BAB V Model Bayes Pendugaan Area Kecil untuk Respon Binomial dan Multinomial Berbasis Penarikan Contoh Berpeluang Tidak Sama

BAB V

Model Bayes Pendugaan Area Kecil untuk Respon

Binomial dan Multinomial Berbasis Penarikan Contoh

Berpeluang Tidak Sama

5.1. Pendahuluan

Pada umumnya pengembangan model SAE dan pendugaannya dilakukan dengan menganggap semua area terwakili dalam contoh atau menganggap contoh area dipilih dengan peluang yang sama (Pfeffermann, 2010). Beberapa peneliti yaitu Kott (1990), Arora dan Lahiri (1997) serta Prasad dan Rao (1999), yang mengembangkan model SAE yang memperhatikan peluang pengambilan contoh menyatakan bahwa pendugaan yang dilakukan tanpa memperhatikan peluang penarikan contoh akan menghasilkan penduga yang berbias.

Model SAE yang dikembangkan dengan memperhitungkan peluang penarikan contoh umumnya untuk peubah respon bertipe kontinu khususnya peubah respon yang memiliki distribusi normal. Lehtonen et al. (2009) mengaplikasikan Model Generalized Regresion (GREG) mengaplikasikan metode PTLTE untuk pendugaan parameter area dengan menyertakan bobot unit contoh. Penelitian oleh Lehtonen R (2009) tersebut menghasilkan peningkatan akurasi dan mengurangi bias. Dengan memberikan bobot pada unit contoh, You dan Rao (2002) mengembangkan model SAE dengan mengaplikasikan metode Pseudo PTLTE untuk pendugaan parameter area kecil. Model tersebut diterapkan untuk menduga produksi jagung di wilayah kecil (kota) dan dihasilkan bahwa metode PTLTE semu (pseudo EBLUP) menghasilkan KTG yang sedikit lebih kecil dibandingkan dengan metode PTLTE. Dalam bukunya Rao (2003) juga membahas model SAE untuk peubah respon normal dimana pendugaan parameter mengaplikasikan PTLT semu ( Pseudo –BLUP) atau PTLTE. semu (Pseudo –EBLUP)

Pfefferman et al. (1998) juga telah membahas pengaruh peluang penarikan contoh dari proses penarikan contoh gerombol dua tahap (multistage cluster sampling) terhadap kualitas penduga model SAE. Pfefferman et al.(1998) mengasumsikan bahwa peluang penarikan contoh memiliki korelasi dengan

karakteristik area atau unit percontohan, oleh karena itu disebut sebagai percontohan informatif (informative sampling). Selanjutnya berdasarkan ide Pfefferman tersebut, Eideh dan Nathan (2009) mengasumsikan bahwa peluang penarikan contoh memiliki hubungan dalam bentuk fungsi eksponensial dengan karakteristik area dan unit. Pengembangan model SAE yang dilakukan oleh Eideh dan Nathan (2009) yaitu dengan menyertakan model eksponensial tersebut ke dalam model SAE.

Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa tujuan utama penelitian ini adalah mengembangkan model SAE yang dapat diaplikasikan dalam menduga Indeks Pendidikan yang merupakan salah satu komponen IPM di area kecil dimana data dasar yang digunakan adalah Susenas yang penarikan contohnya berpeluang tidak sama. Oleh karena ide pengembangan metode SAE yang memperhatikan peluang penarikan contoh seperti yang telah dilakukan oleh para peneliti di atas digunakan sebagai dasar pengembangan model SAE dengan memperhitungkan peluang penarikan contoh yang dapat digunakan untuk menduga komponen Indeks Pendidikan yaitu model SAE untuk respon binomial dan multinomial. Pendugaan parameter area kecil dilakukan dengan pendekatan Bayes. Selanjutnya metode tersebut akan diaplikasikan untuk menduga angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan, Provinsi Jawa Timur.

5.2. Penyertaan Peluang Penarikan Contoh pada Model SAE.

Mengacu pada penelitian Pfefferman (1998), Eideh dan Nathan (2009) mengembangkan model SAE berbasis peluang tidak sama dengan penarikan contoh dua tahap yang mengasumsikan bahwa peluang penarikan contoh baik untuk penarikan contoh area dan penarikan contoh unit memiliki hubungan dengan karakteristik area dan unit dalam bentuk fungsi eksponensial.

Pada tahap pertama, misalkan pengaruh area yang dinyatakan dengan peubah ui memiliki hubungan dengan karakteristik area zi, sehingga hubungan antara peubah ui dan zi

)

,

0

(

~

,

' u ind i i i i

z

N

u

=

γ

+

η

η

σ

dinyatakan oleh fungsi

(5.1)

Untuk tahap ke dua, diasumsikan terdapat peubah penyerta xij=(xij1,...,xijr)’ yang mempengaruhi yij yang tersedia untuk semua kelompok

)

,

0

(

~

,

2 ' e ind ij ij ij i ij

e

e

N

y

=

µ

+

x

β

+

σ

(5.2) dimana

Dengan cara lebih sederhana maka gabungan dari persamaan (5.1) dan (5.2) adalah:

Mengikuti cara yang dikembangkan oleh Pfefferman (1998) yaitu dengan memperhatikan peluang penarikan contoh, maka, fungsi kepadatan peluang untuk dalam percontohan area ke-i adalah:

(5.3)

dimana

.

