* x x t x x x t q l Δ =t Δd =l −l +Δ atau * x x x t x q t +Δ − = Δ l l l dimana * x
q menotasikan angka kematian yang berlaku yang didasarkan pada aktivitas kematian dalam interval kecil dari x ke
x+ Δt. Jika kemudian kita limitkan persamaan di atas dengan Δ →t 0, kita mempunyai suatu ukuran yang dinamakan laju kematian sesaat (dinotasikan μx), yaitu
0 lim x x t x t x t μ +Δ Δ → − = Δ l l l didefinisikan bahwa 0 lim x t x x t t D +Δ Δ → − = Δ l l l (turunan dari lx), sehingga diperoleh
x x x D μ =− l l = −Dlnlx. (Brown, 1997) Definisi 20. Erfi (z)
Didefinisikan fungsi galat Erf (x) adalah 2 0 2 x t Erf (x) e dt π − =
∫
sehingga Erfi (z) adalah fungsi galat imajiner dengan rumus :
Erfi(z)=Erf(iz)/i
(Mathematica, 2005)
III. PENGUKURAN EFEK TEMPO PADA ANGKA KELAHIRAN TOTAL
DAN ANGKA HARAPAN HIDUP
3.1 Efek Tempo pada Kelahiran dan Kematian
Berikut diberikan suatu kasus sederhana untuk menggambarkan bagaimana efek tempo pada kelahiran dan kematian terjadi.
Pada kasus kelahiran, gambaran efek tempo yang terjadi dapat dilihat pada situasi yang mewakili kasus tersebut dengan baik, di mana:
1. Hanya kelahiran pertama yang terjadi. 2. Setiap wanita pada kohort kelahiran
memiliki anak pertama tepat pada umur yang sama.
3. Setiap kelahiran terjadi pada interval waktu yang sama selama satu tahun. 4. Setiap kohort mempunyai jumlah wanita
yang sama.
Situasi ini diperlihatkan pada Gambar 1A, di mana kelahiran (digambarkan dengan lingkaran hitam) terjadi pada interval 0.2 tahun dan kohort 1, 2, ..., 6 semuanya melahirkan pada umur yang sama (
x
).Misalkan sekarang rata-rata umur wanita saat melahirkan meningkat 0.2 tahun (dari
x
menjadi
x
+0.2) selama tahun tersebut (diilustrasikan pada Gambar 1B). Peningkatan ini mengakibatkan kelahiran yang terjadi sebelumnya pada umurx
menurun. Besar penundaan ini meningkat selama tahun t, di mana kohort 1 lebih kecil dan kohort 5 lebih besar penundaannya. Penundaan inimenggeser waktu kelahiran untuk kohort 5 dari tahun t ke tahun t+1 sehingga jumlah kelahiran tahun t pada umur
x
menurun sebesar 20 persen. Sebaliknya, jika rata-rata umur wanita saat melahirkan menurun 0.2 tahun selama tahun tersebut maka jumlah kelahiran tahunt
meningkat 20 persen (diilustrasikan pada Gambar 1C) akibat kelahiran kohort 6 bergeser ke tahun t.Perubahan jumlah kelahiran yang terjadi akibat perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan ini berbeda dengan peristiwa berubahnya jumlah kelahiran dengan rata-rata umur wanita saat melahirkan dipertahankan tetap. Perubahan ini biasanya dinamakan efek kuantum, yaitu perubahan intensitas kelahiran yang terjadi pada suatu periode dimana rata-rata umur saat melahirkan tetap. Sehingga pada kasus kelahiran, angka kelahiran total dipengaruhi efek tempo dan efek kuantum.
Pada kasus kematian, efek tempo yang terjadi dapat juga digambarkan seperti pada kasus kelahiran di mana rata-rata umur saat meninggal berubah. Namun, pada kasus kematian tidak terjadi efek kuantum karena kematian bukanlah kejadian yang berulang. Sehingga angka harapan hidup hanya dipengaruhi oleh efek tempo.
t t+1 t t+1 tahun tahun x x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 umur umur
A. Kelahiran tetap B. Kelahiran menurun t t+1 tahun x 1 2 3 4 5 6 umur C. Kelahiran meningkat
Gambar 1 Tiga ilustrasi efek tempo pada kelahiran
3.2 Kelahiran
Angka kelahiran total (TFR) merupakan banyaknya kelahiran setelah tahun tertentu dengan menggunakan data berbagai kohort sehingga sering disebut sebagai kohort sintetis.
