Tujuan Pembelajaran. Saat kuselesaikan bab ini, kuingin dapat melakukan hal-hal berikut.

Saat kuselesaikan bab ini, kuingin dapat melakukan hal-hal berikut.

• Menyelesaikan model dinamik linear orde satu dan dua secara analitis

• Menyatakan model dinamik kedalam fungsi alih (transfer function)

• Memperkirakan fitur penting dari perilaku dinamik dari dari model tanpa menyelesaikannya

Kerangka Kuliah

• Transformasi Laplace

• Penyelesaikan model dinamik linear • Struktur model fungsi alih

• Fitur kualitatif secara langsung dari model • Respon frekuensi

T A

Aku bisa memodelkan ini; apa lagi yang

aku perlukan? T

A

Aku suka pada

• elemen model secara

individual • mengkombinasi sesuai kebutuhan • menentukan fitur dinamik kunci tanpa menyelesaikan

T A

Aku suka pada

• elemen model secara

individual

• Ini akan ada sebuah

“fungsi alih”

Kini, aku bisa

menggabungkan elemen untuk memodelkan

Bahkan yang lebih

menakjubkan, aku bisa menggabungkan untuk menurunkan sebuah model yang

disederhanakan!

Kenapa Kita Perlu Pemodelan Dinamik Lagi

Kini, aku bisa

menggabungkan elemen untuk memodelkan

Bagaimana Melihat Perilaku Dinamik

Proses?

PROSES (Dinamik) Persamaan Differensial Fungsi Transformasi LAPLACE F(s) Solusi NUMERIK Pemodelan Teorema TL Eu ler RK , dll FUNGSI WAKTU f(t) Ekspansi dan TLB Input: Sinyal uji (step, ramp, dll)

M

A

T

L

A

B

Linearisasi

Transformasi Laplace



Berlaku hanya pada Persamaan

Differensial (PD) linear: merubah PD

menjadi persamaan aljabar



Dapat menggunakan teknik grafik untuk

meramal kinerja sistem tanpa

menyelesaikan PD tersebut (secara

numerik)



Kebanyakan proses adalah PD nonlinear

 linearisasi  Transformasi Laplace

(TL)

Desfinisi TL



dengan:



F(s)

: TL dari f(t)



f(t)

: fungsi waktu (ingat: proses bersifat

dinamik)



L

: simbol operasi integral Laplace

 



 



_

 

 





0

dt

e

t

f

t

f

s

F

_L

st

TL dari Sinyal-sinyal Uji

1.

Unit STEP (tangga

satuan)



0 0 0 1

)

(

t



_tt_

u

 





_

 



0

u

(

t

)

e

dt

t

u

st

L



0

1



1

1

0











 

s

e

s

st

 





s

1



t

u

L

1 0 t=0 t

TL dari Sinyal-sinyal Uji

2.

Pulsa (sebesar H dan berdurasi T)



t

t

T

T

t

H

t

f

(

)



0

₀



_

0

,

_



 







sT



st st st

e

H

e

H

dt

He

dt

e

t

f

      



















1

)

(

0 0

t

f

L

H 0 t=0 t t=T

TL dari Sinyal-sinyal Uji

3.

Impulsa  Dirac Delta function (



(t))



Ada 2 pendekatan:



Pendekatan Smith, dll.

dengan:

HT = 1 (luas)

H = 1/T

Aturan L’Hopital:

pulsa ) ( ), ( lim ) ( 0 fungsi t f t f t T   



 





(tdk

didefinisi

kan)

L

₀0 0 1 1 0

(

1

)

(

1

1

)

lim











  sT Ts T

e

t



0 t=0 t 

 









 

 





1

1

lim

1

lim

0 0











   

t

L

t

L





s

se

Ts

e

sT T dT d sT dT d T

TL dari Sinyal-sinyal Uji



Pendekatan Luyben

,

)

(

)

(

dt

t

du

t 





t T



T

e

t

u

/ 0

1

lim

)

(

 





 













_















  T t T

e

dt

d

_/ 0

1

lim

L

t

L







_

































   

1

1

lim

1

lim

lim

0 1 1 0 / 0

e

s

T

Ts

T T T T t T T 1

£

 



t





1

L



TL dari Sinyal-sinyal Uji

4.

