PENGGUNAAN MODEL PERTUMBUHAN SOLOW-SWAN PADA TINGKAT PERTUMBUHAN POPULASI TERBATAS RITA FITRIA APRILIANI G

PENGGUNAAN MODEL PERTUMBUHAN SOLOW-SWAN PADA

TINGKAT PERTUMBUHAN POPULASI TERBATAS

RITA FITRIA APRILIANI

G54104003

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

ABSTRACT

RITA FITRIA APRILIANI. Determination of Solow-Swan Growth Model with Bounded Population Growth Rate. Under the supervision of TONI BAKHTIAR and ENDAR H. NUGRAHANI.

The Solow-Swan growth theory has been used for years to predict economic growth based on capital and population growth or labor forces of a nation. The model assumes that population growth is always constant. This paper analysed the model on a population growth that is non-constant, but bounded over time.

The analysis was started with determining the solution of Solow-Swan model which is a linear differential equation. The next step was comparing the solutions of two models which have different initial values and different population growth rate. This study also examine the convergence and stability aspects of the solution. Some illustrative examples are provided for the Cobb-Douglas production function. Graphical solution was visualized using Mathematica 6.0 software.

ABSTRAK

RITA FITRIA APRILIANI. Penggunaan Model Pertumbuhan Solow-Swan pada Tingkat Pertumbuhan Populasi Terbatas. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ENDAR H. NUGRAHANI.

Teori pertumbuhan Solow-Swan telah bertahun-tahun digunakan untuk memprediksi pertumbuhan ekonomi berkaitan dengan modal dan pertumbuhan tingkat populasi atau angkatan kerja di suatu negara. Model ini mengasumsikan adanya tingkat pertumbuhan populasi yang selalu konstan. Karya ilmiah ini menganalisa teori pertumbuhan Solow-Swan pada tingkat pertumbuhan populasi yang tak-konstan, melainkan bervariasi dan terbatas sepanjang waktu.

Analisis dimulai dengan pencarian solusi dari model Solow-Swan yang berupa persamaan diferensial biasa linier. Langkah berikutnya adalah membandingkan solusi-solusi dari dua model yang memiliki nilai awal berbeda dan tingkat pertumbuhan populasi berbeda. Karya ilmiah ini juga membahas kekonvergenan dan aspek-aspek stabilitas dari solusi. Beberapa contoh ilutsrasi diberikan untuk fungsi produksi Cobb-Douglas. Grafik solusi dibuat dengan menggunakan software Mathematica 6.0.

PENGGUNAAN MODEL PERTUMBUHAN SOLOW-SWAN PADA

TINGKAT PERTUMBUHAN POPULASI TERBATAS

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

Rita Fitria Apriliani

G54104003

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

Judul

: Penggunaan Model Pertumbuhan Solow-Swan Pada Tingkat

Pertumbuhan Populasi Terbatas

Nama

:

Rita Fitria Apriliani

NRP

:

G54104003

Menyetujui:

Pembimbing I,

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.

NIP. 132 158 750

Pembimbing II,

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.

NIP. 131 842 411

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA.

NIP. 131 578 806

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT penulis panjatkan atas segala karunia, pertolongan, dan ilhamnya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tanpa ada halangan yang berarti. Shalawat serta salam senantiasa penulis panjatkan pada junjungan Nabi Muhammad SAW beserta keluarganya, para sahabat, khalifah khalifatun, dan yang senantiasa menyertainya hingga akhir zaman.

Tugas akhir ini penulis persembahkan khusus kepada kakak tercinta (alm.) Rika Maria Afni, yang meninggal pada tahun ketiganya (tahun 2000) saat menempuh studi di Departemen Geofisika dan Meteorologi IPB. Rasa terima kasih yang tak terhitung banyaknya penulis ucapkan kepadanya yang telah memberikan banyak perhatian, kebaikan, serta didikan yang luar biasa semasa hidupnya bersama penulis .

Terima kasih penulis ucapkan kepada :

1. Ayah dan Ibu tercinta, Mulyono Surya Permadi dan Eva Maria Hanim yang telah membesarkan, mendidik, dan tak bosan-bosannya selalu memberikan nasehat, dukungan (baik fisik maupun moriil), motivasi, kasih sayang serta doa-doanya kepada penulis. Kakak-kakak tercinta, Arry Surya Permadi dan Mekkah Risa atas semua ajaran dan dukungannya setiap saat.

2. Bapak Toni Bakhtiar dan Ibu Endar H. Nugrahani selaku dosen pembimbing dan Bapak Donny Citra Lesmana selaku penguji, atas kesabaran dan dukungan dalam membimbing dan mengarahkan penulis.

3. Wijaya Adha Pribady, motivator sekaligus inspirasi terbesar bagi penulis.

4. Teman-teman terdekat Ndhiet, Sita, Dian, yang senantiasa ada untuk memberikan bantuan moriil maupun materiil. Terima kasih atas semuanya. Matematika angkatan 41 atas segala motivasi, bantuan, kekompakan, dan suka duka yang telah dihadirkan pada penulis dimulai dari TPB hingga akhir selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB.

5. Teman-teman yang banyak sekali direpotkan: Liay, Dee2, Vera, Iput, Mas Ari, Achy. 6. Sahabat-sahabat pondok ASAD putri atas yang selalu memberikan keceriaan di

hari-hari penulis selama tiga tahun terakhir: Neng Anie, Ingrid, Laweh, Ayat, Mba Wira, Desur (hidup penulis tak berarti tanpa mereka). Teman-teman pondok ASAD lain, terutama angkatan 41 yang bersama-sama berjuang untuk lulus pada tahun 2008. 7. Seluruh mahasiswa, pengajar, dan staf Departemen Matematika IPB.

8. Seluruh pihak yang telah banyak berkontribusi dalam pembuatan tugas akhir ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi yang membacanya.

Bogor, Mei 2008 Rita Fitria Apriliani

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Serang, 19 April 1986 dan merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan Mulyono Surya Permadi dan Eva Maria Hanim.

Pada tahun 1998, penulis menyelesaikan masa studinya di SD Wukir Retawu, dan masuk ke SLTPN 3 Cilegon pada tahun yang sama. Tahun 2001, penulis masuk ke SMUN 2 KS Cilegon dan lalu diterima di Departemen IPB melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI) pada tahun 2004.

Selama masa studi di Depaertemen Matematika IPB, penulis pernah menjadi pengurus Gugus Mahasiswa Matematika IPB periode 2005/2006 dalam divisi Infokom. Penulis juga aktif menjadi panitia di berbagai acara seperti Matematika Ria tahun 2006 dan Matematika Ria tahun 2007.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ... viii

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II. LANDASAN TEORI ... 1

2.1 Fungsi Produksi dan Fungsi Produksi Cobb-Douglas ... 1

Definisi 1 (Fungsi Produksi) ... 1

Definisi 2 (Fungsi Produksi Cobb-Douglas) ... 1

2.2 Fungsi Naik dan Fungsi Turun ... 1

Definisi 3 (Fungsi Naik) ... 1

Definisi 4 (Fungsi Turun) ... 2

2.3 Teorema Perbandingan ... 2

Definisi 5 (Kondisi Lipschitz) ... 2

Lema 1 ... 2

Teorema Perbandingan ... 2

2.4 Fungsi Kontinu dan Pertaksamaan Gronwall ... 2

Definisi 6 (Fungsi Kontinu) ... 2

Definisi 7 (Pertaksamaan Gronwall) ... 2

2.5 Persamaan Diferensial ... 2

Definisi 8 (Persamaan Diferensial Biasa) ... 2

Definisi 9 (Persamaan diferensial Linier) ... 3

Definisi 10 (Persamaan Diferensial Bernoulli) ... 3

2.6 Returns to Scale ... 3

Definisi 11 (Constant Returns to Scale) ... 3

Definisi 12 (Increasing Returns to Scale) ... 4

Definisi 13 (Decreasing Returns to Scale) ... 4

2.7 Definisi Lain ... 4

Definisi 14 (Ruang Metrik) ... 4

Definisi 15 (Stabil Lyapunov dan Stabil Asimtotik) ... 4

Definisi 16 (Aturan L’Hopital) ... 5

Teorema Nilai Rata-Rata ... 5

III. MODEL PERTUMBUHAN SOLOW-SWAN ... 5

3.1 Model dengan Tingkat Pertumbuhan Populasi Konstan ... 5

3.2 Model dengan Tingkat Pertumbuhan Populasi Terbatas ... 7

3.3 Beberapa Fakta pada Dinamika Model... 7

3.4 Stabil Asimtotik pada Solusi ... 11

3.5 Solusi Model untuk Fungsi Produksi Cobb-Douglass ... 12

IV. SIMPULAN ... 19

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1. Diagram fase Solow-Swan ... 7 Gambar 2. Pertumbuhan Steady State ... 9 Gambar 3. Pemetaan kasf(k)/k ... 9 Gambar 4. Solusi model dengan modal awal per kapita berbeda dan tingkat pertumbuhan

konstan dengan n=2%.. ... 15 Gambar 5. Dua solusi model dengan modal awal per kapita berbeda dan tingkat pertumbuhan

tak-konstan dengan ( )n t =1/(t+ ... 16 1) Gambar 6. Dua solusi model dengan tingkat pertumbuhan konstan yang berbeda dengan

nA = 2% dan nB = 7% ... 17

Gambar 7. Dua solusi model dengan tingkat pertumbuhan tak-konstan yang berbeda dengan ( ) 1/( 2)

