Ringkasan Materi Kuliah

Ringkasan Materi Kuliah

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR (PERSAMAAN LINEAR)

1.1 Pendahuluan

Persamaan diferensial yang kita pelajari dalam bab sebelumnya adalah persamaan diferensial yang mengandung satu fungsi yang tak diketahui.. Karena beberapa alasan, antara lain termasuk penerapan dan perampatan (generalisasi), orang menjadi tertarik untuk mempelajari sistem n buah persamaan diferensial dengan n buah fungsi tak diketahui, di mana n merupakan bilangan bulat positif ≥ 2. Dalam bab ini kita hanya memperhatikan sistem dari dua persamaan diferensial dengan dua fungsi yang tak diketahui yang berbentuk

.

1 2 12 1 11

1 a (t)x a (t) x f (t)

x    (1)

.

2 2 22 1 21

2 a (t)x a (t) x f (t)

x   

dengan koefisien a22,a12, n21, a22, dan fungsi-fungsi f1 , f2 ;semua merupakan fungsi t yang kontinu pada suatu selang I dan x1, x2 adalah fungsi t yang tak diketahui.

Dalam bagian ini, kita sajikan beberapa definisi dan beberapa teorema dasar tentang sistem (1) yang disampaikan tanpa bukti. Definisi-definisi dan teorema-teorema ini dengan mudah diperluas ke sistem n persamaan diferensial linear dengan n fungsi-fungsi yang tak diketahui dalam bentuk









 ⁿ

i

i j

i aij t x f t i n

x

1 .

, . . . 2 , 1 ),

( )

( (2)

Dalam bagian berikut kita akan menyajikan dua metode dasar untuk mencari penyelesaian eksplisit dari sistem (1) jika koefisien-koefisien a₁₁, a₁₂, a₂₁ dan a₂₂ semuanya konstanta. Metode-metode ini, dengan tingkat kesukaran yang berbeda, dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem (2) jika koefisien aij semua konstanta.

Definisi 1

Suatu penyelesaian sistem (1) merupakan sepasang fungsi-fungsi x1(t) dan x2(t) yang masing-masing dapat diturunkan pada suatu selang I dan yang jika disubstitusikan ke dalam kedua persamaan dari (1) membuat identitas dalam t untuk semua t di dalam I.

Sebagai contoh,

2 ) 3

( 4, 5 2 ) 3

( ₂

1 t  t  x t t

x

merupakan penyelesaian sistem t

x x1  ₂ 

.

1 3

2 _{1 2}

2

.   x  x 

x (3)

untuk semua t, seperti pembaca dapat membuktikannya dengan mudah.

Kadang-kadang tepat (dan sesuai untuk mempelajari sistem yang lebih umum) untuk menyatakan penyelesaian (1) dengan vektor kolom



 



 ) (

) (

2 1

t x

t x

Sebagai contoh,























 2 3 4 5 2 3

t t

merupakan penyelesaian sistem (3).

Definisi 2

Jika kedua fungsi f₁ dan f₂ dari (1) sama dengan not, sistem itu disebut homogen. Dalam hal lain sistem itu disebut takhomogen.

Sebagai contoh, sistem (3) adalah takhomogen. Sebaliknya, sistem

1 2 .

x x 

2 2 1

.

3

2x x

x   (4)

adalah homogen. Pembaca dapat membuktikan bahwa kedua vektor













t t

e e ] . dan













t t

e e

2 2

2 (5)

merupakan penyelesaian sistem (4).

Untuk sebagian besar, teori sistem linear mirip teori persamaan diferensial linear. Kita perhatikan sistem homogen

2 12 1 1 11

.

) ( )

(t x a t x a

x  

2 22 1 2 21

.

) ( )

(t x a t x a

x   (6)

di mana koefisien-koefisien a₁₁, a₁₂, a₂₁, dan a₂₂ merupakan fungsi-fungsi kontinu pada suatu selang I. Seperti dalam hal persamaan diferensial linear, kita mempunyai teorema berikut ini.

Teorema 1

Setiap kombinasi linear dari penyelesaian-penyelesaian (6) juga merupakan suatu penyelesaian (6).

Sebagai contoh, kedua vektor kolom dalam (5) masing-masing adalah penyelesaian sistem (4); karena itu, untuk setiap konstanta c₁, dan c₂ kombinasi linear















 











 













t t

t t

t t

t t

e c e c

e c e c e

c e e c e

2 2 1

2 2 1

2 2

2

1 2 2

(7) juga suatu penyelesaian dari (4).

