• Tidak ada hasil yang ditemukan

Olimpiade Matematika Tk KabupatenKota 2014

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Olimpiade Matematika Tk KabupatenKota 2014"

Copied!
8
0
0

Teks penuh

(1)

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/ KOTA 2014

CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2015

Prestasi itu diraih bukan didapat !!!

SOLUSI SOAL

Bidang Matematika

(2)

1. Ket iga garis berat bert emu di sat u t it ik. Karena AD dan CF garis berat maka BE j uga garis berat .

(3)

5. Berdasarkan ket aksamaan AM-GM didapat

16

sin

2π‘₯+ 9

sinπ‘₯ = 16 sinπ‘₯+ 9

sinπ‘₯ β‰₯2οΏ½16 sinπ‘₯ βˆ™ 9

sinπ‘₯= 24

Tanda kesamaan t erj adi j ika 16 sinπ‘₯= 9

sin π‘₯ yang memenuhi syarat 0 <π‘₯<πœ‹.

∴ Jadi, nilai minimum dari 16sin2π‘₯+9

sin π‘₯ adalah 24.

6. Anggot a S t erdiri dari 1 digit ada 4 yang set iap digit muncul sebagai sat uan 1 kali.

Anggot a S t erdiri dari 2 digit ada 4 β‹… 3 = 12 yang set iap digit muncul sebagai sat uan 3 kali. Anggot a S t erdiri dari 3 digit ada 4 β‹… 3 β‹… 2 = 24 yang set iap digit muncul sebagai sat uan 6 kali. Anggot a S t erdiri dari 4 digit ada 4! = 24 yang set iap digit muncul sebagai sat uan 6 kali. Jadi, masing-masing digit akan muncul sebanyak 16 kali.

Jumlah digit sat uan dari semua anggot a S = 16 β‹… (1 + 3 + 5 + 7) = 256

∴ Jadi, Jumlah digit sat uan dari semua anggot a S adalah 256.

7. Alt ernat if 1 :

log

π‘₯𝑀= 4 sehingga

log

𝑀π‘₯=1

4.

log

𝑦𝑀= 5 sehingga

log

𝑀𝑦=1

5.

log

π‘₯𝑦𝑧𝑀 = 2 sehingga

log

𝑀π‘₯𝑦𝑧=1

2.

log

𝑀π‘₯+

log

𝑀𝑦+

log

𝑀𝑧=

log

𝑀π‘₯𝑦𝑧 sehingga

log

𝑀𝑧= 1

20.

∴ Jadi, nilai π₯π¨π π’›π’˜=𝟐𝟎

Alt ernat if 2 :

log

π‘₯𝑀= 4 sehingga π‘₯=𝑀1/4

log

𝑦𝑀= 5 sehingga 𝑦=𝑀1/5.

log

π‘₯𝑦𝑧𝑀 = 2 sehingga π‘₯𝑦𝑧=𝑀1/2.

�𝑀1/4��𝑀1/5�𝑧=𝑀1/2 𝑧=𝑀�12βˆ’14βˆ’15οΏ½=𝑀1/20

∴ Jadi, nilai π₯π¨π π’›π’˜=𝟐𝟎

8. Kemungkinan susunan keenam siswa adalah :

β€’ Susunannya adalah 4, 1, 1.

οΏ½64οΏ½οΏ½21οΏ½οΏ½11οΏ½(4βˆ’1)! = 180

Terdapat perhit ungan ganda pada perhit ungan di at as. Cont oh : A, B, C. D berada di mej a I, E di mej a II dan F di mej a III dianggap berbeda dengan A, B, C. D berada di mej a I, F di mej a II dan E di mej a III padahal seharusnya sama. Maka perhit ungan t ersebut harus dibagi 2! .

Jadi, banyaknya susunan = οΏ½

6

4οΏ½οΏ½21οΏ½οΏ½11οΏ½(4βˆ’1)!

2! = 90

β€’ Susunannya adalah 3, 2, 1.

(4)

β€’ Susunannya adalah 2, 2, 2.

