Contando con Sumas de Gauss
Counting with Gauss’ Sums
Jos´e O. Araujo (
jaraujo@exa.unicen.edu.ar
)
Laura B. Fern´andez (
lfernan@exa.unicen.edu.ar
)
Fac. de Ciencias Exactas, UNICEN Tandil, 7000 Buenos Aires, Argentina
Resumen
En este trabajo presentamos una aplicaci´on de las sumas de Gauss para la determinaci´on del n´umero de puntos de ciertas cu´adricas sobre un cuerpo finito.
Palabras y frases clave:sumas de Gauss, formas cuadr´aticas, cua-drados.
Abstract
In this work we present an aplication of Gauss’ sums to the deter-mination of the number of points of certain quadrics over a finite field.
Key words and phrases: Gauss’ sums, quadratic forms, squares.
1
Introducci´
on
Gauss introdujo y estudi´o las sumas que llevan su nombre, us´andolas, entre otras cosas, para dar una demostraci´on de la ley de reciprocidad cuadr´atica (ver [2] o [4]). Esta ley fue descubierta emp´ıricamente por Euler y demostrada en forma parcial por el mismo Euler.
El material de divulgaci´on que presentamos a continuaci´on podr´ıa resultar atractivo a la hora de mostrar algunas aplicaciones de las sumas de Gauss, en este caso, para calcular el n´umero de soluciones de un tipo de ecuaciones de congruencias m´odulo un n´umero primo impar.
2
El problema
Los temas relativos a congruencias y sus propiedades b´asicas pueden encon-trarse en [3], [4] o [5].
Como ya dijimos, nos hemos interesado en n´umero de soluciones de una ecua-ci´on de congruencias, m´as precisamente, por el n´umero de puntos de una cu´adrica asociada a una forma cuadr´atica sobre el cuerpo de restos m´odulo un n´umero primo impar.
Notaremos con p un n´umero primo impar, y con Zp = Z/pZ el cuerpo de
restos m´odulo el primop.
Consideremosq(x1, . . . , xn) una forma cuadr´atica sobreZp, es decir una
fun-ci´on de las variablesx1, . . . , xn que tiene la forma:
q(x1, . . . , xn) =Pni,j=1aijxixj (aij∈Zp) [1]
El problema a tratar en estas notas es el siguiente:
¿Cu´antos puntos tiene la cu´adrica dada por q(x1, . . . , xn) =k,(k∈Zp)?
En particular, tendr´ıamos el caso de lo que podr´ıamos llamarsuperficies esf´eri-cas dadas por las ecuaciones:
x21+· · ·+x2n=k
El n´umero de puntos de las superficies esf´ericas fue presentado en [1]. El caso general no es muy diferente si tenemos en cuenta que toda forma cuadr´atica puede ser expresada como:
n
X
i=1
aix2i
mediante un cambio lineal de coordenadas.
3
Preliminares
3.1
Los cuadrados
En el cuerpoZp, indicaremos conCel conjunto de elementos no nulos que son
un cuadrado en Zp (cuadrados no nulos), y conN el conjunto de elementos
que no son un cuadrado enZp(no cuadrados). Se tiene:
Elegimos como sistema de representante de restos m´odulopal conjunto:
½
0,±1,±2, . . . ,±p−1
2 ¾
Resulta claro que hay p−21 cuadrados no nulos, dados por:
(±1)2,(±2)2, . . . , µ
±p−1
2 ¶2
En consecuencia se tiene:
|C|= p−1 2 =|N |
Observemos que sia∈ Cyb∈ N se verifican:
aC={am:m∈ C}=C y aN ={am:m∈ N }=N
bC={bm:m∈ C}=N y bN ={bm:m∈ N }=C
Para establecer estas identidades, tendremos en cuenta los siguientes hechos que se comprueban sin mayor dificultad:
El producto de dos cuadrados es un cuadrado.
El producto de un cuadrado no nulo por un no cuadrado es un no cuadrado. El producto por un elemento no nulo determina una biyecci´on en Zp.
Ahora, aC ⊆ Cy la aplicaci´on dada porm→ames inyectiva, resultaaC=C
y consecuentemente aN =N.
Por otra parte, bC ⊆ N, la aplicaci´on dada por m → bm es inyectiva y
|C|=|N |, resultabC=N ybN =C.
3.2
Las formas cuadr´
aticas.
No vamos a tratar en detalle lo relativo a diagonalizaci´on de formas cuadr´ati-cas. Enunciaremos y usaremos un resultado que garantiza una diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica con coeficientes en un cuerpo.