Gelombang Sinus (amplitudo satuan dan

frekuensi )

1

,

2

sin











i

i

e

e

t

t i t i 







_

 



0

sin

sin



tt



te

st

dt

L









_



_i

_



e

 si t

dt

_



e

 si t

dt

0 ) ( 0 ) ( 2 1                   0 ) ( ) ( 2 1





  i s s i s s s i t s i t i 2 2 2 1 2 2 1 1 0 1 0     _              s i i i s i s i



sin



_{2 2}











s

t

L

1 0 t=T t











0

dt

e

t

f

s

f

t

f

L

(

(

))

(

)

(

)

st

s

C

e

s

C

dt

Ce

C

L

s s st st









     



0 0

)

(

:

Tetap

Perubahan step (Step Change) pada t=0: Tetap sama untuk t=0 sampai t=

LANGKAH PERTAMA: Transformasi Laplace











0

dt

e

t

f

s

f

t

f

L

(

(

))

(

)

(

)

st







        













0 / 0 0 / /

)

1

(

))

1

((

e

e

e

dt

e

dt

e

e

dt

L

t  t  st st t  st





 

/

s

e

/

s

dt

e

( / s)t ( / s)t 1 0 1 1 0 1

1

1















     



Kita sering melihat bagian ini! Itu adalah

respon step untuk sistem dinamik

orde satu.

Mari kita pertimbangkan aliran mampat (plug flow) melewati pipa. Aliran mampat tidak punya backmixing

Apa respon dinamik dari sifat fluida yang keluar (yakni, konsentrasi) terhadap step change pada sifat fluida yang masuk?

Mari kita pelajari respon dinamik baru

dan TL-nya

Mari kita pelajari respon dinamik baru

dan TL-nya

X_out

 = dead time



Apa harga waktu tunda (dead time)

untuk plug flow?

20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.5 0 0.5 1 time Y , o u tl e t fr o m d e a d t im e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.5 0 0.5 1 X , in le t to d e a d t im e

Mari kita pelajari respon dinamik baru

dan TL-nya

• Apa ini

dead time?

• Berapa

harganya?

Mari kita pelajari respon dinamik baru

dan TL-nya

Model dinamik untuk dead time adalah

)

t

(

X

)

t

(

X

_out



_in





Transformasi Laplace untuk variabel setelah dead time adalah

Pabrik kita punya pipa. Kita akan menggunakn

bagian ini!

Kita perlu TL dari turunan untuk menyelesaikan model dinamik. Turunan pertama: Umum:

0



















t

)

t

(

f

)

s

(

sf

dt

)

t

(

df

L

konstan











































       0 1 1 0 1 0 1 t n n t n t n n n n

dt

)

t

(

f

d

....

dt

)

t

(

df

s

)

t

(

f

s

)

s

(

f

s

dt

)

t

(

f

d

L

konstan

Aku dalam kesedihan perlu banyak contoh!

Textbook Example 3.2: CSTR (atau mixing tank) mengalamai step pada komposisi umpan dengan semua variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamiknya. F A A A A

_F(C'

_C'

₎

_VkC'

dt

dC'

V



₀





kV

F

F

K

dan

kV

F

V

dengan

' 0 ' '

















A

C

_A

KC

_A

dt

dC

Aku harap kita

mendapatkan jawaban yang

Menyelesaikan Model Menggunakan

Transformasi Laplace

A A kC r B A    F C_A0 V1 C_A1 V2 C_A2

Dua CSTR isotermal mula-mula pada keadaan tunak dan mengalami

perubahan step ke komposisi umpan tangki pertama. Rumuskan model C_A2.

2 2 1 2 2 1 1 0 1 1 A A A A A A A A

VkC'

)

C'

F(C'

dt

dC'

V

VkC'

)

C'

F(C'

dt

dC'

V













' ' ' ' ' ' 1 2 2 2 2 0 1 1 1 1 A A A A A A

C

K

C

dt

dC

C

K

C

dt

dC













Jauh lebih mudah dari pada faktor

integrasi!

Menyelesaikan Model Menggunakan

Transformasi Laplace

Textbook Example 3.5: Komposisi umpan mengalami step. Semua variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamik dari C_A.

