MEKANIKA KEKUATAN MATERIAL1

(1)

JURU

JURUSAN

SAN T

T

UN

KNIK

IVERSI

Oleh

|

2008

ESIN

AS

AS SRI

SRI

GUNA

AKULT

WIJAY

AN

AS

(2)

(3)

BAB I BAB I

PENGANTAR MEKANIKA KEKUATAN MATERIAL PENGANTAR MEKANIKA KEKUATAN MATERIAL

MEKANIKA

MEKANIKA adalah cabang ilmu fisika yang mengkaji suatu benda padaadalah cabang ilmu fisika yang mengkaji suatu benda pada kondisi diam atau bergerak akibat adanya gangguan terhadap benda tersebut. kondisi diam atau bergerak akibat adanya gangguan terhadap benda tersebut. Gangguan tersebut dapat berupa gaya

Gangguan tersebut dapat berupa gaya (force)(force) dan/atau temperatur dan/atau temperatur (thermal)(thermal). Studi. Studi pada benda yang diam disebut statis

pada benda yang diam disebut statis (statics)(statics) dan studi pada benda bergerak disebutdan studi pada benda bergerak disebut dinamis

dinamis (dynamics)(dynamics). Ilmu mekanika memiliki dua cabang yaitu mekanika kekuatan. Ilmu mekanika memiliki dua cabang yaitu mekanika kekuatan material dan mekanika fluida, yang masing-masing berhubungan dengan perilaku material dan mekanika fluida, yang masing-masing berhubungan dengan perilaku benda pejal dan dengan perilaku fluida.

benda pejal dan dengan perilaku fluida.

Beberapa istilah asing yang memiliki arti sama dengan mekanika kekuatan Beberapa istilah asing yang memiliki arti sama dengan mekanika kekuatan material adalah

material adalah strength of materials, mechanics of solids,strength of materials, mechanics of solids, dandan mechanics of mechanics of deformable bodies.

deformable bodies.

Pada semua konstruksi Teknik bagian-bagian dari suatu elemen Pada semua konstruksi Teknik bagian-bagian dari suatu elemen mesin/struktur harus memiliki ukuran fisik tertentu. Bagian-bagian itu harus mesin/struktur harus memiliki ukuran fisik tertentu. Bagian-bagian itu harus memiliki ukuran-ukuran yang tepat sehingga dapat menahan beban yang memiliki ukuran-ukuran yang tepat sehingga dapat menahan beban yang sesungguhnya yang mungkin terjadi. Oleh karena itu pemahaman yang lengkap sesungguhnya yang mungkin terjadi. Oleh karena itu pemahaman yang lengkap mengenai mekanika kekuatan material sangat diperlukan untuk keamanan dan mengenai mekanika kekuatan material sangat diperlukan untuk keamanan dan effisiensi desain. Perhatikan gambar dibawah ini.

effisiensi desain. Perhatikan gambar dibawah ini.

Gambar 1.1. Papan loncat indah Gambar 1.1. Papan loncat indah

(4)

Dari gambar diatas dapat kita lihat bahwa akibat beban w, papan akan Dari gambar diatas dapat kita lihat bahwa akibat beban w, papan akan melendut (deflection) sebesar

melendut (deflection) sebesar

δδ

CC maka kita harus menentukan :maka kita harus menentukan :

a.

a. Panjang dan luas penampang papan.Panjang dan luas penampang papan. b.

b. Panjang lPanjang l11dan ldan l2,2,serta dimensi dari tumpuan Aserta dimensi dari tumpuan A

c.

c. Sifat mekanis papan (modulus elastisitas dan angka poison) sehinggaSifat mekanis papan (modulus elastisitas dan angka poison) sehingga dapat memberikan lendutan yang aman.

dapat memberikan lendutan yang aman. Semua masalah

Semua masalah mekanika mekanika kekuatan bahan kekuatan bahan dihadapkan pada dihadapkan pada dua dua kategorikategori masalah, yaitu

masalah, yaitu masalah kekuatanmasalah kekuatandandan masalah kekakuanmasalah kekakuan. Sebuah struktur/elemen. Sebuah struktur/elemen mesin harus cukup kuat untuk menahan beban yang terjadi, dan cukup kaku mesin harus cukup kuat untuk menahan beban yang terjadi, dan cukup kaku sehingga dapat berubah bentuk (deformation) pada batas-batas yang diijinkan.

sehingga dapat berubah bentuk (deformation) pada batas-batas yang diijinkan.

Tujuan dari analisa mekanika kekauatan bahan pada dasarnya untuk Tujuan dari analisa mekanika kekauatan bahan pada dasarnya untuk menentukan

menentukan tegangantegangan (stress),(stress), reganganregangan (strain), dan(strain), dan lendutanlendutan (deflection). Jika(deflection). Jika harga-harga dari berbagai besaran ini dapat kita ketahui untuk semua harga beban harga-harga dari berbagai besaran ini dapat kita ketahui untuk semua harga beban hingga beban yang menyebabkan kegagalan (failure load), maka kita akan hingga beban yang menyebabkan kegagalan (failure load), maka kita akan memperoleh suatu gambaran lengkap mengenai kekuatan mekanik dari benda itu. memperoleh suatu gambaran lengkap mengenai kekuatan mekanik dari benda itu.

Dalam perkembangan selanjutnya, seiring dengan kemajuan yang pesat Dalam perkembangan selanjutnya, seiring dengan kemajuan yang pesat dibidang komputerisasi, untuk keperluan desain bentuk yang sangat komplek, ilmu dibidang komputerisasi, untuk keperluan desain bentuk yang sangat komplek, ilmu mekanika kekuatan material dibantu dengan M

mekanika kekuatan material dibantu dengan M etode Elemen Hingga, MEHetode Elemen Hingga, MEH (Finite(Finite Element Methode, FEM).

Element Methode, FEM).

Dasar-Dasar Persamaan Mekanika Kekuatan Material Dasar-Dasar Persamaan Mekanika Kekuatan Material

Untuk menyelesaikan permasalahan tegangan dan kekakuan pada mekanika Untuk menyelesaikan permasalahan tegangan dan kekakuan pada mekanika kekuatan material digunakan tiga dasar persamaan, yaitu :

kekuatan material digunakan tiga dasar persamaan, yaitu : 1.

1. Kondisi seimbang harus terpenuhiKondisi seimbang harus terpenuhi 2.

2. Geometri dari benda harus terinci secara jelasGeometri dari benda harus terinci secara jelas 3.

3. Sifat mekanik dari material harus ada.Sifat mekanik dari material harus ada.

Pada kondisi seimbang, mekanisme/struktur harus memenuhi persamaan Pada kondisi seimbang, mekanisme/struktur harus memenuhi persamaan ::

( (

))

0

0 ==

==

∑

F

dan

M

oo 1.11.1

disini pada benda simbang : disini pada benda simbang :

-.

(5)

-. Jumlah momen-momen, terhadap titik nol, dari semua gaya-gaya yang -. Jumlah momen-momen, terhadap titik nol, dari semua gaya-gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol.

(6)

BAB II BAB II

TEGANGAN DAN REGANGAN TEGANGAN DAN REGANGAN

2.1. Tegangan (Stress) 2.1. Tegangan (Stress)

Untuk dapat memahami konsep tegangan

Untuk dapat memahami konsep tegangan regangan, perhatikan sebuah kasusregangan, perhatikan sebuah kasus batang lurus yang memiliki penampang yang sama pada sluruh batang dan dikenai batang lurus yang memiliki penampang yang sama pada sluruh batang dan dikenai

gaya aksial

gaya aksial (axial force)(axial force), seperti pada gambar dibawah ini:, seperti pada gambar dibawah ini:

Gambar. 2. Batang lurus yang dibebani secara aksial Gambar. 2. Batang lurus yang dibebani secara aksial Beban tarik

Beban tarik (tensile load)(tensile load) P, yang bekerja pada salah satu sisi ujung batang,P, yang bekerja pada salah satu sisi ujung batang, sedangkan pada sisi ujung yang lainya bekerja gaya reaksi dari gaya P. Gaya-gaya sedangkan pada sisi ujung yang lainya bekerja gaya reaksi dari gaya P. Gaya-gaya ini terdistribusi secara terus menerus diseluruh penampang, yang analog dengan ini terdistribusi secara terus menerus diseluruh penampang, yang analog dengan penyebaran kontinyu dari tekanan hidrostatik pada permukaan horizontal dalam zat penyebaran kontinyu dari tekanan hidrostatik pada permukaan horizontal dalam zat

cair. Dalam mekanika istilah

cair. Dalam mekanika istilah TeganganTegangan (stress)(stress) digunakan untuk menyatakandigunakan untuk menyatakan distribusi gaya pada seluruh permukaan dimana gaya gaya itu bekerja. Atau dengan distribusi gaya pada seluruh permukaan dimana gaya gaya itu bekerja. Atau dengan kata lain kata lain

))

((

))

((

A

PENAMPANG

LUAS

F

GAYA

TEGANGAN

==

_2.1_2.1

satuan tegangan menurut system SI =

satuan tegangan menurut system SI = N/mN/m22atauatau Pascal (Pa)Pascal (Pa)

satuan tegangan menurut USCS (U.S. Customary system of Units) =

satuan tegangan menurut USCS (U.S. Customary system of Units) = lb/inlb/in22 (pound(pound per square inch,

per square inch, psipsi) atau killopound per square inch () atau killopound per square inch ( ksiksi).). 1 psi = 6895 Pa = 6,895 k Pa

1 psi = 6895 Pa = 6,895 k Pa

Ada dua tipe tegangan yaitu : Ada dua tipe tegangan yaitu : a.

