STATISTIKA
NONPARAMETRIK
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri
Universitas Kristen Maranatha Bandung
STATISTIKA NONPARAMETRIK
adalah statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk distribusi kecuali bahwa sebaran itu kontinu.dan karena itu merupakan statistik yang bebas distribusi
Dalam statistik nonparametrik, kesimpulan dapat ditarik tanpa memperhatikan bentuk distribusi populasi, sedangkan dalam statistika
parametrik yang telah dibahas sebelumnya , kesimpulan hanya benar apabila asumsi-asumsi tertentu yang membatasi adalah
benar.
2
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
KAPAN M
ETODENONPARAMETRIKDIGUNAKAN?
1. Apabila ukuran sampel kecil sehingga distribusi statistik pengambilan sampel tidak mendekati normal, dan apabila tidak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber sampel.
2. Apabila digunakan data peringkat atau ordinal. (Data ordinal hanya memberikan informasi tentang apakah suatu item lebih tinggi, lebih rendah, atau sama dengan item lainnya; data ini sama sekali menyatakan ukuran perbedaan).
3. Apabila data nominal digunakan. (Contoh : data nominal adalah seperti
“laki-laki” atau “perempuan” diberikan kepada item dan tidak ada implikasi di dalam sebutan tersebut bahwa item yang satu lebih tinggi atau lebih rendah daripada item lainnya)
3
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
S
YARAT
S
TATISTIKA
N
ON
P
ARAMETRIK
DAPAT
DIGUNAKAN
APABILA
:
Bentuk populasinya
tidak diketahui / tidak
normal
Distribusinya
kontinu
Ukuran sampel
lebih kecil dari
30
4LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
STATISTIKA NON PARAMETRIK
Keuntungan dari penggunaan Statistika Non
Parametrik :
Perhitungannya lebih sederhana, mudah, dan cepat
Data dapat bersifat kuantitatif atau kualitatif ( atribut )
Bisa digunakan untuk bentuk distribusi populasi apa saja asalkan kontinu
Ukuran sampel yang digunakan bisa kecil
Kelemahan dari penggunaan Statistika Non
Parametrik :
Efisiensi rendah, karena tidak menggunakan semua informasi yang ada dari sampel
Tidak seteliti Uji Parametrik, jadi untuk mencapai b yg sama diperlukan sampel yg lebih besar.
Uji nonparametrik akan menggunakan ukuran sampel yang lebih banyak dibandingkan dengan uji parametrik
agar mencapai kuasa yang sama. 5
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
K
ESIMPULAN
Bila uji parametrik dan uji nonparametrik keduanya berlaku pada himpunan data yang sama, GUNAKANLAH selalu teknik parametrik yang lebih efisien.
Akan tetapi, bila diketahui bahwa anggapan kenormalan sering tidak berlaku, dan ternyata bahwa kita sering menghadapi pengukuran yang tidak kuantitatif, maka disarankan menggunakan sejumlah cara nonparametrik yang dapat menangani berbagai keadaan percobaan yang lebih luas.
Perlu dikemukakan bahwa kendati di bawah anggapan teori kenormalan baku, keefisienan teknik nonparametrik amat dekat ke prosedur parametrik padanannya.
Sebaliknya, penyimpangan yang besar dari kenormalan akan membuat metoda nonparametrik jauh lebih efisien daripada prosedur parametrik.
6
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
J
ENIS
–
JENIS
S
TAT
. N
ON
P
ARAMETRIK
:
1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel
dan 2 sampel
2. Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon Sign Rank Test)
• uji 1 sampel dan 2 sampel berpasangan
3. Uji Jumlah Peringkat Wilcoxon ( Wilcoxon Rank Sum Test ) uji 2
sampel independent
4. Uji Kruskall Wallis untuk uji lebih dari 2 buah populasi ( k > 2 )
5. Uji Runtunan uji keacakan data untuk data kuantitatif dan data kualitatif
6. Uji Kolmogorov – Smirnov
7. Uji Koefisien Korelasi Peringkat Spearman,
dll.
7
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Jumlah Sampel Memperhatikan
besarnya data ? Uji Statistik
Satu --- Sign Test
Dua, Tidak Sign Test
independent Ya Wilcoxon Rank Sum
Test
Dua, Tidak Sign Test
dependent Ya Wilcoxon Sign Rank
Test
8 LT Sarvia/2012
1.
UJI TANDA (
SIGN TEST
)
Merupakan uji non parametrik yang paling mudah dan cepat.
Digunakan untuk menguji rata-rata 1 populasi dan 2 populasi,
dgn memperhatikan ‘tanda’nya.
Prosedur ini didasarkan pada tanda negatif atau positif dari perbedaan antara pasangan data ordinal. Pada hakikatnya pengujian ini hanya memperhatikan arah perbedaan dan bukan besarnya perbedaan itu.
Jika Ho : m = mo benar, peluang nilai sampel menghasilkan tanda + / - adalah ½ ; karena itu statistik uji berdistribusi Binomial dengan p = ½.