Eideh dan Nathan (2009) mengasumsikan bahwa rata-rata peluang terambilnya area ke-i sebagai contoh dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponensial dari peubah yang menggambarkan karaketristik area sebagai berikut:

. (5.4)

Misalkan model matematik yang menghubungkan peluang penarikan contoh ke-i dengan peubah area dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial sebagai berikut:

{

( ' )

}

exp ) , | ( / 1 ) , | ( i i b i i i p E i i i s E π µ z = π µ z = µ +bz (5.5) dimana zi i i w =1/π

adalah peubah yang menyatakan karakteristik area ke-i dan b adalah parameter yang menghubungkan kedua peubah. Jika menyatakan bobot dari area ke-i, maka persamaan (5.5) dapat dinyatakan sebagai:

{

( ' )

}

exp ) , | ( / 1 ) , | ( i i i p i i i i i s w E b E

µ

z =

π

µ

z = −

µ

+b z (5.6) Berdasarkan persamaan (5.3), maka fungsi kepadatan peluang untuk pengaruh acak ui dapat ditulis sebagai:

(5.7)

dimana:

Dengan cara yang sama maka pada tahap kedua, fungsi kepekatan peluang untuk yij

i j/

π

dapat dituliskan dalam formula:

(5.9)

Selanjutnya peluang terambilnya contoh unit ke j pada area ke-i yaitu

diamsumsikan memiliki hubungan dengan karakteristik unit yang dinyatakan sebagai peubah xij dalam bentuk fungsi eksponensial

i j/

π

sebagai berikut:

. (5.10) Sama dengan peluang area, model matematik yang menghubungkan peluang ( ) atau bobot (w_j/i=1/π_j/i) terambilnya unit ke-j pada area ke-i dengan peubah penyerta adalah:

)

(

exp

)

,

,

|

(

_{j|i ij ij i ij} ' _ij p

y

dy

E

π

x

µ

=

+

d

x

(5.11) (5.12) Oleh karena itu fungsi kepadatan peluang untuk yij untuk µi dan xij

)' ,... , ( , )' ,..., , 1 ( , )' ,...., , (b₀ b₁ b_{q i} = z_i2 z_iq = d₀ d₁ d_r = z d b tertentu adalah: (5.13) dimana (5.14) Persamaan (5.8) dan (5.14) menunjukkan bahwa jika diasumsikan peluang penarikan contoh memiliki hubungan dengan karakteristik area dan unit dalam bentuk fungsi eksponensial, maka terjadi pergeseran rata-rata sebesar

untuk pengaruh area dan untuk unit. Dengan mendefinisikan

dan

x

_ij

=

(

1

,

x

_ij2

,...,

x

_ijr

)'

, maka dengan menggunakan metode penduga KM,

pendugaan vektor parameter B dan D adalah

(5.15)

(5.16)

dimana .

Untuk yij yang diasumsikan memiliki sebaran normal dan dengan menyertakan peluang terambilnya contoh maka bentuk fungsi kepadatan

peluang yij untuk µi dan xij

1) Pendugaan Parameter Model SAE

diketahui dapat dinyatakan oleh persamaan (5.14). Nilai harapan dan ragam dari sebaran tersebut adalah:

(5.17) + (5.18) (5.19)

Selanjutnya pendugaan parameter model SAE dilakukan dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan baik untuk area dan unit yang terambil sebagai contoh serta untuk area dan unit yang tidak terambil sebagai contoh. Dalam pendugaan paramater, Eideh dan Nathan (2009) mengaplikasikan dua cara yaitu melalui metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood ) dan metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum Semu (KMS) atau Pseudo Maximum Likelihood ). Metode KM tidak memperhitungkan bobot penarikan contoh sehingga rancangan percontohan diabaikan, sedangkan metode KMS memperhitungkan bobot penarikan contoh.

Jika mi adalah jumlah contoh pada area ke i dan penarikan contoh dilakukan secara acak, maka untuk j=1,2....mi, sebaran yij

)

,...

(

i im ij

y

y

akan saling bebas dan masing-masing memiliki sebaran normal dengan rataan dan ragam, koragam seperti dinyatakan oleh persamaan (5.17), (5.18) dan (5.19). Oleh karena itu fungsi peluang bersama antara untuk percontohan area ke-i adalah:

x

. (5.20)

Metode Kemungkinan Maksimum

Fungsi kemungkinan diperoleh dari mentransformasikan persamaan (5.20) dengan transformasi logaritma natural, yaitu:

Jika didefinisikan

,

maka fungsi likelihood diatas menjadi lebih sederhana dan merupakan fungsi dari , yaitu:

.

( 5.21) Dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan yang dinyatakan oleh persamaan (5.21) diatas maka akan diperoleh penduga . Jika parameter informatif tidak diketahui maka parameter b dan d yang digunakan untuk

menghitung

β

₀

=

b

σ

_µ2 dan

γ

₀

=

d

σ

_e2dapat diduga dengan menggunakan persamaan (5.15) dan (5.16).

Metode Kemungkinan Maksimum Semu

Alternatif lain untuk pendugaan parameter model SAE adalah dengan menggunakan metode Kemungkinan Maksimum Semu (KMS). Metode KMS ini dikembangkan oleh beberapa peneliti seperti Binder (1983), Asparouhov (2006) dan Eideh dan Nathan (2009).

Pada kasus penarikan contoh dua tahap, peluang penarikan contoh untuk unit ke-i pada area ke j adalah

π

_ij

=

π

_i

π

_j/i, i=1,2...,N ; j=1,2...,Mi. Oleh karena itu bobot percontohan adalah wij=wi wj/i dimana

w

i

=

1

/

π

i dan

i j i j

w

_/

=

1

/

π

_/ , i=1,2...N. Eideh dan Nathan (2009) menyatakan bahwa kontribusi dari area ke-i pada log-likelihood sensus (untuk seluruh populasi) adalah:

Sehingga fungsi kemungkinan yang harus dimaksimumkan adalah:

Oleh karena itu penduga fungsi kemungkinan adalah:

(5.22)

Secara singkat persamaan (5.31) ditulis dalam bentuk:

.

(5.23)

Penduga KMS adalah nilai-nilai yang diperoleh dengan cara memaksimumkan persamaan (5.23) menggunakan metode numerik.

Pendugaan Ragam

(5.24)

dimana .

2) Pendugaan parameter pengaruh area

Sebaran percontohan bersyarat

i im i

i

|

y

1

,...

y

µ

tergantung pada sebaran percontohan dari efek area pada tahap pertama dan sebaran

y

_ij

|

µ

_i pada tahap kedua. Untuk

i

im i

i

|

y

1

,...

y

µ

yang diasumsikan menyebar normal, maka penduga Bayes untuk µ_i|y_i merupakan nilai tengah dari sebaran posterior

f( yang diperoleh

dari: f(

Nilai tengah untuk sebaran posterior f( adalah:

Parameter rataan untuk sebaran normal di atas dapat dinyatakan sebagai:

(5.25) dimana:

dan

Sehingga: (5.26)

.