(7)

b.

b. Tegangan Geser (Tegangan Geser (shear stressshear stress))

Tegangan Normal Tegangan Normal

Tegangan normal

Tegangan normal ((normal stressnormal stress) dilambangkan dengan huruf yunani) dilambangkan dengan huruf yunani ((sigmasigma), tegangan normal didefinisikan sebagai :), tegangan normal didefinisikan sebagai :

BEKERJA

GAYA

DIMANA

PENAMPANG

LUAS

PERMUKAAN

DENGAN

LURUS

TEGAK

NORMAL

GAYA

((

))

==

σ

……….. ……….. 2.22.2

Aturan tanda untuk tegangan normal : Aturan tanda untuk tegangan normal :

a.

a. tanda positif (+) menyatakan bahwatanda positif (+) menyatakan bahwa

σ

merukapan tegangan tarik merukapan tegangan tarik (Tensile(Tensile Stress)

Stress) b.

b. tanda negative (-) menyatakan bahwatanda negative (-) menyatakan bahwa

σ

merupakan tegangan tekanmerupakan tegangan tekan (compressive Stress

(compressive Stress)) Contoh 2.1.

Contoh 2.1.

Sebuah pompa sumur yang menggunakan Sebuah pompa sumur yang menggunakan engkol untuk menggerakkan torak penghisap engkol untuk menggerakkan torak penghisap keatas dan kebawah. Diameter batang pompa d keatas dan kebawah. Diameter batang pompa d = 15 mm dn panjangnya L = 97,5 m. batang ini = 15 mm dn panjangnya L = 97,5 m. batang ini memiliki berat jenis

memiliki berat jenis

γγ

= 7,85 ton/m= 7,85 ton/m33, tahanan, tahanan yang dialami penghisap selama gerakan yang dialami penghisap selama gerakan kebawah adalah 890 N dan

kebawah adalah 890 N dan pada gerakan keataspada gerakan keatas 8,9 kN. Tentukan tegangan tarik dan tekan 8,9 kN. Tentukan tegangan tarik dan tekan

pompa selama operasi akibat gerakan

penghisap dan berat batang. penghisap dan berat batang.

Penyelesaian Penyelesaian

Gaya tekan yang ditimbulkan F

Gaya tekan yang ditimbulkan FCC= 890 N, dan gaya tarik F= 890 N, dan gaya tarik FTT= 8,9 kN.= 8,9 kN.

Gaya

Gaya berat berat = = w =w =

γγ

L AL A = 7,85 ton/m

= 7,85 ton/m33x 9,81 x 10x 9,81 x 10 33 N/tonx97,5 mx( N/tonx97,5 mx(

ππ

/4)x(0,015 m)/4)x(0,015 m)22 = 1327 N = 1327 N sehingga sehingga

( (

))

MPa MPa mm mm kNx kNx A A F F _total_total t t 5757,,99 15 15 4 4 10 10 227 227 ,, 10 10 2 2 3 3

==

π π σ σ

( (

))

MPa MPa mm mm N N A A F F cc 5757,,99 15 15 4 4 890 890 2 2

−−

==

−−

==

−−

==

π π σ σ

(8)

Tegangan geser Tegangan geser

Tegangan geser

Tegangan geser bekerja sejajar atau menyinggung permukaan benda, bekerja sejajar atau menyinggung permukaan benda, seperti pada gambar dibawah ini,

seperti pada gambar dibawah ini,

Tegangan geser didefinisikan sebagai gaya total y

Tegangan geser didefinisikan sebagai gaya total y ang bekerja sepanjang penampangang bekerja sepanjang penampang dan sejajar dengan potongan benda, dan disimbulkan dengan

dan sejajar dengan potongan benda, dan disimbulkan dengan (tau).(tau).

BEKERJA

GAYA

DIMANA

PENAMPANG

LUAS

PERMUKAAN

DENGAN

SEJAJAR

GESER

GAYA

((

))

==

τ

……… ……… 2.32.3

(9)

Contoh 2.2 Contoh 2.2

Pada sebuah batang baja dengan Pada sebuah batang baja dengan penampang berbentuk segi empat penampang berbentuk segi empat (10 x 40 mm) diberi beban P dan (10 x 40 mm) diberi beban P dan

dicantelkan pada penyangga

dengan sebuah pasak baja bundar dengan sebuah pasak baja bundar dengan diameter 15 mm, jika dengan diameter 15 mm, jika tegangan tarik ijin bahan adalah tegangan tarik ijin bahan adalah 120 MPa dan tegangan geser ijin 120 MPa dan tegangan geser ijin adalah 60 MPa, tentukan beban adalah 60 MPa, tentukan beban maksimum yang diijinkan.

maksimum yang diijinkan. Penyelesaian:

Penyelesaian:

Pada batang batang baja luas Pada batang batang baja luas

penampang kritis yang menerima tarikan penampang kritis yang menerima tarikan

A

Akritiskritis = (40-15)x10 mm= (40-15)x10 mm22= 250 mm= 250 mm22

Maka beban maksimum yang diijinkan akibat tarikan adalah Maka beban maksimum yang diijinkan akibat tarikan adalah

P =

σ

ijinijin.A.Akritiskritis= 120 MPa x 250 mm= 120 MPa x 250 mm22= 30 kN= 30 kN

Pasak akan menerima double geseran, maka beban maksimum akibat geseran pada Pasak akan menerima double geseran, maka beban maksimum akibat geseran pada pasak adalah pasak adalah P = P =

ττ

ijinijin2A2A = 60 MPa x 2 x = 60 MPa x 2 x

ππ

/4 x (15 mm)/4 x (15 mm)22= 21,2 kN= 21,2 kN

maka dari kedua nilai P diatas, diambil nilai P maksimum yang akan menyebabkan maka dari kedua nilai P diatas, diambil nilai P maksimum yang akan menyebabkan kerusakan adalah 21,2 kN.

kerusakan adalah 21,2 kN.

Sebuah struktur seperti pada gambar Sebuah struktur seperti pada gambar disamping. Batang terbuat dari baja dengan disamping. Batang terbuat dari baja dengan tegangan luluh 36 ksi dan pena pada titik A tegangan luluh 36 ksi dan pena pada titik A dan B terbuat dari baja dengan tegangan luluh dan B terbuat dari baja dengan tegangan luluh 48 ksi. Jika beban P sebesar 5 kips (1000 lb) 48 ksi. Jika beban P sebesar 5 kips (1000 lb) dan dengan factor keamanan 3, tentukan: dan dengan factor keamanan 3, tentukan:

a.

a. jika lebar batang BD adalah 2 in jika lebar batang BD adalah 2 in tentukan tebal t (lihat potongan b-b)

tentukan tebal t (lihat potongan b-b) b.

b. tentukan diameter pasak pada titik Atentukan diameter pasak pada titik A dan B.

dan B. Jawab Jawab

Tegangan Ijin dicari dengan persamaan Tegangan Ijin dicari dengan persamaan

keamanan keamanan Faktor Faktor y y ii σ σ σ σ

==

……… ……… 2.42.4

(10)

Gaya-gaya pada tiap titik diperoleh dengan persamaan keseimbangan dengan Gaya-gaya pada tiap titik diperoleh dengan persamaan keseimbangan dengan menggambar DBB pada batang AC, Seperti pada gambar,

menggambar DBB pada batang AC, Seperti pada gambar,

REGANGAN

REGANGAN (STRAIN)(STRAIN)

Pada gambar diatas, adanya gaya aksial mengakibatkan batang mengalami Pada gambar diatas, adanya gaya aksial mengakibatkan batang mengalami perubahan panjang,

perubahan panjang, dimana batang akan dimana batang akan bertambah panjang jika mbertambah panjang jika mengalami tarikanengalami tarikan dan berkurang panjangnya jika mengalami tekanan. Dimana perubahan panjang dan berkurang panjangnya jika mengalami tekanan. Dimana perubahan panjang persatuan panjang disebut

persatuan panjang disebut reganganregangan(strain)(strain) Atau : Atau : AWAL AWAL PANJANG PANJANG PANJANG PANJANG PERUBAHAN PERUBAHAN REGANGAN REGANGAN

