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✍✱ ✆ ☛ ❉ ✯ ✏ ✞ ✄✲● ✘ ⑧ ☛ ✠ ❉ ✑ ☞ ✖ ✍ ☞ ✞ ✄ ✠ ✄➋✱ ✞ ✍ ☞ ✰ ✠ ✄✲✱ ✏ ✁ ✞ ✱ ☛ ☞ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁✱ ✆ ☛ ☞ ✞ ✑ ✍ ☞ ✍ ☞ ✰ ❁ ✖ ✯ ✄ ✠ ✶ ✕ ☛ ✁❸✍ ✆ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✱ ✫ ✱➆✄➋✄ ★ ✷☛✂✙✫➉✍ ☞ ✯✮✑ ✠ ✞ ✍ ✆ ✏ ✁ ✑ ✠ ✫ ② ✁❹✍❸✁❹✍❜✫r⑦ ✏ ✒ ✠ ✄➋✱ ☞ ✄ ✑ ☞ ● ✝ ☛ ✠ ✥✌✂⑤✫ ✑ ☞ ●❀✫ ✠ ✏ ✄ ✞ ✥➉✚ ✂⑤✘ ➓ ✄ ❁ ✑ ➂ ✄ ☞ ☛ ✞ ✍ ☞ ➂ ✄✲✱ ✞ ✍ ✰✩✑ ✞ ✄➋● ☛ ✠ ✆ ☛ ☞ ✱ ✞ ✠ ✏ ✆ ✞ ✄➋● ✑ ● ✍✱ ✆ ✠ ✄ ✞ ✄ ❉ ☛ ●✮✄ ✁❝✣ ✑ ✱ ✍✱✾● ☛ ☞ ✄ ✍ ☞✞ ✚P★✌✂ ✒ ☛ ✠ ✞ ❁ ✄ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁❯✍ ☞ ✣■✚P✪➆✪ ❇ ❁ ✍ ✆ ❁ ❇ ☛ ✏ ✁ ● ✁ ✄ ✑ ● ✞ ☛ ✞ ❁ ✄ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁✾✍ ☞ ✣❜➈✩✪✬✘ ❶ ☛ ✞ ✍ ✆ ✄ ✫ ❁ ☛ ❇ ✄ ➂ ✄ ✠ ✫ ✞ ❁ ✑ ✞
Z
∞
0
(1 + exp(
B
s
(
µ
)
))
−
2
ds
=
Z
∞
0
exp(
−
2
B
s
(
µ
)
)(1 + exp(
−
B
s
(
µ
)
))
−
2
ds
✑ ☞ ● ✫ ❁ ✄ ☞ ✆ ✄ ✫ ✞ ❁ ✍✱ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✆ ✑ ☞ ✕ ✄ ✆ ☛ ☞ ✱ ✍●✮✄ ✠ ✄➋● ✑ ✱ ✑ ❉ ☛ ● ✍➃❻ ✆ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ☛ ✒ ⑦ ✏ ✒ ✠ ✄✲✱ ☞ ✄✪✩✱ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✱ ✏ ✆ ❁ ✞ ❁ ✑ ✞✡✞ ❁ ✄➁● ✍ ✱ ✆ ☛ ✏ ☞ ✞ ✍ ☞ ✰ ✍ ✱ ✕ ☛ ✏ ☞ ●✮✄➋● ✣ ❇ ✄ ✆ ✑ ✁❹✁ ✞ ❁ ✍ ✱ ❉ ☛ ● ✍❹❻ ✄➋● ✒ ✏ ☞ ✆ ✶ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✑ ✞ ✠ ✑ ☞ ✱ ✁ ✑ ✞ ✄✲● ⑦ ✏ ✒ ✠ ✄➋✱ ☞ ✄✕✩❊✱ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁✪✬✘ ⑨ ☞ ✒ ✑ ✆ ✞ ✫ ✏ ✱ ✍ ☞ ✰ ✞ ❁ ✄ ✠ ✄➋✱ ✏ ✁ ✞ ✱ ✍ ☞ ✣ ✑ ✁❸❉✌✍✶ ☞ ✄ ☞ ✑ ☞ ● ✝ ☛ ✠ ✷◆★✄✂✙✫ ❇ ❁ ✄ ✠ ✄ ✞ ❁ ✄ ✍ ☞ ✞ ✄ ✰ ✠ ✑ ✕ ✍❸✁❹✍ ✞ ✖ ✯ ✠ ☛ ✯ ✄ ✠ ✞ ✍✄➋✱ ☛ ✒ ✯ ✄ ✠ ✯ ✄ ✞ ✏ ✑ ✁ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁✱ ✑ ✠ ✄♦● ✍ ✱ ✆ ✏ ✱❂✱➆✄➋● ✫✾✍ ✞ ✍ ✱④✱❂✄➋✄ ☞ ✞ ❁ ✑ ✞ ❇ ❁ ✍❹✁ ✄ ⑦ ✏ ✒ ✠ ✄✲✱ ☞ ✄✪✩✱ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ● ☛ ✄✲✱ ☞ ☛ ✞ ❁ ✑ ➂ ✄ ❉ ☛ ✶ ❉ ✄ ☞ ✞ ✱ ☛ ✒ ☛ ✠ ●✮✄ ✠
m
≥
µ
✣✆ ✒ ✘q✣ ✳ ✪➆✪➍✫ ❇ ❁ ✍ ✆ ❁ ✍ ✱ ✯ ✄ ✠ ❁ ✑ ✯ ✱ ✏ ☞ ✠ ✄ ✑ ✁❸✍ ✱ ✞ ✍ ✆ ✒ ✠ ☛ ❉ ✑ ☞ ✄ ✆ ☛ ✶ ☞ ☛ ❉✌✍ ✆ ✑ ✁ ✯ ☛ ✍ ☞ ✞ ☛ ✒ ➂➉✍ ✄ ❇ ✫ ✞ ❁ ✄ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁❝✍ ☞ ✣✙➈✩✪ ❁ ✑ ✱❳✱ ☛ ❉ ✄✴✄✬➌ ✯ ☛ ☞ ✄ ☞ ✞ ✍ ✑ ✁❩❉ ☛ ❉ ✄ ☞ ✞ ✱ ✶ ✕ ✄ ✍ ☞ ✰ ✍ ☞ ✞ ❁ ✍ ✱ ✠ ✄➋✱ ✯ ✄ ✆ ✞ ❉ ☛ ✠ ✄ ✑✦✯✹✯ ✠ ☛ ✯ ✠ ✍ ✑ ✞ ✄ ✘ ⑧ ☛ ✠ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✱ ✠ ✄➋✱ ✞ ✠ ✍ ✆ ✞ ✄➋● ✞ ☛ ✞ ❁ ✄ ☞ ✄ ✰✩✑ ✞ ✍❹➂ ✄ ❁ ✑ ✁ ✒ ✁❹✍ ☞ ✄ ❇ ✄ ✆ ✑ ☞✮☞ ☛ ✞ ✍ ☞ ✰ ✄ ☞ ✄ ✠ ✑ ✁ ❁ ✑ ➂ ✄④✱ ✍❸❉✌✍❸✁ ✑ ✠ ●✹✄➋✱ ✆ ✠ ✍ ✯ ✞ ✍ ☛ ☞ ✱ ✍ ☞ ✞ ✄ ✠ ❉ ✱ ☛ ✒ ❻ ✠ ✱ ✞ ❁ ✍ ✞➆✞ ✍ ☞ ✰ ✞ ✍❹❉ ✄✲✱ ✘ ② ✞ ✖ ✯ ✍ ✆ ✑ ✁ ✄✬➌ ✑ ❉ ✯ ✁✄ ✍✱ ✞ ❁ ✄ ✍ ●✮✄ ☞ ✞ ✍ ✞ ✖ ✣✙★✧✪ ✑ ✕ ☛ ➂ ✄ ✘ ✬ ☛ ❇ ✄ ➂ ✄ ✠ ✫ ✞ ❁ ✄ ❀ ✑ ❉ ✯ ✄ ✠ ✞ ✍ ✠ ✄ ✯ ✠ ✄✲✱➆✄ ☞ ✞ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ✥✦✺✄✂ ✑ ✁❹✁ ☛ ❇ ✱ ✏ ✱ ✞ ☛ ✆ ☛ ☞✮☞ ✄ ✆ ✞ ✄✬➌ ✯ ☛ ☞ ✄ ☞ ✞ ✍ ✑ ✁ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✱ ✞ ☛ ✞ ❁ ✄ ☛ ✆✲✆ ✏ ✯✮✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ✞ ✍❸❉ ✄✲✱ ✒ ☛ ✠ ➒ ✄➋✱❂✱➆✄ ✁ ✯ ✠ ☛ ✆ ✄✲✱➆✱❂✄➋✱ ✘ ⑨ ☞ ●✮✄➋✄✲● ✫❏✍ ☞ ✥✦✺✄✂⑤✫❏❀ ✑ ❉ ✯ ✄ ✠ ✞ ✍ ☛ ✕ ✞ ✑ ✍ ☞ ✱ ✞ ❁ ✄ ✒ ☛ ✠ ❉ ✏ ✁ ✑
exp(
ξ
t) =
R
R
t
0
ds
exp(2
ξ
s)
,
✣■✚✧✚P✪ ❇ ❁ ✄ ✠ ✄ ✫ ✱ ✞ ✑ ✠ ✞ ✍ ☞ ✰ ✒ ✠ ☛ ❉ ✑ ❀ ➄ ➂ ✖ ✯ ✠ ☛ ✆ ✄✲✱➆✱
{
ξ
t
}
❇✍
✞
❁
ξ
0
=
x,
