SOAL-SOAL LATIHAN 1. ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang? , tentukanlah r

(1)

1 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI

SOAL-SOAL LATIHAN 1

1. Hari ini usiaku 4 1

kali usia ayahku. Sepuluh tahun yang lalu usiaku 10

1

kali usia ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang?

2. Jika 3 2  q p dan 5 4  q r , tentukanlah r p .

3. Ayu menghabiskan Rp 2.200,00 untuk membeli 2 bungkus kacang dan 4 bungkus keripik. Putri membeli 3 bungkus kacang dan 2 bungkus keripik dan menghabiskan Rp 2.100,00. Carilah harga sebungkus keripik.

4. Misalnya m dan n dua bilangan asli. Jika faktor persekutuan terbesar dari m dan n adalah 3 dan 20 8  n m

; maka hasilkali mn adalah….

5. Banyaknya bilangan bulat di antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 11 adalah….

6. Sebuah sekolah memiliki sejumlah komputer. Sekelompok siswa akan menggunakan komputer-komputer tersebut. Jika setiap kemputer digunakan oleh dua orang, ada dua orang siswa yang tidak mendapat komputer. Jika setiap computer digunakan oleh tiga orang, ada dua computer yang tidak terpakai. Hitunglah banyaknya komputer di sekolah tersebut.

7. Penduduk Jawa Tengah adalah 25% dari penduduk pulau Jawa dan 15% dari penduduk Indonesia. Berapa persen penduduk Indonesia yang tinggal di luar Pulau Jawa?

(2)

2 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 8. Di suatu hotel, rata-rata 96% kamar terpakai sepanjang sebulan liburan kenaikan

kelas dan rata-rata 72% kamar terpakai sepanjang sebelas bulan lainnya. Carilah rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun di hotel tersebut.

9. Jika 2007 dibagi ke dalam tiga bagian dengan perbandingan 2 : 3 : 4, carilah bagian terbesar.

10. Iwan selalu berbohong pada hari Senin, Selasa, Rabu, dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Di lain pihak Budi selalu berbohong pada hari-hari Kamis, Jumat, Sabtu, dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Pada suatu hari terjadi percakapan berikut: Iwan: Kemarin saya berbohong.

Budi: Saya juga.

(3)

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1

1. Misalnya usiaku = a tahun dan usia ayahku = b tahun, maka b a 4 1  a b 4 ………(1) ) 10 ( 10 1 10   b a ………(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:

( 10) 10 1 10 4      a a b b 10a1004a10 6 a 90 a90:615

Jadi, usiaku sekarang adalah 15 tahun.

2. 3 2  q p _ q p 3 2  5 4  q r _ q r 5 4  6 5 4 5 3 2 5 4 3 2     q q r p

3. Misalnya harga 1 bungkus kacang adalah a rupiah dan harga 1 bungkus keripik adalah b rupiah, maka

2a b4 2200

a1100 2b….…..………(1) 3a b2 2100…………...(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh: a1100 2b 3a b2 2100

(4)

4 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 3(11002b)2b2100

33006b2b2100 4 b 1200

b300

Jadi, harga sebungkus keripik adalah Rp 300,00.

4. 4 5 4 2 20 8     n m

Faktor persekutuan terbesar adalah 3, maka 15 6 3 5 3 2 _    n m Sehingga m = 6 dan n = 15. Jadi, mn61590. 5. Barisan bilangan: 110, 121, 132, …,990 a = 110, un = 990, b = 121  110 = 11 u_n a( n 1)b 990 = 110 + (n – 1)11 880 = (n – 1)11 80 = n – 1 n = 81

Jadi, banyaknya bilangan bulat di antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 11 adalah 81 buah.

6. Misalnya banyak komputer = a buah dan banyak siswa = b orang, maka b a2 2 b a2 2………(1) 2 3  b a 3a b6 …………..(2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh: b a2 2 3a b6

(5)

5 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 3a a2 26

a8

Jadi, banyaknya komputer di sekolah tersebut adalah 8 buah. 7. Misalnya penduduk Indonesia = x jiwa.

Penduduk Jawa Tengah = 15% x jiwa

Penduduk Jawa Tengah = 25%  penduduk Pulau Jawa Penduduk Pulau Jawa =

25

100_{ penduduk Jawa Tengah}

= x 100 15 25 100  = x 5 3 jiwa

Penduduk di luar Pulau Jawa = x x x 5 2 5 3 

 jiwa.

Jadi, penduduk luar Pulau Jawa = 5 100% 40% 2

 

x x

8. Rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun di hotel itu

1 11 % 96 1 % 72 11      % 12 96 792   % 74% 1200 888 _  9. Bagian terbesar 2007 892 4 3 2 4 _ _    10.

Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu Iwan bohong bohong bohong jujur jujur jujur Jujur Budi jujur jujur jujur bohong bohong bohong jujur Iwan: Kemarin saya berbohong (Kamis-Jujur)

Budi: Saya juga (Kamis-Bohong)

(6)

SOAL-SOAL LATIHAN 2

1. Bulan-bulan sabit yang diarsir diperoleh dengan menggambar setengah lingkaran pada 3 sisi dari segitiga siku-siku ABC. Cari ratio dari luas daerah yang diarsir dengan segitiga ABC.

2. Benda-benda pejal itu masing-masing tersusun dari 6 buah kubus satuan. Yangmana dua dari mereka adalah sama?

3. ABCD adalah sebuah persegi dengan pusat O. Lingkaran-lingkaran digambarkan sekitar A, B, C, dan D sebagai pusat, masing-masing dengan jari-jari AO, BO, CO, dan DO yang sama, yang berpotongan di P, Q, R, dan S. Jika AB = 8 cm, carilah luas daerah yang diarsir.

A B C _D B C A A B C D P Q R S O

(7)

7 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 4. Enam kartu berbentuk persegi dengan masing-masing sisi 10 cm disusun seperti

tampak pada gambar di bawah ini. Temukan luas keseluruhan daerah yang tertutupi oleh kartu-kartu itu.

5. Dinda merencanakan memotong persegi yang diarsir dari segitiga. Jika sisi segitiga 8 cm, 15, cm, dan 17 cm, cari ukuran persegi itu?

6. Pada gambar di bawah A, B, C, dan D adalah pusat 4 lingkaran. Jari-jari setiap lingkaran adalah 20 cm. Cari luas keseluruhan bagian yang diarsir. (Ambil  = 3,14).

7. Segitiga ABC sama kaki, D adalah titik pada sisi BC sehingga EAD = 30o; E adalah titik pada sisi AC sehingga AD = AE. Cari EAD.

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8     A B C D

(8)

8 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 8. Sebuah jajargenjang dibagi ke dalam 4 jajargenjang kecil P, Q, R dan S. Luas P, Q

dan R masing-masing adalah 10 cm2, 20 cm2 dan 60 cm2. Carilah luas dari R.

9. Cari rasio luas daerah lingkaran yang diarsir dengan sektor OAB.

10. Sebuah persegi berukuran 3  2 dapat ditutupi oleh persegi berukuran 2  1 dengan 3 cara yang berbeda, seperti tampak pada gambar di bawah.

Ada berapa cara yang berbeda dapat dilakukan untuk menutupi gambar di bawah dengan persegi berukuran 2  1?