==

concept of strain:

F

nn

F

nn

L

oo

L

oo o o

L

−−

==

ε

Desain untuk batang BD Desain untuk batang BD

Desain untuk pin di titik A dan B Desain untuk pin di titik A dan B

DBB batang AC DBB batang AC

(11)

Ada dua tipe regangan yaitu : Ada dua tipe regangan yaitu :

a.

a. Regangan Normal (Regangan Normal (normal Strainnormal Strain)) b.

b. Regangan Geser (Regangan Geser (shear Strainshear Strain)) Regangan normal

Regangan normal biasanya disebut dengan regangan, terjadi jika berhubunganbiasanya disebut dengan regangan, terjadi jika berhubungan dengan tegangan normal. Regangan merupakan besaran tak berdimensi dan dengan tegangan normal. Regangan merupakan besaran tak berdimensi dan disimbolkan dengan

disimbolkan dengan (epsilon). Perubahan (epsilon). Perubahan panjang panjang akibat akibat beban beban pada regpada reganganangan ditunjukan oleh

ditunjukan oleh (delta).(delta).SehinggaSehingga

ll

δ

ε

==

_………._{……….2.6}_2.6 dimana

dimana

=

perubahan panjangperubahan panjang

= panjang awal (l) – panjang ahir (lo) = panjang awal (l) – panjang ahir (lo) l

l = panjang = panjang awalawal Regangan geser

Regangan geser terjadi akibat tegangan geser. Tegangan geser tidak mempunyaiterjadi akibat tegangan geser. Tegangan geser tidak mempunyai kecenderungan untuk memperpanjang atau memperpendek elemen dalam arah x, y, kecenderungan untuk memperpanjang atau memperpendek elemen dalam arah x, y, dan z , tetapi tegangan geser akan menghasilkan perubahan bentuk seperti terlihat dan z , tetapi tegangan geser akan menghasilkan perubahan bentuk seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

pada gambar dibawah ini.

Regangan geser disimbolkan dengan

Regangan geser disimbolkan dengan (gamma),(gamma), yang merupakan perubahanyang merupakan perubahan bentuk pada gambar diatas. Satuan regangan geser adalah

bentuk pada gambar diatas. Satuan regangan geser adalah redianredian. Sehingga. Sehingga regangan geser dapat dinyatakan dengan :

regangan geser dapat dinyatakan dengan : * *

2

2 θ

θ

π

γ

==

−−

………. ……….2.72.7

(12)

BAB III BAB III

TARIKAN DAN TEKANAN DALAM BATAS ELASTIS TARIKAN DAN TEKANAN DALAM BATAS ELASTIS

Sebuah batang prismatic yang menerima beban aksial, yang dilakukan pada Sebuah batang prismatic yang menerima beban aksial, yang dilakukan pada mesin uji tarik akan diperoleh grafik hubungan tegangan dan regangan seperti pada mesin uji tarik akan diperoleh grafik hubungan tegangan dan regangan seperti pada gambar.

gambar.

Gambar 3.1 Diagram Regangan-Tegangan Gambar 3.1 Diagram Regangan-Tegangan

Pada kurva diatas garis antara titik O dan A, menyatakan bahwa tegangan memiliki Pada kurva diatas garis antara titik O dan A, menyatakan bahwa tegangan memiliki hubungan yang proporsional dengan regangan. Pada daerah pada kurva OA ini hubungan yang proporsional dengan regangan. Pada daerah pada kurva OA ini material berada pada kondisi

material berada pada kondisi elastisitas linearelastisitas linear, artinya apabila beban yang bekerja, artinya apabila beban yang bekerja dihilangkan benda uji akan kembali pada bentuk semula tanpa mengalami dihilangkan benda uji akan kembali pada bentuk semula tanpa mengalami perubahan bentuk

perubahan bentuk (deformation).(deformation). Pada kondisi elastisitas linear ini hubunganPada kondisi elastisitas linear ini hubungan tegangan regangan akan memenuhi

tegangan regangan akan memenuhi Hukum Hooke.Hukum Hooke. Yaitu :Yaitu :

ε

σ

==

E

………..……….. 3.13.1

dimana

dimana EE= Modulus Elastisitas atau Modulus Young (Pascal)= Modulus Elastisitas atau Modulus Young (Pascal) persamaan 3.1 dapat juga ditulis sebagai berikut :

persamaan 3.1 dapat juga ditulis sebagai berikut :

AE

Fl

==

δ

_………_{……… 3.2}_3.2

(13)

pada saat benda mengalami perubahan panjang, benja juga mengalami konstraksi pada saat benda mengalami perubahan panjang, benja juga mengalami konstraksi

lateral (perubahan luas penampang) seperti pada gambar berikut ini lateral (perubahan luas penampang) seperti pada gambar berikut ini

Angka poisson (Poisson’s ratio) menyatakan perbandingan antara kontraksi lateral Angka poisson (Poisson’s ratio) menyatakan perbandingan antara kontraksi lateral dan longitudinal/memanjang selama pengujian tarik. Angka poisson sisimbulkan dan longitudinal/memanjang selama pengujian tarik. Angka poisson sisimbulkan dengan

dengan (nu)(nu), Sehingga:, Sehingga:

aksial aksial lateral lateral

ε

υ

==

−−

………. ………. 3.33.3

untuk keadaan geser (akibat adanga gaya geser) hokum hooke akan

untuk keadaan geser (akibat adanga gaya geser) hokum hooke akan menjadi :menjadi :

=

= G

G

... 3.43.4 dimana

dimana GG = modulus elastisitas geser.= modulus elastisitas geser.

Modulus elastisitas dalam keadaan tarik dan geser ( E dan G ) saling berhubungan Modulus elastisitas dalam keadaan tarik dan geser ( E dan G ) saling berhubungan melalui persamaan berikut ini :

melalui persamaan berikut ini :

P

Bentuk

awal

Bentuk

akhir

(14)

))

1

1 ((

2

2 ++

υ

==

E

G

……… ……… 3.53.5 contoh 3.1. contoh 3.1.

Sebuah batang silindris terbuat dari baja dengan E = 30 x 10

Sebuah batang silindris terbuat dari baja dengan E = 30 x 1033 ksi,ksi,

νν

=

0,3 dan0,3 dan

σ

yy ==

50 ksi. Jika panjang awal batang adalah 4 ft dan diameter awal = 1 in. berapakah 50 ksi. Jika panjang awal batang adalah 4 ft dan diameter awal = 1 in. berapakah perubahan panjang dan perubahan diameter batang akibat gaya aksial 10 kips.

perubahan panjang dan perubahan diameter batang akibat gaya aksial 10 kips.

Penyelesaian. Penyelesaian.

Pertama kita harus menguji apakah dengan

Pertama kita harus menguji apakah dengan beban 10 kips tersebut benda masih padabeban 10 kips tersebut benda masih pada kondisi elastisitas. kondisi elastisitas. y y ksi ksi in in kips kips A A P P σ σ π π σ σ

==

1212,,7373

≤≤

)) 5 5 ,, 0 0 (( 10 10 2 2

sehingga berdasarkan hukum hooke sehingga berdasarkan hukum hooke

AE

P

==

ε

_dan_dan aksial aksial radial radial

ε

υ

==

−−

_maka_maka perubahan panjang

perubahan panjang

δδ

= panjang awal x= panjang awal x

εε

aksialaksial

in in x x x x x x 33 3 3 2 2 2020,,44 1010 10 10 30 30 )) 5 5 ,, 0 0 (( 10 10 48 48

₌₌

−−

==

π π perubahan diameter

perubahan diameter

∆

diameter = d xdiameter = d x

εε

radialradial

= = x x inin x x x x x x x x x x 66 3 3 2 2 127127 1010 10 10 30 30 5 5 .. 0 0 1 1 10 10 3 3 .. 0 0

₌₌

₋₋

−−

π π contoh 3.2. contoh 3.2.

Batang kaku AC, dengan berat batang Batang kaku AC, dengan berat batang diabaikan, yang ujung-ujungnya disangga diabaikan, yang ujung-ujungnya disangga dititik A dan C. pada titik D batang dititik A dan C. pada titik D batang dihubungkan dengan

dihubungkan dengan leveling jack,leveling jack, yangyang selain berfungsi untuk mendukung beban selain berfungsi untuk mendukung beban dari batang CD,

dari batang CD, leveling jack leveling jack juga dapatjuga dapat bergerak naik – turun untuk menjaga batang bergerak naik – turun untuk menjaga batang AC tetap horizontal. Pada titik B terdapat AC tetap horizontal. Pada titik B terdapat beban P dan dengan adanya

beban P dan dengan adanya leveling jack leveling jack beban P akan bekerja pada daerah 0 < a < 1 beban P akan bekerja pada daerah 0 < a < 1 untuk menjaga batang AC tetap horizontal. untuk menjaga batang AC tetap horizontal. Tentukan :

Tentukan : (a).

