ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL. (Skripsi) Oleh ALI ABDUL JABAR

ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL

(Skripsi)

Oleh

ALI ABDUL JABAR

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2017

ABSTRAK

ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL

Oleh

ALI ABDUL JABAR

Misalkan merupakan Ring dan , ′ dan merupakan Modul atas Ring .

Didefinisikan ⊕ , dan , × ′ sebagai himpunan

pemetaan operasi Jumlah Langsung dan Darap Langsung dari modul , ′ dan atas Ring . Diperoleh kesimpulan bahwa terdapat suatu pemetaan -

Homomorfisma : → yang bijektif sehingga ⊕ , ≅

, × , dan -Homomorfisma : → yang bijektif

sehingga , × ′ ≅ , × , ′ .

Kata Kunci : Modul, Ring , Jumlah Langsung, Darap Langsung, -Homomorfisma, Bijektif

ABSTRACT

ISOMORPHISM OF DIRECT SUM AND DIRECT PRODUCT TWO MODULES

By

ALI ABDUL JABAR

Let be a Ring and , ′ and are Modules over Ring . ⊕ , and , × ′ are the sets of R-Homomorphism. We have the results that there exist bijective -Homomorfisma : → such that

⊕ , ≅ , × , and bijective

-Homomorfisma : → such that , × ′ ≅ , ×

, ′ .

Keywords: Module, Ring , Direct Sum, Direct product, -Homomorfisma, Bijective

ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL

Oleh Ali Abdul Jabar

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2017

MOTTO

“Barang siapa bersungguh-sungguh, sesungguhnya kesungguhannya itu adalah untuk

dirinya sendiri.”

(Q.S. Al-Ankabut [29]:6)

Tiada keyakinan yang membuat orang takut menghadapi tantangan dan saya percaya pada diri

saya sendiri.

(Thomas Alfa Edison)

Orang-orang sukses telah belajar membuat diri mereka melakukan hal yang harus dikerjakan

ketika hal itu memang harus dikerjakan, entah mereka menyukainya atau tidak.

(Adhlus Huxley)

RIWAYAT HIDUP

Penulis adalah anak kelima dari lima bersaudara, dari Bapak Aceng dan Ibu Euis Yuyu yang dilahirkan pada 25 Juli 1994 di Kelurahan Iring Mulyo, Kecamatan Metro Timur, Kota Metro.

Penulis memulai pendidikan formalnya di TK Perwanida pada tahun 2000 kemudian dilanjutkan pada tingkat pendidikan dasar di SD Negeri 1 Metro Pusat pada tahun 2001, kemudian melanjutkan pendidikan tingkat menengah di SMP Negeri 2 Metro Timur pada tahun 2007 dan menyelesaikan pendidikan sekolah tingkat atas pada tahun 2013 di SMA Negeri 5 Metro Pusat.

Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada tahun 2013 melalui jalur SNMPTN tertulis. Selama menjadi mahasiswa penulis pernah menjadi pengurus di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota bidang keilmuan pada periode 2014-2015 dan pengurus Rohani Islam (ROIS) sebagai anggota bidang kaderisasi periode 2014-2015. Penulis juga pernah menjadi asisten pada mata kuliah kalkulus dan matematika diskrit.

Pada bulan Juli tahun 2016, Penulis melaksanakan kerja praktik di Perum

BULOG Sub Divre Lampung Tengah di bidang administrasi dan keuangan selama empat minggu terhitung dari tangggal 18 Januari sampai tangal 15 Februari 2016.

PERSEMBAHAN PERSEMBAHAN PERSEMBAHAN PERSEMBAHAN

Dengan mengucapkan syukur kehadirat Allah SWT, ku persembahkan karya ini sebagai tanda bukti dan cinta kasihku kepada :

Bapak (Aceng) dan ibu (Euis Yuyu) tersayang yang telah membesarkan, medidik, dan selalu medoakan, mencurahkan kasih sayangnya, serta selalu ada dikala ku sedih dan senang dengan

pengorbanan yang tulus ikhlas demi kebahagian dan keberhasilanku.

Kakak dan Adik “Umi Kulsum” dan “Abdul Rahman Wahid” serta keluarga beasrku yang telah memberikan semangat kepadaku.

Teman-teman yang selalu membuatku tertawa, yang senantiasa memberikan doa, seeamngat dan nasihatnya demi keberhasilanku.

Para pendidik yang telah mendidikku, yang menjadikanku semakin berwawasan Alamamater Universitas Lampung

SANWACANA

Puji syukur kepada Allah SWT atas izin dan ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu tercurahkan kepada baginda Nabi Muhammad SAW, tauladan terbaik sepanjang masa.

Pada proses penyusunan skripsi yang berjudul “ Jumlah Langsung Dari Modul Yang Dibangun Secara Berhingga “, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu diselesaikan.

Dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Warsito, DEA., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung;

2. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika;

3. Bapak Drs. Suharsono, M.S., M.Sc., Ph.D., selaku Pembimbing Utama atas kesediaan memberi ilmu, waktu, bimbingan, saran dan kritik dalam proses menyelesaikan skripsi ini;

4. Bapak Dr. Aang Nuryaman, S.Si., M.Si., selaku Pembimbing Kedua atas waaktu, saran, bimbingan dan koreksi yang telah diberikan;

5. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku Penguji atas saran dan masukan dalam menyelesaikan skripsi ini;

6. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., Pembimbing Akademik;

7. Kedua orang tua penulis, Aceng dan Euis Yuyu yang telah memberikan kasih sayang, materiil, semangat, motivasi, spiritual, dan dukungannya;

8. Kakak dan adik penulis, Umi kulsum dan Abdul Rahman Wahid yang telah memberikan semangat dan motivasinya;

9. Rekan-rekan Matematika angkatan 2013 yang terus memberikan motivasi dan dukungan serta semangat, terima kasih atas kebersamaan, kebahagian, dan pengalaman yang tidak terlupakan;

10. Semua pihak yang telah membantu penulis baik selama masa studi maupun dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi sedikit harapan semoga skripsi ini dapat berguana dan bemanfaat bagi pembaca. Aamiin.