9
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
1.1 U
JIT
ANDA1 S
AMPEL( ONE SAMPLE SIGN TEST ) :
Struktur Hipotesis :
a. H0 : m = m0 H1 : m < m0 b. H0 : m = m0
H1 : m > m0
Tentukan nilai
α
wilayah kritis Xa ( Binomial ; dengan p = ½ )
Penentuan Tanda :
1.1.1. PROSEDURPERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUKUJI 1 ARAH :
Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan -
Jika data ( Xi ) < m0 tanda ‘ –‘
Jika data ( Xi ) > m0 tanda ‘ + ‘
Jika data ( Xi ) = m0 data tersebut dibuang
Hitung jumlah tanda +,
dilambangkan sebagai nilai
X10
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
a. Jika : X > Xa Terima H0 X ≤ Xa Tolak H0
b. Jika: X <Xa Terima H0 X ≥ Xa Tolak H0
Xa
X X
Xa
X X
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
Bandingkan nilai
X
dengan
X
a:
U
JIT
ANDA1 S
AMPEL( O
NES
AMPLES
IGNT
EST) :
(2)PROSEDURPERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUKUJI 1 ARAH :
11 LT Sarvia/2012
Struktur Hipotesis :
H0 : m = m0 H1 : m≠m0
Tentukan nilai
α
wilayah kritis X1 a / 2 dan X2 a / 2 ( Binomial ; dengan p = ½ )
Penentuan Tanda :
1.1.2. PROSEDURPERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUKUJI 2 ARAH :
Hitung jumlah tanda +,
dilambangkan sebagai nilai
XData sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan
-Jika data ( Xi ) < m0 tanda ‘ –‘ Jika data ( Xi ) > m0 tanda ‘ + ‘ Jika data ( Xi ) = m0 data tersebut dibuang
12
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
Jika : X1 a / 2 < X < X2 a / 2 Terima H0
X ≤ X1 a / 2 dan X ≥ X2 a / 2 Tolak H0
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
Bandingkan nilai
X
dengan
X
a:
1.1.2. PROSEDURPERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUKUJI 2 ARAH : (2)
X2 a / 2
X X
X1 a / 2 X
13 LT Sarvia/2012
1.1. U
JIT
ANDA1 S
AMPEL( O
NES
AMPLES
IGNT
EST) :
Jika :
n>10
, maka digunakan pendekatan
Normal
, sehingga :
Ingat Binomial
Normal (Diskrit
Kontinu) :
( a
–
0,5 )
X
( b + 0,5 )
Untuk
:
X
≤
m
Untuk
:
X
≥
m
q p n σ
p n μ
npq np -) 0,5 x (
Z
npq np -) 0,5 X (
Z
npq np -) 0,5 X (
Z
14
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
C
ONTOH
S
OAL
(S
IGN
T
EST
) :
1. Data berikut menunjukkan lamanya waktu konsumen di salon yang menunggu untuk dilayani sbb :
Ujilah pernyataan pemilik salon bahwa rata-rata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, jika besarnya selisih data tidak diperhatikan dengan taraf keberartian 0,025.
15
12 10 16 9 12 18
14 12 14 13 11 13
11 9 15 11 13 14
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
J
AWAB
NO
1
Struktur Hipotesis :
H0 : m = 12
H1 : m≤ 12
Taraf nyata : a = 0,025
Statistik Uji:Uji Tanda 1 Sampel ( Sign Test )
n = 15 p = ½
X = 9 ( hitung tanda + ) 16
12 10 16 9 12 18
x - + - x +
14 12 14 13 11 13
+ x + + - +
11 9 15 11 13 14
- - + - + +
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Wilayah Kritis :
X1 a B ( x ; n ; p ) < 0,025 B ( x ; 15 ; 0,5 ) < 0,025 B ( 3 ; 15 ; 0,5 ) < 0,025 0,0176 < 0,025 X1 = 3
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan :
pernyataan pemilik salon benar bahwa rata-rata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, pada taraf nyata 0,025.
17 3
X = 9
LT Sarvia/2012
C
ONTOH
S
OAL
(S
IGN
T
EST
) :
2. Data berikut ini adalah berapa lama, dalam jam, sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa mesin ini bekerja dengan median 1,8 jam sebelum baterainya perlu diisi kembali, dgn tdk memperhatikan besarnya data.
18
1.5 2.2 0.9 1.3 2.0 1.6
1.8 1.5 2.0 1.2 1.7
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
Struktur Hipotesis :
H0 : m = 1,8
H1 : m≠ 1,8
Taraf nyata :
a
= 0,05
a
/2 = 0,025
Statistik Uji:Uji Tanda 1 Sampel (
Sign Test
)
Tanda:1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7
+ + +
n = 10
p = ½
X = 3 ( tanda + )
19
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Wilayah Kritis :
X1 a / 2 B ( x ; n ; p ) ≤ 0,025
B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
B ( 1 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
0,0107 ≤ 0,025
A = 1
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - B ( 8 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - 0,9893 ≤ 0,025
0,0107 ≤ 0,025
B = 9
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan : bahwa median waktu bekerja alat pencukur tidak berbeda secara signifikan dari 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali, pada taraf nyata 0,05. B = 9
X = 3
A = 1
20 LT Sarvia/2012
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025 1 - B ( 9 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 – 0.999 ≤ 0,025
0,001 ≤ 0,025 B = 10
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025 1 - B ( 7 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - 0,9453 ≤ 0,025
0,0547≤ 0,025(Salah) B = 8
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - B ( 8 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - 0,9893 ≤ 0,025
0,0107 ≤ 0,025 B = 9
21 LT Sarvia/2012
1.2 U
JIT
ANDA2 S
AMPEL( T
WOS
AMPLES
IGNT
EST) :
1.2.1. PROSEDURPERHITUNGAN UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUKUJI 1 ARAH :
Digunakan untuk menguji 2 data sampel berpasangan atau 2 data sampel independent yang dapat dipasang-pasangkan satu dengan lainnya.