P Q S R O A B

(9)

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 2

1. Luas daerah yang diarsir = luas bangun itu seluruhnya – 2

1 _{ luas lingkaran besar}

2 2 2 2 1 π 2 1 2 1 π 2 1 2 1 π 2 1 2 1                        AC BC AC BC AB π( ) 8 1 2 1_AC__BC_ _AC2 __BC2 __AB2  π(0) 8 1 2 1 _ _  AC BC  AC BC 2 1

Luas segitiga ABC AC BC 2

1

Luas daerah yang diarsir : luas segitiga ABC = AC BC 2 1 : AC BC 2 1 = 1 : 1.

2. Bangun yang sama adalah bangun B dan D. 3. Panjang AB = 8 cm, makaOA SA4 2cm Luas tembereng SO   r  OASA 2 1 π 360 90 2 o o

 

4 2 4 2 2 1 2 4 π 4 1 2      A B C D P Q R S O 8 cm

(10)

10 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 32π 16 4 1_ _  (8π16)cm2

Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran – 8  luas tembereng _π(8)2 _8



8π_16



64π64π128 128 cm2

4. Luas keseluruhan daerah yang tertutupi oleh kartu-kartu itu 1616



2(1616)168

 

 3(1616)328



256512128768256

1.152cm2

5. Misalnya panjang sisi persegi adalah x, maka 15 : 8 : ) 8 ( x x x x) 8 8 ( 15   12015x 8 x 23 x 120 23 5 5  x cm

Jadi, persegi terbesar memiliki ukuran panjang sisi adalah 23 5 5 cm. 6.     A B C D 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 x 8  x 15 17 x

(11)

11 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI AB ADBDCBCD= 20 + 20 = 40 cm.

ABDdan CBD adalah segitiga sama sisi dan kongruen. ABCD= 60o + 120o + 120o + 60o = 360o Luas keseluruhan bagian yang diarsir = luas lingkaran = _{π r}2

= ₃_,₁₄_₂₀2

= 3,14400 = 1.256 cm2 7. Karena segitiga ABC sama kaki, maka

w ACD ABC   AEDADE w y __ADB___ADC_₁₈₀o ₁₈₀o __w_₃₀o __w__y_ _y_₁₈₀o _{2 }_y ₃₀o _y_₁₅o

Jadi, ukuran dari EAD adalah 15o.

8. P: S Q:R Q R P S   30 20 60 10 _  cm2

Jadi, luas D adalah 30 cm2.

9. Jika jari-jari lingkaran yang diarsir adalah PQ PRPSr, maka OP r 2, sehingga jari-jari sector OAB rr 2 r



1 2



Jadi, rasio luas daerah dari lingkaran yang diarsir dengan sector OAB __π_r2 _:_π



_r



₁_ ₂





2

_π_r2:π_r2



1_2 2_2



1:



32 2



A B C E D 30o w w+ y _yw+ y _w O A B Q R P S r r r

(12)

12 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 10.

Jadi, gambar itu dapat ditutup dengan persegi panjang 2  1 dengan 8 cara yang berbeda.

(13)

SOAL-SOAL LATIHAN 3

1. Hitunglah 2004 12 1 4 6 1 3 3 1 2 2 1 1       _ _ _ _.

2. Dua puluh satu silinder identik dimuat pada tiga truk. Tujuh buah kosong, 7 buah berisi setengah minyak, dan 7 buah berisi penuh minyak. Tentukan susunan banyak silinder yang dimuat pada setiap truk agar beratnya sama.

3. Ada dua buah takaran berukuran 5 liter dan 3 liter. Dapatkah Anda mengukur tepat 4 liter air dengan dua buah takaran itu?

4. Seorang anak laki-laki menuliskan umur ayahnya setelah menuliskan umurnya. Untuk bilangan empat angka ini ia menambahkan 16 kali perbedaan antara umur mereka dan diperoleh 1991. Carilah umur mereka masing-masing.

5. Untuk sebarang bilangan x dan y, simbol xydidefinisikan sebagai y

x xy y

x    . Hitung 4 , 5 7 , dan 8 9 . 8

6. Seekor ikan memiliki ekor sepanjang kepalanya ditambah seperempat panjang tubuhnya. Tubuhnya tiga perempat dari panjang keseluruhan. Panjang kepalanya 10 cm. Berapa panjang total ikan itu?

7. Annisa mempunyai 20 lembar uang di dompetnya. Dalam bentuk pecahan 10 ribu, 20 ribu dan 50 ribu. Total jumlah uangnya adalah 500 ribu. Jika dia memiliki pecahan 50 ribu lebih banyak daripada 10 ribu. Berapa banyak pecahan 10 ribu yang ia miliki?

8. Carilah banyaknya angka nol yang berurutan pada bilangan hasil dari perkalian 1  2  3  …  2006  2007.

(14)

14 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 9. Sebuah bilangan yang terdiri dari enam angka dimulai dengan angka 1. Tiga kali

bilangan ini sama dengan bilangan semula tetapi angka 1 terletak diakhir angka. Temukan bilangan-bilangan itu.

10. Berapa banyak bilangan bulat positif yang merupakan solusi dari persamaan 10

  b c

(15)

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 3

1. 2004 12 1 4 6 1 3 3 1 2 2 1 1       _ _ _

_

_

₂₀₀₄ 12 1 6 1 3 1 2 1 4 3 2 1              _ _ _      2004 12 1 6 1 3 1 2 1 10              _ _ _   200401002668334167 = 22211 2.

Truk 1 3 penuh 3 kosong 1 setengah Truk 2 3 penuh 3 kosong 1 setengah Truk 3 1 penuh 1 kosong 5 setengah Total 7 penuh 7 penuh 7 setengah 3. Strategi 1:

1) Isikan air ke dalam takaran 5 liter sampai penuh, kemudian tuangkan air itu ke dalam takaran 3 liter. (Sisa 2 liter pada takaran 5 liter). Kosongkan takaran 3 liter.

2) Isikan air yang 2 liter ke dalam takaran yang 3 liter.

3) Isikan air takaran 5 liter sampai penuh dan tuangkan 1 liter untuk mengisi takaran yang 3 liter.

4) Pada takaran 5 liter sekarang tersisa tepat 4 liter.

Strategi 2:

1) Isikan air ke dalam takaran 5 liter sampai penuh, kemudian tuangkan air itu ke dalam takaran 3 liter. Sisa 2 liter dimasukkan ke dalam suatu tempat untuk menampung air sebanyak 4 liter. Kosongkan takaran 3 liter.

2) Isikan air ke dalam takaran 5 liter sampai penuh, kemudian tuangkan air itu ke dalam takaran 3 liter. Sisa 2 liter dimasukkan ke dalam suatu tempat untuk menampung air sebanyak 4 liter itu. Dengan demikian, kita telah memperoleh tepat 4 liter air.

(16)

16 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 4. Misalnya umur anak laki-laki x tahun dan ayahnya y tahun, maka:

1991 ) ( 16 100xy yx  17 2 5 117    x x y

Dalam kasus ini 17 harus habis membagi x2 dan 117 5y , yang hanya mungkin dipenuhi oleh x15dan y43.

Jadi, umur anak laki-laki adalah 15 tahun dan ayahnya berumur 43 tahun.