Bandar Lampung, 15 Juni 2016 Penulis

Ali Abdul Jabar

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR NOTASI

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ...1

1.2 Batasan Masalah ...2

1.3 Tujuan Penelitian ...2

1.4 Manfaat Penelitian ...2

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup ...4

2.2 Ring ...10

2.3 Modul ...15

2.4 Homomorfisma Modul ...26

2.5 Jumlah Langsung ...31

2.6 Darap Langsung ...33

2.7 Category...34

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat ...36

3.2 Metode Penelitian ...36

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Darap Langsung dan Jumlah Langsung Merupakan R-Modul ...37

4.2 Darap Langsung Merupakan Product Pada Category R-modul ...44

4.3 Jumlah Langsung Merupakan Coproduct Pada Category R-modul ...44

4.4 R-isomorfisma Onto Darap Langsung ...45

4.5 R-homomorfisma merupakan R-modul ...46

4.6 Isomorfisma Darap Langsung Dan Jumlah Langsung ...50 V. KESIMPULAN

DARTAR PUSTAKA

DAFTAR NOTASI

ℝ Himpunan bilangan real

* Operasi biner

.

∏ Darap Langsung

( , ) Homomorfisma R-modul dari M ke N ( ) Endomorfisma R-modul dari M

⊕ Jumlah lansung

ₒ Operasi Komposisi fungsi

Kernel fungsi Image fungsi Fungsi identitas Pemetaan invers Categoty R-modul

Himpunan indeks Indeks

C Category

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Ruang vektor dalam struktur aljabar diartikan sebagai himpunan vektor , bersama-sama dengan dua operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang harus memenuhi beberapa aksioma. Ruang vektor atas lapangan pada hakekatnya adalah grup komutatif = ( , +) yang dilengkapi dengan operasi pergandaan skalar dari lapangan . Jika lapangan diganti dengan suatu Ring maka akan diperoleh suatu struktur aljabar yang baru yaitu Modul atas Ring.

Modul merupakan himpunan dengan operasi pergandaan skalar dari Grup Abel dan Ring dengan elemen satuan yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu.

Diberikan Grup Abel dan Ring dengan elemen satuan dioperasikan dengan operasi pergandaan skalar. Dengan demikian, belum tentu merupakan ruang vektor atas (karena Ring belum tentu merupakan lapangan) terhadap operasi pergandaan skalar. Jadi, Modul atas Ring merupakan generalisasi ruang vektor atas lapangan. Modul atas Ring dibedakan menjadi dua yaitu Modul kiri dan Modul kanan atas suatu Ring.

Sama halnya dengan Grup atau Ring, Modul juga memiliki Submodul. Suatu Modul memiliki Submodul ; untuk setiap indeks ∈ dan himpunan indeks. Pada Modul didefinisikan cartesian product yaitu Darap Langsung

2

(direct product) dan Jumlah Langsung (direct sum). Cartesian produk dari

Submodul yaitu. × × … × , ∈ ℕ disebut Darap Langsung atau direct product dinotasikan dengan∏_∈ . Jumlah Langsung (direct sum) didefinisikan sebagai subset dari Darap Langsung (direct product) yang berisi elemen ∈ dimana = 0 untuk hampir semua . Jumlah Langsung (direct sum) tentu saja merupakan Submodul dari Darap Langsung (direct product) dan dinotasikan dengan ⊕ jika ∑∈ = dan⋂∈ = {0}. Inilah yang menjadi ketertarikan penulis untuk menyelidiki Isomorfisma Darap Langsung (direct product) dan Jumlah Langsung (direct sum) dari dua Modul.

1.2 Batasan Masalah

Pada penelitian ini akan diselidiki sifat-sifat Isomorfisma Darap Langsung dan Jumlah Langsung dari dua Modul.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang dilakukan dari penelitian ini, yaitu mengkaji karakterisasi ataupun ciri-ciri Isomorfisma Darap Langsung dan Jumlah Langsung dari dua Modul.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah :

1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3

2. Memberikan sumbangan pemikiran dalam rangka memperluas dan

memperdalam pengetahuan ilmu matematika khususnya Isomorfisma Jumlah Langsung dan Darap Langsung dua Modul.

3. Memberikan motivasi bagi pembaca dan peneliti untuk mengkaji lebih dalam permasalahan yang berhubungan dengan struktur aljabar khususnya teori Modul.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Grup

Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu Ring dan Modul.

Definisi 2.1.1

Diberikan himpunan dan operasi biner∗. disebut Grup yang dinotasikan dengan( ,∗) jika memenuhi aksioma berikut :

(i) ( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ ), untuk setiap , , ∈ (∗ bersifat asosiatif);

(ii) Terdapat elemen e di , yang disebut identitas di , sedemikian sehingga

∗ = ∗ = , untuk setiap ∈ ;

(iii) Untuk setiap ∈ terdapat ∈ , sedemikian sehingga ∗ =

∗ = , elemen disebut invers dari ( Dummit dan Fotte, 2004 ).

Untuk lebih memahami definisi Grup, berikut diberikan contohnya.

Contoh 2.1.2

Diberikan bilangan bulat positif dan ℤ = { | ∈ ℤ}. Akan ditunjukkan bahwa〈 ℤ, +〉 merupakan Grup.

5

i. Akan ditunjukkan bahwa ℤ bersifat tertutup terhadap operasi +.

Diberikan sebarang , ∈ ℤ dengan = dan = untuk suatu , ∈ ℤ.

+ = +

= ( + ) ∈ ℤ

Jadi, ℤ bersifat tertutup terhadap operasi +.

ii. Akan ditunjukkan bahwa elemen di ℤ bersifat asosiatif terhadap +.