2

kC

r

B

A







F C_A0 V C_A Non-linear!

Menyelesaikan Model Menggunakan

Transformasi Laplace

Mari kita mengatur kembali TL dari model dinamik

Y(s) X(s) G(s)

Y(s) = G(s) X(s)

FUNGSI ALIH adalah output variable, Y(s), dibagi dengan input variable, X(s), dengan semua kondisi awalnya nol.

G(s) = Y(s)/X(s)

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk

Sembarang Fungsi Input

Y(s) X(s) G(s)

G(s) = Y(s)/ X(s)

• Bagaimana kita mencapai kondisi awal nol untuk

setiap model?

• Kita tidak punya “yang utama” pada variabel;

kenapa?

• Apa ini dibatasi oleh step input?

• Bagaimana dengan model non-linear?

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk

Sembarang Fungsi Input

Y(s) X(s) G(s) G(s) = Y(s)/ X(s) Beberapa contoh:

?

)

(

)

(

)

(

:

CSTR

Dua

?

)

(

)

(

)

(

:

tank

Mixing

0 2 0









s

G

s

C

s

C

s

G

s

C

s

C

A A A A

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk

Sembarang Fungsi Input

Y(s) X(s) G(s)

G(s) = Y(s)/ X(s)

Kenapa kita melakukan ini?

• Untuk menyusahkan mahasiswa.

• Kita punya model individual yang kita dapat

kombinasikan secara model - secara aljabar.

• Kita bisa menentukan banyak informasi tentang

Aku pilih

jawaban pertama!

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk

Sembarang Fungsi Input

T

open

m

s

v

s

F

s

G

_valve

%

.

)

(

)

(

)

(



0



10

3

1

250

2

1

3 0 1









s

m

K

s

F

s

T

s

G

.

/

)

(

)

(

)

(

tank1

1

300

0

1

1 2







s

K

K

s

T

s

T

s

G

.

/

)

(

)

(

)

(

tank2

1

10

0

1

2







s

K

K

s

T

s

T

s

G

_sensor measured

/

.

)

(

)

(

)

(

(Waktu dalam detik)

Mari kita lihat bagaimana mengkombinasikan

model

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk

Sembarang Fungsi Input

DIAGRAM BLOK

G_valve(s) _G

tank2(s)

G_tank1(s) G_sensor(s)

v(s) F₀(s) T₁(s) T₂(s) T_meas(s)

Itu adalah gambar persamaan model! • Model individual bisa dipindahkan secara mudah

• Visualisasi yang berguna

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk

Sembarang Fungsi Input

Kombinasi menggunakan ALJABAR DIAGRAM BLOK G_valve(s) _G tank2(s) G_tank1(s) G_sensor(s) v(s) F₀(s) T₁(s) T₂(s) T_meas(s)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 2 0 0 1 1 2 2

s

G

s

G

s

G

s

G

s

v

s

F

s

F

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

s

G

s

v

s

T

v T T s meas meas























































G(s) v(s) T_meas(s)

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk

Sembarang Fungsi Input

Aturan kunci ALJABAR DIAGRAM BLOK

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk

Sembarang Fungsi Input

FINAL VALUE THEOREM: Evaluasi katup akhir dari output model dinamik tanpa menyelesaikan keseluruhan respon transien.

sY(s)

lim

)

(











s

t

t

Y

Contoh sistem orde satu

p A p A s t A

C

K

)

s

(

s

K

C

lim

|

)

t

(

C

0 ₀ 0

1











  



..)

(

...

)

(



















t t t t p

e

t

B

t

B

B

e

A

e

A

A

t

Y

    2 2 1 0 2 1 0 2 1

Apa dinamik dapat kita tentukan tanpa

menyelesaikan?

Kita bisa menggunakan ekspansi fungsi parsial untuk membuktikan hasil kunci berikut.

Y(s) = G(s)X(s) = [N(s)/D(s)]X(s) = C₁/(s-₁) + C₂/(s-₂) + ...

Dengan _i solusi untuk penyebut dari fungsi alih menjadi nol, D(s) = 0.

..)

(

...

