N0 Judul Bab Halaman
ISI
Teori Soal
latihan
1 Himpunan 2 – 8
2 Bilangan
3 Garis dan Sudut
4 Segiempat dan Segitiga 5 Perbandingan dan Skala
6 Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel 7 Aritmatika Sosial
8 Transformasi 9 Statistika 10 Peluang
HIMPUNAN
Menemukan konsep Himpunan Penyajian Himpunan
Menemukan Konsep Himpunan Semesta dan Diagram Venn Kardinalitas Himpunan
Menemukan Konsep Himpunan Kosong Relasi himpunan
a. Menemukan Konsep Himpunan Bagian b. Himpunan Kuasa
c. Kesamaan Dua Himpunan Operasi Himpunan
Irisan (intersection) Gabungan (Union)
Komplemen (Complement) Selisih (Diference)
Sifat-sifat Operasi Himpunan
A. PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik yang sama atau terdefinisi dengan jelas
B. CARA MENYATAKAN HIMPUNAN DAN KEANGGOTAANYA
Himpunan diberi nama atau dinyatakan dengan huruf kapital. Sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di antara kurung kurawal, anggota satu dengan yang lainya dipisahkan dengan tanda koma.
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu:
1) Dengan Cara Mendaftarkan Anggotanya (Roster Method / Enumerasi )
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan / menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal.
2) Dengan Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya (Ruler Method)
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan / menyebutkan sifat-sifat yang dimiliki anggotanya.
3) Dengan Notasi Pembentuk Himpunan
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut.
Himpunan tersebut ditulis A= { x | syarat yang harus dipenuhi}. Simbol ” ” garis tegak dibaca ”sedemikian sehingga”.
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini
No Dengan Cara
bilangan asli kurang dari 8
No Dengan Cara
4 D = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie,
C. BANYAKNYA ANGGOTA SUATU HIMPUNAN
Setiap objek atau benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Dalam matematika untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, ditulis dengan lambang “∈” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “∉”
Misalkan A adalah himpunan huruf-huruf pada kata “PENTIUM” maka A adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf P, E, N, T, I, U dan M. Huruf P, E, N, T, I, U dan M termasuk anggota himpunan A, ditulis P ∈ A, E ∈ A, N ∈ A, T ∈ A, I ∈ A, U ∈ A, dan M ∈ A sedangkan L bukan anggota A atau ditulis L ∈ A.
Banyaknya elemen / anggota yang dikandung dalam suatu himpunan disebut kardinalitas himpunan. Banyaknya anggota himpunan A adalah 7 buah, yaitu P, E, N, T, I, U dan M ditulis n(A) = 7. himpunan B adalah n(B) = 7.
D =
{
x x bilangan prima}
, berarti D ={
2,3, 5, 7,... , maka kardinalitas himpunan D}
adalah n(D) = ~D. KARDINALITAS HIMPUNAN
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat diartikan sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut.
Catatan :
Dua buah himpunan dikatakan equivalen jika banyaknya anggota dari kedua himpunan tersebut adalah sama.
Misalkan himpunan A = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at, Sabtu, Minggu}, dan himpunan P = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 15}. Banyaknya elemen atau anggota dari himpunan A adalah 4, begitu pula dengan banyaknya elemen atau anggota dari himpunan B adalah 4. Berarti kedua himpunan tersebut eqivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki
kardinalitas yang sama.
E. SIMBOL¬SIMBOL BAKU HIMPUNAN
Dalam mempelajari himpunan ada beberapa himpunan yang memakai simbol baku yang sering dipakai dalam matematika. Simbol¬simbol himpunan baku ini diantaranya ::
£ = Himpunan bilangan Cacah = { 0, 1, 2, 3, 4 . . . } ¥ = Himpunan bilangan asli = { 1, 2, 3 . . . }
¢ = Himpunan bilangan bulat = { . . . , – 2,– 1, 0, 1, 2, . . . }
¡ = Himpunan bilangan riil
F. JENIS-JENIS HIMPUNAN
Ada beberapa macam-macam himpunan, antara lain : 1) Himpunan Berhingga
Himpunan Berhingga yaitu himpunan dengan banyaknya elemen/anggota dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.
Contoh 1.3 :
Misalkan himpunan A = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at, Sabtu, Minggu}, dan n(A) = 7.
A disebut himpunan berhingga.
Misalkan himpunan B = {1, 3, 5, 7, 9}. dan n(B) = 5. B disebut himpunan berhingga.
2) Himpunan Tak Berhingga
Himpunan Tak Berhingga yaitu himpunan dengan banyaknya elemen/anggota tidak dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.
Contoh 1.4 :
Misalkan himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }, dan n(A) = tak berhingga atau n(A) = ∞.
A disebut himpunan tak berhingga.
n(B) = ∞.
B disebut himpunan tak berhingga.
3) Himpunan Kosong
Suatu Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila kardinalitas dari himpunan A = 0 atau n(A) = 0.
Himpunan kosong dinotasikan dengan φ (phi) atau
{ }
.Contoh 1.5 :
Misalkan himpunan A = himpunan bilangan prima antara 7 dan 10.
Kita tahu bahwa tidak ada bilangan prima antara 7 dan 10, sehingga n(A) = 0. Jadi A disebut himpunan kosong, atau A = φ, atau A = { }.
Misalkan himpunan B = himpunan bilangan genap prima yang lebih dari 3. Kita tahu bahwa tidak ada bilangan genap prima yang lebih dari 3, sehingga n(B) = 0.