✍ ✞ ✍✱♦✱ ❁ ☛ ❇
☞
{
R
t
}
✍✱ ✑ ⑥ ✑ ✠ ③✦☛ ➂ ✯ ✠ ☛ ✆ ✄✲✱➆✱✝✱ ✞ ✑ ✠ ✞ ✄➋● ✒ ✠ ☛ ❉
exp(
x
)
✑ ☞ ● ✯ ☛ ✱❂✱➆✄✲✱➆✱ ✍ ☞ ✰ ✞ ❁ ✄ ➒ ✠ ☛ ❇ ☞ ✍ ✑ ☞ ✱ ✆ ✑ ✁❸✍ ☞ ✰ ✯ ✠ ☛ ✯ ✄ ✠ ✞ ✖ ❃
{
R
c u
:
u
≥
0
}
(d)
=
{
√
c R
u
:
u
≥
0
}
❇ ✍ ✞ ❁ ✑✦✯✮✯ ✠ ☛ ✯ ✠ ✍ ✑ ✞ ✄ ✍ ☞ ✍ ✞ ✍ ✑ ✁ ✆ ☛ ☞ ● ✍ ✞ ✍ ☛ ☞ ✱ ✘ ⑨ ☞ ✞ ❁ ✄ ✯❭✑ ✠ ✞ ✍ ✆ ✏ ✁ ✑ ✠ ✆ ✑ ✱❂✄
ξ
u
=
x
+
B
u
+
νu,
✑ ➒ ✠ ☛ ❇ ☞ ✍ ✑ ☞ ❉ ☛ ✞ ✍ ☛ ☞ ❇ ✍ ✞ ❁ ● ✠ ✍ ✒ ✞
ν,
✱ ✞ ✑ ✠ ✞ ✍ ☞ ✰❢✑ ✞x,
✞ ❁ ✄ ☞R
✍ ✱ ✑ ➒ ✄✲✱➆✱➆✄ ✁ ✯ ✠ ☛ ✆ ✄➋✱❂✱ ☛ ✒ ✍ ☞ ●✮✄➍➌ν
✣ ☛ ✠ ● ✍❸❉ ✄ ☞ ✱ ✍ ☛☞
δ
= 2(1 +
ν
)
✪✬✫ ❇ ❁ ✍ ✆ ❁ ✒ ☛ ✠ν <
0
,
✍✣■✚✧✚P✪ ✯ ✠ ✍ ☛ ✠ ✞ ☛ ✍ ✞ ✱ ❁ ✍ ✞➆✞ ✍ ☞ ✰ ✞ ✍❸❉ ✄ ☛ ✜✹✘⑩→ ❁ ✍ ✱ ✯❭✑ ✠ ✞ ✍ ✆ ✏ ✁ ✑ ✠ ✆ ✑ ✱❂✄ ❇ ✍❸✁❸✁ ✯ ✁ ✑ ✖ ✑ ☞ ✍❸❉ ✯ ☛ ✠ ✞ ✑ ☞ ✞ ✠ ☎ ✁ ✄ ✞ ❁ ✠ ☛ ✏ ✰ ❁ ☛ ✏ ✞✛✞ ❁ ✄ ✯❭✑ ✯ ✄ ✠ ✘ ⑨ ☞ ✣ ✄ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✳ ✘➃✚ ❇ ✄➁✱ ❁ ☛ ❇ ✞ ❁ ✄ ✍●✮✄ ☞ ✞ ✍ ✞ ✖
Z
∞
0
exp(
−
2
a B
s
(
µ
)
)
1
{
B
(
s
µ
)
<
0
}
ds
(d)
=
Z
∞
0
1
{
R
(
δ
2)
s
>
1
/a
}
ds,
✣■✚P✥✧✪ ❇ ❁ ✄ ✠ ✄
R
(
δ
2
)
✍ ✱ ✑ ➒ ✄➋✱❂✱➆✄ ✁ ✯ ✠ ☛ ✆ ✄➋✱➆✱ ☛ ✒ ● ✍❸❉ ✄ ☞ ✱ ✍ ☛
☞
δ2
= 2(1
−
µ
a
)
✱ ✞ ✑ ✠ ✞ ✄➋● ✑ ✞1
/a.
❶ ☛ ✞ ✍ ✆ ✄ ✞ ❁ ✑ ✞R
(
δ
2
)
❁ ✍ ✞ ✱ ✜➁✍ ☞ ❻ ☞ ✍ ✞ ✄ ✞ ✍❸❉ ✄ ✫ ✑ ☞ ● ✫◆✍ ☞ ✆ ✑ ✱❂✄
0
< µ < a,
❇ ✄ ✞ ✑ ③ ✄ ✜ ✞ ☛ ✕ ✄ ✑ ③ ✍❹✁❸✁❹✍ ☞ ✰ ✕ ☛ ✏ ☞ ● ✑ ✠ ✖ ✯ ☛ ✍ ☞ ✞ ✘ ⑧ ✏ ✠ ✞ ❁ ✄ ✠ ✫ ✑✦✰✩✑ ✍ ☞ ✕ ✖ ✞ ❁ ✄ ❀ ✑ ❉ ✯ ✄ ✠ ✞ ✍ ✞ ✍❸❉ ✄ ✆ ❁ ✑ ☞ ✰ ✄ ✣ ✚✧✚P✪➍✫ ❇ ✄ ❁ ✑ ➂ ✄
Z
∞
0
exp(2
a B
s
(
µ
)
)
1
{
B
(
s
µ
)
<
0
}
ds
(d)
=
Z
∞
0
1
{
R
(
δ
3)
s
<
1
/a
}
ds,
✣■✚ ✳ ✪ ❇ ❁ ✄ ✠ ✄
R
(
δ
3
)
✍✱ ✑ ➒ ✄➋✱➆✱❂✄ ✁ ✯ ✠ ☛ ✆ ✄➋✱❂✱ ☛ ✒ ● ✍❸❉ ✄ ☞ ✱ ✍ ☛
☞
δ3
= 2(1+
µ
a
)
✱ ✞ ✑ ✠ ✞ ✄➋● ✑ ✞1
/a.
