Fungsi Produksi dengan Dua Input

Fungsi Produksi dengan Dua Input

• Sebagian besar proses produksi menggunakan dua input atau lebih untuk menghasilkan

barang/jasa. Misalnya, untuk memproduksi output q digunakan input x₁ dan x₂.

q = f (x₁, x₂)

Perubahan output q merupakan fungsi dari input variabel x₁ dan x₂.

Tabel Produksi dengan Dua Input

𝑥𝑥₂ 8 7 6 5 4 3 2 1

Produksi 9

13 16 15 13 10 6 3

46 46 42 37 30 24 12 6

69 69 66 60 54 39 17 8

92 91 88 80 72 52 21 9

109 108 106 100 85 61 24 10

124 123 120 113 93 66 26 10

136 134 128 120 95 66 25,5

9

144 140 132 121 95 64 24,5

7

x₁ 1 2 3 4 5 6 7 7

Grafik Steriometrik Fungsi Produksi

dengan Dua Input

Isoquant

• Fungsi produksi pada gambar dalam dimensi tiga merupakan bidang melengkung 𝑞𝑞₀ dapat dihasilkan sepanjang garis pada bidang fungsi produksi setinggi 𝑞𝑞₀ yang merupakan garis

trans. Garis trans ini diproyeksikan kebidang dasar, disebut isoquant.

• Isoquant adalah kurva yang menggambarkan semua kemungkinan kombinasi input untuk menghasilkan output tertentu.

Isoquant

Penggantian Input (Input Substitution)

• Suatu kondisi dimana salah satu input harus digantikan oleh input lain untuk

mempertahankan tingkat output disebut

Marginal Rate of Technical Substitution (Daya Substitusi atau Daya Pengganti Teknis

Marginal/MRTS).

Tabel Marginal Rate of Technical Substitution

Isoquant I Isoquant II Isoquant III 𝑥𝑥₁ 𝑥𝑥₂ MRTS 𝑥𝑥₁ 𝑥𝑥₂ MRTS 𝑥𝑥₁ 𝑥𝑥₂ MRTS

2 1 2 3 4 5 6 7

11 8 5 3 2,3 1,8 1,6 1,8

-3

3 2 0,7 0,5 0,2 -0,2

4 3 4 5 6 7 8 9

13 10 7 5 4,2 3,5 3,2 3,5

-3

3 2 0,8 0,7 0,3 -0,3

6 5 6 7 8 9 10 11

15 12 9 7 6,2 5,5 5,3 5,5

-3

3 2 0,8 0,7 0,2 -0,2

• 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = − ^∆𝑥𝑥_∆𝑥𝑥²

1 = − ^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑥𝑥}²

1

• 𝑞𝑞 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂

• 𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝑓𝑓₁𝑑𝑑𝑥𝑥₁ + 𝑓𝑓₂𝑑𝑑𝑥𝑥₂

• Pada suatu isoquant dq = 0 0 = 𝑓𝑓₁𝑑𝑑𝑥𝑥₁ + 𝑓𝑓₂𝑑𝑑𝑥𝑥₂ − ^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑥𝑥}²

1 = ^𝑓𝑓_𝑓𝑓¹

2 ⇒MRTS = ^{𝑀𝑀𝑀𝑀}_{𝑀𝑀𝑀𝑀}¹ MRTS sama dengan perbandingan marginal 2

product. MRTS merupakan negatif dari slope isoquant. Isoquant selalu berslope negatif dan berkurva cembung (convex) yang menunjukkan bahwa MRTS menurun.

Isocost

• Isocost menunjukkan berbagai kombinasi

input yang dapat dibeli dengan sejumlah biaya tertentu. Jika input yang digunakan x₁ dengan harga r₁ dan x₂ dengan harga r₂, maka

kombinasi input yang dapat diperoleh dengan biaya sebesar C₀ adalah:

𝐶𝐶₀ = 𝑟𝑟₁𝑥𝑥₁ + 𝑟𝑟₂𝑥𝑥₂ ⇒ 𝑥𝑥₂ = 𝐶𝐶₀

𝑟𝑟₁ − 𝑟𝑟₁

𝑟𝑟₂ 𝑥𝑥₁

kurva isocost

Keseimbangan Produsen

• Titik A merupakan titik optimum (producer equilibrium).

Persamaan garis isocostnya adalah:

𝐶𝐶₀ = 𝑟𝑟₁𝑥𝑥₁ + 𝑟𝑟₂𝑥𝑥₂ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥₂ = 𝐶𝐶₀

𝑟𝑟₁ − 𝑟𝑟₁ 𝑟𝑟₂ 𝑥𝑥₁ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = − 𝑟𝑟₁

𝑟𝑟₂

3 kemungkinan optimasi, yaitu :

1. Memaksimumkan produksi dengan kendala biaya akan dicapai keuntungan maksimum.

Mencapai isoquant terjauh yang terjangkau budget space, yaitu isoquant𝑞𝑞₁. A merupakan

titik optimum, titik singgung antara isoquant dan isocost, sehingga slope isoquant sama dengan

slope isocost (merupakan syarat pertama atau syarat yang diperlukan/ necessary condition).

−𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = − ^𝑟𝑟_𝑟𝑟¹

2 ⟹ MRTS = ^𝑟𝑟_𝑟𝑟¹

Syarat kedua atau syarat mencukupi/sufficient 2

condition adalah convexity of isoquant.

Dicari dengan calculus, secara Lagrange:

Memaksimumkan q = 𝑓𝑓(𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂) dengan kendala biaya : 𝐶𝐶₀ − 𝑟𝑟₁𝑥𝑥₁ − 𝑟𝑟₂𝑥𝑥₂ = 0

𝐿𝐿 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂ + 𝜆𝜆(𝐶𝐶₀ − 𝑟𝑟₁𝑥𝑥₁ − 𝑟𝑟₂𝑥𝑥₂) 2. Meminimumkan biaya dengan kendala

produksi

Pada produksi 𝑞𝑞₀ dicari isocost yang terdekat dengan 0 yaitu titik A pada C, titik singgung, slope sama dengan MRTS = ^𝑟𝑟_𝑟𝑟¹

1

Meminimumkan C₀ = r₁x₁ + r₂x₂ dengan kendala

𝑞𝑞₀ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂ = 0: 𝑍𝑍 = 𝑟𝑟₁𝑥𝑥₁ + 𝑟𝑟₂𝑥𝑥₂ + 𝜇𝜇{𝑞𝑞₀ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂ }

3. Tanpa Kendala

Optimasi produksi tanpa kendali berarti memaksimumkan keuntungan dengan persamaan berikut:

𝜋𝜋 = 𝑀𝑀 − 𝐶𝐶

𝜋𝜋 = 𝑃𝑃_𝑞𝑞 − 𝑟𝑟₁𝑥𝑥₁ − 𝑟𝑟₂𝑥𝑥₂

𝜋𝜋 = 𝑃𝑃𝑓𝑓 𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂ − 𝑟𝑟₁𝑥𝑥₁ − 𝑟𝑟₂𝑥𝑥₂ 𝜋𝜋_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥}: _{𝜕𝜕𝑥𝑥}^{𝜕𝜕𝜕𝜕}

1 = 𝜋𝜋₁ = 0 _{𝜕𝜕𝑥𝑥}^{𝜕𝜕𝜕𝜕}

2 = 𝜋𝜋₂ = 0

Isocline

Isocline adalah tempat kedudukan titik-titik pada isoquant yang mempunyai slope yang sama

Isocline

Expansion path

• Expansion path merupakan isocline yang istimewa karena slopenya sama dengan

perbandingan harga input (slope budget line atau isocost).

• Expansion path adalah tempat kedudukan titik-titik optimum pada berbagai isoqunt.

Semua titik pada expansion path memenuhi syarat MRTS = ^𝑟𝑟_𝑟𝑟¹

2

expansion path

Ridge line

Ridge line (garis tembereng) juga merupakan isocline yang istimewa karena merupakan

tempat kududukan titik pada isoquant yang mempunyai slope nol atau tak terhingga

(horisontal dan vertikal).

Ridge line

Skala Produksi (Return to Scale)

• Perubahan output karena perubahan input secara proporsional disebut Return to Scale.

• Derajat homogenitas atau koefisien fungsi (k)

menunjukkan bagaimana hubungan isokuan dan total produksi, sehingga dapat diketahui sifat skala

produksinya.

• Fungsi produksi bersifat homogen derajat satu (k = 1), berarti isokuan berjarak sama (bersifat constant return to scale). k > 1 berarti isokuan merapat saat output

naik (bersifat increasing return to scale), sebaliknya, k <

1 berarti isokuan merenggang saat output naik (bersifat decreasing return to scale). Suatu fungsi

disebut bersifat homogen derajat k jika semua variabel dikalikan a, maka fungsi tersebut menjadi berlipat a^k.

y = f (x₁, x₂,…,x_n)

y = f (ax₁, ax₂,…,ax_n) = a^ky

Fungsi Biaya Produksi

Fungsi biaya adalah fungsi yang menunjukan hubungan antara biaya dan jumlah produksi.

Berdasarkan periode waktunya, terdapat biaya jangka pendek (short run) dan jangka panjang (long run).

Biaya Jangka Pendek (Shortrun Cost)

• Biaya Tetap (Fixed Cost atau FC), biaya yang besarnya tidak dipengaruhi besarnya produksi. Berapapun

tingkat output yang dihasilkan, besarnya selalu sama.

Misalnya pembelian lahan, gedung dan mesin.