Pendugaan paramater di area yang terambil sebagai contoh

(5.27)

dimana

.

Pendugaan parameter untuk area yang tidak terambil sebagai contoh

Untuk area yang tidak terambil sebagai contoh, maka peluang untuk tidak terambil sebagai contoh adalah . Karena tidak ada unit yang diamati atau terambil dalam percontohan maka pengaruh area yang tidak terambil sebagai contoh bukan merupakan fungsi dari percontohan unit, sehingga:

}

{

{

' 2

}

2 2 ' 2 ' ,

ˆ

ˆ

)

5

.

0

)

(

ˆ

exp

)

(

ˆ

1

ˆ

ˆ

5

.

0

)

ˆ

(

ˆ

exp

ˆ

ˆ

)

(

ˆ

ˆ

µ µ µ

σ

σ

γ

σ

γ

µ

b

y

z

b

z

g

b

z

b

b

z

g

z

y

j j j j j s c j

+

−

+

−

=

_{. (5.28)}

Menurut Eideh dan Nathan (2006) Untuk model SAE seperti yang

dinyatakan oleh persamaan

y

_ij

=

x

_ij

'

β

+

µ

_i

+

e

_ij

dimana

µ

_i

=

µ

+

η

_i, maka pendugaan parameter area ke-i yang terambil sebagai contoh adalah:

2 2 ' , ( ˆ) (1 )(ˆ) (1 ) ˆ_si φ_i y_i x_i φ_i µ φ_i bσ φ_idσ_e µ = − β + − + − _µ− (5.29) dimana

Sedangkan dugaan parameter untuk area yang tidak terambil sebagai contoh dinyatakan oleh persamaan :

) 5 . 0 ˆ exp( 1 ) 5 . 0 ˆ exp( ˆ ˆ 2 2 2 2 2 , µ µ µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

µ

b b b b b j c + − + − = . (5.30)

5.3. Pendugaan Area Kecil Menggunakan Model Campuran Linier

Terbobot.

Rao (2003) membahas model SAE berbasis penarikan contoh berpeluang tidak sama untuk peubah respon normal. Model SAE dikembangkan dengan memberikan bobot pada area survei dengan manggunakan rata-rata bobot level

unit

/

ij

/

i. k ik ij ij

w

w

w

w

w

=

∑

=

iw i T iw ij i T ij j ij ij j ij iw

e

x

e

x

w

y

w

y

+

+

=

+

+

=

=

∑ ∑

µ

β

µ

β

)

(

(5.31)

dimana ij j ij iw

w

e

e

=

∑

_dengan

E

(

e

_iw

)

=

0

dan e iw j ij e iw

w

e

V

(

)

=

σ

2

∑

2

=

σ

2

δ

dan ij j ij iw

w

x

x

=

∑

_{. Selanjutnya pendugaan parameter dilakukan dengan}

mengaplikasikan metode PTLT atau PTLTE untuk persamaan (5.31) di atas. Rao (2003) menyebut metode pendugaan untuk unit contoh berpeluang tidak sama dengan istilah PTLT semu (pseudo BLUP) atau PTLTE semu (pseudo EBLUP). You dan Rao (2002) mencoba menerapkan metode PTLTE semu untuk menduga produksi jagung di wilayah kecil (kota) dan dihasilkan bahwa metode PTLTE semu menghasilkan KTG yang sedikit lebih kecil dibandingkan dengan PTLTE.

5.4. Pengembangan Model Bayes SAE Berbasis Penarikan Contoh

Berpeluang Tidak Sama untuk Respon Binomial

Seperti telah dijelaskan pada Bab III, setiap individu dalam populasi diklasifikasikan berdasarkan pada 2 peubah demografi yaitu usia (yang terdiri dari 5 katagori) dan jenis kelamin (terdiri dari 2 katagori) sehingga terdapat maksimum k=10 katagori. Jumlah individu yang berada dalam area ke i dan katagori ke j (j=1,...ki) merupakan peubah Binomial dengan peluang pij. Selanjutnya peubah respon yij didefinisikan sebagai fungsi logit(pij

ij ij ij ij p p p it y − = = 1 ) ( log ) yaitu .

Dengan memperhatikan peluang penarikan contoh, maka dalam penelitian ini pendugaan area kecil melalui pendekatan Bayes untuk peubah respon Binomial didasarkan pada pengembangan 2 model SAE sebagai berikut:

1) Menggunakan model linier terampat untuk sebaran respon logit normal dengan memberikan bobot penarikan contoh pada peubah respon yij = logit (pij) dan peubah prediktor xij

2) Menggunakan model SAE dengan menyertakan peluang percontohan dalam bentuk fungsi eksponensial seperti yang dikembangkan oleh Eideh dan Nathan (2009).

.

Kedua metode di atas dibandingkan dengan metode SAE yang tidak memperhitungkan bobot peluang dengan menggunakan model seperti pada persamaan (3.23). Pendugaan proporsi di area kecil menggunakan pendekatan

Bayes dengan mengaplikasikan formula Bayes seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (3.25).

5.4.1. Penentuan Bobot

Bobot percontohan untuk penarikan contoh merupakan kebalikan dari peluang penarikan contoh. Misalkan pada penarikan contoh dua tahap seperti yang dilakukan dalam Susenas, maka bobot percontohan dihitung dari perkalian fraksi penarikan contoh pada tahap satu dan tahap dua.

Jika di kecamatan tertentu contoh diambil dalam dua tahap dimana pada tahap pertama dipilih blok sensus secara pps (proportional to size) dengan size banyaknya rumah tangga hasil listing SP2010 (N_i), maka peluang contoh pada

blok sensus ke-i untuk terpilih sebagai percontohan adalah

N N N N _i M i i i i = ∑ = π . Dari

M area atau blok sensus yang ada dipilih m area kecil (blok sensus), sehingga fraksi penarikan contoh tahap pertama adalah:

.