Diberikan sebarang , , ∈ ℤ dengan = , = dan

= untuk suatu , , ∈ ℤ, sehingga:

+ ( + ) = + ( + )

= + ( + )

= + ( + )

= ( + ) + )

= ( + ) +

= ( + ) +

= ( + ) +

Jadi, terbukti bahwa elemen di ℤ bersifat asosiatif terhadap operasi +.

iii. Akan ditunjukkan bahwa ℤ memiliki elemen identitas.

Untuk setiap ∈ ℤ, terdapat 0 ∈ ℤ sehingga untuk suatu ∈ ℤ + 0 = 0 + = .

Jadi, elemen identitas di ℤ, yaitu 0.

iv. Akan ditunjukkan setiap elemen di ℤ memiliki invers.

Diberikan sebarang ∈ ℤ dengan = , akan ditentukan invers dari : + = 0

6

+ = 0

= 0 + (− )

= −( )

= (− ) ∈ ℤ

Jadi, invers dari adalah (− ). Hal ini berakibat bahwa setiap elemen di ℤ memiliki invers.

Berdasarkan i-iv terbukti bahwa nℤ merupakan Grup (Fraleigh, 2000).

Grup Abel (Grup Komutatif) merupakan salah satu bentuk Grup. Berikut diberikan definisinya.

Definisi 2.1.3

Grup( ,∗) dikatakan Grup Abel (Grup Komutatif) jika ∗ = ∗ , untuk setiap , ∈ (Dummit dan Foote, 2004).

Dari pendefinisian Grup Abel, berikut diberikan contohnya.

Contoh 2.1.4

Diberikan = ; , ∈ ℤ . Akan ditunjukkan bahwa = ; , ∈ ℤ merupakan Grup Abel.

i. Akan ditunjukkan bahwa = ; , ∈ ℤ tertutup terhadap operasi +.

Diberikan sebarang , ∈ , maka

+ = +

+ ∈

7

ii. Akan ditunjukkan bahwa = ; , ∈ ℤ bersifat asosiatif terhadap operasi +.

Diberikan sebarang , , ∈ , maka

+ + = + +

+

= + +

+ +

= +

+ +

= + +

iii. Akan ditunjukkan bahwa = ; , ∈ ℤ memiliki elemen identitas.

Untuk setiap ∈ , terdapat 00 ∈ , maka + 00 = 0

0 + =

iv. Akan ditunjukkan bahwa setiap elemen = ; , ∈ ℤ memiliki invers.

Diberikan sebarang ∈ , akan ditentukan invers dari sebagai berikut :

+ = 00

= − + 00

= −

= −− ∈

Jadi invers adalah −

−

8

v. Akan ditunjukkan bahwa = ; , ∈ ℤ bersifat komutatif terhadap opersai +.

Diberikan sebarang , ∈ , maka

+ = +

+

= +

+

= +

Berdasarkan i - v terbukti = ; , ∈ ℤ merupakan Grup Abel

Contoh 2.1.5

Diberikan = {[ ]; , ∈ ℤ}. Akan ditunjukkan bahwa

= {[ ]; , ∈ ℤ} merupakan Grup Abel.

i. Akan ditunjukkan bahwa = {[ ]; , ∈ ℤ} tertutup terhadap operasi +.

Diberikan sebarang[ ], [ ] ∈ , maka [ ] + [ ] = [ + + ] ∈

ii. Akan ditunjukkan bahwa = {[ ]; , ∈ ℤ} bersifat asosiatif terhadap operasi +.

Diberikan sebarang[ ], [ ], [ ] ∈ , maka [ ] + ([ ] + [ ]) = [ ] + [ + + ]

= [ + + + + ]

= [ + + ] + [ ]

= ([ ] + [ ]) + [ ]

9

iii. Akan ditunjukkan bahwa = {[ ]; , ∈ ℤ} memiliki elemen identitas.

Untuk setiap[ ] ∈ , terdapat [0 0] ∈ , maka [ ] + [0 0] = [0 0] + [ ] = [ ]

iv. Akan ditunjukkan bahwa setiap elemen di = {[ ]; , ∈ ℤ} memiliki invers.

Diberikan sebarang[ ] ∈ , akan ditentukan invers dari [ ] sebagai berikut :

[ ] + [ ] = [0 0]

[ ] = −[ ] + [0 0]

[ ] = −[ ] [ ] = [− − ] ∈ Jadi invers[ ] adalah [− − ]

v. Akan ditunjukkan bahwa = {[ ]; , ∈ ℤ} bersifat komutatif terhadap opersai +.

Diberikan sebarang[ ] , [ ] ∈ , maka [ ] + [ ] = [ + + ]

= [ + + ]

= [ ] + [ ]

Berdasarkan (i)-(v) terbukti = {[ ]; , ∈ ℤ} merupakan Grup Abel.

Jadi terbukti bahwa = ; , ∈ ℤ dan = {[ ]; , ∈ ℤ} Grup Abel (Fraleigh, 2000).

10

Grup memiliki Subgrup yang akan didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.1.5

Jika himpunan bagian dari dari Grup tertutup terhadap operasi biner di dan jika perlakuan yang sama di sama dengan di , maka Subgrup di ,

Subgrup di dapat dinotasikan dengan ≤ atau < (Fraleigh, 2000).

2.2 Ring

Pada bagian ini akan dibahas mengenai salah satu struktur aljabar yang terdiri atas satu himpunan dan dua operasi biner, yaitu Ring. Berikut diberikan definisinya.

Definisi 2.2.1

Himpunan R dengan dua operasi biner + (penjumlahan) dan∙ (perkalian) merupakan Ring jika memenuhi aksioma berikut:

(i) ( , +) merupakan Grup Abel;

(ii) Operasi perkaliannya bersifat asosiatif, yaitu( ∙ ) ∙ = ∙ ( ∙ ) untuk setiap , , ∈ ;

(iii) Hukum distribusi terpenuhi di , yaitu untuk setiap , , ∈ ( + ) ∙ = ( ∙ ) + ( ∙ ) dan ∙ ( + ) = ( ∙ ) + ( ∙ ) (Dummit dan Foote, 2004).