→ ❁ ✍✱✍●✮✄ ☞ ✞ ✍ ✞ ✖ ❇❳✑ ✱ ❻ ✠ ✱ ✞ ☛ ✕ ✱➆✄ ✠ ➂ ✄✲● ✑ ☞ ● ✯ ✠ ☛ ➂ ✄➋● ✍ ☞ ✝ ☛ ✠ ★✧✥✌✂✡✣ ★ ✳ ✂ ✯ ✘✓✚ ✳✧✳ ✪ ✕ ✖ ● ✍❹➑ ✄ ✠ ✄ ☞ ✞ ❉ ✄ ✞ ❁ ☛ ●✮✱ ✘ ⑧ ✍ ☞ ✑ ✁❹✁ ✖ ✫ ❇ ✄ ✠ ✄ ✆ ✑ ✁❹✁ ✞ ❁ ✄ ✠ ✄ ✆ ✄ ☞ ✞ ❇ ☛ ✠ ③ ✱ ✕ ✖ ✞ ❁ ✄ ✱❂✄ ✆ ☛ ☞ ● ✑ ✏ ✞ ❁ ☛ ✠ ✫ ❍ ☛ ✍ ☞ ✞ ✁ ✖ ❇ ✍ ✞ ❁ ✬ ✘ ⑥ ✑ ✞ ✱ ✏ ❉ ☛ ✞ ☛ ✫ ✱❂✄➋✄ ✳ ✷☛✂⑤✫ ✳ ★✌✂✙✫ ✳ ✜ ✂⑤✫❭✍ ☞ ❇ ❁ ✍ ✆ ❁ ✞ ❁ ✄ ➂ ✑ ✠ ✍ ✑ ✕ ✁✄
Z
t
0
exp(
−
2
B
s
(
µ
)
)
ds,
µ >
0
,
✣ ✚✢✷✩✪✯ ✁ ✑ ✖ ✱ ✑ ☞ ✄➋✱❂✱➆✄ ☞ ✞ ✍ ✑ ✁ ✠ ☛ ✁ ✄ ✍ ☞ ☛ ✕ ✞ ✑ ✍ ☞ ✍ ☞ ✰➁✑ ➂ ✑ ✠ ✍ ✑ ☞ ✞ ☛ ✒ ✭◗✍ ✞ ❉ ✑ ☞ ✩❊✱ ✞ ❁ ✄ ☛ ✠ ✄ ❉ ✘ ⑨ ☞ ●✮✄✲✄➋● ✫✹✍ ✞ ✍✱ ✯ ✠ ☛ ➂ ✄➋● ✞ ❁ ✑ ✞✛✞ ❁ ✄ ✯ ✠ ☛ ✆ ✄✲✱➆✱
Z
t
(
µ
)
:= exp(
B
t
(
µ
)
)
Z
t
0
exp(
−
2
B
s
(
µ
)
)
ds,
t >
0
,
✍ ✱ ✑ ✞ ✍❹❉ ✄ ❁ ☛ ❉ ☛ ✰ ✄ ☞ ✄ ☛ ✏ ✱▲● ✍❹➑ ✏ ✱ ✍ ☛ ☞ ✘ ❙ ✞ ❁ ✄ ✠ ✯ ✠ ☛ ✯ ✄ ✠ ✞ ✍ ✄➋✱ ☛ ✒ ✞ ❁ ✄ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁❴✍ ☞ ✣ ✚➋✷◆✪ ✑ ✠ ✄♦✱ ✞ ✏ ● ✍ ✄✲● ✍ ☞ ✞ ❁ ✄ ✯❭✑✦✯ ✄ ✠ ✱ ✳✧✳ ✂✙✫ ➈☛✂✙✫ ✺✄✂⑤✫ ✚✻✜✄✂⑤✫ ✚✧✚ ✂⑤✘ ✣ ✄➋✄ ✑ ✁ ✱ ☛ ⑦ ✏ ✒ ✠ ✄✲✱ ☞ ✄ ✚ ✜ ✂ ✑ ☞ ● ⑥ ✑ ✞ ✱ ✏ ❉ ☛ ✞ ☛ ✑ ☞ ● ✝ ☛ ✠ ✳✩✵ ✂⑤✘ → ❁ ✄ ✯❭✑✦✯ ✄ ✠ ✍ ✱ ☛ ✠ ✰✩✑ ☞ ✍ ✁ ✄➋● ✑ ✱ ✒ ☛ ✁❹✁ ☛ ❇ ✱ ❃ ⑨ ☞ ✞ ❁ ✄ ☞ ✄➍➌ ✞ ✱➆✄ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑➐✰ ✄ ☞ ✄ ✠ ✑ ✁ ❉ ✄ ✞ ❁ ☛ ● ✆ ☛ ☞✮☞ ✄ ✆ ✞ ✍ ☞ ✰ ✞ ❁ ✄ ● ✍ ✱ ✞ ✠ ✍ ✕ ✏ ✞ ✍ ☛ ☞ ☛ ✒ ✑➊✯ ✄ ✠ ✯ ✄ ✞ ✏ ✑ ✁◆✍ ☞ ✞ ✄ ✰ ✠ ✑ ✁ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✞ ☛ ✑ ❁ ✍ ✞➆✞ ✍ ☞ ✰ ✞ ✍❸❉ ✄ ✍✱ ✯ ✠ ✄✲✱➆✄ ☞ ✞ ✄✲● ✘ ❷ ➌ ✑ ❉ ✯ ✁ ✄✲✱ ☛ ✒ ✞ ❁ ✄ ❉ ✄ ✞ ❁ ☛ ● ✑ ✠ ✄ ✰ ✍➃➂ ✄ ☞ ✍ ☞ ✣ ✄ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✳ ✘ ⑨ ☞ ✯❭✑ ✠ ✞ ✍ ✆ ✏ ✁ ✑ ✠ ✫ ❇ ✄ ● ✍ ✱ ✆ ✏ ✱➆✱ ✞ ❁ ✄ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✱ ✣ ✑ ☞ ● ✞ ❁ ✄ ✍ ✠❢✠ ✄ ✁ ✄ ✆ ✞ ✄✲● ✆ ☛ ✏ ☞ ✞ ✄ ✠ ✯❭✑ ✠ ✞ ✱ ✪ ✑✦✯✮✯ ✄ ✑ ✠ ✍ ☞ ✰ ✍ ☞ ✣✙✥✧✪ ✑ ☞ ● ✣✙➈✧✪✬✘ ⑧ ✏ ✠ ✞ ❁ ✄ ✠ ✫ ✏ ✱ ✍ ☞ ✰ ✞ ❁ ✄ ❀ ✑ ❉ ✯ ✄ ✠ ✞ ✍ ✞ ✠ ✑ ☞ ✱ ✒ ☛ ✠ ❉ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ✣■✚✧✚P✪ ❇ ✄♦●✮✄ ✠ ✍❹➂ ✄ ✞ ❁ ✄ ✍●✮✄ ☞ ✞ ✍ ✞ ✖ ✣❜✷◆✪ ✒ ✠ ☛ ❉ ✣ ✵ ✪ ✑ ☞ ● ✰ ✍➃➂ ✄ ✑ ☞ ✄ ❇ ●✮✄ ✠ ✍❹➂ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ✣ ✒ ☛ ✠ ✑ ☞ ☛ ✞ ❁ ✄ ✠ ☛ ☞ ✄ ✫ ✱➆✄✲✄ ✷✧✷☛✂ ✪ ✒ ☛ ✠ ✞ ❁ ✄❳❍ ☛ ✍ ☞ ✞ ❀ ✑✦✯ ✁ ✑ ✆ ✄ ✞ ✠ ✑ ☞ ✱ ✒ ☛ ✠ ❉ ☛ ✒ ✞ ❁ ✄ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✱
Z
∞
0
1
{
B
s
(1
/
2)
>
0
}
(
a
exp(
B
s
(1
/
2)
) + 1)
2
ds,
L
0
∞
(
B
(1
/
2)
)
,
Z
∞
0
1
{
B
s
(1
/
2)
<
0
}
(
a
exp(
B
s
(1
/
2)
) + 1)
2
❇ ❁ ✄ ✠ ✄
L
0
∞
(
B
(1
/
2)
)
✍ ✱ ✞ ❁ ✄ ✏ ✁ ✞ ✍❸❉ ✑ ✞ ✄ ➂ ✑ ✁ ✏ ✄ ☛ ✁ ☛ ✆ ✑ ✁ ✞ ✍❹❉ ✄ ✑ ✞ ✜ ☛
B
(1
/
2)
.
❷✱ ✯ ✄ ✆ ✍ ✑ ✁❹✁ ✖ ✫ ✞ ❁ ✍ ✱ ✁ ✑ ✞➆✞ ✄ ✠ ✆ ☛ ❉ ✯ ✏ ✞ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ❁ ✑ ✱ ✍ ☞ ✞ ✄ ✠ ✄➋✱ ✞ ✍ ☞ ✰ ✆ ☛ ☞✹☞ ✄ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✱ ✞ ☛ ✱ ☛ ❉ ✄ ✄ ✑ ✠ ✁❹✍ ✄ ✠ ❇ ☛ ✠ ③ ✱ ✘❴➓ ✄ ✑ ✁ ✱ ☛ ✯ ✠ ☛ ➂ ✄ ✍ ☞ ✣ ✄ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✳ ✞ ❁ ✄ ✍●✮✄ ☞ ✞ ✍ ✞ ✍✄➋✱ ✣✙★✧✪✬✫❩✣⑤★✧✥✧✪ ✑ ☞ ● ✣⑤★ ✳ ✪➊✣✱➆✄➋✄ ✞ ❁ ✄ ✞ ✑ ✕ ✁✄ ✕ ✄ ✁ ☛ ❇ ✪✬✘ ⑨ ☞ ✣ ✄ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✷✮✫ ❇ ✄ ❉ ☛ ● ✍ ✒ ✖ ✞ ❁ ✄ ⑧ ✄ ✖ ☞ ❉ ✑ ☞ ✶✞✝ ✑ ✆ ✒ ☛ ✠ ❉ ✏ ✁ ✑ ✞ ☛ ✕ ✄ ● ✍ ✠ ✄ ✆ ✞ ✁ ✖ ✑✦✯✮✯ ✁❹✍ ✆ ✑ ✕ ✁ ✄ ✒ ☛ ✠ ✆ ☛ ❉ ✯ ✏ ✞ ✍ ☞ ✰ ✞ ❁ ✄ ❀ ✑ ✯ ✁ ✑ ✆ ✄ ✞ ✠ ✑ ☞ ✱ ✒ ☛ ✠ ❉ ☛ ✒ ✑♦✯ ✄ ✠ ✯ ✄ ✞ ✏ ✑ ✁ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✑ ☞ ● ● ✍ ✱ ✆ ✏ ✱➆✱ ✑ ✆ ❁ ✑ ✠ ✑ ✆ ✞ ✄ ✠ ✍ ✁ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ● ✏ ✄ ✞ ☛ ➒ ✍ ✑ ☞ ✄ ✳ ✂ ✒ ☛ ✠ ☛ ☞ ✄ ✶ ✱ ✍●✮✄✲● ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁✱ ✘ ➓ ✄ ❻ ☞ ✍✱ ❁ ❇ ✍ ✞ ❁ ✑ ✱ ❁ ☛ ✠ ✞ ② ✯✮✯ ✄ ☞ ● ✍ ➌ ✆ ☛ ☞ ✞ ✑ ✍ ☞ ✍ ☞ ✰ ✞ ❁ ✄ ✿ ✑ ✖✏✎ ✝ ☞ ✍ ✰ ❁ ✞❋✞ ❁ ✄ ☛ ✠ ✄ ❉ ✱ ✏ ✱➆✄✲● ✍ ☞ ✞ ❁ ✄ ✯✮✑✦✯ ✄ ✠ ✘ → ☛ ✱ ✏ ❉❢❉ ✑ ✠ ✍ ✁ ✄ ✞ ❁ ✄✟● ✍ ✱ ✆ ✏ ✱❂✱ ✍ ☛ ☞ ❉ ✑ ●✮✄ ✞ ❁ ✠ ☛ ✏ ✰ ❁ ☛ ✏ ✞✛✞ ❁ ✍ ✱ ❇ ☛ ✠ ③ ✫ ❇ ✄ ✏ ✱❂✄➁✱ ✖ ✱ ✞ ✄ ❉❧✶ ✑ ✞ ✍ ✆ ✑ ✁❹✁ ✖ ✠ ✑ ☞ ● ☛ ❉ ✞ ✍❸❉ ✄ ✆ ❁ ✑ ☞ ✰ ✄➋✱ ✍ ☞ ✑ ✱➆✄ ✞ ✶ ✏ ✯ ❇ ❁ ✍ ✆ ❁ ✑ ✯ ✠ ✍ ☛ ✠ ✍ ✄ ☞ ✆ ☛ ❉ ✯❭✑ ✱❂✱➆✄➋✱ ✞ ❁ ✄ ✱ ✆ ✑ ✁ ✄ ✑ ☞ ●➐✱ ✯ ✄➋✄✲● ⑧ ✄ ✁❹✁ ✄ ✠ ✞ ✖ ✯ ✄ ✠ ✄ ✯ ✠ ✄✲✱➆✄ ☞ ✞ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ✱ ☛ ✒ ☛ ☞ ✄ ✶ ● ✍❹❉ ✄ ☞ ✱ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ● ✍❹➑ ✏ ✱ ✍ ☛ ☞ ✱ ✣ ✒ ☛ ✠ ❇ ❁ ✍ ✆ ❁ ✫ ✱➆✄✲✄ ✫ ✄ ✘ ✰ ✘ ✞ ❁ ✄ ✠ ✄ ✆ ✄ ☞ ✞ ✯❭✑ ✯ ✄ ✠ ✕ ✖ ⑥ ✆ ✝ ✄ ✑ ☞✁ ✳ ➈☛✂✪ ✑ ✱ ❇ ✄ ✁❸✁ ✑ ✱ ❀ ✑ ❉ ✯ ✄ ✠ ✞ ✍ ✩❊✱ ✞ ✠ ✑ ☞ ✱ ✒ ☛ ✠ ❉ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ✣ ✚✦✚P✪ ✑ ☞ ● ✿ ✑ ✖✏✎ ✝ ☞ ✍ ✰ ❁ ✞ ✞ ❁ ✄ ☛ ✠ ✄ ❉ ✱ ✘✳❙ ✒ ✆ ☛ ✏ ✠ ✱➆✄ ✫ ✞ ❁ ✍✱✓✱ ✞ ☛ ✆ ❁ ✑ ✱ ✞ ✍ ✆ ✑ ✯✮✯ ✠ ☛ ✑ ✆ ❁ ✑ ☞ ● ✞ ❁ ✄ ✠ ✄✲✱ ✏ ✁ ✞ ✱ ✍ ✞ ✑ ✁❹✁ ☛ ❇ ✱ ✞ ☛ ●✮✄ ✠ ✍❹➂ ✄ ✑✦✰ ✠ ✄➋✄ ❇ ✍ ✞ ❁ ✞ ❁ ✄ ❉ ☛ ✠ ✄ ✑ ☞ ✑ ✁ ✖ ✞ ✍ ✆ ⑧ ✄ ✖ ☞ ❉ ✑ ☞ ✶✑✝ ✑ ✆ ✑✦✯✮✯ ✠ ☛ ✑ ✆ ❁ ☛ ✒ ✱ ☛ ✁❹➂r✍ ☞ ✰ ❙✟⑦ ❷ ✩❊✱ ✫ ✑ ☞ ● ✯ ✄ ✠ ✒ ☛ ✠ ❉✌✍ ☞ ✰ ✒ ☛ ✠ ✞ ❁ ✄ ❉ ✞ ❁ ✄ ✆ ☛ ✠ ✶ ✠ ✄➋✱ ✯ ☛ ☞ ● ✍ ☞ ✰ ✣ ●✮✄ ✞ ✄ ✠ ❉✌✍ ☞ ✍✱ ✞ ✍ ✆ ✪ ✆ ❁ ✑ ☞ ✰ ✄➋✱ ☛ ✒ ➂ ✑ ✠ ✍ ✑ ✕ ✁✄➋✱ ✘ ➓ ✄ ✆ ☛ ☞ ✆ ✁ ✏ ●✹✄ ✞ ❁ ✍ ✱ ✍ ☞ ✞ ✠ ☛ ● ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ❇ ✍ ✞ ❁ ✑ ✞ ✑ ✕ ✁ ✄ ✆ ☛ ☞ ✞ ✑ ✍ ☞ ✍ ☞ ✰ ✞ ❁ ✄ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✱ ✑ ☞ ● ✞ ❁ ✄ ✑ ✱❂✱ ☛ ✆ ✍ ✑ ✞ ✄➋● ❁ ✍ ✞➆✞ ✍ ☞ ✰ ✞ ✍❸❉ ✄➋✱❋● ✍ ✱ ✆ ✏ ✱➆✱❂✄➋● ✍ ☞ ✞ ❁ ✍ ✱ ✯✮✑✦✯ ✄ ✠ ✣ ✑ ☞ ✄✬➌ ✆ ✄ ✯ ✞ ✍ ☛ ☞ ✍ ✱ ✞ ❁ ✄ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑ ✁ ✑✦✯✮✯ ✄ ✑ ✠ ✍ ☞ ✰ ✍ ☞ ✣✜ ✪ ❇ ❁ ✍ ✆ ❁ ✍✱ ☞ ☛ ✞✟✞ ✠ ✄ ✑ ✞ ✄➋● ✍ ☞ ✞ ❁ ✄ ✯✮✑✦✯ ✄ ✠ ✪✬✘♦➓ ✄ ✏ ✱❂✄ ✞ ❁ ✄ ☞ ☛ ✞ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞
B
(
µ
)
✒ ☛ ✠ ✑ ➒ ✠ ☛ ❇ ☞ ✍ ✑ ☞ ❉ ☛ ✞ ✍ ☛ ☞ ❇ ✍ ✞ ❁ ● ✠ ✍ ✒ ✞µ, R
(
δ
)
✒ ☛ ✠ ✑ ➒ ✄➋✱❂✱➆✄ ✁ ✯ ✠ ☛ ✆ ✄➋✱❂✱ ☛ ✒ ● ✍❹❉ ✄ ☞ ✱ ✍ ☛ ☞
δ,
✑ ☞ ●˜
B
(
µ
)
Ref
.
Functional (
a >
0
, µ >
0)
Hitting
/
occupation time
(2)
,
(21)
Z
∞
0
exp(
−
2
aB
s
(
µ
)
)
ds
H0
(
R
(2
−
2
µ/a
)
)
,
R
(2
0
−
2
µ/a
)
= 1
/a
(7)
,
(22)
Z
∞
0
exp(
−
2
a B
s
(
µ
)
)
1
{
B
(
s
µ
)
>
0
}
ds
H
1
/a
(
R
(2
µ/a
)
)
(23)
Z
∞
0
exp(
−
2
a B
s
(
µ
)
)
1
{
B
(
s
µ
)
>
0
}
ds
Z
∞
0
1
{
R
s
(2
−
2
µ/a
)
<
1
/a
}
ds,
R
(2
0
−
2
µ/a
)
= 1
/a
(12)
,
(24)
Z
∞
0
exp(
−
2
a B
s
(
µ
)
)
1
{
B
(
s
µ
)
<
0
}
ds
Z
∞
0
1
{
R
s
(2
−
2
µ/a
)
>
1
/a
}
ds,
R
(2
0
−
2
µ/a
)
= 1
/a
(13)
,
(25)
Z
∞
0
exp(2
a B
s
(
µ
)
)
1
{
B
(
s
µ
)
<
0
}
ds
Z
∞
0
1
{
R
(2+2
s
µ/a
)
<
1
/a
}
ds,
R
(2+2
0
µ/a
)
= 1
/a
(8)
,
(35)
Z
∞
0
(
a
exp(
B
s
(1
/
2)
) + 1)
−
2
ds
H
r(
B
(1
/
2)
)
,
Ref
.
