DİNAMİK GEOMETRİ ORTAMINDA ÜÇGEN
İNŞA SÜRECİNDE AKIL YÜRÜTME ÇABALARI
Kazım Çağlar ŞENGÜN, Tolga KABACA
Giriş
Yöntem
Bulgular
Tartışma, Sonuç ve Öneriler
Kaynakça
Giriş
Teknoloji son yirmi yıldır hızlı bir gelişme sürecindedir. Teknolojinin etkin kullanılmaya başlanması, beraberinde birçok yenilik ve düzenleme getirmiştir. Eğitim yenilikleri de bu yenilikler ve düzenlemeler içindedir. Teknolojinin eğitime sağlayacağı etkinin öneminin fark edilmesi, bu yoldaki çalışmaları hızlandırmıştır. Amaca uygun olarak hazırlanan programlar ile teknolojinin özelleşmesi sürecine girilmiştir. Teknolojinin, matematik ve geometri alanına yapacağı katkının potansiyelinin fark edilmesi ile bilgisayarlar öğrenme ortamlarında yer almaya başlamıştır ve bu alandaki eğitim programlarının değişmesinden, öğretmen yetiştirilmesine kadar birçok alanda yenilikleri beraberinde getirmiştir.
Dinamik geometri yazılımlarının matematik öğrenme ve öğretme ortamlarını zenginleştirdiği, öğrencilerin matematik dersine yönelik tutumlarını ve başarılarını olumlu yönde etkilediği pek çok araştırma tarafından ortaya konmuştur. Bu araştırmaların ortak önerisi, matematik öğrenme ve öğretme ortamlarında dinamik geometri yazılımlarına yer verilmesi gerektiği yönündedir. Genelde teknolojinin, özelde dinamik geometri yazılımlarının matematik öğrenmeyi nasıl tetiklediği ve bu yazılımların kullanıldığı ortamlarda öğrencilerin akıl yürütmelerinin nasıl şekillendiğini inceleyen araştırmalar yazılımların sadece sunum ve görselleştirme aracı olarak kullanılması yerine, matematiksel kavramlar üzerinde akıl yürütme, derinlemesine düşünme, problem çözme, yaratıcılık, analiz etme ve değerlendirme gibi becerileri destekleyecek şekilde kullanılmasını önermektedirler. Bu bağlamda anahtar nokta, yazılım ile kullanıcı arasında etkileşimin güçlendirilmesidir. Bu etkileşimin verimliliği öğrenmenin de o derecede verimli olmasını sağlar. Teknoloji ile matematik öğrenme sürecinde; öğrenme ortamı, bilgisayar ortamında oluşturulan yazılım ortamıdır. Yazılım ortamı öğrenciler için bir mikro dünyadır (Balacheff ve Kaput, 1996; Papert, 1980). Öğrenciler mikro dünya ortamında zihinsel süreçlerinin dışa vurumunu gerçekleştirebilirler (Hoyles, 1995; Tall, 1990). Bilgisayar yazılımları, bu davranışa dönüştürmesürecine yükseltici ve yeniden düzenleyici olarak etki eder (Nickerson, 1995; Pea, 1985). Öğrenciler teknoloji sayesinde çok daha fazla örneğe temas etmekte ve bu örnekleri farklı açılardan yorumlama imkânına sahip olmaktadır. Ayrıca bazı problemlerde kâğıt-kalem etkinlikleri ile yapılamayacak hesaplamalar ile karşılaşılabilir. Bu tür problemler, öğrencilerin probleme atılmasındaki cesaretini kırar ve problemi çözülemez kılar. Fakat
yükselticirolüyle bilgisayar, insan beyninin limitlerini aşan hesaplamalar yaparak bu tür problemlere atılmada öğrencileri cesaretlendirir ve problem durumunun çözümünü kolaylaştırır. Günümüz sınıf ortamlarında her öğrencinin matematik bilgisini yansıtmak için söz alması ve bu işlem esnasında öğretmenler tarafından her öğrenciye geribildirim verilebilmesi neredeyse imkânsızdır. Kaldı ki, kalabalık sınıflarda bu durum daha da zordur. Oysa matematikyazılımları, öğrencilerin dışa vurum süreçlerinde anında geribildirim verecektir. Eğer öğrenciler yanlış bir etkileşim içerisinde ise aldığı geribildirimlere göre bilgilerini yeniden düzenlemeye yöneleceklerdir. Ayrıca, teknoloji donanımlı ortamlarda üzerinde çalışılan matematiğin arka planının farkında olma durumu beyaz kutu, teknolojinin sunduğu ürünlerin matematiksel alt yapısının farkında olmama durumu ise kara kutu olarak isimlendirilmiştir (Buchberger, 1990).