11

Untuk lebih jelasnya, diberikan contoh Ring sebagai berikut.

Contoh 2.2.2

Diberikan = ; , , , ∈ ℤ . Akan ditunjukkan merupakan Ring i. Akan ditunjukkan bahwa = ; , , , ∈ ℤ tertutup terhadap

operasi+.

Diberikan sebarang , ℎ ∈ , maka

+ ℎ = + +

+ + ℎ ∈

ii. Akan ditunjukkan bahwa = ; , , , ∈ ℤ bersifat asosiatif terhadap operasi+.

Diberikan sebarang , ℎ , ∈ , maka

+ ℎ + = + + +

+ ℎ +

= + + + +

+ + + ℎ +

= + +

+ + ℎ +

= + ℎ +

iii. Akan ditunjukkan bahwa = ; , , , ∈ ℤ memiliki elemen identitas terhadap operasi+.

Untuk setiap ∈ , terdapat 0 00 0 ∈ ,maka + 0 00 0 = 0 0

0 0 + =

12

iv. Akan ditunjukkan bahwa setiap elemen di = ; , , , ∈ ℤ memiliki invers terhadap operasi+.

Diberikan sebarang ∈ , akan ditentukan invers dari , sebagai berikut :

+ = 0 00 0

= − + 0 00 0

= −

= − −

− −

Jadi invers adalah − −

− − ∈

v. Akan ditunjukkan bahwa = ; , , , ∈ ℤ bersifat komutatif terhadap operasi+.

Diberikan sebarang , ℎ ∈ , maka

+ ℎ = + +

+ + ℎ

= + +

+ ℎ +

= ℎ +

13

vi. Akan ditunjukkan bahwa = ; , , , ∈ ℤ bersifat asosiatif terhadap operasi +.

Diberikan sebarang , ℎ , ∈ , maka

. ℎ . = + + ℎ

+ + ℎ .

= ( + ) + ( + ℎ) ( + ) + ( + ℎ) ( + ) + ( + ℎ) ( + ) + ( + ℎ)

= + + + ℎ + + + ℎ

+ + + ℎ + + + ℎ

= + + + ℎ + + + ℎ

+ + + ℎ + + + ℎ

= ( + ) + ( + ℎ ) ( + ) + ( + ℎ ) ( + ) + ( + ℎ ) ( + ) + ( + ℎ )

= . ℎ .

vii. Akan ditunjukkan bahwa = ; , , , ∈ ℤ bersifat ditributif kiri dan distributif kanan.

Diberikan sebarang , ℎ , ∈ , maka

+ ℎ . = + +

+ + ℎ .

= ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ℎ) ( + ) + ( + ℎ)

= + + + + + +

+ + + ℎ + + + ℎ

= + +

+ + + + +

+ ℎ + ℎ

= . + ℎ .

14

Diberikan sebarang , ℎ , ∈ , maka

. ℎ + = . + +

+ ℎ +

= ( + ) + ( + ) ( + ) + (ℎ + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + (ℎ + )

= + + + + + ℎ +

+ + + + + ℎ +

= + + ℎ

+ + ℎ + + +

+ +

= . ℎ + .

Berdasarkan i – vii terbukti = ; , , , ∈ ℤ merupakan Ring (Fraleigh, 2000).

Pada Ring, terdapat elemen idempoten yang akan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.2.3

Suatu elemen dan Ring R disebut idempoten jika = . Setiap elemen idempoten ∈ merupakan elemen reguler jika terdapat ∈ maka = (Wisbauer, 1991).

Berikut diberikan beberapa contoh elemen idempoten pada suatu Ring.

Contoh 2.2.4

Jika ∈ merupakan regular dan untuk suatu ∈ maka dapat dinyatakan sebagai = . Akan ditunjukkan bahwa dan merupakan elemen idempoten.

15

Untuk setiap ∈ , terdapat ∈ sehingga ( ) = ( )( )

= ( )

=

Jadi, terbukti bahwa merupakan elemen idempoten.

( ) = ( )( )

= ( )

=

Jadi terbukti bahwa merupakan elemen idempoten.

2.3 Modul

Pada bagian ini akan dibahas mengenai Modul atas Ring . Berikut diberikan definisinya.

Definisi 2.3.1

Diberikan Ring dengan elemen satuan dan Grup Abel, dengan operasi pergandaan skalar

∙ ∶ × →

disebut Modul atas Ring jika merupakan Modul kiri dan Modul kanan.

(i) disebut Modul kiri atas Ring , jika untuk setiap , ∈ dan , ∈ memenuhi aksioma berikut ini:

a) ( + ) = + ; b)( + ) = + ; c)( ) = ( );

d)1 = .

16

(ii) disebut Modul kanan atas Ring , jika unutk setiap , ∈ dan , ∈ memenuhi aksioma berikut ini:

a)( + ) = + ; b) ( + ) = + ; c) ( ) = ( ) ;

d) 1 = (Adkinds dan Weintraub, 1992).

Berikut ini diberikan contoh-contoh Modul

Contoh 2.3.2

Diberikan Ringℝ dan Grup Abel ℝ sebagai berikut

ℝ = {( , , … , )| , , … , ∈ ℝ}

Akan ditunjukkan bahwaℝ merupakan Modul atas Ring terhadap operasi pergandaan skalar.

Untuk memperlihatkan bahwaℝ merupakan Modul atas Ring ℝ haruslah ℝ merupakan Modul kiri dan Modul kanan.