A

n t = t+ dan n_B( )t =1/(t+ ... 17 1) Gambar 8. Tiga solusi model dengan kondisi tingkat pertumbuhan populasi

0=nt( )A≤n t( )B≤nt( )C= ... 18 1

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1. Bukti Teorema Perbandingan ... 22 Lampiran 2. Pembuktian Solusi Tunggal ... 23

I. PENDAHULUAN

1. Latar belakang

Model pertumbuhan Solow-Swan (the Solow-Swan growth model) atau disebut juga model neoklasik (the neo-classical model) pertama kali dikembangkan pada tahun 1950 oleh Robert Solow dan Trevor Swan, dan secara analitis merupakan model pertumbuhan pertama yang diterima sebagai model pertumbuhan jangka panjang (long-run growth model). Model ini mengasumsikan bahwa negara-negara menggunakan sumberdayanya secara efisien, dan terdapat imbal hasil yang selalu berkurang (diminishing returns) terhadap peningkatan modal dan tenaga kerja. Dari dua asumsi ini, terdapat tiga prediksi penting. Pertama, peningkatan modal per tenaga kerja menciptakan pertumbuhan ekonomi selama masyarakat dapat terus memberikan modal secara produktif. Kedua, negara-negara miskin dengan tingkat modal per kapita yang rendah akan tumbuh lebih cepat karena setiap investasi dari modal akan menghasilkan imbal hasil yang lebih tinggi dibandingkan negara-negara yang memiliki modal lebih besar. Ketiga, dikarenakan adanya diminishing returns terhadap modal, tingkat ekonomi akan mencapai suatu keadaan di mana peningkatan modal baru tidak akan

menyebabkan pertumbuhan ekonomi. Keadaan ini disebut dengan keadaan tunak (steady state).

Selama berpuluh-puluh tahun, model pertumbuhan Solow-Swan digunakan untuk memprediksi pertumbuhan ekonomi suatu negara karena model ini menunjukkan bagaimana tabungan, pertumbuhan populasi, dan kemajuan teknologi mempengaruhi tingkat output perekonomian serta pertumbuhannya sepanjang waktu.

Penggunaan model pertumbuhan Solow-Swan selama ini diberlakukan dengan asumsi tingkat pertumbuhan populasi adalah konstan sepanjang waktu. Penelitian ini dimaksudkan untuk menentukan perilaku model ini pada output perekonomian suatu negara jika asumsi yang digunakan pada tingkat pertumbuhan populasi adalah tak-konstan atau terbatas pada suatu titik sepanjang waktu.

2. Tujuan

Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk mempelajari pengaruh model Solow-Swan dalam suatu sistem perekonomian yang memiliki tingkat pertumbuhan populasi terbatas, berkaitan dengan pendapatan per kapita dan tingkat tenaga kerja.

II. LANDASAN TEORI

Untuk menyelesaikan model pertumbuhan

Solow-Swan pada tingkat populasi terbatas diperlukan beberapa pemahaman teori seperti di bawah ini:

2.1 Fungsi Produksi dan Fungsi Produksi Cobb-Douglas

Definisi 1 (Fungsi Produksi)

Fungsi produksi standar merupakan suatu fungsi yang memiliki persamaan:

( , ), Y =F K L

Dengan Y, K, dan L berturut-turut adalah output, modal, dan tenaga kerja.

(Mankiw, 2003)

Definisi 2 (Fungsi Produksi Cobb-Douglas) Suatu fungsi produksi standar yang diaplikasikan untuk menggambarkan proses produksi dengan dua input dan banyak output disebut dengan fungsi produksi Cobb-Douglas. Fungsi ini memiliki persamaan:

(1 ) ,

( , ) 0 1

Y =F K L =K Lα −α ≤α ≤ , dengan F(K, L) adalah output, K adalah modal, L tenaga kerja, dan α parameter elastisitas.

(Mankiw, 2003) 2.2 Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi 3 (Fungsi Naik)

Fungsi F disebut naik pada selang I jika

1 2

( ) ( )

f x < f x saat x₁<x₂ pada selang I. (Stewart, 2001)

Definisi 4 (Fungsi Turun)

Fungsi F disebut turun pada selang I jika

1 2

( ) ( )

f x > f x saat x₁<x₂ pada selang I. ( Stewart, 2001)

2.3 Teorema Perbandingan Definisi 5 (Kondisi Lipschitz)

Suatu fungsi F x y memenuhi suatu kondisi ( , ) Lipschitz pada domain D jika ada suatu konstanta taknegatif L sehingga kondisi y₂ > y₁ akan menyebabkan

2 1 2 1

( , ) ( , ) ( ) F x y −F x y ≤L y −y .

(Birkhoff & Rota, 1978) Lema 1

Misalkan σ adalah suatu fungsi terturunkan yang memenuhi pertaksamaan diferensial

( )x K ( ),x

σ′ ≤ σ (1) dengan K adalah sebuah konstanta dan

a≤ ≤ . Maka, x b

( )

( )x ( )a eK x a ,

σ ≤σ −

untuka≤ ≤x b.

(Birkhoff & Rota, 1978) Bukti:

Kedua sisi Persamaan (1) dikalikan dengan

Kx

e− kemudian ruasnya dipindah, diperoleh:

{

}

0 e Kx[ ( )x K ( )]x d ( )x e Kx dx σ σ σ − _′ − ≥ − = .

Fungsi σ( )x e−K x memiliki turunan nol atau negatif dan sekaligus merupakan fungsi taknaik pada selang a≤ ≤ . Maka x b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.

Kx Ka Ka Kx K x a x e a e x a e e a e σ σ σ σ σ − − − − ≤ ≤ = Teorema Perbandingan

Misalkan f dan g masing-masing adalah solusi-solusi dari persamaan-persamaan diferensial:

( , ), ( , ) y′=F x y z′=G x z ,

dengan F x y( , )≤G x y( , ) pada selang a≤ ≤ dan F dan G memenuhi kondisi x b Lipschitz. Jika f a( )=g a( ) maka

( , ) ( , )

f x y ≤g x y untuk semua x∈[ , ].a b

(Birkhoff & Rota, 1978) Bukti: Lihat Lampiran 1.

2.4 Fungsi Kontinu dan Pertaksamaan Gronwall

Definisi 6 (Fungsi Kontinu)

Sebuah fungsi f kontinu pada bilangan a jika: ( ) ( ).

lim

x→a f x = f a

(Stewart, 2001) Definisi 7 (Pertaksamaan Gronwall)

Misalkan φdanψ adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada t₀ ≤ ≤ dan berlaku t t₁ φ(t)≥0 dan ψ(t)≥0.

Jika persamaan berikut terpenuhi:

0 ( ) ( ) ( ) t t t K s s ds φ ≤ + ∫ψ φ ,

dengan K konstanta positif, maka berlaku:

0 ( ) exp ( ) t t t K s ds φ ≤



_

∫ψ



_





.

(Birkhoff & Rota, 1978) Bukti:Lihat Birkhoff & Rota (1928).

2.5 Persamaan Diferensial (PD) Definisi 8 (Persamaan Diferensial Biasa) Jika y adalah sebuah fungsi dengan pemetaan

:

y R→R

terhadap x dengan y( )i adalah turunan dari y, maka fungsi:

( 1) ( )

( , , , ..., n ) n F x y y′ y − = y , disebut sebuah persamaan diferensial biasa orde n.

Definisi 9 (Persamaan Diferensial Linear) Suatu persamaan diferensial disebut linear jika F dapat dituliskan sebagai sebuah kombinasi linear dari turunan y:

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

,

n n i i i y a x y r x − = =

∑

+

dengan a x dan r(x) adalah fungsi-fungsi _i( ) kontinu di x. Jika r x( )= , maka persamaan di 0 atas disebut persamaan diferensial biasa homogen. Selain itu, disebut dengan persamaan diferensial tak homogen.

(Hartman, 2002) Definisi 10 (Persamaan Diferensial Bernoulli) Persamaan diferensial Bernoulli memiliki bentuk:

,

( ) ( ) n 0,1

y′ +P x y=Q x y n≠ . (2) (Hartman, 2002) Solusi persamaan Bernoulli dapat ditentukan dengan membagi kedua ruas dengan y , n sehingga diperoleh: ) ( ) ( 1 Q x y x P y y n n

+

−

=

′ .

Sebuah variabel pengganti dibuat untuk mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan diferensial linear orde pertama: Misalkan w=1 /yn−1, didapatkan:

(

)

(

1 n / n

)

w′= − y y′. (3) Persamaan (3) disubstitusikan pada Persamaan (2) diperoleh persamaan pengganti:

( ) ( ) 1 n P x w Q x w = + − ′ . (4)

Persamaan (4) dapat diselesaikan dengan menggunakan faktor pengintegralan

∫

− =e n P xdx x M( ) 1 ( ) . Contoh:

Diberikan persamaan Bernoulli

2 2 2 y x x y y′− =− .

Persamaannya penggantinya adalah:

2 2 x w x w′+ = .

Kedua ruas pada persamaan pengganti dikalikan dengan 2 1 2 ln 2 ( ) xdx x M x =e ∫ =e =x , sehingga diperoleh: 4 2 2xw x x w′ + = .

