bab 2 persamaan diferensial 1 1

BAB II

PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara-cara menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dan dapat mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian khusus masalah nilai awal dengan syarat awal.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial variable terpisah dan selesaian khusus masalah nilai awal.

2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah dan selesaian khusus masalah nilai awal.

3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal.

4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal.

5. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal.

6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal.

7. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial berbentuk yf(xy)dxxg(xy)dy0 dan selesaian khusus masalah nilai awal. 8. Mahasiswa dapat menentukan trayektori orthogonal dan trayektori isogonal

suatu persamaan keluarga kurva.

diferensial yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. (3) persamaan diferensial homogen, (4) persamaan diferensial tidak homogen, (5) persamaan diferensial ekskak, (6) persamaan diferensial tidak eksak, (7) persamaan diferensial bentuk umum yf(xy)dxxg(xy)dy0, dan (8) trayektori.

Sebagaimana telah dijelaskan pada bab I, persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah persamaan diferensial yang didalamnya memuat turunan tertinggi yaitu turunan tingkat satu yang dilambangkan dengan 

    

dx dy

. Secara umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu ditulis dalam bentuk:

0

)

,

(

)

,

(

x

y

dx



N

x

y

dy



M

Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi: dy

y x N dx y x

M( , )  ( , )



) , (

) , (

y x N

y x M dx

dy  



) , (x y F dx dy



 ... bentuk eksplisit

0 ) , ,

( 



dx dy y x

F ... bentuk implisit

Bentuk umum yang disebutkan di atas mengakibatkan jenis persamaan diferensial tingkat satu derajat satu terdiri atas beberapa jenis. Untuk lebih memudahkan dalam menentukan primitif atau selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, dilakukan pengelompokan menjadi beberapa jenis.

1) Persamaan diferensial variabel terpisah.

2) Persamaan yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. 3) Persamaan diferensial homogen.

5) Persamaan diferensial eksak. 6) Persamaan diferensial tidak eksak.

7) Persamaan diferensial yang berbentuk yf(xy)dxxg(xy)dy0

Persamaan-persamaan diferensial tersebut di atas masing-masing mempunyai karakteristik dan ciri-ciri yang berbeda-beda. Prinsip utama dalam menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah mengelompokkan masing-masing koefisien diferensial dengan diferensial yang sejenis atau sedapat mungkin menjadikan sejenis masing-masing koefisien diferensialnya. Khusus untuk persamaan diferensial yang tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain (tabel, teorema) akan sangat membantu.

Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat satu.

2.1 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk umum M(x,y)dxN(x,y)dy 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial variable terpisah (separable), jika M(x,y) f(x)dan

) ( ) ,

(x y g y

N  . Atau dengan kata lain M(x,y)adalah fungsi x saja dan )

, (x y

N adalah fungsi ysaja. Sehingga bentuk umumnya 0

) , ( )

,

(x y dxN x y dy

M _{ditulis dalam bentuk} f(x)dxg(y)dy0 Perhatikan contoh berikut ini.

1. (x3x2)dx2ydy0 



3 2



2 0

dx dy y x x

2 ( 3 2) (3 2 ) x x x

x dx dy

y    



  

 

 

y x x dx dy

2 3 2

 2  0 dx dy x y

_y2

dx dy x 



x y dx dy 2

 

3. y' y 12x2

y dy dx x  

 2

2 1

4. xdxsin ydy0

5. 2 2

1

2y x

dx dy





2 1 2  ₂ 0 y dy dx x

Karena tanda diferensial persamaan di atas dx dan dy berpasangan dengan variable yang sejenis yaitu x berpasangan dengan dx dan y berpasangan dengan dy , sehingga untuk menentukan selesaian umum persamaan tersebut cukup

dengan mengintegralkan masing masing bagian. Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial xdx2dy0 Jawab

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh:



xdx



2dy c

c

c

y

c

x

2



₁



2



₂



2

1

2 1 2

2 2 1

c c c y

x    



c

y

x





4

2

x

c

y







Persamaan

4

2

x

c

y





disebut primitif atau persamaan keluarga kurva atau selesaian umum persamaan diferensial xdx2dy 0.