Struktur Hipotesis
:
a. H0 : m1 m2 = 0 atau : m1 m2 atau : mD = 0 H1 : m1 m2 < 0 atau : m1 < m2 atau : mD < 0
b. H0: m1 m2= 0 atau : m1 m2 atau : mD = 0 H1: m1 m2 > 0 atau : m1 > m2 atau : mD > 0
22
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan
-Jika data sampel 1 < sampel 2 tanda ‘ –‘
Jika data sampel 1 > sampel 2 tanda ‘ + ‘ Jika data sampel 1 = sampel 2 ke-2 data dibuang
Penentuan Tanda :
Tentukan nilai
a
wilayah kritis
Xa ( Binomial ; dengan p = ½ )
Hitung jumlah tanda +, dilambangkan sebagai nilai
X1.2 U
JIT
ANDA2 S
AMPEL( T
WOS
AMPLES
IGNT
EST) :
1.2.1. PROSEDURPERHITUNGAN UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUKUJI 1 ARAH :
23
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Bandingkan nilai
X
dengan
X
a:
a. Jika : X > Xa Terima H0
X ≤ Xa Tolak H0
Xa
X X
b. Jika : X <Xa Terima H0
X ≥ Xa Tolak H0
Xa
X X
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
24LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
Struktur Hipotesis :
H0 : m1 m2= 0 atau : m1 m2 atau : mD = 0 H1 : m1 m2 ≠ 0 atau : m1 m2 atau : mD≠ 0
Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan
-Jika data sampel 1 < sampel 2 tanda ‘ –‘
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
X2 a / 2
3. Dua tempat kursus dance akan dibandingkan hasilnya. Berikut ini adalah data hasil pencatatan dari kedua tempat kursus yang menyatakan bahwa lamanya latihan para dancer (dalam jam) sebelum acara hari H dilaksanakan :
Dapatkah disimpulkan pada taraf keberartian 0,05 bahwa klub B lebih singkat latihannya daripada klub A? Apabila besarnya selisih
data tidak diperhatikan. 27
Data Ke Klub A Klub B Data Ke Klub A Klub B
Struktur Hipotesis :
H0 : mA mB= 0
Dengan menggunakan hampiran Normal terhadap sebaran
Binomial : bahwa klub B lebih singkat latihannya daripada klub A pada taraf nyata 0,05. Wilayah Kritis :
1. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah sama dgn 80
H0 : m = 80 H1 : m 80
2. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah tidak lebih dari 80
H0 : m = 80 H1 : m≤ 80
3. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 PALING BESAR ADALAH 80
4. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah MINIMAL 80 H1
H0 : m = 80 H1 : m≥ 80
5. disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah PALING TIDAK LEBIH KECIL DARI 80 H1 H0 : m = 80
H1 : m < 80
31
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
2. UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON
( WILCOXON SIGN RANK TEST )
Digunakan untuk menguji nilai tengah populasi (1 sampel atau 2 sampel), dgn memperhatikan besaran data maupun arah perbedaannya.
Merupakan perbaikan dari Uji Tanda, karena memanfaatkan besaran data dan arah perbedaan.
Digunakan untuk menguji hipotesis rata-rata 1 populasi
dan 2 populasi berpasangan.
Ekivalen dengan Uji T berpasangan dalam Statistik Uji Parametrik.
32
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Struktur Hipotesis :
a.
H
0:
m m
0b.
H
0:
m m
0c.
H
0:
m m
0H
1:
m < m
0H
1:
m > m
0H
1:
m
≠
m
0
2.1. WILCOXON SIGN RANK TEST 1 Sampel ( One Sample Signed Rank Test ) :
Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel :
•
Tentukan nilai
α
wilayah kritis dalam tabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon•
Hitung nilai di
di = Xi –m0 ; jika : Xi = m0 data tersebut dibuang•
Nilai di dimutlakkan
di•
Buat ranking
di
dari terkecil s/d terbesar,
jika ada yg sama dibuat
rangking rata-rata
•
Buat tanda : ‘ + ’ untuk di +
dan
‘ –
‘ untuk di –
33LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
•
Hitung :
Dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pd Struktur Hipotesis dan Statistik uji :
Wilayah Kritis
:
W* WaTabel Uji Peringkat Bertanda WilcoxonDimana : W* merupakan nilai Statistik Uji W yang digunakan ( W+, W- atau W )
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
2.1. WILCOXON SIGN RANK TEST 1 Sampel ( One Sample Signed Rank Test ) :
Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel (2) :
H0 H1 Statistik Uji
m = m0
m < m0 W +
m > m0 W
-m≠ m0 W = min ( W + ; W - )
34 W+ jumlah rangking di +
W - jumlah rangking di –
W = min ( W + ; W - )
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
CONTOH SOAL (WILCOXON SIGN RANK TEST ) :
4. Data berikut menunjukkan lamanya waktu konsumen di salon yang menunggu untuk dilayani sbb :
Ujilah pernyataan pemilik salon bahwa rata-rata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, jika
besarnya selisih data diperhatikan dengan taraf keberartian 0,025.