N

N

n

N

N

n

f

_N i i i i i

×

=

×

=

∑

_(5.32)

Bila pada blok sensus yang terpilih ditarik sejumlah rumah tangga (ni

i j|

π

) dengan peluang yang sama, maka peluang bersyarat terpilihnya individu ke-j

pada blok sensus ke-i dinyatakan sebagai , dimana

i i j N 1 | = π . Jumlah individu yang terpilih adalah ni

i i i j N n f _| =

, sehingga fraksi penarikan contoh pada tahap kedua

adalah . Sehingga overall sampling fraction adalah:

.

|

N

n

m

N

n

N

N

m

f

f

f

i i i i i j i ij

×

=

×

×

=

×

=

(5.33)

Dengan demikian design weight dapat dirumuskan sebagai berikut:

i ij n m N w × = (5.34) dengan: ij

w : bobot individu ke-j, blok sensus ke-i

m : banyaknya contoh blok sensus yang diambil di kecamatan tertentu ni i i N mN w =

: banyaknya contoh individu di blok sensus ke-i.

5.4.2. Metode Pendugaan Parameter Area Kecil dengan Menyertakan Peluang Penarikan Contoh yang Bersifat Eksponensial.

Hubungan antara peluang penarikan contoh dengan karakteristik area dan unit dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial seperti dijelaskan oleh persamaan (5.15) dan (5.21). Dalam penelitian ini bobot peluang terambilnya contoh dihitung berdasarkan penarikan contoh dua tahap sehingga bobot

peluang penarikan contoh untuk tahap satu adalah dan bobot peluang

untuk unit seperti dinyatakan oleh persamaan (5.43) yaitu . i ij n m N w × =

Peubah yang diduga memiliki hubungan dengan peluang penarikan contoh adalah peubah respon yaitu logit (pi) untuk penarikan contoh area dan logit (pij) untuk unit. Peluang penarikan contoh untuk area adalah pps, tergantung pada jumlah penduduk, dimana jumlah penduduk sangat dipengaruhi oleh maju tidaknya suatu wilayah. Di Indonesia, semakin maju suatu wilayah, maka jumlah penduduknya semakin besar dan tingkat pendidikannya juga makin baik artinya angka melek hurufnya makin tinggi. Karena itu jika penarikan contoh area (blok sensus) dilakukan secara pps, maka akan sangat beralasan menghubungkan peluang penarikan contoh dengan angka melek huruf. Dengan kata lain peluang area ke-i terambil sebagai contoh ( ) diasumsikan memiliki hubungan dengan pi atau logit (pi

i

i by

w =exp

). melalui formula:

dimana yi =logit (pi). (5.35)

Sedangkan untuk level unit, diasumsikan memiliki hubungan dengan logit (pij ij ij dy w =exp ) melalui formula: dimana yij =logit (pij), (5.36) oleh karena itu koefisien zi dan xij pada persamaan (5.6) dan (5.12) diambil sama dengan nol.

Jika seluruh area kecil dalam populasi dibedakan atas area yang terambil sebagai contoh dan yang tidak terambil sebagai contoh, maka dengan menggunakan formula (5.29) dan (5.30), parameter area ke-i yang terambil sebagai contoh diduga dengan:

2 2 ' , ( ˆ) (1 )(ˆ) (1 ) ˆ_si φ_i y_i x_i φ_i µ φ_i bσ φ_idσ_e µ = − β + − + − µ − _(5.37)

sedangkan pendugaan parameter untuk area yang tidak terambil sebagai contoh:

) 5 . 0 ˆ exp( 1 ) 5 . 0 ˆ exp( ˆ ˆ 2 2 2 2 2 , µ µ µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

µ

b b b b b j c _{− +} + − = (5.38) dimana dan .

5.4.3. Metode Pendugaan Parameter Area Kecil menggunakan Model Linier Campuran Terbobot

Dengan memperhatikan peluang penarikan contoh, pengaruh bobot penarikan contoh untuk pendugaan area kecil diwujudkan dalam model-logit normal terbobot mengacu kepada cara Rao (2003) yang dinyatakan dalam persamaan (5.31). Dalam penelitian ini bobot tiap individu yang berada pada klasifikasi ke j pada area ke-i adalah wij, sehingga model SAE untuk yij=logit (pij

iw i T iw ij i T ij ij ij ijy w x e x e w = ( β+µ + )= β+µ + ) terbobot adalah: (5.39)

dimana

y

ij

=

log

it

(

p

ij

)

=

log

[

p

ij

/(

1

−

p

ij

)

]

dan

e

iw

=

w

ij

e

ij,

E

(

e

iw

)

=

0

, iw e j ij e iw w e V( )=σ2∑ 2=σ2δ

Pendugaan parameter pada model (5.39) menggunakan metode KMB yang diterapkan untuk model linier logistik terbobot.

) ~ ( ~ ~ ~ _{β γ β} µ T ia ia i T i ij=X + y −x (5.40) dimana µ~_ij =logitp_ij.

Prediksi yang diperoleh adalah yij yˆij wijyˆij

' ₌

terbobot yaitu , sehingga

penduga yij yˆij yˆij /wij '

=

tanpa bobot adalah . Selanjutnya pendugaan area kecil

menggunakan pendekatan Bayes seperti yang dijelaskan pada persamaan (3.25)

5.4.4. Evaluasi Terhadap Penduga

Evaluasi terhadap kualitas penduga didasarkan pada besarnya simpangan dari nilai dugaan terhadap nilai parameter populasi yang diukur dari

Rata-rata Bias Relatif (RBR), Akar dari Rata-rata Kuadrat Bias Relatif (ARKBR) dan Kuadrat Tengah Galat (KTG):

(5.41)

(5.42)

. (5.43)

5.4.5. Simulasi

Dalam rangka mengevaluasi sifat penduga, maka dilakukan studi simulasi dengan mengambil salah satu kecamatan di Kabupaten Sumenep yaitu kecamatan Lenteng yang terdiri dari 16 blok sensus dengan jumlah penduduk 48.696 jiwa. Jumlah penduduk berusia 10 tahun keatas 48.282 jiwa, teridiri dari 22.762 laki-laki dan 25.520 perempuan. Jumlah penduduk berusia 10 tahun ke atas di tiap blok sensus sangat bervariasi, yaitu antara 559 jiwa sampai 7110 jiwa. Proporsi penduduk yang bisa baca tulis sekitar 74%, untuk laki-laki sebesar 80,53% dan perempuan hanya 69,32%.

