DIKTAT
KALKULUS 3
UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI
JAKARTA
BAB 1
BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai bilangan konjugat yang digunakan pada operasi arimatik pembagian.
Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam dua bentuk: 1. Bentuk Persegi (Rectangular)
2. Bentuk Polar
Gambar 1. Sistem Bilangan
A. Bentuk Persegi
Rumus Dasar :
Dimana :
A = bilangan riil
j = tanda operator imajiner
B = bilangan imajiner
Gambar 2. Bentuk Persegi
B. Bentu Polar
A = C cos α + jC sin α
C =
√
A2+B2
Operasi Aritmatik
1. Penambahan
Misal C
1= ±A
1± jB
1dan C
2= ±A
2± jB
2Maka :
FUNGSI
N
VARIABEL
A. Definisi Fungsi n VariabelSuatu fungsi f dari n variabel adalah suatu aturan yang memberikan kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real rangkap n di dalam daerah asal D Rn sebuah bilangan real tunggal yag dinyatakan oleh :
1, ,...,2 n
Contoh :
1) f x y
,
9x2y2 2) f x y z
, ,
x2y2z2 B. Diferensial ParsialJika f adalah fungsi 2 variabel, dinotasikan f x y
,
, maka diferensial parsialnya adalah
Pendiferensialan beserta aturannya ini berlaku juga untuk fungsi 3 variabel atau lebih.
Latihan 1
g)
2) Carilah diferensial parsial yang ditunjuk! a) fxx dari
C. Bidang singgung dan Diferensial Total
Andaikan f mempunyai diferensial parsial kontinu. Satu persamaan bidang singgung terhadap permukaan z f x y
,
di titik P x y z
0, ,0 0
didefinisikan oleh :
,
,
maka diferensial total dw didefinisikan oleh :
1) Carilah persamaan bidang singgung terhadap kurva yang diberikan pada titik berikut ini!
a) z2x2y2, 1,1,3
b)
2 2, 4,5,9
zy x
c) z9x2y26x3y5, 1, 2,18
d) z e xln , 3,1,0y
e) zln 2
x y
, 1,3,0
2) Carilah diferensial total dari fungsi berikut! a) z x y 2 3
b) zln 2
x3y
c) z e xsiny d) w x sinyze) w x2y2z2
D. Aturan Rantai dan Pendiferensialan Implisit
Andaikan z f x y
,
adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi, dengan x g t
dan y h t
. Keduanya adalah fungsi dari t yang terdiferensiasi maka z adalah fungsi dari t yang terdiferensiasi dan berlaku:dz z dx z dy dt x dt y dt
Andaikan z f x y
,
adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi, dengan x g s t
, dan y h s t
, . Keduanya adalah fungsi dari s dan tyang terdiferensiasi maka :
z z x z y s x s y s z z x z y t x t y t
x
1) Gunakan aturan rantai untuk mencari
dz 2) Gunakan aturan rantai untuk mencari
z
3) Gunakan diferensial implisit untuk mencari
c) xyzcos
x y z
d) x2y2z2 2xy2xz e) xy z2 3x y z x y z3 2 BAHAN UAS KALKULUS 3:
BAB 1 INTEGRAL LIPAT DUA
A. Sifat
1)
, , , ,
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA
2)
, , , konstanta
R R
cf x y dA c f x y dA c
3)
, , , jika , ,
R R
f x y dA g x y dA f x y g x y
B. Integral Berulang
Secara umum :
,
,
b d b d
a c a c
f x y dydx f x y dy dx
,
,
d b d b
c a c a
f x y dxdy f x y dx dy
Teorema Fubini :
,
,
,
1) Hitunglah integral berulang berikut ini!
a.
2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini!
3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh :
TUGAS TERSTRUKTUR 1 MK. KALKULUS 3
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti! 1) Hitunglah integral berulang berikut ini!
a.
2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini!
a.
3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh permukaan z 6 xy dan di atas persegi panjang R
2, 2
0,3 !C. Integral pada Daerah Umum
Jika f kontinu pada daerah D jenis I sehingga
, , 1 2
D x y a x b g x y g x
maka :
2 1
, ,
g x b
D a g x
f x y dA f x y dydx
Jika f kontinu pada daerah D jenis II sehingga
, , 1 2
D x y c y d h y x h y
maka :
2 1
, ,
h y d
D c h y
f x y dA f x y dxdy
Latihan 2
1)
1 2 2
0
x
x
x y dydx
2) 2
dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis 1
y x dan parabola y2 2x6!
D. Integral Berulang pada Koordinat Polar
Jika f kontinu pada segi empat polar R yang diberikan oleh
Jika f kontinu pada daerah polar berbentuk :
tan
TUGAS TERSTRUKTUR 2 MK. KALKULUS 3
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!
1)
2 2
1 y
xy dxdy
2)
3 2
D
x y dA
dengan D
x y,
0 x 2, x y x
!3) Hitunglah
2
D
y x dA
dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh xy2 dan
2
3 2
4) Hitunglah
5 2 9
R
x y dA
dengan R adalah daerah di setengah bidang atas yang dibatasi oleh lingkaran x2y2 4 dan x2y2 9!
5)
10 2 2
D
x y dA
dengan
, 0 ,0 2cos
2
Dr r
SELAMAT MENGERJAKAN
BAB 2 INTEGRAL LIPAT TIGA
A. Teori Fubini untuk Integral Lipat Tiga
Jika f kontinu pada kotak B
a b,
c d,
r s, , maka :
, ,
, ,
s d b
B r c a
f x y z dV f x y z dxdydz
C. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola
Koordinat Silinder
Catatan :
r,
,h1
r h2
x r cos
y r sin
x2y2 r2
Koordinat Bola
5)
3
2 1
2
0 0 0
sin
e d d d
TUGAS TERSTRUKTUR 3 MK. KALKULUS 3
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!
1)
2 3 2
b a c
E
x y z dV
Nilai a, b, dan c diambil dari 3 digit terakhir NPM Anda. Contoh : 20074150035. Maka nilai a = 0, b = 3, dan c = 5.
