RANCANGAN SOFTWARE UNTUK DESAIN KRISTAL FOTONIK SATU DIMENSI BERBASIS GRAPHICAL USER INTERFACE DICKY ARDIYANTO WIBOWO

RANCANGAN SOFTWARE UNTUK DESAIN KRISTAL FOTONIK

SATU DIMENSI BERBASIS GRAPHICAL USER INTERFACE

DICKY ARDIYANTO WIBOWO

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ABSTRAK

Dicky Ardiyanto Wibowo. Rancangan Software untuk Desain Kristal Fotonik Satu Dimensi

Berbasis Graphical User Interface. Dibimbing oleh Dr.Husin Alatas dan Hendradi Hardhienata, M.Si.

Kebutuhan akan piranti lunak atau software saat ini sangat dibutuhkan, begitu pula dalam

sistem optik kristal fotonik. Metode pembuatan software dengan berbasis GUI banyak pilihan

hanya saja ada yang rumit dan ada yang sederhana. Pembuatan GUI pada penelitian menggunakan matlab 7.5.0 karena dari segi penggunaannya yang sederhana dimana matlab adalah jenis bahasa C yang telah dipermudah konsepnya serta menghasilkan tampilan grafik yang memiliki resolusi yang cukup baik. Melalui fasilitas GUI pada matlab 7.5.0 kita dapat membuat dan menggunakan sebuah tampilan interface yang user friendly. Software ini adalah suatu interface yang di dalamnya

terdapat kasus-kasus kristal fotonik yang periodik. Interface satu layer tanpa defek sampai lima layer tanpa defek dibuat periodik dengan arti tiap satu lapisan periodik terdapat satu sampai lima layer, dan itu berulang sampai banyaknya lapisan periodik dan menghasilkan output yang hampir sama dengan program manual. Setiap penambahan N maka akan terjadi penambahan nilai band gap dan ripple lalu dengan penambahan indeks bias secara bersamaan akan menghasilkan nilai

transmitansi yang mendekati nol. Program interface kristal fotonik dengan defek geometris (simetrik/asimetrik) dan defek indeks bias (simetrik/asimetrik) dibuat agak berbeda dengan program manual agar interface dapat memanggil output grafik dengan input defek yang diinginkan dengan asumsi ada beberapa elemen yang dibuat tetap diantaranya m, d2, d3, dan jumlah lapisan

matriks bragg tetapi output yang dihasilkan masih sama dengan output program manual. Variasi yang dibuat adalah n0, p0, indeks bias bahan, indek bias defek, lebar defek, jumlah lapisan periodik yang akan mempengaruhi posisi dan nilai band pass.

SOFTWARE DESAIN KRISTAL FOTONIK SATU DIMENSI

BERBASIS GRAPHICAL USER INTERFACE

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

DICKY ARDIYANTO WIBOWO

G74103040

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul : Rancangan Software untuk Desain Kristal Fotonik Satu Dimensi Berbasis Graphical User

Interface Nama : Dicky Ardiyanto Wibowo NIM : G74103040

Menyetujui :

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Husin Alatas Hendradi Hardhienata, M.Si

NIP. 132206234 NIP. 198301142008121001

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. drh.Hasim, DEA

NIP. 196103281986011002

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta, pada tanggal 20 Januari 1985 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, pasangan Triyanto dan Niniek Pratiwi Hendrawati. Penulis menyelesaikan studinya di SMU Negeri 5 Bogor pada tahun 2003 dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam untuk mahasiswa angkatan 2003.

Selama duduk di bangku kuliah, penulis aktif dalam berbagai kegiatan (kepanitiaan) dan organisasi intra kampus seperti menjadi sekretaris administrasi DPM-TPB tahun 2003-2004, sekretaris umum BEM FMIPA tahun 2004-2005, ketua DPM FMIPA tahun 2005-2006, dan anggota komisi DPM KM tahun 2006-2007 dan Wasekjen MPM KM IPB tahun 2006-2007. Penulis juga aktif mengajar private di kota Bogor, menjadi staff pengajar Mathmaster dan Bogor

Studi Gemilang. Saat ini menjadi pengajar pada bimbingan belajar Bintang Pelajar kota Bogor sebagai guru Fisika SMA.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Software

Desain Kristal Fotonik Satu Dimensi”, yang dilakukan dalam rangka tugas akhir guna mengambil gelar Sarjana Sains pada Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta para sahabat, keluarga dan ummatnya hingga akhir zaman.

Kesempatan ini penulis gunakan untuk mengucapkan banyak terima kasih dan memberikan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada bapak Husin Alatas dan Hendradi Hardhienata atas segala bimbingan dan motivasinya yang diberikan kepada penulis untuk segera menyelesaikan penelitian ini. Kepada kedua orang tua tercinta yang telah memberikan semangat dan batasan waktu sehingga penulis mempunyai deadline dalam melaksanakan penelitian ini, adik tersayang (Dian Anditasari), serta seluruh keluarga penulis di manapun berada. Seluruh staff dan dosen

Fisika khususnya dan IPB pada umumnya. Kepada teman-teman Fisika 40 yang selalu memberikan dukungan baik materiil maupun moril, untuk anak-anak S2 Biofisika, Arrojaa SMAN 5 Bogor, DPRa PKS Curug Mekar dan JPRMI Bogor yang menjadi pemacu semangat penulis untuk tetap eksis dalam menjalankan penelitian ini. Untuk Ita Nurmalasari yang menjadi penyemangat dalam keseharian penulis, meskipun kadang semangat yang diberikannya pedas menusuk hati. Untuk yang terakhir tak lupa untuk Siti Aminah yang selalu mendampingi setiap gerak langkah penulis dan menjadi motivasi untuk secepatnya menyelesaikan skripsi ini. Juga untuk seluruh pihak yang telah membantu dan ikut serta dalam menyelesaikan skripsi ini yang tak mungkin penulis sebutkan satu per satu

Penulis sangat membutuhkan segala macam saran dan kritik dari pembaca. Semoga apa yang disampaikan oleh penulis akan sangat bermanfaat bagi kita semua.

Bogor, Mei 2009

Dicky Ardiyanto Wibowo

DAFTAR ISI

halaman

DAFTAR ISI... vii

DAFTAR GAMBAR ...viii

DAFTAR LAMPIRAN... ix PENDAHULUAN ...1 Latar Belakang ...1 Tujuan Penelitian ...1 TINJAUAN PUSTAKA ...2 Persamaan-Persamaan Maxwell...2

Persamaan Gelombang Datar Monokromatik ...2

Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Datar...4

Kristal Foronik Sempurna Satu Dimensi, Kondisi Bragg dan Matriks Transfer Unit Sel Bragg ...5

Refleksi dan Transmitansi Gelombang TE...8

Kasus-Kasus Khusus ... 10

Propagasi Gelombang dalam Struktur Periodik ... 10

Kondisi Quarter-Wave Stack... 11

Struktur Defek Geometris... 12

Transmitansi Gelombang TE dalam Kristal Fotonik... 13

Matlab ... 14

Lingkup Matlab ... 15

M File Editor ... 15

Matlab GUI (Graphical User Interface) ... 15

BAHAN DAN METODE ...16

Tempat dan Waktu Penelitian ...16

Bahan dan Alat...16

Metode Penelitian ...17

Studi Pustaka...17

Pembuatan Program ...17

Pembuatan Interface dengan GUI ...17

Analisis Output ...18

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN...18

Interface Kristal Fotonik Satu Layer Periodik tanpa Defek ...18

Interface Kristal Fotonik Dua Layer Periodik tanpa Defek ...20

Interface Kristal Fotonik Tiga Layer Periodik tanpa Defek...22

Interface Kristal Fotonik 1 Dimensi Sederhana dengan Defek Geometris Simetrik ...24

