Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Teemu Lempiäinen. Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008.

Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos LEMPIÄINEN, TEEMU: Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua Pro gradu -tutkielma, 42 s. Matematiikka Toukokuu 2008. Tiivistelmä Tutkielma tarkastelee saksalaisen matemaatikon David Hilbertin aksioomajärjestelmää Eukleideen geometrialle. Hilbert julkaisi vuonna 1899 kuuluisan teoksensa The Foundations of Geometry, jossa hän esitti nykyaikaisessa muodossa Eukleideen jo yli 2000 vuotta vanhan geometrian. Tarkastelun alussa kerrotaan lyhyesti aksioomajärjestelmän vaatimuksista ja tämän jälkeen esitetään tarkasteltavalle aksioomajärjestelmälle yleiset käsitteet. Tarkastelussa aksioomat jaetaan viiteen eri ryhmään, jotka kuvaavat niiden antamia ominaisuuksia rakennettavalle geometriselle järjestelmälle. Lisäksi esitetään aksioomajärjestelmälle tarpeelliset määritelmät, aksioomat ja aksioomajärjestelmään keskeisesti liittyviä lauseita. Tarkastelun lopuksi osoitetaan aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus ja keskinäinen riippumattomuus. Ensimmäiseksi konstruoidaan malli, jonka avulla osoitetaan, että aksioomat eivät ole ristiriidassa keskenään. Tämän jälkeen osoitetaan aksioomien keskinäinen riippumattomuus. Tutkielman päälähteinä on käytetty Hilbertin The Foundations of Geometry teoksen ensimmäistä ja 10. laitosta sekä esitetty näiden kahden laitoksen välisiä eroavaisuuksia tavassa, jolla Hilbert esitti aksioomajärjestelmänsä. Asiasanat: Geometria, Eukleideen geometria, Hilbertin aksioomajärjestelmä. i.

Sisältö 1 Johdanto. 1. 2 Hilbertin aksioomajärjestelmä 2.1 Taustaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Yleiset käsitteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Liitännäisaksioomat . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Järjestysaksioomat . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Yhtenevyysaksioomat . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Yhdensuuntaisuusaksiooma (paralleeliaksiooma) 2.7 Jatkuvuusaksioomat . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 3 Aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus ja keskinäinen pumattomuus 3.1 Aksioomien ristiriidattomuus . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Aksioomien riippumattomuus . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Yhdensuuntaisuusaksiooman riippumattomuus . . 3.2.2 Yhtenevyysaksioomien riippumattomuus . . . . . 3.2.3 Jatkuvuusaksioomien riippumattomuus . . . . . . Viitteet. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 2 2 2 3 5 15 32 35. riip. . . . .. . . . . .. . . . . .. 36 36 37 38 38 40 42. ii.

1. Johdanto. Antiikin Kreikan matemaatikko Eukleides kirjoitti noin 300 eKr. teoksen Alkeet, jossa hän esitteli nykymuotoisen geometrian. Eukleideen lähtökohtana olivat määritelmät, postulaatit ja yleiset merkinnät (eng. common notions). Näiden perusteella hän todisti, deduktiivisen päättelyn avulla, lauseita, joita ei enää voitu pitää itsestään selvyyksinä. Alkeet-teos otettiin käyttöön hyvin laajalti ja parin tuhannen vuoden ajan se olikin geometrian opetuksen yksi pääteos. Tutkijat kautta linjan kuitenkin kyseenalaistivat Eukleideen tapaa esittää geometrinen järjestelmä määritelmien, postulaattien, yleisten merkintöjen ja lauseiden avulla. Eukleideen geometriassa esitettiin viisi postulaattia, joista viimeistä yleisesti ottaen kutsutaan paralleelipostulaatiksi. Vuosisatojen ajan lukuisat eri tutkijat kiistelivät siitä, oliko tämä paralleelipostulaatti todellakin postulaatti vai lause. Heidän mielestään paralleelipostulaatilla ei ollut sellaista puhdasta luonnetta, joka löytyi muilta postulaateilta. Nykyään ajattelemme näiden postulaattien olevan aksioomia. Tästä johtuen paralleeliaksioomaa on yritetty todistaa jo aiemmin esitettyjen lauseiden ja aksioomien avulla. Tutkijat ovat kuitenkin epäonnistuneet näissä todistuksissaan. Yhteistä näille todistuksille on ollut se, että tekijät ovat vaihtaneet tai korvanneet paralleeliaksiooman toisella aksioomalla, joka on ollut yhtäpitävä Eukleideen postulaatin kanssa. Vasta 1800 -luvulla onnistuttiin löytämään uusi geometrinen malli, jossa Eukleideen kaikki muut aksioomat, paitsi paralleeliaksiooma, olivat voimassa sellaisenaan. Tätä alettiin loogisesti kutsua epäeuklidiseksi geometriaksi. Sen kehittivät koko komeudessaan toisistaan riippumatta unkarilainen Bolyai ja venäläinen Lobatševski. Aikanaan myös Gauss näki tämän, mutta ei esittänyt sitä painetussa muodossa. Epäeuklidisen geometrian syntyminen saatti päätökseen yritykset todistaa paralleeliaksiooman riippuminen muista aksioomista. Tutkielmassa esittelemme Eukleideen geometrian esitystä saksalaisen matemaatikon David Hilbertin teoksen Foundations of Geometry (10. laitos) esittämien aksioomien pohjalta. Hilbert, kuten muutkin matemaatikot, ovat halunneet esittää Eukleideen geometrian aiempaa täsmällisemmin. Tutkielman muina lähteinä ovat olleet Nevanlinnan Geometrian perusteet, Lehtisen, Merikosken ja Tossavaisen Johdatus tasogeometriaan sekä Priestleyn Introduction to Complex Analysis. Tutkielman luvussa 2 esitämme Hilbertin aksioomajärjestelmän ja esittelemme eroavaisuuksia Hilbertin teoksen ensimmäisen ja 10. laitoksen välillä. Luvussa 3 käymme läpi muodostamamme aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus- ja riippumattomuustarkastelut.. 1.

2. Hilbertin aksioomajärjestelmä. 2.1. Taustaa. Rakentaessamme aksiomaattisella menetelmällä geometriaa meidän tulee ensin esittää joitakin intuitioon perustuvia yleisiä käsitteitä. Tämän jälkeen voimme kuvata erilaisten aksioomien ja määritelmien avulla näitä käsitteitä ja niiden ominaisuuksia. Lisäksi esitämme lauseita, jotka voimme todistaa joko oikeiksi tai vääriksi määritelmien ja aksioomien avulla. Myöhemmässä vaiheessa voimme lisäksi todistaa uusia lauseita jo todistettujen lauseiden avulla. Emme voi kuitenkaan valita aksioomia täysin mielivaltaisesti, vaan niiden tulee olla järkeviä, ja niiden muodostamalla aksioomajärjestelmällä tulee olla seuraavat ominaisuudet: 1. Ristiriidattomuus. Aksioomat eivät saa olla keskenään ristiriidassa. 2. Riippumattomuus. Mikään aksiooma ei saa olla johdettavissa muista aksioomista. 3. Täydellisyys. Kaikki aksioomajärjestelmää koskevat lauseet tulee voida todistaa joko oikeiksi tai vääriksi. Luvussa 3 käymme läpi muodostamamme aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus- ja riippumattomuustarkastelut.. 2.2. Yleiset käsitteet. Teoksessaan Foundations of Geometry David Hilbert jätti määrittelemättä mitä ovat pisteet, suorat ja tasot. Lähdemme liikkeelle ajatuksesta, että meillä on epätyhjä ja struktuuriton perusjoukko τ , jota kutsumme avaruudeksi. Kutsumme avaruuden τ alkioita pisteiksi ja merkitsemme niitä isoilla kirjaimilla A, B, C, . . . . Avaruuden τ tiettyjä osajoukkoja kutsumme suoriksi, joita merkitsemme vastaavasti pienillä kirjaimilla a, b, c, . . . , sekä tiettyjä osajoukkoja tasoiksi, joita merkitsemme pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla α, β, γ, . . . . Ajattelemme suorien olevan pistejoukkoja ja tasojen muodostuvan sekä pisteistä että suorista. Pisteet ovat lineaarisen geometrian perusta, kun taas pisteet ja suorat muodostavat tasogeometrian perustan. Pisteet, suorat ja tasot muodostavat puolestaan avaruusgeometrian perustan. Keskitymme tutkielmassa pääsääntöisesti Hilbertin tasogeometriaan ja jätämme avaruusgeometriaan tutustumisen lukijalle, vaikkakin esittelemme siihen liittyvät aksioomat. Yleisesti pisteillä, suorilla ja tasoilla ajatellaan olevan muutamia relaatioita, joista mainittakoon ”sijaitsee”, ”välissä”, ”yhdensuuntainen”, ”yhtenevä” sekä ”jatkuva”. Relaatioiden täydellinen ja täsmällinen määrittely tulee aksioomajärjestelmästä. Hilbert järjesti aksioomansa viiteen eri ryhmään, 2.

jotka kuvaavat niiden antamia ominaisuuksia geometriselle järjestelmälle, jota olemme rakentamassa. Merkitsemme näitä ryhmiä seuraavasti: I: II: III: IV: V:. Liitännäisaksioomat Järjestysaksioomat Yhtenevyysaksioomat Yhdensuuntaisuusaksiooma (paralleeliaksiooma) Jatkuvuusaksioomat. Seuraavissa luvun 2 kappaleissa esitämme tarpeellisia määritelmiä ja aksioomaryhmien I - V aksioomat. Lisäksi esitämme niihin keskeisesti liittyviä lauseita.. 2.3. Liitännäisaksioomat. Liitännäisaksioomien avulla muodostamme yhteyden pisteiden ja suorien välille. Kun puhumme esimerkiksi kahdesta pisteestä, niin tarkoitamme niiden olevan kaksi eri pistettä. Hilbert ilmaisi ensimmäisen aksioomansa avulla, että kahta pistettä kohti on ainakin yksi suora. Toisen aksiooman avulla hän kertoi näitä suoria olevan korkeintaan yksi. Sanomme ensimmäisen aksioomamme avulla näitä suoria olevan täsmälleen yksi. I 1. Jokaista kahta pistettä A ja B kohti on täsmälleen yksi suora a, joka sisältää molemmat pisteet A ja B. Merkitsemme nyt joko suora AB = a tai suora BA = a. Voisimme sanoa myöskin, että ”piste A on suoralla a”, ”piste A kuuluu suoralle a”, ”piste A kuuluu suoraan a”, ”piste A sijaitsee suoralla a”, ”A on suoran a piste”, ”suora a kulkee pisteiden A ja B kautta”, ”suora a liittyy pisteisiin A ja B” ja niin edelleen. I 2. Jokaisella suoralla on vähintään kaksi pistettä. On vähintään kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Jos piste A kuuluu suoralle a ja samaan aikaan myöskin suoralle b (a 6= b) niin sanomme, että ”suorilla a ja b on yhteisenä pisteenä piste A”, mitä merkitsemme a ∩ b = {A} eli A ∈ a ja A ∈ b. Yleisesti ottaen sanomme suorien a ja b leikkaavan toisensa pisteessä A. Lause 2.1. Olkoot a ja b suoria tasossa ja a 6= b. Tällöin niillä on joko yksi tai ei yhtään yhteistä pistettä. Todistus. Teemme vastaoletuksen, että suorilla a ja b on kaksi yhteistä pistettä ja olkoot ne pisteet A ja B. Tällöin piste A kuuluu sekä suoralle a että suoralle b ja vastaavasti piste B kuuluu sekä suoralle a että suoralle b. Nyt aksiooman I 1 mukaan sekä suora AB = a että suora AB = b, eli a = b, mikä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein. 3.