1. Akan ditunjukkanℝ merupakan Modul kiri atas Ring . Didefinisikan operasi pergandaan skalar sebagai berikut:

∙ :ℝ × ℝ → ℝ

dengan ∙ ( , , … , ) = ( ∙ , ∙ , … , ∙ ), untuk setiap ∈ dan( , , … , ) ∈ ℝ .

i. Diberikan sebarang ∈ ℝ, ̅, ∈ ℝ

dengan ̅ = ( , , … , ) dan = ( , , … , ), maka diperoleh ( ̅ + ) = ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( + , + , … , + )

17

= ( + ), ( + ), … , ( + )

= ( + ), ( + ), … , ( + )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ̅ +

Jadi, ( ̅ + ) = ̅ + , untuk setiap ∈ ℝ, ̅, ∈ ℝ . ii. Diberikan sebarang , ∈ ℝ, ̅ ∈ ℝ

dengan ̅ = ( , , … , ), maka diperoleh ( + )( ̅) = ( + )( , , … , )

= ( + ) , ( + ) , … , ( + )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( ̅) + ( ̅)

Jadi( + )( ̅) = ( ̅) + ( ̅), untuk setiap , ∈ ℝ, ̅ ∈ ℝ . iii. Diberikan sebarang , ∈ ℝ, ̅ ∈ ℝ

dengan ̅ = ( , , … , ), maka diperoleh ( . )( ̅) = ( . )( , , … , )

= ( . ) , ( . ) , … , ( . )

= ( , , … , )

= ( , , … , )

= ( )( ̅)

Jadi( . )( ̅) = ( )( ̅), untuk setiap , ∈ ℝ, ̅ ∈ ℝ .

18

iv. Diberikan sebarang ̅ ∈ ℝ ,

dengan ̅ = ( , , … , ) , maka diperoleh 1( ̅) = 1( , , … , )

= (1 , 1 , … ,1 )

= ( , , … , )

= ̅

Jadi1( ̅) = ̅, untuk setiap ̅ ∈ ℝ .

Dari i-iv, terbukti bahwaℝ merupakan Modul kiri atas Ring

2. Akan ditunjukkanℝ merupakan Modul kanan atas Ring . Didefinisikan operasi pergandaan skalar sebagai berikut:

∙ :ℝ × ℝ → ℝ

dengan( , , … , ) ∙ = ( ∙ , ∙ , … , ∙ ), untuk setiap ∈ dan( , , … , ) ∈ ℝ .

i. Diberikan sebarang ∈ ℝ, ̅, ∈ ℝ

dengan ̅ = ( , , … , ) dan = ( , , … , ), maka diperoleh ( ̅ + ) = ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( + , + , … , + )

= ( + ), ( + ), … , ( + )

= ( + ), ( + ), … , ( + )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ̅ +

Jadi,( ̅ + ) = ̅ + , untuk setiap ∈ ℝ, ̅, ∈ ℝ .

19

ii. Diberikan sebarang , ∈ ℝ, ̅ ∈ ℝ dengan ̅ = ( , , … , ), maka diperoleh ( ̅)( + ) = ( , , … , )( + )

= ( + ), ( + ), … , ( + )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( ̅) + ( ̅)

Jadi,( ̅)( + ) = ( ̅) + ( ̅) , untuk setiap , ∈ ℝ, ̅ ∈ ℝ . iii. Diberikan sebarang , ∈ ℝ, ̅ ∈ ℝ

dengan ̅ = ( , , … , ), maka diperoleh ( ̅)( . ) = ( , , … , )( . )

= ( . ), ( . ), … , ( . )

= ( , , … , )

= ( , , … , )

= ( ̅ )( )

Jadi,( ̅)( . ) = ( ̅ )( ), untuk setiap , ∈ ℝ, ̅ ∈ ℝ .

iv. Diberikan sebarang ̅ ∈ ℝ , dengan ̅ = ( , , … , ) maka diperoleh ( ̅)1 = ( , , … , )1

= ( 1, 1, … , 1)

= ( , , … , )

= ̅

Jadi,( ̅)1 = ̅, untuk setiap ̅ ∈ ℝ .

Dari i-iv, terbukti bahwaℝ merupakan Modul kanan atas Ring ℝ dan ℝ merupakan Modul atas Ring ℝ

20

Contoh 2.3.3

Diberikan Ring = ; , , , ∈ ℤ dan Grup Abel = ; , ∈ ℤ .

Akan ditunjukkan = ; , ∈ ℤ merupakan Modul kiri atas Ring

= ; , , , ∈ ℤ

i. Diberikan sebarang ∈ dan , ∈ , maka

. + = . +

+

= ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + )

= + + +

+ + +

= +

+ + +

+

= . + .

ii. Diberikan sebarang , ℎ ∈ , dan ∈ , maka

+ ℎ . = + +

+ + ℎ .

= ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ℎ)

= + + +

+ + + ℎ

= +

+ + +

+ ℎ

= . + ℎ .

21

iii. Diberikan sebarang , ℎ ∈ , dan ∈ , maka

. ℎ . = + + ℎ

+ + ℎ .

= ( + ) + ( + ℎ) ( + ) + ( + ℎ)

= + + + ℎ

+ + + ℎ

= . +

+ ℎ

= . ℎ .

iv. Diberikan sebarang ∈ dan dipilih 1 0

0 1 ∈ , maka 1 00 1 . =

Berdasarkan i-iv terbukti = ; , ∈ ℤ merupakan Modul kiri atas Ring

= ; , , , ∈ ℤ .

Contoh 2.3.4

Diberikan Ring = ; , , , ∈ ℤ dan Grup Abel

= {[ ]; , ∈ ℤ}. Akan ditunjukkan = {[ ]; , ∈ ℤ} merupakan Modul kanan atas Ring = ; , , , ∈ ℤ .

i. Diberikan sebarang ∈ dan [ ], [ ] ∈ , maka

( [ ] + [ ]). = [ + + ].