• Biaya Variabel (Variable Cost atau VC), biaya yang

besarnya dipengaruhi oleh besarnya produksi. Semakin besar jumlah output, semakin besar biaya variabel

yang dikeluarkan untuk menambah penggunaan input variabel. Misalnya bibit, tenaga kerja, dan pupuk.

• Biaya Total (Total Cost atau TC), jumlah dari total biaya tetap dan variabel. Kenaikan output akan menambah biaya variabel, sehingga menambah biaya total

TC = FC + VC

• Biaya Tetap Rata-rata (Average Fixed Cost atau AFC), biaya tetap total dibagi dengan jumlah output. Karena FC total tetap, maka peningkatan output akan menurunkan biaya tetap rata-rata per unit output.

AFC = ^{𝐹𝐹𝐹𝐹}_𝑞𝑞

• Biaya Variabel Rata-rata (Average Variable Cost atau AVC), biaya variabel total dibagi dengan jumlah output. Awalnya peningkatan output akan menurunkan AVC kemudian

sampai pada titik tertentu penambahan output akan menaikkan AVC.

AVC = ^{𝑉𝑉𝐹𝐹}_𝑞𝑞

• Biaya Rata-rata (Average Cost atau AC), yaitu biaya total dibagi dengan jumlah output.

𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝑀𝑀𝐶𝐶 𝑞𝑞

• Biaya marjinal (Marginal Cost atau MC) merupakan tambahan biaya total karena

tambahan 1 unit output atau perubahan biaya perkesatuan produksi. Dalam biaya marjinal berlaku hukum The Law of Diminishing Return (Tambahan Hasil yang Makin Menurun)

𝑀𝑀𝐶𝐶 = ∆𝐶𝐶

∆𝑞𝑞 ≈

𝑑𝑑𝐶𝐶

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴𝐶𝐶_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} = 𝑀𝑀𝐶𝐶

MVC = MC ; MFC = 0 AV𝐶𝐶_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} = MVC = MC

C = C (q)

q C FC VC AC AFC AVC MC 0

1 2 3 4 5 6

60 90 100 105 115 135 180

60 60 60 60 60 60 60

0 30 40 45 55 75 120

90 50 35 28,75

27 30

60 30 20 15 12 10

30 20 15 13,75

15 20

30 10 5 10 20 45

Tabel Hubungan Biaya dan Output

Fungsi Biaya Jangka Pendek

Biaya Jangka Panjang (Longrun Cost)

• Dalam jangka panjang, produsen dimungkinkan untuk mengubah jumlah semua input yang

digunakan, sehingga semua input termasuk input variabel. Biaya jangka pendek (Short run cost) menggambarkan keadaan dengan FC

tertentu, misalnya STC (Shortrun Total Cost). Jika terjadi tambahan investasi, FC bertambah

menjadi 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶₂, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶₃ dan seterusnya.

Shortrun dan Longrun Cost

Optimum Produksi

• Optimum produksi adalah suatu kondisi dimana produsen mendapat keuntungan maksimum.

𝜋𝜋 = 𝑀𝑀 − 𝑐𝑐

𝜋𝜋 = 𝑃𝑃𝑞𝑞 − 𝐶𝐶 𝑞𝑞 𝜋𝜋_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥} = ^{𝑑𝑑𝜕𝜕}_{𝑑𝑑𝑞𝑞} = 0

𝑑𝑑²𝜋𝜋

𝑑𝑑𝑞𝑞 < 0

𝑑𝑑𝜕𝜕

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝑠𝑠 − ^{𝑑𝑑𝐹𝐹}_{𝑑𝑑𝑞𝑞} = 0 ⇒ 𝑀𝑀𝐶𝐶 = 𝑃𝑃

Optimum Produksi

• Optimum produksi pada pasar persaingan

sempurna terjadi pada saat MC = P (necessity condition) dan ^𝑑𝑑_{𝑑𝑑𝑞𝑞}^2𝜕𝜕 < 0 (sufficient condition) karena harga ditentukan oleh pasar. Pada

harga 𝑃𝑃₁ jumlah produksi 𝑞𝑞₁

• Keuntungan = (𝑃𝑃₁ − 𝐴𝐴𝐶𝐶)𝑞𝑞₁. Pada harga 𝑃𝑃_2, harga dibawah𝐴𝐴𝐶𝐶_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}, sehingga keuntungan negatif (rugi), tetapi tetap memproduksi

sebesar 𝑞𝑞₂ dalam jangka pendek karena 𝑃𝑃₂ > 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶.

Fungsi Produksi Cobb-Douglas

• Cobb Douglas adalah fungsi produksi yang dinyatakan sebagai

𝑄𝑄 = 𝐴𝐴𝐿𝐿^𝛼𝛼𝐾𝐾^𝛽𝛽 Dimana:

Q = output

L = Tenaga kerja K = Modal

A, 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 adalah parameter positif dalam setiap kasus