Özetle;dinamik geometri ortamında matematik çalışan öğrencilerin yazılım ile etkileşimlerinin, bu yazılımı bir mikro dünya olarak kullanabilmesine ve yazılım ortamında çalışılan matematiğin farkında olabilmelerine bağlı olduğu iddia edilmektedir. Bu çalışmada; öğrencilere dinamik geometrik yazılımları ile önceden tasarlanmış bir çalışma ortamı sunmak yerine, belirlenen bir hedef doğrultusunda öğrencilerin geometrik bir tasarı yapması planlanmıştır. Öğrencilerin, bu çalışmalar sırasındaki davranışları, akıl yürütmeleri ve yazılımın geri bildirimleri sayesinde ulaşabilecekleri matematiksel sonuçların tespit edilmesi amaçlanmıştır.Bu bağlamda, Matematik Dersi 5-8. Sınıflar Öğretim Programında yer alan "8.3.1.4. Yeterli sayıda elemanının ölçüleri verilen bir üçgeni çizer."
Yöntem
Nitel paradigmaya sahip çalışma, bir durum çalışması olarak yönetilmektedir.Nitel araştırmanın en önemli özelliği, üzerinde araştırma yapılan kişilerin bakış açılarıyla araştırılan olay, olgu, norm ve değerleri incelemeye çalışmasıdır (Ekiz, 2009). Durum çalışması, bir durumu, ilişkiyi, olayı ya da süreci, sınırlı sayıda örneklem ile her yönüyle inceler. Durum çalışmasını; pek çok araştırma yönteminden ayıran özelliği, eğitimin çeşitli konularını anlamada özellikle, ne, nasıl ve niçin soruları yöneltildiğinde tercih edilen bir yöntem olmasıdır (Çepni, 2012). Araştırmada dinamik geometri yazılımlarını kullanarak, üçgenin inşa sürecini yöneten öğrencilerin akıl yürütme çabalarının incelenmesi söz konusudur. Bu süreçte toplanan verilerde, kontrol dışı gözlemlenebilecek olgu ya da olayların derinliğine araştırılmasına olanak veren bir yöntem olması sebebiyle durum çalışması yapılmasına karar verilmiştir.
Verilerin analizinde betimsel analiz yaklaşımı kullanılmıştır. Betimsel analiz yaklaşımına göre elde edilen veriler, daha önceden belirlenen temalara göre özetlenir ve yorumlanır (Yıldırım ve Şimşek, 2011). Bu temalar literatürden seçilen bir kuramsal çerçeve ışığında da belirlenmiştir. Araştırmanın kavramsal yapısı ve analizine temel teşkil edecek temalar önceden belirlendiği için betimsel analiz yöntemi benimsenmiştir.
Betimsel Analize Temel Oluşturan Kuramsal Çerçeve
Araştırmada, öğrencilere, etkinliklerdeki düşüncelerini yansıtabilmeleri için dinamik geometri yazılımıyla bir mikro dünya ortamı oluşturulmuştur. Mikro dünyalarında gösterdikleri davranışlar, öğrencilerin zihinsel süreçlerinin dışa vurumu olarak ele alınmıştır. Yazılımın bu davranışlara etkileri gözlemlenmiştir. Öğrencinin kâğıt-kalem ortamında gerçekleştirdiği etkinliklerde gözlemlenemeyip; yazılımın dinamikliği, insan aklını aşan hesaplamalar yapabilmesi ve öğrencilerin çok fazla örneğe temas edebilmesini sağlaması sayesinde gözlemlenen durumlar yükseltici olmateması altında kabul edilmiştir. Öğrencilerin etkinlikler boyunca yazılımdan aldığı geri bildirimler sayesinde doğru etkinliğe yönelmesini sağlayan durumlar yeniden düzenleyici olma, yürütülen süreçte yazılımda kullandığı matematiğin farkında olunması durumu beyaz kutu, farkında olunmaması durumu kara kutu olarak değerlendirilmiştir.