Interface Kristal Fotonik 1 Dimensi Sederhana dengan Defek Indeks Bias Simetrik...27

Pola Transmitansi Satu Layer ...28

Pola Transmitansi Kristal Fotonik dengan Defek ...29

KESIMPULAN DAN SARAN...29

Kesimpulan ...29

Saran ...30

DAFTAR PUSTAKA ...30

DAFTAR GAMBAR

halaman

Gambar 1. Gelombang Elektromagnetik (EM) ...2

Gambar 2. Pemantulan dan pembiasan gelombang datar ...4

Gambar 3. Pemantulan pada hukum Bragg ...4

Gambar 4. Hubungan

Δ

n

dengan

Δ

ω

...5

Gambar 5. Variasi sudut datang terhadap reflektansi...5

Gambar 6. Mekanisme terjadinya PBG dalam kristal fotonik 1-dimensi. ...6

Gambar 7. Interferensi destruktif ...6

Gambar 8. Skema dari kristal fotonik sempurna satu dimensi paling sederhana yang tersusun dari dua bahan dielektrik dengan indeks refraksi (nH - nL) dan ketebalan orde mikrometer (dH - dL). ...6

Gambar 9. Kondisi Bragg pada kisi-kisi kristal...6

Gambar 10. Pemantulan dan pembiasan pada gelombang TE...9

Gambar 11. Gelombang EM yang menuju kristal fotonik pada kasus TE ...10

Gambar 12. Struktur Periodik ...11

Gambar 13. Selang frekuensi band gap pada kurva transmitansi...11

Gambar 14. Kondisi quarter-wave-stack pada kristal...12

Gambar 15. Fenomena band pass pada kurva transmitansi...12

Gambar 16. Kurva transmitansi terhadap frekuensi (PBG) untuk struktur quarter wave reflector...13

Gambar 17. Dua profil PBG pada harmonik pertama (m=1)dan ketiga (m=3) untuk struktur quarter wave reflector...14

Gambar 18. Struktur kristal fotonik satu dimensi yang tersusun atas dua cermin Bragg (DBR) dengan 30 unit sel di masing-masing sisi kiri dan kanan lapisan cacat ...14

Gambar 19. Bandpass (defect state) dalam PBG untuk tiga ketebalan cacat dC berbeda...14

Gambar 20. Tampilan utama Matlab...15

Gambar 21. Tampilan layout M File ...15

Gambar 22. Layout editor dari GUIDE...16

Gambar 23. Layout Editor tampilan menu utama ...17

Gambar 24. Tampilan interface kasus kristal fotonik satu layer periodik...18

Gambar 25. Tampilan output ketika menekan tombol ”One Layer” pada menu utama ...18

Gambar 26. Struktur kristal fotonik 1D sederhana satu layer tanpa defek ...18

Gambar 27. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T untuk sistem kristal satu layer untuk jumlah lapisan periodik (N) 1, 2, 3 ...19

Gambar 28. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T untuk sistem kristal satu layer dengan jumlah lapisan N=1. ...19

Gambar 29. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T untuk sistem kristal satu layer periodik untuk indeks bias ...20

Gambar 30. Struktur kristal fotonik satu dimensi dengan dua layer periodik ...20

Gambar 31. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T pada sistem kristal dua layer periodik untuk jumlah lapisan periodik (N) 2 dan 3 ...21

Gambar 32. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T pada sistem kristal dua layer periodik Untuk variasi indeks bias layer pertama (n1) 1.1, 1.3, 1.5 ...21

Gambar 33. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T pada sistem kristal dua layer periodik untuk n1=n2...21

Gambar 34. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T pada sistem kristal dua layer periodik untuk variasi nilai indeks bias kedua 2.5, 2.8, 3 ...22

Gambar 35. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T pada sistem kristal dua layer periodik untuk variasi nilai n2 mulai dari 3.5 sampai 5.5...22

Gambar 36.

K

urva hubungan ω/ω0 terhadap T pada sistem kristal tiga layer periodik untuk variasi N ...23

Gambar 37. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T pada sistem kristal tiga layer periodik untuk variasi indeks bias...23

Gambar 38. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T pada sistem kristal tiga layer periodik untuk variasi lebar layer ...24

Gambar 39. Kurva hubungan ω/ω0 terhadap T pada sistem kristal

tiga layer periodik untuk variasi lebar layer d1

,

d2, d3

...

24

Gambar 40. Struktur kristal fotonik 1D sederhana dengan satu defek geometris simetrik...25 Gambar 41. Kurva transmitansi 1D finite dengan satu defek geometris simetrik

untuk variasi lebar defek (d3)...25

Gambar 42. Kurva transmitansi 1D finite dengan defek geometris simetrik

untuk variasi banyak defek ...26 Gambar 43. Kurva transmitansi 1D finite dengan satu defek geometris simetrik

untuk variasi lebar layer d1 dan d2...26

Gambar 44. Kurva transmitansi 1D finite dengan defek geometris simetrik

untuk variasi sudut datang 00_{, 30}0_{, 45}0_{, 60}0_...26

Gambar 45. Kurva transmitansi 1D finite dengan defek geometris simetrik

untuk variasi indeks bias medium background (n0) 1, 2.78, 3.61 ...26

Gambar 46. Kurva transmitansi 1D finite dengan defek geometris simetrik

untuk variasi indeks bias medium background n0 dan sudut datang p0...27

Gambar 47. Struktur kristal fotonik satu dimensi dengan satu defek indeks bias simetrik ...27 Gambar 48. Kurva transmitansi yang di plot terhadap frekuensi ternormalisasi

dengan defek indeks bias simetrik untuk variasi sudut datang 00_{, 30}0_{, 45}0_...27

Gambar 49. Kurva transmitansi yang di plot terhadap frekuensi ternormalisasi dengan defek indeks bias simetrik untuk variasi indeks bias

medium background 1, 1.33 , 1.6 ...28 Gambar 49. Kurva transmitansi yang di plot terhadap frekuensi ternormalisasi dengan defek indeks

DAFTAR LAMPIRAN

halaman

Lampiran 1. Pengaturan Properti Komponen Figure Menu Utama ...33

Lampiran 2. Pengaturan Properti Komponen Figure Satu Layer Periodik ...34

Lampiran 3. Pengaturan Properti Komponen Figure Dua Layer Periodik ...35

Lampiran 4. Pengaturan Properti Komponen Figure Tiga Layer Periodik...36

Lampiran 5. Pengaturan Properti Komponen Figure Empat Layer Periodik...37

Lampiran 6. Pengaturan Properti Komponen Figure Lima Layer Periodik...38

Lampiran 7. Pengaturan Properti Komponen Figure Defek Geometris Simetrik...39

Lampiran 8. Pengaturan Properti Komponen Figure Defek Indeks Bias Simetrik...40

Lampiran 9. Pengaturan Properti Komponen Figure Defek Geometris Asimetrik...41

Lampiran 10. Pengaturan Properti Komponen Figure Defek Indeks Bias Asimetrik...42

Lampiran 11. Sintaks bahasa pemrograman interface menu utama ...44

Lampiran 12. Sintaks bahasa pemrograman interface satu layer periodik ...47

Lampiran 13. Sintaks bahasa pemrograman interface dua layer periodik ...52

Lampiran 14. Sintaks bahasa pemrograman interface defek geometris simetrik...59

Lampiran 15. Sintaks bahasa pemrograman interface defek indeks bias simetrik ...64

Lampiran 16. Sintaks bahasa pemrograman interface defek geometris asimetrik...70

Lampiran 17. Sintaks bahasa pemrograman interface defek indeks bias asimetrik...78

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Perambatan radiasi elektromagnetik dalam kristal fotonik menarik untuk dipelajari dan memiliki banyak kegunaan dalam kehidupan. Beberapa kegunaan mencakup difraksi sinar-X dalam kristal dan kemunculan pita “terlarang” dari cahaya dalam medium lapisan periodik. Fenomena ini telah dimanfaatkan dalam berbagai perangkat optik seperti laser distribusi reflektor Bragg, cermin Bragg reflektansi tinggi, filter akusto-optik, filter Solc, dan lain-lain

.

