CHAPTER 8. Advanced Counting Techniques

CHAPTER 8

Advanced Counting

Techniques

Banyak problem counting yang tidak dapat

dipecahkan dengan menggunakan hanya aturan dasar, kombinasi, permutasi, dan aturan sarang merpati. Misalnya:

Ada berapa banyak string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan?

Untuk memecahkan ini, misalkan a_n = banyaknya string tsb panjang n.

Dapat ditunjukkan kemudian bhw a_n+1 = a_n + a_n-1. Dengan memecahkan persamaan ini kita dapat

Relasi Recurrence

Definisi.

Relasi Recurrence untuk barisan {a_n} adalah

persamaan yang menyatakan a_n dalam salah satu atau lebih bentuk a₀, a₁, …, a_n-1 untuk semua n dengan n  n₀ dimana n₀ bilangan bulat

non-negatif.

Barisan {a_n} tersebut dikatakan sebagai solusi dari relasi recurrence ini bila a_n memenuhi relasi

8.1 APPLICATIONS OF

Contoh 1

Misalkan seseorang menabung Rp. 100,000 di bank

dengan bunga 12% per tahun. Berapa banyak uangnya setelah 30 tahun?

Solusi.

Misal P_n menyatakan banyaknya uang dalam tabungan setelah n tahun. Maka,

P_n = P_n-1 + 0.12 P_n-1 = (1.12) P_n-1, dengan P₀ = 100,000. Dengan pendekatan iteratif:

P₁ = (1.12)P₀ P₂ = (1.12)P₁ = (1.12)2 _P 0 P₃ = (1.12)P₂ = (1.12)3 _P 0  P_n = (1.12)P_n-1 = (1.12)n _P 0

Contoh 2

Sepasang kelinci ditaruh di suatu pulau. Pasangan kelinci ini tidak akan beranak sampai berumur 2 bulan. Setelah berumur 2 bulan, setiap sepasang menghasilkan sepasang yg lain setiap bulannya. Tentukan relasi recurrence dari jumlah pasangan setelah n bulan, bila tidak ada kelinci yg mati.

Solusi.

Misalkan f_n: jumlah pasangan kelinci setelah n bulan.

Maka, f₁ = 1, f₂ = 1.

Untuk mencari f_n, tambahkan jumlah pasangan pada bulan sebelumnya, f_n-1, dengan jumlah pasangan yang baru lahir, f_n-2.

Menara Hanoi

Merupakan sebuah puzzle populer yang

ditemukan oleh seorang matematikawan Perancis Edouard Lucas pada abad 19.

Terdapat menara dengan 3 tiang untuk

meletakkan sejumlah disk berukuran berbeda. Awalnya semua disk terletak secara terurut pada tiang pertama dengan disk terbesar paling bawah

Aturan: Satu disk dapat dipindahkan setiap

waktu dari satu tiang ke tiang lain selama disk tsb tidak berada di atas disk yang lebih kecil.

Tujuan: Memindahkan semua disk ke tiang kedua dengan disk terbesar di urutan paling bawah.

Menara Hanoi (2)

• Misalkan H_n: banyaknya langkah yg diperlukan

untuk memindahkan n disk dalam masalah menara Hanoi.

• Kita mulai dengan n disk pada tiang 1. Kita dapat memindahkan n-1 disk paling atas dengan

mengikuti aturan ke tiang 3 dalam H_n-1 langkah. • Kemudian, dengan menggunakan 1 langkah kita

bisa memindahkan disk terbesar ke tiang 2. • Selanjutnya, pindahkan n-1 disk dari tiang 3 ke

tiang 2, dengan mengikuti aturan dalam H_n-1

langkah. Sehingga kita telah memecahkan puzzle dengan banyak langkah:

Menara Hanoi (3)

• Untuk mencari solusinya, dilakukan proses iteratif: H_n = 2H_n-1 + 1 = 2(2H_n-2 + 1)+1 = 22_H n-2 + 2 +1 = 22_(2H n-3 +1) + 2 +1 = 23Hn-3 + 22 + 2 +1 : = 2n-1_H 1 + 2n-2 + 2n-3 + … + 2 +1 = 2n-1 _{+ 2}n-2 _{+ 2}n-3 _{+ … + 2 +1 (deret geometri)} = 2n _{- 1}

• Jadi, untuk memindahkan 64 disk diperlukan langkah sebanyak:

Variasi Menara Hanoi

Terdapat banyak variasi dari masalah Menara

Hanoi. Yang tertua dan paling menarik adalah

Reve’s puzzle

(Henry Dudeney, 1907).