Katılımcılar
Veri Toplama Süreci
Veriler, araştırma grubu ile görüşme yapılarak toplanmıştır. Üçgen çizimleri için 8'er maddelik sorular görüşme protokolünü oluşturmuştur. Dinamik geometri yazılımlarından GeoGebra kullanılmıştır. Araştırma için belirlenen kodların ve görüşme protokolü sorularının son hali, 2 pilot çalışmanın ardından elde edilmiştir. Pilot çalışmalarda katılım gösteren 4 öğrenci, araştırmanın katılımcılarından farklı olup, GeoGebra öğretimi sürecinde başarı gösteren, yine amaçsal örnekleme yaklaşımına göre seçilmiş öğrencilerdir. Pilot çalışmalardan elde edilen veriler sonucunda üçgen inşa sürecinin ilk olarak kâğıt-kalem ortamında daha sonra yazılım ortamında gerçekleştirilmesine karar verilmiştir. Kazanımda yer alan üçgen inşaları ise şu şekildedir:
Bir kenarı ve bu kenarın uçlarındaki açıları verilen üçgenin inşası, İki kenarı ve bu kenarların arasındaki açısı verilen üçgenin inşası, Üç kenar uzunluğu verilen üçgenin inşası.
Her çizim için üçgen inşası mümkün olan,üçgen inşası mümkün olmayanve inşa sürecinde hata yapılması muhtemel olan birer örnek durum görüşme protokolünde yer almaktadır. Görüşme protokolünde yer alan inşası mümkün olmayan üçgen örnekleri veya inşa sürecinde hata yapılma olasılığı yüksek olan üçgen örnekleri yine pilot çalışmanın ardından protokole eklenmiştir. Öğrencilerin süreçlerdeki akıl yürütmeleri, söylemleri, karşılaştıkları güçlükler gözlemlenerek belirlenmeye çalışılmıştır. Veri kaybı yaşanmasını en aza indirmek için ortam video kayıt altına alınmıştır. Ayrıca yazılım ortamındaki süreçler, bilgisayar ekranı kayıt programı kullanılarak kaydedilmiştir.
Bulgular
Bu bölümde, öğrencilerin kâğıt-kalem ve yazılım ortamındaki etkinlikleri yer almaktadır. Süreç boyunca öğrencilerin kâğıt-kalem ya da yazılım ortamındaki etkinliklerinden alıntılarla bulgular desteklenmiştir. Gözlemler sonucu elde edilen veriler,maddeler halinde aşağıda yer almaktadır.
Öğrencinin üzerinde çalıştığı kâğıt ortamının sınırlı olması, öğrencileri inşaları gerçekleştirirken hataya sürüklemiştir. Ayrıca inşa için cesaret kırıcı bir etki yaratmaktadır. İnşa çizimlerine sayfaların kıyılarına yakın yerlerden başlayan öğrenciler, elemanların ölçülerini sayfaya sığdırmak için hatalı inşalar gerçekleştirmişlerdir. Yazılım ortamındaki inşaları ile kâğıt-kalem ortamı inşalarını karşılaştıran öğrencilerin görüşlerine ait alıntılar bu durumu açıkça göstermektedir.
"Kâğıdın azıcık dışına denk geliyordu. Bir daha çizmemek için bu şekilde çiziverdim." "Kenardan başlayınca sığmaz diye kafama göre küçülttüm."
Ek olarak, sayfaya sığmayacaklarını düşündükleri inşalara başlamakta çekimser davranmışlardır.
"Kenar uzunluklarını çok yüksek verseler, üçgenleri çizebilir miydik?" "Bu şekil buraya sığmaz o yüzden çizemeyiz."
Bu durum, yazılımın dinamikliği sayesinde mikro dünyalarında yaşanmamıştır. Yazılım ortamında çalışılan düzlem sonsuz büyüklükte olup, çizilen şekiller istenildiği gibi taşınabilir, sürüklenebilir veya döndürülebilirdir.