. Medium periodik biasa disebut dengan istilah “Photonic Crystal” yang dapat diartikan bahwa “Crystal” berasal dari periodisitas bahan dielektrik dalam struktur dan “Photonic” berarti bahwa foton bekerja pada struktur. Photonic Crystal dapat memanipulasi foton dengan banyak cara yang menakjubkan. Aplikasinya banyak diberbagai bidang, seperti: reflektor, laser, dan telekomunikasi optik. Disamping itu, emisi cahaya dapat dpercepat atau diperlambat dengan menggunakan fotonik kristal sehingga dapat mengefisienkan sumber cahaya tiruan seperti pada LASER dan LEDs pada sel surya.

Para peneliti dari University of Twente dan University of Utrecht di Belanda mendemonstrasikan untuk pertama kalinya bahwa emisi cahaya dapat dimanipulasi. Hal ini diperoleh dengan cara menempatkan atom tiruan di dalam fotonik kristal. Dalam eksperimen, atom tiruan ini dirangsang untuk mengisi level energi tereksitasinya dengan menggunakan pulsa laser yang pendek. Biasanya, atom tiruan ini akan kembali ke level energi terendahnya dalam waktu hidup tertentu. Akan tetapi, karena atom tiruan ini berada di dalam fotonik kristal, waktu dari pancaran emisi cahayanya dapat diatur untuk dipercepat atau malah diperlambat (Irman.A, 2004 ).

Contoh paling sederhana dari PC adalah one dimension photonic crystal (PC

1D atau grating) yang digunakan untuk

memanipulasi foton. Salah satu contohnya berupa PC reflector yang fenomena fisisnya

terletak pada interaksi lemah dari cahaya dengan bahan periodik (Yonan 2005). Dengan menggunakan suatu defect (defek

atau cacat), cahaya dapat dipandu dengan pembelokan yang tajam dan lebih hebatnya lagi tidak dapat diloloskan dari kristal

dengan menggunakan microcavity. Beberapa

fenomenanya mencakup difraksi sinar-X dan kemunculan pita terlarang pada susunan periodik yang dimanfaatkan dalam berbagai peralatan seperti kisi, hologram, laser elektron bebas, reflektor dan cermin Bragg reflektansi tinggi, electro-optic modulation, filter akusto-optik dan filter Solc (Hardhienata 2005).

Telah dibuktikan bahwa propagasi gelombang EM pada kasus normal incident

menghasilkan band gap untuk struktur

kristal non-defek dan menghasilkan band pass untuk struktur kristal dengan diberi

defek. Pengaruh band gap pada propagasi

gelombang EM sama seperti pengaruh potensial periodik terhadap pergerakan elektron pada semikonduktor. Untuk kasus

omnidirectional, posisi relatif dari band gap

adalah bergeser kearah frekuesi yang lebih besar (Chirgin.D.N, 1999).

Gelombang elektromagnetik datar yang kontinu dilewatkan pada suatu sistem medium berlapis dengan konfigurasi indeks refraksi dan ketebalan tertentu akan menghasilkan gelombang refleksi dan gelombang refraksi. Dengan menggunakan syarat kontinuitas, hukum Snellius, dan hukum Fresnel akan didapatkan matriks dinamik dan matriks propagasi yang menggambarkan propagasi gelombang pantul dan gelombang transmitansi dalam kristal .

Tujuan Penelitian

Penelitian ini akan membahas mengenai perambatan gelombang EM monokromatik pada PC 1D dengan membuat suatu sistem piranti lunak yang dirancang berbasis Graphic User Interface

melalui software MATLAB 7. kasus yang akan diangkat yaitu tentang transmitansi gelombang EM pada model PC yang multilayer periodik dimana model kristal fotonik berupa lapisan-lapisan yang periodik dalam kasus ini satu lapis terdiri dari beberapa layer yang dimasukkan sebagai

input, dimana dalam software ini terdapat input yang diinginkan meliputi besar indeks

bias bahan, lebar layer, dan banyaknya lapisan yang terdiri dari beberapa layer dengan output berupa grafik.

TINJAUAN PUSTAKA

Persamaan-Persamaan Maxwell

Radiasi gelombang EM dideskripsikan

oleh vektor medan listrik dan medan magnetik. Propagasi dari kedua vektor medan tersebut ditentukan oleh persamaan Maxwell. Sejajar dengan Hukum Newton sebagai landasan hukum mekanika klasik, maka persamaan Maxwell merupakan perumusan hukum-hukum alam yang melandasi semua fenomena elektromagnetik. Dalam papernya “A Dynamic Theory Of Electromagnetic Field” Maxwell mengungkapkan 4 persamaaan yang mendasari semua gejala makroskopik listrik dan magnet (Tjia.M.O, 1994), yakni:

0,

t

∂

∇× +

=

∂

B

E

( 1 )

J

D

H

=

∂

∂

−

×

∇

t

( 2 )

ρ

=

∇

.

D

( 3 )

0

.

=

∇

B

( 4 )

Dimana E dan H adalah vektor medan

makroskopik listrik dan mgnet, D dan B

adalah medan perpindahan listrik dan induksi magnet yang muncul sebagai respon bahan terhadap medan,

ρ

dan J adalah

rapat muatan listrik bebas dan rapat arus listrik bebas.

Gambar 1. Gelombang Elektromagnetik (EM) (Encarta Encyclopdia, 2002)

Keempat persamaan ini merupakan hukum dasar dari kelistrikan dan kemagnetan dalam bentuk diferensialnya.

Persamaan (2.1) merupakan bentuk

diferensial dari hukum Faraday tentang induksi, yang menggambarkan pembentukan medan listrik induksi akibat perubahan fluks magnet terhadap waktu. Persamaan (2.2) merupakan bentuk diferensial dari hukum Ampere yang diperumum dan menggambarkan timbulnya medan magnet induksi akibat adanya muatan listrik yang mengalir pada suatu penghantar. Persamaan (2.3) merupakan bentuk diferensial dari hukum Coulomb, yang menyatakan hubungan antara distribusi medan listrik yang ditimbulkan oleh suatu distribusi muatan. Persamaan (2.4) timbul sebagai akibat dari belum ditemukannya monopol magnet di alam semesta ini.