I 3. Kolme pistettä A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla, määrittelevät yksikäsitteisesti tason α, johon pisteet A, B ja C kuuluvat. Merkitsemme nyt taso ABC = α. On yhtäpitävää sanoa myöskin, että ”pisteet A, B ja C ovat tason α pisteitä”, ”pisteet A, B ja C ovat tasolla α”, ”pisteet A, B, ja C kuuluvat tasoon α ” ja niin edelleen. Seuraavien kahden lauseen avulla voimme määritellä tason myös suorien avulla. Lause 2.2. Suora ja siihen kuulumaton piste määräävät yksikäsitteisesti tason. Todistus. Olkoot sellaiset suora a ja piste C, että C ∈ / a. Suoralla a on aksiooman I 2 mukaan vähintään kaksi pistettä. Olkoot ne pisteet A ja B. Tällöin aksiooman I 1 mukaan suora a = AB, joten meillä on nyt kolme pistettä A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla. Aksiooman I 3 mukaan pisteet A, B ja C määräävät yksikäsitteisesti tason ABC. Lause 2.3. Olkoot a ja b suoria, jotka leikkaavat toisensa pisteessä C. Tällöin ne määräävät yksikäsitteisesti tason. Todistus. Aksiooman I 2 mukaan suoralla a on piste A ja suoralla b on piste B. Koska suorilla a ja b ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin piste C, niin A 6= B 6= C, joten aksiooman I 3 mukaan pisteet A, B ja C määräävät yksikäsitteisesti tason ABC. Hilbert sisällytti liitännäisaksioomaryhmään vielä muutamia aksioomia, jotka käsittelevät tasoa ja avaruutta. Esitämme ne tämän kappaleen lopuksi, vaikka tutkielmassa keskitymme pääosin aksioomaryhmän I aksioomiin 1 3, jotka käsittelevät pisteitä ja suoria sekä niiden ominaisuuksia tasolla. I 4. Jos suoran a mitkä tahansa kaksi pistettä A ja B kuuluvat tasoon α, niin tasoon α kuuluvat myös kaikki muutkin suoran a pisteet. Voimme nyt sanoa, että ”a on tason α suora”, ”suora a kuuluu tasoon α”, ”suora a sisältyy tasoon α” ja niin edelleen. Jos piste A kuuluu sekä suoralle a (a ∈ / α) että tasolle α niin sanomme, että ”suoralla a ja tasolla α on yhteisenä pisteenä piste A” ja merkitsemme a ∩ α = {A} eli A ∈ a ja A ∈ α. Tällöin sanomme, että suora a ja taso α leikkaavat toisensa pisteessä A. Lause 2.4. Tasolla α ja suoralla a (a ∈ / α) on joko yksi tai ei yhtään yhteistä pistettä. Todistus. Teemme vastaoletuksen, että suoralla a ja tasolla α on vähintään kaksi yhteistä pistettä. Olkoot ne pisteet A ja B. Nyt aksiooman I 1 mukaan pisteet A ja B määrittelevät suoran a, joka aksiooman I 4 mukaan kuuluu tasoon α, mikä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein. 4.

I 5. Jos kahdella tasolla α ja β on yksi yhteinen piste A, niin tasoilla α ja β on vähintään kaksi yhteistä pistettä A ja B. Lause 2.5. Olkoot α ja β kaksi tasoa. Tällöin niillä on joko yhteinen suora tai ei ollenkaan yhteisiä pisteitä. Todistus. Koska tasot ovat toisistaan eriäviä, niillä ei välttämättä tarvitse olla yhteisiä pisteitä. Mikäli niillä on yhteinen piste A, niin aksiooman I 5 mukaan niillä täytyy olla myös toinenkin yhteinen piste B. Tällöin aksiooman I 4 mukaan niillä on yhteinen suora AB. Valitsemme vielä mielivaltaisen tason α pisteen C, joka ei kuulu suoralle AB. Tällöin aksiooman I 3 mukaan, jos piste C kuuluu tasoon β, niin tasot ovat samat eli α = ABC = β. Siis tasoilla α ja β on joko yhteinen suora tai ei ollenkaan yhteisiä pisteitä. I 6. Avaruudessa on vähintään neljä eri pistettä, jotka eivät ole samalla tasolla.. 2.4. Järjestysaksioomat. Järjestysaksioomien avulla tulemme määrittelemään pisteen välissäolon suoralla täsmällisesti. Samoin niiden avulla pystymme todistamaan intuitiivisen näkemyksemme suorasta, minkä mukaan suora jatkuu molemmista päistään äärettömästi eli suoralla on äärettömästi pisteitä. Suoran jatkuvuuden takaavat kuitenkin vasta jatkuvuusaksioomat, joihin palaamme myöhemmin kappaleessa 2.7. Olkoot suoralla a kolme pistettä A, B ja C. Mikäli piste B on pisteiden A ja C välissä, merkitsemme A − B − C. Seuraavien kolmen aksiooman avulla voimme sanoa tarkasti, milloin jokin piste on kahden muun pisteen välissä. II 1. Jos pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla ja A − B − C, niin myös C − B − A. II 2. Jos pisteet A ja B ovat eri pisteitä, niin suoralla AB on ainakin yksi sellainen piste C, että A − B − C.. A b. B. C. b. b. Kuva 1: Aksiooman II 2 graafinen tulkinta.. 5.

Aksioomassa II 3 Hilbert [1, s. 4] ja Nevanlinna [4, s. 12] ovat asettaneet, että kolmesta saman suoran pisteestä täsmälleen yksi on kahden muun välissä. Voimme kuitenkin korvata täsmälleen-sanan enintään-sanalla, kuten Hilbert teki myöhemmin julkaistussa laitoksessaan [2, s. 5] ja todistaa tämän jälkeen lauseena, että on aina yksi piste kahden muun pisteen välissä ([2, theorem 4, s. 6]) ja [3, lause 2, s. 16]). II 3. Jos suoralla on kolme pistettä, niin niistä enintään yksi piste on kahden muun pisteen välissä. Seuraavaksi määrittelemme suoralla olevan janan ja sen päätepisteet. Määritelmä 2.1. Olkoot suoralla a kaksi pistettä A ja B. Tällöin pisteet A ja B sekä kaikki niiden välissä olevat pisteet muodostavat janan AB. Janan AB päätepisteinä ovat pisteet A ja B. Pisteiden A ja B välissä olevat pisteet ovat janan AB sisäpisteitä. Kaikki suoran a pisteet, jotka eivät kuulu janalle AB, ovat janan AB ulkopisteitä. Näemme helposti aksiooman II 1 perusteella, että jana AB on sama kuin jana BA. Määrittelimme jo aikaisemmin kahden suoran leikkaamisen. Teemme saman seuraavaksi myös janoille. Määritelmä 2.2 pätee myös myöhemmin esitettävän puolisuoran ja suoran leikkauksessa. Määritelmä 2.2. Jos kaksi janaa ovat eri suorilla ja niillä on yhteinen sisäpiste, niin sanomme niiden leikkaavan toisensa. II 4 (Paschin aksiooma). Olkoot tasolla suora a ja siihen kuulumattomat pisteet A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla. Jos suora a leikkaa janan AB, niin sen täytyy leikata myös jana BC tai jana AC. C b. b. b. A. B a. Kuva 2: Paschin aksiooman graafinen tulkinta. Vaikkakaan emme ole määritelleet vielä tässä vaiheessa kolmiota, niin intuitiivisesti aksiooman II 4 sanoma on, että jos suora menee kolmion sisään niin sen täytyy tulla sieltä myöskin ulos. Paschin aksioomassa tai-sana täytyy käsitellä logiikan inklusiivi-käsitteen mukaisesti. Tällöin meillä on voimassa, että suora a voi leikata molemmat janat BC ja AC. Pystymme kuitenkin 6.

näyttämään lauseen 2.8 avulla, että molemmat vaihtoehdot eivät voi toteutua yhtäaikaa. Esitämme nyt aksioomaryhmän II aksioomien avulla saamiamme mielenkiintoisia lauseita. Hilbert [1, s. 4] otti ensimmäisessä laitoksessaan lauseen 2.6 mukaan toiseen järjestysaksioomaansa, mutta kuten näemme, niin pystymme todistamaan sen lauseena. Lause 2.6. Kahden pisteen A ja C välissä on ainakin yksi sellainen suoralle AC kuuluva piste B, että A − B − C.. F b. E b. A b. b. B. b. C b. G Kuva 3: Lauseen 2.6 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 3, s. 6]). Aksiooman I 2 mukaan on sellainen piste E, joka ei ole suoralla AC ja toisaalta aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste F , että A − E − F . Nyt aksioomista II 2 ja II 3 seuraa, että suoralla F C on sellainen piste G, että F − C − G. Aksiooman II 4 mukaan suora EG leikkaa janan AF , joten sen täytyy leikata myös jana AC tai jana F C. Jos suora EG leikkaisi janan F C, niin se olisi sama suora kuin F C, joten sen täytyy leikata jana AC. Olkoon leikkauskohta piste B, koska se on suoran EG ja janan AC ainoa yhteinen piste. Siis suoralla AC on sellainen piste B, että A − B − C.. Todistamme lauseessa 2.7, että suoran kolmesta pisteestä yksi on aina kahden muun pisteen välissä, mikä on hyvin yleisesti otettu geometrian kirjoissa aksioomaksi. Tämä johtunee ilmeisesti siitä, että Hilbert otti kyseisen lauseen aksioomakseen [1, s. 4] ensimmäisessä laitoksessaan ja useat geometrian tutkijat ovat käyttäneet näitä ensimmäisen laitoksen aksioomia teoksissaan.. Lause 2.7. Olkoot kolme pistettä A, B ja C samalla suoralla. Tällöin niistä aina yksi on kahden muun pisteen välissä. 7.