(15)

(b). perpindahan u

(b). perpindahan uAAketika ketika beban beban diberikan diberikan (c). (c). pergerakan pergerakan uuDDsupaya pada batangsupaya pada batang

AC akibat beban tersebut u

AC akibat beban tersebut uAA= u= uC.C.

Dimana

Dimana P P = = 2 2 Kips, Kips, LL11 = 10 = 10 ft, ft, LL22 = = 5 5 ft, ft, a = a = 0,4 0,4 , , AA11 = 2 in= 2 in22 , , AA22 = 0,8 in= 0,8 in22,,

dan

dan E = E = 30 MPsi.30 MPsi. Penyelesaian . Penyelesaian .

a. DBB pada batang AC a. DBB pada batang AC

dari gambar DBB tersebut, maka dari gambar DBB tersebut, maka

b. Dari persamaan 3.2 b. Dari persamaan 3.2 AE AE Fl Fl

==

δ

δ , dapat ditulis ulang sebagai :, dapat ditulis ulang sebagai :

δ δ

perubahan panjang batang 1 (

δδ

11) = -u) = -uAA

perubahan panjang batang 2 (

δδ

22) = u) = uCC- u- uDD

maka u maka uAA= 2.40(10= 2.40(10-3-3) in) in atau atau Sehingga, Sehingga,

(16)

c. c. co co Se Se sep sep Pe Pe Un Un ma ma co co Se Se lua lua ten ten terj terj Pe Pe Un Un karena u karena uCC== u uDD= u= uCC toh 3.3. toh 3.3. uah batang uah batang erti pada ga erti pada ga yelesaian yelesaian tuk menyele tuk menyele ka : ka : toh 3.4. toh 3.4. uah batang uah batang s penampa s penampa tukan tegan tukan tegan adi pada bat adi pada bat

yelesaian : yelesaian : tuk menyele tuk menyele u uAA, maka :, maka : --δδ₂₂ _{= 2.40}_{= 2.40} memiliki l memiliki l bar dibaw bar dibaw saikan per saikan per baja berpe baja berpe g yang b g yang b gan maksi gan maksi ang tersebu ang tersebu saikan per saikan per 10 10-3-3) in - 2.) in - 2. as penamp as penamp ah ini, tentu ah ini, tentu asalahan in asalahan in nampang li nampang li rbeda-beda rbeda-beda um dan um dan .. asalahan in asalahan in 00(10 00(10-3-3) in) in ng 200 mm ng 200 mm an perubah an perubah , perhatikan , perhatikan ngkaran A ngkaran A seperti p seperti p erubahan erubahan , perhatikan , perhatikan 0.40(10 0.40(10-3-3) i) i 2 2_{, dan E =}_{, dan E =} an panjang an panjang gambar dib gambar dib CD denga CD denga da gambar da gambar entuk yan entuk yan gambar dib gambar dib n n 00 GPa di 00 GPa di ang terjadi. ang terjadi. awah ini : awah ini : ,, awah ini awah ini eri beban eri beban ..

(17)

Ma Ma bes bes seh seh De De De De 1 1 δ δ De De 2 2 δ δ De De 3 3 δ δ seh seh δ δ_tot_tot ka ka arnya tegan arnya tegan ingga dari h ingga dari h ormasi pad ormasi pad ormasi pad ormasi pad E E A A ll F F 3 3 7 7 (( 1 1 1 1 1 1 1 1 ₌₌ = = ormasi pad ormasi pad E E A A ll F F 1 1 2 2 (( 2 2 2 2 2 2 2 2 ₌₌ = = ormasi pad ormasi pad E E A A ll F F 1 1 2 2 (( 3 3 3 3 3 3 3 3 ₌₌ = = ingga defor ingga defor ll==δδ11-- δδ22++ an pada tia an pada tia arga diatas, arga diatas, tiap batan tiap batan batang AB batang AB x x x x x x x x 1 1 200 200 (( 5 5 ,, 48 48 1 1 1 1 (( )) 10 10 5 5 33 batang BC batang BC x x x x x x x x 1 1 200 200 (( 5 5 .. 963 963 1 1 2 2 (( )) 10 10 5 5 33 batang CD batang CD x x x x x x x x 10 10 200 200 (( 256 256 1 1 1 1 (( )) 10 10 5 5 33 asi total p asi total p δ δ₃₃_{= 0.097}_{= 0.097} p batang ad p batang ad tegangan m tegangan m :: AE AE Fl Fl = = δ δ akibat gay akibat gay 097 097 .. 0 0 )) )) 0 0 3 3 3 3 = = akibat gay akibat gay 127 127 .. 0 0 )) 0 0 )) 0 0 3 3 3 3 = = akibat gay akibat gay 099 099 .. 0 0 )) )) 0 0 3 3 3 3 = = da batang a da batang a 0.127 + 0. 0.127 + 0. lah : lah : aksimum te aksimum te 75 kN 75 kN m m 25 kN 25 kN mm mm 25 kN 25 kN m m dalah dalah 099 = 0.69 099 = 0.69 jadi pada b jadi pada b m m tang CD. tang CD.

(18)

TEGANGAN DAN REGANGAN PADA MASALAH STATIS TAK TENTU TEGANGAN DAN REGANGAN PADA MASALAH STATIS TAK TENTU Contoh 3.5

Contoh 3.5

Sebuah batang baja dengan penampang segi empat dengan panjang sisi 20 Sebuah batang baja dengan penampang segi empat dengan panjang sisi 20 mmmm ditumpu pada kedua ujungnya seperti pada gambar. Jika pada titik

ditumpu pada kedua ujungnya seperti pada gambar. Jika pada titik B diberi bebanB diberi beban 450 kN, tentukan reaksi dititik A

450 kN, tentukan reaksi dititik A dan C, dan deformasi batang AB.dan C, dan deformasi batang AB.

Jumlah gaya Vertikal = 0, Jumlah gaya Vertikal = 0,

maka maka Deformasi batang AB

Deformasi batang AB

De

Defoformrmasasii babatatann BBCC

karena karena maka maka Deformasi batang AB Deformasi batang AB

(19)

Sebuah batang Aluminium memiliki luas penampang 2500 mm

Sebuah batang Aluminium memiliki luas penampang 2500 mm33 ditumpu kakuditumpu kaku seperti pada gambar, jika E = 80 GPa, Tentukan tegangan pada tiap bagian dan seperti pada gambar, jika E = 80 GPa, Tentukan tegangan pada tiap bagian dan jarakperubahan panjang masing-masing bagian

jarakperubahan panjang masing-masing bagian Penyelesaian

Penyelesaian

dari gambar diatas diperoleh : dari gambar diatas diperoleh :

(20)

Dua batang vertical terbuat dari baja dan tembaga, Dua batang vertical terbuat dari baja dan tembaga, ditumpu vertical seperti pada gambar disamping, ditumpu vertical seperti pada gambar disamping, jika luas penampang kedua batang adalah 12.5 mm jika luas penampang kedua batang adalah 12.5 mm22 pada bagian bawah batang digunakan untuk pada bagian bawah batang digunakan untuk

menahan beban 10 kg, dan E

menahan beban 10 kg, dan E baja baja = 200 GPa, dan= 200 GPa, dan

E

Etembagatembaga = 110 GPa, tentukan harga x supaya batang= 110 GPa, tentukan harga x supaya batang

penahan beban (bagian bawah) tetap pada posisi penahan beban (bagian bawah) tetap pada posisi

horizontal dan tentukan tegangan pada tiap batang. horizontal dan tentukan tegangan pada tiap batang. Penyelesaian,

Penyelesaian,

Tegangan pada masing-masing bagian Tegangan pada masing-masing bagian

Perubahan panjang pada masing-masing bagian Perubahan panjang pada masing-masing bagian

(21)

Jika Ps

Jika Ps = beban = beban pada batang pada batang bajabaja Pc = beban pada batang

Pc = beban pada batang tembagatembaga Maka :

Maka :

Batang AB ditumpu seperti pada gambar dibawah ini, dan diberi beban di salah satu Batang AB ditumpu seperti pada gambar dibawah ini, dan diberi beban di salah satu ujungnya sebesar 20 kN, jika luas penampang batang baja : 200 mm

ujungnya sebesar 20 kN, jika luas penampang batang baja : 200 mm22 dan luasdan luas penampang batang tembaga : 400 mm

penampang batang tembaga : 400 mm22, tentukan tegangan pada tiap batang., tentukan tegangan pada tiap batang. P

