Model pertumbuhan Solow-Swan (the Solow-Swan growth model) atau disebut juga model neoklasik (the neo-classical model) pertama kali dikembangkan pada tahun 1950 oleh Robert Solow dan Trevor Swan, dan secara analitis merupakan model pertumbuhan pertama yang diterima sebagai model pertumbuhan jangka panjang (long-run growth model). Model ini mengasumsikan bahwa negara-negara menggunakan sumberdayanya secara efisien, dan terdapat imbal hasil yang selalu berkurang (diminishing returns) terhadap peningkatan modal dan tenaga kerja. Dari dua asumsi ini, terdapat tiga prediksi penting. Pertama, peningkatan modal per tenaga kerja menciptakan pertumbuhan ekonomi selama masyarakat dapat terus memberikan modal secara produktif. Kedua, negara-negara miskin dengan tingkat modal per kapita yang rendah akan tumbuh lebih cepat karena setiap investasi dari modal akan menghasilkan imbal hasil yang lebih tinggi dibandingkan negara-negara yang memiliki modal lebih besar. Ketiga, dikarenakan adanya diminishing returns terhadap modal, tingkat ekonomi akan mencapai suatu keadaan di mana peningkatan modal baru tidak akan
ini disebut dengan keadaan tunak (steady state).
Selama berpuluh-puluh tahun, model pertumbuhan Solow-Swan digunakan untuk memprediksi pertumbuhan ekonomi suatu negara karena model ini menunjukkan bagaimana tabungan, pertumbuhan populasi, dan kemajuan teknologi mempengaruhi tingkat output perekonomian serta pertumbuhannya sepanjang waktu.
Penggunaan model pertumbuhan Solow- Swan selama ini diberlakukan dengan asumsi tingkat pertumbuhan populasi adalah konstan sepanjang waktu. Penelitian ini dimaksudkan untuk menentukan perilaku model ini pada output perekonomian suatu negara jika asumsi yang digunakan pada tingkat pertumbuhan populasi adalah tak-konstan atau terbatas pada suatu titik sepanjang waktu.
2. Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk mempelajari pengaruh model Solow-Swan dalam suatu sistem perekonomian yang memiliki tingkat pertumbuhan populasi terbatas, berkaitan dengan pendapatan per kapita dan tingkat tenaga kerja.
II. LANDASAN TEORI
Untuk menyelesaikan model pertumbuhan Solow-Swan pada tingkat populasi terbatas diperlukan beberapa pemahaman teori seperti di bawah ini:
2.1 Fungsi Produksi dan Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Definisi 1 (Fungsi Produksi)
Fungsi produksi standar merupakan suatu fungsi yang memiliki persamaan:
( , ), Y =F K L
Dengan Y, K, dan L berturut-turut adalah output, modal, dan tenaga kerja.
(Mankiw, 2003)
Definisi 2 (Fungsi Produksi Cobb-Douglas) Suatu fungsi produksi standar yang diaplikasikan untuk menggambarkan proses produksi dengan dua input dan banyak output disebut dengan fungsi produksi Cobb-Douglas.
Fungsi ini memiliki persamaan:
(1 )
( , ) , 0 1
Y =F K L =K Lα −α ≤α ≤ , dengan F(K, L) adalah output, K adalah modal, L tenaga kerja, dan α parameter elastisitas.
(Mankiw, 2003) 2.2 Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Definisi 3 (Fungsi Naik)
Fungsi F disebut naik pada selang I jika
1 2
( ) ( )
f x < f x saat x1<x2 pada selang I.
(Stewart, 2001)
Definisi 4 (Fungsi Turun)
Fungsi F disebut turun pada selang I jika
1 2
( ) ( )
f x > f x saat x1<x2 pada selang I.
( Stewart, 2001)
2.3 Teorema Perbandingan Definisi 5 (Kondisi Lipschitz)
Suatu fungsi F x y memenuhi suatu kondisi ( , ) Lipschitz pada domain D jika ada suatu konstanta taknegatif L sehingga kondisi y2 > y1 akan menyebabkan
2 1 2 1
( , ) ( , ) ( )
F x y −F x y ≤L y −y . (Birkhoff & Rota, 1978) Lema 1
Misalkan σ adalah suatu fungsi terturunkan yang memenuhi pertaksamaan diferensial
( )x K ( ),x
σ′ ≤ σ (1) dengan K adalah sebuah konstanta dan
a≤ ≤ . Maka, x b
( )
( )x ( )a eK x a ,
σ ≤σ −
untuka≤ ≤x b.