)

(



















t t t t p

e

t

B

t

B

B

e

A

e

A

A

t

Y

    2 2 1 0 2 1 0 2 1

...

(

..)

)

(



















t t t t p

e

t

B

t

B

B

e

A

e

A

A

t

Y

    2 2 1 0 2 1 0 2 1

Dengan _i solusi untuk D(s) = 0, adalah polinomial.

...

)]

sin(

)

cos(

[

...

..)

(

...

)

(

























t t t t q p

e

t

C

t

C

e

t

B

t

B

B

e

A

e

A

A

t

Y

   





₂ 1 2 2 1 0 2 1 0 2 1

1. Jika semua _i adalah ???, Y(t) stabil

Jika satu saja _i adalah ???, Y(t) is tidak stabil 2. Jika semua _i adalah ???, Y(t) overdamped

(tidak berosilasi)

Jika sepasang _i adalah ???, Y(t) underdamped

Melengkapi

Pernyataan didasarkan pada persamaan.

A A kC r B A    F C_A0 V1 C_A1 V2 C_A2 ' ' ' ' ' ' 1 2 2 2 2 0 1 1 1 1 A A A A A A

C

K

C

dt

dC

C

K

C

dt

dC













1. Apa sistem ini stabil?

2. Apa sistem ini over- atau underdamped? 3. Berapa orde sistem tersebut?

(Orde = jumlah turunan antara variabel input dan

Tanpa

menyelesaikan!

RESPON FREKUENSI: Respon terhadap input sinus dari variabel output adalah hal penting yang sangat praktis. Kenapa?

Input sinus hampir tidak pernah terjadi. Meski demikian, banyak gangguan yang terjadi secara periodik dan input lain dapat diwakili dengan sebuah kombinasi sinus.

Untuk proses tanpa kendali, kita inginkan sebuah input sinus agar memiliki efek yang kecil pada output.

0 1 2 3 4 5 6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 time Y , o u tl e t fr o m s ys te m 1 output B P P’

Amplitude ratio = |Y’(t)| _max / |X’(t)| _max

Phase angle = beda fasa antara input dan output

Amplitude ratio = |Y’(t)| _max / |X’(t)| _max

Phase angle = beda fasa antara input dan output

Untuk sistem linear, kita bisa mengevaluasi secara langsung menggunakan fungsi alih! Tentukan s = j, dengan = frekuensi dan j = variabel kompleks.































))

(

Re(

))

(

Im(

tan

)

(

angle

Phase

))

(

Im(

))

(

Re(

)

(

Ratio

Amp.















j

G

j

G

j

G

j

G

j

G

j

G

AR

1 2 2

Perhitungan ini membosankan bila dilakukan dengan tangan., tapi mudah jika menggunakan bahasa pemrograman standar.

Example 4.15 Respon frekuensi dari mixing tank.

Perilaku sebagai fungsi waktu

Bode Plot - Menunjukkan

respon frekuensi untuk sebuah daerah frekuensi

• Log (AR) vs log() • Phase angle vs log()

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan

F C_A0 V1 C_A1 V2 C_A2

Gangguan sinus dengan amplitudo = 1 mol/m3 frekuensi = 0.20 rad/min  = 8.25 min., Kp = 0.448 Harus punya fluktuasi < 0.050 mol/m3 C_A2

Menggunakan persamaan untuk rasio amplitudo (AR) respon frekuensi

050

.

0

12

.

0

)

12

.

0

)(

0

.

1

(

|

|

))

25

.

8

)(

2

.

0

(

1

(

448

.

0

)

0

.

1

(

)

1

(

|

|

|

|

)

1

(

|

)

(

|

|

|

|

|

2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2





















A p A A p A A

C

K

C

C

K

j

G

C

C











Ditolak. Kita perlu

mengurangi variabilitasnya. Bagaimana dengan feedback

control?