5. 45454529 78787871 98989889

6. Misalnya a, cb, ,dan d adalah panjang kepala, panjang badan, panjang ekor, dan panjang total, maka:

c a b 4 1    b4c4a … .... (1) b d 4 3   d b 3 4  ………. (2) a10 ………. (3) d abc ... (4)

Substitusikan a10ke persamaan (1), diperoleh: c b 4 1 10   b c4 40……... (5) Substitusikan a10dan d b 3 4  ke persamaan (4), diperoleh: b 10bc 3 4 4b303b3c b c3 30………. (6)

Dari persamaan (5) dan (6) diperoleh:

(17)

Substitusikan c70 ke persamaan (6), diperoleh: b3(70)30

b240

Substitusikan b240ke persamaan (2), diperoleh: (240) 320 3 4   d

Jadi, panjang total ikan adalah 320 cm.

7. Misalnya jumlah pecahan 50 ribu = x, pecahan 20 ribu = y, maka jumlah pecahan 10 ribu = 20(x y), sehingga persoalan itu dapat dinyatakan sebagai berikut.

50x20y10



20(xy)



500 x

y30 4

Sekarang kita secara sistematis dapat menentukan kemungkinan jawaban.. Dengan mencoba mensubstitusikan nilai x ke dalam persamaan terakhir. Dari persamaan itu kita tidak dapat mensubstitusikan nilai x = 1, 2, dan 3; karena akan menghasilakn jumlah pecahan uang yang lebih dari 20.

Perhatikan daftar kemungkinan berikut ini. 50 ribu (x) 20 ribu (y) 10 ribu

4 14 2

5 10 5

6 6 8

7 2 11

Kita tidak dapat melajutkan untuk x7, karena akan diperoleh nilai y negatif. Dari 4 kemungkinan itu yang memenuhi syarat adalah empat pecahan 50 ribu, 14 pecahan 20 ribu, dan 2 pecahan 10 ribu.

b c4 40 b c3 30  c70 c70

(18)

18 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 8. Bilangan 51 = 5 menghasilkan 1 angka 0.

Bilangan 52 = 25 menghasilkan 2 angka 0. Bilangan 53 = 125 menghasilkan 3 angka 0. Bilangan 54 = 625 menghasilkan 4 angka 0. 2007 : 5 = 401

2007 : 25 = 80 2007 : 125 = 16 2007 : 625 = 3

Jadi, banyaknya angka nol yang berurutan pada bilangan hasil dari perkalian 1  2  3  …  2006  2007 adalah 401 + 80 + 16 + 3 = 500 buah.

9. Misalnya bilangan semula adalah abcde1 , maka

 Agar e3 menghasilkan angka akhir 1, maka haruslah e = 7.  Agar d3 2menghasilkan angka akhir 7, maka haruslah d = 5.  Agar c3 1menghasilkan angka akhir 5, maka haruslah c = 8.  Agar b3 2 menghasilkan angka akhir 8, maka haruslah b = 2.  Agar a3 menghasilkan angka akhir 2, maka haruslah a = 4. Jadi, bilangan-bilangan itu adalah 142857 dan 428571.

10. Persoalan ini ekuivalen dengan penjumlahan bilangan dari solusi untuk abn, dengan n berkisar antara 2 dan 9.

) 8 ( 2   b c a : {a, b}= {1, 1} ) 7 ( 3   b c a : {a, b}= {1, 2}; {2, 1} ) 6 ( 4   b c a : {a, b}= {1, 3}; {2, 2}; {3, 1} ) 5 ( 5   b c a : {a, b}= {1, 4}; {2, 3}; {3, 2}; {4, 1} ) 4 ( 6   b c a : {a, b}= {1, 5}; {2, 4}; {3, 3}; {4, 2}; {5, 1} 1 a b c d e 3 a b c d e 1 

(19)

19 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI ) 3 ( 7   b c a : {a, b}= {1, 6}; {2, 5}; {3, 4}; {4, 3}; {5, 2}; {6, 1} ) 2 ( 8   b c a : {a, b}= {1, 7}; {2, 6}; {3, 5}; {4, 4}; {5, 3}; {6, 2}; {7, 1} ) 1 ( 9   b c a : {a, b}= {1, 8}; {2, 7}; {3, 6}; {4, 5}; {5, 4}; {6, 3}; {7, 2}; {8, 1} Jadi, banyak bilangan bulat positif yang merupakan solusi dari persamaan tersebut = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

(20)

SOAL-SOAL LATIHAN 4

1. a. Aturlah angka-angka 1, 2, 3, dan 4, satu ke dalam masing-masing kotak, sedemikian sehingga hasilkalinya sebesar mungkin.

b. Aturlah angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5, satu ke dalam masing-masing kotak, sedemikian sehingga hasilkalinya sebesar mungkin.

c. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 hanya sekali ?

d. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 hanya sekali ?

e. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 hanya sekali ? f. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian

menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 hanya sekali ?

2. Nyatakan dalam hasil bagi bilangan rasional.

a. 2,005 c. 0,444… e. 31,253253… b. 19,54 d. 0,6565…

   

(21)

21 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 3. Sederhanakanlah 3 1 9 3 ... 18 6 2 9 3 1 4 2 ... 8 4 2 4 2 1                         n n n n n n

4. Carilah sisa pembagian apabila bilangan 10.327 dan 11.351 dibagi dengan bilangan yang terdiri atas tiga digit masing-masing memberikan sisa yang sama.

5. Pendapatan kotor dari penjualan produk air mineral dalam kemasan botol perusahaan “Pasti Makmur” pada suatu saat adalah Rp 1.000.000.000,00. Setelah dipelajari oleh bagian keuangan, ada hal yang menarik perhatiannya, bukannya nilai total penjualan itu, melainkan bahwa banyaknya air mineral yang terjual dan harganya tidak mengandung satu pun angka nol. Berapakah banyaknya air mineral dalam kemasan botol yang terjual ?

6. Apabila diberikan 4  7 = 63 3  5 = 34 6  4 = 52 8  9 = 145 Hitunglah 7 5 dan 12  9.

7. Bilangan 17 dapat dinyatakan sebagai bentuk jumlah beberapa bilangan positif. Misalnya 17 = 11 + 6 dan hasil kali penguraiannya adalah 11  6 = 66; 17 = 2 + 3 + 5 + 7 dan hasil kali penguraiannya adalah 2  3  5  7 = 210.

Dapatkah anda menemukan penguraian bilangan 17 yang hasil kalinya terbesar ?

8. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berkut ini.

I K A T 4

(22)

22 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 9. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Carilah bilangan itu dan hasil

baginya!

10. Dinda pergi ke sanggar senam setiap 3 hari sekali, Annisa setiap 2 hari sekali, dan Fitri setiap 5 hari sekali. Pada tanggal 24 September 2002 ketiganya datang bersama-sama. Berapakah hari lagi mereka akan bersama-sama kembali ?

(23)

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 4

1. a. 41  32 = 1312 b. 431 52 = 22.412 c. 631  542 = 342.002 d. 742  6531 = 4.846.002 e. 8.531  7.642 = 65.193.902 f. 76421  853  9. 2. a. 200 401 1000 2005 005 , 2   b. 50 977 100 1954 54 , 19    c. Strategi 1: Misalnya x0,444..., maka 10 x 4,44... x0,444... 9x = 4 9 4  x Jadi, 9 4 ... 444 , 0  . Strategi 2: 0,444… = 0,4 + 0,04 + 0,004 + … a = 0,4 dan 0,1 4 , 0 04 , 0   r 9 4 9 , 0 4 , 0 1 , 0 1 4 , 0 1      r a S 

(24)

24 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI Jadi, 9 4 ... 444 , 0  .