Reve’s puzzle:

Sama seperti masalah Menara Hanoi

namun menggunakan 4 tiang.

• Hingga kini belum ditemukan jumlah

langkah minimum untuk puzzle dengan n

disk.

• Conjecture: sama dengan jumlah langkah

dalam algoritma Frame dan Stewart (1939).

Contoh 3

Ada berapa banyak string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan?

Misalkan a_n string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan.

Tentukan relasi recurrence untuk a_n.

Solusi. Periksa: a₁ = 2 dan a₂ = 3.

Ada dua cara mendapatkan string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan:

string biner dengan panjang n-1 yang tidak memuat 2 angka nol berurutan string biner dengan panjang n-2 yang tidak memuat 2 angka nol berurutan

a_n-1 a_n-2

a_n = a_n-1 + a_n-2 1

Contoh 4 (Enumerasi Katakode)

Suatu string desimal merupakan katakode yang valid dalam suatu sistem komputer jika string tersebut

memuat sejumlah genap digit 0.

Contoh. 1230550821 valid dan 120028790 tidak valid.

Misalkan a_n banyaknya katakode valid dengan panjang n. Tentukan relasi recurrence untuk a_n.

Solusi. Periksa: a₁ = 9.

Ada dua cara mendapatkan katakode valid panjang n:

Menambahkan 1 digit selain ‘0’ pada katakode valid panjang n-1

Menambahkan 1 digit ‘0’ pada katakode tak valid panjang n-1

9a_n-1 10n-1 _{- a}

n-1

Soal (Bilangan Catalan)

C

_n

adalah banyaknya cara untuk

mengelompokkan perkalian n+1 bilangan

x

₀

. x

₁

. x

₂

… x

_n

, untuk menentukan urutan

perkalian.

8.2 SOLVING LINEAR RECURRENCE

RELATIONS

Bentuk umum:

a_n = c₁ a_n-1 + c₂ a_n-2 + … + c_k a_n-k,

dengan c₁, c₂, …, c_k bilangan real dan c_k  0.

Contoh 1. 1. P_n = (1.12)P_n-1 2. f_n = f_n-1 + f_n-2 3. H_n = 2H_n-1 + 1 4. a_n = a_n-1 + (a_n-2)2 5. T_n = nT_n-2

Relasi recurrence linear homogen

berderajat k dengan koefisien konstan

homogen linear berderajat 1 homogen linear berderajat 2 linear tapi tak homogen

tak linear

koefisien tak konstan

Langkah dasar dalam memecahkan relasi recurrence homogen linear adalah mencari solusi dalam bentuk a_n = rn _{dengan r konstan.}

a_n = rn _{adalah solusi dari}

a_n = c₁ a_n-1 + c₂ a_n-2 + … + c_k a_n-k jika dan hanya jika

rn _{= c}

1 rn-1 +c2 rn-2 + … + ck rn-k.

Bila kedua ruas dibagi dengan rn-k _diperoleh:

rk _{- c}

1 rk-1 - c2 rk-2 - … - ck-1 r - ck = 0.

Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari relasi recurrence. Solusi dari persamaan ini disebut

akar karakteristik.

Solusi relasi recurrence homogen

orde 2 dengan akar berbeda

Teorema 1

Misalkan c

₁

, c

₂

bilangan real dan

r

2

_{- c}

1

r - c

2

= 0 mempunyai dua akar

berbeda

r

₁

dan r

₂

.

Maka semua solusi dari relasi recurrence

a

_n

= c

₁

a

_n-1

+ c

₂

a

_n-2

berbentuk

a

_n

=



₁

r

₁n

₊



2

r

2n

, n=0,1,2,…

dengan



₁

dan



₂

konstan.

Contoh 2

Carilah solusi dari

a_n = a_n-1 + 2a_n-2 dengan a₀ = 2 dan a₁ =7.

Solusi.

Persamaan karakteristiknya

r2 _{- r - 2 = 0,}

mempunyai akar r = 2 dan r = -1.

Menurut Teorema 1, solusi relasi recurrence berbentuk

a_n= ₁ 2n ₊ 

2 (-1)n .

Karena a₀= 2 dan a₁= 7, diperoleh a_n = 32n _{- (-1)}n _.

