Dasar-dasar Kaidah Pencacahan
∗
Djamilah Bondan W. M.Si.
†September 2009
1
Kaidah Penjumlahan
1.1
Kaidah Penjumlahan Sederhana
Jika ada mpilihan untuk proses/kegiatan P, dan ada npilihan untuk proses atau kegiatanQ, dan jika kedua proses/kegiatanP danQtidak dapat terjadi bersama-sama, maka ada m+n pilihan untuk salah satu dari kedua proses atau kegiatan tersebut.
Atau:
Jika himpunanP danQsaling asing, dengan|P|=m, dan|Q|=n, maka banyaknya cara memilih satu anggota dari himpunan P ∪Q adalahm+n.
Contoh:
1. Jika terdapat 15 anak laki-laki dan 25 anak perempuan di suatu kelas, maka terdapat 15 + 25 = 40 hasil pilihan yang mungkin jika dipilih seorang anak di antara mereka
2. Setiap siswa SMA ”X” diwajibkan mengikuti satu kegiatan ekstrakuri-kuler. Berikut ini daftar kegiatan ekstrakurikuler yang akan diseleng-garakan.
Bidang Jenis
Seni Musik, teater, tari, karawitan, lukis Olahraga Basket, bola voly, renang
∗Digunakan untuk bahan kuliah Matematika Diskrit Jurdik Matematika FMIPA UNY,
Tahun 2009
Jadi ada 5 + 3 = 8 pilihan kegiatan ekstrakurikuler bagi siswa SMA ”X”
1.2
Kaidah Penjumlahan Umum
Jika ada m1, m2, m3, . . . , mk pilihan, berturut-turut untuk proses atau
kegi-atan P1,P2,P3,. . .,Pk dan jika k proses atau kegiatan Pi tersebut tidak ada
yang dapat terjadi bersama-sama, maka adam1+m2+m3+· · ·+mkpilihan
untuk salah satu dari k proses atau kegiatan tersebut.
Atau
Jika himpunan P1, P2, P3, . . . , Pk saling asing, dengan |Pi| = mi dan k
[
i=1
Pi =P, maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dariP adalah
k
X
i=1
|Pi|=m1+m2+m3+· · ·+mk.
Contoh
1. Seorang mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika dapat me-milih satu topik untuk skripsi mereka dari daftar banyak topik-topik sebagai berikut:
Bidang Kajian Banyak Topik
Pembelajaran Matematika SMP/SMA/SMK 10 Pengembangan Multimedia Pembelajaran
Matem-atika
15
Pengembangan Softskill siswa 5
Penggunaaan ICT 2
Jumlah 32
Jadi ada 32 pilihan topik bagi mahasiswa yang akan mengambil skripsi.
2. Dari kampus UNY ke Bunderan UGM menggunakan kendaraan umum, seseorang dapat naik bis Trans Jogja, bis kota Aspada, bis kota Oranye, bis mini Pemuda, atau colt. Ada 2 jalur bis Aspada (jalur 4 dan jalur 6), 2 jalur Oranye (jalur 3 dan jalur 9), 4 jalur bis mini Pemuda (jalur 6A, 6B, 6C, dan 6D), 3 colt (colt Klaten-Jogja, colt Kobutri jalur 16,
UGM menggunakan kendaraan umum dapat terjadi naik satu diantara 1 + 2 + 2 + 4 + 3 = 12 jalur kendaraan yang mungkin.
2
Kaidah Perkalian
2.1
Kaidah Perkalian Sederhana
Jika proses P dapat dilaksanakan dalam m cara, dan proses Q dapat dilak-sanakan dengan n cara, maka rangkaian proses (P, Q) dapat dilaksanakan dalam m×n cara.
Atau:
Jika ada m pilihan untuk proses P, dan ada n pilihan untuk proses Q, maka ada m×n pilihan untuk pasangan proses (P, Q)
Atau:
Misalkan sebuah prosedur dapat dipecah ke dalam 2 kegiatan. Jika kegi-atan pertama dapat dilaksanakan dalamm cara, dan kegiatan keedua dapat dilaksanakan dalam n cara setelah kegiatan pertama, maka ada m×n cara untuk melaksanakan prosedur tersebut.