Jadi B disebut himpunan kosong, atau B = φ, atau B = { }
Misalkan himpunan C =
{
x x2 <0,x∈bilangan bulat}
Kita tahu bahwa tidak ada bilangan kuadrat yang nilainya lebih kecil dari 0, sehingga n(C) = 0.
Jadi C disebut himpunan kosong, atau C = φ, atau C = { }
4) HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan semesta biasanya disimbolkan dengan “U“ (Universum) atau “S” (Semessta).
Himpunan Semesta adalah berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek-objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta sudah harus ditetapkan dahulu sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 1.5 :
Misalkan himpunan A = {2,3,5, 7,11 maka yang dapat menjadi himpunan
}
semesta adalah: S =
{
x xbilangan prima}
, S =
{
x xbilangan cacah}
,5) Diagram venn
A. Himpunan Semesta
Misalkan A = {merah, putih}.
B = {merah, hijau}.
C = {merah, putih, biru}.
BB Apakah himpunan C memuat semua anggota
himpunan A?
Apakah himpunan C memuat semua anggota
himpunan B?
. Karena C memuat semua anggota A, maka dikata-kan bahwa C merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
. Karena ada anggota B yang tidak termuat pada C, yaitu hijau (h); h C, maka dikatakan∉
bahwa C bukan himpunan semesta dari himpunan B.
Misalkan kita punya himpunan D = {merah, kuning, putih, ungu}. Apakah D memuat semua
Apa yang akan kamu
. pelajari? Pengertian himpunan
semesta dan lambangnya.
. Diagram Venn suatu himpunan.
. Pengertian himpunan bagian.
. Banyak himpunan bagian dari
suatu himpunan
. Pengertian himpun- an
kosong dan lambangnya
Kata Kunci:
. Himpunan semesta.
. Diagram Venn.
. Himpunan bagian.
anggota A? Ya, bukan?
Jadi, D juga merupakan himpunan semesta dari A. Apakah D memuat semua anggota himpunan B? Tidak, bukan?
Karena D tidak memuat semua anggota B, berarti D bukan
merupakan himpunan semesta dari himpunan B.
Jadi, jika kita punya himpunan A = { merah, putih }, maka himpunan semesta dari A yang mungkin antara lain:
1. C = { merah, putih, biru }, atau
2. D = { merah, kuning, putih, ungu }.
Dapatkah kamu menyebutkan himpunan semesta yang lain? Dapatkah kamu menarik kesimpulan, apa yang dimaksud dengan himpunan semesta dari suatu himpunan A? Dari penjelasan tersebut, dapat dikatakan bahwa:
Contoh :
Misalnya kita mempunyai himpunan P = {1, 3, 5, 7}. Himpunan
Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua
anggota himpunan yang sedang dibicarakan.
Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan.
Himpunan semesta yang mungkin dari P, antara lain:
1. S = {1, 3, 5, 7, 9}
2. S = Himpunan 10 bilangan asli yang pertama
3. S = {1, 2, 3, . . . , 100}
4. S = {1, 3, 5, 7, . . . , 51}
5. S = Himpunan bilangan asli.
Sebutkan dua himpunan semesta yang mungkin untuk
masing-masing himpunan berikut ini.
1. A = {1, 2, 3}.
2. B = {a, i, u}.
3. C = {x : 2 < x < 10, x adalah bilangan asli}.
4. D = {x : x ≥ 100, x adalah bilangan bulat}.
5. E = {n : n < 15, n adalah bilangan prima}.
6. F = Himpunan bilangan prima yang genap.
8. H = Himpunan bilangan komposit antara 1 dan 10.
9. I = Himpunan bilangan genap yang habis dibagi 3.
10. J = Himpunan bilangan prima kurang dari 20.
6) HIMPUNAN SAMA
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B ditulis “ A = B ” jika dan hanya jika setiap angota himpunan A juga merupakan angota himpunan B, demikian pula sebaliknya himpunan B dikatakan sama dengan himpunan A ditulis “ B = A ” jika dan hanya jika setiap angota himpunan B juga merupakan angota himpunan A.
Contoh 1.6 :
Misalkan himpunan A =
{
2,3,5,7,11
}
maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:P = { a, b, c, d } dan Q = { d, c, b, a} , maka P = Q.
7) HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B ditulis “ A ⊆ B “ jika dan hanya jika setiap anggota himpunanA merupakan anggota himpunan B, demikian pula sebaliknya himpunan B dikatakan himpunan bagian dari himpunan A ditulis “ B ⊆ A ” jika dan hanya jika setiap angota himpunan B juga merupakan angota himpunan A.
Contoh 1.7 :
Misalkan himpunan A = {2,3,5, 7 , dan B =
}
{
1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8 .}
Maka dapat dikatakan {2,3,5, 7}
⊆{
1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8 .}
8) HIMPUNAN KUASA (POWER SET)
Himpunan kuasa (Power Set) adalah himpunanseluruh himpunan bagian dari suatu himpunan.
Banyaknya himpunan kuasa dari suatu himpunan dapat di hitung dengan “ 2 n(A) “. Contoh 1.8 :
Misalkan himpunan A = {2, 3, 5}.
Maka himpunan kuasa dari A = {φ, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}}. Jadi banyaknya himpunan kuasa dari A adalah 8. Atau dapat di hitung dengan “ 2n(A) “.