Data dari 2 CSTR

Kita bisa menentukan model secara individual

dan kombinasi

1. Orde sistem 2. Final Value 3. Stabilitas 4. Damping

Kita bisa menentukan fitur ini tanpa menyelesaikan

keseluruhan transiennya

Fungsi alih dan diagram blok

44

Diagram Alir Metode Pemodelan

SASARAN ASUMSI: DATA:

Variable: sesuai denga n sasaran

Sistem: volume dalam mana variabel bebas dari posisi Neraca da sar : massa, energi

Cek DK

Apa mode l linea r? Ekspansi ke Deret Taylor

DK = 0 Persama an lain:

-Neraca dasar -Per samaan konstit utif DK  0

Tidak

Nya takan dala m variabel deviasi

Kelompokkan parame ters untuk evaluasi [gains (K), time-constants (), dead-times()] Ambil Transforma si Laplace

Substitusika n masukan spe sifik, mis., step, dan sele saik an output Solusi ana litik

(step)

Solusi numerik

Ana lisis mode l untuk: - kausali tas

- orde - stabi litas - damping Ya

Kom binasikan be bera pa model

Kita bisa menggunakan prosedur pemodelan standar agar kreativitas

kita terfokus!

Contoh 3.6 Tangki dengan sebuah saluran pembuangan mempunyai aliran masuk dan keluar yang kontinyu. Tangki telah mencapai keadaan tunak saat sebuah penurunan step terjadi ke aliran masuk. Tentukan level sebagai fungsi waktu.

Selesaikan model yang dilinearisasi menggunakan transformasi Laplace

Bab 4: Pemodelan dan Analisis - WORKSHOP 1

Model dinamik non-isothermal CSTR diturunkan pada Appendix C. Contoh khusus memiliki fungsi alih berikut.

Tentukan fitur dalam tabel

)

.

.

(

)

.

.

(

)

(

)

(

80

35

79

1

83

45

07

6

2











s

s

s

s

F

s

T

c T A 1. Orde sistem 2. Final Value 3. Stabilitas

F C_A0 V1 C_A1 V2 C_A2

Jawablah yang berikut menggunakan program MATLAB.

Menggunakan fungsi alih yang diturunkan pada Example 4.9, tentukan respon frekuensi untuk C_A0 C_A2. Cek satu titik pada grafik dengan perhitungan

tangan.

Kita sering mengukur tekanan proses untuk memonitor dan mengontrol.

Jelaskan tiga prinsip untuk sensor, seleksi satu untuk P1 dan jelaskan pilihanmu.

Feed Vapor product F1 F2 F3 T1 _T2 T3 T5 T4 T6 P1 L1

Banyak perbaikan, tapi kita perlu beberapa studi lagi!

• Baca textbook

• Tinjau catatannya, khususnya tujuan pembelajaran dan workshop

• Uji coba nasihat-nasihat belajar mandiri

• Alaminya, kita seharusnya punya tugas (assignment)!

• Menyelesaikan model dinamik linear orde satu dan dua secara analitis

• Menyatakan model dinamik kedalam fungsi alih (transfer function)

• Memperkirakan fitur penting dari perilaku dinamik dari dari model tanpa menyelesaikannya

Saat saya menyelesaikan bab ini, saya ingin dapat melakukan hal-hal berikut.

• Home page

- Instrumentation Notes

- Interactive Learning Module (Chapter 4) - Tutorials (Chapter 14)

• Perangkat lunak - MATLAB

• Buku ajar lain Pengendalian Proses

1. Kenapa variabel dinyatakan sebagai variabel deviasi saat kita mengembangkan fungsi alih?

2. Diskusikan beda antara reaksi orde dua dan model dinamik orde dua. 3. Untuk masukan sinus ke proses, apakah keluarannya sinus untuk

a. Pabrik linear?

b. Pabrik non-linear?

4. Apakah amplitude ratio dari sebuah pabrik selalu sama dengan atau lebih besar dari pada steady-state gain-nya?

5. Hitung respon frekuensi untuk model pada Workshop 2 menggunakan MATLAB. Diskusikan hasilnya.

6. Putuskan sebuah model yang dilinearisasi apakah yang seharusnya digunakan pada fired heater untuk

FT 1 PT 1 PIC 1 AT 1 TI 1 TI 2 TI 3 TI 4 PI 4 TI 5 TI 6 TI 7 TI 9 TI 10 PI 5

a. Kenaikan 3% pada laju alir bahan bakar.

b. Perubahan 2% pada laju alir bahan bakar.

c. Start up dari suhu lingkungan.

d. Penghentian darurat aliran

feed