Persamaan Maxwell ini tidak dapat dicari solusi khususnya apabila tak ada hubungan lain yang mengaitkan lima vektor tersebut. Hubungan tersebut adalah respon bahan terhadap medan gangguan luar (D

dengan E, B dengan H ) yang dikenal

sebagai persamaan konstitutif:

o

ε

ε

=

=

+

D

E

E

P

( 5 ) O

μ

μ

=

=

+

B

H

H

M

( 6 )

dimana ε dan μ merupakan besaran tensor dan dikenal sebagai permitivitas listrik dan permeabilitas magnetik. P dan M adalah

polarisasi listrik dan magnetik. Berdasarkan fakta, P dan M berasal dari tingkat atomik (mikroskopik), yaitu ketika medan listrik dan medan magnetik diberikan pada bahan; medan listrik akan “mengganggu” gerakan elektron dan menghasilkan polarisasi momen dipole listrik persatuan volume (=P), sedangkan medan magnet akan “mengganggu” arah spin elektron dan menghasilkan polarisasi magnetik persatuan volume (= M) (Yonan,2005). Secara umum, P dan M mempunyai hubungan yang non-linier dengan E dan H melalui hubungan :

P =

ε

₀

χ

E

+

εχ

(1)

E

2

+

εχ

(2)

E

3

+

....

( 7 )

Persamaan Gelombang Datar Monokromatik

Persamaaan gelombang datar monokromatik untuk TE merupakan salah satu solusi persamaan Maxwell yang bisa didapatkan

dengan mensubstitusi persamaan konstitutif ke dalam empat persamaan Maxwell.

Gunakan hubungan konstitutif (6) untuk B pada persamaan (1), kemudian bagi

E

ke dua sisi dengan

μ

dan aplikasikan operator curl, sehingga didapat:

0

1

_∇

_×

₌

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

_×

×

∇

E

H

t

μ

( 8 )

Differensiasikan persamaan (2) terhadap waktu, kemudian gunakan persamaan (5) dan gabungkan dengan persamaan (8), maka didapatkan:

0

1

2 2 0 2 2

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

_∇

_×

×

∇

t

t

t

J

P

E

E

ε

μ

( 9 )

Gunakan identitas vektor:

(

)

1

1

1

(

)

μ

μ

μ

⎛

⎞

⎛

⎞

∇×

_⎜

∇× = ∇× ∇× + ∇

_⎟

_⎜

_⎟

× ∇×

⎝

E

⎠

E

⎝

⎠

E

Dan

(

∇

×

E

)

=

∇

( )

∇

.

E

−

∇

2

E

×

∇

Maka persamaan diatas menjadi:

2 2 2 0 2 2

( ln ) (

)

( . ) 0

t

t

t

με

μ

μ

μ

∂

∂

∂

∇ −

−

−

+

∂

∂

∂

∇

× ∇ ×

− ∇ ∇

=

J

E

E

P

E

E

( 10 ) Dengan mensubstitusi untuk D dari

persamaan (5) ke persamaan (3):

(

ε

+

)

=

ε

∇

+

∇

=

ρ

∇

.

₀

E

P

₀

.

E

.

P

)

.

(

1

.

0 0

P

E

=

−

∇

∇

ε

ε

ρ

( 11 ) Dan mensbstitusikan pada persamaan (10) akan diperoleh: 2 2 2 0 2 2 0 0

1

ln

(

)

( . ) 0

t

t

t

με

μ

μ

ρ

μ

ε

ε

∂

∂

∂

∇ −

−

−

+

∂

∂

∂

∇

× ∇ ×

− ∇

−

∇ ∇

=

J

E

E

P

E

P

( 12 ) Seperti yang terlihat pada persamaan terakhir bahwa solusi persamaan tersebut sangatlah rumit, maka untuk menyelesaikannya digunakan beberapa asumsi-asumsi sbb :

1. Pada bahan tidak terdapat rapat muatan statis (

ρ

= 0) maupun dinamis (J = 0).

Jika melihat persamaan diatas, maka :

0

t

μ

∂

−

=

∂

J

dan

0

0

=

∇

−

ε

ρ

. Ini berarti bahwa medan EM dapat ada meskipun tanpa ada muatan dan arus. 2. Bahan bersifat isotropis homogen,

sehingga tensor μ dan ε akan berubah menjadi skalar tetap. Jika melihat persamaan diatas maka

0

)

(

ln

×

∇

×

=

∇

μ

E

3. Kuat medan yang diberikan harus

berada pada daerah linier sehingga efek non-liniernya dapat diabaikan.

0

ε χ

=

P

E

dan 0

1

( . ) 0

ε

−

∇ ∇

P

=

Dengan memasukkan asumsi-asumsi diatas persamaan menjadi: 2 2 2 0 2 2

0

t

t

με

∂

μ

∂

∇ −

−

=

∂

∂

E

P

E

2 2 2 0 2 2

(

0

) 0

t

t

με

∂

μ

∂

ε χ

∇ −

−

=

∂

∂

E

E

E

2 2 0 2

(1

) 0

t

με

∂

χ

∇ −

+

=

∂

E

E

2 2 2

0

t

εμ

∂

∇ −

=

∂

E

E

( 13 )

Persamaan terakhir merupakan persamaan gelombang EM standar yang mempunyai banyak solusi dan salah satu solusi yang dipakai adalah gelombang datar harmonis monokromatik (lihat lampiran c):

) . ( 0

)

,

(

i t

e

t

r

=

E

kr−ω

E

( 14 )

Sebutan datar berkaitan dengan muka

gelombang yang berbentuk bidang datar tegak lurus padah arah vektor perambatan k

dan dinyatakan oleh :

.

=

k r

konstan

0

E

dan

H

₀ adalah vektor amplitude. Frekuensi sudut

ω

dan vektor gelombang k

dihubungkan oleh:

με

ω

=

k

( 15 )

Gelombang pada persamaan (14) merupakan gelombang transversal. Ini dapat dibuktikan dengan mensubstitusikan pers. (14) ke dalam persamaan Maxwell

0

.

=

∇

D

dan

∇

.

B

=

0

untuk

masing-masing medan sehingga diperoleh hubungan

E

k

E

k

.

=

0

→

⊥

dan

H

k

H

k

.

=

0

→

⊥

(Yonan.W, 2005).

Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Datar

Gambar 2. Pemantulan dan pembiasan gelombang datar

Gelombang yang tiba pada bidang batas, pada umumnya akan terbagi menjadi dua gelombang, yakni gelombang bias yang terus bergerak ke dalam medium dua dan gelombang pantul yang berberak kembali ke dalam medium 1. Gelombang datang, gelombang pantul, dan gelombang bias masing-masing dapat diungkapkan oleh gelombang datar berikut ini :

( .i )

_,

( r. )

_,

( .t ) i t i t i t i

e

r

e

t

e

ω ω ω − − − k r k r k r

E

E

E

Pada gambar diatas, syarat kontinuitas akan berlaku setiap saat, dan pada setiap titik dipermukaan batas. Ini berarti dipenuhinya secara terpisah hubungan-hubungan:

1.

ω

_i

t

=

ω

_r

t

=

ω

_e

t

, untuk setiap waktu t sehingga:

ω

_i

=

ω

_r

=

ω

_e

2.

k

_i

.

r

=

k

_r

.

r

=

k

_t

.

r

Kondisi batas pada z = 0 yang memenuhi semua titik pada bidang pada setiap waktu mengimplikasikan bahwa ruang dan waktu bervariasi terhadap medan harus memenuhi z = 0. Konsekensinya faktor fase harus sama pada z = 0 (Yonan.W, 2005) . 0 '' 0 ' 0

(

.

)

(

.

)

)

.

(

k

x

_z=

=

k

x

_z=

=

k

x

_z=

Persamaan diatas mengandung aspek kinematik dari refleksi dan refraksi.Tiga vektor ruang yang terletak pada bidang harus memenuhi:

sin

sin

sin

i

θ

i

=

r

θ

r

=

t

θ

t

k

k

k

Karena

θ θ

i

=

r dan

n

c

ω

=

k

, maka: 1

sin

i 2

sin

t

n

θ

=

n

θ

( 16 )

Ini dikenal sebagai hukum Snellius.

