PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1

1

PEMBAHASAN

A. Teorema Pythagoras

1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1!

Gambar 1

Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 yang panjang sisinya s satuan panjang.

Luas persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 = sisi × sisi 𝐿 = 𝑠 × 𝑠 𝐿 = s2 _{satuan luas}

Selanjutnya, perhatikan Gambar 2!

Gambar 2

Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi panjang 𝑃𝑄𝑅𝑆 yang panjangnya p dan lebar l satuan. Diagonal 𝑄𝑆 membagi persegi panjang 𝑃𝑄𝑅𝑆 menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu ∆ 𝑃𝑄𝑆 dan ∆ 𝑄𝑅𝑆. Adapun luas segitiga ∆ 𝑃𝑄𝑆 sama dengan luas ∆ 𝑄𝑅𝑆.

Luas ∆ 𝑃𝑄𝑆 = luas ∆ 𝑄𝑅𝑆 = 1

2 × luas persegi panjang 𝑃𝑄𝑆

A B C D s s s

P

P

Q

S

R

p l

▸ Baca selengkapnya: luas kipas udin adalah persegi satuan

2

Karena persegi panjang 𝑃𝑄𝑅𝑆 berukuran panjang p dan lebar l, luas

 𝑃𝑄𝑆 = 1

2 × p × l atau

Luas segitiga siku-siku = 1

2 × alas × tinggi

Luas persegi dan luas segitiga siku-siku sangat bermanfaat dalam menemukan teorema Pythagoras.

2. Menemukan teorema Pythagoras

Untuk menemukan teorema Pythagoras lakukan kegiatan berikut: Ambil sepotong kertas berbentuk persegi berukuran (b + c)cm, seperti tampak pada Gambar 3 (i).

Gambar 3 (i).

Selanjutnya, akan ditemukan hubungan antara besarnya a, b, dan

c. Gambar 3 (i) menunjukan persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 berukuran (b + c) cm. Pada keempat sudutnya buatlah empat segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya b cm dan c cm.

Dari Gambar 3 (i) tampak bahwa luas persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 sama dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat segitiga siku-siku.

luas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku = 4 ×1

2× 𝑏 × 𝑐 = 2 𝑏𝑐

dan luas yang tidak diarsir = luas persegi 𝑃𝑄𝑅𝑆 = 𝑎 × 𝑎

3

Maka luas persegi ABCD = luas daerah yang diarsir + luas yang tidak diarsir

= 2 𝑏𝑐 + 𝑎2

Lalu buatlah persegi 𝐸𝐹𝐺𝐻 berukuran (𝑏 + 𝑐) cm. Pada dua buah sudutnya buatlah empat buah segitiga siku-siku sedemikian sehingga membentuk dua persegi panjang berukuran (𝑏 × 𝑐) cm, seperti tampak pada Gambar 3 (ii).

Gambar 3 (ii)

Dari Gambar 3 (ii) tampak bahwa luas persegi 𝐸𝐹𝐺𝐻 sama dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir).

luas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku = 4 ×1

2× 𝑏 × 𝑐 = 2 𝑏𝑐

Luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi 𝐾𝑀𝐺𝑁 + luas persegi 𝑂𝐹𝑀𝐿

= (𝑏 × 𝑏) + (𝑐 × 𝑐) = 𝑏2_{+ 𝑐}2

Maka luas persegi EFGH = luas daerah yang diarsir + luas daerah yang tidak diarsir = 2 𝑏𝑐 + 𝑏2+ 𝑐2

E

O

F

M

G

L

K

N

b

c

b

c

c

b

c

b

b

2

c

2

N

H

4

Dari Gambar 3 (i) dan 3 (ii) tampak bahwa persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 kongruen dengan persegi 𝐸𝐹𝐺𝐻, sehingga ukuran persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 = ukuran persegi 𝐸𝐹𝐺𝐻.