Catatan: 0,444… biasa ditulis juga sebagai 40 . ,

d. Strategi 1: Misalnya x0,6565..., maka 100 x 65,65... x 0,6565... 99x = 65 99 65  x Jadi, 99 65 ... 6565 , 0  . Strategi 2: 0,6565… = 0,65 + 0,0065 + 0,000065 + … a = 0,65 dan 0,01 65 , 0 0065 , 0   r 99 65 99 , 0 65 , 0 01 , 0 1 65 , 0 1      r a S Jadi, 99 65 ... 6565 , 0  .

Catatan: 0,6565… biasa ditulis juga sebagai 650, . e. Strategi 1: Misalnya x31,253253..., maka 1000 x 31253,253... x 31,253253... 999x = 31222  

(25)

25 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 999 31222  x Jadi, 999 31222 ... 253253 , 31  . Strategi 2: 31,253253… = 31 + 0,253 + 0,000253 + … a = 0,253 dan 0,001 253 , 0 000253 , 0   r 999 253 999 , 0 253 , 0 001 , 0 1 253 , 0 1      r a S Jadi, 999 31222 999 253 31 ... 253253 , 31    .

Catatan: 31,253253… biasa ditulis juga sebagai 31,253.

3. Karena k  2k  4k = 8k3 dan k  3k  9k = 27k3 untuk 1k n

3 1 9 3 ... 18 6 2 9 3 1 4 2 ... 8 4 2 4 2 1                         n n n n n n









3 1 3 3 3 3 3 3 ... 2 1 27 .... 2 1 8              n n 3 1 27 8        3 2 

4. Misalnya sisa pembagian itu adalah s, maka: Bilangan pertama:    p s k p 327 . 10 s kp   327 . 10 Bilangan kedua:    p s c p 351 . 11 s cp   351 . 11

Perbedaan antara kedua bilangan itu adalah(k  pc) 1.024.

Faktor-faktor dari 1.024 yang terdiri dari tiga digit adalah 128, 256, dan 512

merupakan pembagi dari bilangan-bilangan itu. Pada pembagian 10.327 dan 11.351 dengan 512 memberikan sisa yang sama, yaitu s = 87.

5. Pendapatan Rp 1.000.000.000,00 merupakan banyak air mineral gelas dikalikan dengan harganya per gelas.

(26)

26 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 1.000.000.000 = ₁₀9 _₂9_₅9 __512₁_.₉₅₃_.₁₂₅

Berdasarkan pemfaktoran itu dapat dikemukakan bahwa banyaknya air mineral botol adalah 1.953.125 dan harganya Rp 512,00.

6. Setelah melakukan uji coba, maka diperoleh bahwa secara umum a  b = a2 + b2 Jadi, 7  5 = 72 + 52 = 74 dan 12  9 = 122 + 92 = 225

7. Andaikan bilangan positif itu adalah ditafsirkan sebagai bilangan asli, maka penguraian dari 17 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 dan memberikan hasil kali penguraiannya yang terbesar = 35 _2_486_.

Andaikan bilangan positif itu ditafsirkan sebagai bilangan rasional, maka penguraian dari 1717₆ 17₆ 17₆ 17₆ 17₆ 17₆ dan memberikan hasil kali penguraiannya 17₆ 17₆ 17₆ 17₆ 17₆ 17₆ =

 

17₆ 6 517.

8. I harus 1 atau 2, karena IKAT  4 = TAKI, empat angka.

I tidak mungkin 1, karena IKAT  4 bersatuan genap, maka haruslah I = 2.

Kalau I = 2, maka haruslah T = 8.

4  K < 10, maka nilai K yang mungkin adalah 0, 1, atau 2. 4  A + 3 tidak mungkin bersatuan 0 atau 2, maka haruslah K = 1. Karena K = 1, maka haruslah A = 7.

Jadi, 2178  4 = 8712.

9. 72 = 8  9. Karena itu:

1. a1989 habis dibagi dengan 8, sehingga b 89 habis dibagi 8, maka haruslah b

b6.

2. a1989 habis dibagi dengan 9, sehinggab a1989ba33, maka haruslah a 3.

(27)

27 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 10. Dinda pergi ke sanggar setiap 3 hari sekali: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,

…

Annisa pergi ke sanggar setiap 2 hari sekali: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, …

Fitri pergi ke sanggar setiap 5 hari sekali: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …

Lebih sederhana dengan menentukan KPK dari 3, 2, dan 5, yaitu 3  2  5 = 30. Jadi, mereka akan bersama-sama kembali setelah 30 hari.

(28)

SOAL-SOAL LATIHAN 5

1. Pada diagram, jika AB = 17 cm, BC = 8 cm, dan AC = 15 cm, cari r.

2. Terdapat 9 persegi pada setiap permukaan kubus. Berapa banyak persegi yang dapat dicat merah jika dua persegi dengan sisi bersamaan tidak dapat keduanya dicat merah?

3. Pada diagram, ABCD adalah sebuah persegi dan AB = 18 cm, titik C dan D adalah pusat lingkaran. Hitung luas daerah yang diarsir.

C A B D F F O r r r A B D C

(29)

29 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 4. Gambar di bawah ini menunjukkan jaring-jaring kubus yang tiap ditulisi bilangan.

Sisi yang diarsir adalah alas kubus. Carilah rasio dari sisi-sisi yang berhadapan.

5. Pada diagram, AB = 24 cm adalah diameter lingkaran dan BC = 12 cm, cari luas daerah yang diarsir.

6. ABCD adalah persegi dengan sisinya 60 cm. Sisi AB bertambah 15% dan sisi AD berkurang 40 % menjadi persegi panjang AKLM. Hitunglah

a. Luas persegi ABCD. b.Luas persegi panjang

c. Berapa persentase luas yang dimiliki persegi ABCD dari persegi sebelum berkurang?) A B D C A B K M D C L 60 cm 7956 5823 2697 17469 17658 13485

(30)

30 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 7. Diketahui keliling segitiga ABC siku-siku di C adalah 24 cm. Panjang sisi-sisinya

merupakan 3 buah bilangan yang berurutan, dengan selisih antara dua bilangan yang berurtan adalah sama. Hitunglah luas segitiga itu.

8. Berapa bagian gambar yang diarsir?

9. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan persegi ABCD, dengan AB = 10 cm dan besar DCE = 60o. Cari luas BEC.

10. Gambar di bawah dibentuk dari tiga persegi yang masing-masing sisinya 8 cm, 16 cm, dan 12 cm. Cari luas daerah yang diarsir.

8 cm 16 cm 12 cm A B F D 60 C o

(31)

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 5

1. LBOC BCr 2 1 LAOC ACr 2 1 LAOB ABr 2 1 ( ) 2 1 AB AC BC r AOB L AOC L BOC L        LABCrS S ABC L r   ( ) 2 1 AB AC BC S    (8 15 17) 20 2 1     cm

Karena ABC siku-siku di C, maka: LBOC BCAC 2 1 15 8 2 1_ _  60 cm2 S BOC L r   3 20 60   cm

2. Banyak persegi yang dapat dicat merah jika dua persegi dengan sisi yang sama tidak dapat keduanya dicat merah adalah 22 buah.