Dada una forma cuadr´atica q(x1, . . . , xn) = P n
i,j=1aijxixj sobre Zp, existe
una matriz sim´etrica B= [bij]∈Zn×np tal que:
q(x1, . . . , xn) =
£
x1 . . . xn
¤ B
x1
.. . xn
Es claro que:
bij =
aij+aji
2
La forma cuadr´aticaq(x1, . . . , xn) se diceno singular siB es inversible.
El teorema de diagonalizaci´on al que nos referimos anteriormente se basa en el siguiente resultado que presentamos sin demostraci´on.
Lema 3.1. SeaK un cuerpo y B∈Kn×n una matriz sim´etrica. Existe una
matriz inversible U ∈Kn×n tal queU BtU es una matriz diagonal.
En el enunciado del lematUindica la matriz traspuesta deU. La demostraci´on
del lema no difiere de la que suele darse en un curso de algebra lineal para matrices sim´etricas reales.
Teorema 3.2. Una forma cuadr´atica no singular con coeficientes enZppuede
ser representada por una expresi´on de la forma:
x21+· · ·+x2m+e
¡
x2m+1+· · ·+x2n
¢
donde mes un entero entre 0 y n,e∈N.
Demostraci´onConsideremos la expresi´on de la forma cuadr´atica como:
q(z1, . . . , zn) =
En virtud del lema, existe una matriz inversibleU tal queD=U BtU es una
matriz diagonal. En las coordenadasy1, . . . , yn dado por:
la expresi´on deqes:
£
donde los di son los elementos en la diagonal principal deD. ComoB es no
singular,di6= 0 parai= 1, . . . , n. Reordenando la expresi´on, si fuera
necesa-rio, podemos suponer que para alg´un ´ındice mse cumple qued1, . . . , dm∈ C
ydm+1, . . . , dn∈ N. Fijadoe∈ N, se tiene:
di =ki2 si i≤m
En el sistema de coordenadas dado porxi=kiyise tiene la expresi´on buscada.
3.3
El n´
umero de puntos
Fijadoe∈ N ym≤n, en lo que sigue estudiaremos el n´umero de puntos en la hipersuperficie de ecuaci´on:
x2
1+· · ·+x2m+e
¡ x2
m+1+· · ·+x2n
¢
=k (k∈Zp)
Notemos con cm,k el n´umero de tales puntos. Resulta claro que:
cm,k =cm,1 si k∈ C
cm,k =cm,e si k∈ N
pues basta multiplicar los puntos en una de las hipersuperficies por un escalar apropiado para obtener los puntos en la otra hipersuperficie.
Lospnpuntos en
Znp pueden ser agrupados seg´un el valor la forma cuadr´atica,
de donde:
pn =c m,0+
p−1 2 cm,1+
p−1 2 cm,e Notar quecm,1=cn−m,e,cm,e=cn−m,1 ycm,0=cn−m,0.
3.4
El caso
n
= 2
Para simplificar la notaci´on, usaremos x, y en lugar de x1, x2. En este caso
tenemos las ecuaciones:
e¡
x2+y2¢
=k si m= 0 x2+ey2=k si m= 1
x2+y2=k si m= 2
Proposici´on 3.3. Sin= 2 yk= 06 , entoncescm,k =cm,1.
Demostraci´on Bastar´a ver que, en este caso, cm,1 = cm,e. Dado que
c0,1=c2,e yc0,e=c2,1, podemos probar la afirmaci´on param≥1.
Mostremos primero que cm,1 y cm,e no son cero, lo cual es claro si m = 1.
Si m = 2, resulta evidente que c2,1 6= 0. Si c2,e fuera igual a cero, la suma
de dos cuadrados tendr´ıa que ser nuevamente un cuadrado, entonces ser´ıan cuadrados: 1,2 = 1 + 1,3 = 2 + 1, . . .es decirZp⊆ C, lo cual es un absurdo.
Indiquemos con x2+δy2=k a una de las ecuaciones, siendoδ=esim= 1
Fijemos (x, y)∈Z2p tal que:
x2+δy2=e
La transformaci´on lineal σdeZ2p dada por:
σ(u, v) = (xu−δyv, yu+xv)
es biyectiva, pues su determinate es x2+δy2=e. Adem´as de la identidad:
(xu−δyv)2+δ(yu+xv)2=¡
u2+δv2¢ ¡
y2δ+x2¢ =¡
u2+δv2¢ e
se sigue que σ transforma las soluciones de la ecuaci´on u2 +δv2 = 1 en
soluciones de la ecuaci´onu2+δv2=ey a su vez soluciones de esta ´ultima en
soluciones de la ecuaci´onu2+δv2=e2. En conclusi´onc
m,1≤cm,e≤cm,e2 =
cm,1, y as´ı queda demostrada la proposici´on.