(Birkhoff & Rota, 1978) Bukti:
Kedua sisi Persamaan (1) dikalikan dengan e−Kxkemudian ruasnya dipindah, diperoleh:
{ }
0 Kx[ ( ) ( )] d ( ) Kx
e x K x x e
σ σ dx σ
− ′ −
≥ − = .
Fungsi σ( )x e−K x memiliki turunan nol atau negatif dan sekaligus merupakan fungsi taknaik pada selang a≤ ≤ . Maka x b
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
Kx Ka
Ka Kx
K x a
x e a e
x a e e
a e
σ σ
σ σ
σ
− −
−
−
≤
≤
= Teorema Perbandingan
Misalkan f dan g masing-masing adalah solusi- solusi dari persamaan-persamaan diferensial:
( , ), ( , )
y′=F x y z′=G x z ,
dengan F x y( , )≤G x y( , ) pada selang a≤ ≤ dan F dan G memenuhi kondisi x b Lipschitz. Jika f a( )=g a( ) maka
( , ) ( , )
f x y ≤g x y untuk semua x∈[ , ].a b
(Birkhoff & Rota, 1978) Bukti: Lihat Lampiran 1.
2.4 Fungsi Kontinu dan Pertaksamaan Gronwall
Definisi 6 (Fungsi Kontinu)
Sebuah fungsi f kontinu pada bilangan a jika:
( ) ( ).
lim
x a f x f a
→ =
(Stewart, 2001) Definisi 7 (Pertaksamaan Gronwall)
Misalkan φdanψ adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada t0 ≤ ≤ dan berlaku t t1 φ(t)≥0 dan ψ(t)≥0.
Jika persamaan berikut terpenuhi:
0
( ) ( ) ( )
t
t
t K s s ds
φ ≤ + ∫ψ φ ,
dengan K konstanta positif, maka berlaku:
0
( ) exp ( )
t
t
t K s ds
φ ≤
∫ψ
.(Birkhoff & Rota, 1978) Bukti: Lihat Birkhoff & Rota (1928).
2.5 Persamaan Diferensial (PD) Definisi 8 (Persamaan Diferensial Biasa) Jika y adalah sebuah fungsi dengan pemetaan
:
y R→R
terhadap x dengan y( )i adalah turunan dari y, maka fungsi:
( 1) ( )
( , , , ..., n ) n
F x y y′ y − = y ,
disebut sebuah persamaan diferensial biasa orde n.
(Hartman, 2002)
Definisi 9 (Persamaan Diferensial Linear) Suatu persamaan diferensial disebut linear jika F dapat dituliskan sebagai sebuah kombinasi linear dari turunan y:
( ) 1 ( )
1
( ) ( )
,
n n i
i i
y a x y r x
−
=
=
∑
+dengan a x dan r(x) adalah fungsi-fungsi i( ) kontinu di x. Jika r x( )= , maka persamaan di 0 atas disebut persamaan diferensial biasa homogen. Selain itu, disebut dengan persamaan diferensial tak homogen.
(Hartman, 2002) Definisi 10 (Persamaan Diferensial Bernoulli) Persamaan diferensial Bernoulli memiliki bentuk:
( ) ( ) n, 0,1
y′ +P x y=Q x y n≠ . (2) (Hartman, 2002) Solusi persamaan Bernoulli dapat ditentukan dengan membagi kedua ruas dengan y , n sehingga diperoleh:
) ) ( (
1 Q x
y x P y
y
n
n′
+
−=
.Sebuah variabel pengganti dibuat untuk mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan diferensial linear orde pertama:
Misalkan w=1 /yn−1, didapatkan:
( )
(
1 n / n)
w′= − y y′. (3) Persamaan (3) disubstitusikan pada Persamaan (2) diperoleh persamaan pengganti:
( ) ( )
1 P x w Q x
n
w + =
−
′ . (4)
Persamaan (4) dapat diselesaikan dengan menggunakan faktor pengintegralan
∫
=e−n P xdx
x
M( ) 1 ( ) .