35
12 10 16 9 12 18
14 12 14 13 11 13
11 9 15 11 13 14
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
J
AWAB
NO
4
Struktur Hipotesis :
H0 : m = 12
H1 : m≤ 12
Taraf nyata : a = 0,025
Statistik Uji: Uji peringkat bertanda wilcoxon ( wilcoxon sign rank test )
n = 15
36
xi 12 10 16 9 12 18 14 12 14 13 11 13 11 9 15 11 13 14
di -2 4 -3 6 2 2 1 -1 1 -1 -1 3 -1 1 2
ІdiІ 2 4 3 6 2 2 1 1 1 1 1 3 1 1 2
Rank
9,5 14 12,5 15 9,5 9,5 4 4 4 4 4 12,5 4 4 9,5
Tanda
- + - + + + + - + - - + - + +
4 7 28 7
7 6 5 4 3 2
1
x 5 , 9 4 38 4
11 10 9 8 x
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
Karena H1 : m < 12 maka Statistik Uji : W yang dihitung
W + = 14+15+9,5+9,5+4+4+12,5+4+9,5 = 82
37 Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
a = 0,025
n = 15 Wa = 25
Wa 25
82
Karena : W > Wa ( 82 > 25 )
• Keputusan : Terima H0
• Kesimpulan : pernyataan pemilik salon benar bahwa rata-rata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, pada taraf nyata 0,025.
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
CONTOH SOAL (WILCOXON SIGN RANK TEST ) :
5. Data berikut ini adalah berapa lama, dalam jam, sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa mesin ini bekerja dengan median 1,8 jam sebelum baterainya perlu diisi kembali, dengan memperhatikan besarnya data.
38
1.5 2.2 0.9 1.3 2.0 1.6
1.8 1.5 2.0 1.2 1.7
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
J
AWAB
NO
5 :
Struktur Hipotesis :
H0 : m = 1,8
H1 : m≠ 1,8
Taraf nyata :
a
= 0,05
a
/2 = 0,025
( 2 arah )
Statistik Uji:
Wilcoxon Sign Rank Test
1 Sampel
39
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Wilcoxon Sign Rank Test
1 Sampel :
Xi : 1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7
di : - 0,3 + 0,4 - 0,9 - 0,5 + 0,2 - 0,2 0 - 0,3 + 0,2 - 0,6 - 0,1
di
mutlak : 0,3 0,4 0,9 0,5 0,2 0,2 0 0,3 0,2 0,6 0,1
Rank : 5,5 7 10 8 3 3 5,5 3 9 1
Tanda : - + - - + - - + -
-Karena H1 : m≠ 1,8 maka Statistik Uji : W yang dihitung
W + = 7 + 3 + 3 = 13
W - = 5,5 + 10 + 8 + 3 + 5,5 + 9 + 1 = 42
W = min ( W + ; W - ) = ( 13 ; 42 ) = 13
40
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
a = 0,05 ( 2 arah ) n = 10
Wa = 8
Wa 8
13
Karena : W > Wa ( 13 > 8 ) •Keputusan : Terima H0
•Kesimpulan : bahwa alat pencukur ini secara rata-rata dapat dikerjakan 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali, pada taraf nyata 0,05.
41
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Catatan :
Jika
n > 15
, maka digunakan pendekatan
distribusi
Normal
:
4 ) 1 n ( n
μW*
W* W* σ
μ
* W Z
24 ) 1 2n ( ) 1 n ( n σW*
42
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2.2. WILCOXON SIGN RANK TEST 2 Sampel ( Two Sample Signed Rank Test ) :
Digunakan untuk
menguji rata-rata 2 data
sampel berpasangan
( n
1= n
2)
.
43
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Struktur Hipotesis :
a.