2. Tentukan selesaian persamaan diferenesial

0

3





x

dy

y

dx

Jawab

Persamaan di atas dapat diubah menjadi

xdx



3

ydy



0

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:



xdx 



3 dyy 0

c y

x  

 2 2

2 3 2 1

c y x  

 2 2

3

c y

x  

 2 2

2 3 2 1

c y x  

 2 2

3

3

2

c x

y 



Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah

3

2

c x

y 

3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensialxdx2ydy0 Jawab



xdx



2y dyc c y x  

 2 2

2 1

c y x  

 2 2

2

2

2

x c

y 



Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah

2

2

x c

y 

4. Tentukan selesaian umum persamaan: 0

) 1 (

sinxdx y dy dengan y() = 1 Jawab

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:



sinxdx



(1y)dyc c y y

x   

 2

2 cos

2

Karena y() = 1 maka diperoleh   c

    

 2

) 1 ( ) 1 ( 2 2 cos

2 

Diperoleh c = 3, sehingga selesaian khusus persamaan diferensial 0

) 1 (

sinxdx y dy adalah 2cosx2yy2 3

5. Tentukan selesaian umum persamaan 0

) 4 ( ) 2 1

(  y dx x dy

Jawab

Persamaan (12y)dx(4x)dy0dapat diubah menjadi 0

2 1

4   y  dy x dx

c y dy x

dx

   



4



1 2

c y

x   

 

 ln1 2

2 1 4

ln



x   y



c



 ln4 ln 1 2



x   y



c

 ln4 ln 1 2 c

y x   

ln(4 ) 1 2 c y x   

(4 ) 1 2





2

4 2 1

x c y

   



4



1

2 ₂ 

  

x c y









2

2

4 2

4 x

x c

y

    

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah









2

2

4 2

4 x

x c

y

   

Latihan soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial di bawah ini. 1. y2dxxdy0

2. cosydx(1ex)dy0 3. dx(1x2)coty dy0

4. x

dx dy

sec 1 3

1

 

5. (1x2)y'2

7. xdyydx0 dengan y(1)1 8. (1x)dx2y2dy0 dengan y(0)1 9. ' 3(1 ) (0)3

y dengan y

x

y

10. x y

dx

dy 2

cos 2

 dengan

4 ) 0 (  y

11. '2 3 2 (1)0 y dengan e

x

y y

12. ' 3(1 ) (0)3

y dengan y

x y

13. y'2x3dengan y(1)1 14. x3y2 dengan y(1)0

dx dy

15. ' 2₂ dengan y(0)0 y

y

Catatan

Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien diferensial berupa variable sejenis berkumpul dengan diferensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana f(x)dxg(y)dy0

2.2 Persamaan yang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan diferensial variable terpisah jika bentuk umum M(x,y)dxN(x,y)dy0 dapat dinyatakan dalam bentuk:

0 ) ( ) ( )

( )

( _{1 2 2}

1 x g y dx f x g y dy 

f

0 ) (

) ( )

( ) (

1 2 2

1  

 dy

y g

y g dx x f

x f

0 ) ( )

(  

Selanjutnya bentuk

) ( ) (

1

1 2 x g y

f disebut faktor integrasi. Selesaian umum persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis dikelompokkan dengan diferensialnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial2(y3)dxxydy0 Jawab

Persamaan di atas direduksi menjadi 0

) 3 ( 2

   

y ydy x

dx

c y

ydy x

dx

  







) 3 ( 2





_ _  

 

 dy c

y x

dx

3 3 1

2









  

 dy c

y dy x

dx

3 3 1

2

c y

y

x     2ln 3ln 3

y c y

x    

 2 3

) 3 ( ln ln

y c y

x   

 2 3

) 3 ( ln

y c e y

x   

 2 3

) 3 (

y ce y

x  

 2 3

) 3 (

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah y

ce y

x2( 3)3 

2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial

) 3 (

4  

y x

y dx

dy

Jawab

Persamaan di atas dapat direduksi menjadi: dx

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian persamaan diperoleh



_  _ 









Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah

y ce y x4 3 

3. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh 0

1 1 1 1

1

   

          







dy

y dx

x

0 1 1

    





  

dy

y dy dx x

dx

c y

y x

x     

ln ln 1

y x c y

x     ln ( 1)

y x c e y

x      ( 1)

Karena y(1)0 maka 1(01)ec10. Diperleh c1sehingga diperoleh selesaian khusus persamaan 1

) 1

(   xy e y

x

Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan selesaian persamaan diferensial dan selesaian khusus masalah nilai awal berikut ini:

1. dx(1x2)coty dy0 2. cosydx(1ex)sin ydy0 3. (1 2) 0

dy x xydx

4. x2(y4)dx y(x2 1)dy0 5. 1₃

xy dx dy x 

7. y1  y'ecosxsin x 8.

y y dx

dy x

3 1 2



9. ₂

2

1 sec '

x y y





10. y' y(2sinx)

11. 8x2e3 dengan y(1)0 dx

dy y

12. (0) 1

1 2

2 4 3 2

   



 dengan y y

x x dx dy

13. 