Peerruubbaahhaann aann aann bbaa aa

P

Peerruubbaahhaann aann aann tteemmbbaa aa

Karena

δδ

SS==

δδ

CCmaka dari persamaan (ii) dan(iii)maka dari persamaan (ii) dan(iii)

Gunakan momen pada batang baja Gunakan momen pada batang baja

(22)

penyelesaian, penyelesaian,

Jika Ps

Jika Ps = beban = beban pada batang pada batang bajabaja Pc = beban pada batang

Pc = beban pada batang tembagatembaga Momen pada titik A

(23)

PENGARUH TEMPERATUR PADA DEFORMASI AKSIAL PENGARUH TEMPERATUR PADA DEFORMASI AKSIAL Regangan akibat temperature (Thermal strain) didefinisikan sebagai :

Regangan akibat temperature (Thermal strain) didefinisikan sebagai :

T

T T

==

α

∆

ε

2.13 2.13 dimana

dimana

εε

TT= Regangan akibat temperature= Regangan akibat temperature

α

= Koefesien ekspansi thermal= Koefesien ekspansi thermal

∆

T= Perubahan temperatureT= Perubahan temperature

sehingga pada elemen yang menerima beban mekanik (

σ

) dan beban thermal secara) dan beban thermal secara bersamaan, regangan total yang terjadi adalah :

bersamaan, regangan total yang terjadi adalah :

T

E

T T

==

++

∆

++

==

ε

σ

α

ε

_σ_σ 2.14 2.14 Contoh 3.9 Contoh 3.9

Dua buah batang terbuat dari aluminium dan baja seperti pada gambar dibawah ini, Dua buah batang terbuat dari aluminium dan baja seperti pada gambar dibawah ini, jika pada titik B diberi beban 200 kN pada temperature 320 K, tentukan tegangan jika pada titik B diberi beban 200 kN pada temperature 320 K, tentukan tegangan pada masing-masing batang pada temperature 370 K

pada masing-masing batang pada temperature 370 K

Penyelesaian Penyelesaian E

EAluminiumAluminium = 70 GPa = 70 x 10= 70 GPa = 70 x 1033N/mmN/mm22

E

EBajaBaja = 210 GPa = 210 x 10= 210 GPa = 210 x 1033N/mmN/mm22

α

α_Aluminium_Aluminium = 24 x 10= 24 x 10-6-6/K /K α

α_Baja_Baja = 12 x 10= 12 x 10-6-6/K /K

*. Pertama-tama kita analisis tegangan pada batang akibat beban 200 kN *. Pertama-tama kita analisis tegangan pada batang akibat beban 200 kN jika P

(24)

maka : maka : Perubahan

Perubahan panjang pada panjang pada batang alumbatang aluminiuminium

Perubahan pa

Perubahan panjang pada njang pada batang bajabatang baja

Karena

δδ

AA==

δδ

SS, maka dari persamaan (i) dan (ii) ,, maka dari persamaan (i) dan (ii) ,

Sehingga, tegangan pada batang Aluminium : Sehingga, tegangan pada batang Aluminium :

Dan tegangan pada batang baja : Dan tegangan pada batang baja :

*. Kemudian kita hitung tegangan pada kedua batang akibat perubahan *. Kemudian kita hitung tegangan pada kedua batang akibat perubahan temperature sebesar (50 K),

temperature sebesar (50 K),

perubahan panjang akibat perubahan temperature, perubahan panjang akibat perubahan temperature,

maka total perubahan panjang pada kedua batang akibat te

maka total perubahan panjang pada kedua batang akibat te mperature adalah :mperature adalah : jika akibat perubahan panjang sebesar 0.21 mm

jika akibat perubahan panjang sebesar 0.21 mm tersebut mengakibatkan tegangan ditersebut mengakibatkan tegangan di titik A dan C, maka :

titik A dan C, maka :

Maka tengan total pada kedua batang akibat gaya 200 kN dan perubahan Maka tengan total pada kedua batang akibat gaya 200 kN dan perubahan temperature 50 K adalah

(25)

Tiga buah batang digunakan untuk menumpu batang berbentuk L seperti pada Tiga buah batang digunakan untuk menumpu batang berbentuk L seperti pada gambar dibawah ini, jika batang ketiga didinginkan sampai suhunya turun 50 gambar dibawah ini, jika batang ketiga didinginkan sampai suhunya turun 50 00 C,C, berapakah gaya pada masing – masing batang tersebut.

berapakah gaya pada masing – masing batang tersebut. A A11 = A= A22= A= A33= 1000 mm= 1000 mm22 E = 70 GPa, E = 70 GPa, αα = 23 x 10= 23 x 10-6-6/C/C L L11= 1.25 m, L= 1.25 m, L22 = 2.0 m, L= 2.0 m, L33= 2.50 m= 2.50 m a = 1.25 mm, b = 1.00 mm. c = 2.50 mm a = 1.25 mm, b = 1.00 mm. c = 2.50 mm Penyelesaian, Penyelesaian,

Untuk menyelesaikan permasalah ini

pertama-tama kita analisis gaya-gaya reaksi pertama-tama kita analisis gaya-gaya reaksi yang bekerja pada batang (1), (2) dan (3), yang bekerja pada batang (1), (2) dan (3),

dengan menggambarkan diagram benda bebas batang L, seperti pada gambar dengan menggambarkan diagram benda bebas batang L, seperti pada gambar dibawah ini :

dibawah ini :

Dengan menggunaka momen terhadap titik B Dengan menggunaka momen terhadap titik B

Dari persamaan 3.2 kita tulis ulang menjadi Dari persamaan 3.2 kita tulis ulang menjadi ::

Dimana, Dimana,

(26)

Akibat pendinginan pada batang (3), maka batang L akan berotasi berlawanan arah Akibat pendinginan pada batang (3), maka batang L akan berotasi berlawanan arah dengan jarum jam seperti pada gambar dibawah ini,

dengan jarum jam seperti pada gambar dibawah ini,

yang akan mengakibatkan perubahan panjang pada batang (1), (2) dan (3) sebesar yang akan mengakibatkan perubahan panjang pada batang (1), (2) dan (3) sebesar

δδ

AA,,

δδ

BB, dan, dan

δδ

CC. perbandingan perubahan panjang tersebut dapat ditulis dalam. perbandingan perubahan panjang tersebut dapat ditulis dalam

persamaan berikut ini : persamaan berikut ini :

(3) (3) dengan mensubsitusi persamaan (3) ke persamaan (2) maka diperoleh dengan mensubsitusi persamaan (3) ke persamaan (2) maka diperoleh

(4) (4) kemudian substitusikan persamaan (4) ke persamaan

kemudian substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1), maka diperoleh,(1), maka diperoleh,

sehingga

δδ

DD = 1.0648 mm= 1.0648 mm

kemudian selesaikan persamaan (4) kemudian selesaikan persamaan (4)

(27)

BAB IV BAB IV TORSI TORSI

Beberapa contoh mekanisme torsi dapat dilihat pada gambar berikut ini. Beberapa contoh mekanisme torsi dapat dilihat pada gambar berikut ini.

(b) puntiran pada poros (b) puntiran pada poros

(a)

(a) pembuka pembuka mur mur roda roda (d) (d) distribusi distribusi tegangan tegangan geser geser (c) puntiran pada batang

(c) puntiran pada batang Gambar 4.1 Contoh Torsi Gambar 4.1 Contoh Torsi

Pada sebuah poros pejal yang salah satu sisinya di jepit, akibat adanya gaya Pada sebuah poros pejal yang salah satu sisinya di jepit, akibat adanya gaya puntir yang bekerja pada salah satu ujung poros, maka poros akan terdeformasi puntir yang bekerja pada salah satu ujung poros, maka poros akan terdeformasi

seperti pada gambar berikut ini: seperti pada gambar berikut ini:

(b). Aturan tanda untuk torsi (b). Aturan tanda untuk torsi

(a). Perubahan bentuk (deformation) (a). Perubahan bentuk (deformation)

akibat torsi akibat torsi

(c). Aturan tanda untuk sudut puntir (c). Aturan tanda untuk sudut puntir

(d). Deformasi torsi pada potongan x (d). Deformasi torsi pada potongan x

Gmabar 4.2 Deformasi dan Aturan tanda pada torsi Gmabar 4.2 Deformasi dan Aturan tanda pada torsi

(28)