Syarat batas tangensial menyatakan bahwa

E E H H

y

,

z

,

y

,

z harus kontinu pada

x = 0. Dalam menggunakan syarat batas ini,

vektor madan E harus dipecah menjadi

komponen yang sejajar dan tegak lurus bidang datar. Medan E yang tegak lurus

bidang datang (medan H-nya sejajar bidang

datang) disebut gelombang s atau TE (transverse electric). Medan E yang sejajar

bidang datang (medan H-nya tegak lurus

bidang datang) disebut gelombang p atau TM (transverse magnetic). Kedua

komponen gelombang tersebut saling bebas satu sama lainnya meskipun medium dielektriknya homogen dan isotropis. Dengan kata lain, masing-masing gelombang mempunyai karateristik refleksi dan teransmisi yang berbeda.

Berdasarkaan hukum Bragg, dua gelombang yang datang sefase dan membentuk sudut terhadap arah normal bidang dapat dituliskan melalui persamaan:

θ

λ

cos

2

a

n

=

( 17 )

Gambar 3. Pemantulan pada hukum Bragg

Besarnya panjang gelombang dalam medium kristal akan berubah secara periodik sesuai dengan indeks biasnya (Lecture

No.1). 1 1 1

2

₂

cos

n

a

_θ

λ

=

=

an

₁

cos

θ

₁ 2 2 2

cos

2

2

a

θ

n

λ

=

=

an

₂

cos

θ

₂ Jika

n

₁<

n

₂ maka

λ

₁<

λ

₂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

−

2 1 2 1

1

1

2

λ

λ

π

ω

ω

c

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2 1 2 1 1 1 2 2

cos

cos

cos

cos

2

θ

θ

θ

θ

π

n

n

n

n

a

c

Untuk kasus normal incident (

θ

₁ dan

θ

₂=

0) maka

cos

θ

₁

=

cos

θ

₂

=

1

, sehingga persamaan diatas menjadi:

(

n

n

)

n

n

n

n

n

a

c

₋

₌

_Δ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

−

_{2 1} 1 2 1 2 2 1

~

2

π

ω

ω

( 18 ) Makna fisis persamaan diatas adalah bahwa lebar frekuensi terjadinya bend gap

tergantung pada selisih indeks bias antara medium satu dengan medium dua.

Gambar 4. Hubungan

Δ

n

dengan

Δ

ω

Besarnya sudut datang

θ

i dapat

memepengaruhi posisisi band gap, yakni

selang panjang gelombang yang tidak dapat menembus struktur kristal. Pengaruh sudut datang yang dibentuk oleh gelombang EM terhadap arah normal kristal adalah berubahnya posisi band gap. Pada sudut

0

0

<

θ

₀<

90

0band gap akan semakin

bergeser kearah kanan ( kearah frekuensi yang lebih besar ) untuk polarisasi TE maupun TM. Pada kasus omnidirectional,

terdapat suatu selang frekuensi dimana gelombang EM tidak dapat menembus struktur kristal untuk setiap sudut datang yakni frekuensi diantara gap saat normal incidence dan gap pada TM saat sudut

0

90

(Fink.Y, 1998). Selang frekuensi

terebut dinamakan total omnidirectional reflection yang dimanfaatkan sebagai

sebagai alat penyekat atau bahan isolasi fotonik (Chirgin, 1998).

Gambar 5. Variasi sudut datang terhadap reflektansi

Kristal Fotonik Sempurna Satu Dimensi, Kondisi Bragg dan Matriks Transfer Unit Sel Bragg

Sifat-sifat optik dari kristal ditentukan oleh tensor dielektrik dan permeabilitasnya yang menggambarkan kesimetrisan translasi dari medium dan merupakan fungsi periodik dari r

( ) ( ),

ε r =ε r+a μ( )r =μ(r+a), (19) dimana a merupakan vektor kisi sembarang.

Kedua persamaan ini menyatakan bahwa medium di r tepat sama dengan medium di r

+ a. Dalam tulisan ini ditinjau kristal fotonik

satu dimensi dimana bahan yang digunakan bersifat isotropik dan nonmagnetik serta memiliki absorbsivitas yang rendah terhadap gelombang EM (low-loss media) maka

diperoleh

( )z (z l ),

ε =ε + Λ

(20) dimana εmerupakan permitivitas, Λ adalah periode, dan l integer (Yarif, 1984).

Ketika gelombang EM datang

memasuki susunan lapisan periodik (misalnya n1 dan n2), sebagian gelombang

tersebut akan direfleksikan oleh setiap permukaan batas lapisan n1-n2. Jika seluruh

gelombang yang direfleksikan sebagian tersebut sefase, maka akan terjadi interferensi konstruktif pada refleksi sehingga gelombang datang tidak dapat menembus struktur kristal seperti pada gambar 6. Selang panjang gelombang datang yang terefleksi total disebut photonic band gap (PBG) (Takayama, 2004).

Gambar 6. Mekanisme terjadinya PBG dalam kristal fotonik 1-dimensi. (a) Gelombang datang dengan nilai

λ dalam selang PBG memasuki struktur periodik n1-n2. (b) Gelombang datang direfleksikan oleh tiap permukaan batas. (c) Jika setiap gelombang refleksi sefase, maka gelombang tersebut terefleksi total dan tidak dapat menembus struktur kristal (Takayama, 2004).

Pada kasus lainnya, ketika frekuensi dari gelombang datang tidak berada dalam selang PBG, terjadi interferensi destruktif pada gelombang yang terefleksi, sehingga saling meniadakan dan gelombang datang akan diteruskan oleh struktur kristal seperti pada gambar 7 (Takayama, 2004) .

Gambar 7. Interferensi destruktif. (a) Gelombang datang dengan nilai λ di luar selang PBG memasuki struktur periodik. (b) Gelombang datang direfleksikan oleh tiap permukaan batas, setiap gelombang refleksi tidak sefase dan saling berinterferensi destruktif. (c) tidak terjadi refleksi dan gelombang datang dapat menembus struktur kristal (Takayama, 2004).

Kristal fotonik sempurna yang paling sederhana terdiri dari dua bahan dielektrik transparan dengan indeks refraksi tinggi (nH)

dan indeks refraksi rendah (nL) yang

tersusun secara periodik (Gambar 8). Perkembangan terbaru dalam teknik penumbuhan kristal, terutama melalui metode epitaksi molekuler (molecular-beam epitaxy), memungkinkan dibuat suatu media

periodik berlapis dengan periodisitas dan ketebalan terkontrol hingga ukuran atomik (Yarif, 1984).

Pada difraksi gelombang EM (contohnya sinar-x) oleh kristal, gelombang yang datang pada sudut tertentu akan direfleksikan sebagian oleh setiap titik kisi kristal (Gambar 8). Panjang gelombang

cahaya yang direfleksikan oleh kisi-kisi kristal bergantung pada sudut datang θ dan nilai konstanta kisi (a) dari kristal.

Gambar 8. Skema dari kristal fotonik sempurna satu dimensi paling sederhana yang tersusun dari dua bahan dielektrik dengan indeks refraksi (nH - nL) dan ketebalan orde mikrometer (dH - dL).