Functional (
a >
0
, µ >
0)
Hitting
/
occupation time
(9)
,
(36)
Z
∞
0
1
{
B
s
(1
/
2)
>
0
}
(
a
exp(
B
(1
s
/
2)
) + 1)
2
ds
H
r( ˜
B
(1
/
2)
)
,
r
= log((1 +
a
)
/a
)
(37)
Z
∞
0
1
{
B
s
(1
/
2)
<
0
}
(
a
exp(
B
(1
s
/
2)
) + 1)
2
ds
H
λ
(
B
(
a/
2)
)
,
λ
∼
Exp(1 +
a
)
(69)
Z
∞
0
(
a
+ exp(
B
s
(1
/
2)
))
−
2
ds
H
r(
B
(
a/
2)
)
,
r
=
1
a
log(1 +
a
)
(5)
,
(49)
Z
∞
0
1
{
B
(
s
µ
)
<
0
}
ds
H
λ(
B
(
µ
)
)
,
λ
∼
Exp(2
µ
)
(4)
,
(34)
Z
∞
0
1
{
R
(
s
δ
+2)
<
1
/a
}
ds
H1
/a(
R
(
δ
)
)
,
δ >
0
(6)
Z
∞
0
(exp(2
R
s
(3)
)
−
1)
−
1
ds
H
π/
2
(
R
(3)
)
(52)
Z
∞
0
exp(
−
2
R
(3)
s
)
ds
H1
(
R
(2)
)
(53)
Z
∞
0
✹❄❃ ❋ ▼ ❊
❀ ✄
✞
{
B
t
(
µ
)
:
t
≥
0
}
✕✄
✑
➒
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✍
✑
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❉
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✞
✍
☛
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❇
✍
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✠
✍
✒
✞
µ >
0
✑
☞
●
f
✑
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☛
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✰✩✑
✞
✍❹➂
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✁
☛
✆
✑
✁❸✁
✖
✍
☞
✞
✄
✰
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✑
✕
✁
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✒
✏
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✆
✞
✍
☛
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✘✴→ ❁
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✣
✱❂✄➋✄
❷
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✰
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✁
✕
✄
✠
✞
✑
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●
✣
✄
☞
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✚✻✺✄✂
✑
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●
✣
✑
✁❸❉✌✍
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✄
☞
✑
☞
●
✝
☛
✠
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I
∞
(
f
) :=
Z
∞
0
f
(
B
(
u
µ
)
)
du <
∞
a
.
s
.
⇔
Z
∞
f
(
x
)
dx <
∞
.
✣ ✚P★✦✪⑨
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✍
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✍
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✍
✞
✍
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✞
✑
✞
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✫
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✑
●✮●
✍
✞
✍
☛
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✑
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✑
✱❂✱
✏
❉
✯
✞
✍
☛
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☛
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f,
✞❁
✑
✞✴✞
❁
✄
✠
✄♦✄✬➌
✍
✱
✞
✱
✑
●
✍❹➑
✏
✱
✍
☛
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✆
☛
☞
✱
✞
✠
✏
✆
✞
✄➋●
✍
☞
✞
❁
✄ ✱
✑
❉
✄
✯
✠
☛
✕
✑
✕
✍❸✁❸✍
✞ ✖
✱
✯❭✑
✆
✄
✑
✱
B
(
µ
)
✱✏
✆
❁
✞
❁
✑
✞➁✞
❁
✄
✯
✄
✠
✯
✄
✞
✏
✑
✁ ✍
☞
✞
✄
✰
✠
✑
✁
✒
✏
☞
✆
✞
✍
☛
☞
✑
✁
I
∞
(
f
)
✍✱✑
✘✱ ✘ ✄ ✂
✏
✑
✁
✞
☛
✞
❁
✄
❻
✠
✱
✞
❁
✍
✞➆✞
✍
☞
✰
✞
✍❸❉ ✄
☛
✒
✑❧✯
☛
✍
☞
✞
✒
☛
✠
✞
❁
✍✱✛● ✍❹➑
✏
✱ ✍
☛
☞
✘
✔➁▼P❛❏❖ ❛❝❞✢❵❘P❵❣❛❝❨ ✒✡✠
✗☞☛✄✌✎✍
f
:
R
7→
R
✏✌✒✑✔✓✖✕✘✗✙✕✚✍✛✕✘✗✙✌✢✜✣✍✥✤✧✦✩★✢✌✪★✫✕✎✗✬✍✭✦✮✗✬✯✚✕✚✯✱✰✳✲✵✴✷✶✸✦✮✹✺✌✼✻✾✽
✌✿✗✙✍❀✦❁✑
✏
✲❀✌❃❂✛✯❄✗✙★✎✍❀✦❀✕✎✗❅✰❆✯✚★❈❇❉✍❀❇❊✑❋✍
r
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→∞
f
(
x
)
✌✳●❋✦❍✰❆✍❀✰❆■❑❏✥✗✙✍❀✻▲✕✚✶✬✯✚★✫✌▼✍✭❇✙✌✪✑✸✶◆✶❖✦P✍✭✦❘◗✎✌ ❂✛✯❄✗✙★✎✍❀✦❀✕✎✗❙✑❄✲I
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Z
s
0
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(
x
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6
= 0
✑❱✗✙✶Z
∞
(
f
′
(
x
))
2
dx <
∞
.
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Z
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✏
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Z
t
:=
f
(
B
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,
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t
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{
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:
I
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∞
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Z
∞
0
(
f
′
(
B
s
(
µ
)
))
2
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= inf
{
t
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Z
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r
}
.
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Z
✦✮✰❵✑✔✰❛✕✎✲P✯❋✍✭✦❀✕✘✗❅✕✎❂❜✍❀❇✙✌❃❝❋❞❃❡dZ
t
=
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t
+
G
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−
1
(
Z
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1
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