Pada potongan

∆

x, sudut QRS akan terdeformasi menjadi sudut Q*R*S*, sehinggax, sudut QRS akan terdeformasi menjadi sudut Q*R*S*, sehingga regangan geser yang terjadi adalah

regangan geser yang terjadi adalah = = (x ,(x , 2 2 π π -- Q*R*S* =Q*R*S* = S’R*S*S’R*S* 4.14.1 karena

karena

γγ

adalah kecil maka kita dapat mendekati suadalah kecil maka kita dapat mendekati sudut dengan tangent dut dengan tangent , , pada saatpada saat yang sama kita gunakan limit

yang sama kita gunakan limit

∆

xx

→

0, maka kita dapat :0, maka kita dapat :

dx dx d d x x o o x x o o x x

R

S

φ φ ρ ρ ρδφ ρδφ γ γ

==

∆

→

∆

→

∆

==

_lim

''

*

''

*

lim

4.24.2

persamaan diatas merupakan persamaan regangan geser (

γγ

) ) pada pada potongan potongan xx dengan jarak

dengan jarak

ρρ

(jejari) dari pusat., dimana(jejari) dari pusat., dimana dx dx d d φ φ

adalah

adalah laju puntiranlaju puntiran. Bentuk . Bentuk distribusi regangan geser pada penampang dapat dilihat pada gambar berikut ini distribusi regangan geser pada penampang dapat dilihat pada gambar berikut ini ::

Gambar 4.3 Distribusi regangan geser akibat torsi Gambar 4.3 Distribusi regangan geser akibat torsi

dengan

dengan mengingat, mengingat, Torsi/Momen = Gaya Torsi/Momen = Gaya x Lenganx Lengan

=Tegangan x Luas Penampang x Lengan =Tegangan x Luas Penampang x Lengan Torsi =

Torsi = ss

A

dF

∫ ∫

ρ

Akibat adanya torsi pada sebuah poros, pada penampang poros akan terdapat gaya Akibat adanya torsi pada sebuah poros, pada penampang poros akan terdapat gaya geseran yang mengakibatkan

geseran yang mengakibatkan tegangan gesertegangan geser ((

maka persamaan torsi diatas menjadi maka persamaan torsi diatas menjadi

Torsi =

dA

A A

ρ

τ

∫ ∫

4.34.3 Dari persamaan hokum hooke untuk tegangan kita Dari persamaan hokum hooke untuk tegangan kita peroleh bahwa tegangan geser adalah :

peroleh bahwa tegangan geser adalah :

=

= G

G

4.44.4

Gambar 4.3 Distribusi Tegangan geser Gambar 4.3 Distribusi Tegangan geser

)= )=

), seperti pada gambar berikut ini : ), seperti pada gambar berikut ini :

(29)

dx

d

G

ρ

φ

τ

==

_4.5_4.5 maka

maka Torsi Torsi ==

dA

dx

d

G

A A

⎠

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∫ ∫

ρ

φ

4.64.6

karena G tidak tergantung pada jari-jari

ρρ

maka:maka:

dA

dx

d

G

T

A A 2 2

∫ ∫

==

φ

ρ

4.74.7

Integral dari persamaan diatas dikenal sebagai

Integral dari persamaan diatas dikenal sebagai momen inersia polar (Imomen inersia polar (IPP)), maka, maka

dA

I

A A P P 2 2

ρ

∫ ∫

==

_4.8_4.8

Untuk poros pejal Untuk poros pejal

32

2

4 4 4 4

d

r

I

_P_P

==

π

==

π

_4.9_4.9

Untuk poros dengan jari-jari dalam r

Untuk poros dengan jari-jari dalam r iidan jari-jari luar r dan jari-jari luar r oomakamaka

32

32 ))

((

2

2 ))

((

_o_o44 _ii44 _o_o44 _ii44 P P

d

r

I

==

π

−−

==

π

−−

_4.10_4.10

dari persamaan 3.7 maka laju puntiran diperoleh dari persamaan berikut ini : dari persamaan 3.7 maka laju puntiran diperoleh dari persamaan berikut ini :

P P

GI

T

dx

d

==

φ

atau 4.11 atau 4.11 sudut puntir

sudut puntir

_GI

dx

T

d

ll P P

∫ ∫

==

0 0

φ

_4.12_4.12

jika batang memiliki luas penampang yang seragam sepanjang L maka sudut puntir jika batang memiliki luas penampang yang seragam sepanjang L maka sudut puntir

menjadi : menjadi : P P

GI

TL

==

φ

_4.13_4.13

sehingga jika dalam satu elemen mesin terdapat n bagian dengan jari-jari berbeda sehingga jika dalam satu elemen mesin terdapat n bagian dengan jari-jari berbeda pada jarak L tertentu, maka sudut puntirnya

(30)

ii P P ii ii ii n n ii

G

I

L

T

∑

==

1 1

φ

_4.14_4.14

Persamaan umum untuk tegangan geser akibat torsi adalah Persamaan umum untuk tegangan geser akibat torsi adalah

P P

I

T

ρ

τ

==

_4.15_4.15

dan tegangan geser maksimum pada poros dengan jari-jari r adalah dan tegangan geser maksimum pada poros dengan jari-jari r adalah

P P maks maks maks maks

I

r

T

==

τ

_4.16_4.16 Contoh 4.1 Contoh 4.1

Sebuah poros baja (G

Sebuah poros baja (Gss = 11 x 10= 11 x 1033 ksi)ksi)

dimasukkan kedalam sebuah poros

berlubang yang terbuat dari aluminium (G berlubang yang terbuat dari aluminium (Gaa

= 4 x 10

= 4 x 1033 ksi) dengan suaian paksa,ksi) dengan suaian paksa, sehingga poros baja melekat erat ke poros sehingga poros baja melekat erat ke poros

aluminium seperti pada gambar

disamping, jika terdapat torsi sebesar 10 disamping, jika terdapat torsi sebesar 10 kip pada ujung poros, tentukan a. tegangan kip pada ujung poros, tentukan a. tegangan

geser maksimum pada baja dan

aluminium, b. sudut puntir total pada aluminium, b. sudut puntir total pada poros tersebut.

poros tersebut. Penyelesaian Penyelesaian

a. Dari persamaan 4.5 diperoleh : a. Dari persamaan 4.5 diperoleh :

Maka : Maka : (2) (2) maka, maka,

(31)

Tegangan geser pada permukaan poros baja Tegangan geser pada permukaan poros baja

Tegangan geser pada permukaan poros berlubang aluminium Tegangan geser pada permukaan poros berlubang aluminium

b.

b. Untuk menentukan Untuk menentukan sudut puntir tosudut puntir total kita tidak dapat tal kita tidak dapat menggunaka persammenggunaka persamaanaan 4.12, karena pada permasalahan ini porosnya tidak homogen (terbuat dari dua 4.12, karena pada permasalahan ini porosnya tidak homogen (terbuat dari dua material yang berbeda), tetapi kita gunakan persamaan (3), maka

material yang berbeda), tetapi kita gunakan persamaan (3), maka

Sebuah poros bertingkat AC menerima Sebuah poros bertingkat AC menerima beban torsi pada bagian B dan C. jika beban torsi pada bagian B dan C. jika

modulus geser baja (G

modulus geser baja (GSS) = 11.5 x 10) = 11.5 x 1033ksiksi

dan d

dan d11 = 2 in. Tentukan d= 2 in. Tentukan d22 minimumminimum

berdasarkan tegangan geser ijin baja 8 berdasarkan tegangan geser ijin baja 8 ksi dan sudut puntir maksimum dari ksi dan sudut puntir maksimum dari 0.006 rad.

0.006 rad. Penyelesaian Penyelesaian

Perhatikan DBB untuk poros bertangga berikut ini : Perhatikan DBB untuk poros bertangga berikut ini :

(a).