b. F. G. b. E. b b. D. b. A. b. b. B. C. Kuva 4: Lauseen 2.7 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 4, s. 6]). Oletamme, että ei ole B −A−C eikä A− C − B. Osoitamme, että piste B on pisteiden A ja C välissä. Nyt aksiooman I 2 mukaan on piste D, joka ei ole suoralla AC. Edelleen aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste G, että B − D − G. Sovellamme nyt aksioomaa II 4 pisteisiin B, C ja G ja suoraan AD. Tällöin suoralla AD ja janalla CG on sellainen yhteinen piste E, että C − E − G. Seuraavaksi sovellamme aksioomaa II 4 pisteisiin A, B ja G ja suoraan CD. Tällöin on sellainen piste F , että A − F − G. Havaitsemme nyt, että suora CF leikkaa sekä janan AG että janan AE, joten A − D − E. Lisäksi tarkastellessamme pisteitä A, C ja E ja suoraa GD, joka on sama kuin suora BD, huomaamme, että suora GD leikkaa janan AE ja aksiooman II 4 mukaan myös janan AC. Koska suoralla GD ja janalla AC on ainoana yhteisenä pisteenä piste B, niin pisteen B täytyy on pisteiden A ja C välissä, eli A − B − C. Nyt voimme osoittaa, että aksioomassa II 4 suora a voi leikata joko janan BC tai janan AC. Lause 2.8. Olkoot tasolla suora a ja siihen kuulumattomat pisteet A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla. Jos suora a leikkaa janan AB, niin se leikkaa joko janan BC tai janan AC. Todistus (vrt. [4, s. 14-15]). Teemme vastaoletuksen, että suora a leikkaa molemmat janoista AC ja BC. Oletamme nyt, että suora a leikkaa janan BC pisteessä D, janan AC pisteessä E ja janan AB pisteessä F . Aksiooman I 1 mukaan pisteet D, E ja F ovat toisistaan eriäviä. Voimme olettaa lauseen 2.7 mukaan, että E − D − F . Tarkastelemme nyt suoraa BC ja pisteitä A, E ja F . Nyt suora BC leikkaa janan EF , joten aksiooman II 4 mukaan sen on leikattava myös jana AE tai jana AF . Jos suora BC leikkaa janan AE, niin tämä leikkauspiste on yhteisenä pisteenä myös suorilla BC ja AB. Nyt suorat BC ja AB ovat sama suora, jolloin pisteet A, B ja C ovat samalla 8.

A b. b. F. E. b b. b. D. C. b. B. a. Kuva 5: Lauseen 2.8 todistus. suoralla. Tämä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Jos taas suora BC leikkaa janan AF , niin tämä leikkauspiste on yhteisenä pisteenä myös suorilla BC ja AC. Nyt suorat BC ja AC ovat sama suora, jolloin pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla. Myöskin tämä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein. Myöskin lauseen 2.9 Hilbert [1, s. 4] esitti ensin tarpeettomasti aksioomana. Hän kuitenkin muutti sen myöhemmässä laitoksessaan [2, theorem 5, s. 6] lauseeksi, koska se voitiin esittää aiemmin esitettyjen aksioomien ja lauseiden avulla. Lause 2.9. Suoran neljä pistettä A, B, C ja D voidaan järjestää niin, että A − B − C, A − B − D, A − C − D ja B − C − D. Todistus (vrt. [3, lause 3, s. 17]). Olkoot suoralla a neljä pistettä A, B, C ja D. F b. b. G. E. b. b. a b. A. b. B. H b. b. C. D. Kuva 6: Lauseen 2.9 todistuksen 1. kohdan tapaus. 9.

1. Osoitamme ensimmäiseksi, että jos A − B − C ja B − C − D, niin A − B − D ja A − C − D. Aksiooman I 2 mukaan on piste E, joka ei ole suoralla a, ja aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste F , että C − E − F . Nyt aksioomien II 3 ja II 4 avulla huomaamme, että janoilla AE ja BF on yhteisenä pisteenä piste G, eli A − G − E. Lisäksi suora CF leikkaa janan GD pisteessä H, joten G − H − D. Aksiooman II 3 mukaan piste E ei ole janalla AG. Koska suora EH leikkaa janat GD ja AD, niin aksiooman II 4 mukaan A − C − D. Vastaavasti pystymme osoittamaan, että A − B − D. F b. G b. b. a b. A. b. B. H b. b. C. D. Kuva 7: Lauseen 2.9 todistuksen 2. kohdan tapaus. 2. Osoitamme, että jos A − B − C ja A − C − D, niin B − C − D ja A − B − D. Aksiooman I 2 mukaan on sellainen piste G, joka ei ole suoralla a, ja aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste F , että B − G − F . Koska suora CF ei leikkaa janoja AB ja BG, niin se ei aksiooman II 4 mukaan myöskään leikkaa janaa AG. Kuitenkin oletuksemme mukaan A − C − D, jolloin suoran CF täytyy leikata jana GD pisteessä H. Lisäksi aksioomien II 3 ja II 4 mukaan suora F H leikkaa janat GD ja BD, joten piste C on janalla BD, eli B − C − D. Lisäksi todistuksen ensimmäisen kohdan mukaan A − B − D. 3. Olkoot nyt suoralla a neljä pistettä. Valitsemme niistä kolme, pisteet P , Q ja R. Lauseen 2.7 mukaan täsmälleen yksi näistä pisteistä on kahden muun pisteen välissä. Olkoon tämä piste Q. Nimeämme neljänneksi pisteeksi pisteen S. Tällöin aksiooman II 3 ja lauseen 2.7 mukaan piste S voidaan sijoittaa suoralle a viidellä eri tavalla: (i) jos P − R − S, niin valitsemme A = P , B = Q, C = R ja D = S, (ii) jos R − P − S, niin valitsemme A = R, B = Q, C = P ja D = S, (iii) jos P − S − R ja samalla on voimassa P − Q − S, niin valitsemme A = P , B = Q, C = S ja D = R, 10.

(iv) jos P − S − Q, niin valitsemme A = P , B = S, C = Q ja D = R, (v) jos Q − P − S, niin valitsemme A = P , B = Q, C = R ja D = S. Nyt tapaukset (i)-(iv) toteuttavat todistuksen toisen kohdan ja tapaus (v) todistuksen ensimmäisen kohdan. Täten voimme sanoa todistuksen kohtien 1. - 3. perusteella, että väite on oikein. Voimme yleistää lauseen 2.9 tuloksen koskemaan tapausta, jossa suoralla on äärellinen määrä pisteitä. Lause 2.10. Jos suoralla on äärellinen määrä pisteitä, niin voimme aina järjestää ne seuraavalla tavalla: A, B, C, D, E, . . . , K, missä B on pisteiden A ja C, D, E, . . . , K välissä, C on pisteiden A, B ja D, E, . . . , K välissä ja niin edelleen. Todistus. Ks. [4, s. 17].. A b. B b. C D. E. K. b. b. b. b. Kuva 8: Lauseen 2.10 graafinen tulkinta. Voisimme muotoilla lauseen 2.11 myös siten, että suoralla on ääretön määrä pisteitä. Riittää kuitenkin tarkastella tapausta, jossa olemme valinneet suoralta kaksi mielivaltaista pistettä, minkä jälkeen osoitamme, että niiden välissä on ääretön määrä pisteitä. Lause 2.11. Minkä tahansa kahden suoralla sijaitsevan pisteen välissä on aina ääretön määrä pisteitä. Todistus (vrt. [4, lause 2.9, s. 18]). Olkoon AC suora. Tarkastelemme siis janaa AC ja sen sisäpisteitä. Tällöin lauseen 2.6 mukaan on sellainen piste B1 , että A − B1 − C. Huomaamme määritelmän 2.1 mukaan, että janoilla AB1 ja B1 C ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin piste B1 . Nyt janalla B1 C on sellainen piste B2 , että B1 − B2 − C ja A − B1 − B2 . Siis piste B1 on janan AB2 sisäpiste, ja janoilla AB2 ja B2 C ei ole lauseen 2.9 mukaan muita yhteisiä pisteitä kuin piste B2 . Voisimme jatkaa näin loputtomiin. Todistamme lauseen loppuosan induktiolla. Oletamme siis, että janan AC pisteet B1 , . . . , Bn ovat sellaisia, että pisteet B1 , . . . , Bn−1 ovat janan ABn sisäpisteitä ja A − B1 − . . . − Bn−1 − Bn . Olkoon nyt Bn+1 sellainen piste, että Bn − Bn+1 − C. Tällöin piste Bn+1 ei ole janan ABn sisäpiste, eikä janoilla 11.