Atau:
Jika himpunanP mempunyaimanggota, dan himpunanQmempunyain
anggota, maka ada m×n pilihan untuk mengambil pasangan berutan (a, b) dengan a∈P dan b∈Q.
Contoh
1. Dari 6 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan SMA N I Yogyakarta yang memenuhi syarat-syarat untuk dikirim ke Surabaya guna mengikuti upacara bendera peringatan hari pahlawan 10 November, hanyak akan dipilih 1 orang siswa laki-laki dan 1 orang siswa perempuan. Jika setiap siswa dari kesepuluh siswa tersebut mempunyai hak yang sama untuk terpilih, maka ada 6×4 = 24 pasang pilihan yang mungkin
2. Suatu persuhaan real estate akan menawarkan kepada calon pembeli rumah gaya luar berbentuk tradisional, Spanyol, Belanda dan modern di daerah pusat kota, pantai dan bukit. Dengan demikian ada 4×3 = 12 pilihan yang mungkin bagi calon pembeli.
2.2
Kaidah Perkalian Umum
Jika proses P1, P2, P3,. . .,Pk, berturut-turut dapat dilaksanakan dalam m1, m2, m3, . . ., mk cara, maka rangkaian proses (P1, P2, P3, . . . , Pk) dapat
di-laksanakan dalam m1×m2×m3× · · · ×mk cara.
Atau
Jika adam1 pilihan untuk prosesP1, adam2pilihan untuk prosesP2, ada m3 pilihan untuk proses P3,. . .,ada mk pilihan untuk proses Pk, maka ada
m1×m2×m3× · · · ×mk pilihan untuk rangkaian proses (P1, P2, P3, . . . , Pk)
Atau
Misalkan sebuah prosedur dapat dipecah ke dalam k kegiatan. Jika ke-giatan ke- i dapat dilaksanakan dalam mi cara setelah kegiatan ke-i −1
dilaksanakan, maka adam1×m2×m3× · · · ×mk cara untuk melaksanakan
prosedur tersebut Atau
Jika himpunanP1, P2, P3, . . . , Pk, berturut-turut mempunyai anggota
se-banyak m1, m2, m3, . . . , mk maka ada pilihan sebanyak m1 × m2 × m3 ×
· · · × mk untuk mengambil rangkaian (a1, a2, a3, . . . , ak) dengan ak ∈ Pi,
i= 1,2,3, . . . , k
Contoh
1. Seorang pemilik toko swalayan bermaksud membuat kode untuk setiap barang di tokonya. Jika kode tersebut menggunakan 8 angka, terdiri dari angka 0 dan 1, maka kode yang dapat dibuat sebanyak 2×2×2×
2×2×2×2×2 = 28 = 256
2. Suatu password komputer terdiri dari 3 huruf diikuti dengan 4 angka selain 0. Total password yang dapat dibuat:
(a) jika huruf dan angka boleh berulang, sebanyak 26×26×26×9×
9×9×9 = 115.316.136
(b) jika huruf maupun angkanya tidak boleh ada yang berulang, se-banyak 26×25×24×9×8×7×6 = 47.174.400
3
Prinsip Sarang Burung Merpati
3.1
Prinsip Sarang Burung Merpati Sederhana
Jika k+ 1 atau lebih objek ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat dua atau satu lebih objek tersebut.
Contoh
1. Andaikan adik anda mempunyai 20 burung merpati, dan hanya tersedia 8 sangkar untuk burung-burung itu, maka akan ada paling sedikit satu sangkar yang akan ditempati 3 burung merpati atau lebih.
2. Jika anda menghadiri 6 kuliah dalam selang waktu Senin sampai Ju-mat, maka haruslah terdapat paling sedikit 1 hari ketika anda meng-hadiri paling sedikit 2 kelas.