(a). DBB DBB 1 1 untuk 0<x<4untuk 0<x<40 0 (b). (b). DBB DBB 2 2 untuk 40<untuk 40<x<72x<72 untuk DBB 1:

untuk DBB 1:

Σ

MMxx= 0 = 0 : : TT11= 10 kip.in + 2 kip.in= 10 kip.in + 2 kip.in

=

= 12 12 kin.inkin.in untuk DBB 2:

untuk DBB 2:

Σ

MMxx= = 0 0 : : TT22= = 2 2 kip.inkip.in

dari persamaan 4.13 kita tulis ulang menjadi : dari persamaan 4.13 kita tulis ulang menjadi :

p p GI GI L L f f dengan dengan T T f f

==

θ θ maka : maka : ₄₄ 1 1 1 1 1 1 32 32 d d G G L L f f π π

==

dandan ₄₄ 2 2 2 2 2 2 2 2 32 32 d d G G L L f f π π

==

(1)(1)

total sudut punter merupakan penjumlahan dari sudt puntir tiap bagian, total sudut punter merupakan penjumlahan dari sudt puntir tiap bagian, makamaka

(32)

Sebuah poros baja (G = 11.5 x 10

Sebuah poros baja (G = 11.5 x 1066 psi )psi ) dengan radius r = 1.0 in dan panjang L = 30 dengan radius r = 1.0 in dan panjang L = 30 in dimasukkan kedalam poros berlubang in dimasukkan kedalam poros berlubang aluminium (G = 3.9 x 10

aluminium (G = 3.9 x 1066 psi) yangpsi) yang memiliki panjang L = 20 in dengan jejari memiliki panjang L = 20 in dengan jejari luar aluminium = 1.5 in. poros baja melekat luar aluminium = 1.5 in. poros baja melekat erat keporos aluminium dan ujung-ujungnya erat keporos aluminium dan ujung-ujungnya dijepit, seperti pada gambar disamping, jika dijepit, seperti pada gambar disamping, jika terdapat torsi 5000 lb.in pada bagian B, terdapat torsi 5000 lb.in pada bagian B,

tentukan besarnya tegangan geser

maksimum pada kedua poros. maksimum pada kedua poros. Penyelesaian

Penyelesaian

Diagram denda bebas, poros dibagi menjadi beberapa nodal seperti pada gambar Diagram denda bebas, poros dibagi menjadi beberapa nodal seperti pada gambar berikut ini :

berikut ini :

nodal

(33)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

==

11..22..33 θ θ maka : maka :

Sudut puntir relative, dengan

φφ

AA==

φφ

BB= 0= 0

Dan Dan

Maka Maka

Gunakan persamaan DBB untuk nodal B, maka diperoleh Gunakan persamaan DBB untuk nodal B, maka diperoleh

maka tegangan geser maksimum pada poros baja dan poros aluminium adalah maka tegangan geser maksimum pada poros baja dan poros aluminium adalah

(34)

Poros AB dan CE terbuat dari

Poros AB dan CE terbuat dari bahan yang samabahan yang sama dan memiliki diameter yang sama seperti pada dan memiliki diameter yang sama seperti pada gambar disamping ini. Sebuah torsi T

gambar disamping ini. Sebuah torsi TEE

diberikan pada ujung titik E, jika diberikan pada ujung titik E, jika torsitorsi ditransmisikan dari poros C eke poros AB ditransmisikan dari poros C eke poros AB dengan sebuah gigi roda gigi, dan abaikan dengan sebuah gigi roda gigi, dan abaikan ketebalan roda gigi, tentukan :

ketebalan roda gigi, tentukan : a). rotasi

a). rotasi roda gigi roda gigi B, B, b). rotasi b). rotasi poros titik poros titik E,E, c). torsi titik C

c). torsi titik C Penyelesaian Penyelesaian

a). Rotasi roda gigi B, DBB

a). Rotasi roda gigi B, DBB system roda gigi-porossystem roda gigi-poros

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

φ φ 11..22..33

(35)

Sudut puntir relative seperti pada gambar berikut ini Sudut puntir relative seperti pada gambar berikut ini ::

ketika roda gigi B berputar kearah positif

φφ

BB, maka roda, maka roda

gigi D akan berputar kearah negative, maka dengan gigi D akan berputar kearah negative, maka dengan menggunakan perbandingan jejari roda gigi B dan D menggunakan perbandingan jejari roda gigi B dan D diperoleh :

diperoleh : r

r BB

φφ

BB = = – r – r DD

φφ

DD (4)(4)

penyelesaian selanjutnya dapat dilakukan dengan denggunakan persamaan (4)

penyelesaian selanjutnya dapat dilakukan dengan denggunakan persamaan (4) untuk untuk mendapatkan

mendapatkan

φφ

DDkemudian substitusikan ke persamaan (3) kemudian (2) lalu (1).kemudian substitusikan ke persamaan (3) kemudian (2) lalu (1).

maka sudut puntir pada titik B adalah maka sudut puntir pada titik B adalah

b. sudut puntir pada titik E

b. sudut puntir pada titik E adalahadalah

c. torsi titik C c. torsi titik C

(36)

Poros Transmisi Daya Poros Transmisi Daya

Poros padat atau berlubang biasanya digunakan untuk memindahkan daya dari satu Poros padat atau berlubang biasanya digunakan untuk memindahkan daya dari satu peralatan ke peralatan yang lainya seperti dari turbin ke pembangkit daya listrik, peralatan ke peralatan yang lainya seperti dari turbin ke pembangkit daya listrik,

atau motor ke roda mobil, dan

atau motor ke roda mobil, dan lain-lainnya seperti pada gambar dibawah ini.lain-lainnya seperti pada gambar dibawah ini.

pada gambar diatas, kerja poros yang dilakukan ke pulli D

pada gambar diatas, kerja poros yang dilakukan ke pulli D adalah Wadalah W

C C T T W W

==

..φ φ (4.17)(4.17)

Daya yang dihasilkan poros adalah Daya yang dihasilkan poros adalah

P =

P = dW/dt dW/dt = T = T .(d.(d

φφ

CC/dt/dt ))

=

= T.T.

ω

(4.18)(4.18)

dimana

ω

adalah kecepatan sudut poros atau kecepatan putar poros dalamadalah kecepatan sudut poros atau kecepatan putar poros dalam radian/detik,

radian/detik,

ω

juga biasanya dinyatakan dalamjuga biasanya dinyatakan dalam rpmrpm ((rotation per minuterotation per minute))

ω

= 2= 2

ππ

f (rev/sec)f (rev/sec) = = 60 60 .. .. 2 2π π nn rpm (4.19) rpm (4.19)

dimana f = jumlah putaran per detik dimana f = jumlah putaran per detik n = jumlah putaran per menit n = jumlah putaran per menit

dalam satuan U.S. Customary units daya biasanya dinyatakan dengan Horse-Power dalam satuan U.S. Customary units daya biasanya dinyatakan dengan Horse-Power (hp) dimana

(37)

1 1 hp hp = = 550 550 lb.ft/s lb.ft/s = = 6600 6600 lb.ft/slb.ft/s = = 745.7 745.7 WattWatt Contoh 4.5 Contoh 4.5

Sebuah mpotor listrik dengan daya 10 hp digunakan untuk menggerakkan pompa Sebuah mpotor listrik dengan daya 10 hp digunakan untuk menggerakkan pompa dimana pada transmisi daya digunakan poros pejal dengan tegangan geser ijin 20 dimana pada transmisi daya digunakan poros pejal dengan tegangan geser ijin 20 ksi. Jika poros berputar pada putaran 875 rpm, berapa diameter minimal yang ksi. Jika poros berputar pada putaran 875 rpm, berapa diameter minimal yang digunakan.

digunakan.

Penyelesaian, Penyelesaian,

Daya yang dihasilkan poros adalah Daya yang dihasilkan poros adalah

Maka torsi T , Maka torsi T ,

Supaya aman maka tegangan geser ijin harus lebih besar atau sama dengan tegangan Supaya aman maka tegangan geser ijin harus lebih besar atau sama dengan tegangan geser maksimum, maka

geser maksimum, maka

Jadi d

(38)

BAB V BAB V MOMEN INERSIA MOMEN INERSIA 5.1 Pendahuluan 5.1 Pendahuluan

Pada matakuliah statika struktur kita telah mengenal adanya momen, dimana Pada matakuliah statika struktur kita telah mengenal adanya momen, dimana sebuah momen didefinisikan dengan gaya dikalikan jarak yang tegak lurus dengan sebuah momen didefinisikan dengan gaya dikalikan jarak yang tegak lurus dengan titik tinjau (F.x). momen ini juga disebut dengan momen pertama dari gaya. Jika titik tinjau (F.x). momen ini juga disebut dengan momen pertama dari gaya. Jika momen ini dikalikan lagi dengan jarak (x) yang tegak lurus antara arah gaya dan momen ini dikalikan lagi dengan jarak (x) yang tegak lurus antara arah gaya dan titik tinjau (Fx.x) = F(x

titik tinjau (Fx.x) = F(x22), besaran ini disebut momen kedua dari gaya atau momen), besaran ini disebut momen kedua dari gaya atau momen dari momen gaya atau momen inersia.

dari momen gaya atau momen inersia.

Kadang – kadang sebagai ganti gaya (F) digunakan luas penampang atau Kadang – kadang sebagai ganti gaya (F) digunakan luas penampang atau massa, kemudian momen kedua ini dikenal sebagai momen kedua penampang atau massa, kemudian momen kedua ini dikenal sebagai momen kedua penampang atau momen kedua massa, tetapi semua momen kedua ini menunjukkan momen inersia. momen kedua massa, tetapi semua momen kedua ini menunjukkan momen inersia.