ABn+1 ja Bn+1 C ole muita yhteisiä pisteitä kuin piste Bn+1 . Tällöin pisteet B1 , B2 , . . . , Bn ovat janan ABn+1 sisäpisteitä ja A−B1 −B2 −. . .−Bn −Bn+1 . Olemme osoittaneet, että suoralla olevien kahden pisteen välissä on ääretön määrä pisteitä.  Lause 2.12. Tason jokainen suora a jakaa tason muut pisteet täsmälleen kahteen joukkoon, joilla on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos pisteet A ja B, jotka eivät kuulu suoraan a, kuuluvat eri joukkoihin, niin on sellainen piste C, joka on sekä janalla AB että suoralla a. (ii) Jos pisteet A ja A′ kuuluvat samaan joukkoon, niin janalla AA′ ja suoralla a ei ole yhteisiä pisteitä.. b. A. A′. b. a b. C b. B Kuva 9: Lauseen 2.12 graafinen tulkinta. Todistus (vrt. [3, lause 5, s. 19]). Määritellään aluksi relaatio ∼ sellaisten tasoon kuuluvien pisteiden joukossa, jotka eivät kuulu suoraan a, asettamalla A ∼ B, jos ja vain jos jana AB ei leikkaa suoraa a. Osoitamme seuraavaksi, että relaatio ∼ on ekvivalenssi, eli se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Refleksiivisyys seuraa suoraan relaation ∼ määrittelystä. Aksiooman II 1 mukaan jana AB = BA, joten ∼ on symmetrinen. Näytämme vielä transitiivisuuden. Olkoot A ∼ B ja B ∼ C ja osoitamme, että A ∼ C. Mikäli olisi voimassa A = B tai B = C, niin ∼ olisi selvästi transitiivinen. Teemme vastaoletuksen, että eräillä pisteillä A, B ja C on voimassa A ∼ B, B ∼ C ja A ≁ C. Jos pisteet A, B ja C eivät sijaitse samalla suoralla, niin vastaoletuksen mukaan suora a leikkaa janan AC, mikä on ristiriidassa aksiooman II 4 ja vastaoletuksen kanssa. Olkoot nyt pisteet A, B ja C samalla suoralla. Koska vastaoletuksen mukaan on voimassa A ≁ C, niin suoralla a ja janalla AC on yhteinen piste P . Koska piste P on janan AC sisäpiste, niin A − P − C ja joko A−P −B tai B −P −C, mikä on ristiriidassa sen kanssa, mitä oletimme pisteiltä A, B ja C. Siis relaatio ∼ on ekvivalenssi, joten se jakaa suoraan a kuulumattomat pisteet ekvivalenssiluokkiin. 12.

Seuraavaksi osoitamme, että näitä ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi. Aksiooman I 3 mukaan on sellainen tason piste A, että se ei ole suoralla a. Jos taas piste B on suoralla a, niin aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste C, että A − B − C. Tällöin ei ole voimassa relaatio A ∼ C, joten pisteet A ja C kuuluvat eri ekvivalenssiluokkiin. Siis ekvivalenssiluokkia on vähintään kaksi. Olkoot pisteet A, B ja C sekä suora a kuten äsken. Valitsemme mielivaltaisen pisteen D, joka ei ole suoralla a. Koska pisteet A, C ja D eivät kuulu suoraan a ja suora a leikkaa janan AC pisteessä B, niin lauseen 2.8 mukaan suora a leikkaa joko janan AD tai janan CD, eli tällöin on voimassa joko A ∼ D tai B ∼ D. Ekvivalenssiluokkia on siis enintään kaksi. Edellisen perusteella ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi.  Määritelmä 2.3. Lauseen 2.12 kahta ekvivalenssiluokkaa kutsumme suoran a määräämiksi puolitasoiksi. Sanomme, että samaan luokkaan kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a samalla puolella, kun taas eri luokkiin kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a eri puolilla. Lause 2.13. Suoran a jokainen piste O jakaa suoran muut pisteet täsmälleen kahteen joukkoon, joilla on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos pisteet A ja B kuuluvat eri joukkoihin, niin A − O − B. (ii) Jos pisteet A ja A′ kuuluvat samaan joukkoon, niin piste O ei kuulu janaan AA′ .. A b. A′. O. b b. B b. Kuva 10: Lauseen 2.13 graafinen tulkinta. Todistus. Määritellään aluksi relaatio ∼ sellaisten suoran a pisteiden joukossa, jotka eriävät pisteestä O, asettamalla A ∼ B, jos ja vain jos piste O ei ole pisteiden A ja B välissä. Osoitamme, että relaatio ∼ on ekvivalenssi. Refleksiivisyys seuraa suoraan relaation ∼ määrittelystä. Symmetrisyys seuraa aksioomasta II 1. Näytämme vielä transitiivisuuden. Olkoot A ∼ B ja B ∼ C ja osoitamme, että A ∼ C. Koska piste O ei ole pisteiden A ja B välissä, eikä myöskään pisteiden B ja C välissä, niin piste O ei voi olla pisteiden A ja C välissä. Siis A ∼ C, joten ∼ on transitiivinen. Olemme osoittaneet, että relaatio ∼ on ekvivalenssi, joka jakaa suoran a pisteestä O eriävät pisteet ekvivalenssiluokkiin. 13.

Osoitamme nyt, että ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi. Aksiooman I 2 mukaan jokaisella suoralla a on ainakin pisteet A ja O. Lisäksi aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste B, että A−O−B, joten pisteet A ja B kuuluvat eri ekvivalenssiluokkiin. Siis ekvivalenssiluokkia on vähintään kaksi. Olkoot pisteet A, O ja B sekä suora a kuten äsken. Valitsemme mielivaltaisen pisteen C, joka kuuluu suoralle a. Lauseen 2.7 mukaan joko C − A − O, A − C − O tai C − O − A. Jos C − A − O, niin ei voi olla A − O − C, joten piste C kuuluu samaan ekvivalenssiluokkaan kuin piste A. Jos A − C − O, niin ei myöskään voi olla A − O − C, joten piste C kuuluu samaan ekvivalenssiluokkaan kuin piste A. Jos C − O − A, eli piste C kuuluu eri ekvivalenssiluokkaan kuin piste A, niin ei voi olla C − O − B, joten lauseen 2.9 perusteella piste C kuuluu samaan ekvivalenssiluokkaan kuin piste B. Ekvivalenssiluokkia on siis enintään kaksi. Edellisen perusteella ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi.  Määritelmä 2.4. Lauseen 2.13 kahta ekvivalenssiluokkaa kutsumme suoran a pisteen O määräämiksi puolisuoriksi. Lisäksi piste O kuuluu kumpaankin puolisuoraan. Sanomme, että samaan luokkaan kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a pisteen O samalla puolella, kun taas eri luokkiin kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a pisteen O eri puolilla. Nyt siis jokainen suoran piste jakaa sen kahteen puolisuoraan. Olkoot pisteet A, O ja B suoralla a ja jakakoon piste O suoran a kahteen eri joukkoon. Jos pisteet A ja B kuuluvat eri joukkoihin, niin ne muodostavat puolisuorat OA ja OB. Tällöin puolisuora OB on puolisuoran OA vastakkainen puolisuora. Käytämme merkintää OA koskemaan niin janaa, puolisuoraa kuin suoraakin, mutta asiayhteydestä käy ilmi, mitä tarkoitamme kullakin kerralla. Määritelmä 2.5. Olkoon AB, BC, CD, . . . , KL jono janoja. Tällöin ne muodostavat murtoviivan pisteestä A pisteeseen L. Voimme sanoa sitä myös murtoviivaksi ABCDE · · · KL. Janojen AB, BC, CD, . . . , KL sisäpisteet, kuten myös pisteet A, B, C, D, E, . . . , K, L ovat murtoviivan pisteitä. Määritelmä 2.6. Olkoon ABCDE · · · KL murtoviiva. Mikäli piste A yhtyy pisteeseen L, eli A = L, niin sanomme murtoviivaa monikulmioksi ja merkitsemme sitä ABCD · · · K. Janoja AB, BC, CD, . . . , KA kutsumme monikulmion sivuiksi ja pisteitä A, B, C, D, E, . . . , K sen kärjiksi. Jos monikulmion kärjet ovat eri pisteitä, eikä sen sivuja yhdistä muut pisteet kuin kärjet, niin sanomme monikulmiota yksinkertaiseksi. Yksinkertaisia monikulmioita, joissa on 3, 4, 5, . . . , n kärkeä, kutsumme vastaavasti kolmioiksi, nelikulmioiksi, viisikulmioksi ja niin edelleen. Jos meillä on kolme pistettä A, B ja C, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, niin sanomme tällöin monikulmiota, jonka kärjet ovat A, B ja C sekä sivut AB, AC ja BC, kolmioksi ABC ja merkitsemme sitä △ABC. 14.

Määritelmä 2.7. Olkoot h ja k sellaisia suoria, jotka leikkaavat toisensa pisteessä O, sekä olkoot vastaavassa järjestyksessä suorilla sellaiset puolisuorat h ja k, jotka kumpikin alkavat pisteestä O. Kutsumme näiden kahden puolisuoran h ja k yhdistettä kulmaksi, jota merkitsemme joko ∠(h, k) tai ∠(k, h). Sanomme, että kulman kärki on piste O ja sen kyljet ovat puolisuorat h ja k. Kaikki ne pisteet, jotka ovat samalla puolella suoraa k kuin suora h ja samalla puolella suoraa h kuin suora k, ovat kulman ∠(h, k) aukeamassa. Määritelmä 2.8. Olkoon kolmio △ABC, jossa kaksi puolisuoraa h ja k alkavat pisteestä A ja kulkevat pisteiden B ja C kautta. Tällöin sanomme kulman ∠(h, k) olevan sivujen AB ja AC välinen kulma tai sivun BC vastainen kulma ja merkitsemme sitä myös joko ∠BAC tai ∠A, jos sekaannuksen vaaraa ei ole. Hyvin usein kulmia merkitään myös pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla, kuten α, β, γ ja niin edelleen. Olemme käyttäneet tätä merkintää myös tasoille, mutta asiayhteydestä selviää kumpaa tarkoitamme. Lause 2.14. Olkoon piste D kulman ∠BAC aukeamassa. Tällöin puolisuora AD leikkaa janan BC.. C. D. b. b. F b. E b. b. b. A. B. Kuva 11: Lauseen 2.14 todistus. Todistus (vrt. [3, lause 7, s.20]). Jos piste D on janalla BC, niin puolisuora AD selvästi leikkaa janan BC. Oletamme lisäksi, että piste D ei ole janalla BC. Nyt aksiooman II 2 mukaan suoralla BA on sellainen piste E, että B −A−E. Koska pisteet E, B ja C ovat eri pisteitä ja ne eivät kuulu suoralle AD, niin voimme soveltaa aksioomaa II 4 kolmioon △EBC ja suoraan AD. Tällöin suora AD leikkaa sivun BC eräässä pisteessä F . Koska piste D on kulman ∠BAC aukeamassa, niin suora AD ei leikkaa sivua EC. . 2.5. Yhtenevyysaksioomat. Seuraavien kolmen aksiooman avulla määrittelemme yhtenevyyden, joka on relaatio, janojen välillä. 15.