Kristal fotonik seperti pada gambar 8 memiliki profil indeks refraksi sebagai berikut

nH = < <0 z a

n

(

z

)

=

nL = < < Λa z

Dengan syarat periodisitas

n (z) = n(z+Λ )

(21)

Gambar 9. Kondisi Bragg pada kisi-kisi kristal. Dalam kasus kristal fotonik, masing-masing titik kisi dapat berupa bahan dielektrik atau lubang udara yang diselubungi bahan dielektrik (Takayama, 2004).

Dari fisika optik, interferensi konstruktif hanya akan terjadi jika perbedaan lintasan optik antara dua gelombang pantul sebanding dengan nilai integer panjang gelombang yang datang, sehingga

mλ =2a Sinθ (22)

Ini disebut sebagai kondisi Bragg. Dengan m = 1, 2, 3, …(Omar, 1993).

Kondisi ini dipenuhi oleh kristal fotonik, dimana jarak antara satu lapisan medium dengan medium yang lainnya adalah sama (periodik) sehingga gelombang dengan panjang gelombang tertentu yang bersesuaian dengan periodisitas kristal akan dihamburkan sefase dan saling bertumpangan (superimposed) (Takayama,

2004).

Gelombang transverse electric (TE)

datar stasioner merambat melalui kristal fotonik, akan direfleksikan dan direfraksikan pada tiap permukaan indeks modulasi periodik (nH-nL). Dimana untuk kasus yang

ditinjau gelombang TE datang pada arah z

normal terhadap bidang permukaan kristal fotonik sehingga sudut θ = 90o_{, yang berarti}

tidak ada gelombang yang akan direfraksikan, gelombang datang akan ditransmisikan atau direfleksikan sebagian ataupun seluruhnya. Λ adalah periodisitas kristal (dH + dL) yang nilainya setengah dari

panjang lintasan optiknya (analogi dengan

a). Dari persamaan 22 diperoleh

mλB = 2 neff Λ (23)

dengan neff merupakan indeks refraksi

efektif, H H L L eff d n d n n = + Λ (24)

Kondisi ini terpenuhi ketika tepat setengah dari panjang gelombang sinar yang datang menempati masing-masing periode dari kristal (Sopaheluwakan, 2002). Sinar dengan panjang gelombang sama dan

kelipatan integer dengan λB akan

direfleksikan oleh setiap permukaan periodik kristal, sehingga terjadi interferensi konstruktif pada refleksi dan terbentuk selang panjang gelombang di sekitar λB

dimana gelombang EM tidak dapat menembus struktur kristal fotonik yang disebut photonic band gap (PBG).

Dari hubungan panjang gelombang dan frekuensi diperoleh frekuensi Bragg

Bragg eff c m n π ω = Λ (25)

dengan m merupakan bilangan integer 1, 2,

3, dst, c kecepatan cahaya dalam vakum.

Perbedaan indeks refraksi yang kontras memiliki peranan penting terhadap pembentukan PBG, terdapat dua alasan. Pertama, setiap lapisan batas kristal fotonik dengan indeks refraksi kontras, lebih cenderung untuk menghamburkan gelombang yang datang dari segala arah,

sehingga PBG lebih mudah terbentuk. Kedua, semakin tinggi perbedaan indeks refraksi, semakin sedikit jumlah lapisan kristal fotonik yang dibutuhkan untuk menghasilkan efek PBG. Seperti dijelaskan dalam gambar 6, setiap lapisan dari kristal fotonik dapat merefleksikan sebagian gelombang yang melaluinya. Jika setiap lapisan mampu merefleksi lebih banyak gelombang karena perbedaan indeks refraksi yang besar, maka jumlah lapisan yang dibutuhkan untuk membentuk PBG akan lebih sedikit dibanding struktur dengan perbedaan indeks refraksi yang lebih kecil (Takayama, 2004).

Perambatan gelombang TE dalam kristal fotonik satu dimensi direpresentasikan dengan baik oleh persamaan Helmholtz satu dimensi, dengan memodifikasi persamaan (26) untuk gelombang TE yang datang secara normal pada bidang kristal fotonik satu dimensi maka diperoleh

( ) ( ) ( ) i ik zi i ik zi

j j

E z =A e +B e− (26)

dengan (i) merupakan indeks medium (H)

atau(L), j merupakan indeks lapisan ke-, dan

i i n k c ω = bilangan gelombang. ω

merupakan frekuensi, ni indeks refraksi ke-i.

Persamaan 2.32 merepresentasikan medan listrik sebagai hasil penjumlahan antara amplitudo gelombang TE yang datang (bagian kiri atau ( )i

j

A

) dan yang

direfleksikan (bagian kanan atau ( )i j

B

) pada setiap bagian batas lapisan homogen fotonik kristal tertentu.

Sekarang akan ditinjau penggunaan persamaan 26 tersebut dalam menganalisis translasi gelombang TE dalam kristal fotonik satu dimensi menggunakan metode matriks transfer. Perhatikan gambar 8, translasi TE antara dua medium nH dan nL

dalam satu unit sel (X) memenuhi syarat kontinuitas pada kondisi batas berikut

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) H H L z d E z E z = = dan ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) H H L z d dE z dE z dz dz = = (27)

maka diterapkan pada solusi persamaan Helmholtz satu dimensi (26) diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) 1H ik dH H 1H ik dH H 1L ik dL H 1L ik dL H A e +B e− =A e +B e− (27) dan

(

( ) ( )

)

( ) ( ) 1H ik dH H 1H ik dH H 1L ik dL H 1L ik dL H H L k A e B e A e B e k − − − = − (28) persamaan 27 dan 28 dapat dimodifikasi ke dalam notasi matriks

( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 H H H H L H L H L H L H ik_Hd ik_Hd H ik d ik d H H H H H L L L ik d ik d L ik d ik d e e A k k e e B k k A e e B e e − − − − ⎛ ⎞_{⎛ ⎞} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ _{⎟⎜ ⎟} − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (29.a)

atau dapat dituliskan

( ) ( ) 1 1 1 _{( )} 2 _{( )} 1 1 H L H L A A M M B B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (29.b)

Selanjutnya translasi TE antara dua unit sel (Y) memenuhi syarat kontinuitas pada kondisi batas berikut

( ) ( ) 1L ( ) 2H ( )_z E z E z =Λ = − Λ dan ( ) ( ) 1L ( ) 2H ( ) z dE z dE z dz dz _=Λ − Λ = (30) sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) 1L ikL 1L ikL 2H 2H A e Λ+B e− Λ= A +B (31) dan

(

( ) ( )

)

( ) ( ) 1L ikL 1L ikL 2H 2H L H k A e B e A B k Λ₋ − Λ _{= −} (32) persamaan (31) dan (32) dalam notasi matriks ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 1 1 1 1 L L L L ik ik L ik ik L L L H H H H e e A k k e e B k k A B Λ − Λ Λ − Λ ⎛ _{⎞⎛ ⎞} ⎜ _{⎟⎜ ⎟ =} ⎜ _{− ⎟⎜ ⎟} ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⎜ _{− ⎟⎜ ⎟} ⎝ _{⎠⎝ ⎠} (34.a)

atau dapat dituliskan

( ) ( ) 1 2 3 _{( )} 4 _{( )} 1 2 L H L H A A M M B B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (34.b)

sehingga dari persamaan (29) dan (34) dapat dituliskan ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 3 4 ( ) ( ) 1 2 H H H H A A M M M M B B − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (35) dan jika MT M₁1M M_{2 3}1M₄ − − = , maka MT

merupakan matriks translasi untuk satu unit sel (lapisan 1), menghubungkan amplitudo kompleks dari gelombang TE yang merambat dari satu unit sel ke unit sel lainnya yang ekuivalen dalam suatu fotonik kristal sempurna, dan dapat dituliskan

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 H H H N N N T H H H N N N A A A B A M C D B B B − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _{⎛ ⎞}⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟_{= ⎜ ⎟}⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠} ⎝ ⎠ (36)

Matriks MT disebut juga matriks unit sel

Bragg dan karena MT ini menghubungkan

amplitudo-amplitudo medan pada dua lapisan kristal fotonik dengan susunan indeks refraksi yang ekuivalen maka matriks ini bersifat unimodular, dengan nilai determinan sama dengan satu. Jika terdapat

N lapisan fotonik kristal sempurna seperti

pada gambar 5, maka

( ) 1 ( ) 1 H H A B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ( MT)N ( ) ( ) H N H N A B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (37)

persamaan 37 telah dibuktikan berlaku untuk

N unit sel Bragg melalui solusi pemecahan

matriks.

