Pertemuan 10 : Transformasi Citra - Repository UNIKOM

Pertemuan 10 :

TRANSFORMASI CITRA

KK-Komputasi dan Kecerdasan Buatan

Sistem Komputer

Universitas Komputer Indonesia-UNIKOM

Andriyan B. Suksmono

John Adler

TK 37404 Pengolahan Citra

Departemen Sistem Komputer Transformasi Citra

Pendahuluan

TK 37404 Pengolahan Citra

Departemen Sistem Komputer Transformasi Citra

2

1. Transformasi Ruang

•

Yaitu merupakan proses perubahan citra dari

suatu

ruang atau domain ke domain yang lainnya.

•

Contoh : dari ruang spasial ke ruang

frekuensi

[Kuliah Matriks & Transformasi linier tentang

basis & ruang. Contoh : ruang vektor]

2. Transformasi Fourier

•

Tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika

dari Prancis menemukan bahwa setiap fungsi

periodik (sinyal) dapat dibentuk dari

penjumlahan gelombang-gelombang sinus/

cosinus (disebut Fourier Series).

•

Contoh : sinyal kotak merupakan

penjumlahan fungsi-fungsi sinus

2. Transformasi Fourier (2)

function sinyalkotak(n)

t = 0:pi/200:8*pi;

kot = sin(t);

for i = 3 : 2 : n

kot = kot + (sin(i*t))/i;

end

plot(kot)

2. Transformasi Fourier (3)

Fungsi sinyal yang tidak periodik dapat ditulis

ulang sebagai integral dari sinus dan cosinus

yang dikalikan dengan fungsi pembobot.

disebut

Fourier Transform.

• Fourier series atau Fourier Transform dapat

dibentuk ulang secara lengkap melalui proses

inverse tanpa kehilangan informasi. Sehingga kita

dapat bekerja pada “domain Fourier” dan kemudian

kembali ke domain fungsi asli tanpa ada informasi

yang hilang

3. Transformasi Fourier 1D



Rumus Fourier Transform kontinyu 1D :

dimana j = √-1



Invers Fourier Transform kontinyu 1D :



Rumus Fourier Transform diskrit 1D :



Invers Fourier Transform diskrit 1D :

3. Transformasi Fourier 1D (2)

dengan formula euler : &

dan substitusikan ke persamaan DFT-1D :

Domain nilai u terhadap F(u) : domain frekuensi

karena u merupakan frekuensi dari

komponen transformasi. Tiap nilai M yang

memberikan nilai F(u) : komponen frekuensi

3. Transformasi Fourier 1D (3)

Magnitude atau spektrum dari FT :

Sudut fasa :

Power spektrum :

Karena fungsi Fourier

mengandung bilangan

imajiner, maka fungsi

tidak dapat digambarkan

dalam bentuk diagram

tapi menggunakan

nilai besaran/spektrum.

3. Transformasi Fourier 1D (4)

Contoh Transformasi fungsi spasial 1D ke fungsi Fourier

jika diketahui f(x) untuk x=0,1,2,3 : f(0)=2; f(1)=3; f(2)=4;

f(3)=4. Banyaknya data fungsi spasial N=4 ?

, maka fungsi Fourier untuk :

a. u=0 :

b. u=1

5/12/19

TK 37404 Pengolahan Citra

3. Transformasi Fourier 1D (5)

Dengan cara yang sama untuk :

U=2, didapatkan F(2)=-0,25

U=3,

F(3)=-0,5-0,25j

Jadi Fourier spektrumnya :

|F(0)|=3,25

|F(0)|=0,25

Transformasi Ortogonal & Uniter 2-D

• _{Transformasi citra: mengacu ke sekumpulan matriks uniter untuk}

merepresentasikan citra.