Sehingga diperoleh:

luas persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 = luas persegi 𝐸𝐹𝐺𝐻 2𝑏𝑐 + 𝑎2 = 2𝑏𝑐 + 𝑏2 + 𝑐2

𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2

Kesimpulan di atas jika digambarkan akan tampak seperti pada Gambar 3 (iii).

Gambar 3 (iii)

Kesimpulan tersebut selanjutnya dikenal dengan teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras tersebut selanjutnya dapat dirumuskan sebagai berikut.

Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.

Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan 𝑎 panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi siku-sikunya maka berlaku 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. Gambar 4 A B C a b c a a b c c b2 2 b c c b c b a c c a a c

5

Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi: 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 atau

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

Contoh

1. Pada gambar di samping, ∆𝐴𝐵𝐶 siku-siku di titik 𝐴. Panjang 𝐴𝐵 = 4 cm dan 𝐴𝐶 = 3 cm. Hitunglah panjang BC! Jawab : 𝐵𝐶2 _{= 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2} = 42 + 32 = 16 + 9 𝐵𝐶2 = 25 𝐵𝐶 = √25 = 5 Jadi, panjang 𝐵𝐶 = 5 cm. A B C 3 4

6

2. Pada gambar di samping,

Panjang tangga 6,4 m dan jarak kaki tangga ke pangkal pohon 3,2 m.

Tentukan tinggi pohon tersebut! Jawab:

Sisi-sisi yang panjangnya 6,4 m, 3,2 m, dan h m membentuk segitiga siku-siku, dan h sebagai salah satu sisi siku-siku, maka berlaku:

ℎ2 = 6,42 − 3,22 = 40,96 − 10,24 = 30,72

ℎ = √30,72 = 5,54256 …

= 5,54 (dibulatkan sampai 2 desimal) Jadi, tinggi pohon tersebut adalah 5,54 m.

3. Pada balok 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 berikut ini, panjang 𝐴𝐵 = 8 cm, 𝐵𝐶 = 6 cm, dan 𝐶𝐺 = 15 cm. Hitunglah panjang 𝐴𝐶 dan 𝐴𝐺!

Jawab:

a. ∆𝐴𝐵𝐶 siku-siku di titik 𝐵, maka: 𝐴𝐶2 _{= 𝐴𝐵}2_{+ 𝐵𝐶}2 𝐴𝐶2 _{= 8}2_{+ 6}2 𝐴𝐶2 _{= 64 + 36} 𝐴𝐶2 = 100 𝐴𝐶 = √100 𝐴𝐶 = 10 Jadi, panjang 𝐴𝐶 = 10 cm.

3,2 m

h

6,4

m

A B C A B C D E _F G H 8 cm 6 cm 1 5 c m

7

b. ∆𝐴𝐶𝐺 siku-siku di titik 𝐶, maka: 𝐴𝐺2 = 𝐴𝐶2 + 𝐶𝐺2 𝐴𝐺2 = 102+ 152 𝐴𝐺2 = 100 + 225 𝐴𝐺2 _{= 325} 𝐴𝐺 = √325 𝐴𝐺 = √52_{× 13}

𝐴𝐺 = 5√13 (dalam bentuk sederhana) Jadi, panjang 𝐴𝐺 = 5√13 cm.

4. Sebuah kapal berlayar ke arah barat sejauh 80 km, kemudian ke utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak sekarang dari tempat semula!

Jawab: 𝑂𝑈2 = 𝑂𝐵2+ 𝐵𝑈2 𝑂𝑈2 = 802 + 602 = 6.400 + 3.600 = 10.000 𝑂𝑈 = √10.000 = 100

Jadi, jarak sekarang dari tempat semula adalah 100 km.

B. Menentukan Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisi, dan Tripel Pythagoras

1. Kebalikan Teorema Pythagoras

Dari teorema Pythagoras dapat dibuat pernyataan yang merupakan kebalikan dari teorema Pythagoras.