 

1 y2 tanx,dengan y(0) 3 dx

dy

14.

4 ) 0 ( cos

2 2 

 x ydengan y dx

dy

15.  ysinxdengan y()3 dx

dy

2.3 Persamaan Diferensial Homogen

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang berbentuk 0

) , ( )

,

(x y dxN x y dy

M disebut persamaan diferensial homogen jika )

, (x y

M dan N(x,y) fungsi homogen berderajat sama. Definisi:

1. F(x,y)disebut fungsi homogen jika

    

y x G y x

F( , ) atau 

     

x y H y x F( , )

2. Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi syarat )

, ( )

,

(tx ty t F x y

F  n

Contoh: 1.

x y

x y x F

  ) ,

( adalah fungsi homogen, karena



         

x y H

x y x x x y

x x

y x F

1 1 )

, (

2. F(x,y) x y adalah fungsi homogen, karena

x y y

x

F( , )1 atau

3. F(x,y)1xy, bukan fungsi komogen karena tidak dapat dinyatakan dalam

bentuk 

     

  

x y H atau y x

G

4. 2 2

2 3 ) ,

(x y x xy y

F    fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam 

     

  

x y H atau y x G

5. F(x,y) ysinx, bukan fungsi homogen. 6. _F(x,y) _y ₁_x2 _{bukan fungsi homogen.}

7. F(x,y) x y, fungsi homogen berderajat 1, karena: F(tx,ty)(tx)(ty)

F(tx,ty)t(x y) F(tx,ty)tF(x,y)

8. 2 2

2 3 ) ,

(x y x xy y

F    _{fungsi homogeny berderajat 0} 9.

y x

x y

x F

  2 ) ,

( , fungsi homogen berderajat 0, karena

) ( ) (

) ( 2 ) , (

ty tx

tx y

x F

 

) (

) 2 ( ) , (

y x t

x t y x F

 

) (

) 2 ( )

,

( 0

y x

x t y x F

 

F(x,y)t0F(x,y)

Jika M(x,y)dxN(x,y)dy0 adalah persamaan diferensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan dengan cara menyatakan

)

dinyatakan dalam bentuk

 tertinggi.

Setelah dilakukan pembagian pada M(x,y)dan N(x,y), selanjutnya gunakan transformasi

y x

u atau xuy. Atau dapat menggunakan

transformasi x disubstitusikan dalam persamaan diferensial semula

0

M sehingga diperoleh persamaan baru 0

0 ) , ( )

,

(x y dxN x y dy M

0 )

( 

         

 dy

y x N udy ydu y x M

0 ) ( ) )(

(   

M u ydu udy N u dy



( ) ( )



0

)

(   

 yM u du uM u N u dy





0

) ( ) (

) (

 

 

u N u uM

du u M y

dy

Bentuk terakhir persamaan yang diperoleh adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah variabel yang sejenis berkumpul dengan diferensialnya dan dengan mengintgralkan masing-masing bagian akan didapat selesaian umum persamaan diferensial homogen yang diberikan.

Contoh

1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial 0

)

(y2 x2 dxxydy Jawab

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena )

, ( )

,

(x y danN x y

M adalah persamaan homogen yang berderajat dua. Selanjutnya persamaan dibagi x2 diperoleh persamaan

c dy x y dx x

y

          

 _  ₂ 1

2

Gunakan transformasi atau y ux x

y

u   , dan dyudxxdu,lalu subtitusikan ke persamaan semula

0 )

1

( 2  

 u dx vdy

0 ) (

) 1

( 2    

 u dx u udx xdu



2  2 1



 ( )0  u u dx u xdu

0 ) ( ) 1 2

( 2   

0 1 2 2  

 

u udu x

dx

Gunakan integral untuk masing-masing bagian, sehingga: c

u udu x

dx

  







1 2 2

c u

udu x

dx

  







1 2

4 4 1

2

c u

x   

 ln2 1

4 1

ln 2

c u

x   

4ln ln2 2 1

c u

x   

ln 4 ln2 2 1

c u

x  

ln 4(2 2 1

c x

x y

x 

  



  

 