3. Perhatikan segitiga CDE adalah sama sisi, maka:

A B

D C

(32)

32 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI Luas tembereng 3 2 18 18 2 1 18 π 360 60 2 o o       



54 π 81 3



cm2

Luas daerah yang diarsir = 2  luas tembereng + luas CDE





3 2 18 18 2 1 3 81 π 54 2      108π162 381 3 



108 π 81 3



cm2 4. 5823:17469 1:3 7956:31824 1:4 2697:13485 1:5

5. Titik F adalah pusat lingkaran. EF  AB. 12 24 2 1 2 1      FB AB AF cm 3 4 3 12 3    AF EF cm

Luas daerah yang diarsir  AB EF 2 1 24 4 3 2 1_ _  48 3cm2

6. a. Luas persegi ABCD = 60  60 = 3600 cm2 b. AK = 60 + 15%  60 = 69 cm

AM = 60  40%  60 = 36 cm

Luas persegi panjang AKLM = 69  36 = 2484 cm2

c. Persentase luas yang dimiliki persegi ABCD dari persegi sebelum berkurang % 100 3600 2484 % 100    = 31% A B D C E F

(33)

33 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 7. Strategi Biasa:

Keliling: abc24

ac24b ………..….(1)

Sisi-sisinya berurutan dengan beda sama: a, b, c, maka

b c a b   c a b  2 ……….(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

b b 24 2 24 3 b 8 3 : 24   b 8  b  a c16…………..…….(3) 2 2 2 _a _b c   2 2 2 _c _a b   _b2 _(_c__a)(_c__a)_………(4) Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh: _b2 _(_c__a)(2_b) c a b b b 2 1 2 : 2 _   (8) 4 2 1 _   a c c 4a……….(5) Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh: c 4a a c16 a4a16 2 a 12 a12:26 a6 c4a4610 Luas ABC = AC BC 2 1 8 6 24 2 1_ _ _  cm2. B A C b a c

(34)

34 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI Strategi Cerdas:

Jika sisi-sisi segitiga siku-siku merupakan bilangan yang berurutan dengan beda antara dua sisi yang berurutan itu sama, maka rasio sisi-sisinya adalah 3k : 4k : 5k atau 3 : 4 : 5.

Untuk soal di atas, kita mengerjakannya sebagai berikut.

k a 3 , b 4 k, dan c 5 k 24   b c a 24 5 4 3k k k  24 12 k 2  k 6 ) 2 ( 3   a , b4(2)8, dan c5(2)10 Luas ABC = a b 2 1 24 8 6 2 1_ _ _  cm2.

8. Bagian gambar yang diarsir = 4 1

.

Coba Anda mencari gagasan yang lainnya.

9. BCE = 90o  60o = 30o CBE = 90o  45o = 45o BF EF CF EF 3 BFCF BC BF EF 3 8 A B E D 60 C o 45o 30o F

(35)

35 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI BF



1 3



8 3 1 8   BF Luas BEC  BC EF 2 1 3 1 8 8 2 1     3 1 32   cm2

10. Luas daerah yang diarsir =





(8 16) 8 2 1 8 8 16 12 16 2 1_ _ _ _ _ _ _ _ _ = 224 + 64  96 = 192 cm2

(36)

SOAL-SOAL LATIHAN 6

1. Sifat menarik dari bilangan 599 adalah bila bilangan itu dibagi dengan 6, 5, 4, 3, dan 2, berturut-turut memberikan sisa 5, 4, 3, 2, dan 1. Bilangan terkecil manakah yang memiliki sifat ini ?

2. Temukanlah 3 buah bilangan yang kurang dari 10.000 yang bila dibagi dengan 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, dan 2 memberikan sisa yang satu kurangnya dari pembaginya?

3. Angka pertama dari bilangan enam-angka, N sama dengan angka yang keempat, yang kedua sama dengan yang kelima, dan yang ketiga sama dengan yang keenam. Tentukan 3 bilangan pembagi N .

4. Telitilah pola bilangan di bawah ini, kemudian tentukan nilai dari A.

5. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika _a_₃₇150_dan 100

215 

b ?

6. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika _a_₂65_dan 7

22 ₁₂₅

5  

b

7. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika a  5  7dan 8

3  

b ?

8. Cari setiap huruf pada penjumlahan berikut yang mewakili angka-angka 0 s.d 9 . 4 20 36 x 2 6 10 14 1 2 3 4 3 12 21 30 -

(37)

9. Berapa angka satuan dari 31000?

10. Perhatikan gambar di bawah ini.

Bilangan 1 sampai 12 ditempatkan sedemikian rupa sehingga jumlah dari 4 bilangan pada tiap-tiap ruas garis adalah sama. Dimana Anda meletakkan angka 7?

F O R T Y T E N T E N S I X T Y + 4 C 8 3 E 5 9 6 D 1 B A

(38)

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6

1. Kunci terhadap masalah ini adalah pemahaman bahwa suatu bilangan yang 1 lebih kecil dari suatu bilangan lain yang mempunyai 6, 5, 4, 3, dan 2 sebagai faktor memiliki sifat yang dikehendaki. Jadi, bilangan terkecil yang mempunyai sifat ini 1 kurangnya dari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 6, 5, 4, 3, dan 2.

Untuk sebarang bilangan yang berbentuk (60n – 1), dengan n adalah bilangan asli, akan mempunyai sifat itu. Jadi, bilangan yang terkecil yang mempunyai sifat, bila dibagi oleh 6, 5, 4, 3, dan 2 berturut-turut memberikan sisa yang satu kurangnya dari pembaginya adalah (60  1 – 1) = 59.

2. KPK dari 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, dan 2 adalah 2520.

Untuk sebarang bilangan yang berbentuk (2520n – 1), dengan n adalah bilangan asli, bila dibagi dengan 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, dan 2 selalu memberikan sisa yang satu kurangnya dari pembaginya. Bilangan-bilangan itu yang kurang dari 10.000 adalah 2519, 5039, dan 7559.

3. Misalnya a digit pertama, b digit kedua, dan c digit ketiga, maka

abc abc

abcabc1001 71113 .

Jadi, tiga bilangan pembagi N adalah 7, 11, dan 13.

4. Perhatikan bilangan pada tiap baris.

Polanya adalah jumlah bilangan yang diujung sama dengan jumlah bilangan yang di tengah. 36 20 4 x  52 4 56   x

Jadi, nilai x adalah 52.

5. _a_₃₇150_

 

₃₇3 50 _₅₀₆₅₃50

(39)

39 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI Jadi, bilangan yang terbesar adalah a.

6. _b__{5 }22 ₁₂₅7 __{5 }22

 

₅3 7 __{5 }22 ₅21_₅21₍₅_₁₎ __4₅21

_a_₂65 __{2 }2 ₂63__4

 

₂3 21__4₈21

Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.

7. a 5  7 _a2 _



_{5 } ₇



2 _₅_₂ ₃₅_₇ __{12 }₂ ₃₅ 8 3   b _b2 _



_{3 } ₈



2 _₃_₂ ₂₄_₈__{11 }₂ ₂₄ 2 2 _b a   a  b

Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.