Teorema Pythagoras menyatakan: Dalam ∆𝑨𝑩𝑪, jika ∠𝑨

siku-siku, maka 𝒂𝟐_{= 𝒃}𝟐_{+ 𝒄}𝟐_{. Kebalikan dari teorema Pythagoras adalah:} Dalam ∆𝑨𝑩𝑪, jika 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐+ 𝒄𝟐, maka ∠𝑨 siku-siku.

Untuk selanjutnya, selidiki kebenaran dari pernyataan kebalikan teorema Pythagoras perhatikan uraian berikut.

A C

8

Perhatikan Gambar 5 (i)! Apakah ∠𝐶𝐴𝐵 siku-siku?

Gambar 5 (i).

Misalkan ∆𝐴𝐵𝐶 dengan panjang AB = c cm, BC = a cm, dan AC = b cm sehingga berlaku 𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2 ……. (i).

Selanjutnya perhatikan Gambar 5 (ii)

Gambar 5 (ii)

Pada Gambar 5 (ii), ∆𝑃𝑄𝑅 siku-siku di P dengan panjang PQ = c cm, QR = x cm, dan PR = b cm. Karena ∆𝑃𝑄𝑅 siku-siku, maka berlaku 𝑥2 _{= 𝑏}2_{+ 𝑐}2 _{……. (ii).}

Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh:

𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2 dan 𝑥2 = 𝑏2+ 𝑐2 , maka 𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2 = 𝑥2 atau 𝑎2 = 𝑥2, berarti a = x.

Jadi, ∆ 𝐴𝐵𝐶 dan ∆ 𝑃𝑄𝑅 memiliki sisi-sisi yang sama panjang. Dengan demikian, ∆ 𝑨𝑩𝑪 sama dan sebangun dengan ∆𝑷𝑸𝑹, sehingga besar ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝑅𝑃𝑄. Karena ∠𝑅𝑃𝑄 siku-siku, maka ∠𝐶𝐴𝐵 juga siku-siku. Hal ini menunjukan bahwa kebalikan teorema Pythagoras merupakan pernyataan yang benar.

P c Q b R

x

A c B b C

a

9

Dengan demikian dapat disimpulkan hal berikut ini.

2. Menentukan jenis segitiga

Berdasarkan kebalikan teorema Pythagoras, jika ketiga sisi suatu segitiga diketahui panjangnya, maka dapat diperiksa apakah segitiga itu merupakan segitiga siku-siku atau bukan.

Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip kebalikan teorema Pythagoras, juga dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau segitiga tumpul.

Perhatikan Gambar 6 (i) berikut!

Gambar 6 (i)

Pada Gambar 6 (i), ∆ 𝐴𝐵𝐶′ adalah segitiga siku-siku dan ∆ 𝐴𝐵𝐶 merupakan segitiga lancip . Diketahui bahwa AC’ = AC = b = b1, AB = c, panjang BC = a ≠ BC’ = 𝑎𝟏 yaitu 𝑎 < 𝑎1.

Pada ∆ 𝐴𝐵𝐶 dan ∆ 𝐴𝐵𝐶′, b dan c sama tetapi sisi a1 pada ∆ 𝐴𝐵𝐶′,

mengecil menjadi a di ∆ 𝐴𝐵𝐶 mengakibatkan A mengecil, sehingga segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.

Sehingga jika 𝒂𝟐 < 𝒃𝟐+ 𝒄𝟐, maka ∆𝑨𝑩𝑪 adalah segitiga lancip. Dalam ∆𝐴𝐵𝐶, apabila 𝑎 adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi di hadapan sudut B, c adalah sisi di hadapan sudut C, maka berlaku kebalikan teorema Pythagoras, yaitu:

Jika 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐+ 𝒄𝟐, maka ∆ 𝑨𝑩𝑪 siku-siku di A.

Jika 𝒃𝟐= 𝒂𝟐+ 𝒄𝟐, maka ∆ 𝑨𝑩𝑪 siku-siku di B.