Contoh:
Diberikan persamaan Bernoulli
2
2 2
y x x
y′− y =− .
Persamaannya penggantinya adalah:
2 2
x w x
w′+ = .
Kedua ruas pada persamaan pengganti dikalikan dengan
2
2 1
ln 2
( ) xdx x
M x =e ∫ =e =x , sehingga diperoleh:
4
2 2xw x
x
w′ + = .
Ruas kiri merupakan turunan dari wx terhadap 2 x. Kedua ruas diintegralkan:
( ) ( )
2 4
2 5
0,
2 2
0
, 1/5
1/5 .
( )
( / )
1wx dx x dx
wx x C
x x C
y
′ =
∫ ∫
= +
= +
Jadi, solusi untuk y adalah
2
5 0
y 5x
x C
= + .
2.6 Returns to Scale
Misalkan K dan L adalah input-input dari suatu fungsi produksi:
( , ) Y =F K L , dengan Y adalah output.
Jika ada suatu konstanta pengali λ yang menyebabkan peningkatan input dan persamaan di atas menjadi:
( , ) ( , ), 0
Yλ =F λK λL =λF K L ∀ >λ , maka akan dihasilkan jumlah output-output baru yang proporsinya bergantung pada besarnya λ. Definisi 11 (Constant Returns to Scale)
Constant returns to scale terjadi saat proporsi peningkatan jumlah output yang dihasilkan adalah sebanding (sama besar) dengan λ.
(Moffatt, 2008)
Contoh:
Misalkan diberikan sebuah fungsi produksi:
2 3
Y = K+ L.
Jika input ditingkatkan sebesar λ, maka akan tercipta sebuah fungsi baru:
2( ) 3( )
2 3
(2 3 )
.
Y K L
K L
K L
Y
λ λ λ
λ λ
λ λ
= +
= +
= +
=
Jika input ditingkatkan sebesar λ, maka output akan meningkat sebesar λ pula.
Definisi 12 (Increasing Returns to Scale) Increasing returns to scale terjadi saat proporsi peningkatan jumlah output yang dihasilkan adalah lebih besar dari λ.
(Moffatt, 2008) Contoh:
Misalkan diberikan sebuah fungsi produksi:
(0.5) Y = KL.
Dengan pengali λ, diperoleh fungsi produksi baru:
2
2
(0.5)( )( ) (0.5)
.
Y K L
KL Y
λ
λ
λ λ
λ
=
=
=
Sehingga jika λ >1, makaλ2 >λ. Proporsi peningkatan output akan lebih besar daripada proporsi peningkatan input. Jika 0<λ< , 1 maka akan terjadi decreasing returns to scale.
Definisi 13 (Decreasing Returns to Scale) Decreasing returns to scale terjadi saat proporsi peningkatan jumlah output yang dihasilkan adalah kurang dariλ.
(Moffatt, 2008) Contoh:
Misalkan diberikan sebuah fungsi produksi:
0.3 0.2
.
Y = K L
Dengan pengali λ, diperoleh fungsi produksi baru:
0.3 0.2
0.5 0.3 0.2
0.5
( ) ( )
.
Y K L
K L
Y
λ λ λ
λ λ
=
=
=
Sehingga jika λ >1, makaλ0.5 <λ. Proporsi peningkatan output akan lebih kecil daripada proporsi peningkatan input. Jika 0<λ< , 1 maka akan terjadi increasing returns to scale.
2.7 Definisi Lain
Definisi 14 (Ruang Metrik)
Misalkan X adalah suatu himpunan. Suatu metrik untuk X adalah sebuah fungsi d dengan daerah asal X×X dan daerah hasil meliputi [0, )∞ sehingga:
(pertaksamaan segitiga).
( ) ( , ) 0 ( ),
( ) ( , ) 0 ( , , ),
( ) ( , ) ( , ) ( , ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
i d x x x X
ii d x y x y X x y iii d x y d y x x y X
iv d x y d x z d z y x y X
= ∈
> ∈ ≠
= ∈
≤ + ∈
Jika d adalah sebuah metrik untuk X, maka pasangan berurut X d, disebut suatu ruang metrik.