H0 : m1 m2 = d0 H1 : m1 m2< d0 b. H0 : m1 m2= d0 H1 : m1 m2> d0 c. H0 : m1 m2 = d0 H1 : m1 m2 ≠ d0
Tentukan nilai
a
wilayah kritis dalam tabel Uji
Peringkat Bertanda Wilcoxon
Hitung nilai di
di
= X
1–
X
2; jika : X
1= X
2
data tersebut dibuang (
di
= 0 )
Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel :
2.2. WILCOXON SIGN RANK TEST 2 Sampel ( Two Sample Signed Rank Test ) :
44
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Selisihkan nilai di dengan d0
, dimana :
d
0=
m
1–
m
2
Nilai di
–
d0 dimutlakkan
di
–
d
0
Buat ranking
di
–
d
0
dari terkecil s/d terbesar, jika
ada yg sama dibuat rangking rata-rata
Buat tanda : ‘ + ’ untuk di –
d0 + ; ‘ –
‘ untuk di –
d0
–
45
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Hitung :
W
+
jumlah rangking
di
–
d
0+
W -
jumlah rangking
di
–
d
0–
W
=
min ( W + ; W - )
Dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pd tabel Struktur Hipotesis dan Statistik uji :
H0 H1 Statistik Uji
m1 - m2 = d0
m1 - m2 < d0 W + m1 - m2 > d0 W -m1 - m2≠ d0 W = min ( W + ; W - )
• Wilayah Kritis : W* WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon Dimana : W* merupakan nilai Statistik Uji W yang digunakan ( W+, W - atau W )
• Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
46
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Contoh Soal (Wilcoxon Sign Rank Test
2 Sampel) :
6. Texas Fried Chicken telah mengembangkan sebuah resep baru untuk adonan tepung ayamnya dan dept pemasaran hanya ingin melihat apakah resep baru tersebut lebih enak daripada resep sebelumnya. Sepuluh konsumen dipilih secara acak guna menguji rasa. Setiap konsumen mencicipi dulu sepotong daging ayam yang disajikan dengan resep lama dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai 10 (1=buruk, 10=sangat baik). Kemudian konsumen tersebut mencicipi sepotong daging ayam yang digoreng dengan resep baru dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai 10. Manajemen perusahaan tersebut ingin mengambil keputusan mengenai adonan resep baru yang tidak hanya didasarkan pada berapa banyak orang menganggap bahwa resep baru tersebut memperbaiki rasa tetapi juga pada besarnya perbaikan rasa dari resep baru. Ujilah hipotesis bahwa jumlah konsumen yang menilai resep baru sama dengan dari resep lama. Berikut ini adalah data survei : (taraf nyata 0,05)
47 Konsumen Resep Lama Resep Baru
Felix 3 9
David 5 5
Devi 3 6
Shella 1 3
Rika 5 10
Ridani 8 4
Kristian 2 2
Susi 8 5
Novi 4 6
Anton 6 7
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
J
AWAB
:
Struktur Hipotesis : H0 : mlama mbaru= 0
H1 : mlama mbaru ≠ 0
Taraf nyata :a = 0,05 ( 2 arah )
Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel
48 Konsumen Resep
Lama Resep
Baru
di di-d0 Іdi-doІ Rank Tanda W+ W-
Felix 3 9 -6 -6 6 8 - 8
David 5 5
Devi 3 6 -3 -3 3 4,5 - 4,5
Shella 1 3 -2 -2 2 2,5 - 2,5
Rika 5 10 -5 -5 5 7 - 7
Ridani 8 4 4 4 4 6 + 6
Kristian 2 2
Susi 8 5 3 3 3 4,5 + 4,5
Novi 4 6 -2 -2 2 2,5 - 2,5
Anton 6 7 -1 -1 1 1 - 1
36 10,5 25,5
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
49 Karena H1 : mlama mbaru ≠0, maka Statistik Uji : W = min ( W + ; W - )
W = min ( W + ; W - ) = min (25,5 ; 10,5) = 10,5
Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
a = 0,05 ( 2 arah )
n = 8 Wa = 4
Karena : W > Wa ( 10,5 > 4) •Keputusan : Terima H0
•Kesimpulan : adonan resep baru sama baiknya dengan adonan resep yang lama pada taraf nyata 0,05
Wa 4
10,5
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
C
ONTOH
S
OAL
:
7. Ada yang mengatakan bahwa mahasiswa senior dapat
meningkatkan skor TOEFL sekurang-kurangnya 50 angka bila ia sebelumnya diberikan contoh-contoh soalnya lebih dulu. Untuk menguji pendapat itu, 20 mahasiswa senior dibagi menjadi 10 pasang sedemikian shg setiap pasang mempunyai nilai mutu rata-rata yg hampir sama selama 3 tahun pertama kuliah. Soal-soal contoh dan jawabnya diberikan secara acak kepada salah seorang dari setiap pasang seminggu sebelum ujian. Ternyata skor TOEFL mereka adalah sbb :
Pasangan
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dengan Contoh Soal 531 621 663 579 451 660 591 719 543 575 Tanpa Contoh Soal 509 540 688 502 424 683 568 748 530 524
Ujilah hipotesis nol pada taraf nyata 0,05 bahwa pemberian contoh soal
dapat meningkatkan skor sebesar 50 angka. 50
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
J
AWAB
:
Struktur Hipotesis : H0 : m1 m2= 50 H1 : m1 m2< 50
Taraf nyata :a = 0,05( 1 arah )
Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel
51
di d0 di – d0 Rank Tanda W+ 22
50
-28 5 -
81 31 6 + 6
-25 -75 9 -
77 27 3,5 + 3,5
27 -23 2 -
-23 -73 8 -
23 -27 3,5 -
-29 -79 10 -
13 -37 7 -
51 1 1 + 1
10,5
Karena H1 : m1 m2< 50 maka Statistik Uji : W + yang dihitung W + = 10,5
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon a = 0,05 ( 1 arah )
n = 10 Wa = 11
Karena : W ≤ Wa ( 10,5 ≤11) • Keputusan : Tolak H0
• Kesimpulan :bahwa pemberian contoh soal sebelum ujian tidak dapat meningkatkan skor sebesar 50 angka, pada taraf nyata 0,05.
Wa 11 10,5
52
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
3. UJI JUMLAH PERINGKAT WILCOXON
(WILCOXON RANK SUM TEST )
Disebut juga sebagai Mann – Whitney U Test
Digunakan untuk menguji nilai tengah 2 populasi, dgn memperhatikan besaran data maupun arah perbedaannya.