 2

2 4 4 2

c x y

x    2 2 4

2

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial ( ) 0

2

2   

xydy dx

x y

adalah x y x c

4 2 2

2

2. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0

)

(  2  2 

dy x dx y

xy dengan y(2)1 Jawab

Persamaan di atas di bagi dengan x 2 0

2 2

    

  dx dy x

y x y

Transformasi atau y sxsehinggady sdx xds x

y

s   

Dengan mensubstitusikan ke persamaan asal diperoleh 0

) (

)

0

3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen berikut 0

c x A  

 

 ln1 2 ln

2

1 3

c x

A  



ln1 2 3 2ln

c x x

y

 



ln1 2 ₃ 2ln

3

c x x

y x

   

 

 2

3 3 3

. 2

ln

c x

y x

 

 3 2 3

Berdasarkan uraian di atas, selesaian umum persamaan 0

3 )

(x3  y3 dx xy2dy  adalah c x

y x

  3 3

2

4. Tentukan selesaian umum persamaan 1 ) 1 ( 0

3 ) 2 3

(   y  dengan y  dx

dy y x

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.

0 3 ) 2 3

(   y

dx dy y x

0 ) 2 3 (

3   

 ydx x y dy

0 3 2

3  

  

 _

 dy dx

y x

Dengan transformasi xuydandxudyydu 0

) (

3 ) 2 3

(    

 u dy udy ydu

0 3

) 3 2 3

(    

 u u dy ydu

0 3 2

 

 du









 du c

y dy

3 2

c u y   2ln 3

u c

y 3

ln 2  



u c e y    2

x y e

c y2  ₃



Karena y(1)1 _maka

1 1 . 3 2

1

e c

 didapat c3 sehingga selesaiannya

dinamakan selesaian khusus (integral khusus) yaitu 3

3 2 x 

y e y

Latihan soal

1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan derajatnya.

a. f(x,y) x2y

b. y

x e y x f( , )

c.

xy y x y x f

3 ) , (

2 2  

d. f(x,y)sin(x y)cos2(xy)

e. 2 2

3 )

,

(x y xy y x

f   

f.

2 2

) , (

y x

x y

x f

 

g. f(x,y) x ycosx h.

2 2

2 ) , (

y x

xy y

x f

 

i.

y x y x f



 2

j.

y

x y y y x x

y x f

           

cos sin

) , (

k.

y y y

x y x f

3 9 5 3 )

,

(    

2. Tentukan selesaian persamaan diferensial homogen berikut ini. a.

xy y x dx dy

3

2 2  

b. y

dx dy y

x ) 3

3

(  

c. 2 ( 2 ) y(4x y) dx

dy x y

x   

d. xdy ydx x2 y2dy0 e.

x y x

y dx dy

tan

 

f. (2x5y)dx(4xy)dy 0, dengan y(2)1 g. (xy)dxxdy0, dengan y(0)0

h.

) 3

(

' _{2 2}

y x

xy y



 dengan y(2)1

i.

y x

y x y

 

 2 2

' dengan y(1)3

j. _{2 2} , (0)0



 dengan y t

x xt dt

dx

3. y2dx(x2 y2)dy0dengan y(2)1

4. Tunjukkan bahwa persamaan diferensial M(x,y)dxN(x,y)dy0adalah persamaan diferensial homogen berderajat satu jika dan hanya jika

) , ( )

,

(x y danN x y

y  4x2 y2, untuk x0 dx

dy x

6. Tentukan semua selesaian dari persamaan

16 0

2 2

 



 untuk x

x

y y x dx

dy

2.3 Persamaan M(x,y)dan N(x,y)Linear, tetapi Tidak Homogen

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, disebut persamaan diferensial linear tidak homogen jika M(x,y) dan N(x,y)dalam

0 ) , ( )

,

(x y dxN x y dy

M adalah fungsi linear. Sehingga bentuk umum semula dapat diubah menjadi (axbyc)dx(pxqyr)dy0

Contoh:

1. (x y2)dx(2x2y4)dy0 2. (x y1)dx(2x2y3)dy0 3. (3y7x7)dx(7y3x3)dy 0 4. (3x2y1)dx(3x2y1)dy 0

Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan diferensial tidak homogen dengan M(x,y) dan N(x,y) fungsi linear dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis yaitu:

a) Bentuk    r c q b p a

, (parameter), sehingga diperoleh ap,bq,cr

Contoh

(xy2)dx(2x2y4)dy 0 b) Bentuk

r c tetapi q

b p a

 