Pada prinsipnya matriks (MT)N ini

mentranslasikan medan TE dari medium nH

pada unit sel pertama hingga medium nH

pada unit sel ke (N+1) dalam kristal fotonik,

yang berarti MT belum realistis untuk

digunakan dalam eksperimen yang sebenarnya, karena interaksi antara medan TE dengan medium eksternal belum dipertimbangkan.

Refleksi dan Transmisi Gelombang TE

Andaikan suatu gelombang merambat diantara dua medium (bahan) yang berbeda

(

ε

₁

,

μ

₁

)

dan

(

ε

₂

,

μ

₂

)

, maka akan terjadi pemantulan dan pembiasan gelombang. Pemantulan dan pembiasan gelombang terjadi karena adanya kontinuitas dari komponen gelombang EM pada batas muka medium. Kontinuitas ini disebut sebagai syarat batas dan dapat diturunkan melalui persamaan Maxwell (Yonan.W, 2005) .

Solusi dari persamaan gelombang :

2 2 2

0

t

εμ

∂

∇ −

=

∂

E

E

dapat berupa

superposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul. Dengan mengambil salah

satu bentuk solusi :

(

,

)

₀ i( . t)

e

t

=

E

kr−ω

r

E

,

bentuk medan listrik E pada setiap medium menjadi: t i i i

e

e

e

)

ω

(

' . 1 . 1 1 1 2 r k r k

E

E

E

=

+

− − , untuk x < 0 (38) t i i i

e

e

e

)

ω

(

' . 2 . 1 2 2 2 r k r k

E

E

E

=

+

− , untuk x > 0 (39)

Vektor medan H bisa didapatkan melalui persamaan (1) dan persamaan (6)

E

H

=

∇

×

ωμ

i

(40)

Gambar 10. Pemantulan dan pembiasan pada gelombang TE

Pada gambar 10 terjadi syarat kontinuitas komponen

E

y dan

H

zpada x =

0, sehingga: 1 2 y

=

y

E

E

' ' 1

+

1

=

2

+

2

E

E

E

E

(41) 1 2 z

=

z

H

H

' '

1

cos

θ

1 1

cos

θ

1 2

cos

θ

2 2

cos

θ

2

−

H

+

H

=−

H

+

H

(42) karena

μ

μ

c

nE

B

H

=

=

, maka persamaan diatas menjadi:

(

)

(

2 '2

)

2 2 2 1 ' 1 1 1 1

_cos

_cos

θ

μ

θ

μ

E

−

E

=

E

−

E

n

n

(43)

Jika persamaan (41) dan (43) diatas dibuat dalam bentuk matriks:

1 2

1 1 ' 2 2 '

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1 1 1

cos cos cos cos

n _θ n _θ n _θ n _θ μ μ μ μ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ₌⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟_{⎝ ⎠} ⎜ ₋ ⎟_{⎝ ⎠} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E E E E

atau dapat ditulis:

1 2 ' ' 1 2

(1)

(2)

s s

D

⎛ ⎞

_{⎜ ⎟}

=

D

⎛

_⎜

⎞

_⎟

⎝ ⎠

⎝

⎠

E

E

E

E

(44) Dimana

( )

s

D i

=

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

i i i i

n

n

cos

θ

cos

θ

1

1

i = 1,2,3,…. dengan asumsi

μ

₁

=

μ

₂ i

n

adalah indeks bias medium i, dan

i

θ

adalah sudut datang atau sudut bias. Koeffisien refleksi dan transmisi untuk gelombang TE diberikan oleh:

0 1 ' 1 ' 2=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

E

E

E

s

r

dan 0 1 2 ' 2=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

E

E

E

s

t

(45)

Dari persamaan (45) diatas dan syarat batas (41) dan (43), kita dapatkan ( untuk

2 1

μ

μ

=

) 2 2 1 1 2 2 1 1

cos

cos

cos

cos

θ

θ

θ

θ

n

n

n

n

r

_s

+

−

=

(46) 2 2 1 1 1 1

cos

cos

cos

2

θ

θ

θ

n

n

n

t

s

+

=

(47)

Maka reflektansi dan transmisinya menjadi:

2 s

r

R

=

(48) 2 1 1 2 2

cos

cos

s

t

n

n

T

θ

θ

=

(49)

Untuk kasus gelombang TM dapat diturunkan dengan cara yang sama sehingga didapat reflektansi dan transmitansi yang berbeda. ' 1

E

2

E

1 2

E

1

H

' 1

H

1

E

' 2

H

' 2

H

Kasus-Kasus Khusus

Gambar 11. Gelombang EM yang menuju kristal fotonik pada kasus TE

• Untuk kasus insidensi normal maka

berlaku

θ

₁

,

θ

₂

=

0

, bidang datang menjadi tak terdefinisikan sehingga tidak lagi terdapat perbedaan antara komponen TE dan TM dan koefisien Fresnel menjadi: 2 1 2 1

n

n

n

n

r

_s

+

−

=

dan 2 1

2

n

n

n

t

n s

=

₊

• Untuk gelombang yang datang

dengan sudut datang

0 1

=

90

θ

(grazing angle) koefisien

Fresnel menjadi:

1

−

=

r

r

dan

t

s

=

0

• Ketika indeks bias medium lebih

kecil dari bias background (

n

₁

>

n

₂), maka pembiasan dengan

0 1

=

90

θ

akan terjadi pada sudut

datang kritis yang memenuhi persamaan: 1 2

sin

n

n

c

=

θ

Maka ketika sudut datang

θ

₁

=

θ

_c dan

θ

₂

=

90

0koefisien Fresnel untuk polarisasi TM menjadi:

0

=

s

r

dan 1

2

n

t

_s

=

Propagasi Gelombang dalam Struktur Periodik

Gambar 12. Struktur Periodik

Struktur periodik sederhana mengandung profil indeks bias yang berbeda, yakni:

⎩

⎨

⎧

<

<

<

<

L

n

b

n

b

n

n

,

0

,

2 1 dengan

)

(

)

(

z

n

z

L

n

=

+

Arah z adalah tegak lurus tehadap permukaan layer dan

L

adalah periodik Solusi umum vektor medan listrik dari persamaan gelombang bisa berbentuk:

) (

)

(

i y t

e

z

k y−ω

E

dimana diasumsikan bidang gelombang merambat dalam bidang yz. Ketika gelombang EM berpropagasi di dalam struktur periodik 1D dengan sudut miring terhadap permukaan layer, hanya komponen normal dari vektor gelombang

k

_z yang

mempengaruhi band gap, sedangkan

komponen tangensial dari vektor gelombang

y

k

bernilai konstan sepanjang sepanjang medium (Chirgin.D.N, 1999). Medan listrik di dalam layer

α

(

α

= 1,2 ) dari n unit sel bisa ditulis sebagai vektor kolom (P.Yeh, 1983):

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

α α n n

B

A

Secara umum medan listrik di dalam layer bisa ditulis:

[

k z k z

]

ky

z

y

E

z i z n i y n n i n

e

B

e

e

A

− −Λ

+

−Λ −

=

( ) ( )

)

,

(

α α α α (48)

Matriks transfer dengan dikopel background untuk struktur periodik dapat ditulis sebagai berikut:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

_{− −} s s s N a a a

B

A

D

D

P

M

D

D

B

A

₁ 1 1 1 1 (49)

...