Digunakan untuk menguji hipotesis rata-rata 2 POPULASI
INDEPENDENT. Jumlah sampel 1 ≤ sampel 2
Ekivalen dengan Uji T 2 Populasi ( s12 = s22 ) dalam Statistik Uji Parametrik.
53
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Prosedur perhitungan
Wilcoxon
Rank Sum Test
:
Penentuan nomor urutan sampel, dimana :
n 1
n 2
Struktur Hipotesis
:
a. H0
:
m
1 =
m
2
H1 : m1 < m2
b. H0
:
m
1 =
m
2
H1
:
m
1 >
m
2
c. H0
:
m
1 =
m
2
H1
:
m
1 ≠
m
2
54
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
Tentukan nilai
a
wilayah kritis dalam tabel Uji
Jumlah Peringkat Wilcoxon
Gabungkan kedua data sampel dan diurutkan dari terkecil sampai
terbesar
Beri ranking untuk tiap data dari terkecil s/d terbesar, jika terdapat
2 atau lebih data yang sama maka diberikan ranking rata-rata
Hitung W1 dan W2, dimana
:
Cari nilai U – nya dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pada tabel Struktur Hipotesis dan Statistik uji :
H0 H1 Statistik Uji nilai Statistik Uji U yang digunakan ( U1 ;
U2 ; atau U )
Keputusan dan
Kesimpulan Hipotesis
Catatan :
Jika : n1 10 dan n2 > 20 , maka digunakan pendekatan Normal,
8. IPK untuk Angkatan 2008 untuk kedua kelas ditunjukkan sebagai berikut :
Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa rata-rata IPK
kedua kelas itu tidak sama. 58
Kelas A Kelas B
2,1 4
1. Struktur Hipotesis :
H0 : mA = mB H1 : mA≠ mB
2. Taraf nyata a = 0,05 ( 2 arah )
3. Statistik Uji : Wilcoxon Rank Sum Test
59
6. Kesimpulan :bahwa rata-rata IPK untuk kelas A dan Kelas B adalah sama, pada taraf nyata 0,05.
S
OAL
1. Seorang pemeriksa makanan memeriksa 16 botol merek
x tertentu untuk menentukan persen bahan tambahan. Tercatat data berikut (dalam %):
Dengan menggunakan hampiran normal terhadap distribusi normal, lakukan uji bahwa pada taraf keberartian 0,05 rata-rata persen bahan tambahan dalam botol merek x adalah 2,5 %, jika besarnya selisih data tidak diperhatikan.
61 2,4 2,3 3,1 2,2 1,7 1,1 4,2 1,9
2,3 1,2 1,0 2,4 1,7 3,6 1,6 2,3
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
S
OAL
2. Soal teori no 6, Texas Fried Chicken, Jika pada tahap
pengembangan produk baru ini, pihak pemasaran tersebut tidak tertarik pada tingkat rasa atau kenikmatan. Informasi apa yang akan kita peroleh dari data penelitian pasar tersebut?
62
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
C
ONTOH
S
OAL
:
3. Texas Fried Chicken telah mengembangkan sebuah resep baru untuk adonan tepung ayamnya dan dept pemasaran hanya ingin melihat apakah resep baru tersebut lebih enak daripada resep sebelumnya. Sepuluh konsumen dipilih secara acak guna menguji rasa. Setiap konsumen mencicipi dulu sepotong daging ayam yang disajikan dengan resep lama dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai 10 (1=buruk, 10=sangat baik). Kemudian konsumen tersebut mencicipi sepotong daging ayam yang digoreng dengan resep baru dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai 10. Manajemen perusahaan tersebut ingin mengambil keputusan mengenai adonan resep baru yang tidak hanya didasarkan pada berapa banyak orang menganggap bahwa resep baru tersebut memperbaiki rasa tetapi juga pada besarnya perbaikan rasa dari resep baru. Ujilah hipotesis bahwa jumlah konsumen yang menilai resep baru lebih baik dari resep lama. Berikut ini adalah data survei : (taraf nyata 0,05)
63 Konsumen Resep Lama Resep Baru
Felix 3 9
David 5 5
Devi 3 6
Shella 1 3
Rika 5 10
Ridani 8 4
Kristian 2 2
Susi 8 5
Novi 4 6
Anton 6 7
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
64
Thank You
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
S
OAL
-
SOAL
R
ESPONSI
4. Dikemukan bahwa diet baru akan menurunkan berat badan orang 4,5 kg pada rata-ratanya dalam 2 minggu. Berat 10 wanita yang menggunakan diet tersebut dicatat sebelum dan setelah 2 minggu dan menghasilkan data sbb:
Ujilah hipotesis bahwa diet ini menurunkan berat badan rata-rata sebanyak 4,5 kg apabila besarnya data tidak diperhatikan jika α =0,05.