III 1 (Janojen ensimmäinen yhtenevyysaksiooma). Jos suoralla a on kaksi pistettä A ja B ja jos lisäksi piste A′ on suoralla a′ , joka voi olla sama kuin suora a, niin annetulla puolella pistettä A′ on ainakin yksi sellainen piste B ′ , että jana AB on yhtenevä janan A′ B ′ kanssa. Merkitsemme nyt AB ∼ = A′ B ′ . ∼ Jokainen jana on yhtenevä itsensä kanssa eli AB = AB. Emme ottaneet aksioomassa III 1 kantaa pisteiden A ja B keskinäiseen järjestykseen, joten seuraavat muotoilut ovat yhtäpitäviä: AB ∼ = A′ B ′ , AB ∼ = B ′ A′ , BA ∼ = A′ B ′ ja BA ∼ = B ′ A′ . Esittäessään janojen ensimmäistä yhtenevyysaksioomaa Hilbert totesi ensimmäisessä laitoksessaan [1, IV 1, s. 8], että tällaisia pisteitä B ′ on täsmälleen yksi. Myöhemmässä laitoksessaan [2, III 1, s. 10] hän kuitenkin totesi, että on ainakin yksi tällainen piste B ′ . Tämä siis jätti vielä mahdollisuuden siihen, että näitä mahdollisia pisteitä olisikin useampi kuin yksi. Lauseen 2.18 avulla osoitamme, että tällaisia pisteitä on täsmälleen yksi. Aksiooman III 1 mukaan jokainen jana voidaan esittää annettujen suoran, pisteen ja puolen avulla. III 2 (Janojen toinen yhtenevyysaksiooma). Jos jana AB on yhtenevä janojen A′ B ′ ja A′′ B ′′ kanssa, niin myös jana A′ B ′ on yhtenevä janan A′′ B ′′ kanssa. Toisin sanoen, jos kaksi eri janaa ovat yhteneviä kolmannen janan kanssa, niin ne ovat myöskin keskenään yhteneviä. Lause 2.15. Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. Todistus. Osoitamme janojen yhtenevyyden olevan ekvivalenssirelaatio, jolloin janojen yhtenevyyden tulee olla refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Osoitamme ensimmäiseksi refleksiivisyyden. Aksiooman III 1 mukaan jokainen jana on yhtenevä itsensä kanssa. Siis janojen yhtenevyys on refleksiivinen. Seuraavaksi osoitamme symmetrisyyden. Olkoon AB ∼ = A′ B ′ , ′ ′ ∼ ′ ′ jolloin refleksiivisyyden perusteella A B = A B . Nyt aksiooman III 2 mukaan A′ B ′ ∼ = AB. Siis janojen yhtenevyys on symmetrinen. Viimeiseksi osoitamme janojen yhtenevyyden olevan transitiivinen. Olkoot AB ∼ = A′ B ′ ja ′ ′ ∼ ′′ ′′ ′′ ′′ ∼ ′ ′ A B = A B . Tällöin symmetrisyyden perusteella A B = A B , jolloin aksiooman III 2 mukaan AB ∼ = A′′ B ′′ . Siis janojen yhtenevyys on transitiivinen. Näiden kolmen kohdan perusteella janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.  III 3 (Janojen kolmas yhtenevyysaksiooma). Olkoon suoralla a kaksi janaa AB ja BC, joilla on yhteisenä pisteenään ainoastaan piste B. Olkoon lisäksi suoralla a′ , joka voi olla myös suora a, kaksi janaa A′ B ′ ja B ′ C ′ , joilla on yhteisenä pisteenään ainoastaan piste B ′ . Tällöin, jos AB ∼ = A′ B ′ ja BC ∼ = B ′ C ′ , niin täytyy olla AC ∼ = A′ C ′ . 16.

A b. B. C. b. A′. b. b. B′. C′. b b. a. a′. Kuva 12: Aksiooman III 3 graafinen tulkinta. Tämän jälkeen olemme valmiit määrittelemään janojen summan ja erotuksen sekä sen, milloin jokin jana on lyhyempi tai pitempi kuin toinen. Meidän on mielekästä puhua tässä yhteydessä janojen ekvivalenssiluokkien summasta ja erotuksesta, koska tällöin janoille määrittelemämme laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä. Määritelmä 2.9. Olkoot AB ja CD janoja. Olkoon suoralla AB sellainen puolisuora l, joka alkaa pisteestä B ja johon kuuluvat kaikki ne suoran AB pisteet, jotka eivät ole samalla puolella pisteen A kanssa. Tällöin aksiooman III 1 mukaan puolisuoralla l on sellainen piste E, että BE ∼ = CD. Nyt jana AE on janojen AB ja CD summa. Merkitsemme AB + CD ∼ = AE. Lause 2.16. Jos AB ∼ = A′ B ′ ja CD ∼ = C ′ D′ , niin AB + CD ∼ = A′ B ′ + C ′ D′ . Todistus. Olkoot AB, A′ B ′ , CD ja C ′ D′ sellaisia janoja, että AB ∼ = A′ B ′ ja ′ ′ CD ∼ = C D . Nyt määritelmän 2.9 mukaan AB + CD on sellainen jana AE, että A − B − E ja BE ∼ = CD. Toisaalta samoin A′ B ′ + C ′ D′ on sellainen jana A′ E ′ , että A′ − B ′ − E ′ ja B ′ E ′ ∼ = C ′ D′ . Tällöin lauseen 2.15 perusteella ′ ′ ∼ ′ ′ ∼ ∼ BE = CD = C D = B E . Koska AB ∼ = A′ B ′ , niin aksiooman III 3 mukaan AE ∼  = A′ E ′ . Määritelmä 2.10. Olkoot AC jana ja B piste, joka kuuluu janalle AC. Tällöin jana AB on janojen AC ja BC erotus. Merkitsemme nyt AC −BC ∼ = AB. Määritelmä 2.11. Olkoot AB ja CD janoja. Jos on sellainen piste E, joka kuuluu janalle CD, että AB ∼ = CE, niin sanomme, että jana AB on lyhyempi kuin jana CD ja vastaavasti jana CD on pitempi kuin jana AB. Merkitsemme nyt joko AB < CD tai CD > AB. Lause 2.17. Olkoot AB ja CD janoja. Tällöin yksi vaihtoehdoista AB < CD, AB ∼ = CD ja AB > CD on voimassa. Todistus. Olkoon puolisuoralla CD sellainen piste E, että AB ∼ = CE. Jos C − E − D, niin määritelmän 2.11 mukaan CE < CD, eli AB < CD. Jos E = D, niin selvästi AB ∼ = CD. Jos taas C − D − E, niin määritelmän 2.11 mukaan CE > CD ja edelleen AB > CD.  17.

Seuraavan aksiooman avulla määrittelemme yhtenevyyden kulmien välillä. III 4. Olkoot ∠(h, k) kulma ja a′ eräs suora. Olkoon myös annettuna toinen suoran a′ määräämistä puolista. Olkoon suoralla a′ puolisuora h′ , joka alkaa pisteestä O′ . Tällöin annetulla puolella suoraa a′ on täsmälleen yksi sellainen puolisuora k ′ , että kulma ∠(h, k) on yhtenevä kulman ∠(h′ , k ′ ) kanssa. Samalla kaikki kulman ∠(h′ , k ′ ) pisteet sijaitsevat samalla puolella suoraa a′ . Merkitsemme nyt ∠(h, k) ∼ = ∠(h′ , k ′ ). Jokainen kulma on yhtenevä itsensä kanssa, eli ∠(h, k) ∼ = ∠(h, k) tai ∠(h, k) ∼ = ∠(k, h). Tämä tarkoittaa lyhyesti sanottuna, että tason jokainen kulma voidaan esittää annetun puolisuoran annetulla puolella vain yhdellä tavalla. Lisäksi kulmien yhtenevyys on myös ekvivalenssirelaatio, aivan kuten janojen tapauksessa janojen yhtenevyys oli ekvivalenssirelaatio. Refleksiivisyys seuraa suoraan aksioomasta III 4, mutta emme pysty todistamaan symmetrisyyttä ja transitiivisuutta vielä tässä vaiheessa. III 5. Jos kolmioissa △ABC ja △A′ B ′ C ′ ovat voimassa yhtenevyydet AB ∼ = A′ B ′ , AC ∼ = A′ C ′ ja ∠BAC ∼ = ∠B ′ A′ C ′ , niin pätee myös ∠ABC ∼ = ∠A′ B ′ C ′ . Vaihtamalla aksioomassa III 5 kolmion kärkipisteiden rooleja saamme, että ∠ABC ∼ = ∠A′ B ′ C ′ ja ∠ACB ∼ = ∠A′ C ′ B ′ . Osoitamme nyt aksiooman III 4 avulla, että aksiooman III 1 mukaisia pisteitä B ′ on täsmälleen yksi. Lause 2.18. Olkoon AB jana. Jos lisäksi piste A′ on suoralla a′ , joka voi olla sama kuin suora AB, niin annetulla puolella pistettä A′ on täsmälleen yksi sellainen piste B ′ , että AB ∼ = A′ B ′ . b. b. A. C′. b. B b. A′. b. b. B ′ B ′′. Kuva 13: Lauseen 2.18 todistus. Todistus. Aksioomasta III 1 seuraa suoraan, että tällaisia pisteitä B ′ on ainakin yksi. Osoitamme, että näitä pisteitä on korkeintaan yksi. Olkoon a′ puolisuora suoralla a′ , joka alkaa pisteestä A′ . Teemme vastaoletuksen, että puolisuoralla a′ ovat sellaiset pisteet B ′ ja B ′′ , että AB ∼ = A′ B ′ ja ′ ′′ ′ ′ ′ AB ∼ / a . Tällöin meillä on voi= A B . Olkoon piste C sellainen, että C ∈ massa A′ B ′ ∼ = A′ B ′′ , A′ C ′ ∼ = A′ C ′ ja ∠B ′ A′ C ′ ∼ = ∠B ′′ A′ C ′ , jolloin kolmioissa 18.