Efek tempo pada TFR disebabkan oleh perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan tanpa perubahan besarnya ukuran kohort akhir. Hal ini terjadi karena wanita menunda atau mempercepat waktu melahirkan. TFR menurun saat wanita menunda waktu melahirkan dan meningkat saat wanita mempercepat waktu kelahirannya.
3.2.1 Efek Tempo Kelahiran
Berikut diturunkan formula untuk menentukan nilai TFR yang disesuaikan
tempo, fokus hanya untuk kelahiran urutan pertama. Untuk memudahkan penurunan formula tersebut, subskrip untuk urutan kelahiran dihilangkan. Formula yang diperoleh nanti, digunakan secara terpisah untuk setiap urutan kelahiran untuk memperoleh TFRi, kemudian dijumlahkan untuk memperoleh TFR yang disesuaikan tempo untuk semua urutan kelahiran.
Misalkan fp( , )a t menyatakan angka kelahiran menurut umur untuk wanita berumur a pada tahun t dan f a Tc( , ) menyatakan angka kelahiran menurut umur untuk kohort kelahiran tahun T bagi wanita pada umur a. Kemudian diperoleh
( , ) ( , ) dan ( , ) ( , )
p c c p
f a t = f a t−a f a T = f a T+a (1) untuk umur a dan waktu t dan T
sembarang. Angka kelahiran total untuk tahun
t adalah
TFR( )t = ∫ f a t dap( , ) (2) Dan angka kelahiran paripurna untuk kohort kelahiran tahun T adalah
CFR( )T = ∫f a T dac( , ) (3) Untuk memudahkan menemukan persamaan untuk angka kelahiran total yang disesuaikan, berikut diberikan beberapa kasus:
Kasus 1. Tidak ada efek tempo dan efek kuantum
Misalkan tidak terjadi efek tempo, maka ( , )
p
f a t konstan untuk t pada semua a (atau ekuivalen bahwa f a Tc( , ) untuk T pada semua a), yaitu angka kelahiran menurut umur konstan. Pada kasus ini, angka kelahiran semata-mata merupakan fungsi umur:
( ) ( )
p c
f a = f a dan TFR=CFR untuk setiap periode dan kohort.
Selanjutnya dinotasikan *
TFR atau *
CFR untuk menandai ukuran kelahiran pada kasus tanpa efek tempo.
Kasus 2. Ada efek tempo dengan waktu tetap dan tidak ada efek kuantum
Misalkan terjadi efek tempo dengan angka perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan konstan. Berawal dari tanpa adanya efek tempo, asumsikan CFR tidak berubah, tetapi mulai pada tahun 0 kelahiran ditunda, sehingga umur melahirkan meningkat. Penundaan kelahiran terjadi pada wanita dalam masa reproduksi untuk semua umur, sehingga bentuk fp( )a tidak berubah namun terjadi penurunan akibat penundaan (atau naik jika kelahiran dimajukan sebagai pengganti penundaan).
Misalkan angka kelahiran menurut umur pada kasus ini dinotasikan oleh gp( , )a t , dengan asumsi bentuk gp( , 0)a sama dengan
( , 0) p
f a . Sehingga gp( , )a t juga mempunyai bentuk yang sama dengan gp( , 0)a , tetapi telah terjadi pergeseran ke atas pada axis umur oleh rt tahun (jika r>0) atau turun pada axis umur oleh rt tahun (jika r<0), yaitu
( , ) ( , 0)
p p
g a t =g a−rt (4)
di mana r adalah angka perubahan rata-rata umur melahirkan untuk data periode. Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh
TFR( )t =∫gp( , )a t da=∫gp(a rt− ,0)da (5)
dan dari persamaan (1) dan (3) diperoleh CFR( )T =
∫
g a T dac( , ) =∫
gp( ,a T+a da)( ( ), 0) p
g a r T a da
=
∫
− + (6) Untuk T =0, persamaan (6) menjadiCFR(0)=∫gp(a ra− ,0)da=∫gp( (1a −r),0)da 1 ( (1 ),0)(1 ) x 1 p g a r r da r =∫ − − − 1 ( ,0) x 1 p g a da r = ∫ − TFR (0) 1−r = (7)
Pada kasus 2 ini telah diasumsikan bentuk pola umur periode kelahiran sama seperti halnya pada kasus 1, maka
( , ) ( , )(1 )
p p
g a t = f a+d t −r (8) di mana d adalah total jumlah tahun dengan
p
g telah bergeser terhadap fp pada saat t. Dengan kata lain, pada kasus 2 jadwal sebenarnya saat t dari angka kelahiran menurut umur telah berpindah sepanjang axis umur sebesar d dan dikalikan dengan
(1−r).