• _{Citra dinyatakan sebagai kombinasi dari citra basis. Untuk citra u(m, n)}

berdimensi NN, ekspansi dinyatakan sbg:

 









1 1

,

0 0

,

N N

,

_{k l}

,

0

,

1

m n

v k l

 

u m n a

m n

k l N

 



 











 





1 1

,

0 0

,

N N

,

*

_{k l}

,

0

,

1

k l

u m n

 

v k l a

m n

m n N

 



 







dimana {a_k,l (m, n)} adalah himpunan lengkap dari fungsi basis

ortonormal, disebut juga sbg transformasi citra, yg memenuhi syarat-syarat: ortonormal dan lengkap

Transformasi Citra 12

Sifat Ortonormal & Lengkap

• _{Ortonormal :}

• Lengkap :













1 1 , ', ' 0 0

,

*

,

',

'

N N

k l k l

m n

a

m n a

m n



k k l l

   







 













1 1 , , 0 0

,

*

', '

',

'

N N

k l k l

k l

a

m n a

m n



m m n n

 

 







 

 Elemen v(k, l) disebut sebagai koefisien transformasi dan V  {v(k, l)}

adalah citra (hasil) transform. Sifat ortonormal menjamin bahwa penggalan dari ekspansi berbentuk





 





1 1 , , 0 0

,

,

*

,

,

Q P

P Q k l

k l

u

m n

 

v k l a

m n

P N Q N

 



 





Meminimalkan jumlah kesalahan kuadrat









1 1 ₂

2

,

0 0

,

,

N N

e P Q

m n

u m n

u

m n



 

 







 







 Sifat lengkap menjamin kesalahan kuadrat berinlai nol saat P=Q=N.

Transformasi Citra 13

Transformasi Uniter Terpisahkan

• _{Proses komputasi untuk menentukan v(k,l) dari bentuk diatas}

memiliki kompleksitas O(N4). Perhitungan dpt dipercepat menjadi

O(N3) dng memilih transformasi yg terpisahkan (separable)





   



  

,

,

,

,

k l k l

a

m n



a m a n



a k m b l n

dimana {a_k(m), k = 0, 1, …, N-1}, {b_l(n), l=0, 1, …, N-1} adalah basis ortonormal satu-dimensi yang lengkap.

 Pemberlakuan syarat ortonormal dan lengkap mengharuskan sifat

uniter dari matriks transformasi A {a(k, m)} dan B  {b(l, n)}, jadi AA*T = ATA* = I. Seringkali dipilih B = A sehingga pasangan

transformasi akan berbentuk

 



 

  

1 1 0 0 , , , , N N T m n

v k l   a k m u m n a l n

 



 

 V AUA







    

1 1

* *

0 0

, N N * , , * , T

k l

u m n   a k m v k l a l n

 



 

 U A VA

Transformasi Citra 14

• _{Untuk citra empat-persegi-panjang berdimensi MN:}

V = AMUAN dan U = A*M V A*T

N

• Untuk matriks uniter terpisahkan, transformasi citra dpt dituliskan sebagai:

VT _{= AUA}T _{= A [AU]}T

yang berarti bahwa proses transformasi dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mentransformasikan kolom dari U dan diteruskan dengan men-transformasikan setiap baris dari hasilnya.

Transformasi Uniter Terpisahkan

Transformasi Citra 15

Contoh Perhitungan Transformasi

Transformasi Citra 16

Citra Basis

• Misalkan a_k* melambangkan kolom ke-k dari A*T. Definisikan

matriks: A*_k,l = a*_k a*T

l

dan perkalian skalar dua matriks F dan G berdimensi NN









1 1 0 0

,

N N

,

*

,

m n

f m n g

m n

 

 



 

F G

 Maka transformasi citra dpt dituliskan:

 

1 1 * , 0 0

,

N N k l k l

v k l A

 

 



 

U

 

*

,

,

,

_{k l}

v k l



U A

yang menyatakan citra U sebagai kombinasi linier dari N2 matriks

A*_{k, l} , k, l = 0, 1, … , N-1 yang disebut sebagai citra basis.

 Koefisien v(k, l) dari transformasi tak lain adalah perkalian skalar

citra asal dengan basis ke (k, l), atau proyeksi citra ke basis (k, l).