65 Wanita Berat sebelum Berat Setelah
1 58,5 60,0
2 60,3 54,9
3 61,2 58,1
4 69 62,1
5 64 58,5
6 62,6 59,9
7 56,7 54,4
8 63,6 60,2
9 68,2 62,3
10 59,4 58,7
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
S
OAL
-
SOAL
R
ESPONSI
5. Idem soal 3 jika besarnya data diperhatikan.
6. Direktur pemasaran National Shampoo Company ingin mengetahui apakah dengan memekatkan warna shampo hijaunya, para pelanggan akan merasa lebih efektif. Pada saat ini, direktur tersebut hanya ingin me nentukan cocok tidaknya ide itu dikembangkan lebih jauh dan ingin mengetahui tingkat perbaikan dalam persepsi terhadap keefektifan produk. Data telah dikumpulkan dari 7 orang; semuanya telah memberikan penilaian terhadap shampo berwarna hijau muda dan shampo yang sekarang diberi warna hijau tua. Skala 1 sampai 10 digunakan dimana angka 1 berarti “sangat tidak efektif dan 10 berarti “paling efektif”. Data tesebut dipelihatkan dibawah ini :
Ujilah Hipotesis dengan taraf nyata 0,05. 66 Konsumen Penilaian atas
keefektifan shampo Hijau
Muda
Penilaian atas keefektifan shampo Hijau Tua
Winda 4 2
Dessy 6 6
Evelyn 7 4
Ivan 5 6
Benny 9 8
Erliana 1 3
Ridani 3 8
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
6. Berikut ini disajikan data mengenai hasil pengujian kekuatan kabel yang terbuat dari 2 logam yang berbeda :
Ujilah apakah terdapat perbedaan rata-rata ke-2 jenis logam tsb. pada taraf nyata 5 %.
Logam I 18,3 16,4 22,7 17,8 18,9 25,3 16,1 24,2
Logam II 12,6 14,1 20,5 10,7 15,9 19,6 12,9 15,2 11,8 14,7
67
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
STATISTIKA
NONPARAMETRIK (2)
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri
Universitas Kristen Maranatha Bandung
4. UJI KRUSKALL WALLIS
Disebut juga sebagai Uji H Kruskall Wallis
Merupakan perkembangan dari Wilcoxon Rank
Sum Test, dimana dalam uji ini jumlah sampel yang diuji lebih dari 2.
Untuk menguji apakah k sampel independen (
dimana : k > 2 ) memiliki rata-rata yang sama.
Ekivalen dengan Uji F ( Analisis Ragam ).
69
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Prosedur perhitungan Uji Kruskall Wallis :
1. Struktur Hipotesis :
H0: m1 = m2 = m3 = ... = mk
H1: m1 , m2 , m3 , ... , mk tidak semuanya sama
2.
Tentukan nilai
a
wilayah kritis dalam Tabel
Chi
–
Square :
2
( a,v )3.
Berikan
ranking
pada data dari masing-masing
populasi secara keseluruhan. Jika terdapat 2
atau lebih data yang sama maka diberikan
ranking rata-rata
4.
Jumlahkan ranking
dari masing-masing
populasi
r
i70
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
5.
Hitung Statistik Uji-nya
:
hitung nilai
h
Dimana :
6.
Wilayah Kritis
:
h >
2 (
a
,v )
dengan
derajat kebebasan, v = k
–
1
Dimana :
k : jumlah populasi yang diamati7.
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
) 1 n ( 3 -n r ) 1 n ( n
12 h
k
1 i i
2
i
2 ( a,v )
71
Prosedur perhitungan Uji Kruskall Wallis :
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
Contoh Soal :
9. Suatu Perusahaan ingin membeli satu dari lima mesin yang berbeda: A, B,C, D, atau E. Dalam suatu
perancangan percobaan untuk
menentukan apakah terdapat
perbedaan penampilan antara mesin-mesin tersebut, lima operator yang berpengalaman dipekerjakan pada setiap mesin dalam jumlah waktu yang sama. Tabel disamping ini
menunjukkan jumlah unit yang
diproduksi setiap mesin. Ujilah hipotesis bahwa tidak terdapat
perbedaan antara mesin-mesin
tersebut pada taraf nyata a = 0,05
72 MESIN
A B C D E
68 72 60 48 64
72 53 82 61 65
77 63 64 57 70
42 53 75 64 68
53 48 72 50 53
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
Jawab no 9 :
1.
Struktur Hipotesis :
H
0:
m
A=
m
B=
m
C=
m
D=
m
Eterdapat 5 buah sampel mesin maka k = 5
Karena setiap sampel tdd 5 buah data, maka n A= n B= n C =n D=n E= 5
e. Keputusan : Terima H0
f. Kesimpulan :
kita bisa menerima bahwa tidak terdapat perbedaan antara mesin-mesing tersebut pada taraf nyata 0,05
apakah 2 populasi
memiliki
1. Struktur Hipotesis :
H0: data pengamatan bersifat random / acak H1: data pengamatan tidak bersifat random / acak
2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji Runtunan ( diuji 2 arah )
3. Data yang akan diolah data sudah dikonversikan dalam bentuk ‘run’ :
untuk 1 populasi : hitung banyaknya ‘run’( r ) lalu bandingkan dengan ‘run’ dari tabel Uji Runtunan ( Runs Test ).
untuk 2 populasi : masing-masing dicari ‘run’ nya. Hitung nilai : n 1 dan n 2 dimana : n 1 n 2
4. Tentukan wilayah kritisnya gunakan Tabel Uji Runtunan, dengan a diuji 2 arah
Wilayah Kritis : r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2
5. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
PROSEDURPERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ):
1. Struktur Hipotesis :
H0: data pengamatan bersifat random / acak
Cari nilai median dari data nilai rata-rata tersebut bila data hanya 1 populasi
Untuk data 2 populasi, masing-masing dicari nilai
median nya.