1) Proses Penarikan contoh dan penentuan bobot

Pada survai Susenas, blok sensus dipilih secara acak dengan peluang proportional to size, oleh karena itu blok sensus merupakan area kecil yang diamati.

Dalam simulasi ini, metode penarikan contoh dilakukan sesuai dengan metode Susenas yaitu penarikan contoh dua tahap dimana pada tahap pertama dipilih 5 blok sensus secara pps (Probability Proportional to Size) dengan size banyaknya rumah tangga hasil senarai SP2010 (Ni

• Tahap pertama, peluang terambilnya contoh area (blok sensus) tertentu

adalah dimana N

) dan pada tahap kedua, dari setiap blok sensus terpilih dipilih sejumlah 16 rumah tangga biasa secara acak berdasarkan hasil listing SP2010. Penarikan contoh diulang sebanyak 100 kali

Fraksi penarikan contoh pada tahap pertama sesuai dengan persamaan (5.34) dan untuk tahap kedua sesuai dengan persamaan (5.35), yaitu:

i

• Tahap kedua, peluang terambilnya contoh dia area ke-i adalah adalah jumlah populasi pada blok sensus ke i dan N adalah jumlah populasi di seluruh kecamatan.

2) Pendugaan Area Kecil

Sesuai dengan proses yang telah dijelaskan pada sub bab 5.3, pendugaan parameter model dilakukan dengan 3 cara yaitu:

a. Dengan menggunakan model SAE dengan tidak memperhitungkan bobot seperti pada persamaan (3.23). Pendugaan proporsi di area kecil menggunakan pendekatan Bayes dengan mengaplikasikan formula Bayes seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (3.25)

b. Dengan memperhitungkan bobot penarikan contoh yang diasumsikan memiliki hubungan eksponensial seperti ditunjukkan oleh persamaan (5.35) dan (5.36). Pendugaan area kecil menggunakan rumus (5.37) dan (5.38)

c. Dengan memperhitungkan bobot penarikan contoh seperti ditunjukkan oleh persamaan (5.39)

Evaluasi terhadap kualitas penduga didasarkan pada besarnya simpangan dari nilai dugaan terhadap nilai parameter populasi yang diukur dengan RBR, ARKBR dan KTG seperti pada rumus (5.41), (5.42) dan (5.43).

3) Hasil Simulasi

Nilai dugaan angka melek huruf (proporsi penduduk usia 10 tahun ke atas yang bisa baca tulis) untuk tiap blok sensus di Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep seperti dijelaskan pada Tabel 5.2 dan dalam bentuk grafik ditunjukkan pada Gambar 5.1. Gambar 5.2 menjelaskan besarnya bias dugaan dari masing-masing metode.

Gambar 5.1 maupun Gambar 5.2 menunjukkan bahwa metode pendugaan parameter melalui pendekatan Bayes dengan menggunakan model logit normal campuran terbobot memberikan hasil yang terbaik. Sedangkan untuk pendugaan parameter yang menyertakan fungsi peluang dalam bentuk eksponensial memliki bias yang lebih besar.

Gambar 5.1 Plot hasil simulasi pendugaan pi

Gambar 5.2 Plot hasil simulasi bias pendugaan p

(angka melek huruf) untuk tiap blok sensus di Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep

i

Hasil simulasi ini juga menunjukkan bahwa model logit normal campuran terbobot dengan pendekatan Bayes memberikan nilai ARKBR dan KTG paling kecil yaitu sebesar 0,0107 dibandingkan metode yang lain (lihatTabel 5.1). Namun hasil perhitungan nilai rata-rata bias relatif (RBR) lebih tinggi dibandingkan dengan dengan SAE yang menyertakan model peluang eksponensial. Tingginya nilai KTG untuk model SAE eksponensial tersebut disebabkan karena bias pada area (blok sensus) ke-7 sangat tinggi dan model

untuk tiap blok sensus di Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep

0,5 0,55 0,6 0,650,7 0,75 0,8 0,850,9 0,95 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17

Populasi Model Eksponensial

Model logit normal Tanpa Bobot Model Logit normal dengan bobot

Dugaan Angka Melek Huruf

-0,200 -0,100 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 1 3 5 7 9 11 13 15 17

Bias Model Eksponensial

Bias Model logit normal Tanpa Bobot Bias Model Logit normal dengan bobot

nilai pendugaan dari hasil simulasi lebih menyebar dibandingkan dengan metode yang lain .

Tabel 5.1. Nilai rata-rata bias relatif dan rata-rata kuadrat bias relatif untuk model terbobot dan model eksponensial

EB

pˆ KTG RBR RKBR Model Logit Normal 0,824 0,0203 0,1122 0,1430 Model Logit Normal Terbobot (W) 0,835 0,0107 0,0414 0,1298 Model Eksponensial 0,740 0,1172 -0,0009 0,2266

Populasi 0,741

Tabel 5.2. Hasil Simulasi Dugaan pi

Blok

(proporsi penduduk usia 10 tahun ke atas yang bisa baca tulis) untuk tiap blok sensus di Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep ModelCampuran Logit Normal Tanpa Bobot Model Campuran Logit Normal Terbobot Model- Eksponensial Populasi EB pˆ -TB pˆ_EB -B pˆEB - Exp p 1 0.910 0.899 0.890 0.882 2 0.863 0.773 0.942 0.735 3 0.885 0.844 0.905 0.818 4 0.885 0.887 0.925 0.868 5 0.817 0.866 0.791 0.754 6 0.803 0.671 0.894 0.618 7 0.871 0.616 0.948 0.515 8 0.849 0.779 0.879 0.723 9 0.869 0.930 0.800 0.828 10 0.819 0.859 0.790 0.737 11 0.797 0.810 0.640 0.726 12 0.822 0.868 0.732 0.757 13 0.857 0.944 0.691 0.828 14 0.803 0.810 0.553 0.707 15 0.753 0.668 0.794 0.613 16 0.848 0.821 0.844 0.758