 ,

Contoh

(xy1)dx(2x2y3)dy0 (3x2y1)dx(3x2y4)dy0 c) Bentuk selain a) dan b) di atas. (3y7x7)dx(7y3x3)dy 0 (3x2y7)dx(3y2y)dy0

Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum persamaan diferensial linear tidak homogen harus menyesuaikan dengan bentuknya.

a. Bentuk    r c q b p a

Karena    r c q b p a

maka diperoleh r

c q b p

a ,  ,  Sehingga persamaan semula 0

) (

)

(axbyc dx pxqyr dy 

0 ) (

)

(      

 px qy r dx px qy r dy

0 ) (

)

(      

 px qy r dx px qy r dy

0

 

dx dy





 dx



dyc

x yc (persamaan linear)

Contoh

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0

) 8 2 2 ( ) 4

(x y dx x y dy Jawab

Karena

2 1   

r c q b p a

maka diperoleh c

r b q a

p 2 , 2 , 2 Sehingga persamaan semula 0

) 8 2 2 ( ) 4

0 ) 4 (

2 ) 4

(      

 x y dx x y dy

0 2

1

 

 dx dy









 dx dy c

2 1

c y x 



2 1

c y

x2  _{adalah primitif yang diminta}

2. Tentukan selesaian persamaan 0 ) 3 (

) 6 3 3

( x y dx x y dy

Jawab

Karena   3 r c q b p a

maka diperoleh r

c q b a

a3 , 3 , 3 Sehingga persamaan semula 0

) 3 (

) 6 3 3

( x y dx x y dy

0 ) 3 (

) 2 (

3      

 x y dx x y dy

0

3  

 dx dy









 3dx dy c

c y x 

3

Primitif persamaan di atas adalah 3x yc

b. Bentuk

r c tetapi q

b p a

 

 , .

Persamaan bentuk   q b p a

dapat diselesaikan dengan cara menggunakan transformasi axbyuatau pxqyv. Berdasarkan transformasi tersebut, dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, sehingga diperoleh:

) ( ) ( )

(ax d by d u

d  

du bdy adx 

bdy du adx 



a bdy du dx 

 atau

du bdy adx 



adx du bdy 



b adx du dy 



Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi pxqyv, diperoleh bentuk

q pdx dv

dy  atau

p pdx dv dx 

Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke persamaan diferensial semula.

0 ) (

)

(axbyc dx pxqyr dy  0

1 )

(  

  



 _

 

 u c dx u r dy



0 1

)

(  

  



 _

    

   

 u r dy

a bdy du c u



Atau

0 1

)

( 

  

      



 _

  

b adx du r u dx

c u



Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke persamaan diferensial dengan variable terpisah (separable).

Contoh:

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0

) 3 2 2 ( ) 1

(xy dx x y dy  dengan y(0)0 Jawab

Dari persamaan (x y1)dx(2x2y3)dy0, diperoleh 2

, 2 , 2 , 1 , 1 ,

1     

 b c p q danr

a , sehingga diperoleh =

2 1

Selanjutnya gunakan transformasi

Jika transformasi yang digunakan xy u maka diperoleh 0

Selanjutnya bentuk transformasi x yu didiferensialkan du

 u du u dy direduksi menjadi PD Separable, diperoleh:

0

0

2. Tentukan selesaian persamaan 0

0

Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1 dan 2. Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi

v

Selanjutnya diferensial kan kedua bentuk transformasi di atas sehingga diperoleh

)

Eleminasikan dx dan dy pada hasil differesial yang diperoleh secara berurutan yaitu:

selanjutnya kalikan persamaan pertama dengan p dan kalikan persamaan kedua dengan a, maka diperoleh:

pdu

bp aq

bdv qdu dx

 

Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu: 0

) (

)

(axbyc dx pxqyr dy  0   

 

aq bp

adv pdu v bp aq

bdv qdu

u

Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda diferensial du dan dv, dan termasuk dalam persamaan diferensial homogen. Primitifnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial homogen.

Contoh

1. Tentukan selesaian umum persamaan 0 ) 3 3 7 ( ) 7 7 3

( y x dx y x dy

Jawab

Transformasikan

3 3 7 7

7

3     

 y x danv y x

u

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh: dx

dy dv dan dx dy

du3 7 7 3

Elimasikan dx dan dy berurutan, diperoleh:

  

 

 

dv dx dy

du dx dy

3 7

7 3

atau

  

 

 

dv dx dy

du dx dy

7 21 49

3 21 9

didapat

dv du dy 3 7

40  



40 3 7dv du dy 

40 7 3dv du dx 

Substitusikan dydandxkepersaman semula, sehingga diperoleh 0

 u dv du v dv du (persamaan diferensial homogen) 0

Bagi persamaan dengan v, diperoleh 0

Transformasikan atauu vt v

u

t  sehingga du vdttdv

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah.

