MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM
BERDARAH DENGUE
JUMADI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Agustus 2008
J u m a d i NIM 060051
ABSTRACT
JUMADI. Mathematical Model of Dengue Disease Transmission. Under direction of PAIAN SIANTURI and N. K. KUTHA ARDANA
Dengue disease was transmitted to human through infected mosquito Aedes Aegypti. It was found widely in the tropical regions of the world. Infection of dengue virus could be grouped into two mechanisms. The first mechanism was vertical transmission in mosquito body, where virus could be transmitted by female mosquito into her eggs. The second mechanism was transmission from mosquito into human body and conversely. In this study, mathematical models were used to study the behavior of the transmission of dengue disease. The mathematical model of the disease with assumption of healthy mosquito eggs was compared to the modified mathematical model of dengue disease assuming that some of mosquito eggs were infected by dengue virus. The seasonal influence, especially temperature, was considered in the analysis. The standard dynamical analysis was applied to both mathematical models. Numerical results showed that infected mosquito eggs influenced the spreading of dengue disease. There were bigger oscillation in the susceptible and infected human population, as well as in the infected mosquito, as a result of stronger seasonal influence during extrinsic incubation.
RINGKASAN
JUMADI. Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI, dan N. K. KUTHA ARDANA.
DBD adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue. Penyebaran virus demam berdarah dengue ditularkan oleh nyamuk. Nyamuk Aedes aegypti merupakan nyamuk utama penyebar virus dengue, namun spesies lain seperti
Aedes albopictus, Aedes polynesiensis, berperan sebagai nyamuk sekunder.
Peningkatan penyebaran demam berdarah dengue yang mencolok terjadi pada awal dan akhir musim hujan hal ini karena tempat perindukan nyamuk terbentuk dengan tertampungnya air hujan.
Penularan virus ini dapat dikelompokkan menjadi dua mekanisme. Mekanisme pertama, transmisi vertikal dalam tubuh nyamuk. Pada mekanisme ini virus dapat ditularkan oleh nyamuk betina pada telurnya dan juga dapat ditularkan dari nyamuk jantan ke nyamuk betina melalui kontak seksual, tetapi tidak berlaku sebaliknya (Malavige et al. 2004). Mekanisme kedua, transmisi dari nyamuk ke dalam tubuh manusia dan sebaliknya. Pemodelan penyebaran penyakit demam berdarah dengue akan mempermudah dalam memahami dinamika penyebaran penyakit dalam suatu populasi.
Beberapa penelitian tentang model matematika untuk mengkaji penyebaran DBD antara lain telah dilakukan oleh Esteva (1998) yaitu memodelkan penyebaran penyakit DBD dengan dua jenis virus dengue berbeda yang menyerang manusia. Derouich (2003 ) membuat model pada kasus dua epidemik dengan dua virus yang berbeda. Nuraini et al. (2007) meneliti model penyebaran virus dengue dalam aliran darah manusia. Pongsumpun (2006) memodelkan penyebaran DBD dengan melihat pengaruh musim pada masa inkubasi virus di dalam nyamuk.
Modifikasi model ini dilakukan karena pada umumnya pemodelan penyebaran demam berdarah dengue masih berasumsi bahwa semua kelahiran nyamuk dalam keadaan bebas dari virus.. Selanjutnya model yang telah dimodifikasi dilakukan analisis kestabilan dan simulasi numerik. Simulasi dilakukan dengan pemrograman berbasis fungsional menggunakan software
Mathematica 6.0 untuk membandingkan kedua model penyebaran DBD tersebut.
Pengaruh musim terutama suhu dipertimbangkan dalam analisis ini karena masa inkubasi ekstrinsik di dalam suhu rendah itu adalah lebih lama, padahal rata-rata masa hidup nyamuk 14 hari.