Transformasi Citra 17

Berbagai Citra Basis

Cosinus

Sinus

Transformasi Citra 18

Berbagai Citra Basis

Hadamard

Haar

Transformasi Citra 19

Berbagai Citra Basis

Slant

KLT

Transformasi Citra 20

Sifat-sifat Transformasi Uniter

• _{Sifat-1: Konservasi Energi dan Rotasi. Dalam transformasi} uniter:

v = Au ||v||2 = ||u||2

Jadi, transformasi uniter menjaga energi sinyal (atau panjang vektor u dalam ruang vektor dimensi-N). Ini juga berarti bahwa transformasi uniter hanyalah rotasi dari vektor u dalam ruang vektor dimensi-N. [Ingat teorema Parseval !]

• Untuk vektor 2-D berlaku hal yang sama, dapat dibuktikan bahwa





 

1 1 ₂ 1 1 ₂ 0 0 0 0

,

,

N N N N

m n k l

u m n

v k l

   

   



 

 

Transformasi Citra 21

• _{Sifat-2: Peng-kompak-an Energi. Kebanyakan transformasi} uniter bertendensi mengumpulkan energi citra ke sejumlah kecil komponen dari koefisien transformasi. Karena sifat konservatifnya, koefisien transformasi lain mengandung sedikit energi.

• _{Sifat-3: Dekorelasi. Jika citra masukan berkorelasi tinggi, citra} transform cenderung tak-berkorelasi. Ini berarti, elemen diluar diagonal dari R_v bernilai kecil dibanding yang ada di diagonal. • _{Sifat-sifat lain:}

– _{determinan dan nilai eigen dari matriks uniter memiliki} magnitude satu

– _{entropy dari vektor acak terjaga thd transformasi dng matriks} uniter -> kandungan informasi terjaga

Sifat-sifat Transformasi Uniter

Transformasi Citra 22

DFT 2-D

• _{DFT 2-D dari citra {u(m, n) } berukuran NN adalah transformasi} terpisahkan yang didefinisikan sbg:

 





1 1

0 0

,

N N

,

_Nkm _Nl n

, 0

,

1

m n

v k l

 

u m n W W

k l N

 



 







 





1 1

0 0

,

N N

,

_Nkm _Nl n

, 0

,

1

m n

v k l

 

u m n W W

k l N

 



 







2

exp

N

j

W

N



















 Dengan inverse-nya:

 Dalam notasi matriks: V = FUF dan U = F*VF*

Transformasi Citra 23

Sifat-sifat DFT 2-D

• _{[F menyatakan matriks TFD 2-D uniter berukuran N}2_N2]

• _{Simetrik Uniter: F} T _{= F dan F} –1 _{= F *}

• _{Perpanjangan berkala (periodic extensions):}

v(k + N, l + N) = v(k, l) k, l

u(m + N, n+N) = u(m, n) m, n

• Cuplikan Spektrum Fourier.

Jika _{u m n}



_,



_{u m n}



_{, , 0}



dan_{ m n N, } di tempat lain, maka_{1 u m n}



_,



_0













2

2

,

,

,

k

l

U

DFT u m n

v k lx

N

N























dimana menyatakan transform Fourier

dari





1, 2

U   u m n



,



•

Transformasi Cepat

. Karena DFT 2-D terpisahkan, maka

transformasi ini ekivalen dengan 2N kali operasi DFT 1-D

uniter, masing-masing dng kompleksitas O(N log

₂

N) via

FFT. Jadi kompleksitas DFT 2-D adalah O(N

2

log

2

N)

Transformasi Citra 24

Sifat-sifat DFT 2-D

• _{Simetri Konjugasi. DFT 2-D dan DFT 2-D uniter dari citra (bernilai)} riil memiliki simetri konjugasi, yakni,

atauv(k, l) = v*(N-k, N-l), 0  k, l  N-1 • _{Citra Basis. Citra basis diberikan oleh definisi}

, * , , 0 , 1

2 2 2 2 2

N N N N N

v_ k l_v _ k l_ k l  

     

• _{Teorema Konvolusi Sirkuler 2-D. DFT 2-D dari hasil konvolusi} sirkuler dua buah array adalah perkalian dari DFT 2-D keduanya:

DFT{h(m, n) u(m, n)} = DFT{h(m, n)}.DFT{ u(m, n)} • _{Sifat lain: Matriks doubly block circulant di-diagonalisasi oleh}

operasi DFT 2-D dan operasi doubly block Toeplitz dapat dinyatakan dalam operasi DFT 2-D via T. konvolusi dan sifat doubly block

circulant.