0

Dengan mensubstitusi

7

v diperoleh selesaian

umum persamaan (3y7x7)dx(7y3x3)dy0

Transformasikan

Selanjutnya dieliminasi dx dan dy berturut dan diperoleh:

4

Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh 0

Transformasikan v up u

v

p   sehingga dvudp pdu Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh

2.4 Persamaan Diferensial Eksak (PDE)

Persamaan diferensial M(x,y)dxN(x,y)dy0 _{disebut persamaan} diferensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat:

x

Contoh

1. (x y)dx(x y)dy0adalah persamaan diferensial eksak karena Karena

y

Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan tidak eksak karena

y y x M

  ( , )



x y x N

  ( , )

. 1. ( 2  2)  0

xydy dx

y

x ...persamaan diferensial homogen

2. dx a2 x2dy 0 ... persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah.

3. (x y1)dx(xy3)dy0………..persamaan diferensial tidak homogen

Persamaan diferensial eksak mempunyai selesaian umum F(x,y)c Menurut definisi diferensial total untuk F(x,y)c, diperoleh:

) ( ) ,

(x y d c

dF 

0 ) , ( )

, (

 

  

 _dy

y y x F dx x

y x F

Berdasarkan bentuk 0 ) , ( )

,

(x y dxN x y dy

M dan ( , ) ( , ) 0

   

 _dy

y y x F dx x

y x F

maka diperoleh

) , ( ) , (

y x M x

y x F

 

 _dan ( , ) _{( , )}

y x N y

y x F

 



Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian persamaan diferensial eksak yang berbentuk F(x,y)cdapat dilakukan dengan dua cara.

Cara I

) , ( ) , (

y x M x

y x F

 

 _dan ( , ) _{( , )}

y x N y

y x F

 





selesaian umum persamaan diferensial

Cara II

Dari kesamaan di atas diperoleh

Substitusikan H(x) ke persamaan semula 





1. Tentukan selesaian persamaan diferensial eksak berikut ini: 0

berarti persamaan di atas adalah eksak.

Jawab

Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferensial eksak. Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = c. Untuk

mendapatkan F(x,y) = c digunakan kesamaan ) Diperoleh selesaian umum persamaan

c

5. (cosxcosy y)y'tanxsinxsiny 6. (5xy4y2 1)dx(x2 2xy)dy0 7. xdxydy(x2 y2)dx

8. 2 1 2 ( 1) 0

) (

3 2 

  

 _{ }

    

 _



 y x dy

y x dx y

x x

y

y

9. 2(x2 xy)dx(x2  y2)dy0 10. 1₂ 1₂ 4 ₃ 1 0

  

     

 _

dy y x dx y

x

B. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak berikut ini: 1. 2 ( 2 3) 0

dy x

xydx

2. 1 1 0

  

      



  _dy

y xy dy x xy

3. 1 _{2 2 2 2} 0

    





 dy

y x

x dx

y x

y x

4. (y2 2x)dx2xydy0

5.



1ln



 dy 0 y x dx xy

6. (ycos(xy)sinx)dxxcos(xy)dy0

7. (2xycosy)dx(x2 xsiny2y)dy 0

8. (3x2lnxx2 y)dxxdy0dan y(1)5

9. 2 2 4xy 3sinxdan y(2)0 dx

10. 0 2 0

) cos

( 

     



 x dx xe dy dan y 

yexy xy

2.6 Persamaan Diferensial Tidak Eksak (PDTE)

0 ) , ( )

,

(x y dxN x y dy

M _{adalah persamaan diferensial tingkat satu} derajat satu disebut persamaan diferensial tidak eksak jika dan hanya jika:

x

y

x

N

y

y

x

M











(

,

)

(

,

)

Persamaan diferenisal tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan primitifnya dengan cara mencari faktor integral dari persamaan tersebut. Setelah ditentukan faktor integralnya, maka persamaan diferensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan diferensial eksak. Faktor integral persamaan diferensial tidak eksak dinyatakan dengan  (x,y). Setelah diketahui faktor integralnya , maka persamaan tidak eksak ditulis dalam bentuk:



( , ) ( , ) 0



) ,

(x y M x y dxN x y dy



0 ) , ( ) , ( )

, ( ) ,

(  

 x y M x y dx  x y N x y dy

satu derajat satu

tingkat l

diferensia persamaan

dy y x N dx y x

M   

 ( , ) ( , ) 0

Dengan

) , ( ) , ( ) , ( )

, ( ) , ( ) ,

(x y x y M x y danN x y x y N x y

M  

Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan diferensial tingkat satu berupa persamaan diferensial eksak yang memenuhi sifat

x y x N y

y x M

   

 ( , ) ( , )

dengan

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

x

y

x

y

M

x

y

dan

N

x

y

x

y

N

x

y

Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan diferensial eksak, sehingga selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial eksak.

Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak?

Karena



(

x

,

y

)



M

(

x

,

y

)

dx



N

(

x

,

y

)

dy



0



persamaan eksak, maka:

dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus:

dx

 adalah faktor integral yang dicari

c. Jika M(x,y)dxN(x,y)dy0adalah persamaan diferensial homogen dengan xM(x,y)dx yN(x,y)dy0 maka faktor integral

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

y

x

yN

y

x

xM

y

x







d. Jika M(x,y)dxN(x,y)dy0dapat ditulis yF(xy)dxxF(xy)dy0 dengan f(xy) g(xy)maka

)

,

(

)

,

(

1

))

(

)

(

(

1

)

,

(

y

x

yN

y

x

xM

xy

G

xy

F

xy

y

x











e. Seringkali faktor integral (x,y)dapat diperoleh dengan pemeriksaan, hal ini akan tampak setelah pengelompokkan kembali suku-suku persamaannya.

Dengan mengenal kelompok suku-suku tertentu merupakan suatu bagian dalam persamaan diferensial eksak.

Contoh

1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial berikut dengan terlebih dahulu menentukan faktor integrasinya.

0 )

(x2  y2 x dxxydy Jawab

y y

y x M x

y x y x

M( , ) 2 2 ( , ) 2 

    

y x

y x N xy y x

N 

  

 ( , )

) , (

Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena

x y x N y

y x M

   

Karena 2 1 ( )

Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak yaitu

}

Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian 0

)

(x2  y2 x dxxydy yaitu 3x4 4x3 6x2y2 0

2. Tentukan selesaian umum persamaan

0

Sehingga persamaan di atas tidak eksak.

Selanjutnya dicari  (x,y) sebagai faktor integrasi

Karena 2 ( )

Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak

yaitu 2 2 ₄ 3 0

c

y

x

y

x

e

x

y





₃



2 2

Latihan

A. Tentukan faktor integral persamaan berikut: 1) (x4  y4)dxxy3dy0

2) y(x2y)dxx2dy0 3) xdyydx x2exdx 4) y2dyydxxdy 0 5) 3x2y2dx4(x3y3)dy 0

B. Berdasarkan faktor integrasi yang diperoleh tentukan selesaian persamaan: 1) ( 1)  2 0

dy x dx xy

2) ydx(2x y4)dy0

3) (yx2)dx2xydy0,x0 4) (3 2 1)  (  2) 0

dy y x x dx y xy

5) x2ydx y(x3 e3ysin y)dy0 C. Buktikan bahwa jika g( y),

M N M_{y x}

 

adalah fungsi ysaja, maka faktor

integrasi untuk M(x,y)dxN(x,y)dy0 adalah f(y)eg(y)dy

2.7 Persamaan Berbentuk yf(xy)dxxg(xy)dy 0

Persamaan yf(xy)dxxg(xy)dy0juga disebut persamaan diferensial tingkat satu derajat satu karena bentuknya M(x,y)dxN(x,y)dy 0

Selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi xy zsehingga

x z

2

x zdx xdz

dy   .

Substitusikan bentuk ₂ x

Dengan cara penyederhanaan diperoleh persamaan baru yang bentuk umumnya adalah M(x,z)dxN(x,z)dz 0dan persamaan bentuk tersebut merupakan persamaan yang dapat dipisahkan variabel-variabelnya.

Contoh.

1. Tentukan selesaian umum persamaan 0 Transformasikan

x z

y , dengan menurunkan masing-masing variable

diperoleh ₂ x

zdx xdz

dy  .