οΏ½62οΏ½οΏ½42οΏ½οΏ½22οΏ½ 3! = 15

Jadi, banyaknya susunan seluruhnya = 90 + 120 + 15 = 225.

∴ Jadi, susunan keenam siswa t ersebut adalah 225.

9. Misalkan panj ang sisi persegi yang melalui B adalah 𝑦.

Alt ernat if 1 :

Karena simet ris maka ∠EAB = ∠FAD = 15o.

tan 15π‘œ = tan(60π‘œβˆ’45π‘œ) =√3βˆ’1

√3 + 1= 2βˆ’ √3

𝐺𝐻

𝐴𝐻 =

𝑦

1βˆ’ 𝑦= tan 15

π‘œ = 2βˆ’ √3

𝑦�1 + 2βˆ’ √3οΏ½= 2βˆ’ √3

𝑦=2βˆ’ √3 3βˆ’ √3=

3βˆ’ √3 6 =

π‘Ž βˆ’ βˆšπ‘ 𝑐

Maka π‘Ž= 3 ; 𝑏= 3 dan 𝑐= 6

∴ Jadi, nilai π‘Ž+𝑏+𝑐 adalah 12.

Alt ernat if 2 :

Karena simet ris maka 𝐡𝐸 = 𝐷𝐹 = π‘₯.

𝐴𝐹=𝐸𝐹

12+π‘₯2 = (1βˆ’ π‘₯)2+ (1βˆ’ π‘₯)2

π‘₯2βˆ’4π‘₯+ 1 = 0

π‘₯= 2βˆ’ √3

βˆ†πΈπ΄π΅ β‰… βˆ†πΊπ΄π» 𝐺𝐻

𝐴𝐻 =

𝐸𝐡 𝐴𝐡 𝑦

1βˆ’ 𝑦=

2βˆ’ √3 1

𝑦�1 + 2βˆ’ √3οΏ½= 2βˆ’ √3

𝑦=2βˆ’ √3 3βˆ’ √3=

3βˆ’ √3 6 =

π‘Ž βˆ’ βˆšπ‘ 𝑐

Maka π‘Ž= 3 ; 𝑏= 3 dan 𝑐= 6

(5)

10.Persoalan set ara dengan menyelesaian persamaan x1 + x2 + x3 + x4 = 10 dengan x1, x2, x3, x4 ∈ N.

Misalkan a = x1 βˆ’ 1 ; b = x2βˆ’ 1 ; c = x3βˆ’ 1 ; d = x4βˆ’ 1 maka

a + b + c + d = 6 dengan a, b, c, d ∈ N0.

Maka banyaknya t upel bilangan (a, b, c, d) yang memenuhi = οΏ½6 + 4βˆ’1

3 οΏ½ = 84.

∴ Jadi, banyaknya macam variasi isi bungkusan permen adalah 84

.

11.1111 ≑ 5276 ≑ 8251 ≑ 9441 ≑ k (mod N)

9441 βˆ’ 8251 = 1190 = 2 β‹… 595 ≑ 0 (mod N) ; 9441 βˆ’ 5276 = 4165 = 7 β‹… 595 ≑ 0 (mod N) 9441 βˆ’ 1111 = 8330 = 14 β‹… 595 ≑ 0 (mod N) ; 8251 βˆ’ 5276 = 2975 = 5 β‹… 595 ≑ 0 (mod N) 8251 βˆ’ 1111 = 7140 = 12 β‹… 595 ≑ 0 (mod N) ; 5276 βˆ’ 1111 = 4165 = 7 β‹… 595 ≑ 0 (mod N) FPB (1190, 4165, 8330, 2975, 7140) = 595

Maka nilai N t erbesar yang memenuhi adalah 595.

∴ Jadi, nilai N t erbesar yang memiliki sif at t ersebut adalah 595

12.Urut an abj ad adalah A, M, N, O, S, T.

Maka NTSOMA berada pada urut an 3 β‹… 5! = 360. ONTSMA berada pada urut an 360 + 3 β‹… 4! = 432. OSMTNA berada pada urut an 432 + 2 β‹… 3! = 444.