Perhatikan sebuah penampang seperti pada gambar dibawah ini, untuk Perhatikan sebuah penampang seperti pada gambar dibawah ini, untuk menentukan momen inersia terhadap sumbu X – X dan sumbu Y –Y, maka kita bagi menentukan momen inersia terhadap sumbu X – X dan sumbu Y –Y, maka kita bagi penampnag tersebut menjadi beberapa elemen,

penampnag tersebut menjadi beberapa elemen,

G G

Gambar 5.1 Momen inersia Gambar 5.1 Momen inersia

Maka momen inersia elemen terhadap sumbu Y – Y adalah : Maka momen inersia elemen terhadap sumbu Y – Y adalah :

IIyyyy==dAdA. x. x22

Maka I

Maka Iyyyy==

Σ

((dAdA. x. x22))

Dengan

Dengan cara cara yang yang sama, sama, IIxxxx==

Σ

((dAdA. y. y22))

Jika Jika

dA

dA= luas elemen= luas elemen x

x = = jarak jarak pusat pusat grafitasi grafitasi elemenelemen terhadap sumbu X – X terhadap sumbu X – X y

y = = jarak jarak pusat pusat grafitasi grafitasi elemenelemen terhadap sumbu Y – Y terhadap sumbu Y – Y

(39)

5.2. Momen inersia penampang segi empat 5.2. Momen inersia penampang segi empat

perhatikan gambar penampang ABCD perhatikan gambar penampang ABCD

dibawah ini, dibawah ini, jika

jika b b = = panjang panjang penampangpenampang d = lebar penampang d = lebar penampang

untuk mencari momen inersia terhadap untuk mencari momen inersia terhadap sumbu

sumbu X X – X, – X, maka maka penampang ABCDpenampang ABCD dibagi menjadi beberapa elemen dengan dibagi menjadi beberapa elemen dengan panjang elemen

panjang elemendydy, , dengan dengan luasluas penampang elemen = b .

penampang elemen = b . dydy, maka , maka momenmomen inersia elemen terhadap sumbu X – X adalah inersia elemen terhadap sumbu X – X adalah IIxxxx= luas penampang elemen . y= luas penampang elemen . y22

= (b . dy) y

= (b . dy) y22= by= by22dydy

maka momen inersia seluruh penampang dari –d/2 ke d/2 adalah : maka momen inersia seluruh penampang dari –d/2 ke d/2 adalah :

maka maka

contoh 5.1 contoh 5.1

Tentukan momen inersia dengan penampang Tentukan momen inersia dengan penampang seperti pada gambar disamping ini jika b = 60 seperti pada gambar disamping ini jika b = 60 mm, d = 80 mm, b

mm, d = 80 mm, b11= 30 mm dan d= 30 mm dan d11 = 40 mm.= 40 mm.

penyelesaian penyelesaian

Gambar 5.2 MI penampang segi-empat Gambar 5.2 MI penampang segi-empat

(40)

5.3. Teorema sumbu tegak lurus 5.3. Teorema sumbu tegak lurus

sebuah elemen P dengan luas penampang da, memiliki koordinat x dan y sebuah elemen P dengan luas penampang da, memiliki koordinat x dan y sepanjang dua sumbu yang saling tegak lurus OX dan OY, seperti pada gambar, jika sepanjang dua sumbu yang saling tegak lurus OX dan OY, seperti pada gambar, jika sumbu OZ yang tegak lurus terhadap sumbu OX dan OY, dan jarak elemen P sumbu OZ yang tegak lurus terhadap sumbu OX dan OY, dan jarak elemen P terhadap sumbu Z – Z adalah (r) ,

terhadap sumbu Z – Z adalah (r) , atau OP = r,

atau OP = r,

dari gambar kita peroleh dari gambar kita peroleh r

r 22= x= x22 + + yy22 momen inersia elemen P, I

momen inersia elemen P, Ixxxx == dadayy22

dan I dan Iyyyy==dadayy22 maka I maka Izzzz==dadar r 22 = =dada(x(x22 + + yy22)) = I = Ixxxx+ I+ Iyyyy

5.4. Momen inersia penampang lingkaran 5.4. Momen inersia penampang lingkaran

Perhatikan lingkaran ABCD dengan jejari r seperti pada gambar, sebuah Perhatikan lingkaran ABCD dengan jejari r seperti pada gambar, sebuah elemen pada jejari r, dengan ketebalan

elemen pada jejari r, dengan ketebalan dxdx, maka luas penampang elemen ersebut, maka luas penampang elemen ersebut adalah

adalah

da

da= 2= 2

ππ

x dxx dx

momen inersia elemen terhadap sumbu X – X momen inersia elemen terhadap sumbu X – X atau Y – Y adalah : atau Y – Y adalah : = 2 = 2

ππ

xxdxdx(x(x22)) = 2 = 2

ππ

xx33dxdx

maka momen inersia seluruh penampang dari maka momen inersia seluruh penampang dari jejari 0 sampai r adalah

jejari 0 sampai r adalah

maka maka

Gambar 5.3 Toerema sumbu tegak lurus Gambar 5.3 Toerema sumbu tegak lurus

Gambar 5.4 MI penampang lingkaran Gambar 5.4 MI penampang lingkaran

(41)

sebuah penampang lingkaran memiliki diameter luar (D) = 80 mm dan diameter sebuah penampang lingkaran memiliki diameter luar (D) = 80 mm dan diameter dalam (d) = 60 mm, tentukan memen inersia penampang tersebut.

dalam (d) = 60 mm, tentukan memen inersia penampang tersebut.

Penyelesaian, Penyelesaian, 4 4 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 10 10 1374 1374 )) 60 60 80 80 (( 64 64 )) (( 64 64 D D d d x x mmmm I I _XX_XX

==

π π

−−

==

π π

−−

==

5.5. Teorema sumbu sejajar 5.5. Teorema sumbu sejajar

Sebuah penampang berbentuk lingkaran seperti pada gambar, pusat Sebuah penampang berbentuk lingkaran seperti pada gambar, pusat lingkaran memiliki jarak h dengan sumbu AB, jika penampang tersebut dibagi lingkaran memiliki jarak h dengan sumbu AB, jika penampang tersebut dibagi menjadi beberapa elemen dengan luas penampang

menjadi beberapa elemen dengan luas penampang dada, dan y = jarak elemen, dan y = jarak elemen terhadap pusat gravitasi penampang.

terhadap pusat gravitasi penampang.

Kita tahu bahwa momen inersia elemen terhadap sumbu pusat gravitasi adalah Kita tahu bahwa momen inersia elemen terhadap sumbu pusat gravitasi adalah y

y22..dada, dan momen inersia total penampang terhadap sumbu pusat gravitas adalah, dan momen inersia total penampang terhadap sumbu pusat gravitas adalah IIGG==

Σ

yy22..dada

Maka momen inersia penampang terhadap sumbu AB adalah Maka momen inersia penampang terhadap sumbu AB adalah

IIABAB==

Σ

(y + h)(y + h)22..dada ==

Σ

(y(y22+ h+ h22+ 2hy).+ 2hy).dada

= (

Σ

yy22..dada) + () + (

Σ

hh22..dada) + () + (

Σ

2 hy.2 hy.dada)) = I

= IGG + a.h+ a.h22+ 0+ 0

Gambar 5.5 Teorema sumbu sejajar Gambar 5.5 Teorema sumbu sejajar

(42)

Tentukan momen inersia penampang berikut ini terhadap sumbu X – X. Tentukan momen inersia penampang berikut ini terhadap sumbu X – X.

Y Y

Penampang dibagi menajadi 2 dengan; Penampang dibagi menajadi 2 dengan;

dan dan

X

X XX

kemudian tentukan koordinat centriod kemudian tentukan koordinat centriod

kemudian gunakan teorema sumbu sejajar untuk menentukan momen inersia kemudian gunakan teorema sumbu sejajar untuk menentukan momen inersia terhadap sumbu X – X , untuk segi empat (1) momen inersia terhadap centroid ; terhadap sumbu X – X , untuk segi empat (1) momen inersia terhadap centroid ;

dan jarak antara koordinat centroid segiempat (1) ke sumbu X – X dan jarak antara koordinat centroid segiempat (1) ke sumbu X – X maka momen inersia untuk segiempat (1) adalah

maka momen inersia untuk segiempat (1) adalah

untuk segiempat

untuk segiempat (2), (2), momen inersia momen inersia terhadap centroid ;terhadap centroid ;

dan jarak antara koordinat centroid segiempat (2) ke sumbu X – X dan jarak antara koordinat centroid segiempat (2) ke sumbu X – X

maka momen inersia untuk segiempat (2) adalah maka momen inersia untuk segiempat (2) adalah

maka momen inersia total terhadap sumbu X – X adalah maka momen inersia total terhadap sumbu X – X adalah