Kasus 3 Ada efek tempo dengan waktu berubah dan tidak ada efek kuantum
Kasus 2 sebelumnya hanyalah langkah menemukan konsep untuk mendapatkan hasil yang lebih umum. Pada kasus sekarang merupakan perluasan dari kasus sebelumnya, yaitu angka perubahan rata-rata umur periode melahirkan (r) berubah sesuai waktu, dinotasikan r t( ). Pada kasus ini r t( ) yang diinginkan adalah konstan untuk t pada tahun kelender yang diberikan.
Untuk memperoleh TFR tanpa adanya efek tempo untuk kasus 3, difokuskan untuk kejadian satu tahun. Kemudian dikonstruksi untuk setiap tahun dari wanita paling muda melahirkan sampai akhir masa reproduksinya. Persamaan (9) digunakan untuk bagian konstruksi ini, yaitu
( , ) ( , )(1 ( ))
p p
g a t = f a+d t −r t (9) dan pengintegralan persamaan (10) untuk semua umur, diperoleh
*
Kasus 4 Ada efek tempo dengan waktu berubah dan efek kuantum
Pada kasus ini, TFR berbeda setiap waktu dengan asumsi yang sama untuk r t( ) pada kasus 3, TFR( )t konstan pada tiap tahun kalender yang diberikan.
Turunan yang sama seperti kasus 3, diperoleh * TFR( )t =TFR ( )(1t −r t( )) (11) dan * TFR( ) TFR ( ) 1 ( ) t t r t = − (12) Persamaan (12) digunakan untuk memindahkan efek tempo dari TFR( )t yang diperoleh untuk urutan kelahiran yang berbeda.
Persamaan 12 adalah TFR tanpa adanya efek tempo untuk suatu urut kelahiran, yaitu
* TFR ( )i TFR ( ) 1 ( ) i i t t r t = − (13) Sehingga penjumlahan persamaan (13) untuk semua urutan kelahiran memberikan *
TFR yang disesuaikan tempo:
* *
TFR ( ) TFR ( )
i
t =
∑
t (14)3.2.2 Uji Formula Kelahiran yang Disesuaikan Tempo
Untuk menguji angka kelahiran total yang disesuaikan tempo, diperlukan perbandingan antara angka kelahiran paripurna dari suatu kohort yang sesungguhnya dengan rata-rata dari angka kelahiran total yang disesuaikan tempo.
Misalkan TFR*
menotasikan rata-rata angka kelahiran total yang disesuaikan tempo. Berikut diperlihatkan bahwa
*
CFR=TFR (15) Bukti:
Misalkan f a t( , ) angka kelahiran menurut umur pada saat t dan umur a. Angka kelahiran total adalah
TFR( )t =
∫
f a t da( , ) (16) Distribusi kelahiran oleh umur pada saat t, dinotasikan dengan d a t( , ): ( , ) ( , ) TFR( ) f a t d a t t = (17) sehingga ( , ) 1 dan ( , ) TFR( ) ( , ) d a t da= f a t = t d a t∫
.Angka kelahiran paripurna untuk kohort kelahiran tahun t0 adalah
0 0
CFR( )t =
∫
f a t( , +a da)0 0
TFR(t a d a t) ( , a da)
=
∫
+ + (18)dengan memasukkan persamaan (10) ke dalam persamaan (18), diperoleh
* 0 0 0 0 CFR( )t =
∫
TFR (t +a) 1⎣⎡ −r tp( +a)⎤⎦d t( +a da) * 0 0 TFR (t a v a t da) ( , ) =∫
+ (19) di mana v a t( , )0 = −⎣⎡1 r tp(0+a)⎤⎦d t(0+a). Rata-rata dari TFR ( )* t diberikan oleh* 0 0 0 0 TFR ( ) ( , ) TFR( ) ( , ) t a v a t da t v a t da + =
∫
∫
* 0 0 TFR (t a w a t da) ( , ) =∫
+ (20) di mana w a t( , )0 =v a t( , ) /0∫
v a t da( , )0 .Dari persamaan (19) dan (20) diperoleh bahwa
0 0 0
CFR( )t =TFR( )t
∫
v a t da( , ) (21) Karena diasumsikan bahwa bentuk jadwal konstan, maka∫
v a t da( , )0 =1 dan0 0
( , ) ( , )
w a t =v a t . Oleh karena itu, *
CFR=TFR .