8.

9. 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243, … Demikian angka satuan terulang setiap pangkat 4. Selanjutnya, 1000 = 4  250, maka kita memperoleh 31000 = (34)250 = (1)250 = 1, dengan  menunjukkan bilangan tanpa angka satuan.

Jadi, angka satuan dari 31000 adalah 1.

10. Jumlah bilangan tiap ruas garis = 3 + 8 + 6 + 9 = 26.

D = 26  (1 + 5 + 9) = 11

A + C = 26 – (8 + 4) = 14 (A dan C tidak mungkin bernilai 7)

A + B = 26 – (3 + 1) = 22 (jika B bernilai 7, maka A = 15 hal ini tidak mungkin) B + E = 26 – (4 + 5) = 17 (E = 7 dan B = 10, karena B tidak mungkin 7)

C + E = 26 – (11 + 6) = 9 (E = 7 dan C = 2, karena C tidak mungkin 7)

Jadi, nilai 7 terletak pada E 2 9 7 8 6

8 5 0 8 5 0 3 1 4 8 6 +

(40)

SOAL-SOAL LATIHAN 7

1. Sembilan angka (tidak termasuk nol) pada suatu kalkulator diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Sebuah bilangan dibentuk dari dari bilangan-bilangan ini dengan mengambil tiga angka suatu baris, kolom, atau diagonal utama diikuti dengan tiga angka yang sama yang letaknya sebaliknya. Sebagai ilustrasi 789987, 753357, dan 741147. Dari bilangan-bilangan ini, carilah faktor-faktor primanya. Apakah komentar Anda?

2. Ada lima lima eskul (ekstra kurikuler) di sekolah kami, kata rekan lain yang mengawalinya, yaitu Elektronika, Bahasa Asing, Bela Diri, Basket, dan Kesenian. Elektronika dilaksanakan setiap hari yang kedua, Bahasa Asing setiap hari yang ketiga, Bela Diri setiap hari yang ke empat, Basket setiap hari yang ke lima, dan Kesenian setiap hari yang ke enam. Lima eskul ini berlaku mulai tanggal 1 Januari, kemudian menurut jadwal itu dan lagi tidak merupakan tahun kabisat. Pertanyaannya:

a. Berapa kalikah semuanya bertemu pada hari yang sama dalam kuartal pertama (1 Januari termasuk)?

b. Ada berapa harikah ketika tak satu pun eskul bertemu dalam kuartal pertama itu?

3. Ada empat bilangan yang jumlah tiga bilangan diantaranya adalah 180, 197, 208, dan 222. Carilah bilangan-bilangan itu?

4. Bilangan yang terdiri dari 5 digit a679b (basis 10) habis dibagi 72. Dapatkah Anda menentukan nilai a dan b?

4 5 6

1 2 3

(41)

41 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 5. Sebuah bilangan terdiri atas dua angka. Bilangan itu 7 kali jumlah kedua angkanya.

Jika kedua digit tersebut dipertukarkan maka akan terbentuk bilangan yang lebih 18 dari jumlah kedua digitnya. Dapatkah Anda menentukan bilangan itu?

6. Carilah sisa pembagian dari 7 22003

.

7. Pada tahun 2000 umur Alifba sama dengan jumlah semua digit tahun kelahirannya, Dapatkah Anda menentukan umur Alifba?

8. Diberikan persamaan: a83b7cd9e. Dapatkah anda mensubstitusikan atau mengganti huruf-huruf yang diberikan itu, dengan menggunakan angka-angka yang belum digunakan dari 1 sampai 9, agar menjadi pernyataan yang benar?

9. Dapatkah Anda menemukan pembagian dan perkalian suatu bilangan, sehingga bilangan-bilangan 1 sampai dengan 9 hanya muncul sekali, baik di kedua ruas atau sebuah ruas saja?

10. Tanpa melakukan pembagian langsung, apakah bilangan 250.673.976 habis dibagi dengan 8 ?

(42)

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 7

1. 789987 31137647 753357 31137617 741147 31137607

Jadi, bilangan-bilangan yang dihasilkan memiliki faktor-faktor 3, 11, dan 37.

2. a. Pertanyaan pertama dapat diselesaikan dengan menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 2, 3, 4, 5, dan 6 = 23456= 60.

Jadi, mereka akan bertemu bersama-sama lagi pada hari yang ke-61, dengan eskul elektronika setelah selang 30 selang 2 hari, eskul Bahasa Asing setelah 20 selang 3 hari, eskul Bela Diri setelah 15 selang 4 hari, eskul Basket setelah 12 selang 5 hari, dan eskul Kesenian setelah 10 selang 6 hari. Dengan perkataan lain, mereka bersama-sama saling bertemu hanya sekali dalam 60 hari.

b. Pernyataan kedua dapat ditentukan solusinya dengan menuliskan semua bilangan dari 1 sampai 90 (karena 1 kuartal ada 90 hari) hurufnya tidak ditebalkan menunjukkan semua hari saat eskul itu ada.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

3. Misalnya bilangan-bilangan itu adalah a, b, c, dan d , sehingga jumlah tiga bilangan itu dapat dimisalkan sebagai berikut.

a + b + c = 180 a + b + d = 197 a + c + d = 208

(43)

b + c + d = 222

Jika seluruhnya dijumlahkan maka akan diperoleh 3(a + b + c + d) = 807 a + b + c + d = 269 a + b + c = 180  a + b + c + d = 269 180 + d = 269 d = 269 – 180 = 89 a + b + d = 197  a + b + c + d = 269 197 + c = 269 c = 269 – 197 = 72 a + c + d = 208 a + b + c + d = 269 208 + b = 269 b = 269 – 208 = 61 b + c + d = 222  a + b + c + d = 269 222 + a = 269 a = 269 – 222 = 47

Jadi, bilangan-bilangan itu adalah 47, 61, 72, dan 89.

4. Karena 72 adalah faktor dari 8  9, maka bentuk 79b harus habis dbagi 8, sehingga akan diperoleh nilai b = 2, dan karena a6792 habis dibagi 9 , maka a + 6 + 7 + 9 + 2 = 9 atau a + 24 = 9 atau a + 6 = 9, sehingga didapat a = 3.

Jadi, bentuk bilangan lima digit tersebut adalah 36792.

5. Misalnya bilangan itu adalah ab.

Berdasarkan informasi pertama diperoleh hubungan ab = 7 (a + b)

(44)

44 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 10a + b = 7a + 7b

a = 2b ……….…(1)

Berdasarkan informasi kedua diperoleh

ba = (a + b + 18)

10b + a = a + b + 18

b = 2 ………. ..(2)

Substitusikan nilai b = 2 ke persamaan (1), maka diperoleh a = 4. Jadi, bilangan yang diminta adalah. 42.

