425 37.50 8.80 _8.7455 _{[8.2917, 9.1994]} _0.006193 40.00 11.05 _11.1303 _{[10.6461, 11.6146]} _0.007267 45.00 15.40 _15.5999 _{[15.0799, 16.1198]} _0.012981

Tabel 4. 16 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 18 Januari 2009

Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo hanya mengalami gagal pada

strike price US$ 10 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put selalu berhasil. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 25 yaitu sebesar 0.04547 pada call dan strike price US$ 32.50 sebesar 0.03603 pada put.

(31)

• jatuh tempo 15 Januari 2010

Gambar 4. 28 Harga Opsi dengan jatuh tempo 15 Januari 2010

(32)

Opsi Call

10.00 19.30 _20.3183 _{[19.4706, 21.166]} _0.052762 12.50 16.40 _18.3693 _{[17.4996, 19.239]} _0.120079 15.00 14.50 _16.5706 _{[15.6804, 17.4608]} _0.1428 17.50 11.90 _11.9391 _{[11.0322, 12.8459]} _0.003286 20.00 10.80 _10.9777 _{[10.0593, 11.8961]} _0.016454 25.00 7.05 _7.0358 _{[6.1137, 7.9578]} _0.002014 30.00 4.00 _4.10393 _{[3.19957, 5.0083]} _0.025983 35.00 1.35 _1.59527 _{[0.72135, 2.4692]} _0.181681 40.00 0.75 _1.38962 _{[0.55173, 2.22751]} _0.852827

Opsi Put

10.00 0.31 ₀ _{[0, 0]} ₁ 12.50 0.35 ₀ _{[0, 0]} ₁ 15.00 0.69 ₀ _{[0, 0]} ₁ 17.50 0.93 ₀ _{[0, 0]} ₁ 20.00 1.30 ₀ _{[0, 0]} ₁ 25.00 2.58 _2.33627 _{[1.98963, 2.6829]} _0.094469 30.00 4.50 _4.32586 _{[3.90345, 4.74836]} _0.038698 35.00 7.20 _7.485 _{[6.974, 7.996]} _0.039583 40.00 11.25 _11.2525 _{[10.6824, 11.8227]} _0.000222

Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo mengalami gagal pada strike price US$ 10, US$ 12.5, dan US$15 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put selalu berhasil. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike

(33)

price US$ 12.5 yaitu sebesar 0.120079 pada call dan strike price US$ 25.00 sebesar 0.094469 pada put.

Pada simulasi di atas disertakan pula perhitungan absolute relatif error dengan rumus [(Mean MC - Harga Opsi) / Harga Opsi]. Mean MC adalah nilai mean dari simulasi Monte Carlo sedangkan Harga Opsi adalah harga opsi ”yahoo” yang tertera pada website http://finance.yahoo.com.

Pada simulasi opsi call, nilai absolute relatif error terkecil adalah 0.00178 dan error terbesar adalah 0.212133. Pada opsi call, untuk strike price di bawah harga saham sekarang, absolute relatif error naik secara tajam karena dimungkinkan penentuan harga opsi pada website tersebut sudah tidak lagi mengikuti metode yang dipakai pada harga strike price yang lain.

Pada simulasi opsi put, absolute relatif error terkecil adalah 0.00058 dan absolute relatif error terbesar adalah 0.119118. Sedangkan pada strike price di bawah harga sekarang, absolute relatif error memberikan angka 1 dikarenakan Mean MC memberikan nilai 0. Hal ini dikarenakan karena pada program yang dibuat oleh penulis untuk Put Amerika hanya memperhitungkan opsi-opsi yang In The Money

saja.

Secara keseluruhan, dilihat berdasarkan pertambahan jatuh tempo, simulasi Monte Carlo memberikan hasil penaksiran yang makin baik sampai dengan batas maksimal jatuh tempo 1 tahun dari hari sekarang. Sedangkan untuk jatuh tempo di atas itu simulasi Monte Carlo memberikan hasil taksiran yang mulai menurun.

Dari simulasi di atas dapat disimpulkan bahwa metode Monte Carlo sudah cukup bagus untuk menaksir harga Opsi Amerika dengan orde kesalahan sebesar 10−2. Metode yang digunakan oleh sumber yahoo finance tentu saja mengikuti metode kompleks yang sudah dimodifikasi sedangkan Metode Monte Carlo hanya mengikuti perumusan yang sederhana.