= [( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ]

22

= [ + + + + + + ]

= [ + + ] + [ + + ]

= [ ]. + [ ].

ii. Diberikan sebarang , ℎ ∈ , dan dan[ ] ∈ , maka

[ ]. + ℎ = [ ]. + +

+ + ℎ

= [ ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ℎ)]

= [ + + + + + + ℎ]

= [ + + ] + [ + + ℎ]

= [ ]. + [ ]. ℎ

iii. Diberikan sebarang , ℎ ∈ , dan[ ] ∈ , maka

[ ]. . ℎ = [ ]. + + ℎ

+ + ℎ

= [ ( + ) + ( + ) ( + ℎ) + ( + ℎ)]

= [ + + + + ℎ + + ℎ]

= [ + + ]. ℎ

= [ ]. . ℎ

iv. Diberikan sebarang[ ] ∈ dan dipilih 1 00 1 ∈ , maka [ ]. 1 00 1 = [ ]

Berdasarkan i-iv terbukti = {[ ]; , ∈ ℤ} merupakan Modul kanan atas Ring = ; , , , ∈ ℤ .

23

Dimisalkan Ring dan ⊆ . Seperti yang telah diketahui, Subring jika:

1) ≠ ∅

2) − ∈ , untuk setiap , ∈ 3) ∈ , untuk setiap , ∈

Begitu pula dengan Modul, Modul akan memiliki Submodul yang akan didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.3.5

Diberikan Ring dengan elemen satuan dan merupakan Modul atas , ⊆ disebut Submodul ( -Submodul) dari jika merupakan Subgrup dari yang juga merupakan Modul atas dengan operasi yang sama di (Adkins dan Weintraub, 1992).

Berdasarkan definisi ini, dapat disimpulkan bahwa Submodul jika dan hanya jika:

1) Subgrup

2) tertutup terhadap operasi pergandaan skalar

∙ : × → yaitu ∈ , untuk setiap ∈ dan ∈ . Berikut ini contoh dari Submodul atas suatu Ring

Contoh 2.3.6

Diberikanℤ merupakan Modul atas Ring . Akan ditunjukkan bahwa himpunan ℤ dengan ∈ ℕ merupakan Submodul dari ℤ.

24

(i) Akan ditunjukkan bahwa ℤ merupakan Subgrup dari ℤ.

(a) Akan ditunjukkan bahwa operasi + bersifat tertutup di ℤ.

Diberikan sebarang , ∈ ℤ dengan = dan = untuk suatu , ∈ ℤ dan ∈ ℕ, sehingga:

x+y= +

= ( + ) ∈ ℤ

Jadi, terbukti bahwa operasi + bersifat tertutup di ℤ (b) Akan ditunjukkan bahwa ℤ ≠ ∅.

Untuk setiap ∈ ℤ, ambil = 0, sehingga

= (0) = 0 ∈ ℤ Jadi, terbukti bahwa ℤ ≠ ∅.

(c) Akan ditunjukkan untuk setiap , ∈ ℤ, ∈ ℤ.

Diberikan sebarang , ∈ ℤ dengan = dan = untuk suatu , ∈ ℤ dan ∈ ℕ.

= (− ) ∈ ℤ (karena(− ) ∈ ℤ)

= + (− )

= ( − ) ∈ ℤ

Jadi, terbukti ∈ ℤ, untuk setiap , ∈ ℤ.

(ii) Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan skalar tertutup di ℤ Diberikan sebarang ∈ ℤ dengan = untuk setiap ∈ ℤ, ∈ ℕ dan ∈ , maka:

= ( ) = ( ) ∈ ℤ

Jadi, terbukti bahwa operasi pergandaan skalar tertutup di ℤ.

25

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa ℤ dengan ∈ ℕ merupakan Submodul dariℤ.

Seperti halnya pada Grup, dapat ditunjukkan bahwa irisan dan jumlahan dari dua Submodul juga membentuk Submodul, seperti yang diberikan dalam lemma berikut ini.

Lemma 2.3.7

Misal Modul atas dan , Submodul, maka:

1. ∩ merupakan Submodul di 2. + merupakan Submodul di

Bukti

1. Karena dan merupakan Submodul di , maka0 ∈ dan0 ∈ . Akibatnya0 ∈ ∩ . Sehingga, ∩ bukan merupakan himpunan kosong.

Diberikan sebarang ∈ ℝ dan , ∈ ∩ maka , ∈ dan , ∈ .

Karena dan merupakan Submodul di maka memenuhi − ∈

dan − ∈ . Akibatnya, − ∈ ∩ .

Karena dan masing-masing merupakan Submodul di maka memenuhi operasi pergandaan skalar yaitu ∙ ∈ dan ∙ ∈ yang mengakibatkan ∙ ∈ ∩

Jadi, terbukti bahwa ∩ merupakan Submodul di .

26

2. Karena dan merupakan Submodul di , maka0 ∈ dan0 ∈ . Akibatnya0 ∈ + . Sehingga, + bukan merupakan himpunan kosong.

Diberikan sebarang ∈ ℝ dan + , + ∈ +

Karena dan merupakan Submodul di maka memenuhi − ∈ dan − ∈ . Akibatnya,( + ) − ( + ) = ( − ) +

( − ) ∈ + .

Selanjutnya, Karena dan masing-masing merupakan Submodul di maka memenuhi operasi pergandaan skalar yaitu ∙ ∈ dan ∙ ∈ yang mengakibatkan ∙ ( + ) = + ∈ + .

Jadi, terbukti bahwa + merupakan Submodul di .

Diberikan Ring R dengan elemen satuan, pada bagian sebelumnya telah dijelaskan tentang Modul yang merupakan Modul kiri. Suatu Submodul dapat dibangun oleh himpunan yang akan didefinisikan sebagai berikut.

2.4 Homomorfisma Modul

Modul merupakan generalisasi dari ruang vektor dan ditransformasikan linear pada ruang vektor juga dapat digeneralisasi pada Modul, yang disebut dengan Homomorfisma Modul. Homomorfisma Modul dapat dibentuk jika ada dua Modul atas Ring yang sama dan ada fungsi yang memetakan dua Modul tersebut.