Angka Melek Huruf Kecamatan Lenteng _0.741

5.4.6. Aplikasi : Pendugaan Angka Melek Huruf di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Provinsi Jawa Timur

Berdasarkan hasil simulasi, metode terbaik untuk pendugaan parameter proporsi adalah model logit normal terbobot dimana pendugaan parameter area dilakukan melalui pendekatan Bayes. Selanjutnya metode tersebut digunakan untuk menduga angka melek huruf di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan. Hasil

pendugaan parameter model SAE dengan menggunakan metode PQL dapat dilihat pada Tabel 5.3

Gambar 5.3. menunjukkan hasil dugaan angka melek huruf di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan. Prediksi angka melek huruf di kabupaten Sumenep adalah 0,8189 dimana nilai parameter populasi 0,7589.

(a) Nilai parameter vs dugaan (b) Nilai bias dugaan angka angka melek huruf melek huruf

Gambar 5.3

Nilai dugaan, parameter populasi dan bias dugaan angka melek huruf di Kabupaten Sumenep

(a) Nilai parameter vs dugaan (b) Nilai bias dugaan angka melek huruf angka melek huruf

Gambar 5.4.

Nilai dugaan, parameter populasi dan bias dugaan angka melek huruf di Kabupaten Pasuruan 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1 0 ₃0 ₅0 ₇0 ₉0 1 1 0 1 3 0 1 5 0 1 7 0 1 9 0 2 1 0 2 3 0 2 4 1 P ro p o rs i Kode Kecamatan

Populasi Model Bobot

-0,30 -0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 1 9 0 ₄0 1 5 0 2 3 0 ₆0 1 4 0 1 8 0 1 0 0 ₂0 ₇0 2 2 0 ₈0 1 6 0 B i a s Kode Kecamatan rata-rata bias = -0.0628 0,4000 0,5000 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 1,0000 1 0 ₃0 ₅0 ₇0 ₉0 1 1 0 1 3 0 1 5 0 1 7 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 P ro p o rs i Kode Kecamatan

Populasi Model Bobot

Kec. Beji -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 5 0 ₇0 1 1 0 9 0 2 0 0 2 0 ₆0 1 3 0 1 0 0 2 3 0 1 9 0 1 4 0 B i a s Kode Kecamatan rata-rata bias = 0.0136

Sedangkan untuk kabupaten Pasuruan, nilai prediksinya adalah 0,8808 dengan nilai parameter populasi: 0,9044. Terlihat bahwa perbedaan antara nilai dugaan dan nilai parameter populasi relatif sangat kecil, artinya Model Logit Normal Terbobot dapat menghasilkan bias yang sangat kecil.

Nilai KTG untuk dugaan tersebut adalah 0,0149 untuk Kabupaten Sumenep dan untuk Kabupaten Pasuruan sedikit lebih besar yaitu 0,0202. Tingginya nilai KTG di Kabupaten Pasuruan disebabkan karena bias dugaan yang relatif tinggi di salah satu kecamatan yaitu di Kecamatan Tosari karena proporsi penduduk berusia 10 tahun keatas yang bisa baca tulis di kecamatan tersebut sangat rendah dibandingkan dengan kecamatan yang lain yaitu hanya sekitar 50%.

5.5. Model SAE Berbasis Penarikan Contoh Berpeluang Tidak Sama

Untuk Peubah Respon Multinomial

5.5.1. Pengembangan model SAE: Model Campuran Logit Multinomial Terbobot

Sebaran marjinal dari setiap komponen multinomial yik

)

,

(

~

_{i ik} ik

B

n

p

y

adalah binomial: . Jika Xik

(

)

_            _−∑ = = − = 1 1 1 / log / log q k ik ik iq ik ik p p p p θ

merupakan vektor kovariat tetap dan diasumsikan tidak tidak tergantung pada i dan k, maka model linier yang didasarkan pada rasio

seperti yang dinyatakan oleh persamaan

(4.2) adalah

θ

_ik

=

x

_ik

β

_k

+

u

_ik, untuk i=1,....m dan k=1,....q

Hasil pengembangan model SAE untuk respon binomial sebelumnya telah disimpulkan bahwa model SAE terbaik untuk respon binomial yang menyertakan peluang penarikan contoh adalah model campuran logit-normal terbobot. Oleh karena itu dalam penelitian ini, bobot peluang juga diperhitungkan dalam model SAE untuk peubah respon multinomial. Bobot peluang diberikan kepada setiap unit percobaan sehingga pada model SAE yang dijelaskan oleh persamaan (4.2) adalah . / ∑ = j ijk ik ik w n

w dimana wijk adalah bobot pengamatan ke j pada katagori ke k di area ke i. Sehingga model SAE untuk logit (pik

] [ ik e ik u k ik ik w ik y ik w ikw y = = x β + +

) terbobot dari peubah respon multinomial adalah:

dimana _               ∑− = − =       = 1 1 1 / log / log q k ik p ik p iq p ik p ik y dari percontohan.

Selanjutnya pendugaan parameter model dilakukan dengan metode PQL dan REML sama seperti pada pendugaan parameter model SAE untuk respon binomial untuk memperoleh pendugaan

kw

βˆ dan w kυ

σˆ dari model terbobot. Untuk Xik, yaitu peubah penyerta dari populasi diketahui, maka nilai dugaan dari logit (pikw) adalah θˆ_ikw = X_ikβˆ_kw+u_ik. Untuk mendapatkan nilai

      = iq p ik p ik log / ˆ θ maka ikw

θˆ _{dikalikan dengan kebalikan bobot untuk setiap} katagori yaitu 1/wik.