Soal 1

Tentukan formula eksplisit dari

bilangan Fibonacci.

Ingat bahwa bilangan Fibonacci f

_n

memenuhi relasi

f

_n

= f

_n-1

+ f

_n-2

dan kondisi awal

Solusi relasi recurrence homogen

orde 2 dengan akar tunggal

Teorema 2

Misalkan c₁, c₂ bilangan real dengan c₂  0 dan r2

- c₁r - c₂ = 0 mempunyai hanya satu akar r₀. Maka semua solusi dari relasi recurrence

a_n = c₁ a_n-1 + c₂ a_n-2 berbentuk

a_n = ₁ r₀n ₊ 

2 nr0n, n=0,1,2,…

dengan ₁ dan ₂ konstan.

Tentukan solusi dari relasi recurrence

a

_n

= 6a

_n-1

- 9a

_n-2

dengan kondisi awal a

₀

= 1 dan a

₁

= 6.

Teorema 3

Misalkan c₁, c₂, …, c_k bilangan real dan persamaan karakteristik

rk _{- c}

1 rk-1 - c2 rk-2 - … - ck-1 r - ck = 0

mempunyai k akar r₁, r₂, …, r_k yang berbeda. Maka, solusi relasi recurrence

a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2 + … + c_ka_n-k

selalu berbentuk

a_n = ₁r₁n ₊ 

2r2n + … + krkn , n=0,1,2,…

dengan _i , i=0,1,…,k konstan.

Solusi relasi recurrence homogen

orde n dengan akar berbeda

Tentukan solusi dari relasi recurrence a_n = 6a_n-1 – 11a_n-2 + 6a_n-3

dengan kondisi awal a₀=2, a₁=5 dan a₂=15.

Contoh 3

Solusi.

Persamaan karakteristiknya

r3 _{- 6r}2 _{+ 11r - 6 = 0.}

Jadi akar-akarnya r=1, r=2 dan r=3. Dengan demikian, solusinya berbentuk

a_n = ₁1n ₊ 

22n + k3n .

Dari kondisi awalnya diperoleh

Solusi relasi recurrence homogen

orde k

Teorema 4

Misal c₁, c₂, …, c_k bilangan real dan persamaan karakteristik

rk _{- c}

1 rk-1 - c2 rk-2 - … - ck-1 r - ck = 0

mempunyai t akar r₁, r₂, … , r_t berbeda dengan

multiplisitas m₁, m₂, … , m_t (m₁+ m₂ + … + m_t = k). Maka solusi relasi recurrence

a_n = c₁ a_n-1 + c₂ a_n-2 + … + c_k a_n-k selalu berbentuk a_n = (_1,0 + _1,1n + … + _1,m1-1 nm1-1_)r 1n + (_2,0 + _2,1n + … + _2,m2-1 nm2-1_)r 2n _{+ … + (} t,0 + t,1n + … + t,mt-1 nmt-1)rtn

Tentukan solusi dari relasi recurrence a_n = -3a_n-1 - 3a_n-2 - a_n-3

dengan kondisi awal a₀ = 1, a₁ = -2 dan a₂ = -1.

Contoh 4

Solusi.

Persamaan karakteristiknya

r3 _{+ 3r}2 _{+ 3r +1 = 0.}

Jadi akarnya r = -1 dgn multiplisitas 3. Dengan demikian, solusinya berbentuk

a_n = _1,0 (-1)n ₊ 

1,1 n (-1)n + 1,2 n2 (-1)n .

Dengan memandang kondisi awalnya diperoleh a_n = (1 +3n-2n2_{) (-1)}n_.

Contoh 5.

a_n = 3a_n-2 + 5n Secara umum,

a_n = c₁ a_n-1 + c₂ a_n-2 + … + c_k a_n-k + F(n)

dengan c_i , i=0,1,2,… konstan dan F(n) fungsi tak nol.

a_n = c₁a_n-1+c₂a_n-2+ … + c_k a_n-k

disebut relasi recurrence homogen yang berkaitan.