Ruas kiri merupakan turunan dari wx terhadap 2 x. Kedua ruas diintegralkan:

( )

( )

2 4 2 5 , 0 2 2 0 , 1/5 1/5 . ( ) 1

( / )

wx dx x dx wx x C x x C

y

′ = ∫ ∫ = + = +

Jadi, solusi untuk y adalah

2 5 0 5x y x C = + . 2.6 Returns to Scale

Misalkan K dan L adalah input-input dari suatu fungsi produksi:

( , )

Y =F K L ,

dengan Y adalah output.

Jika ada suatu konstanta pengali λ yang menyebabkan peningkatan input dan persamaan di atas menjadi:

( , ) ( , ), 0

Y_λ =F λK λL =λF K L ∀ >λ ,

maka akan dihasilkan jumlah output-output baru yang proporsinya bergantung pada besarnya λ. Definisi 11 (Constant Returns to Scale)

Constant returns to scale terjadi saat proporsi peningkatan jumlah output yang dihasilkan adalah sebanding (sama besar) dengan λ.

Contoh:

Misalkan diberikan sebuah fungsi produksi:

2 3

Y = K+ L.

Jika input ditingkatkan sebesar λ, maka akan tercipta sebuah fungsi baru:

2( ) 3( ) 2 3 (2 3 ) . Y K L K L K L Y λ λ λ λ λ λ λ = + = + = + =

Jika input ditingkatkan sebesar λ, maka output akan meningkat sebesar λ pula.

Definisi 12 (Increasing Returns to Scale) Increasing returns to scale terjadi saat proporsi peningkatan jumlah output yang dihasilkan adalah lebih besar dari λ.

(Moffatt, 2008) Contoh:

Misalkan diberikan sebuah fungsi produksi: (0.5)

Y = KL.

Dengan pengali λ, diperoleh fungsi produksi baru: 2 2 (0.5)( )( ) (0.5) . Y K L KL Y λ λ λ λ λ = = =

Sehingga jika λ >1, makaλ2 >λ. Proporsi peningkatan output akan lebih besar daripada proporsi peningkatan input. Jika 0<λ< , 1 maka akan terjadi decreasing returns to scale. Definisi 13 (Decreasing Returns to Scale) Decreasing returns to scale terjadi saat proporsi peningkatan jumlah output yang dihasilkan adalah kurang dariλ.

(Moffatt, 2008) Contoh:

Misalkan diberikan sebuah fungsi produksi:

0.3 0.2

.

Y = K L

Dengan pengali λ, diperoleh fungsi produksi baru: 0.3 0.2 0.5 0.3 0.2 0.5 ( ) ( )

.

Y K L K L

Y

λ λ λ λ λ = = =

Sehingga jika λ >1, makaλ0.5 <λ. Proporsi peningkatan output akan lebih kecil daripada proporsi peningkatan input. Jika 0<λ< , 1 maka akan terjadi increasing returns to scale.

2.7 Definisi Lain

Definisi 14 (Ruang Metrik)

Misalkan X adalah suatu himpunan. Suatu metrik untuk X adalah sebuah fungsi d dengan daerah asal X×X dan daerah hasil meliputi [0, )∞ sehingga: (pertaksamaan segitiga). ( ) ( , ) 0 ( ), ( ) ( , ) 0 ( , , ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) i d x x x X ii d x y x y X x y iii d x y d y x x y X iv d x y d x z d z y x y X = ∈ > ∈ ≠ = ∈ ≤ + ∈

Jika d adalah sebuah metrik untuk X, maka pasangan berurut X d, disebut suatu ruang metrik.

(Goldberg, 1976) Definisi 15 (Stabil Lyapunov dan Stabil Asimtotik)

Misalkan X d, adalah ruang metrik dan

X X

f : → sebuah fungsi kontinu.

Suatu x∈Xdikatakan stabil Lyapunov jika untuk setiap ε >0, ada δ >0 sehingga untuk setiap y∈X , jika d(x,y)<δ , maka

( n( ), n( ))

d f x f y <ε, untuk setiap

n

∈

Ν

. X disebut stabil asimtotik jika ada δ > 0 sehingga lim ( n( ), n( )) 0

n→∞d f x f y = kapanpun

d(x,y) < δ.

Definisi 16 (Aturan L’Hopital)

Misalkan f dan g terturunkan dan g x′( )≠0

dekat a (kecuali mungkin di a). Misalkan bahwa

lim ( ) 0

x→af x = dan lim ( )x→ag x =0,

atau bahwa

lim ( )

x→af x = ±∞ dan xlim ( )→ag x = ±∞.

Dengan kata lain, akan didapatkan bentuk taktentu jenis 0 / 0 atau ∞ ∞ . /

Maka ( ) ( ) lim lim , ( ) ( ) x a x a f x f x g x g x → → ′ = ′

asalkan limit di ruas kanan ada (atau bernilai

∞atau −∞).

(Stewart, 2001) Teorema Nilai Rata-Rata

Jika f : [ , ]a b →R adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a,b] dan terturunkan pada selang buka (a,b) .

Maka, ada c pada (a,b) sehingga

a b a f b f c f − − = ( ) ( ) ) ( ' . (Stewart, 2001) Bukti: Lihat Stewart (2001).

III. MODEL PERTUMBUHAN SOLOW–SWAN

3.1 Model dengan Tingkat Pertumbuhan Populasi Konstan

Model pertumbuhan Solow-Swan memiliki struktur dasar yang terdiri atas:

A. Fungsi produksi agregat

Persamaan fungsi produksi agregat adalah sebagai berikut

Y t( )=F K t L t( ( ), ( )). (5) dengan Y(t) menyatakan output atau pendapatan agregat yang merupakan fungsi dari persediaan modal K(t) dan angkatan kerja L(t) pada t. B. Asumsi neoklasik pada fungsi produksi a. Produk marjinal yang positif dan menurun

terhadap faktor input modal:

( , ) 0, K K F K L MP F K ∂ = = > ∂ 2 _{( , )} 0. 2 K KK MP F K L F K _K ∂ ∂ = = < ∂ _∂

Kedua hal di atas menunjukkan bahwa penambahan input modal akan menghasilkan produk marjinal yang selalu bernilai positif dan semakin menurun seiring penambahan input. Hal yang sama berlaku untuk faktor input tenaga kerja: ( , ) 0, L L F K L MP F L ∂ = = > ∂ 2 _{( , )} 0. 2 L LL MP F K L F L _L ∂ ₌ ∂ _{= <} ∂ _∂

Kedua hal di atas menunjukkan bahwa pertambahan input tenaga kerja akan menghasilkan produk marjinal yang selalu bernilai positif dan semakin menurun seiring pertambahan input.

b. Constant Returns to Scale (CRTS) pada modal dan tenaga kerja, yaitu:

( , ) ( , ), 0.

F λK λL =λF K L ∀ >λ

Asumsi ini menunjukkan bahwa kenaikan proporsi input akan menyebabkan kenaikan output sebesar proporsi kenaikan input (sebanding). c. Kondisi Inada 0 0 , 0. lim lim lim lim K L K L K L K L F F F F → → →∞ →∞ = = ∞ = =

Fungsi produksi Y = F(K, L) dengan asumsi CRTS dapat dituliskan kembali menjadi :

Y =LF K L( / ,1) (6) yang selanjutnya dapat disederhanakan menjadi

( )

dengan k≡K L y/ , ≡Y L/ , dan f k( )=F k( ,1).

Di sini k menyatakan rasio modal-tenaga kerja, dan y menyatakan output atau pendapatan per kapita.

Dengan mengetahui F(K,L)=Lf(k), diperoleh pendapatan marjinal: ( ) 0, ( ) 0 f k′ > f′′k < , untuk setiap k>0. Selain itu, (0) 0, ( ) , (0) , dan ( ) 0. f = f ∞ = ∞ f′ = ∞ f′∞ =

Untuk menentukan pesamaan model yang merupakan persamaan dari akumulasi modal dilakukan beberapa analisis. Analisis pertama dimulai dengan kondisi ekuilibrium di mana pengeluaran agregat (agregate expenditure) Ye sama dengan pendapatan nasional Y:

e

Y = . (7) Y Pengeluaran agregat merupakan akumulasi antara besar konsumsi nasional C dengan investasi kotor I, yang dapat dituliskan dalam persamaan Ye= +C I. Maka, Persamaan (7) dapat dituliskan kembali menjadi:

.

C+ =I Y (8) Konsumsi nasional merupakan bagian dari pendapatan yang dibelanjakan Y_d dikurangi dengan tabungan nasional S, yang persamaannya:

.

d

C=Y −S (9) Bila Persamaan (9) disubstitusikan pada Persamaan (8) akan didapatkan persamaan ekuilibrium: ( _d ) . Y = Y −S +I (10) atau . d Y−Y = −I S (11) Dalam kondisi ekuilibrium, berlaku kondisi keadaan tunak yang mengharuskan tingkat investasi sama dengan jumlah tabungan, atau besar pendapatan nasional sama dengan pendapatan yang dibelanjakan. Hal ini terjadi saat ruas kanan maupun ruas kiri pada Persamaan (11) bernilai 0.

Ini berarti,

d

Y =Y atau I =S.