1 1 2 2 2 1 1 1 22 21 12 11

D

D

P

D

D

P

m

m

m

m

N _{− −}

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(50) 2 1

,

,

D

D

D

a … adalah matriks dinamik

yang telah didapat, yaitu:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

l l l l l

n

n

D

θ

θ

cos

cos

1

1

untuk TE (51)

Sedangkan untuk polarisasi TM dapat ditulis:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

l l l l l

n

n

D

cos

θ

cos

θ

(52) 2 1

,

P

P

… disebut matriks propagasi yang

bisa dibuktikan melalui syarat kontinuitas dan periodisitas.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

− l lx l lx d i d i l

e

e

P

_k k

0

0

(53) dimana

d

_l

=

x

_l

−

x

_l−1 adalah lebar masing-masing lapisan dan

k

_lzadalah komponen z dari vektor gelombang yang diberikan oleh: l l l lz

c

n

c

n

ω

_β

ω

_θ

cos

2 / 1 2 2

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

k

l =a,1,2,….,N,s

Untuk bamyak lapisan matriks N

M

dapat

disederhanakan dengan menggunakan identitas Chebysev. Matriks

M

N dapat dinyatakan dalam matriks M sebagai berikut:

( )

(

cos

)

sin

(

)

cos(

)

sin

N

NKL

M

M I

KL

I

NKL

KL

=

−

+

(54)

dimana

K

adalah vektor gelombang Bloch, yakni:

(

)

_⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₊

=

− 22 11 1

2

1

cos

1

)

(

m

m

L

K

ω

(55)

L

adalah jarak satu lapisan pada kristal, yakni

d

₁

+

d

₂. Nilai K ini memainkan peranan penting terhadap perambatan medan EM. Saat K bernilai riil medan elektromagnet berpropagasi menembus kristal, sedangkan saat K bernilai kompleks medan EM tidak berpropagasi sehingga menimbulkan fenomena band gap.

Perambatan gelombang EM datar pada kristal fotonik periodik sederhana dapat menimbulkan fenomena band gap jika

syarat interferensi konstruktif terpenuhi. Fotonik band gap adalah selang panjang

gelombang EM yang tidak dapat menembus struktur PC.

Gambar 13. Selang frekuensi band gap pada kurva

transmitansi

Kondisi Quarter-Wave Stack

Kasus Spesifik dari fotonik kristal adalah struktur kuarter wave stack (Sopaheluwakan, 2003). Kondisi quarter-wave stack (QWS) adalah kondisi saat ketebalan lapisan medium (

n

₁

−

n

₂) memenuhi: 1 0 1

₄

n

d

=

λ

dan 2 0 2

₄

n

d

=

λ

sehingga kedua lapisan tersebut memiliki panjang optik yang sama (

n

₁

d

₁

=

n

₂

d

₂).

λ

₀disebut panjang gelombang operasi dan merupakan pusat dari frekuensi PBG pertama yang terbentuk. Analogi dari perumusan Bragg, maka:

L

n

m

λ

B

=

2

eff (56)

dimana

n

_effadalah indeks bias effektif yang dapat dinyatakan:

L

d

n

d

n

n

_eff

=

1 1

+

2 2 (57) d

L

adalah periodisitas kristal, yakni

2 1

d

d

+

.

Light in the multilayer

β

conserved

d

₁

d

₂

d

₁

n

₁

=d

₂

n

₂

=

λ

/4

Quaterwave stack condition

Light in the multilayer

β

conserved

Light in the multilayer

β

conserved

d

₁

d

₂

d

₁

n

₁

=d

₂

n

₂

=

λ

/4

Quaterwave stack condition

Gambar 14. Kondisi quarter-wave-stack pada kristal

Kondisi QWS ini terpenuhi ketika tepat setengah dari panjang gelombang sinar yang datang menempati masing-masing periode dari kristal. Sinar dengan panjang gelombang sama dan kelipatan integer dari

B

λ

akan direfleksikan oleh setiap

permukaan periodik kristal, sehingga terjadi interferensi konstrukif pada refleksi dan terbentuk selang panjang gelombang disekitar

λ

B dimana gelombang EM tidak

dapat menembus struktur kristal fotonik yang disebut PBG.

Dari hubungan panjang gelombang dan frekuensi diperoleh frekuensi Bragg

L

n

c

m

eff B

π

ω

=

(58) Pada persamaan ( 56 ), jika m = 1 maka:

2 2 1 1 0

2

n

eff

L

4

n

d

4

n

d

B

=

λ

=

=

=

λ

→

QWS (59)

atau jika dinyatakan dalam bentuk frekuensi:

2 2 1 1 0 0

2

2

2

d

n

c

d

n

c

c

π

π

λ

π

ω

=

=

=

(60)

Jika persamaan (58) dan persamaan (60) digabungkan, maka:

0

ω

ω

_B

=

m

(61) dengan m = 1, 3, 5, dst, untuk kasus quarter-wave stack.

Struktur Defek Geometris

Struktur kristal fotonik dengan satu cacat geometris adalah memvariasikan lebar salah satu layer dalam struktur kristal. Jika strukturnya simetrik jumlah lapisan pada

sebelah kiri defek (N) sama dengan jumlah lapisan pada sebelah kanan defek (M) dengan indeks bias pada ujung kiri dan kanan material adalah sama. Indeks bias pada lapisan cacat dapai dipilih sama dengan pada indeks bias lapisan pertama atau sama dengan indeks bias pada lapisan kedua (untuk melihat strukturnya lihat pada pembahasan). Matriks transfer pada struktur satu defek dapat dengan mudah diturunkan dari matriks transfer untuk struktur periodik.

Gambar 15. Fenomena band pass pada kurva

transmitansi

Jika kristal fotonik disisipkan cacat pada strukturnya, maka foton akan terlokalisasi disekitar cacat sehingga menimbulkan peningkatan medan yang besar yang membentuk mode resonansi di dalam PBG dimana frekuensi gelombang EM datar yang datang sama dengan frekuensi mode cacat kristalnya. Penguatan medan yang besar mengakibatkan transmitansi penuh di dalam PBG pada frekuensi resonanasinya (sering disebut mode cacat atau frekuensi band pass).

Lebar dan posisi frekuensi band pass sangat bergantung pada sudut datang

vektor [ropagasi k terhadap arah normal

bidang material dan geometri lapisan cacat yang diberikan. Pada penelitian ini akan dianalisis pengaruh karateristik material ( variasi indeks bias medium, pengaruh indeks bias background) maupun geometri lapisan

cacat yang diberikan (susunan N-M) terhadap band pass.

Susunan kristal yang memiliki defek geometris simetrik memiliki jumlah lapisan sebelah kiri dan kanan defek yang sama sehingga menghasilkan transmitansi

band pass yang bernilai satu. Pada penelitian

ini juga akan dianalisis susunan dengan dua defek geometris untuk kasus polarisasi TE-TM omnidirectional.