Urut an berikut nya adalah OSNAMT, OSNATM, OSNMAT, OSNMTA, OSNTAM, OSNTMA. Maka OSNMAT berada pada urut an ke-447.

∴ Jadi, OSNMAT pada urut an ke-447.

13.AF adalah garis t inggi.

Karena AB = AC maka F adalah pert engahan BC sehingga BF = FC.

[𝐡𝐷𝐹] =1

2βˆ™ 𝐡𝐷 βˆ™ 𝐡𝐹 βˆ™sin

∠

𝐴𝐡𝐢 = 1 2βˆ™

3 10βˆ™ 𝐴𝐡 βˆ™

1

2βˆ™ 𝐡𝐢 βˆ™sin

∠

𝐴𝐡𝐢= 3

20[𝐴𝐡𝐢] [𝐢𝐸𝐹] =1

2βˆ™ 𝐢𝐸 βˆ™ 𝐢𝐹 βˆ™sin

∠

𝐴𝐢𝐡= 1 2βˆ™

6 10βˆ™ 𝐴𝐢 βˆ™

1

2βˆ™ 𝐡𝐢 βˆ™sin

∠

𝐴𝐢𝐡= 3

10[𝐴𝐡𝐢] [𝐴𝐷𝐹𝐸] = [𝐴𝐡𝐢]βˆ’[𝐡𝐷𝐹]βˆ’[𝐢𝐸𝐹] =11

20[𝐴𝐡𝐢] [𝐴𝐷𝐹𝐸]

[𝐴𝐡𝐢] = 11 20

Maka π‘Ž= 11 dan 𝑏= 20

(6)

14.2

π‘₯

2+ 3π‘₯+ 4 = 2οΏ½2

π‘₯

2+ 3π‘₯+ 12

Penyelesaian soal berikut didasrkan pada soal asli yang t elah disesuaikan. Pada soal aslinya dinyat akan bahwa 𝑓(π‘₯) selalu posit if dan it u digant i menj adi 𝑓(π‘₯) t idak pernah negat if . Selain

Dengan ket aksamaan AM-GM didapat

(7)

17.(7𝑝 βˆ’ π‘ž)2= 2(𝑝 βˆ’1)π‘ž2

49𝑝2βˆ’14π‘π‘ž+π‘ž2 = 2(𝑝 βˆ’1)π‘ž2

Maka π‘žο£¦49𝑝2

Karena 𝑝 dan π‘ž prima maka ada 2 kasus :

β€’ Kasus 1, π‘ž= 7

𝑝2βˆ’2𝑝+ 1 = 2𝑝 βˆ’2

(𝑝 βˆ’3)(𝑝 βˆ’1) = 0

Karena 𝑝 prima maka 𝑝= 3.

β€’ Kasus 2, π‘žο£¦π‘ Maka π‘ž=𝑝

36𝑝2= 2(𝑝 βˆ’1)𝑝2

𝑝=π‘ž= 19

∴ Jadi, semua pasangan bilangan prima (𝑝,π‘ž) yang memenuhi adalah (πŸ‘,πŸ•) dan (πŸπŸ—,πŸπŸ—).

18.Misalkan panj ang BC = 2a, AC = 2b dan AB = 2c

Misalkan garis berat dari C memot ong sisi AB di Q dan perpot ongan ket iga garis berat di G. Misalkan j uga panj ang garis berat CQ = 3k sehingga GQ = k

[𝐴𝐡𝑃] =1

2βˆ™3√15 = 3 2√15

Karena PG : GB = 1 : 2 maka [𝐴𝐡𝐺] =√15

Perhat ikan βˆ†ABG.

𝑠=2𝑐+2+4

2 =𝑐+ 3

Dengan rumus Heron didapat

[𝐴𝐡𝐺] =οΏ½(𝑐+ 3)(3βˆ’ 𝑐)(𝑐+ 1)(𝑐 βˆ’1) =√15

𝑐4βˆ’10𝑐2+ 9 =βˆ’15

(𝑐2βˆ’4)(𝑐2βˆ’6) = 0

β€’ Jika 𝑐=√6

Maka 𝐴𝐡= 2√6

cos

∠

𝐺𝐴𝐡=2

2+�√6οΏ½2βˆ’ π‘˜2

2βˆ™2βˆ™ √6 =

22+οΏ½2√6οΏ½2βˆ’42 2βˆ™2βˆ™2√6

π‘˜ = 2

Karena GM = GP maka AB = AC. Kont radiksi dengan panj ang ket iga sisi berbeda.