3.3 Kematian
Angka harapan hidup pada suatu umur tertentu didefinisikan sebagai rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di lingkungan masyarakatnya. Biasanya angka harapan hidup pada periode tertentu adalah angka kematian menurut umur yang dihitung menggunakan metode tabel hayat.
Akibat adanya efek tempo pada kasus kematian, yaitu berubahnya rata-rata umur periode saat mati, mengakibatkan angka harapan hidup periode yang dihitung biasanya berubah. Namun, beberapa metode untuk menghitung angka harapan hidup yang menggambarkan kenyataan yang sebenarnya telah dikembangkan. Di antaranya angka harapan hidup kohort, The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL), dan Average Weighted Cohort Life Expectancy (ACLE). Semua indikator tersebut telah dikaji dalam tulisan Sulistiani (2007).
Berikut diturunkan suatu metode lain untuk menentukan angka harapan hidup yang disesuaikan tempo seperti pada kasus kelahiran sebelumnya untuk menentukan besarnya efek tempo yang terjadi pada angka harapan hidup pada periode yang diberikan.
3.3.1 Penghitungan Angka Harapan Hidup
Pada penghitungan tabel hayat, distribusi waktu hidup untuk suatu periode dapat dijelaskan melalui tiga cara berbeda. Fungsi bertahan hidup
( , ), 0a t a≥
l (22a)
menggambarkan proporsi orang yang bertahan hidup hingga tepat berumur a pada tahun t, dimana (0, )l t =1 dan ( , )lω t =0 untuk ω umur tertinggi yang dicapai. Fungsi kerapatan kematian ( , ) ( ), a t d a t a −∂ = ∂ l (22b) yaitu sebaran kematian menurut umur. Fungsi laju kematian sesaat
( , ) ( , ) / ( , ) ( , ) ( , ) d a t a t a a t a t a t μ = =−∂l ∂ l l (22c) menggambarkan risiko kematian untuk setiap umur. Fungsi ini secara formal ekuivalen satu sama lain, sehingga dapat diperoleh
0 ( , ) ( , ) exp[ ( , ) ] a a a t d x t dx x t dx ω μ =
∫
= −∫
l (22d) Misalkan ( , )S a t menotasikan proporsi orang yang lahir pada saat t−a bertahan hidup sampai umur a saat tahun t, d a t( , ) menotasikan kerapatan kematian untuk kohort kelahiran t−a pada umur a, dan ( , )μ a tmenotasikan laju kematian sesaat untuk kohort kelahiran tersebut. Fungsi ( , )S a t dan
( , )
d a t berbeda dengan fungsi bertahan hidup dan fungsi kerapatan pada kohort sintetis yang diperoleh dari tabel hayat untuk suatu data periode biasanya dan penghitungannya memerlukan data kematian masa lampau.
Angka harapan hidup dapat dihitung dengan beberapa persamaan berikut (dinotasikan M1-M3): 1 0 0 0 ( , ) exp{ ( , ) } a M S a t da x t a x dx μ ∞ ∞ = = − − +
∫
∫
∫
(23a) 1M merupakan indikator kematian untuk menghitung angka harapan hidup yang biasanya disebut The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL), yaitu gabungan dari bermacam-macam kejadian kohort dalam suatu model sewaktu atau ukuran kematian yang menunjuk kepada satu periode dalam asumsi suatu penduduk mempunyai angka
kelahiran konstan, tetapi kematian bervariasi pada setiap umur dan waktu (Guillot, 2003).
0 2 0 ( , ) ( , ) ad a t da M d a t da ∞ ∞ =
∫
∫
(23b) 3 0 0 exp[ ( , ) ] a M μ x t dx da ∞ =∫
−∫
(23c) 3M adalah angka harapan hidup yang dihitung biasanya, yaitu M t3( )=e t0( ). Selanjutnya M2 disebut sebagai angka harapan hidup yang distandarisasi.