 



ln



* ,

1

, 0

,

1 , 0

,

1

km T

k l k l

W

N

m n N

k l

N

N

 

   













A

Transformasi Citra 25

Contoh DFT

•

Citra asli, log magnitude dari koef. DFT,

dan citra fasa

50 100 150 200 250 50

100 150 200 250

50 100 150 200 250 50

100 150 200 250

50 100 150 200 250 50

100 150 200 250

Transformasi Citra 26

Contoh DFT

Transformasi Citra 27

Contoh DFT

•

Atas: citra resolusi, bawah: citra biner

Transformasi Citra 28

Transformasi Kosinus Diskrit (DCT)

• _{Matriks transformasi DCT, C = {c(k, n)}, berukuran NN} didefinisikan

• _{Sifat-sifat DCT:}

1) DCT bersifat riil dan ortogonal:

C = C*  C-1 _{= C}T

2) DCT bukan bagian riil dari DFT 3) DCT merupakan transformasi cepat 4) DCT bersifat memampatkan energi.

5) Vektor basis dari DCT (vektor baris dari C) adalah vektor eigen dari

matriks simetrik tridiagonal Q_r

6) DCT sangat mendekati transfomasi KL (Karhunen-Loeve) untuk

deretan Markov stasioner orde-1.









1

, 0, 0 1

,

2 1

2

cos , 1 1, 0 1

2

k n N N

c k n

n k

k N n N N N             _{     }  

1

0

1

0

1

1

r

 















































0

Q

0

Transformasi Citra 29

Contoh hasil tranformasi DCT

•

citra asli, koefisien DCT, log magnitude

koef. DCT

50 100 150 200 250 50

100

150

200

250

50 100 150 200 250 50

100 150 200 250

50 100 150 200 250 50

100 150 200 250

Transformasi Citra 30

Transformasi Sinus Diskrit (DST)

• _{Matriks DST berdimensi NN,  = {(k, n)}, didefinisikan sbg}



,



2 sin



1



1



, 0 , 1

1 1

k n

k n k n N

N N



      

 

• _{Sifat-sifat DST:}

1) DST bersifat riil, simetrik dan ortogonal:



* =  = T _{= } -1

2) DST bukan bagian riil dari DFT uniter 3) DST adalah transformasi cepat

4) Vektor basis dari DFT adalah vektor eigen dari matriks Toeplitz tridiagonal Q

5) DST juga dekat dengan KL untuk deretan Markove orde-1 stasioner

6) DST menghasilkan algoritma KL cepat untuk deretan Markov yang

nilai batasnya diberikan.

Transformasi Citra 31

Contoh transformasi DST

50 100 150 200 250 50

100 150 200 250

50 100 150 200 250 50

100

150

200

250

50 100 150 200 250 50

100 150 200 250

citra asli, koefisien DST log magnitude

koef. DST

Transformasi Citra 32

Transformasi Hadamard

• _{Elemen matriks Hadamard bernilai biner (}_{1). Matriks transformasi} hadamard H_n adalah matriks NN dimana N2n dimana nI+. • Hn dibentuk dari matriks inti H₁ dengan perkalian Kronecker

• Sifat-sifat transformasi Hadamard:

– _{Transformasi Hadamard bersifat riil, simetrik dan ortogonal:}

H* = H = HT = H-1

– _{T. Hadamard adalah transformasi cepat {O (N log2N )}}

– _{T. Hadamard memiliki sifat peng-kompakan energi yang cukup} baik 1

1 1

1

1

1

2

















H

1 1 1 1

1 1

1

2

n n n n n n     





















H

H

H

H

H

H

H

Transformasi Citra 33

Contoh Transformasi Hadamard

Transformasi Citra 34

Transformasi Haar

• Fungsi Haar h_k(x) terdefinisi pada interval kontinyu x_ [-1,1] dan untuk k = 0, 1, …, N-1 dimana N=2n_{. Bilangan bulat k dapat dipecah}

menjadi: k = 2p _{+ q -1. dimana 0} _p _{n-1; q=0,1 untuk p=0 dan 1}

q 2p _{untuk p0. Misal, untuk N = 4 (atau n=2) kita peroleh}

k 0 1 2 3

p 0 0 1 1

q 0 1 1 2

Dng menyatakan k dalam (p,q) fungsi Haar bisa ditulis sbg:

 

 

 

0 0,0

1

, 0,1

h x h x x N   

 

 

 

2 2 ,

1

1 2

2

,

2

2

1

1 2

2 ,

2

2

0

,daerah lain untuk x

0,1

p

p p

p

k p q p p

q

q

x

q

q

h x

h

x

x

N







 

















 











Transformasi Citra 35

Transformasi Haar

• _{Transformasi Haar diperoleh dengan membuat x bernilai diskrit pada m/} N , m=0. 1, …, N-1. Untuk kasus N=2 dan N=4 adalah sbb:

2 1 1 1 1 1 2    _{ }    Hr 8

1 1 1 1

2 1 1 1

1

2 2 0 0

4

0 0 2 2

   _{ }     _{ }         Hr

 Sifat-sifat transformasi Haar:

1) Riil dan ortogonal: Hr = Hr* dan Hr -1 = HrT

2) Transformasi yang sangat cepat. Vektor berdimensi N1 dapat

di-transformasi dalam O(N) operasi.

3) Sifat peng-kompakan energinya buruk

Transformasi Citra 36

Transformasi Slant

• _{Transformasi Slant NN didefinisikan oleh formula rekursi}

   

   

1

/ 2 2 / 2 2

1

/ 2 2 / 2 2

1 0 1 0

1

1 0 1 0

2

n n n n _n

N N

n

n n n n n

N N

a b a b

b a b a

       _{ }  _{  }  _{ }  _{ }    _{ }  _{ } _{  }  _{ }   _ _   0 0 S 0

0 I 0 I

S

0 0

S 0

0 I 0 I

1 1 1 1 1 1 2    _{ }    S

dimana N=2n _{dan I}

M mat. Id. MM

 Parameter a_n dan b_n didefinisikan

oleh rekursi:

b_n = (1 + 4a2

n-1)-1/2 a1 =1

a_n = 2b_na_n-1

 Contoh untuk matriks transformasi

Slant 44 dapat dilihat disamping

2

1 1 1 1

3 1 1 3

1 5 5 5 5

1 1 1 1

2

1 3 3 1

5 5 5 5

   _{ }        _{ }            S Transformasi Citra 37

Transformasi Slant

•

Sifat-sifat:

1. Riil dan ortogonal:

S

=

S

* dan

S

-1

=

S

T

2. Merupakan transformasi cepat: O(N log

₂

N)

3. Memiliki sifat peng-kompakan energi sangat baik

Transformasi Citra 38

Transformasi KL

• _{Karhunen dan Loeve memakai transformasi ini sbg ekspansi deret dari proses} acak kontinyu. Hotelling meneliti metoda komponen utama yg merupakan versi diskrit dari pekerjaan KL. Maka transformasi KL juga disebut sbg transformasi Hotelling.

• _{Untuk vektor acak u berukuran N1, vektor basis dari transformasi KL} merupakan vektor eigen yang dinormalisasi dari matriks autokorelasi R:

R_k = _k _k, 0 k  N-1

• Transformasi KL dari u : v = *T_u

• Dan inverse-nya:

 

1 0

N

k k

v k













u Φv

Transformasi Citra 39

Minggu Depan...

Pertemuan ke-11 :

QUIZ-II, pertemuan ke :

9.Review matriks

10.Transformasi Citra

Transformasi Citra 40

TERIMA KASIH

Transformasi Citra 41