Konversikan data dalam bentuk ‘run’ , dengan cara bandingkan data pengamatan dengan nilai median nya : Jika :
4. Tentukan wilayah kritisnya gunakan Tabel Uji Runtunan, dengan a diuji 2 arah
Wilayah Kritis : r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2
5. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
80
10.
Sebuah mesin diatur untuk membagi penipis
cat akrilik ke dalam kaleng. Apakah banyaknya
penipis cat yang dibagi oleh mesin ini berubah
secara acak bila kelima belas kaleng ternyata
berisi
Gunakan
a
= 0,1
3,6 3,9 4,1 3,6 3,8 3,7 3,4 4,0 3,8 4,1 3,9 4,0 3,8 4,2 4,1 ( ltr )
Jawab : 1. Struktur Hipotesis :
H0 : data pengamatan bersifat random / acak H1 : data pengamatan tidak bersifat random / acak
2. Taraf nyata : a = 0,1 ( uji 2 arah ) 82
C
ONTOH
S
OAL
:
11.
Pada pelemparan keping uang sebanyak 30
kali, didapatkan barisan angka (H) dan gambar
(T) dalam urutan sbb :
a. Tentukan jumlah runtun
b. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah barisan
ini terbentuk secara acak.
1. Struktur Hipotesis :
H
0: data pengamatan bersifat random / acak
H
1: data pengamatan tidak bersifat random / acak
2. Taraf nyata
:
a
= 0,05 ( uji 2 arah )
pendekatan
Normal
, sehingga :
87
4. Wilayah Kritis:
a = 0,05 ( uji 2 arah 0,025 )
5. Keputusan : Tolak H0
Kesimpulan : bahwa pelemparan tersebut tidak dilakukan secara acak pada taraf nyata 0,05.
88
C
ARA
LAIN
MENCARI
BATAS
WILAYAH
KRITIS
4. Wilayah Kritis: baca
Tabel r distribution for the
run test of randomness for
a
=0,05
Leland
Blank hal 636 (Lampiran B-8)
n 1 = 6 ( tanda ‘+‘ )
n 2 = 7 ( tanda ‘–‘ )
91
r a 1 = 3
r a 2 = 12
r a 2 = 12 r = 8
r a 1 = 3
Only
a
=0,05
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf nyata 0,05.
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
92 Tabel r distribution for the run test of randomness for α=0,05 Leland Blank hal 636 (Lampiran B-8)
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
S
OAL
RESPONSI
9. Instruktur Reza dan Shella, keduanya mengajar pada tingkat I di Universitas NST. Dalam suatu ujian akhir, mahasiswa mereka memperoleh nilai sebagaimana yang terdapat pada tabel dibawah ini. Ujilah pada taraf nyata 0,05 suatu hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan antara penilaian kedua instruktur tersebut.
93 Reza 88 75 92 71 63 84 55 64 82 96
Shella 72 65 84 53 76 80 51 60 57 85 94 87 73 61
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
S
OAL
RESPONSI
10. 15 orang mengikuti program penurunan berat badan dalam 3 macam Diet (Diet Daging, Diet Karbohidrat, n Diet Garam). Data yang diperoleh secara acak dibawah ini adalah penurunan berat badan (dalam kg) sbb :
Ujilah hipotesis bahwa tidak ada perbedaan diantara 3 macam
diet tersebut pada α =0,05 94
Diet Daging Diet
Karbohidrat
Diet Garam
6,2 14,4 12,5
8,4 15,7 12,1
7,8 13,2 12,7
9,5 18,6 16,9
10 10,3 11,8
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
S
OAL
RESPONSI
11. Suatu proses pelapisan perak digunakan untuk melapisi sejenis baki. Bila proses itu terkendali, maka tebal lapisan perak pada baki akan berubah secara acak mengikuti distribusi normal dengan rataan 0,02 mm dan simpangan baku 0,005 mm. Misalkan ke-12 baki yang kemudian diperiksa menunjukkan tebal perak sbb :
Ujilah hipotesis untuk menentukan apakah perubahan ketebalan dari satu baki ke baki lainny adalah acak dengan menggunakan taraf nyata 0,05)
95
0,019 0,021 0,02 0,019 0,02 0,018 0,023 0,021 0,024 0,022 0,023 0,022
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
S
OAL
RESPONSI
13. Dapatkah kita berkesimpulan bahwa mahasiswa dengan instruktur Reza memiliki nilai yang lebih baik dari mahasiswa intruktur Shella?
96
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
S
OAL
RESPONSI
14. Suatu perusahaan ingin melakukan pengujian terhadap empat jenis ban yang berbeda A,B,C,dan D. Ketahanan ban tersebut ditentukan dengan melihat jejak yg ditinggalkannya. Tabel dibawah ini memperlihatkan hasil pengujian setiap jenis ban thd 6 buah kendaraan yg ditentukan secara acak. Apakah terdapat beda nyata antara ke-4 jenis ban tersebut pada a = 0,05 !
97 A 33 38 36 40 31 35
B 32 40 42 38 30 34
C 31 37 35 33 34 30
D 27 33 32 29 31 28
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
98
Thank You
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
2
B
AHANUTSSTATISTIKA INDUSTRI
99
LT
Sa
rv
ia
/2
0
1