(Goldberg, 1976) Definisi 15 (Stabil Lyapunov dan Stabil Asimtotik)
Misalkan X d, adalah ruang metrik dan X
X
f : → sebuah fungsi kontinu.
Suatu x∈Xdikatakan stabil Lyapunov jika untuk setiap ε >0, ada δ >0 sehingga untuk setiap y∈X , jika d(x,y)<δ , maka
( n( ), n( ))
d f x f y <ε, untuk setiap
n ∈ Ν
. X disebut stabil asimtotik jika ada δ > 0 sehingga lim ( n( ), n( )) 0n d f x f y
→∞ = kapanpun
d(x,y) < δ.
(Lyapunov, 1966)
Definisi 16 (Aturan L’Hopital)
Misalkan f dan g terturunkan dan g x′( )≠0 dekat a (kecuali mungkin di a). Misalkan bahwa
lim ( ) 0
x af x
→ = dan lim ( ) 0,
x ag x
→ =
atau bahwa lim ( )
x af x
→ = ±∞ dan lim ( )
x ag x
→ = ±∞.
Dengan kata lain, akan didapatkan bentuk taktentu jenis 0 / 0 atau ∞ ∞ . /
Maka
( ) ( )
lim lim ,
( ) ( )
x a x a
f x f x
g x g x
→ →
= ′
′
asalkan limit di ruas kanan ada (atau bernilai
∞atau −∞).
(Stewart, 2001) Teorema Nilai Rata-Rata
Jika f : [ , ]a b →R adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a,b] dan terturunkan pada selang buka (a,b) .
Maka, ada c pada (a,b) sehingga
a b
a f b c f
f −
= ( )− ( ) )
(
' .
(Stewart, 2001) Bukti: Lihat Stewart (2001).
III. MODEL PERTUMBUHAN SOLOW–SWAN
3.1 Model dengan Tingkat Pertumbuhan Populasi Konstan
Model pertumbuhan Solow-Swan memiliki struktur dasar yang terdiri atas:
A. Fungsi produksi agregat
Persamaan fungsi produksi agregat adalah sebagai berikut
Y t( )=F K t L t( ( ), ( )). (5) dengan Y(t) menyatakan output atau pendapatan agregat yang merupakan fungsi dari persediaan modal K(t) dan angkatan kerja L(t) pada t.
B. Asumsi neoklasik pada fungsi produksi a. Produk marjinal yang positif dan menurun
terhadap faktor input modal:
( , )
K K 0,
F K L
MP F
K
=∂ = >
∂ 2 ( , )
2 0.
K
KK
MP F K L
K K F
∂ ∂
= = <
∂ ∂
Kedua hal di atas menunjukkan bahwa penambahan input modal akan menghasilkan produk marjinal yang selalu bernilai positif dan semakin menurun seiring penambahan input.
Hal yang sama berlaku untuk faktor input tenaga kerja:
( , )
L L 0,
F K L
MP F
L
= ∂ = >
∂ 2 ( , )
2 0.
L
LL
MP F K L
L L F
∂ = ∂ = <
∂ ∂
Kedua hal di atas menunjukkan bahwa pertambahan input tenaga kerja akan menghasilkan produk marjinal yang selalu bernilai positif dan semakin menurun seiring pertambahan input.
b. Constant Returns to Scale (CRTS) pada modal dan tenaga kerja, yaitu:
( , ) ( , ), 0.
F λK λL =λF K L ∀ >λ
Asumsi ini menunjukkan bahwa kenaikan proporsi input akan menyebabkan kenaikan output sebesar proporsi kenaikan input (sebanding).
c. Kondisi Inada
0 0 ,
0.
lim lim lim lim
K L
K L
K L
K L
F F
F F
→ →
→∞ →∞
= = ∞
= =
Fungsi produksi Y = F(K, L) dengan asumsi CRTS dapat dituliskan kembali menjadi :
Y =LF K L( / ,1) (6) yang selanjutnya dapat disederhanakan menjadi
( ) y= f k ,