(12) Tabungan nasional adalah bagian dari pendapatan nasional yang disimpan, yang dapat

dituliskan sebagai S = sY, dengan s adalah proporsi tabungan. S = sY disubstitusikan pada persamaan (12) didapatkan:

.

I=sY (13) Selanjutnya, dilihat laju akumulasi modal terhadap waktu yang merupakan hasil pengurangan investasi kotor dengan depresiasi:

.

K& = −I δK=sY−δK (14) dengan I adalah investasi kotor, δ adalah tingkat depresiasi, dan K& =dK dt/ .

Dari Persamaan (14) diperoleh perubahan persediaan modal per tenaga kerja sepanjang waktu disajikan oleh:

/ ( / ) ( / ) . K L& =s Y L −δ K L =sy−δk Karena k=K L/ maka: ( / ) ( / ) ( / ), d K L k K L k L L dt = = −

& & &

(15)

dengan L L&/ disebut tingkat pertumbuhan populasi. Untuk mempermudah analisis, diasumsikan bahwa seluruh penduduk bekerja, sehingga jumlah penduduk sama dengan jumlah tenaga kerja.

Dengan menyubstitusikan (14) pada (15) diperoleh:

(

)

( ) / ( ) ( / ) . k sf k k kL L sf k L L k δ δ = − − = − + & & & (16)

Jika L L&/ bernilai konstan, dan dimisalkan sebagai n, maka diperoleh model pertumbuhan Solow-Swan yang persamaannya diberikan sebagai berikut

( ) ( ) ,

k&=sf k − δ+n k (17) dengan k& didefinisikan sebagai laju akumulasi modal per kapita.

Pada keadaan tunak, k&=0. Jika k adalah * modal per kapita pada keadaan tunak maka pastilah sf k( *)=(δ +n k) *. Telah diketahui sebelumnya bahwa dk dt/ = pada keadaan 0 tunak k*. Jika k<k* maka dk dt/ >0. Sebaliknya, jika k>k* maka dk dt/ <0. Pada Gambar 1, digambarkan diagram fase dari persamaan diferensial Solowian.

Misalkan k₁∈(0, *)k dan k₂∈( *, ) :k ∞

Gambar 1. Diagram fase Solow-Swan 3.2 Model dengan Tingkat Pertumbuhan

Populasi Terbatas

Pada umumnya, model Solow-Swan digunakan pada fungsi produksi yang mengasumsikan bahwa tingkat pertumbuhan populasi bernilai konstan.

Pada bagian ini, tingkat pertumbuhan populasi diasumsikan tidak konstan, yaitu n=n t( )dan L(0) diketahui. Diasumsikan juga bahwa

0≤n t( )≤n* dan lim ( ) .

t→∞n t =n∞

Dengan tingkat pertumbuhan populasi yang tidak konstan, tingkat pertumbuhan ekonomi tidak lagi hanya dapat diukur melalui modal atau tingkat tabungan yang berubah tapi juga dapat diukur dengan melihat perubahan pada tingkat pertumbuhan populasinya.

Keadaan di atas selanjutnya memodifikasi persamaan Solow-Swan menjadi:

( ) ( ( )) .

k&=sf k − δ+n t k (18)

3.3 Beberapa Fakta pada Dinamika Model Misalkan diberikan masalah diferensial

0 ( ) ( ( )) , (0) k sf k n t k k k δ  = − +   =  & (19)

Masalah ini mempunyai solusi tunggal k(t) yang terdefinisi pada [0,∞). (Dibuktikan pada Lampiran 2).

Teorema 1, 2, dan 3 berikut ini membahas perbandingan solusi-solusi dari dua model yang memiliki nilai awal berbeda, tingkat pertumbuhan populasi n(t) berbeda yang kemudian pada bahasan berikutnya

dikembangkan menggunakan batas atas dan batas bawah dari n(t).

Teorema 1

Misalkan k t_i( ), i =1, 2 masing-masing adalah solusi-solusi dari persamaan diferensial:

,0

( ) ( ( )) , _i(0) _i

k&=sf k − δ+n t k k =k .

Jika k_1,0<k_2,0, maka k t₁( )<k t₂( ) untuk setiap t.

Teorema 1 ini menunjukkan bahwa modal awal per kapita berpengaruh positif terhadap modal per kapita sepanjang waktu (sebanding). Misalkan negara A memiliki modal awal per kapita lebih besar daripada negara B, maka besarnya modal per kapita negara A sepanjang tahun tersebut dapat diprediksi akan lebih besar daripada modal per kapita negara B.

Bukti: Misalkan 1 1 ( , ) ( ) ( (0)) , F k t =sf k − δ+n k G k t( , )=sf k( ₂) (− δ+n(0))k₂. Jika k_1,0<k_2,0maka F k t( , )<G k t( , ).

Berdasarkan Teorema Perbandingan, jika k t₁( )

dan k t₂( ) berturut-turut adalah solusi-solusi dari F k t( , )dan G k t( , )

,

maka:

1 2

( , ) ( , ) ( ) ( ).

F k t <G k t ⇒k t <k t

Terbukti. Teorema 2

Misalkan k t_i( ), i =1, 2 masing-masing adalah solusi-solusi dari persamaan diferensial:

0

( ) ( _i( )) , (0)

k&=sf k − δ+n t k k =k .

Jika n t₁( )≤n t₂( ), untuk setiap t, maka

1( ) 2( )

k t ≥k t untuk setiap t.

Teorema 2 ini menunjukkan bahwa tingkat pertumbuhan populasi berpengaruh negatif terhadap modal per kapita sepanjang waktu (berbanding terbalik). Misalkan negara A memiliki tingkat pertumbuhan populasi lebih tinggi daripada negara B, maka besarnya modal per kapita negara A dapat diprediksi akan lebih rendah daripada modal per kapita negara A.

k n k sf k&= ( )−(δ + ) 2 k k* 1 k k& k

Bukti: Misalkan 1 ( , ) ( ) ( ( )) , F k t =sf k − δ +n t k 2 0 ( , ) ( ) ( ( )) , (0) . G k t =sf k − δ +n t k k =k Jika n t₁( )≤n t₂( ),makaF k t( , )≥G k t( , ).

Berdasarkan Teorema Perbandingan, jika k t₁( )

dan k t₂( ) berturut-turut adalah solusi-solusi dari F k t( , )dan G k t( , )

,

maka

1 2

( , ) ( , ) ( ) ( ).

F k t ≥G k t ⇒k t ≥k t

Terbukti. Teorema 3

Misalkan k t₁( ) adalah solusi dari persamaan

0

( ) ( *) , (0)

k&=sf k − δ +n k k =k ,

dan k t₂( ) adalah solusi dari persamaan

0

( ) , (0)

k&=sf k −δk k =k .

Jika k(t) menyelesaikan masalah (19) maka

1( ) ( ) 2( ),

k t ≤k t ≤k t untuk setiap t.

Seperti Teorema 2, Teorema 3 menunjukkan hubungan antara tingkat pertumbuhan populasi dengan modal per kapita yang tak sebanding. Dari Teorema 2 dan Teorema 3 ini, dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi tingkat pertumbuhan populasi, modal per kapita yang diperoleh akan semakin rendah. Hal ini selanjutnya akan menyebabkan tingkat pertumbuhan ekonomi yang semakin rendah pula. Bukti: Misalkan ( , ) ( ) ( *) , F k t =sf k − δ+n k ( , ) ( ) , G k t =sf k −δk dan 0 ( , ) ( ) ( ( )) , (0) . M k t =sf k − δ +n t k k =k

Penyelesaian Teorema 3 ini dapat dilakukan dengan dua langkah, yaitu membuktikan

1( ) ( )

k t ≤k t lalu membuktikan k t( )≤k t₂( ).

Diketahui dari Teorema 3, bahwa

1( ),

k t k t₂( ),dan k t( ) masing-masing adalah solusi-solusi dariF k t( , ), G k t( , ),danM k t( , ).

Karena 0≤n t( )≤n* maka dengan menggunakan Teorema 2:

0≤n t( )≤n*⇒G k t( , )≥M k t( , )≥F k t( , ).

Berdasarkan Teorema Perbandingan:

1 ( , ) ( , ) ( ) ( ), F k t ≤M k t ⇒k t ≤k t 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ), M k t ≤G k t ⇒k t ≤k t dan 1 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ). F k t ≤G k t ⇒k t ≤k t

Ketiga akibat di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk yang sederhana menjadi:

1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ).

F k t ≤M k t ≤G k t ⇒k t ≤k t ≤k t

Terbukti.

Teorema berikutnya membahas kekonvergenan solusi.

Teorema 4

Misalkan k(t) adalah solusi dari persamaan

0

( ) ( ) , (0)

k&=sf k − δ+M k k =k , dengan M

adalah suatu konstanta positif. Jika t → +∞,

maka k(t) konvergen ke suatu keadaan tunak k* dalam sistem.

Teorema 4 menunjukkan bahwa suatu sistem perekonomian yang sudah berada dalam kondisi keadaan tunak, berapapun modal per kapita yang dimiliki atau diperoleh sistem tersebut akan selalu bergerak menuju modal per kapita ekuilibrium untuk kembali memenuhi keadaan tunak.

Bukti:

Jika k* suatu kondisi steady state maka k&*=0.