Öğrencilerden yazılım ortamında inşa ettikleri üçgen elemanlarını birer değişkene bağlamaları istenmiştir (Şekil 1). Bu sayede, çok sayıda farklı üçgenin inşa edilip incelenmesi mümkün olmuştur. Yazılımın yükseltici olma rolü burada gözlenmektedir. Öğrencilerin daha fazla üçgen örneğine temas etmeleri, üçgenin kenarları arasındaki ilişkileri anlamalarına yardımcı olmuştur.
"Bilgisayarda hemen kenarları değiştirince yeni üçgen çiziliveriyor, ama kâğıtta her şey baştan yapılması lazım. Çok zaman gider o zaman da."
Ayrıca kâğıt-kalem ortamında yürütülen inşa etkinliklerinde; çizimi gerçekleştiren öğrencinin el becerisi etkili olduğundan, çizilen üçgenlerin tekliği konusunda yanılgıya düşmüşlerdir. Araştırma grubundaki öğrencilerin çizdiği, aynı ölçülere sahip üçgenlerin birbirine benzememesi, bu yanılgının oluşma sebebidir. Yine yazılımın yükseltici rolü sayesinde mikro dünya ortamında bu durum yaşanmamıştır.
Şekil 1. Yazılım ortamından çekilmiş bir ekran görüntüsü.
Kâğıt-kalem ortamında öğrencilerin inşa sürecinde yaptıkları hataların farkına varamadıkları gözlemlenmiştir. İnşa sürecinde veya bitiminde, doğru etkinliği gerçekleştirip gerçekleştirmediği konusunda soru işaretleri yaşamışlardır. Şekil 2'de verilen çizim üç kenar uzunluğu verilen üçgenin çizilmesine ait etkinlikten alınan bir görüntüdür. Üçgen inşasının gerçekleşebilmesi için yeterli elemanlar verilmesine karşın, öğrenciler rastgele açılara göre aldıkları uzunluklar ile üçgeni Şekil 2'deki gibi çizmiştir. Yazılımın yeniden düzenleyici olma rolüyle bu durum, mikro dünyalarında yaşanmamıştır. Öğrenci yanlış bir etkinliğe yöneldiğinde yazılım anında geribildirim vererek öğrencinin doğru etkinliğe yönelmesini sağlamaktadır.
Şekil 2.Kâğıt-kalem ortamında gerçekleştiren hatalı bir çizim.
çalışarak, hatalı ölçülerde üçgenler elde etmişlerdir. Fakat yazılım ortamında üçgen oluşmayan durumlarda şekil gözlemlenmemektedir. Şekil 3 ve Şekil 4 ile öğrenci alıntılarının incelenmesi durumun anlaşılmasına yardımcı olacaktır.
Şekil 3.İnşası mümkün olmayan üçgenin öğrenci tarafından gerçekleştirilen çizimi.
Şekil 4.İnşası mümkün olmayan üçgenin yazılım ortamı ekran görüntüsü.
"Bu üçgen oluşmuyor, peki kağıt ortamında nasıl çizdin?
Öğrenci: Kâğıtta olmayacağı hiç aklıma gelmedi. İlla ki olacaktır diye biraz biraz kaydırıp çizdim. Ama olmuyormuş, bilgisayarda çizince gördüm."
Öğrenciler kâğıt-kalem ortamında üçgen inşası ile ilgili gerekli matematiksel altyapıyı öğrenince,
yazılım ortamındaki ikinci etkinlikte protokolden bağımsız inşa etkinliklerine yönelmişlerdir. İlk etapta üçgen inşası hakkında hiçbir bilgisi olmayan öğrenciler, yazılım ortamında doğru parçası oluşturma,
açı ölçme ve çember çizme komutlarını kullanabilmişlerdir. Bu durum beyaz kutu-kara kutu
kavramlarıyla açıklanabilir. Kâğıt-kalem ortamında inşa sürecinde pergeli kullanan öğrenciler, yazılım
ortamında çember kullanmışlardır.
"Bu sefer kâğıda bakmadan çizebilir miyiz?" (Görüşme protokolündeki sorulardan bağımsız
hareket etmek istiyorlar.)
Öğrenciler, tüm etkinlikler boyunca zihinsel süreçlerinin dışa vurumunu gerçekleştirmişlerdir.