Relasi recurrence tak homogen linear

dengan koefisien konstan

Contoh 6.

a_n = a_n-1 + 2n

Jika {a

_n(p)

_{} adalah solusi khusus dari relasi}

recurrence tak homogen linear dengan

koefisien konstan

a

_n

= c

₁

a

_n-1

+ c

₂

a

_n-2

+ … + c

_k

a

_n-k

+ F(n)

maka setiap solusi berbentuk

{a

_n(p)

_{+ a}

n(h)

},

dengan {a

_n(h)

_{} solusi relasi recurrence}

homogen yang berkaitan

a

_n

= c

₁

a

_n-1

+ c

₂

a

_n-2

+ … + c

_k

a

_n-k

.

Tentukan semua solusi dari relasi recurrence a_n = 3a_n-1 + 2n.

Contoh 7

Solusi.

Karena F(n) = 2n adalah polinom berderajat satu, maka kita coba polinom berderajat satu

p_n = cn + d, dengan c dan d konstan untuk mendapatkan solusi khusus.

Didapat, p_n = 3p_n-1 + 2n

cn+d = 3(c(n-1)+d) + 2n (-2c-2)n + (3c-2d) = 0 Sehingga c = -1 dan d = -3/2.

Contoh 7 (2)

Solusi homogen dari relasi homogen yang

berkaitan,

a

_n

= 3a

_n-1

adalah a

_n(h)

₌



₃

n

_{, dengan}



_konstan.

Menurut Teorema 5, solusi umum dari

a

_n

= 3a

_n-1

+ 2n

adalah

a

_n

= a

_n(p)

_{+ a}

n(h)

= -n - 3/2 +



3

n

.

Jika diketahui a

₁

= 3, maka solusi menjadi

a

_n

= -n - 3/2 + (11/6) 3

n

_.

Contoh 8

Tentukan semua solusi dari relasi recurrence: a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2 + 7n_.

Solusi.

Solusi homogennya adalah a_n(h) ₌ 

13n + 22n.

Karena F(n) = 7n_{, solusi khusus yg perlu dicoba}

adalah

a_n(p) _{= c 7}n_.

Maka,

c 7n _{= 5c 7}n-1 _{– 6c 7}n-2 _{+ 7}n_.

Diperoleh c = 49/20. Jadi, solusi umumnya:

a_n = ₁3n ₊ 

Teorema 6

Misalkan {a_n} memenuhi relasi recurrence tak homogen linear

a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2 + … + c_ka_n-k + F(n) dengan c_i , i=1,2,…,k bilangan real dan

F(n) = (b_tnt _{+ b}

t-1nt-1 + … + b1n + b0) sn

dengan b_i , i=0,1,…,t dan s bilangan real.

Jika s bukan akar dari persamaan karakteristik relasi recurrence homogen yang berkaitan, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk

(p_tnt _{+ p}

t-1nt-1 + … + p1n + p0) sn

Jika s akar dari persamaan karakteristik dengan multiplisitas m, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk

F(n) = nm _(p

Contoh 9

Carilah solusi khusus dari relasi recurrence a_n = 6a_n-1 - 9a_n-2 + F(n) bila 1. F(n) = 3n_, 2. F(n) = n 3n_, 3. F(n) = n2 ₂n_{, dan} 4. F(n) = (n2_{+1) 3}n Solusi.

Solusi homogennya adalah a_n(h) ₌ 

13n + 2n3n.

Dan solusi khususnya adalah 1. a_n(p) _{= p} 0 n2 3n. 2. a_n(p) _{= n}2 _(p 1n+p0)3n. 3. a_n(p) _{= (p} 2n2+p1n+p0)2n. 4. a_n(p) _{= n}2_(p 2n2+p1n+p0)3n.

Contoh 10 – Menara Hanoi

Tentukan solusi dari relasi recurrence

H_n = 2H_n-1 + 1, H₁ = 1, dan H₂ = 3

Solusi.

Relasi homogen yang berkaitan adalah H_n = 2H_n-1

dan solusi homogennya

H_n(h) ₌  ₂n_.

Karena F(n) = 1 = 1n_{, maka solusi khususnya adalah}

H_n(p) _{= p}

0 1n = p0.

Sehingga solusi umumnya adalah H_n =  2n _{+ p}

0

Dengan memandang H₁ = 1 dan H₂ = 3 diperoleh =1 dan p₀= -1. Jadi,

Soal 3

• Ada berapa cara untuk menutup suatu

papan persegi panjang berukuran 2 x n

dengan menggunakan papan-papan kecil

yang berukuran 1 x 2 dan 2 x 2.

• Misalkan a

_n

adalah jumlah n bilangan

bulat positif pertama.