6. 21 : 7 sisa 2 22 : 7 sisa 4 23 : 7 sisa 1 24 : 7 sisa 2 25 : 7 sisa 4 26 : 7 sisa 1 27 : 7 sisa 2

Jika diteruskan kita akan dapatkan sisa dengan formasi 2-4-1 sehingga

 

_sisa ₄ 7 2 1 7 2 1 1 2 2 7 22003 3 667 2 667 2 _ 2     

7. Misalnya tahun kelahiran Alifba adalah abcd dan umurnya pada tahun 2000 EF, maka

2000 – EF = abcd ……….(1)

a + b + c + d = EF……….(2)

Sehingga diperoleh hubungan

d + F = 10 (karena penjumlahan suku terakhir 0)

(45)

45 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI Karena a + b + c + d tidak mungkin lebih dari 100, maka Alifba lahir pada tahun 1900-an, sehingga nilai a = 1 dan b = 9.

Sehingga persaman (2) menjadi: 10 + c + d = EF Bilangan EF minimum adalah 10, jika c = 0 dan d = 0.

Bilangan EF maksimum adalah 28, jika c = 9 dan d = 9, maka nilai E ada dua kemungkinan, yaitu 1 atau 2.

Untuk E = 1, maka c = 8 sehingga 1 + 9 + 8 + d = 1  F

18 + d = F

Maka nilai d = 1 dan F = 9.

Jadi, umur Alifba pada tahun 2000 adalah 19 tahun atau lahir pada tahun 1981.

8. 583174296 Jadi, a5, b1, c4, d 2, dan e6. 9. a. 159 48 632 . 7 _

(pada kedua ruas muncul angka 1 sampai 9 hanya sekali)

b. 149.253.67816.583.7429(pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1 sampai 9)

c. 195.287.34632.547.8916 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1 sampai 9)

d. 153.749.62851.249.8763 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1 sampai 9)

10. Bilangan-bilangan yang habis dibagi:

a. Jika suatu bilangan berakhir dengan digit genap, maka bilangan itu habis dibagi 2.

b. Jika suatu bilangan jumlah digitnya habis dibagi 3, maka bilangan itu habis dibagi 3.

(46)

46 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI c. Jika suatu bilangan dua digit terakhirnya habis dibagi 4, maka bilangan itu

habis dibagi 4.

d. Jika suatu bilangan digit akhirnya 0 atau 5, maka bilangan itu habis dibagi 5. e. Jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3, maka bilangan itu habis dibagi 6. f. Jika suatu bilangan tiga digit terakhirnya habis dibagi 8, maka bilangan itu

habis dibagi 8.

Oleh karena bilangan 250.673.976, dengan tiga digit terakhirnya 976 habis dibagi 8, yaitu 122, maka bilangan 250.673.976 pasti habis dibagi 8, yaitu 31.334.247.

(47)

SOAL-SOAL LATIHAN 8

1. Di dalam lingkaran yang berpusat di O, dengan luas 1.024 cm2, dibuat lingkaran-lingkaran sepusat (konsentris) dengan jari-jari setengah dari jari-jari lingkaran-lingkaran di luarnya. Cari luas lingkaran ke-5.

2. Pada gambar ditunjukkan sebuah benda pejal yang dibangun dari kubus-kubus dengan sisi 1 cm. Cari luas keseluruhan permukaan bangun itu.

3. Berapa banyak segitiga pada gambar ini?

4. Pada gambar, yang digambar tanpa skala, BD = DE, DBC = 40, dan ADE = 100. Carilah x.

(48)

48 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 5. Masing-masing lingkaran I, II, dan III adalah bersinggungan pada dua lingkaran

yang lainnya. Luas lingkaran-lingkaran itu masing-masing adalah 81 cm2, 256 cm2, 625 cm2. Temukan panjang keliling dari segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan pusat-pusat lingkaran ini.

6. Pada gambar di bawah, berapa banyak persegi dan persegi panjang yang ada seluruhnya?

7. Perhatikan gambar di bawah ini. AB = 64 cm, BC = 48 cm, CD = 36 cm, dan DE = 27 cm, dengan AB, BC, CD, dan DE adalah diameter dibuat setengah lingkaran. Cari panjang busur ABCDE. 

     _ 7 22 π Ambil B A C A E D 40o 100o _x I III II

(49)

49 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 8. 9 lingkaran dengan ukuran sama digambar dalam sebuah persegi seperti tampak

pada gambar. Jika jari-jari setiap lingkaran adalah 10 cm, cari luas keseluruhan daerah yang diarsir. (Ambil  = 3,14)

9. Dengan AB sebagai diameter dibuat lingkaran (P, R). Pada AB terletak titik C, sehingga AC : CB = 3 : 1 . Dengan AC dan BC sebagai diameter dibuat setengah lingkaran. Carilah rasio luas daerah yang diarsir dengan luas daerah yang tidak diarsir.

A C E D B

10 cm

(50)

50 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI Kita dapat menggunakan 6 potongan untuk menutup sebuah persegi panjang berukuran 6  3 sebagai contoh,

Dalam berapa banyak cara yang berbeda dapat menutup persegi panjang berukuran 6  3 itu?

(51)

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 8

1. L  r2 L 1 π L r r L 4 1 π 4 1 2 1 π 2 2 2          L r r L 16 1 π 16 1 4 1 π 2 2 3          L r r L 64 1 π 64 1 8 1 π 2 2 4          2 5 16 1 π        r L _π 2 256 1 r  L 256 1  1.024 2561   = 4 cm2

Jadi, luas lingkaran ke lima adalah 4 cm2.

2. Luas permukaannya = 106(11)= 60 cm2

3. Banyak segitiga pada gambar tersebut adalah 20 buah dengan perincian 12 segitiga yang kecil, 6 buah segitiga yang sedang, dan 2 buah segitiga yang besar)

4. BDC = ADE = 100o BDC = 180o  ADE = 180o 100o = 80o BCD = 180o  (CBD + BDC) = 180o (40o + 100o = 40o B A C A E D 40o 100o _x

(52)

52 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI BDC adalah segitiga sama kaki, akibatnya

CD BD.

Karena CD DE, maka CDE sama kaki. 2 180o _CDE x   o o ₅₀o 2 80 180    Jadi, _x_₅₀o 5. LI 81π LII 256π LIII 625π π 81 π 2 _ I r π 2 _256π II r π 2 _625π I r 81 2 _ I r 2 _256 II r 2 _625 III r 9  I r rII 16 rIII 25

Jadi, panjang keliling dari segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan pusat-pusat lingkaran ini rI rII rIII = 9 + 16 + 25 = 50 cm.

6.

Jadi, banyak persegi dan persegi panjang bersama-sama adalah 54 buah. Jenis Jumlah ……… 13 ………. 16 ……… 10 ……….. 4 …………. 2 ………. 4 ………... 4 ……… 1 + Jumlah total = 54

(53)

53 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 7. Panjang busur ABCDE



π( ) π( ) π( ) π( )



2 1 DE CD BC AB     (64 48 36 27) 7 22 2 1_ _ _ _  (175) 7 22 2 1   = 275 cm 8.

L = Luas persegi ABCD – 4  luas lingkaran = _AB__BC_₄___r2

= ₄₀_₄₀_₄_₃_,₁₄_₁₀2

= 1.6001.256 = 344 cm2

Jadi, luas keseluruhan dari bagian yang diarsir adalah 344 cm2.