Ancak kâğıt-kalem etkinliklerinde etkileşimin daha az olduğu, yazılım ortamındaki etkileşimin daha
test etmişler ve yazılımdan aldıkları geribildirimlere göre akıl yürütmelerinde bulunmuşlardır. Kâğıt
-kalem ortamında elde ettiklerinin "kendilerinin doğruları" olabileceklerini kavramışlar, yazılım ortamında daha doğru ve sağlam sonuçlara ulaşmışlardır.
"Ben bu şekilde çizerim, başkası kendine göre çizer. O yüzden herkes kendi çizdiği üzerinden konuşur. Onu doğru zanneder. Ama bilgisayarda herkes aynı şekli çizer."
"Kâğıt ortamında kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi görmem imkânsızdı. Bilgisayarda değişkenlerin üzerinde yazan sayılar sayesinde ilişkiyi anladım."
"Bilgisayarda yanlış çizme şansın çok düşük."
Tartışma, Sonuç ve Öneriler
Bu çalışmada ortaokul 7. sınıf öğrencilerinin dinamik geometri ortamında üçgenin inşa süreci
üzerinde akıl yürütme çabaları incelenmiştir. Günümüzde etkili bir eğitim-öğretim yapmak için
öğrencilere yaşantı yoluyla deneyim kazandırmak esastır. Bu bağlamda yazılım ortamını öğrenciler için bir mikro dünyaya dönüştürmek ve mikro dünyalarındaki yaşantılarını istendik davranışı göstermeye yönelik düzenlemek gerekmektedir. Mikro dünyalarında öğrenciler, zihinsel süreçlerinin
dışa vurumunu gerçekleştirmektedir (Balacheff ve Kaput, 1996; Hoyles, 1995; Papert, 1980; Tall,
1990). Bu dışa vurum sürecinde, öğrencilere matematiksel süreci tasarlayan bir rol verildiğinde
problem çözme, muhakeme becerilerinin gelişebileceği bu araştırmada da görülmüştür. Çünkü kâğıt
-kalem ortamında akıl yürütme, muhakeme, test etme gibi zihinsel beceriler gösterilmemiş, aksine
içinde bulunduğu inşa etkinliğini, tamamlaması gereken bir görev, çizmesi gereken bir şekil olarak algılamışlardır. Bu yüzden bir üçgenin inşa edilebilmesi için gerekli ve yeterli özelliklerin farkına varamamışlardır. Süreç yazılım ortamına taşındığında kenar uzunluklarını, açı ölçülerini diledikleri gibi değiştirip test eden öğrenciler yazılımın altında yatan matematiğin doğruluğunun farkında olmaları sayesinde aldıkları geribildirim ile akıl yürütebilmişlerdir. Sonuç olarak; öğrenciler yazılım ortamını bir mikro dünya ortamı olarak kabul etmiş ve zihinsel süreçlerinin dışa vurumunu mikro dünyalarında gerçekleştirmiştir. Bu dışa vurumun yansıması olan ürünler hakkında geri bildirimler almış, içinde bulunduğu sürecin değerlendirmesini yaparak yanlış veya doğru etkinlikte olup olmadığına yazılımın
yükseltici ve yeniden düzenleyici olma rolü sayesinde karar verebilmiştir (Nickerson, 1995; Pea,
1985). Sonuç olarak kazanımın hedeflerine ulaşılmıştır. İstendik davranışı göstermek için kendi matematik bilgisinden ve yazılımın matematiğinden yararlanmıştır. Öğrencinin yazılımda kullandığı matematiğin farkında olduğu durumlar beyaz kutu, farkında olmadığı durumlar kara kutudur (Buchberger, 1990). Mikro dünya ortamında gerçekleşen bu etkileşim sonucunda, incelenen üçgen inşası konusunda yer alan kavramların ve bu kavramları oluşturan yapıların öğrenciler tarafından fark edildiği, bu araştırmada da gözlemlenmiştir.