Untuk lebih jelasnya akan definisikan mengenai Homomorfisma Modul.

27

Definisi 2.4.1

Misalnya Ring dan , Modul atas Ring

1. Pemetaan : → merupakan Homomorfisma Modul jika memenuhi aksioma berikut:

(a) ( + ) = ( ) + ( ), ∀ , ∈ (b) ( ) = ( ), ∀ ∈ , ∈ .

2. Homomorfisma Modul dikatakan Monomorfisma jika fungsi bersifat injektif dan dikatakan Epimorfisma jika fungsi bersifat surjektif. Jika fungsi bersifat injektif dan surjektif maka fungsi dikatakan

Isomorfisma. Modul dan dikatakan isomorfik, dinotasikan ≅ , jika terdapat Isomorfisma Modul dengan pemetaan : → (Dummit dan Foote, 2004).

Himpunan Homomorfisma dari ke dinotasikan sebagai ( , ) atau ( , ). Untuk ∈ ( , ) didefinisikan kernel dan image dari , yaitu

= { ∈ | ( ) = 0}

= { ( ) ∈ | ∈ ]

merupakan Submodul dari dan merupakan Submodul dari (Wisbauer, 1991).

Untuk memperjelas definisi Homomorfisma Modul atas suatu Ring. Pada halaman selanjutnya diberikan contoh Homomorfisma Modul.

28

Contoh 2.4.2

Diberikan suatuℤ dan ℤ[ ] keduanya merupakan ℤ-Modul. Pemetaan ℤ → ℤ[ ] dengan definisi ( ) = , dimana ∈ ℤ, merupakan Homomorfisma Modul, karena

1. ( + ) = ( + )

= +

= ( ) + ( ), untuk setiap , ∈ ℤ 2. ( ) = ( )

= ( )

= ( ), untuk ∈ ℤ dan ∈ ℤ.

Proposisi 2.4.3

Diberikan , dan Modul atas Ring .

(1) Pemetaan ∶ → adalah Homomorfisma Modul atas Ring jika dan hanya jika ( + ) = ( ) + ( ), untuk setiap , ∈ dan ∈ . (2) Diberikan , dan didefinisikan + oleh ( + )( ) = ( ) + ( ),

untuk setiap ∈ .

Selanjutnya, + ∈ ( , ) dan dengan operasi ini ( , ) disebut Grup Abel. Jika Ring komutatif maka ∈ didefinisikan oleh ( )( ) = ( ) , untuk setiap ∈ .

Kemudian, ∈ ( , ) dan dengan perlakuan ini ( , ) yang merupakan Grup Abel dengan Ring Komutatif merupaka -Modul.

(3) Jika ∈ ( , ) dan ∈ ( , ) maka ∘ ∈ ( , ).

29

Bukti

(1) Jika adalah Homomorfisma -Modul, maka ( + ) = ( ) + ( ).

Sebaliknya, jika ( + ) = ( ) + ( ), maka dengan mengambil = 1 diperoleh ( + ) = ( ) + ( ). Selanjutnya, dengan mengambil = 0, diperoleh ( ) = ( ). Jadi, merupakan Homomorfisma -Modul.

(2) Mengulas lagi, untuk memperlihatkan bahwa semua Grup Abel dan aksioma R-Modul yaitu dengan menggunakan definisi. Ring Komutatif digunakan untuk menunjukkan memenuhi aksioma kedua dari Homomorfisma

-Modul, yaitu:

( )( ) = ( ), (dengan definisi )

= ( ), (karena Homomorfisma)

= ( ), (karena Komutatif)

= ( )( ).

(3) Diberikan sebarang ∈ ( , ) dan ∈ ( , ) dan ∈ , , ∈ , maka:

( ∘ )( + ) = ( + )

= ( ( ) + ( )) , (sifat (1))

= ( ( )) + ( ( )), (sifat (1))

= ( ∘ )( ) + ( ∘ )( )

Jadi, dari (1) ∘ adalah Homomorfisma Modul atas Ring (Dummit dan Foote, 2004).

30

Homomorfisma Modul yang memetakan ke disebut dengan Endomorfisma dari Modul , berikut definisinya.

Definisi 2.4.4

Ring ( , ) disebut Endomorfisma Ring dari Modul dan dinotasikan dengan ( ) atau ( ). Elemen di ( ) disebut Endomorfisma (Dummit dan Foote, 2004).

Untuk lebih memahami Endomorfisma Modul, berikut diberikan contohnya.

Contoh 2.4.5

Didefinisikanℝ = {( , , … , )| , , … , ∈ ℝ}, dengan ℝ Modul atas Ringℝ terhadap operasi pergandaan skalar. Pemetaan dari ℝ ke ℝ yaitu untuk setiap ∈ ℝ, ( ̅) = ( ̅), maka:

( ̅ + ) = ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( , , … , ) + ( , , … , )

= ( ̅) + ( )

Dan untuk setiap ∈ , ̅ ∈ ℝ , maka:

( ̅) = ( , , … , )

= ( , , … , )

= ( , , … , )

= ( , , … , )

= ( , , … , )

= ( ̅), jadi merupakan Homomorfisma.

31

2.5 Jumlah Langsung (Direct Sum)

Suatu Modul dapat dioperasikan dengan pergandaan skalar dan juga dapat

dioperasikan dengan Jumlah Langsung atau direct sum yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.5.1

Diberikan , Submodul dari Modul atas suatu Ring . Jika = + dan ∩ = 0 maka disebut Jumlah Langsung dari dan , dinotasikan dengan = ⊕ dan , disebut direct summand dari .

Pada kasus ini, setiap ∈ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai

= + dengan ∈ , ∈ dan , disebut hasil Jumlah

Langsung dari .

Jika adalah hasil langsung, maka terdapat Submodul di dengan = ⊕ (Wisbauer, 1991).

Hasil Jumlah Langsung dari Modul adalah dari sedemikian sehingga

⊕ = untuk suatu Submodul dari (Grillet, 1999).