Berikut akan diperlihatkan hubungan antara 1 M dan M2: Misalkan ( , ) ( , ) ( , ) dan ( , ) ( , ) s s s d a t a t d a t a t a μ a t −∂ = = ∂ l l (24) Fungsi pada persamaan (24) diinterpretasikan sebagai distribusi umur kematian yang diberikan oleh l( , )a t , dimana l(0, )t =1
untuk setiap t, jika diasumsikan l( , )a t fungsi tak ternaikkan dari a(∂l( , ) /a t ∂ ≤a 0). Sekarang diasumsikan pada suatu interval waktu tertentu, ada fungsi p t( ) sehingga
( , )a t p t( ) s( , )a t
μ = μ dan
( , ) ( ) s( , )
d a t = p t d a t (25) Selanjutnya asumsi ini dinamakan asumsi kesebandingan, di mana jika fungsi p t( )
dipenuhi maka jadwal umur μ( , )a t dan
( , )
d a t mempunyai bentuk yang sama (dengan jumlah boleh berbeda) dengan jadwal umur μs( , )a t dan d a ts( , ). Akibat rata-rata umur saat mati meningkat atau menurun,
( , )a t
μ dan d a t( , ) bergeser pada umur yang lebih tinggi atau lebih rendah dari μs( , )a t dan d a ts( , ). Nilai μ( , )a t dan d a t( , )
menurun atau meningkat relatif terhadap
( , )
s a t
μ dan d a ts( , ) oleh faktor kesebandingan p t( ).
Jika asumsi kesebandingan tersebut terpenuhi, maka 1( ) ( ) 1 M t p t t ∂ = − ∂ (26) (Bukti di Lampiran 1) dan dari persamaan (26), persamaan (25) menjadi
1 1 ( ) ( , ) 1 ( , ) ( ) ( , ) 1 ( , ) s s M t d a t d a t t M t a t a t t μ μ ∂ ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∂ ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ (27a-b)
Sehingga dari persamaan (23a) dan (24a), diperoleh 0 1 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) s s ad a t da M t a t da d a t da ∞ ∞ ∞ =
∫
=∫
∫
l (28)dan dari persamaan (23b) dan (25b),
0 2 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) s s ap t d a t da M t p t d a t da ∞ ∞ =
∫
∫
(29)Jika faktor kesebandingan ( )p t pada persamaan (29) dikanselasi, maka
1( ) 2( )
M t =M t .
3.3.2 Pemindahan Efek Tempo Kematian
Efek tempo menurunkan (meningkatkan) ( , )
d a t dan ( , )μ a t ketika rata-rata umur mati yang disesuaikan naik (turun). Persamaan (23a-b) menunjukkan efek tempo diduga oleh faktor 1( ) 1 M t t ∂ − ∂ ketika asumsi
kesebandingan terpenuhi. Akibat 1( ) 2( )
M t =M t , efek tempo juga diduga oleh faktor 1 M t2( )
t
∂ −
∂ .
Pengintegralan fungsi kerapatan kematian ( , )
d a t untuk semua umur dalam ukuran periode kematian disebut angka kematian total (Total Mortality Rate (TMR)). Ukuran ini sama dengan angka kelahiran total pada kasus kelahiran. Sehingga
0
TMR(t)= d a t da( , )
∞
∫
(30) Substitusi dari persamaan (27a) memberikan0
TMR(t)= p t d a t da( ) s( , ) p t( )
∞
=
∫
(31)Berikut akan dicari angka harapan hidup yang disesuaikan tempo.
Misalkan didefinisikan * * 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) dan d ( , ) ( ) ( ) 1 1 a t d a t a t a t M t M t t t μ μ = = ∂ ∂ − − ∂ ∂ (32a-b) sebagai kerapatan kematian dan laju kematian sesaat yang disesuaikan tempo. Dari persamaan (27a-b) diperoleh
*
( , )a t s( , )a t
μ =μ dan d a t*( , )=d a ts( , ), ketika asumsi kesebandingan terpenuhi.
Untuk memperoleh angka harapan hidup yang disesuaikan tempo, digunakan persamaan (23c) dengan mengganti ( , )μ a t
dengan * ( , )a t μ , sehingga
[
]
4 1 0 0 ( ) exp ( , ) / (1 ( ) / ) a M t μ x t M t t dx da ∞ ⎧⎪ ⎫⎪ = ⎨ − − ∂ ∂ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭∫
∫
(33) di mana M t4( ) menotasikan angka harapan hidup saat lahir tanpa efek tempo. Dengan menggunakan persamaan (31) diperoleh4 0 0 ( , ) ( ) exp TMR( ) a x t M t dx da t μ ∞ ⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭
∫
∫
(34) Dari persamaan (27b) 4 0 0 ( ) exp ( , ) a s M t μ a t dx da ∞ ⎧⎪ ⎫⎪ = ⎨− ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭∫
∫
0 ( , )a t da ∞ =∫
l =M t1( ) (35) Jadi, pemindahan efek tempo dari M t3( ) dihasilkan pula oleh M t1( ) atau M t2( ). Sehingga angka harapan hidup yang tidak terdistorsi oleh tempo dapat diduga dengan1( )