Pendugaan parameter model (5.22) menggunakan metode PQL yang diterapkan untuk model linier logistik terbobot. Prediksi yang diperoleh adalah yik

ik y ik w ik yˆ' = ˆ

terbobot yaitu , sehingga penduga yik

iw w ik y ik yˆ = ˆ' /

tanpa bobot adalah

. Selanjutnya pendugaan area kecil menggunakan pendekatan

Bayes seperti yang dijelaskan pada persamaan (3.25) yaitu dengan menduga komponen *

ik

y dari persamaan

p

_ik

=

f

_ik

y

_ik

+

(

1

−

f

_ik

)

y

_ik* . pik adalah proporsi unit populasi pada katagori ke-k di area ke-i yang dinyatakan sebagai jumlah dari komponen percontohan dan komponen bukan percontohan dimana

fik = nik/Nik

ik

y

adalah fraksi percontohan untuk katagori ke k.

adalah rata-rata contoh (proporsi) di area ke i dan katagori ke k

*

ik

y adalah rata-rata dari unit-unit yang tidak diambil contohnya pada

katagori ke-k dalam area i

Pendugaan y_ik*diturunkan dengan cara yang sama dengan penduga Bayes untuk model SAE dengan peubah respon multinomial pada Bab IV yaitu dengan persamaan (4.8). Penduga Bayes empirik untuk pik

) ˆ , ˆ ( ˆB β σ_υ ik p EB ik p = (proporsi pada

katagori ke k di area ke i) yaitu

Pendugaaan (ˆEB)

ki p

KTG dilakukan dengan metode Jackknife seperti

yang dilakukan pada pendugaan SAE untuk peubah respon Binomial pada Bab III atau respon multinomial tanpa bobot pada Bab IV yaitu dengan menggantikan

) ˆ , ˆ , ( ˆ µσ ik y ik k EB ik

p = dan pˆ_ikEB_,−l =k_ik(y_ik,µˆ_−l,σˆ_−l)dalam persamaan (4.5) sampai dengan persamaan (4.6) untuk memperoleh

ik M 1 ˆ _dan ik M 2 ˆ _{. Dengan}

demikian nilai KTG untuk pendugaan pada katagori ke k dan area ke-i

) ˆ ( EB ki p KTG = ik M 1 ˆ ₊ ik M 2 ˆ _.

5.5.2. Aplikasi: Pendugaan Rata-rata Lama Sekolah di Tingkat Kecamatan di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan.

Model SAE untuk respon multinomial terbobot seperti dijelaskan oleh persamaan (5.22) diaplikasikan untuk menghitung rata-rata lama sekolah kecamatan di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan. Pendugaan rata-rata lama sekolah di tiap kecamatan didasarkan pada model area kecil yaitu blok sensus.

Melalui pendekatan Bayes, dengan menggunakan rumus (3.25), nilai penduga proporsi penduduk di tiap jenjang pendidikan dan rata-rata nilai KTG berdasarkan model SAE yang diperoleh ditunjukkan oleh Lampiran 17 dan Lampiran 19 dan secara grafis ditunjukkan oleh Gambar 5.5 dan Gambar 5.6.

Dalam satu kecamatan, proporsi penduduk di tiap jenjang pendidikan relatif sama dari satu blok sensus ke blok sensus yang lain relatif homogen, sehingga dengan metode Jackknife, penduga KTG relatif sangat kecil yaitu untuk Kabupaten Sumenep antara 3,9 x 10-11 sampai 1,2 x10-5, sedangkan untuk Kabupaten Pasuruan antara 1,31. 10-11 sampai 1,37. 10-3.

Gambar 5.7 menunjukkan rata-rata lama sekolah di tiap kecamatan berdasarkan model SAE logit multinomial terbobot. Untuk Kabupaten Sumenep, rata-rata lama sekolah antara 3.99 tahun sampai 8,36 tahun dan di Kabupaten Pasuruan antara 4,11 tahun sampai 10,97 tahun. Beberapa kecamatan di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan bahkan memiliki rata-rata lama sekolah relatif rendah yaitu sekitar 4 tahun.

Gambar 5.5.

Nilai dugaan proporsi penduduk pada tiap jenjang pendidikan tertentu dan dugaan KTG menggunakan model SAE logit multinomial terbobot di Kabupaten

Sumenep

Gambar 5.6.

Nilai dugaan proporsi penduduk pada tiap jenjang pendidikan tertentu dan dugaan KTG menggunakan model SAE logit multinomial terbobot di Kabupaten

Pasuruan 0,0000 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000 0,6000 0,7000 10 30 50 70 80 ₁₀0 ₁₂0 ₁₄0 ₁₆0 ₁₈0 ₂₀0 ₂₂0 ₂₄0 ₂₅0 Pr opo rs i Kecamatan

Dugaan proporsi di tiap jenjang pendidikan Kab. Sumenep

(dengan pembobotan)

Tidak Sekolah Putus SD

SD SMP SMA PT 0,00E+00 1,00E-05 2,00E-05 3,00E-05 4,00E-05 5,00E-05 6,00E-05 7,00E-05 8,00E-05 9,00E-05 10 40 70 90 ₁₂0 ₁₅0 ₁₈0 ₂₁0 ₂₄0 M SE Kecamatan Dugaan KTG (dengan pembobotan)

Tidak Sekolah Putus SD

SD SMP SMA PT 0,0000 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 10 30 50 70 90 ₁₁0 ₁₃0 ₁₅0 ₁₇0 ₁₉0 ₂₁0 ₂₃0 Pr opo rs i Kecamatan

Pendugaan Tingkat Pendidikan Kab. Pasuruan

(dengan pembobotan)

Tidak Sekolah Putus SD

SD SMP SMA PT 0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03 5,00E-03 6,00E-03 7,00E-03 8,00E-03 9,00E-03 10 30 50 70 90 ₁₁0 ₁₃0 ₁₅0 ₁₇0 ₁₉0 ₂₁0 ₂₃0 M SE Kecamatan