△A′ C ′ B ′ ja △A′ C ′ B ′′ on aksiooman III 5 mukaan ∠A′ C ′ B ′ ∼ = ∠A′ C ′ B ′′ . Tämä on ristiriidassa aksiooman III 4 kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein. Olemme osoittaneet, että tällaisia pisteitä B ′ on olemassa täsmälleen yksi.  Määritelmä 2.12. Kaksi kulmaa ovat toistensa vieruskulmia, jos niillä on yhteinen kärki, yksi yhteinen kylki ja niiden toisistaan eroavat kyljet muodostavat suoran. Mikäli kahdesta kulmasta toinen on yhtenevä toisen vieruskulman kanssa, niin sanomme kulmien olevan toistensa suplementtikulmia. Lisäksi sanomme kulman olevan suora kulma, jos se on yhtenevä vieruskulmansa kanssa. Määritelmä 2.13. Jos suorat a ja b leikkaavat toisensa niin, että yksi leikkauskulma on suora, niin sanomme näiden suorien olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan ja kutsumme niitä toistensa normaaleiksi. Merkitsemme nyt a⊥b. Määritelmä 2.14. Kolmio on tasakylkinen, mikäli kaksi sen sivua ovat yhtenevät. Olkoon kolmio △ABC tasakylkinen. Jos AC ∼ = BC, niin sanomme janan AB olevan kolmion kanta, kulmien ∠A ja ∠B olevan sen kantakulmia ja kulman ∠C olevan sen huippukulma. Jos vielä lisäksi AC ∼ = BC ∼ = AB, niin kolmio △ABC on tasasivuinen. Lause 2.19. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtenevät.. b. b. B. A b. A. b b. C. C. b. B. Kuva 14: Lauseen 2.19 todistus. Todistus. Olkoon △ABC tasakylkinen kolmio, jonka huippukulma on kulma ∠BAC. Tällöin meille riittää osoittaa, että ∠ABC ∼ = ∠ACB. Määritelmän 2.14 mukaan AB ∼ = AC ja aksiooman III 4 perusteella jokainen kulma on yhtenevä itsensä kanssa, joten ∠BAC ∼ = ∠CAB. Tutkimme seuraavaksi kolmioita △ABC ja △ACB. Tällöin huomaamme, että näissä kolmioissa AB ∼ = AC, AC ∼ = AB ja ∠BAC ∼ = ∠CAB, joten aksiooman III 5 mukaan ∼ ∠ABC = ∠ACB. Siis tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtenevät.  19.

Emme voi vielä tässä vaiheessa todistaa edellisen lauseen käänteislausetta, joka on lause 2.22. Määritelmä 2.15. Kolmiot △ABC ja △A′ B ′ C ′ ovat yhtenevät, jos AB ∼ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∼ ∼ ∼ ∼ A B , AC = A C , BC = B C , ∠BAC = ∠B A C , ∠ABC = ∠A B C ja ∠ACB ∼ = ∠A′ C ′ B ′ .. b. C′. C. b. b. b b. A. b. A. B. B′. ′. Kuva 15: Määritelmän 2.15 graafinen tulkinta. Lause 2.20 (Kolmioiden ensimmäinen yhtenevyyslause). Olkoot △ABC ja △A′ B ′ C ′ kolmioita. Jos AB ∼ = A′ B ′ , AC ∼ = A′ C ′ ja ∠BAC ∼ = ∠B ′ A′ C ′ , niin nämä kolmiot ovat yhtenevät.. b. C b. C′ D b. b. A. b b. A. B. ′. b. B′. Kuva 16: Lauseen 2.20 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 12, s. 14]). Aksiooman III 5 mukaan myös ∠ABC ∼ = ∠A′ B ′ C ′ ja ∠ACB ∼ = ∠A′ C ′ B ′ . Riittää enää osoittaa, että sivut BC ja B ′ C ′ ovat yhtenevät. Teemme vastaoletuksen, että BC < B ′ C ′ . Tapaus BC > B ′ C ′ menee vastaavasti. Nyt aksiooman III 1 mukaan on sellainen piste D ∈ B ′ C ′ , että BC ∼ = B ′ D ja B ′ − D − C ′ . Koska kolmioille △ABC ja △A′ B ′ D pätevät AB ∼ = A′ B ′ , BC ∼ = B ′ D ja ∠ABC ∼ = ∠A′ B ′ D, niin aksiooman III 5 mukaan myös kolmioiden muut kulmat ovat yhtenevät, eli erityisesti ∠BAC ∼ = ∠B ′ A′ D. Mutta tällöin kuitenkin kulma ∠BAC on yhtenevä sekä kulman ∠B ′ A′ D että kulman ∠B ′ A′ C ′ kanssa, mikä on ristiriidassa aksiooman III 4 kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja sivut BC ja B ′ C ′ ovat 20.

yhtenevät, eli kolmiot △ABC ja △A′ B ′ C ′ ovat yhtenevät määritelmän 2.15 mukaan.  Lause 2.21 (Kolmioiden toinen yhtenevyyslause). Olkoot △ABC ja △A′ B ′ C ′ kolmioita. Jos ∠BAC ∼ = ∠B ′ A′ C ′ , AB ∼ = A′ B ′ ja ∠ABC ∼ = ∠A′ B ′ C ′ , niin kolmiot ovat yhtenevät. Todistus. Osoitamme, että janat BC ja B ′ C ′ ovat yhtenevät. Teemme vastaoletuksen, että BC < B ′ C ′ . Tapaus BC > B ′ C ′ menee vastaavasti. Aksiooman III 1 mukaan janalla B ′ C ′ on sellainen piste D, että B ′ − D − C ′ ja BC ∼ = B ′ D. Nyt kolmioille △ABC ja △A′ B ′ D pätevät AB ∼ = A′ B ′ , ∠ABC ∼ = ∠A′ B ′ D ja BC ∼ = B ′ D, joten lauseen 2.20 mukaan △ABC ∼ = ′ ′ △A B D. Mutta tällöin kuitenkin kulma ∠BAC on yhtenevä sekä kulman ∠B ′ A′ D että kulman ∠B ′ A′ C ′ kanssa, mikä on ristiriidassa aksiooman III 4 kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja sivut BC ja B ′ C ′ ovat yhtenevät, eli kolmiot △ABC ja △A′ B ′ C ′ ovat yhtenevät lauseen 2.20 mukaan.  Osoitamme lauseen 2.19 käänteislauseen, jonka Hilbert [2, theorem 24, s. 22] esitti 10. laitoksessaan vasta paljon myöhemmässä vaiheessa. Lause 2.22. Jos kolmiolla on kaksi yhtenevää kulmaa, niin se on tasakylkinen kolmio. Todistus. Olkoon kolmio △ABC sellainen, että ∠ABC ∼ = ∠ACB. Tarkastelemme seuraavaksi kolmioita △ABC ja △ACB. Oletuksemme mukaan ∠ABC ∼ = ∠ACB, BC ∼ = CB ja ∠ACB ∼ = ∠ABC, mutta tällöin kuiten∼ kin lauseen 2.21 mukaan △ABC = △ACB, eli erityisesti AC ∼ = AB. Siis määritelmän 2.14 perusteella kolmio △ABC on tasakylkinen.  Lause 2.23. Jos kaksi kulmaa ovat yhtenevät, niin niiden vieruskulmatkin ovat yhtenevät.. b. b. A. C b. b b. B. b. D. A′. C′. b. B′. b. D′. Kuva 17: Lauseen 2.23 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 14, s. 14]). Olkoot kulmat ∠ABC ja ∠A′ B ′ C ′ yhtenevät ja olkoot vieruskulmat edellisille vastaavasti ∠CBD ja ∠C ′ B ′ D′ . 21.

Tällöin aksiooman III 1 mukaan voimme valita pisteen B ′ kautta kulkevilta suorilta sellaiset pisteet A′ , C ′ ja D′ , että AB ∼ = A′ B ′ , CB ∼ = C ′ B ′ ja DB ∼ = D′ B ′ . Nyt lauseen 2.20 mukaan △ABC ∼ = △A′ B ′ C ′ , joten määritelmän 2.15 mukaan sekä AC ∼ = A′ C ′ että ∠BAC ∼ = ∠B ′ A′ C ′ . Lisäk′ ′ ∼ si aksiooman III 3 perusteella AD = A D . Tällöin lauseen 2.20 mukaan △ACD ∼ = △A′ C ′ D′ , eli myöskin CD ∼ = C ′ D′ ja ∠ADC ∼ = A′ D′ C ′ . Koska ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∠ADC ∼ = ∠BDC ja vastaavasti ∠A D C ∼ = ∠B D C , niin lauseen 2.20 mukaan △BCD ∼ = △B ′ C ′ D′ , jolloin kulmat ∠CBD ja ∠C ′ B ′ D′ ovat yhtenevät. Siis yhtenevien kulmien vieruskulmat ovat yhtenevät.  Lauseen 2.23 perusteella myös yhtenevien kulmien suplementtikulmat ovat yhtenevät. Näytämme suorien kulmien olemassaolon seuraavan lauseen avulla. Lause 2.24. Suoria kulmia on olemassa.. B b. O b. b. b. A. O. B. b. D. b. b. b. C. B. b. b. A. O. D. C. b. b. b. b. A. C. Kuva 18: Lauseen 2.24 todistus. Todistus. Osoitamme, että on sellainen kulma, joka on yhtenevä vieruskulmansa kanssa. Olkoot sellaiset pisteet O ja A sekä puolisuora OA, että puolisuora OA alkaa pisteestä O. Olkoot pisteet B ja C sellaiset, että piste B on eri puolella suoraa OA kuin piste C, ja että OB ∼ = OC ja ∠BOA ∼ = ∠COA. Nyt lauseen 2.12 mukaan on sellainen piste D, joka on sekä janalla BC että suoralla OA. Jos piste D on sama kuin piste O, niin selvästi ∠BOA ∼ = ∠COA. Tällöin kulmat ∠BOA ja ∠COA ovat toistensa vieruskulmina määritelmän 2.12 mukaan suoria kulmia. Jos piste D on puolisuoralla OA, niin selvästi ∠DOB ∼ = ∠DOC. Mikäli piste D on puolisuoran OA vastakkaisella puolisuoralla, niin lauseen 2.23 mukaan yhtenevyys on edelleen voimassa. Lisäksi aksiooman III 1 mukaan jokainen jana on yhtenevä itsensä kanssa, joten OD ∼ = OD. Aksiooman III 5 perusteella ∠ODB ∼ = ∠ODC riippumatta siitä, kummalla puolella pistettä O piste D on suoralla OA. Siis suoria kulmia on olemassa.  22.