Nilai k ini merupakan titik potong dari kurva *

) (k sf

z = dan z=( +δ M)k pada bidang koordinat (k,z).

Jika k<k*, maka dk dt/ > karena tingkat 0 tabungan yang tersedia melebihi kebutuhan investasi yang ada. Ini mengakibatkan tingkat pertumbuhan k menjadi positif dan k meningkat secara monoton menuju k . *

Jika k>k*, maka dk dt/ < karena tingkat 0 tabungan yang tersedia tidak cukup untuk memenuhi kebutuhan investasi yang ada. Ini mengakibatkan tingkat pertumbuhan menjadi negatif dan k menurun secara monoton menuju

*

k . Oleh karena itu, k(t) meningkat menuju *k jika k<k* dan menurun menuju k* jika k>k*.

Gambar 2 menggambarkan keadaan ini. z k>k* k<k* k* k y* y=f(k) z=(M+δ)k z=sf(k) z*

Gambar 2. Pertumbuhan steady-state Akibat 1

*

k adalah solusi tunggal dari persamaan

( ) ( ) .

sf k = δ+M k

Akibat 1 menyatakan bahwa k* merupakan satu-satunya modal per kapita yang mungkin diperoleh saat kondisi keadaan tunak.

Bukti:

Dapat dilihat pada Gambar 2, k merupakan * satu-satunya titik potong dari kurva

) (k sf

z = dan z=(δ+M k) . Ini menunjukkan bahwa k adalah satu-satunya solusi dari * persamaan sf k( )=(δ+M k) . Berarti,

*

k adalah solusi unik dari persamaan ini. Akibat 2

Pemetaan kasf(k)/k _{adalah menurun secara}

monoton.

Dari Akibat 2 dapat disimpulkan bahwa k yang semakin besar justru akan menyebabkan nilai

( ) /

sf k kyang semakin kecil.

Bukti:

Dengan aturan L’Hopital:

lim ( ) / lim ( ) lim ( ) 0, k k k sf k k sf k sf →∞ →∞ →∞ ′ = ′ = ∞ = dan 0 0 0 lim ( ) / lim ( ) lim (0) . k k k sf k k sf k sf → → → ′ = ′ = = ∞

Dari kedua perhitungan di atas, grafik pemetaan k

k sf

ka ( )/ _{monoton turun seperti} digambarkan sebagai berikut:

Gambar 3. Pemetaan kasf(k)/k

Secara garis besar, dari Teorema 1, 2, dan 3 telah ditunjukkan bahwa besar modal awal per kapita berbanding lurus dengan modal per kapitanya, sekaligus juga berbanding lurus dengan tingkat pertumbuhan ekonomi. Sebaliknya, tingkat pertumbuhan populasi justru berbanding terbalik dengan nilai modal per kapita dan tingkat pertumbuhan ekonominya. Dalam Teorema berikut ini, akan dibahas mengenai dua modal per kapita yang sama-sama berada dalam kondisi keadaan tunak tetapi memiliki tingkat pertumbuhan populasi yang berbeda.

Teorema 5

Misalkan k t adalah solusi dari persamaan ₁( )

0

( ) ( *) , (0)

k&=sf k − δ+n k k =k ,

dan k t adalah solusi dari persamaan ₂( )

0

( ) , (0) .

k&=sf k −δk k =k

Misalkan k₁* dan k₂* berturut-turut adalah keadaan tunak dari kedua masalah di atas. Maka yang berikut ini berlaku:

(i) Jika n*> maka0 k₁*<k₂*.

k

( ) /

sf k

k

(ii) lim ( ) *

t→+∞k t =k∞ untuk suatu keadaan tunak

pada model Solow–Swan dengan n=n_∞. (iii) Misalkan n(t) adalah suatu fungsi menurun

yang monoton (n∞ =0, *n =n(0)). Maka hal-hal berikut ini berlaku:

(a) Jika k₀≤k₁* maka k t&( )≥0 untuk setiap t.

(b) Jika k₁*<k₀≤k₂* maka ada τ > 0 sehingga k t&( )≤0 untuk setiap

] , 0 ( τ ∈

t dan k t&( )≥0, untuk )

, [ ∞ ∈τ

t .

(c) Jika k₂*<k₀ maka k t&( )≤0 untuk setiap t.

Bukti:

(i) Jika k₁*≥k₂*, maka

* * 1 2 * * 1 2

(

)

(

)

sf k

sf k

k

≤

k

.

Karena k₁* dan k₂* sama-sama merupakan modal per kapita dalam keadaan tunak, maka diperoleh 1 2 1 2 ( *) ( *) * . * * sf k sf k n k k δ+ = ≤ =δ Karena *n >0, haruslah δ δ≤ +n*. Kontradiksi.

(ii) Misalkan lim ( ) *

t→+∞k t =k dan t→+∞lim k t( )=M.

&

Jika k kontinu pada selang [ ,t t+ dan 1] terturunkan pada selang ( ,t t+1), dengan Teorema Nilai Rata-rata dapat dituliskan

) ( ) ( ) 1 (t k t k t k + − = &ξ , untuk setiap ξt∈(t,t+1). Hal ini mengakibatkan:

[

]

lim ( 1) ( ) lim ( ).

t→+∞ k t+ −k t =t→+∞k ξt

&

Jika t → +∞ , maka lim .

t→+∞ξt= +∞ Karena lim ( ) , t→+∞k t =M & maka berlaku lim ( ) t→+∞kξt =M & , dan

[

]

lim ( 1) ( ) lim ( 1) lim ( ) * * 0. t k t k t t k t t k t k k →+∞ + − = →+∞ + −→+∞ = − =

Karena lim

[

( 1) ( )

]

lim ( ),

t→+∞ k t+ −k t =t→+∞k ξt

& maka 0 = M.

Pada keadaan tunak, k&=0. Untuk tingkat pertumbuhan populasi terbatas n_∞, persamaannya menjadi:

0=sf k( *) (− δ+n_∞) *.k

Jika persamaan ini memiliki solusi tunggal *

k_∞ , maka k_∞*=k*. Ini berarti k_∞* merupakan solusi keadaan tunak untuk

. n=n∞

∴terbukti.

(iii)(a)Akan dibuktikan kontraposiif dari pernyaaan yang dimaksud, yaitu jika

0

k&< maka k₁*<k₀.Jika k t&( )<0untuk setiap t maka ( ( )) ( ( )) ( ) 0 ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )), ( ) sf k t n t k t sf k t n t k t sf k t n t k t δ δ δ − + < < + < + untuk setiap t. Misalkan diambil t = 0: ( (0)) ( (0)) (0) 0 ( (0)) ( (0)) (0) ( (0)) (0), (0) sf k n k sf k n k sf k n k δ δ δ − + < < + < + (#)

Karena k₁* merupakan solusi tunak dan n* = n(0), maka 1 1 1 1 ( *) ( *) * ( *) (0). * sf k n k sf k n k δ δ = + = + (##)

Persamaan (##) disubstitusikan pada Persamaan (#) diperoleh: 1 1 ( *) ( (0)) (0) . (0) * sf k sf k n k < +δ = k (###)

Karena ( ( )) ( ) sf k t

k t adalah fungsi turun maka k₀ >k₁*. Kontradiksi.

Haruslah k t&( )≥0untuk setiap t.

(b) Misalkan k₁*<k₀ ≤k₂*. Karena k₁* dan k₂* merupakan solusi tunak dan

( ( )) ( ) sf k t

k t adalah fungsi turun maka:

0 1 2 1 0 2 ( ) ( *) ( *) (0) . * * sf k sf k sf k n k k k δ+ = > ≥ = δ

dan kemudian untuk t = 0 mengakibatkan (0) ( (0)) ( (0)) 0. (0) (0) k sf k n k = k − δ+ < &

Jika k(0)> maka 0 k&(0)<0. Sudah diketahui untuk t=0, (0)k& <0.

Jika k t&( )<0 untuk setiap t, berlaku ( ( )) ( ( )) ( ) 0 ( ( )) ( ), ( ) sf k t n t k t sf k t n t k t δ δ − + < < + untuk setiap t. Misalkan diambil t→ +∞: 2 2 2 2 ( ( )) lim lim ( ), ( ) ( *) , * ( *) 0 0. * t t sf k t n t k t sf k n k sf k k δ δ δ δ →∞ →∞ ∞ < + < + + = < + kontradiksi.

Maka, seharusnya ada t₁>0 di mana

1

( ) 0.

k t& > Menurut Teorema Nilai Antara, ada τ ∈(0, )t₁ di mana k&( )τ =0.

Ambil τ =inf{t>0 : ( )k t& >0} maka

( ) 0

k t& ≤ untuk setiap t∈(0,τ] dan

( ) 0

k t& ≥ , untuk t∈[τ,∞).

(c) Misalkan k₂*<k₀.Akibat 1 dan 2 memberikan pertaksamaan 2 2 ( *) ( ) (0) , ( ) (0) sf k sfk t sfk k k t k δ = > >

yang dapat juga dituliskan

0 0 ( ) (0) ( ) (0), ( ) ( ) (0) 0 ( ) (0), ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ). ( ) k t k n t n k t k k t k n t n k t k k t n t k t k t n t k t δ > + +δ > + +δ > + > + + < < − & & & & & &

Karena n(t) memiliki batas

0=n_∞ ≤n t( )≤n*=n(0), maka –n(t) akan bernilai negatif.