Definisi 3 Vektor kolom

0 , 0



 





yaitu, x1 (t) = 0, x2 (t) ≡ 0, merupakan penyelesaian dari (6) untuk setiap pilihan koefisien-koefisiennya. Penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial. Setiap penyelesaian dari (6) yang lain disebut penyelesaian taktrivial.

Definisi 4

Dua penyelesaian



 



 ) (

) (

21 11

t x

t

x dan 



 



 ) (

) (

22 12

t x

t

x (8)

ini berarti,



 



 



 



 



 





0 0 ) (

) ( )

( ) (

22 12 2 21

11

1 x t

t c x t x

t

c x untuk semua t dalam I

Ini berarti

0 ) ( )

( 0

) ( )

( _{2 12 1 21 2 22}

11

1x t c x t  danc x t c x t 

c

untuk semua t dalam I mengakibatkan cl = c2 = 0. Sebaliknya pernyataan (8) dikatakan penyelesaian tergantung linear.

Sebagai contoh, kita dapat menunjukkan bahwa kedua penyelesaian dalam (5) adalah penyelesaian bebas linear dari (4). Jelaslah, jika

0 , 0 2 ²

2

2

1 



 















 













t t

t t

e c e e c e

maka c₁e^t  c₂e^2t 0 dan c₁e^t  2c₂e^2t 0. Kurangkan persamaan pertama dari kedua, kita peroleh c₂e^2t 0. Jadi c2 = 0. Akibatnya, persamaan pertama menjadi c₁e^t  0dan dengan demikian c1 = 0. Jadi c1 = c2 = 0, yang menentukan tuntutan kita. Pembaca dapat membuktikan bahwa













t t

e e

2 2

2

dan 











t t

e e

2 2

6

3 (9)

merupakan penyelesaian dari (4) yang tergantung linear.

Kriteria berikut, mengingatkan bahwa determinan Wronski dapat digunakan untuk memeriksa ketergantungan atau kebebasan linear penyelesaian-penyelesaian dari sistem (6).

Teorema 2

Kedua penyelesaian



 



 



 





) (

) ( )

( ) (

22 12

21 11

t x

t dan x t x

t x

dari sistem

2 12 1 1 11

.

) ( )

(t x a t x a

x  

2 22 1 2 21

.

) ( )

(t x a t x a

x  

adalah bebas linear pada suatu selang I, jika dan hanya jika determinan Wronski

) 0 ( )

(

) ( )

(

22 21

12

11 

t x t

x

t x t

x

Sebagai contoh, kedua penyelesaian (5) dari sistem (4) adalah bebas linear, karena t

semua untuk

e e e e

e e

e _{t t t}

t t

t t

0 2

2

3 3 3 2

2









Sebaliknya, kedua penyelesaian (9) dari sistem (4) adalah tergantung linear, karena

. 0 6

6 6

2

3 _{4 4}

2 2

2 2





 ^{t t}

t t

t t

e e

e e

e e

Teorema dasar keujudan dan ketunggalan untuk sistem linear berikut disajikan tanpa bukti. Pembaca akan mengakui kemiripan yang sangat antara teorema ini dan teorema keujudan-ketunggalan dari Bab 2.

Teorema 3

Misalkan bahwa koefisien-koefisien a11, a12, a21, a22 dan fungsi-fungsi f1 dan f2

dari sistem

) ( )

( )

( _{1 12 2 1}

1 11 .

t f x t a x t a

x   

) ( )

( )

( _{1 22 2 2}

2 21 .

t f x t a x t a

x    (1)

semua kontinu pada suatu selang I. Misalkan t₀ sebuah titik di dalam I dan misalkan x₁₀ dan x₂₀ dua konstanta yang diketahui. Maka MNA yang terdiri dari sistem (1) dan syarat awal

20 0

2 10

0

1(t ) x , x (t ) x

x  

mempunyai penyelesaian tunggal.



 



 ) (

) (

2 1

t x

t x

Selanjutnya, penyelesaian tunggal ini berlaku pada seluruh selang I.

Dengan menggunakan teorema di atas, pembaca dapat membuktikan (dengan substitusi langsung) bahwa penyelesaian tunggal MNA

1 3

2 _{1 2}

. 1 2 .













x x x

t x x

t

(10)

4 ) 5 0 (

1 ) 0 (

2 1







 x x

berbentuk

4 5 2 3 4 ) 1

1(t  e  t 

x ^t (11)

2 3 4

) 1

2(t  e t

x ^t

Teorema 4

Ada dua penyelesaian bebas linear dari sistem

2 12 1 1 11

.