Lause 2.25. Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suoran normaali. A b. a. D. B. b. b. b. b. C. E. Kuva 19: Lauseen 2.25 todistus. Todistus. Olkoot a suora ja A sen ulkopuolella oleva piste. Valitsemme suoralta a kaksi mielivaltaista pistettä C ja D. Nyt aksiooman III 4 ja lauseen 2.18 perusteella on täsmälleen yksi sellainen piste E, että se sijaitsee tasolla eri puolella suoraa a kuin piste A, ja että ∠CDA ∼ = ∠CDE ja DA ∼ = DE. Tällöin jana AE leikkaa suoran a täsmälleen yhdessä pisteessä B. Huomaamme nyt tarkastellessamme kolmioita △ADB ja △EDB, että DA ∼ = DE, ∠ADB ∼ = ∠EDB ja DB ∼ = DB, joten lauseen 2.20 perusteella kolmiot ovat yhtenevät ja erityisesti ∠ABD ∼ = ∠EBD. Koska pisteet A, B ja E sijaitsevat samalla suoralla ja A − B − E, niin kulmat ∠ABD ja ∠EBD ovat määritelmän 2.12 mukaan vieruskulmia ja suoria kulmia. Olemme osoittaneet, että suorien AB ja CD välinen leikkauskulma on suora, eli AB⊥CD. Siis suoran a ulkopuolisen pisteen A kautta kulkee täsmälleen yksi suoran normaali.  Määritelmä 2.16. Mikäli suorat a ja b leikkaavat toisensa pisteessä A ja lisäksi on sellaiset pisteet B, C ∈ a ja D, E ∈ b, että B − A − C ja D − A − E, niin sanomme kulmia ∠BAD ja ∠CAE ristikulmiksi. Lause 2.26. Ristikulmat ovat yhtenevät. Todistus. Olkoot BC ja DE sellaisia suoria, että ne leikkaavat toisensa pisteessä A sekä B − A − C ja D − A − E. Nyt määritelmän 2.16 mukaan kulmat ∠BAD ja ∠CAE ovat ristikulmia ja molemmilla kulmilla on yhteisenä vieruskulmanaan kulma ∠DAC. Koska kulma ∠DAC on yhtenevä itsensä kanssa, niin lauseen 2.23 mukaan ∠BAD ∼  = ∠CAE. Lause 2.27. Olkoot tasolla puolisuorat h, k ja l, jotka alkavat samasta pisteestä O, sekä puolisuorat h′ , k ′ ja l′ , jotka myöskin alkavat samasta pisteestä O′ . Jos ∠(h, l) ∼ = ∠(h′ l′ ) ja ∠(k, l) ∼ = ∠(k ′ l′ ), niin ∠(h, k) ∼ = ∠(h′ k ′ ). 23.

a. C b. b. D A b. b. E. b. B b. Kuva 20: Määritelmän 2.16 graafinen tulkinta.. A. k. A′. b. k′ b. h b. b. B b. l b. O. h′. C. b. B′. b. O′. l′. C′. Kuva 21: Lauseen 2.27 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 15, s.16]). Oletamme, että puolisuorat h ja k sijaitsevat samalla puolella puolisuoraa l, sekä vastaavasti, että puolisuorat h′ ja k ′ sijaitsevat samalla puolella puolisuoraa l′ . Jos olisi niin, että puolisuorat h ja k sijaitsisivat eri puolilla puolisuoraa l ja vastaavasti puolisuorat h′ ja k ′ sijaitsisivat eri puolilla puolisuoraa l′ , niin todistus menisi edellisen tapauksen ja lauseen 2.23 avulla. Nyt voimme olettaa, että puolisuora h on kulman ∠(k, l) aukeamassa ja lisäksi puolisuorilla k, k ′ , l ja l′ ovat sellaiset pisteet A, A′ , C ja C ′ vastaavassa järjestyksessä, että OA ∼ = O′ A′ ja OC ∼ = OC ′ . Nyt lauseen 2.14 mukaan puolisuora h leikkaa janan AC. Olkoon tämä leikkauspiste piste B. Myöskin puolisuora h′ leikkaa janan A′ C ′ . Olkoon tämä leikkauspiste piste B ′ . Tällöin A − B − C ja A′ − B ′ − C ′ . Voimme olettaa, että OB ∼ = O′ B ′ . Tällöin ′ ′ ′ ′ ′ oletusten mukaan on OB ∼ = O B , ∠COB ∼ = C O B ja OC ∼ = OC ′ , joten lauseen 2.20 mukaan △BOC ∼ = △B ′ O′ C ′ , eli BC ∼ = B ′ C ′ . Toisaalta myöskin 24.

OA ∼ = O′ A′ , ∠AOC ∼ = ∠A′ O′ C ′ ja OC ∼ = OC ′ , joten lauseen 2.20 mukaan ′ ′ ′ ′ ′ △AOC ∼ = △A O C , eli AC ∼ = A C ja ∠OAC ∼ = ∠O′ A′ C ′ . Koska AC ∼ = A′ C ′ ja BC ∼ = B ′ C ′ , niin aksiooman III 3 mukaan AB ∼ = A′ B ′ ja erityisesti ∠OAB ∼ = ∠O′ A′ B ′ , koska A − B − C ja A′ − B ′ − C ′ . Nyt olemme saaneet, että OA ∼ = O′ A′ , ∠OAB ∼ = ∠O′ A′ B ′ ja AB ∼ = A′ B ′ , joten lauseen 2.20 mukaan △AOB ∼ = △A′ O′ B ′ . Tällöin määritelmän 2.15 mukaan täytyy olla, että ∠BOA ∼  = ∠B ′ O′ A′ eli ∠(h, k) ∼ = ∠(h′ , k ′ ). Lause 2.28. Olkoon tason kulma ∠(h, k) yhtenevä kulman ∠(h′ , k ′ ) kanssa ja olkoon l puolisuora, joka alkaa kulman ∠(h, k) kärjestä O ja sijaitsee sen aukeamassa. Tällöin on aina täsmälleen yksi puolisuora l′ , joka alkaa kulman ∠(h′ , k ′ ) kärjestä O′ ja on sen aukeamassa niin, että ∠(h, l) ∼ = ∠(h′ , l′ ) ja ∠(k, l) ∼ = ∠(k ′ , l′ ). Todistus (vrt. [1, theorem 13, s. 12]). Olkoot puolisuorilla h, k, h′ ja k ′ sellaiset pisteet A, B, A′ ja B ′ vastaavassa järjestyksessä, että OA ∼ = O′ A′ ja OB ∼ = ′ ′ ′ ′ ′ ∼ O B . Nyt oletuksemme mukaan ∠AOB = ∠A O B , joten lauseen 2.20 mukaan △AOB ∼ = △A′ O′ B ′ , eli erityisesti AB ∼ = A′ B ′ , ∠OAB ∼ = ∠O′ A′ B ′ ja ∠OBA ∼ = ∠O′ B ′ A′ . Koska puolisuora l on kulman ∠AOB aukeamassa, niin se leikkaa janan AB. Olkoon tämä leikkauspiste piste C. Tällöin aksiooman III 1 mukaan janalla A′ B ′ on sellainen piste C ′ , että AC ∼ = A′ C ′ . Lisäksi aksiooman III 3 perusteella myös BC ∼ = B ′ C ′ , joten lauseen 2.20 perusteel′ ′ ′ la △OBC ∼ = △O B C ja △OAC ∼ = △O′ A′ C ′ , eli ∠COB ∼ = ∠C ′ O′ B ′ ja ∠COA ∼  = ∠C ′ O′ A′ . Nyt O′ C ′ on kysytty puolisuora l′ . Lause 2.29. Jos pisteet C ja D ovat suoran AB eri puolilla ja lisäksi AC ∼ = ∼ ∼ AD ja BC = BD, niin myös ∠ABC = ∠ABD.. A b. C b. b. D. b. B Kuva 22: Lauseen 2.29 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 17, s. 17]). Lauseen 2.19 mukaan ∠ACD ∼ = ∠ADC ja ∠BCD ∼ = ∠BDC, sekä lauseen 2.27 mukaan ∠ACB ∼ = ∠ADB. Huomaamme soveltamalla lausetta 2.20 kolmioihin △ACB ja △ADB, että △ACB ∼ = ∼  △ADB, joten erityisesti ∠ABC = ∠ABD. 25.

Nyt voimme esitellä uuden lauseen kolmioiden yhtenevyydelle. Lause 2.30 (Kolmioiden kolmas yhtenevyyslause). Olkoot △ABC ja △A′ B ′ C ′ kolmioita. Jos AC ∼ = A′ C ′ , BC ∼ = B ′ C ′ ja AB ∼ = A′ B ′ , niin kolmiot ovat yhtenevät.. C b. C′ b. B. B b. ′. D b. b. b. B ′′. b. b. A. A′. Kuva 23: Lauseen 2.30 todistus. Todistus (vrt. [3, lause 16, s. 28]). Aksioomien III 1 ja III 4 mukaan on sellainen piste B ′′ , että A′ B ′′ ∼ = AB ja ∠BAC ∼ = ∠B ′′ A′ C ′ . Valitsemme sellaisen pisteen D, joka on samalla puolella suoraa A′ C ′ kuin piste B ′ , että A′ D ∼ = AB. Nyt lauseen 2.20 mukaan BC ∼ = DC ′ ja BC ∼ = B ′′ C ′ , jolloin aksiooman III 2 mukaan A′ B ′′ ∼ = A′ D ja B ′′ C ′ ∼ = DC ′ sekä A′ B ′′ ∼ = A′ B ′ ja B ′′ C ′ ∼ = DC ′ . Tällöin kolmiot △A′ B ′′ C ′ ja △A′ DC ′ sekä △A′ B ′′ C ′ ja ′ ′ ′ △A B C täyttävät lauseen 2.29 oletukset, joten sekä ∠B ′′ A′ C ′ ∼ = ∠DA′ C ′ että ∠B ′′ A′ C ′ ∼ = ∠B ′ A′ C ′ . Kuitenkin aksiooman III 4 mukaan kulman ∠DA′ C ′ täytyy olla sama kuin kulman ∠B ′ A′ C ′ . Oletuksemme mukaan AB ∼ = A′ B ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∼ ∼ ja AC = A C ja äskeisen päättelyn perusteella ∠BAC = ∠B A C , joten lauseen 2.20 perusteella △ABC ∼  = △A′ B ′ C ′ . Hilbert esitti lauseen 2.31 aksioomana ensimmäisessä laitoksessaan [1, IV 5, s. 9]. Kyseisen lauseen jälkeen pystymme osoittamaan, että myös kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio, kuten aikaisemmin todistimme janojen yhtenevyyden tapauksessa. Lause 2.31. Jos kaksi kulmaa ovat yhteneviä kolmannen kanssa, niin ne ovat yhteneviä myös keskenään. Todistus (vrt. [2, theorem 19, s. 18]). Olkoot ∠AOB, ∠A′ O′ B ′ ja ∠A′′ O′′ B ′′ sellaisia kulmia, että OA ∼ = O′ A′ , OA ∼ = O′′ A′′ , OB ∼ = O′ B ′ ja OB ∼ = O′′ B ′′ . Oletamme lisäksi, että ∠A′ O′ B ′ ∼ = ∠AOB ja ∠A′′ O′′ B ′′ ∼ = ∠AOB. Täl′ ′ ∼ löin lauseen 2.20 mukaan A B = AB ja A′′ B ′′ ∼ AB, joten aksiooman = ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ III 2 mukaan kolmioiden △A O B ja △A O B kaikki vastaavat sivut ovat yhtenevät. Siis lauseen 2.30 mukaan kolmiot ovat yhtenevät ja erityisesti ∠A′ O′ B ′ ∼  = ∠A′′ O′′ B ′′ . Lause 2.32. Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. 26.