Diperoleh ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. k t n t k t k t k t k t < − < < < & & &

Maka, k t&( )<0,untuk setiap t.

Akibat 3

Batas sf(k(t))/k(t) berlaku jika k(t)>0. Kondisi Inada menunjukkan bahwa k t( )>0.

Bukti:

Kondisi Inada menunjukkan bahwa F_Ldan F_K

merupakan fungsi turun dan K maupun L selalu bernilai positif. Karena k=K L/ maka nilai k pun akan selalu bernilai positif.

3.4 Stabil Asimtotik pada Solusi

Solusi k t k( , ₀) dari masalah diferensial

0

( ) ( ( )) , (0)

k&=sf k − δ+n t k k =k disebut

stabil Lyapunov jika untuk suatu bilangan real

0 >

ε dan suatu t ada suatu bilangan positif real

) , (ε t

η (dengan η bergantung pada ε dan t), sehingga kˆ₀−k₀ <η akan berakibat

0 0

ˆ

( , ) ( , )

k t k −k t k <ε, untuk setiap t.

Jika k t k( , ₀) stabil Lyapunov dan ada suatu bilangan positif cukup kecil µ>0 sehingga

0 0

ˆ

k −k <µberakibat lim ( ( , )ˆ₀ ( , )) 0₀

t→+∞k t k k t k

− = ,

maka k t k( , ₀) disebut stabil asimtotik.

Jika suatu solusi stabil asimtotik maka perubahan modal awal per kapita akan menghasilkan modal per kapita yang tidak akan terlalu jauh dari modal per kapita ekuilibrium saat kondisi keadaan tunaknya. Hal ini dibuktikan oleh Teorema 6 di bawah ini. Teorema 6

Jika k₀>0 maka k t k( , ₀) stabil asimtotik.

Bukti:

Misalkan k t( )=k t k( , ₀) dan k tˆ( )=k t k( ,ˆ₀). Dari Teorema 5, diketahui lim ( ( )ˆ ( )) 0,

t→+∞ k t −k t =

dimana untuk setiap ε >0 ada T >0 sehingga

ˆ( ) ( )

k t −k t <ε , untuk t>T. Oleh karena itu, untuk setiap ε >0 ada η >₁ 0 yang membuat

0 0 1

ˆ

k −k <η mengakibatkan k tˆ( )−k t( ) <ε, untuk setiap t>T.

Pernyataan ini juga berlaku untuk t≤T. Misalkan k₀<kˆ₀. Menurut Teorema 1,

) ( ˆ ) (t k t k < , untuk setiap t.

Selanjutnya, k t( )dank tˆ( ) dituliskan kembali seperti berikut 0 0 ( ) [ ( ( )) ( ( )) ( )] , t k t =k +

∫

sf k t − δ+n t k t dt 0 ˆ_{( )} ˆ _{[ ( ( )) (}ˆ _{( )) ( )] ,}ˆ t o k t =k +

∫

sf k t − δ +n t k t dt diperoleh 0 0 0 ˆ_{( ) ( ) (}ˆ _{) { [ ( ( ))}ˆ _{( ( ))]} ( ( ))( ( ) ( ))} . t k t k t k k s f k t f k t n t k t k t dt

δ

− ≤ − + − + + −

∫

(20) Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata:

)) ( ) ( ˆ )( ( )) ( ( )) ( ˆ (kt f kt f kt kt f − = ′ξ − , untuk suatu ξ∈(k(t),kˆ(t)).

Dinamika k t k t₁( ), ₂( ) ( seperti pada Teorema 2 ) berlaku selama fungsi f ′ menurun dan mengakibatkan f′ )(ξ <M , untuk suatu konstanta M.

Karenaf ′ adalah fungsi turun, jika k₀ <k₁*

maka f′( )ξ < f k′( ₀). Jika k₁*<k₀ <k₂* atau

2* 0

k <k , maka f′( )ξ < f k′( *)₁ .

Saat t≤T, dari pernyataan di atas dan pertaksamaan Gronwall diperoleh

0 0 0 0 [ ( )] 0 0 ( ) 0 0 ( ) . 0 0 ˆ_{( ) ( ) (}ˆ _{) [ ( )]( ( )}ˆ _{( ))} ˆ ( ) ˆ ˆ | | t t sM n t dt * sM δ n T * sM δ n T k t k t k k sM n t k t k t dt k k e (k k )e k k e δ δ + + + + + + − < − + + + − ≤ − ≤ − ≤ −

∫

∫

(21) Dengan mengambil η ε= /e(sM+ +δ n T*) , diperoleh bahwa untuk suatu ε >0 ada η >₂ 0

sehingga |kˆ₀−k₀|<η₂ mengakibatkan ˆ

| ( )k t −k t( ) |< jika ε t≤T.

Dengan mengambil η=min{ ,η η_{1 2}}, dapat disimpulkan bahwa untuk suatu ε >0 ada

0 >

η sehingga |kˆ₀−k₀|<

η

mengakibatkan

ˆ

| ( )k t −k t( ) |<ε, untuk semua t. Hal ini akan mengakibatkan lim ( ( ,ˆ₀) ( , ₀)) 0

t→+∞ k t k −k t k = .

Maka terbukti bahwa k t k( , ₀) stabil asimtotik.

3.5 Solusi Model untuk Fungsi Produksi Cobb-Douglas

Dimisalkan sebuah fungsi produksi neoklasikal memiliki bentuk Cobb-Douglas,

, 0 1.

Y =K Lα β <α < ( 22) dengan α dan β masing-masing adalah parameter elastisitas terhadap kapital dan tenaga kerja. Dalam kasus ini, diambil β = − 1 α karena asumsi yang digunakan adalah constant returns to scale yang terjadi saat α β+ = 1.

Persamaan (22) dapat dituliskan kembali sebagai 1 / ( / ) . Y K L K L L α α α − = = (23)

Untuk mendapatkan pendapatan per kapita, setiap ruas Persamaan (23) dibagi dengan L diperoleh: / ( / ) . Y L K L y k α α = = (24) Diperoleh bahwa 1 2 0 ( ) 0, ( ) (1 ) 0, lim ( ) , lim ( ) 0. k k f k y k f k y k f k f k α α α α α − − → →∞ ′ = ′= > ′′ = ′′= − − < ′ = ∞ ′ =

Hal di atas menunjukkan bahwa bentuk Cobb-Douglas memenuhi asumsi-asumsi fungsi produksi neoklasik dan sekaligus dapat digunakan pada persamaan model pertumbuhan Solow-Swan.

Dengan menyubstitusikan Persamaan (24) pada Persaman (19) akan diperoleh persamaan model Solow-Swan

( ( ))

k&=skα − δ+n t k.

Teorema 7

Jika k(t) adalah solusi dari (19) saat y=kα

dengan 0<α<1maka: 1 01 (1 ) 1 1 (1 ) 0

( )

( ) (

(1

)

( )

)

.

t t α δu α / α

k t

=

e

−δ

L t

−

k

−α

+ −

α

s e

_∫

−

L u

−

du

− (25) Bukti:

Persamaan k&=skα−(δ +n t k( )) adalah sebuah persamaan diferensial taklinear dari tipe Bernoulli.

Misalkan z=k1−α, diperoleh persamaan diferensial linear baru

z t L t L s z&=(1−α) −(1−α)(δ + &()/ ( )) _{. (26)}

Dengan mengalikan kedua ruas pada Persamaan (26) dengan faktor pengintegralan

0 ( ( ) / ( )) ( ) t L u L u du M t e δ+ =

∫

& didapatkan: 0 0 0 ( ( ) / ( )) ( ( ) / ( )) ( ( ) / ( )) ((1 )( ( ) / ( ))) (1 ) . t t t L u L u du L u L u du L u L u du ze L t L t ze se δ δ δ α δ α + + + + − + = −

∫

&

∫

&

∫

&

&

& ₍₂₇₎

Ruas kiri pada Persamaan (27) merupakan

turunan dari 0 (1 )( ( ( ) / ( )) t L u L u du ze α δ − +

∫

& terhadap t.