Corolario 3.4. Sin= 2, entonces:
Sip= 4h+ 1 c0,0=c2,0= 2p−1 c0,1=c2,1=p−1
c1,0= 1 c1,e =c1,1=p+ 1
Sip= 4h−1 c0,0=c2,0= 1 c0,1=c2,1=p+ 1
c1,0= 2p−1 c1,e =c1,1=p−1
Para tratar el caso general, usaremos la siguiente suma de Gauss:
α=
p−1
X
x=0
ζx2
dondeζ es una ra´ızp-´esima primitiva de la unidad. Podemos escribir:
α= 1 + 2X
k∈C
ζk
y tenemos adem´as la identidad:
0 = 1 +X
k∈C
ζk+X
k∈N
ζk
Por otra parte:
α2= X
(x,y)∈Zp
ζx2+y2
=c2,0+c2,1
X
k∈C
ζk+c
2,e
X
k∈N
ζk
luego, de las identidades del corolario, se sigue que:
α2= (−1)p−21p
identidad que fue probada por Gauss. Consideremos ahora la suma de Gauss:
β =
Teniendo en cuenta la paridad de n, resulta:
y sin= 2k+ 1:
2 (−1)p−21k+m−1pk=c
m,1−cm,e y 2cm,0=cm,1+cm,e
De las identidades establecidas y recordando que:
pn =c
se tienen los sistemas lineales:
La resoluci´on de estos sistemas da lugar a la siguiente conclusi´on.
Teorema 3.5. Si n es un n´umero par:
Finalizamos esta nota con algunas preguntas para el lector
1. ¿Qu´e ocurre cuandop= 2?
2. ¿D´onde pueden fracasar los argumentos previos cuandop= 2?
El grupo ortogonal Oq asociado con la forma cuadr´atica q est´a dado por
los endomorfismos deZnp (p6= 2) que conservan la forma, es decir:
Oq =©σ∈End¡Znp
¢
:q(σ(x)) =q(x),∀x∈Znp
En particular, si b(x, y) denota la forma bilineal sim´etrica asociada con q, y r∈Znp es tal queq(r)6= 0 la transformaci´on dada por:
σr(x) =x−2
b(x, r) q(r) r
es un elemento deOq llamada reflexi´on con ra´ız r.
Algunas propiedades de las reflexiones, que se establecen sin mayor dificultad, son las siguientes:
i) Siλ∈Zp, λ6= 0, entoncesσλr=σr.
ii) σ2
r =idZn p.
iii) Existe una base de Znp tal que la matriz asociada aσr es la matriz
dia-gonal:
−1 0 · · · 0
0 1 . .. ... ..
. . .. ... 0 0 · · · 0 1
En particular det (σr) =−1 ytr(σr) =n−1.
iv) ∀τ ∈Oq se verificaτ σrτ−1=στ(r).
A partir i)la ra´ız de una reflexi´on puede ser tomada de modo que q(r) = 1 ´o q(r) =e.
Podemos destacar dos subgruposO1
q yOeq deOq, el primero es el que generan
las reflexiones σr con q(r) = 1, el segundo es el generado por las reflexiones
σr conq(r) =e. Por iv)ambos son subgrupos normales deOq.
En relaci´on con el grupo ortogonal dejamos las siguientes preguntas:
3. ¿Es transitiva la acci´on deOq sobre las cu´adricas q(x) =k?
4. ¿Cu´al es el ordenOq?
5. ¿Cu´al es el n´umero de reflexiones enOq?
6. ¿Qu´e puede decirse de los subgruposO1
q×OqeyOq1∩Oeq?
7. ¿Qu´e puede decir de ´ordenes de los subgruposO1
Referencias
[1] Aguado, J. L., Araujo, J. O.La ecuaci´onx21+· · ·x2n ≡km´odp. Revista
de Educaci´on Matem´atica, UMA, Vol. 17 No. 2 (2002), 3–17.
[2] Ivorra Castillo, C.Teor´ıa de N´umeros, 2004. URL:www.uv.es/∼ivorra/Libros/Numeros.pdf
[3] Le Veque, W. J.Teoria Elemental de los N´umeros, Herreros Hnos., M´exi-co, 1968.
[4] Narkiewicz, W.Number Theory, World Scientific Publishing Co., Singa-pore, 1983.