b. A. B b. A′ b. b. b. B ′′. A′′ b. b. b. O. B′. b. O′. O′′. Kuva 24: Lauseen 2.31 todistus. Todistus. Osoitamme ensimmäiseksi refleksiivisyyden. Aksiooman III 4 mukaan jokainen kulma on yhtenevä itsensä kanssa. Siis kulmien yhtenevyys on refleksiivinen. Seuraavaksi osoitamme symmetrisyyden. Olkoon ∠ABC ∼ = ∠A′ B ′ C ′ . Tällöin kulmien refleksiivisyyden perusteella ∠A′ B ′ C ′ ∼ = ∠A′ B ′ C ′ . Nyt lauseen 2.31 mukaan ∠A′ B ′ C ′ ∼ = ∠ABC. Siis kulmien yhtenevyys on symmetrinen. Viimeiseksi osoitamme kulmien yhtenevyyden olevan transitiivinen. Olkoon ∠ABC ∼ = ∠A′ B ′ C ′ ja ∠A′ B ′ C ′ ∼ = ∠A′′ B ′′ C ′′ . Tällöin symmetrisyyden perusteella ∠A′′ B ′′ C ′′ ∼ = ∠A′ B ′ C ′ . Nyt lauseen 2.31 mukaan ∠ABC ∼ = ′′ ′′ ′′ ∠A B C . Siis kulmien yhtenevyys on transitiivinen. Näiden kolmen kohdan perusteella kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.  Olemmme osoittaneet, että janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio, kuten myös kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. Huomaamme selvästi näiden tulosten perusteella, että kolmioiden yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio, koska se määriteltiin janojen ja kulmien yhtenevyyksien avulla. Määritelmä 2.17. Olkoot ∠BAC ja ∠EDF kulmia. Mikäli on sellainen puolisuora DG, joka on kulman ∠EDF aukeamassa, että ∠BAC ∼ = ∠EDG, niin sanomme kulmaa ∠EDF suuremmaksi kuin kulmaa ∠BAC. Vastaavasti sanomme kulman ∠BAC olevan pienempi kuin kulma ∠EDF . Merkitsemme nyt joko ∠BAC < ∠EDF tai ∠EDF > ∠BAC. F b. C b. b. b. A. G. b b. D. B. Kuva 25: Määritelmän 2.17 graafinen tulkinta.. 27. b. E.

Lause 2.33. Olkoot α, α′ , β ja β ′ sellaisia kulmia , että α ∼ = α′ ja β ∼ = β ′. ′ ′ Nyt α < β, jos ja vain jos α < β . Todistus. Oletamme ensimmäiseksi, että α < β. Koska α ∼ = α′ ja β ∼ = β ′, ′ ′ ′ ′ niin on yhtäpitävää, että α < β . Oletamme seuraavaksi, että α < β . Koska α∼  = α′ ja β ∼ = β ′ , niin α′ ∼ = α ja β ′ ∼ = β ja selvästi tällöin α < β. Lause 2.34. Olkoot ∠(h, k), ∠(l, m) ja ∠(n, o) kulmia. Jos ∠(h, k) < ∠(l, m) ja ∠(l, m) < ∠(n, o), niin ∠(h, k) < ∠(n, o).. h. k. p. l. n r q. m b. b. b. o. Kuva 26: Lauseen 2.34 todistus. Todistus. Kulman ∠(l, m) aukeamassa on määritelmän 2.17 mukaan sellainen puolisuora p, joka lähtee kulman ∠(l, m) kärjestä ja on samalla puolella puolisuoraa l kuin puolisuora m, että ∠(h, k) ∼ = ∠(l, p), eli ∠(l, p) < ∠(l, m). Lisäksi kulman ∠(n, o) aukeamassa on määritelmän 2.17 mukaan sellainen puolisuora q, joka lähtee kulman ∠(n, o) kärjestä ja on samalla puolella puolisuoraa n kuin puolisuora o, että ∠(l, m) ∼ = ∠(n, q), eli ∠(n, q) < ∠(n, o). Tällöin kulman ∠(n, q) aukeamassa on määritelmän 2.17 mukaan sellainen puolisuora r, joka lähtee kulman ∠(n, q) kärjestä ja on samalla puolella puolisuoraa n kuin puolisuora q, että ∠(l, p) ∼ = ∠(n, r), eli ∠(n, r) < ∠(n, q). ∼ ∼ Koska ∠(h, k) = ∠(l, p) ja ∠(l, p) = ∠(n, r), niin lauseen 2.32 mukaan ∠(h, k) ∼  = ∠(n, r), joten ∠(h, k) < ∠(n, o). Lause 2.35. Olkoot α = ∠(h, k) ja β = ∠(l, m) kulmia. Tällöin yksi seuraavista kolmesta tapauksesta on mahdollinen: α < β, α ∼ = β tai α > β. Todistus. Olkoon n sellainen puolisuora, joka lähtee kulman ∠(l, m) kärjestä ja on samalla puolella puolisuoraa l kuin puolisuora m, että ∠(h, k) ∼ = ∠(l, n). Jos puolisuora n on kulman ∠(l, m) aukeamassa, niin määritelmän 2.17 mukaan ∠(l, n) < ∠(l, m), eli ∠(h, k) < ∠(l, m). Jos puolisuora n = m, niin selvästi ∠(l, n) ∼ = ∠(l, m), eli ∠(h, k) ∼ = ∠(l, m). Jos puolisuora n ei ole kulman 28.

∠(l, m) aukeamassa, niin määritelmän 2.17 mukaan puolisuora m on kulman ∠(l, n) aukeamassa, joten ∠(l, n) > ∠(l, m), eli ∠(h, k) > ∠(l, m).  Hilbertin mukaan Eukleides oletti seuraavan lauseen tarpeettomasti aksioomaksi. Itse hän todisti sen lauseena. Lause 2.36. Kaikki suorat kulmat ovat yhteneviä toisilleen.. D b. b. b. B. b. A. D′ D′′ b. b. C. b. b. B′. b. A′. C′. Kuva 27: Lauseen 2.36 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 21, s. 20]). Olkoon kulma ∠BAD yhtenevä vieruskulmansa ∠CAD kanssa sekä olkoon kulma ∠B ′ A′ D′ yhtenevä vieruskulmansa ∠C ′ A′ D′ kanssa. Teemme vastaoletuksen, että ∠CAD < ∠C ′ A′ D′ . Voisimme vastaavasti olettaa, että ∠CAD > ∠C ′ A′ D′ , mutta tällöin tarkastelu olisi täysin vastaava. Nyt kulman ∠C ′ A′ D′ aukeamassa on sellainen puolisuora A′ D′′ , että ∠CAD ∼ = ∠C ′ A′ D′′ , jolloin lauseen 2.23 mukaan ∠BAD ∼ = ∠B ′ A′ D′′ . Tällöin määritelmän 2.12 mukaan on voimassa, että ∠CAD ∼ = ∠BAD ja ∠BAD ∼ = ∠B ′ A′ D′′ . Koska puolisuora A′ D′ on kulman ′ ′ ′′ ∠B A D aukeamassa, niin määritelmän 2.17 mukaan ∠B ′ A′ D′′ > ∠B ′ A′ D′ ja toisaalta ∠B ′ A′ D′ ∼ = ∠C ′ A′ D′ . Nyt siis on voimassa, että ∠CAD > ∠C ′ A′ D′ , mikä on ristiriidassa vastaoletuksemme kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein.  Määritelmä 2.18. Jos kulma on suurempi kuin sen vieruskulma, niin sanomme sitä tylpäksi kulmaksi ja sen vieruskulmaa teräväksi kulmaksi. Lause 2.37. Kolmion kulman vieruskulma on aina suurempi kuin kolmion muut kulmat, jotka eivät ole sen vieruskulmia. Todistus (vrt. [2, theorem 22, s. 21]). Olkoon △ABC kolmio. Olkoon lisäksi piste D sellainen, että kulma ∠CAD on kulman ∠CAB vieruskulma ja AD ∼ = CB. Osoitamme, että ∠CAD ≇ ∠ACB. Jos ∠CAD ∼ = ∠ACB, niin ∼ ∼ selvästi AC = CA ja aksiooman III 5 mukaan ∠ACD = ∠CAB. Tällöin lauseiden 2.23 ja 2.31 perusteella kulma ∠ACD on yhtenevä kulman ∠ACB vieruskulman kanssa, joten aksiooman III 4 perusteella piste D sijaitsee suoralla CB, mikä on ristiriidassa aksiooman I 1 kanssa. Siis täytyy olla, että ∠CAD ≇ ∠ACB. Osoitamme nyt, että täytyy olla ∠CAD > ∠ACB. 29.