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

0 0 0 0 0 (1 )( ( ( ) / ( ))) ( ( ) / ( )) (1 )( ( ( ) / ( ))) 0 0 (1 )( ( ( ) / ( ))) (1 )( ( ( ) / ( ))) 0 0 ((1 )( ( ) / ( ))) (1 ) (1 ) . t t t t t t L v L v dv L v L v dv t L v L v dv t L v L v dv L v L v dv ze L t L t ze du se du ze se du z α δ δ α δ α δ α δ α δ α α − + + − + − + − +     + − + = −       = − +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

& & &

& &

& &

0 0 (1 )( ( ( ) / ( ))) (1 )( ( ) / ( ))) 0 0 ( ) (1 ) . t u t L u L u du L v L v dv z t e z se du α δ α δ

α

− − + _ − + _ = _ + − _    

∫

∫

∫

& & (28) Diperoleh: 0 0 ( ( ) / ( )) ln ( ) ln ( ). t t L u L u du u L u t L t δ δ δ + = + = +

∫

& (29) dan 0 0 ( ( ) / ( )) ln ( ) ln ( ) t u L v L v dv v L v u L u δ δ δ + = + = +

∫

& (30)

Dengan menyubstitusikan Persamaan (29) dan (30) terhadap Persamaan (28) diperoleh

(

)

ln ( ) (1 ) 0 0 (1 ) _{(1 ) 1} 0 0 ln ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) . t t L t t t u u L u z t e z s e du e L t z s e L u du δ α α δ α δ α δ α α α + − − − − _{− −} + −     = + −         = + −    

∫

∫

(31)

Persamaan (28) dituliskan kembali dalam k maka diperoleh 1 (1 ) (1 ) 1 0 0

( )

(

( ))

(1

)

( )

t t α δu α

k t

−α

=

e L t

δ − −α





k

+ −

α

s e

∫

−

L u

−

du









yang dapat dituliskan kembali sebagai

1 1 (1 ) 1 1 (1 ) 0 0

( )

( ) (

(1

)

( )

)

.

t t α δu α / α

k t

=

e

−δ

L t

−

k

−α

+ −

α

s e

_∫

−

L u

−

du

− (25) Bukti lengkap. Akibat 4

Aturan L’Hopital yang diberlakukan pada (25) akan menghasilkan: 1/(1 ) lim ( ) [ /( )] t k t s n α δ − ∞ →+∞ = + (32)

Ini menunjukkan nilai modal per kapita yang diperoleh pada saat kondisi keadaan tunak dalam kasus Cobb-Douglas.

Contoh Kasus 1

Misalkan negara A dan B sama-sama memiliki fungsi produksi berbentuk Cobb-Douglas dengan α =0.5. Tingkat tabungan dan depresiasinya masing-masing adalah 10% dan 10% (sama untuk kedua negara). Modal awal per kapita negara A dan B berturut-turut adalah 100 unit dan 169 unit. Jika pertumbuhan populasinya mengikuti fungsi

( ) nt

L t =e dan kedua negara memiliki tingkat pertumbuhan populasi yang sama, maka diperoleh solusi model Solow-Swan seperti berikut ini

# Dengan laju pertumbuhan konstan. Misalkan n = 2%.

• Negara A 0.5 0.02 0.5 (0.5)(0.1) (0.02 )(0.5) 1/(0.5) 0 2 0.52 0.06 0 2 0.52 0.06 0 0.52 0.06 2 ( ) (100 (0.1)(0.5) ) 10 (0.05) 10 0.05 (1/ 0.06) (10 (0.05/ 0.06)( 1)) . t t t u u t t u t t u t t k t e e e e du e e du e e e e − − − − − = +     = +        = _ + _{ }     = + −

∫

∫

• Negara B 0.5 0.02 0.5 (0.5)(0.1) (0.02 )(0.5) 1/(0.5) 0 2 0.52 0.06 0 2 0.52 0.06 0 0.52 0.06 2 ( ) (169 (0.1)(0.5) ) 13 (0.05) 13 0.05 (1/0.06) (13 (0.05/ 0.06)( 1)) . t t t u u t t u t t u t t k t e e e e du e e du e e e e − − − − − = +     = +        = _ + _{ }     = + −

∫

∫

Hubungan modal per kapita k(t) dengan waktu t disajikan pada Gambar 4.

2 4 6 8 10 waktu



t



20 40 60 80 100 120

modal per kapita



k



t



k



0



13 k



0



10

Gambar 4. Dua solusi model dengan modal awal per kapita berbeda dan tingkat pertumbuhan konstan dengan n=2%

# Dengan laju pertumbuhan tak-konstan. Misalkan n(t) mengikuti tren fungsi

( ) 1/( 1). n t = t+ • Negara A 0.5 (1/( 1)) 0.5 (0.5)(0.1) (1/( 1))(0.5 ) 1/(0.5) 0 0.5 /( 1) (0.05) 0.5 /( 1) 2 0 ( ) (100 0.05 ) (10 0.05 ) . t t t t u u u t t t t u u u k t e e e e du e e e e du − − + + − − + + = + = +

∫

∫

• Negara B 0.5 (1/( 1)) 0.5 (0.5)(0.1) (1/( 1))(0.5 ) 1/(0.5) 0 0.5 /( 1) (0.05) 0.5 /( 1) 2 0 ( ) (169 0.05 ) (13 0.05 ) . t t t t u u u t t t t u u u k t e e e e du e e e e du − − + + − − + + = + = +

∫

∫

Hubungan modal per kapita k(t) dengan waktu t disajikan pada Gambar 5.

2 4 6 8 10 waktu



t



10 20 30 40 50 60 70

modal per kapita



k



t



k



0



13 k



0



10

Gambar 5. Dua solusi model dengan modal awal per kapita berbeda dan tingkat pertumbuhan tak-konstan dengan n t( )=1/(t+1)

Contoh Kasus 2

Misalkan negara A dan B sama-sama memiliki fungsi produksi berbentuk Cobb-Douglas dengan α =0.5. Tingkat tabungan, depresiasi, dan modal awal per kapitanya masing-masing adalah 10%, 10%, dan 100 unit (sama untuk kedua negara). Jika pertumbuhan populasinya mengikuti fungsi

( ) nt

L t =e dan kedua negara memiliki tingkat pertumbuhan populasi yang berbeda maka diperoleh solusi model Solow-Swan seperti berikut ini

# Dengan laju pertumbuhan konstan. Misalkan nA=2% dan nB=7%. • Negara A 0.5 0.02 0.5 (0.5)(0.1) (0.02 )(0.5) 1/(0.5) 0 2 0.52 0.06 0 2 0.52 0.06 0 0.52 0.06 2 ( ) (100 (0.1)(0.5) ) 10 (0.05) 10 0.05 (1/ 0.06) (10 (0.05/ 0.06)( 1)) . t t t u u t t u t t u t t k t e e e e du e e du e e e e − − − − − = +     = +        = _ + _{ }     = + −

∫

∫

• Negara B 0.5 0.07 0.5 (0.5)(0.1) (0.07 )(0.5) 1/(0.5) 0 2 0.57 0.085 0 2 0.57 0.085 0 0.57 0.085 2 ( ) (100 (0.1)(0.5) ) 10 (0.05) 10 0.05 (1/0.085) (10 (0.05/0.085)( 1)) . t t t u u t t u t t u t t k t e e e e du e e du e e e e − − − − − = +     = +        = _ + _{ }     = + −

∫

∫

Hubungan modal per kapita k(t) dengan waktu t disajikan pada Gambar 6.

# Dengan laju pertumbuhan tak-konstan. Misalkan n t_A( )=1/(t+2) dan ( ) 1/( 1). B n t = t+ • Negara A 0.5 (1/( 2)) 0.5 (0.5)(0.1) (1/( 2))(0.5 ) 1/(0.5) 0 0.5 /( 2) (0.05) 0.5 /( 2) 2 0 ( ) (100 0.05 ) (10 0.05 ) . t t t t u u u t t t t u u u k t e e e e du e e e e du − − + + − − + + = + = +

∫

∫

• Negara B 0.5 (1/( 1)) 0.5 (0.5)(0.1) (1/( 1))(0.5 ) 1/(0.5) 0 0.5 /( 1) (0.05) 0.5 /( 1) 2 0 ( ) (100 0.05 ) (10 0.05 ) . t t t t u u u t t t t u u u k t e e e e du e e e e du − − + + − − + + = + = +

∫

∫

Hubungan modal per kapita k(t) dengan waktu t disajikan pada Gambar 7.

2 4 6 8 10 waktu



t



20 40 60 80 100

modal per kapita



k



t



n7 n2

Gambar 6. Dua solusi model dengan tingkat pertumbuhan konstan yang berbeda dengan nA = 2% dan nB = 7% 2 4 6 8 10 waktu



t



10 20 30 40 50 60

modal per kapita



k



t



n_B1



t 1



n_A1



t 2



Gambar 7. Dua solusi model dengan tingkat pertumbuhan tak-konstan yang berbeda dengan n t_A( )=1/(t+2)dan n t_B( )=1/(t+1)

Contoh Kasus 3

Misalkan negara A, B, dan C sama-sama memiliki fungsi produksi berbentuk Cobb-Douglas dengan α =0.5. Tingkat tabungan, depresiasi, dan modal awal per kapitanya masing-masing adalah 10%, 10%, dan 100 unit (sama untuk ketiga negara). Jika pertumbuhan populasinya mengikuti fungsi

( ) nt

L t =e dan tingkat pertumbuhan populasi negara A, B, dan C memenuhi keadaan

0=n t_A( )<n t_B( )≤n_C( )t =1, maka diperoleh solusi model Solow-Swan seperti berikut ini • Negara A 0.5 (0) 0.5 (0.5)(0.1) (0)(0.5 ) 1/(0.5) 0 2 0.5 0.05 0 2 0.52 0.05 0 0.52 0.05 2 ( ) (100 (0.1)(0.5) ) 10 (0.05) 10 0.05 (1/ 0.05) (10 ( 1)) . t t t u u t t u t t u t t k t e e e e du e e du e e e e − − − − − = +     = +        = _ + _{ }     = + −

∫

∫

• Negara B 0.5 (1/( 1)) 0.5 (0.5)(0.1) (1/( 1))(0.5 ) 1/(0.5) 0 0.5 /( 1) (0.05) 0.5 /( 1) 2 0 ( ) (100 0.05 ) (10 0.05 ) . t t t t u t u t t t t u u u k t e e e e du e e e e du − − + + − − + + = + = +

∫

∫

• Negara C 0.5 (2) 0.5 (0.5)(0.1) (2)(0.5 ) 1/(0.5) 0 2 2.5 1.05 0 2 2.5 1.05 0 2.5 1.05 2 ( ) (100 (0.1)(0.5) ) 10 (0.05) 10 0.05 (1/1.05) (10 (0.05/1.05)( 1)) . t t t u u t t u t t u t t k t e e e e du e e du e e e e − − − − − = +     = +        = _ + _{ }     = + −

∫

∫

Hubungan modal per kapita k(t) dengan waktu t disajikan pada Gambar 8.