β€’ Jika 𝑐= 2

Maka 𝐴𝐡= 4

cos

∠

𝐺𝐴𝐡=2

2+ 22βˆ’ π‘˜2

2βˆ™2βˆ™2 =

(8)

π‘˜ =√6

𝐢𝑀= 3π‘˜= 3√6

∴ Jadi, panj ang garis berat ket iga, 𝐢𝑀 adalah πŸ‘βˆšπŸ”.

19.20! + 14! = 243290a0953b4931200

20! + 14! habis dibagi 9 maupun 11.

9(2+4+3+2+9+0+a+0+9+5+3+b+4+9+3+1+2+0+0) = 56 + a + b a + b = 7 at au a + b = 16

11(2βˆ’4+3βˆ’2+9βˆ’0+aβˆ’0+9βˆ’5+3βˆ’b+4βˆ’9+3βˆ’1+2βˆ’0+0) = 14 + a βˆ’ b Maka a βˆ’ b = βˆ’3 at au a βˆ’ b = 8

Berdasarkan parit as (a + b dan a βˆ’ b memiliki parit as yang sama) maka ada 2 kasus :

β€’ Kasus 1, a + b = 7 dan a βˆ’ b = βˆ’3 Maka didapat a = 2 dan b = 5

β€’ Kasus 2, a + b = 16 dan a βˆ’ b = 8

Maka didapat a = 12 dan b = 4 yang t idak memenuhi syarat bahwa a adal ah digit bilangan. Maka a = 2 dan b = 5

∴ Jadi, nilai a dan b adalah a = 2 dan b = 5.

20.𝑛4βˆ’51𝑛2+ 225 = (𝑛2+ 15)2βˆ’81𝑛2= (𝑛2βˆ’9𝑛+ 15)(𝑛2+ 9𝑛+ 15)

Jika 𝑛=π‘˜ memenuhi unt uk suat u π‘˜ ∈ 𝑁0 maka 𝑛=βˆ’π‘˜ j uga memenuhi. Maka t anpa mengurangi keumuman dapat dimisalkan 𝑛 β‰₯0.

Karena 𝑛4βˆ’51𝑛2+ 225 prima dan 𝑛2+ 9𝑛+ 15β‰₯ 𝑛2βˆ’9𝑛+ 15 maka 𝑛2βˆ’9𝑛+ 15 = 1

𝑛2βˆ’9𝑛+ 14 = 0

(𝑛 βˆ’2)(𝑛 βˆ’7) = 0

𝑛 bulat yang memenuhi adalah 𝑛 = 2 at au 7

Referensi

Dokumen terkait

[r]

11 Data yang akan dianalisis adalah data tentang upaya guru PAI dalam meningkatkan nilai keagamaan peserta didik. Menurut Milles dan Huberman yang dikutip oleh Sugiyono

Upaya yang dilakukan guru dalam menanamkan nilai keagamaan siswa. yang menjadi fokus penelitian terdiri dari tiga macam yaitu akidah,

Berdasarkan kajian kes banjir dan banjir kilat di Shah Alam dan tanah runtuh di Hulu Langat, geoindikator geobencana telah diserapkan ke dalam kerangka konsep

Namun setelah usai kejuaraan tenis meja The 10th IMT-GT Varsity Carnival tersebut, para pemain tenis meja atau mahasiswa yang mewakili team tenis meja USU tersebut tidak

Untuk mengemban mandat kultural atau mandat pembangunanβ€” memelihara bumi ini, maka Gereja baik secara institusi maupun perorangan (pada setiap individu) harus

[r]

Masuknya Islam melalui saluran ini dapat terlihat ketika Samudera Pasai menjadi kerajaan, banyak sekali penduduk yang memeluk agama Islam.Proses seperti ini