3.2
Prinsip Sarang Burung Merpati yang Diperumum
Jika N objek ditempatkan ke dalamk kotak, maka terdapat paling sedikit 1 kotak yang memuat sedikitnya
N k objek. Contoh
1. Di dalam kelas dengan 40 mahasiswa, jika dosen yang bersangkutan tidak memberi nilai E, maka terdapat paling sedikit 10 mahasiswa akan mendapat nilai yang sama, yaitu sama A, sama B, sama-sama C, atau sama-sama-sama-sama D. Tetapi jika di dalam kelas tersebut ada 41 mahasiswa, maka paling sedikit ada 11 mahasiswa akan memperoleh nilai yang sama.
2. Tersedia 4 mata kuliah pilihan di Program Studi Pendidikan Matem-atika UNY pada semester ini. Setiap mahasiswa hanya akan memilih satu mata kuliah saja untuk ditempuh pada semester ini. Jika ada 38 mahasiswa yang menempuh 1 mata kuliah pilihan tersebut, maka akan ada satu mata kuliah yang akan ditempuh oleh sedikitnya 10 maha-siswa.
4
Latihan
1. Untuk pergi ke tempat les bahasa Inggris, Ani mempunyai 2 celana panjang, 3 blus dan 2 rompi favorit. Dalam berapa kali kesempaan Ani dapat tampil beda ketika pergi ke les, yaitu memakai setelan celana, blus, dan rompi favorit yang berlainan?
2. Kursi-kursi di Auditorium UNY akan diberi label yang terdiri dari se-buah huruf dan sese-buah bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 25. Berapa banyak maksimum jumlah kursi yang dapat diberi label berbeda?
3. Tanda pengenal dalam bentuk nomor plat kendaraan bermotor roda empat harus dibuat dengan 2 huruf di depan, 4 angka di tengah, dan 2 huruf di belakang. Jika angka pertama nomor itu tidak boleh angka 0. Ada berapa banyak tanda pengenal yang dapat dibentuk?
4. Berapa banyak fungsi yang dapat dibentuk bila daerah definisinya ter-diri dari n unsur dan nilai fungsinya harus 0 dan 1
5. Andaikan dari UNY kita akan pergi ke Malioboro naik angkutan umum. Tidak ada angkutan umum yang langsung dari UNY ke Malioboro, yang ada dari UNY ke Bunderan, kemudian dari Bunderan ke Ma-lioboro, atau dari UNY ke Mirota Kampus, kemudian dari Mirota Kampus ke Malioboro atau dari UNY ke Bunderan, kemudian dari Bunderan jalan kakai ke Mirota Kampus (hanya sekitar 100 meter), kemudian dari Mirota Kampus ke Malioboro. Dari UNY ke Bunderan terdapat 4 macam pilihan, dan keempatnya tidak melalui Mirota Kam-pus, dan dari Bunderan ke Malioboro terdapat 2 pilihan. Dari UNY ke Mirota Kampus ada 3 pilihan dan ketiganya masuk kampus UGM tanpa melalui Bunderan, kemudian dari Mirota Kampus ke Malioboro tersedia 3 pilihan. Ada berapa jalan yang mungkin dari UNY ke Ma-lioboro naik angkutan umum?
6. Sebuah Bank mempunyai nasabah kurang dari 100.000 orang. Pass-word yang dimiliki setiap nasabah menggunakan 6 angka dari 0, 1, 2, . . . , 9, dengan angka pertama bukan 0 dan setiap angka paling
masihkanpassword yang terdiri dari 6 angka dengan ketentuan seperti di atas mencukupi? Mengapa?
7. Terdapat 10 pita warna biru dan 10 pita warna hitam pada suatu laci. Pada saat listrik padam, berapa pita yang harus anda ambil untuk memastika bahwa terdapat sepasang pita yang sewarna?
8. Dari hari Senin sampai Jumat hanya terdapat 24 jam mata kuliah, yaitu jam ke-1 s.d. jam ke-5, kecuali Jumat hanya ada 4 jam kuliah. Semester ini ada 368 kelas perkuliahan yang harus diselenggarakan di FMIPA UNY yang mempunyai 8 prodi. Berapa minimal banyak ru-angkan kuliah yang diperlukan, jika variabel lain (jumlah dosen, ma-hasiswa tumbukan, dsb) diabaikan?