) ( )

(t x a t x a

x  

2 22 1 2 21

.

) ( )

(t x a t x a

x   (6)

Selanjutnya, jika kedua vektor kolom



 



 



 





) (

) ( )

( ) (

22 12

21 11

t x

t dan x t x

t x

merupakan penyelesaian bebas linear dari (60, maka penyelesaian umum dari sistem (6) diberikan oleh

) ; (

) ( )

( ) ( )

( ) (

22 12 2 21

11 1 2

1 



 



 



 



 



 





t x

t c x t x

t c x

t x

t x

ini berarti,

), ( )

( )

(

) ( )

( )

(

22 2 21

1 2

12 2 11

1 1

t x c t x c t x

t x c t x c t x









dimana c₁ dan c₂ konstanta sebarang

Sebagai contoh, penyelesaian umum dari (4) diberikan oleh

; 2

] )

( ) (

2 2

2 1

2 1











 











 



 





t t

t t

e c e e c e t x

t x

ini berarti,

t t

et

t c e dan x t ce c e

e c t

x₁( ) ₁  _{2 2}( )  ₁  2 ₂ ² (12)

Teorema 5

Jika kedua peyelesaian



 



 



 





) (

) ( )

( ) (

22 12

21 11

t x

t dan x t

x t x

dari sistem

2 22 1 2 21

.

.

2 12 1 1 11

.

) ( )

(

) ( )

(

x t a x t a x

x t a x t a x









adalah bebas linier dan jika











 ) (

) (

2 1

t x

t x

p p

merupakan penyelesaian khusus dari sistem ) ( )

( )

( _{1 12 2 1}

1 11 .

t f x t a x t a

x   

) ( )

( )

( _{1 22 2 2}

2 21 .

t f x t a x t a

x    (1)

penyelesaian umum dari (1) diberikan oleh

) ; (

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

2 1

22 12 2 21

11 1 2

1











 



 



 



 



 



 





t x

t x t

x t c x t x

t c x

t x

t x

p p

ini berarti

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

2 22

2 21

1 2

1 12

2 11

1 1

t x t x c t x c t x

t x t x c t x c t x

p p













1.2 Metode Eliminasi

. Tujuan metode ini ialah untuk mengubah sistem linear yang diberikan ke suatu persamaan diferensial tunggal dalam satu fungsi yang tak diketahui dengan mengeliminasikan peubah bebas lainnya.

Contoh 1

Cari penyelesaian umum sistem linear homogen

2 1 2

2

3

2x x

x x x











 (1)

Penyelesaian

Dengan menurunkan kedua ruas dari persamaan pertama menurut t, dan menggunakan persamaan kedua kita peroleh

. 3

2 _{1 2}

2

1 x x x

x     



Dari persamaan pertama dalam (1) diketahui bahwa x₁ x₁, jadi

1

1 3

2x x

x 



0 2

3 _{1 1}

1  

x x x (2)

. Penyelesaian umum Persamaan (2) berbentuk

t

t c e

e c t

x₁( ) ₁  ₂ ² (3)

t

t c e

e c t

x₂( )  ₁  2 ₂ ² (4)

Metode eliminasi dapat juga diterapkan pada sistem takhomogen.

Contoh 2 Cari penyelesaian umum sistem takhomogen t

x x₁  ₂ 

1 3

2 _{1 2}

2   x  x 

x (5)

Penyelesaian Seperti pada contoh sebelumnya, dengan menurunkan kedua ruas dari persamaan pertama menurut t dan menggunakan persamaan kedua, kita peroleh

. 2 3 2

1 _{1 2}

2

1  x    x  x 

x 



Dengan menggunakan persamaan pertama dalam (5) did apat .

2 ) ( 3

2 _{1 1}

1   x  x t 

x 



. 2 3 2

3 _{1 1}

1    

x x x t (6)

Jadi, kita telah berhasil mengeliminasikan peubah x2 dari sistem (5), dan memperoleh diferensial takhomogen (6), yang memuat satu fungsi dan dapat diselesaikan. Penyelesaian persamaan homogen yang berkaitan dengan Persamaan (6) berbentuk.

t t

h ce c e

x₁  ₁  ₂ ² (7)