Jika 𝒄𝟐 _{= 𝒂}𝟐_{+ 𝒃}𝟐_{, maka ∆ 𝑨𝑩𝑪 siku-siku di C.}

A B C’ C c

a

a

b b 1 1

10

c= 3

b=4 a = 5

Selanjutnya perhatikan Gambar 6 (ii)

Gambar 6 (ii)

Pada ∆ 𝐴𝐵𝐶′ adalah segitiga siku-siku dan ∆ 𝐴𝐵𝐶 merupakan segitiga tumpul di A .

Diketahui bahwa BC = a ≠ BC’ = 𝑎_𝟏 yaitu 𝑎 > 𝑎₁, AC’ = AC = b = b1,

AB = c.

Pada ∆ 𝐴𝐵𝐶 dan ∆ 𝐴𝐵𝐶′, b dan c sama tetapi sisi a1 pada ∆ 𝐴𝐵𝐶′

membesar menjadi a di ∆ 𝐴𝐵𝐶mengakibatkan A membesar, sehingga segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.

Sehingga jika 𝒂𝟐_{> 𝒃}𝟐_{+ 𝒄}𝟐_{, maka ∆𝑨𝑩𝑪 adalah segitiga tumpul di} A.

Contoh

1. Tujukkan bahwa segitiga yang berukuran 4 cm, 3 cm, dan 5 cm adalah segitiga siku-siku!

Jawab:

Misalkan sisi terpanjang adalah 𝑎 = 5, b = 4, c = 3

𝑎2 _{= 5}2 _{= 25}

𝑏2_{+ 𝑐}2 _{= 4}2 _{+ 3}2

= 16 + 9 = 25

Karena 𝑎2 =𝑏2 + 𝑐2, maka segitiga itu siku-siku.

2. Pada ∆ 𝐷𝐸𝐹, FG ⊥ DE, panjang DG = 10 cm, GE = 24 cm, dan FG = 15 cm.

a. Hitunglah panjang DF dan EF

A B C C’ c b

_a

a

b₁ 1

11 b. Tentukan jenis ∆ 𝐷𝐸𝐹 Jawab: a. 𝐷𝐹2 = 𝐷𝐺2+ 𝐹𝐺2 = 102+ 152 = 100 + 225 = 325 𝐷𝐹2 _{= √325} 𝐸𝐹2 = 𝐹𝐺2+ 𝐺𝐸2 = 152 + 242 = 225 + 576 = 801 𝐸𝐹2 = √801

b. Pada ∆ 𝐷𝐸𝐹, sisi terpanjang adalah DE. 𝐷𝐸2 _{= (100 + 24)}2

= 1.156

𝐷𝐹2 _{+ 𝐸𝐹}2 _{= (√325)}2_{+ (√801)}2

= 325 + 801 = 1.126

Karena 𝐷𝐸2 > 𝐷𝐹2+ 𝐸𝐹2, maka ∆ 𝐷𝐸𝐹 adalah segitiga tumpul di F.

3. Tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras)

Ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sering dinyatakan dalam 3

bilangan asli. Tiga bilangan seperti itu disebut Tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras).

Tiga bilangan a, b, c disebut tripel Pythagoras jika dan hanya jika memenuhi a2 _{+ b}2 _{= c}2_{, dengan c merupakan bilangan terbesar.}

Contohnya (3, 4 dan 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), dan sebagainya. Beberapa sifat penting mengenai bilangan pada tripel Pythagoras yaitu:

1. Jika a, b, c adalah tripel Pythagoras, maka a, b dan c adalah bilangan genap (ketiga-tiganya genap) atau

G E

F

D 10 ₂₄

12

2. Dua angka ganjil dan satu angka genap

Tripel Pythagoras tidak pernah terdiri dari bilangan yang ketiga-tiganya ganjil atau dua genap satu ganjil. Ini dikarenakan sifat pada genap dan ganjil, yaitu:

1. Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Kuadrat dari bilangan ganjil artinya perkalian antara (2𝑘 − 1) × (2𝑘 − 1). Dimana hasilnya adalah 4𝑘2− 4𝑘 + 1. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(2𝑘2− 2𝑘) + 1. Misalnya 2𝑘2− 2𝑘 = 𝑎, maka bentuk 2𝑎 + 1 adalah rumus untuk bilangan ganjil. Sehingga kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil. 2. Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap

Kuadrat dari bilangan genap artinya perkalian antara (2𝑘) × (2𝑘). Dimana hasilnya adalah 4𝑘2. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(2𝑘2). Misalnya 2𝑘2 = 𝑏, maka bentuk 2𝑏 adalah rumus untuk bilangan genap. Sehingga kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap

3. Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap

Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2𝑘) + (2𝑘), yang hasilnya adalah 4𝑘 = 2(2𝑘). Misalkan 2𝑘 = 𝑛, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2𝑛, dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

4. Bilangan ganjil ditambah bilangan genap adalah bilangan ganjil Jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap artinya penjumlahan dari (2𝑘 − 1) + (2𝑘) yang hasilnya adalah 4𝑘 − 1 = 2(2𝑘) − 1. Misalkan. 2𝑘 = 𝑎, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2𝑎 − 1. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan ganjil. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan dengan yang satu

13

adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap akan menghasilkan bilangan ganjil.

C. Perbandingan Sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku dengan Sudut Khusus

1. Sudut 300 dan 600

Perhatikan Gambar 8 di bawah ini!

Gambar 8

Segitiga 𝐴𝐵𝐶 di atas merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2x cm dan dengan 𝐶𝐴𝐷 = 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶𝐵 = 60𝑜_{, kemudian}

buatlah garis bagi 𝐶𝐷 yaitu garis yang melalui titik 𝐶 ditarik garis tegak lurus 90o dengan garis 𝐴𝐵 dan berpotongan di titik 𝐷. Garis 𝐶𝐷 merupakan garis pembagi 𝐴𝐵𝐶 yang kongruen yaitu ACD dan

𝐵𝐶𝐷. Selain itu, garis 𝐶𝐷 juga merupakan garis pembagi 𝐶 sama besar, akibatnya 𝐴𝐶𝐷 = 𝐵𝐶𝐷 = 30𝑜 dan garis 𝐴𝐷 sama dengan garis 𝐵𝐷, sehingga garis 𝐴𝐷 sama dengan setengah garis 𝐴𝐵, maka:

𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 𝐴𝐷 = 1 2 𝐴𝐵 𝐴𝐷 = 1 2 × 2𝑥 𝑐𝑚 𝐴𝐷 = 𝑥 𝑐𝑚 A _{D B} C 600 30 300 0

14

Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka panjang 𝐶𝐷: 𝐶𝐷2 = 𝐵𝐶2 – 𝐵𝐷2 𝐶𝐷 = √𝐵𝐶2_{− 𝐵𝐷}2 𝐶𝐷 = √(2𝑥)2_{− 𝑥}2 = √4𝑥2_{− 𝑥}2 = √3𝑥2 = 𝑥√3

Dengan demikian, diperoleh perbandingan: 𝐵𝐷 ∶ 𝐶𝐷 ∶ 𝐵𝐶 = 𝑥 ∶ 𝑥√3 ∶ 2𝑥

dalam perbandingan tersebut terdapat variabel x yang sama, sehingga dapat disederhanakan menjadi:

𝐵𝐷 ∶ 𝐶𝐷 ∶ 𝐵𝐶 = 1 ∶ √3 ∶ 2 Contoh:

1. Perhatikan gambar di bawah ini!

𝐴𝐵𝐶 siku-siku di 𝐴 dengan panjang 𝐵𝐶 = 6cm dan besar 𝐵 = 30𝑜. Hitunglah: a. Panjang 𝐴𝐵! b. Panjang 𝐴𝐶! Jawab: a. BC : AB = 2 : √3 6 : AB = 2 : √3

6 × √3 = AB × 2 (hasil kali suku tepi = hasil kali suku

6√3 = 2AB tengah)

AB = 6√3

15

AB = 3√3

Jadi, panjang AB = 3√3 cm b. AC : BC = 1 : 2

AC : 6 = 1 : 2

AC × 2 = 6 × 1 (hasil kali suku tepi = hasil kali suku tengah) 2AC = 6 AC = 6 2 AC = 3 Jadi, panjang AC = 3 cm 2. Sudut 450

Perhatikan Gambar 9 di bawah ini!