 

 c

z dz z

dz z

dz x

dx

2

3

c z z z

x    

 1 ln

2 1

ln ₂

Dengan mensubstitusikan xy = z diperoleh selesaian persamaan

2 2 2

2

1 2 ln

2x y y  xy cx y

2. Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan selesaikan persamaan di bawah ini dengan menggunakan cara seperti contoh 1 di atas.

Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan 1) ( 1)  (1  2 2) 0

dy y x xy x dx xy y

2) (  2) (  2 ) 0 dy y x x dx xy y

3) (1xyx2y2)dx(x3yx2)dy0 dengan y(1) = 0 4) y(12xy)dxx(1xy)dy0 dengan y(0) = 0 5) y(1xy)dxx(xy3)dy0

2.8 Trayektori

Suatu kurva yang memotong setiap persamaan keluarga kurva atau dari sebaliknya dengan sudut tetap disebut trayektori dari persamaan diferensial yang diketahui. Jika besar sudut  90omaka disebut trayektori ortogonal, sedangkan jika besar sudut  90omaka disebut trayektori isogonal.

a. Trayektori Isogonal

Integral kurva dari persamaan 0 tan

' 1

tan ' ,

, 

  



y 

y y x

f adalah trayektori

b. Trayektori Ortogonal

Jika = 90º maka trayektorinya disebut trayektori ortogonal Integral kurva dari persamaan diferensial 0

' 1 ,

, 

  

 y y x

f adalah trayektori orthogonal dari persamaan f(x,y,y')0

Jika dinyatakan dalam koordinat polar, integral kurva dari persamaan diferensial , , 2 0

   

 

 

d dr r r

f adalah trayektori ortogonal dari integral kurva

0 ,

, 

  

 

 

d dr r f

Jika suatu persamaan hendak ditentukan trayektorinya, maka beberapa langkah yang ditempuh adalah.

1. Tentukan persamaan diferensial dari persamaan keluarga kurva yang diketahui . Jika persamaan yang diketahui masih terdapat parameter maka parameter harus dieliminir terlebih dahulu.

2. Tentukan persamaan diferensial dari trayektorinya.

a. Bila trayektorinya ortogonal dilakukan penggantian dx dy

dengan -dy dx

pada persamaan diferensial nya.

b. Bila trayektori isogonal dengan sudut tetap  maka lakukan

penggantian dx dy

dengan

 

tan 1

tan

dx dy dx dy

 

pada persamaan diferensial nya.

c. Bila trayektori  = 45º maka lakukan penggantian dx dy

dengan

dx dy dx dy

 

1 1

d. Bila trayektorinya dalam koordinat polar maka lakukan penggantian



d dr

dengan



d dr r2

 .

3. Selesaikan persamaan diferensial baru tersebut dengan metode yang sesuai sehingga diperoleh persamaan trayektori yang diminta.

Contoh

1. Tentukan trayektori ortogonal persamaan keluarga kurva real

c dengan c

y

x22 2   Jawab

Persamaan diferensial dari persamaanx2 2y2 c adalah )

( ) 2 ( )

(x2 d y2 d c

d  

0 4

2  

 xdx ydy

0 4

2  



dx dy y x

Untuk mendapatkan trayektori ortogonal adalah mengganti dx dy

dengan - dy dx

, sehingga

0 4

2  



dx dy y x

0 4

2 

     

dy dx y x

0 4

2  

 xdy ydx

0 4

2  



x dx y

dy





 

 c

x dx y

dy 4 2

c x

y  

 4

ln 4 ln 2

c x y  

 2 4

ln

c x y



 4

2

ln

4 2

cx y 



2. Sebagai latihan bagi pembaca, Tentukan trayektori ortogonal dari persamaan keluarga kurva

1) (x2  y2)2cx0 2) 2 3 2  0

cx x y

3) 2  2  0 c x y

4) (x2 y2)2 cxy 5) y2 x1cex 6) r ccos 7)

x c

x y

  2 2

8) Tentukan trayektori isogonal dengan sudut tetap = 45º dari persamaan keluarga kurva

a. x2 y2 2c(x y) b. x2 y2 c2

2.9 Soal-soal

A. Dengan menggunakan metode yang sesuai, tentukan selesaian umum persamaan diferensial di bawah ini.

1.

y x y' 1 2. y'y2x1

4.

B. Tentukan selesaian masalah nilai awal 1. y'(1y2)tanx

D. Tentukan faktor integrasi dan selesaian persamaan di bawan ini 1. xdy ydx(x2 y2)dx

2. (2y3x)dxxdy0 3. (  2) 2 0

xydy dx

y

x