Hasil analisis yang telah dilakukan terhadap model modifikasi penyebaran penyakit DBD diperoleh 2 titik tetap yaitu
dan dengan proporsi manusia peka, proporsi manusia terinfeksi dan proporsi nyamuk terinfeksi. Pada titik tetap , populasi hanya terdiri dari proporsi manusia peka saja. Sedangkan pada titik tetap , populasi terdiri dari ketiga kelas. Analisis kestabilan titik tetap tersebut bergantung pada nilai , dengan adalah bilangan reproduksi dasar. Jika <1, maka titik tetap bersifat stabil. Pada titik tetap bersifat stabil jika >1.
Selanjutnya dari hasil simulasi, diperoleh informasi, semakin kecil rata-rata gigitan nyamuk per hari maka proporsi manusia peka semakin besar,
sedangkan proporsi manusia terinfeksi dan nyamuk terinfeksi semakin kecil serta bersifat tak linear. Semakin kecil rata-rata gigitan nyamuk per hari mengakibatkan waktu untuk mencapai stabil semakin lama. Semakin besar peluang telur nyamuk terinfeksi maka proporsi manusia peka semakin kecil, proporsi manusia terinfeksi semakin besar dan bersifat linear , sedangkan proporsi nyamuk terinfeksi semakin besar serta bersifat tak linear. Semakin besar peluang telur nyamuk terinfeksi mengakibatkan waktu untuk mencapai stabil semakin cepat. Waktu untuk mencapai stabil pada model modifikasi lebih cepat dari model asli. Perilaku osilasi akan berubah lebih besar pada proporsi populasi manusia peka, manusia terinfeksi dan nyamuk terinfeksi, selagi pengaruh keragaman musim pada masa inkubasi ekstrinsik menjadi lebih besar.
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber
a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik
atau tinjauan suatu masalah.
b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM
BERDARAH DENGUE
JUMADI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Judul Tesis : Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue Nama : Jumadi NIM : G551060051 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Paian Sianturi
Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 ini ialah masalah penyebaran penyakit demam berdarah dengue, dengan judul Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Paian Sianturi dan Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing, atas segala saran dan bimbingannya. Terima kasih juga disampaikan kepada Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. yang telah banyak memberikan saran selaku penguji luar komisi. Ucapan terima kasih penulis disampaikan pada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2008
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Klaten pada tanggal 28 Agustus 1970 dari ayah Mardi Utomo dan ibu Samijem. Penulis merupakan putra Pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 1989 penulis lulus dari SMA Negeri Prambanan Klaten dan pada tahun yang sama lulus seleksi IKIP Yogyakarta. Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program D3 dan selesai pada tahun 1992. Tahun 1995 melanjutkan kuliah di IKIP Medan lulus tahun 1997.
Tahun 1993 penulis menjadi staf pengajar di SMP Muhammadiyah 19 Pematangsiantar dan SMA Muhammadiyah 7 Serbalawan. Pada tahun 1994 masuk PNS dan mengajar di MTs Negeri Pematangsiantar. Pada tahun 2006 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ………..xi
DAFTAR GAMBAR ………xii
DAFTAR LAMPIRAN ………xiv
I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan Penelitian ... 2
II LANDASAN TEORI ... 3
2.1 Sistem Persamaan Diferensial ... 3
2.2 Titik Tetap ... 3
2.3 Pelinieran ... 4
2.4 Komunitas Multi-Spesies dan Kriteria Routh-Hurwitz ... 5
2.5 Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensial ... 7
II MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DBD ... 8
3.1 Penyebaran Virus DBD ... 8
3.2 Model Matematika ... 9
3.3 Modifikasi Model ... 11
3.4 Model dengan Pengaruh Musim ... 13
IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 15
4.1 Penentuan Titik Tetap ... 15
4.2 Analisis Kestabilan ... 15
4.2.1 Perilaku di Sekitar Titik Tetap
... 16
4.2.2 Perilaku di Sekitar Titik Tetap
... 17
4.3 Simulasi Model ... 18
4.3.1 Nilai-nilai Parameter ... 18
4.3.2 Hasil Simulasi Model ... 19
V KESIMPULAN DAN SARAN ... 30
5.1 Kesimpulan ... 30
5.2 Saran ... 30
DAFTAR PUSTAKA ... 31
LAMPIRAN ... 32
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Nilai-nilai Parameter Model Asli dan Model Modifikasi ……….. 19
2 Hubungan antara , , dan b………. 40
3 Hubungan antara , , dan ……….... 41
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Skema penyebaran DBD dengan asumsi semua telur nyamuk sehat... 9 2 Skema penyebaran DBD dengan asumsi sebagian telur nyamuk
terinfeksi. ………. 12 3 Proporsi manusia peka , proporsi manusia terinfeksi dan
proporsi nyamuk terinfeksi dengan =5.29 ……….. 20 4 Proporsi ketiga kelompok yakni , , dan pada Gambar 3,
ditampilkan dalam 3 dimensi ……….. 20 5 Proporsi manusia peka
dengan nilai rata-rata gigitan nyamuk (b) berbeda dan nilai parameter yang lain tetap ……… 21 6 Proporsi manusia terinfeksi
dengan nilai rata-rata gigitan nyamuk (b) berbeda dan nilai parameter yang lain tetap ……….. 21 7 Proporsi nyamuk terinfeksi dengan nilai rata-rata gigitan nyamuk (b)
berbeda dan nilai parameter yang lain tetap ……… 21 8 Proporsi manusia peka , proporsi manusia terinfeksi ,
proporsi nyamuk terinfeksi dan = 5.34 ……… 22 9 Proporsi ketiga kelompok yakni , , dan pada Gambar 8,
ditampilkan dalam 3 dimensi ……….. 22 10 Proporsi manusia peka nilai peluang telur nyamuk terinfeksi
berbeda ……… 23 11 Proporsi manusia terinfeksi dengan nilai peluang telur nyamuk
terinfeksi berbeda ……… 23 12 Proporsi nyamuk terinfeksi dengan nilai peluang telur nyamuk
terinfeksi berbeda ……… 24 13 Hubungan antara proporsi manusia peka , manusia terinfeksi ,
dan nyamuk terinfeksi , dengan rata-rata gigitan nyamuk per hari disimulasikan pada [0.1, 2] step 0.1 (lihat lampiran 6) ………... 24 14 Hubungan proporsi manusia peka , manusia terinfeksi
dan nyamuk terinfeksi dengan peluang transmisi virus dari nyamuk kepada telurnya disimulasikan pada [0, 1] step 0.1 (lihat lampiran 7) 25
15 Proporsi manusia peka pada model asli dan model modifikasi …….. 26 16 Proporsi manusia terinfeksi
pada model asli dan model modifikasi 26 17 Proporsi nyamuk terinfeksi
pada model asli dan model modifikasi ... 26 18 Proporsi manusia peka , proporsi manusia terinfeksi dan
proporsi nyamuk terinfeksi , dengan , serta nilai parameter yang lain tetap ……… 27 19 Proporsi ketiga kelompok yakni , , dan pada Gambar 18,
ditampilkan dalam 3 dimensi ……….. 27 20 Proporsi manusia peka , proporsi manusia terinfeksi dan
proporsi nyamuk terinfeksi (Iv) dengan , ………. 28 21 Proporsi ketiga kelompok yakni , , dan pada Gambar 20,
ditampilkandalam 3 dimensi ………... 28 22 Proporsi manusia peka , proporsi manusia terinfeksi dan
proporsi nyamuk terinfeksi (Iv) dengan , serta nilai
parameter yang lain tetap ……… 29
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Bukti teorema 2 kriteria Routh Hurwitz ……….. 33
2 Program mencari titik tetap model modifikasi ……… 34
3 Mencari nilai , , dan ………. 35
4 Program untuk simulasi model ………... 37
5 Program Plot hubungan , , dengan b dan ………. 38
6 Tabel 2 Hubungan antara , , dan b……… 40
7 Tabel 3 Hubungan antara , , dan ……….. 41