Gambar 9

Segitiga ABC pada Gambar 9 adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sudut B siku-siku dengan pajang AB = BC = x cm dan A = C = 450. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:

𝐴𝐶2 _{= 𝐴𝐵}2 _{+ 𝐵𝐶}2

𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2_{+ 𝐵𝐶}2

𝐴𝐶 = √𝑥2 _{+ 𝑥}2

= √2𝑥2

16

Dengan demikian, diperoleh perbandingan: AB : BC : AC = x : 𝑥 : 𝑥√2

dalam perbandingan tersebut terdapat variabel x yang sama, sehingga dapat disederhanakan menjadi:

= 1 : 1 : √2 Contoh:

1. Diketahui ABC siku-siku dengan panjang 𝐴𝐵 = 4cm dan besar ∠𝐵 = 45𝑜. Hitungah panjang BC! Jawab: BC : AB = √2 ∶ 1 BC : 4 = √2 ∶ 1 BC = 4√2 Jadi panjang BC = 4√2

2. Diketahui PQR siku-siku dengan panjang PR = 10√2cm dan besar ∠𝑃 = 45𝑜_{. Hitunglah panjang 𝑄𝑅!} Jawab: 𝑃𝑅 𝑄𝑅= √2 1 10√2 𝑄𝑅 = √2 1 √2𝑄𝑅 = 10√2 (𝑝𝑒𝑟𝑘𝑎𝑙𝑖𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔) 𝑄𝑅 = 10√2 √2 = 10 Jadi, panjang QR = 10 cm

17

D. Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku

Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku merupakan salah satu cara dalam mendeskripsikan nilai perbandngan trigonometri.



proy ektru m (r ) p_ro y ek to r (y ) proyeksi (x)

x

y

Gambar 10

Dalam segitiga siku-siku, jika r = sisi miring (hypotenuse), x = sisi alas (proyeksi), dan y = sisi tegak (proyektor) dan  sebagai sudut yang diapit oleh sisi alas dan sisi miring (lihat Gambar 10), maka definisi sinus (sin), cosinus (cos) dan tangent (tan) adalah:

Sinus sudut  = panjang sisi tegak panjang sisi miring

Cosinus sudut  = panjang sisi alas panjang sisi miring

Tangent sudut  = panjang sisi tegak panjang sisi alas

Definisi di atas dapat ditulis dalam bentuk fungsi sebagai berikut: sin  = 𝑦 𝑟 cos  = 𝑥 𝑟 tan  = 𝑦 𝑥 Contoh:

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, AB = 3 dan BC = 2. Tentukanlah panjang AC dan nilai sin A, cos A, tan C!

Keterangan:

Proyeksi : sisi siku-siku samping sudut

Proyektor : sisi siku-siku depan sudut

18

Jawab:

Menghitung panjang AC dengan teorema Pythagoras: AC2 _{= AB}2 _{+ BC}2

AC2 _{= 3}2 + ₂2

AC = √9 + 4 AC = √13

Nilai sin A, cos A, dan tan C: sin 𝐴 =𝐵𝐶

𝐴𝐶 = 2 √13=

2

13√13 (dikalikan sekawannya yaitu √13 √13) cos 𝐴 =𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 3 √13= 3

13√13 (dikalikan sekawannya yaitu √13 √13) tan 𝐶 =𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 3 2

19

DAFTAR PUSTAKA

Cholik,Sugiyono. 2005. Matematika 2A Edisi Kedua untuk SMP Kelas VIII

Semester 1. Jakarta: Erlangga

Dewi, Tri. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas VIII SMP dan

MTs 2. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

Rusgianto. 2007. Trigonometri Membangun Kekuatan Kontruksi Kognitif. Yogyakara: CV. Grafika Indah.