MSE Pendugaan Tingkat Pendidikan Kab. Pasuruan

(dengan pembobotan)

Tidak Sekolah Putus SD

SD SMP

Gambar 5.7

Nilai dugaan rata-rata lama sekolah menggunakan model SAE logit multinomial terbobot di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan

5.6. Perhitungan Indeks Pendidikan di Kabupaten Sumenep dan

Pasuruan

Berdasarkan prediksi angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah, berikut ini dihitung nilai Indeks Pendidikan di tiap kecamatan menggunakan rumus sebagai berikut:

Indeks Pendidikan = 2/3 I MH +1/3 IRLS dimana: Indeks AMH/RLS: (Xi – Xmin)/ (Xmax – Xmin)

AMH: Angka melek huruf IMH: Indeks melek huruf

RLS: Rata-rata lama sekolah IRLS : Indeks Rata-rata lama sekolah

Dalam bentuk grafik nilai indeks pendidikan di tiap kecamatan dikabupaten Sumenep dan Pasuruan dapat dilihat pada Gambar 5.8. Sedangkan dalam peta tematik indeks pendidikan di Kabupaten Sumenep dan pasuruan ditunjukkan pada Gambar 5.9. dan Gambar 5.10.

6,31 8,36 5,37 5,68 4,66 7,23 6,94 7,68 7,11 6,38 6,84 4,84 7,49 4,15 6,81 5,485,68 7,187,14 3,99 7,88 6,72 7,95 6,98 4,66 5,51 3,500 4,500 5,500 6,500 7,500 8,500 9,500 10 40 70 90 ₁₂0 ₁₅0 ₁₈0 ₂₁0 ₂₄0 Ta hu n Kecamatan

Rata-rata Lama Sekolah di tiap kecamatan, Kabupaten Sumenep

6,29 5,53 4,11 5,62 5,30 4,454,65 8,31 7,26 8,278,46 7,99 9,32 6,61_6,46 5,03 6,166,386,21 7,68 4,60 5,41 5,97 3,500 4,500 5,500 6,500 7,500 8,500 9,500 10,500 10 30 50 70 90 ₁₁0 ₁₃0 ₁₅0 ₁₇0 ₁₉0 ₂₁0 ₂₃0 Ta hu n Kecamatan

Rata-rata Lama Sekolah di tiap kecamatan ,Kabupaten Pasuruan

Gambar 5.8.

Prediksi Indeks Pendidikan di kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan menggunakan model SAE

Gambar 5.9.

Peta Tematik Indeks Pendidikan di kabupaten Sumenep

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 10 40 70 _{100 130 160 190 220 241} In de ks Kecamatan Kabupaten Sumenep 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 10 40 70 100 130 160 200 230 In de ks Kecamatan Kabupaten Pasuruan

Gambar 5.10.

Peta Tematik Indeks Pendidikan di kabupaten Pasuruan

5.7. Pembahasan

5.7.1. Model SAE untuk respon Binomial dengan memperhitungkan peluang penarikan contoh.

Hasil simulasi menunjukkan bahwa metode pendugaan area kecil menggunakan sebaran prior logit normal melalui pendekatan Bayes empirik yang dikembangkan dengan memperhitungkan peluang penarikan contoh memberikan penduga parameter proporsi area kecil yang paling baik karena dapat menurunkan bias dan KTG dari penduga. Sementara itu metode pendugaan area kecil yang dikembangkan berdasarkan penarikan contoh informatif yaitu dengan menyertakan model peluang penarikan contoh dalam bentuk fungsi eksponensial memberikan rata-rata bias relatif yang rendah namun memberikan akar rata-rata kuadrat bias relatif maupun KGT yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode pendugaan menggunakan sebaran prior logit normal terbobot. Besarnya nilai KTG lebih banyak disebabkan karena ragam pendugaan yang relatif besar sehingga walaupun memberikan bias yang kecil maka KTG akan cenderung tinggi. Penurunan bias dari model SAE eksponensial ini menunjukkan

bahwa memperhitungkan peluang penarikan contoh dalam model SAE akan dapat menurunkan bias. Pfefferman (2010) mengatakan bahwa mengabaikan peluang penarikan contoh dalam model SAE akan menghasilkan bias pendugaan karena dengan mengabaikan peluang penarikan contoh, maka pendugaan parameter model untuk area/unit yang terambil sebagai contoh sama dengan area/unit yang tidak terambil sebagai contoh.

Dengan mengaplikasikan model SAE logit normal terbobot melalui pendekatan Bayes, dihasilkan perbedaan antara nilai parameter populasi dengan prediksinya relatif kecil, rata-rata bias relatif mutlak untuk Kabupaten Sumenep 0,0628 dengan KTG sebesar 0,0149. Untuk Kabupaten Pasuruan, rata-rata bias relatif mutlak adalah 0,0136 dengan nilai KTG sebesar 0,0202. Oleh karena itu, berdasarkan hasil simulasi maupun aplikasi di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan menunjukkan bahwa model SAE untuk peubah respon Binomial menggunakan model campran logit normal terbobot memberikan hasil yang paling akurat dalam pendugaan parameter proporsi area kecil.

5.7.2. Model SAE untuk respon Multinomial dengan memperhitungkan peluang penarikan contoh.

Oleh karena model campuran logit normal terbobot memberikan hasil yang paling baik pada pendugaan area kecil untuk respon binomial, maka diterapkan cara yang sama pada pendugaan area kecil untuk respon multinomial. Untuk Kabupaten Sumenep, nilai pendugaan rata-rata lama sekolah antara 3,99 tahun sampai 8,36 tahun. Untuk Kabupaten Pasuruan rata-rata lama sekolah antara 4,11 tahun sampai 10,92 tahun. Nilai dugaan KTG menggunakan metode Jackknife relatif sangat kecil, tertinggi adalah 0,00137 karena pada umumnya kondisi blok sensus di tiap kecamatan relatif sama. Besarnya KTG tersebut sangat dipengaruhi oleh homogenitas atau heterogenitas dari nilai respon dari area yang satu ke area yang lain.