Literatürde yer alan dinamik geometri yazılımları hakkındaki araştırmaların bir çoğunda yazılımlar görselleştirmeye hizmet eden salt sunum araçları olarak yer almakta, bu durumun motivasyon gibi
tutumlara yönelik olumlu veya olumsuz sonuçlarından bahsedilmektedir. Dinamik geometri
yazılımlarının matematik öğretim sürecinde yalnızca görselleştirme aracı olarak kullanılması, bu yazılımların öğrenim etkinliklerindeki öneminin farkında olunmadığını gösterir. Yine literatürde yer
alan çalışmalar incelendiğinde geometrik inşa ileilgili çalışmaların azlığından söz edilebilir. İlköğretim
araçları ezbere kullanabildiklerini ve gerçekleştirdikleri işlemlerin altında yatan kavramları anlamadıklarını belirtmişlerdir.
Günümüzde öğretim programlarındaki kuramlar değişse de sınıf yapılarından tutun ders kitaplarında yer alan etkinliklere kadar geleneksel yapının izlerinin taşındığı yadsınamaz bir gerçektir. Ayrıca teknolojinin bu kadar geliştiğinden söz edilmesine rağmen, bu gelişmenin sınıf ortamlarına yansımadığı görülmektedir ve sınıflarda gerekli teknolojik donanım olsa da nasıl kullanılacağı
konusunda akıllarda birçok soru vardır. Bu çalışma ile dinamik ortamda öğrencinin üçgeni inşa etme
sürecinde; üçgenin iki kenar uzunluğunun toplamının veya farkının üçüncü kenarın uzunluğu ile ilişkisini açıklama ve üçgenin açılarının gördüğü kenar uzunluklarının, açıların ölçüleriyle ilişkisinin fark edilmesini sağlama hususlarındaki kazanımlara götüren bir öğrenme ortamı oluşturulması planlanabilir.
Öne Çıkan Noktalar
Bu çalışmada öğrencilerin yazılım ortamında gerçekleştirdiği inşa süreçlerindeki akıl yürütme,
muhakeme, problem çözme gibi zihinsel becerilerinin kağıt-kalem ortamındakine göre daha
nitelikli olduğu görülmüştür.
Öğrenciler kağıt-ortamında geri bildirim alamadıklarından yaptıklarının doğruluğuna karar
verememektedir. Öğrenci kağıt-kalem ortamında tek başınadır.
Öğrenciler mikro dünyalarında kendilerine bir matematik öğrenme alanı oluşturmakta,
Kaynakça
Balacheff, N. ve Kaput, J.J. (1996). Computer-based learning environments in mathematics. A.J. Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick ve C. Laborde(Eds), International handbook of mathematics education (ss. 429–501) içinde. Dordrecht: Kluwer.
Buchberger, B. (1990). Should students learn integration rules?, Sigsam Bulletin, 24(1), 10–17. Çepni, S. (2012). Araştırma ve proje çalışmalarına giriş. Trabzon: Celepler Matbaacılık.
Ekiz, D. (2009). Bilimsel araştırma yöntemleri. Ankara: Anı Yayıncılık.
Erduran, A. ve Yeşildere, S. (2010). Geometrik yapıların inşasında pergel ve çizgecin kullanımı.
İlköğretim Online, 9(1), 331-345.
Hiebert, J. ve Wearne, D. (1992). Links between teaching and learning place value with understanding in first grade. Journal for Research in Mathematics Education, 23(2), 98–122.
Hoyles, C. (1995). Thematic chapter: Exploratory software, exploratory cultures? A. Disessa, C. Hoyles ve R. Noss(Eds), Computers and exploratory learning. (ss.199-219) içinde. Berlin: Springer. Karakuş, F. (2014). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının geometrik inşa etkinliklerine yönelik
görüşleri. Kuramsal Eğitimbilim Dergisi, 7(4), 408-435.
Napitupulu, B. (2001). An exploration of students’ understanding and van Hiele levels of thinking on geometric constructions. Yayımlanmamışyüksek lisans tezi, Simon Fraser Üniversitesi, Canada.
Nickerson, R.S. (1995). Can technology help teach for understanding? D.N. Perkins, J.L. Schwarts, M.W. Maxwell ve M. Stone(Eds), Software goes to school: Teaching for understanding with technologies. (ss.7-22) içinde. NewYork: Oxford University Press.
Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas. New York: Basic Books.
Pea, R. (1985). Beyond amplification: Using the computer to reorganize mental functioning. Educational Psychologist, 20(4),167-182.
Tall, D. (1990). Inconsistencies in the learning of calculus and analysis. Focus on Learning Problems in Mathematics, 12(4), 49-63.