4 6 8 10 waktu



t



5 10 15 20 25 30 35

modal per kapita



k



t



n_C1 n_B1



t 1



n_A0

Gambar 8. Tiga solusi model dengan kondisi tingkat pertumbuhan populasi dengan 0=n t_A( )<n t_B( )≤n_C( )t =1

IV. SIMPULAN

Solusi yang diperoleh pada model

Solow-Swan yang berbentuk persamaan diferensial biasa terbukti stabil asimtotik. Teori-teori yang telah dibuktikan menunjukkan bahwa model pertumbuhan Solow-Swan pada tingkat populasi terbatas ini dapat diberlakukan dalam kehidupan nyata.

Sebuah negara dengan modal awal per kapita yang tinggi akan memperoleh modal per kapita yang tiggi pula jika diasumsikan semua kondisi lain konstan. Tidak bergantung pada nilai awalnya, modal per kapita dari sebuah negara yang memiliki tingkat pertumbuhan n(t) akan lebih cepat menstabilkan negara tersebut menuju keadaan tunak, dimana dinamikanya dideskripsikan oleh model Solow-Swan dengan tingkat pertumbuhan populasi sama dengan n_∞.

Negara yang sudah memiliki solusi yang stabil asimtotik akan selalu memperoleh modal per kapita yang tidak terlalu jauh dari modal per kapita saat keadaan tunak, berapapun besar modal awal per kapitanya. Negara-negara dengan modal awal per kapita yang sama tetapi dengan tingkat pertumbuhan populasi yang lebih tinggi akan memiliki modal per kapita dan tingkat konsumsi per kapita yang lebih rendah. Dalam jangka panjang, mereka bisa mendapatkan modal per kapita yang sama jika batas tingkat pertumbuhan populasinya sudah sama.

Dari pernyataan di atas, dapat disimpulkan bahwa penting bagi suatu negara untuk memiliki sebuah kebijakan kontrol populasi yang efisien untuk memperoleh perekonomian yang lebih baik.

DAFTAR PUSTAKA

Barro, R.J. dan Sala-i-Martin, X., 1995. Economic Growth. McGraw-Hill, New York.

Birkhoff, G. dan Rota, G., 1978. Ordinary Differential Equation, fourth ed. John Wiley and Sons, New York.

Domar, E. 1957. The Neoclassical Growth Model. Essays in the Theory of Economic Growth : p.8.

Goldberg, R.R., 1976. Methods of Real Analysis, second ed. John Wiley and Sons, New York.

Guerrini, L. 2006. The Solow-Swan Model with a bounded population growth rate. Journal of Mathematical Economics 42(2006) 14-21.

Hartman, P. 2002. Ordinary Differential Equation, second ed. Society for Industrial & Applied Math.

Lyapunov, A.M., 1966. Stability of motion. Academic Press, New York and London. Mankiw, G. 2003. Teori Makroekonomi, edisi

kelima. Erlangga, Jakarta.

Moffatt, M. 2008. Increasing, Decreasing, and Constant Returns to Scale [Artikel].

www.about.com/Economics. [24 Januari 2008]

Solow, R.M., 1956. A contribution to the theory of economic growth. Quarterly Journal of Economics 70 (1), 65-94. Stewart, J. 2001. Kalkulus, edisi ke-4 jilid 1.

Gunawan H. & Susila I.N., alih bahasa; Hardani W. & Mahanani N., editor. Erlangga, Jakarta. Terjemahan dari: Calculus.

Lampiran 1. Bukti Teorema Perbandingan

Teorema Perbandingan

Misalkan f dan g masing-masing adalah solusi-solusi dari persamaan-persamaan diferensial: ( , ), ( , )

y′=F x y z′=G x z ,

dengan F x y( , )≤G x y( , )pada selang a≤ ≤ dan F dan G memenuhi kondisi Lipschitz. Jika x b f(a)=g(a) maka, ( , )f x y ≤g x y( , )untuk semua x∈[ , ].a b

(Birkhoff dan Rota, 1978)

Bukti:

Misalkan f x′( )=F x f x( , ( )),maka:

( ) ( , ( ) ( , ( ( )) (*) f x′ =F x f x ≤G x f f x

Misalkan f x( )1 >g x( )1 untuk suatu x1 pada selang [ , ].a b Selanjutnya didefinisikan x0 sebagai

berikut:

{

}

0 max 1, ( ) ( ) .

x = x a≤ ≤x x f x ≤g x

Jika ada suatu fungsi σ dimana ( )σ x = f x( )−g x( ),maka ( )σ x > untuk 0 x₀< <x x₁.Karena F dan G memenuhi kondisi Lipschitz, maka:

dengan L adalah konstanta Lipschitz untuk fungsi G. Menurut Lemma 2: 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0. L x x x x e σ _≤σ − ≤ Karena ( )σ x = f x( )−g x( ),maka: ( ) ( ) 0 ( ) ( ). f x g x f x g x − ≤ ≤

Ini kontradiksi dengan f x( )₁ >g x( ).₁ Jadi, haruslah ( )f x ≤g x( )untuk setiap x.

0 1 ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ( ) ( )) ( ), , x f x g x G x f x G x g x L f x g x L x x x x σ σ ′ = ′ − ′ ≤ − ≤ − = < <

Lampiran 2. Pembuktian Solusi Tunggal Misalkan diberikan masalah diferensial

0 ( ) ( ( )) , (0) k sf k n t k k k δ  = − +   =  & (19) Masalah ini mempunyai solusi tunggal k=k t( ) yang terdefinisi pada [0,∞).

Bukti:

Didefinisikan M0, M1,dan M seperti di bawah ini

0 | 0|, 1 max | 1( ) |, 0 1, M =k M = k t M =M +M dengan |k t₀( ) |≤Mdan |k t₁( )−k t₀( ) |≤M. Untuk t0≤ < ∞ berlaku t , 0 0 0 0 0 0 2 1 1 0 1 0 1 0 0 3 2 2 1 2 1 2 0 2 2 0 | ( ) ( ) | | { [ , ( )] [ , ( )]} | | [ , ( )] [ , ( )] | | ( ) ( ) | ( ). | ( ) ( ) | | { [ , ( )] [ , ( )]} | | ( ) ( ) | ( ) ( ) . 2 t t t t t t t t t t t t k t k t f u k u f u k u f u k u f u k u du L k u k u du LM t t k t k t f u k u f u k u L k u k u du L M u t du t t L M − = − ≤ − ≤ − ≤ − − = − ≤ − ≤ − − ≤

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Secara umum, 1 1 0 1 ( ) | ( ) ( ) | . ( 1)! n n n n t t k t k t L M n − − − − − ≤ −

Hal ini juga berlaku untuk 0≤ ≤t t₀, hanya saja (t−t₀)digantikan oleh |t−t₀| .

Jadi, untuk setiap t pada selang [0, )∞ dan n=1, 2,... berlaku:

1 1 0 1 | | | ( ) ( ) | . ( 1)! n n n n t t k t k t L M n − − − − − ≤ −

Sudah terbukti bahwa ( )k t adalah solusi dari persamaan (19) pada selang [0, ).∞ Sekarang, akan dibuktikan bahwa ( )k t merupakan solusi tunggal.

Misalkan ( )k t juga adalah solusi dari (19) pada selang [0, ).∞ Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( )

n

k t →k t untuk setiap t pada saat n → ∞ Jika . k tn( )→k t( )maka ( )k t =k t( ).

Misalkan ( )k t kontinu dan memenuhi persamaan

0 0 ( ) [ , ( )] . t t k t =k +

∫

f u k u du Jika A=max | ( )k t −k₀|, maka untuk t₀≤ < ∞ diperoleh t

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 1 2 0 2 2 0 | ( ) ( ) | | { [ , ( )] [ , ( )]} | | [ , ( )] [ , ( )] | | ( ) ( ) | ( ). | ( ) ( ) | | { [ , ( )] [ , ( )]} | | ( ) ( ) | ( ) ( ) . 2 t t t t t t t t t t t t k t k t f u k u f u k u f u k u f u k u du L k u k u du LA t t k t k t f u k u f u k u L k u k u du L A u t du t t L A − = − ≤ − ≤ − ≤ − − = − ≤ − ≤ − − ≤

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Secara umum, 0 ( ) | ( ) ( ) | . ! n n n t t k t k t L A n − − =

Hal yang sama diperoleh untuk 0≤ ≤t t0. Jadi, untuk setiap t pada selang [0, )∞ didapatkan

0 | | | ( ) ( ) | . ! n n n t t k t k t L A n − − ≤

Sisi kanan pada pertaksamaan ini mendekati nol saat n → ∞ didapatkan bahwa ( ), k t =k t( ) untuk setiap t pada selang [0, ).∞