Untuk lebih jelasnya, akan diberikan contoh Jumlah Langsung dari suatu Ring.

Contoh 2.5.2

Diberikanℤ-Modul ℤ⁶, maka {0}, {0,3}, {0,2,4},ℤ⁶merupakan Submodul dariℤ⁶ sebagaiℤ-Modul. Perhatikakan bahwa {0,3}+{0,2,4}= ℤ⁶ dan

32

{0,3}∩{0,2,4}={0}. Dengan demikian Submodul {0,3} merupakan hasil Jumlah Langsung dari Modulℤ6.

Dalam teorema berikut diberikan sifat Jumlah Langsung dari Modul atas suatu Ring.

Teorema 2.5.3

Jika Modul atas Ring dan , , … , Submodul dari sedemikian sehingga

(1) = + + ⋯ +

(2) ∩ ( + + ⋯ + + + ) = 0,untuk 1 ≤ ≤ maka

≅ ⊕ ⊕ … ⊕ .

Bukti

Diberikan : → dengan ( ) = untuk semua ∈ dan didefinisikan

: ⊕ ⊕ … ⊕ →

Dengan operasi

( , , … , ) = ( + + ⋯ + )

adalah Homomorfisma Modul atas Ring dan dengan mengikuti kondisi (1) maka surjektif. Diberikan( , , … , ) ∈ ker( ), maka

( + + ⋯ + ) = 0 sehingga untuk 1 ≤ ≤ diperoleh

= −( + + ⋯ + + + ⋯ + ).

Oleh karena itu,

= ∩ ( + + ⋯ + + + ) = 0. Maka ( , , … , ) = 0 dan adalah Isomorfisma (Adkins dan Weintraub, 1992).

33

Dari pendefinisian Jumlah Langsung suatu Modul atas Ring, berikut diberikan definisi dari Submodul Komplemen.

Definisi 2.5.4

Jika M adalah -Modul dan ⊆ merupakan Submodul, katakan bahwa yaitu Jumlah Langsung dari , atau komplemen di , jika terdapat Submodul

⊆ maka = ⊕ .

Untuk lebih jelasnya, berikut diberikan contoh Submodul Komplemen dari suatu Modul atas Ring.

Contoh 2.5.5

Diberikan = dan = . Jika = 〈 〉 maka tidak memiliki

komplemen karena hanyalah Subgrup dari yang berorder , jadi kondisi ini tidak memungkin Teorema 2.5.3 bagian (2) terpenuhi (Adkins dan Weintraub, 1992).

2.6 Darap Langsung (Direct Product)

Darap Langsung atau Direct product dari suatu Modul merupakan cartesian product dengan operasi penjumlahan secara sepotong-sepotong (componentwise) dan pergandaan skalar untuk setiap anggota dari Submodul-submodul yang akan didefinisikan pada halaman selanjutnya.

34

Definisi 2.6.1

Darap Landung suatu( )_∈ dari -Modul adalah cartesian product∏_∈ ( himpunan semua( )_∈ sedemikian sehingga ∈ untuk setiap i ) dengan penjumlahan sepotong-sepotong (componentwise) dan pergandaan skalar dari setiap komponen .

( )_∈ + ( )_∈ = ( + )_∈ ( )_∈ = ( )_∈ (Grillet, 1999).

2.7 Category

CategoryC berisi obj(C ) objek, himpunan morfisma ( , ) untuk setiap pasangan terurut( , ) dari objek, dan komposisi ( , ) × ( , ) →

( , ), dinotasikan dengan ( , ) ↦ untuk setiap terurut , , sehingga memenuhi aksioma berikut :

 Asosiatif

Jika : → , : → , ℎ: → , maka (ℎ ) = ℎ( ),

 Identitas

Untuk setiap objek terdapat morfisma1 : → sedemikian sehingga untuk setiap morfisma : → maka 1 = 1 = .

Contoh 2.6.1

 Himpunan : Himpunan merupakan objek dan fungsi merupakan morfisma.

 Grup : Grup merupakan objek dan Homomorfisma merupakan morfisma.

35

 Ring : Ring merupakan objek dan Ring Homomorfisma merupakan morfisma

 -Modul : objek merupakan -Modul dan -Modul Homomorfisma merupakan morfisma (Rotman, 2002).

27

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2016/2017 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan langkah- langkah sebabai berikut:

1. Membuktikan Darap Langsung (direct product) dan Jumlah Langsung (direct sum) merupakan suatu Modul.

2. Membuktikan Darap Langsung (direct product) dan Jumlah Langsung (direct sum) merupakan product dan coproduct dalam category R-Modul 3. Membuktikan R-Homomorfisma merupakan suatu Modul.

4. Membuktikan Isomorfisma Darap Langsung (direct product) dan Jumlah Langsung (direct sum) dari dua Modul.

5. Memberikan contoh Isomorfisma Darap Langsung (direct product) dan Jumlah Langsung (direct sum) dari dua Modul.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan penelitian, telah dikaji mengenai karakteristik Jumlah Langsung dan Darap Langsung sebagai berikut:

 ( ) ( ) ( )

 ( ) ( ) ( ) dengan dan merupakan Modul atas Ring .

DAFTAR PUSTAKA

Adkins, W.A, Weintraub, S.H. 1992. Algebra An Approach Via Module Theory.

Springer Verlag, New York.

Dummit, D.S. and Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra Third Edition. John Wiley & Sons, Inc., United States of America.

Fraleigh, J.B. 2000. A First Course In Abstract Algebra. Sixth Edition. Adison Wesley Publishing Company, Inc., Philippines.

Grillet, A.P. 1999. Graduate Texts In Mathematics. Second Edition. Springer, New Orleans.

Rotman, J.J. 2002. Advance Modern Algebra. First Edition. Prentice Hall, New Jersey.

Wasbauer, R. 1991. Foundation Of Modules And Ring Theory. Gordon And Breach, philadephia.