9. AC : CB = 3 : 1 AC R d 8 3 4 3   dan CB R d 8 1 4 1  

Luas daerah diarsir 2 2 2

4 π 4 π 4 π BC AC d    10 cm A D C B

(54)

54 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 2 2 2 8 1 4 π 8 3 4 π 4 π                d d d       _ _  64 1 64 9 1 4 π_d2         64 8 1 4 π_d2         8 1 1 4 π_d2        8 7 4 π_d2 2 32 π 7 d 

Luas daerah yang tidak diarsir = luas lingkaran besar – luas daerah yang diarsir 2 2 32 π 7 4 π d d   2 32 π d 

Jadi, rasio luas daerah yang diarsir dengan luas daerah yang tidak diarsir 2 2 32 π : 32 π 7 d d  = 7 : 1 10.

(55)

SOAL-SOAL LATIHAN 9

1. Carilah hasil kali dari bilangan-bilangan berikut ini.

a. 68 43dan86 34 b. 6324dan36 42 c. 9313dan39 31

Apakah hasil kali pada setiap pasangan sama ? Berikan contoh 6 pasang bilangan lainnya!

2. Sebuah kombinasi angka yang terdiri dari tiga angka, yaitu 9, 5, dan x. Apabila angka-angka itu dibalik dan mengurangi angka semula, maka hasilnya akan memuat angka-angka yang sama tetapi dalam urutan yang berlainan. Temukan angka x? 3. a. Dengan bilangan berapa 59 harus dikalikan agar diperoleh 5959?

b. Dengan bilangan berapa 43 harus dikalikan agar diperoleh 434343?

c. Carilah empat bilangan prima yang hasilkalinya dengan sebarang bilangan berangka ab menghasilkan bilangan berangka enam ababab.

d. Selidiki pengaruh hasil kali 73  101  137 terhadap bilangan berangka dua ab.

4. Angka-angka 1 sampai 9 dapat diisikan ke dalam lingkaran-lingkaran kosong pada segitiga dalam berbagai cara, sehingga jumlahnya sepanjang sisi sama. Tetapi sekarang dapatkah anda menemukan susunan semacam itu dengan sifat selain jumlah sepanjang sisinya sama, juga jumlah kuadrat sepanjang sisinya sama?

5. Hitunglah .... 16 7 8 5 4 3 2 1_ _ _ _

2 1 ₆ ₇ ₃ 9 5 4 8

(56)

56 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI 6. Hitunglah n            ... 3 2 1 1 ... 3 2 1 1 2 1 1 1 1

, dengan n bilangan asli.

7. Carilah semua nilai n  bulat yang menyebabkan 1 43 7   n n

juga bilangan bulat.

8. Jika ₂₀₀₅3 __{x }2 _y2_{, dengan x dan y adalah bilangan asli, carilah nilai x dan y.}

9. Hitunglah nilai dari₁3 _₂3_₃3 __..._₂₀₀₆3_₂₀₀₇3

(57)

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 9

1. a. 68432924dan 86342924 b. 63241512dan 36421512 c. 93131209dan 39311209

Setiap pasangan bilangan itu memiliki faktor yang sama, maka hasil kalinya sama. Misalnya abdan cdadalah dua buah bilangan masing-masing dengan dua digit, maka abcd badc (10ab)(10cd)(10ba)(10dc) 100ac10ad10bcbd100bd10bc10adac 99ac bd99 0 a: b d:c

Jadi, enam pasangan bilangan yang memiliki sifat demikian adalah: a. 36843024dan 36483024 b. 46321472dan 64231472 c. 14821148dan 41281148 d. 1242504dan 2124504 e. 24842016dan 42482016 f. 26932418dan 62392418

2. Bilangan 95 sama artinya dengan x 9100510x.

Bilangan95 dibalik menjadi 59x x yang sama artinya dengan x1005109.

x   50 900 (100x509) 100x905 796 199 x x4 Jadi, x4. 3. a. 59  101 = 5959 b. 43  1001 = 434343

(58)

58 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI c. Faktor dari 10101 = 3 7 13 37

ab371337ababab

Jadi, empat bilangan prima yang diminta adalah 3, 7, 13, dan 37. d. Hasil kali dari 73  101  137 = 1010101

Jadi, ab73101137ab1010101abababab 4. 2 + 7 + 3 + 8 = 20 2 + 9 + 4 + 5 = 20 5 + 1 + 6 + 8 = 20 126 8 3 7 22 _ 2 _ 2 _ 2 _ 126 5 4 9 22 _ 2 _ 2 _ 2 _ 52 _12 _62 _82 _126 5. Misalnya    .... x 16 7 8 5 4 3 2 1 , maka x 2 1 .... 32 7 16 5 8 3 4 1 _ _ _ _ _ , sehingga    .... x 16 7 8 5 4 3 2 1 x 2 1 .... 32 7 16 5 8 3 4 1      x 2 1 .... 16 2 8 2 4 2 2 1_ _ _ _ _ x 2 1 .... 16 1 8 1 4 1 2 2 1        _ _ _  x 2 1 2 1 1 4 1 2 2 1 _               x 2 1 2 1 2 2 1 _        x 2 1 1 2 1_ _ x 2 1 2 3  2 5 ₁ ₆ ₈ 9 4 7 3 

(59)

59 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI x3 Jadi, .... 3 16 7 8 5 4 3 2 1 _ _ _ _ _ 6. n            ... 3 2 1 1 ... 3 2 1 1 2 1 1 1 1 ) 1 ( 2 1 1 ... 6 1 3 1 1 1       n n             ) 1 ( 1 ... 12 1 6 1 2 1 2 n n                ) 1 ( 1 ... 4 3 1 3 2 1 2 1 1 2 n n                1 1 1 ... 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 2 n n          1 1 1 2 n 1 2   n n 7. 1 43 7   n n 1 50 7    n , dengan n  bulat. Agar 1 50 7  

n bilangan bulat, maka haruslah n 1 merupakan faktor atau pembagi dari 50. Dengan demikian, semua nilai n  bulat yang diminta adalah 2, 3, 6, 11, 26, 51, 1, 4, 9, 24, dan 49.

(60)

60 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI n 1 50  n n 1 50  n 2 50 1 25 3 25 4 10 6 10 9 5 11 5 24 2 26 2 49 1 51 1 8. 2 3 3 3 3 3 ₍ ₁₎ 2 1 ) 1 ( ... 3 2 1       _        n n n n 2 3 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1       _         _n_ _n _n _n _n 2 2 3 ₍ ₁₎ 2 1 ) 1 ( 2 1       _        _  n n n n n 2 2 3 ₍₂₀₀₅ ₁₎ ₂₀₀₅ 2 1 ) 1 2005 ( 2005 2 1 2005       _ _        _ _  __{2011015 }2 _20090102 Jadi, x2011015 dan y2009010 9. ₁3 _₂3_₃3 __..._₂₀₀₆3_₂₀₀₇3 _₁3 _₂3 _₃3 __..._₂₀₀₆3 _₂₀₀₇3 _₂



₂3 _₄3 _₆3 __..._₂₀₀₆3



2 ) 1 2007 ( 2007 2 1       _ _  _₂_₂3



₁3 _₂3 _₃3 __..._₁₀₀₃3







2 2 ) 1 1003 ( 1003 2 1 16 1004 2007       _ _    _



₂₀₀₇_₁₀₀₄

 

2 _ ₂_₁₀₀₃_₁₀₀₄



2 _₁₀₀₄2



₂₀₀₇2 _₂₀₀₆2



2 _10042



2007_2006



(2007_2006)