Penyelesaian khusus dari Persamaan (6) berbentuk x_1p  At  x_1p  A, 3

2 2 3 2

2 3

1 0 A At  B t   A

x_p



dan

2

2 3

2

3     

 A B A dan B ⁵₄x_1p  ₂³t  ⁵₄ (8) Dengan menjumlahkan (7) dan (8), kita peroleh penyelesaian umum Persamaan (6)

4 5 2 2 3

2 1

1(t) ce  2c e t t 

x ^{t t} (9)

Sekarang dari persamaan pertama (5), kita punyai x₂  x₁t, jadi

2  



 ^{t t}

Persamaan (9) dan (10) merupakan penyelesaian umum dari (5) Contoh 3 Selesaikan MNA

2 1

1 3x 4x

x   (11)

2 1

2 2x 3x

x   (12)

3 ) 0 ( , 1 ) 0

( ₂

1   x 

x (13)

Penyelesaian

Dengan menurunkan kedua ruas dari (11) dan dengan menggunakan (12) kemudian menggunakan (11) lagi, kita peroleh

) 3 ( 3 8 3 12

8 3

) 3 2 ( 4 3 4

3

1 1 1

1 2

1 1

2 1 1

2 1 1

x x x

x x

x x

x x x

x x x



















































,

1 0

1  

 x x Jadi,

. )

( _{1 2}

1

t

t c e

e c t

x   ^ (14)

Jadi, dari Persamaan (11) kita dapatkan

, 2 4

3 3

3

4x₂  x₁  x₁  c₁e^t  c₂e^t  c₁e^t  c₂e^t  c₁e^t  c₂e^t

Dan juga.

t

t c e

e c t

x₂( )  ₁  ₂¹ ₂ ^ (15)

Dengan menggunakan syarat awal (13) dalam persamaan (14) dan (15), kita peroleh

. 3 1

2 2 1 1

2 1









 c c

c c

Jadi, c1 = 7, c2 = -8, dan penyelesaian MNA (11)-(13) berbentuk

. 4 7 ) (

8 7 ) (

2 1

t t

t t

e e t x

e e t x













Contoh 4

Cari penyelesaian umum sistem

2 1

1 x  x

1

2 x

x 

Penyelesaian

Turunkan kedua ruas dari persamaan pertama menurut t dan gunakan persamaan kedua, kita peroleh x₁ x₂  x₁x₁x₁0x₁

 

t c₁e^t c₂e^t. Setelah kita mendapatkan x1(t), kita cari x2(t) dari persamaan pertama atau dari persamaan kedua dalam sistem itu. Jika kita gunakan persamaan pertama, kita dapatkan

 

_{1 2} 1

2 t ce^t c e^t 

x , dan bagaimana kita harapkan, penyelesaian umum sistem itu mengandung dua konstanta sebarang. Tetapi, jika kita mencari x₂(t) dari persamaan kedua dalam sistem itu, kita harus mengintegralkan dan menghasilkan konstanta sebarang yang ketiga. Dalam hal ini x₁

 

t c₁e^t c₂e^t dan

 

_{1 2 3}

2 t ce c e c

x  ^t  ^t  . Jika kita substitusikan fungsi-fungsi itu ke dalam sistem di atas dan suku-suku yang serupa disamakan, kita dapatkan bahwa c3 sama dengan -1. Jadi penyelesaian umum itu berbentuk

 

t ce^t c e ^t

x₁  ₁  ₂ ^ , x₂

 

t c₁e^t c₂e^t 1

1.3. Metode Matriks

Metode dalam bagian ini, yang dikenal sebagai metode matriks, mempunyai keuntungan karena dapat dengan mudah dikembangkan ke sistem persamaan diferensial linear dalam n buah fungsi yang takdiketahui dan dengan koefisien konstan.

Demi kemudahan, kita sajikan segi utama dari metode ini dalam kasus khusus dari sistem linear homogen dengan koefisien konstanta dari bentuk

2 22 2 12 2

2 12 1 11 1

x a x a x

x a x a x











 (1)















 





t t

e A

e A x

x



 2 1

2

1 (2)

Konstanta A1, A2, dan  akan ditentukan kemudian dengan persyaratan bahwa x₁  A₁e^tdan x₂  A₂e^t memenuhi sistem (1). Dengan melakukan substitusi (2) ke dalam (1), kita dapatkan bahwa A1, A2, dan  harus memenuhi persamaan

t t

t a Ae a Ae

e

A₁ ^  _{11 1} ^  _{12 2} ^

t t

t a Ae a Ae

e

A₂ ^  _{21 1} ^  _{22 2} ^

Dengan membagi seluruhnya oleh e^t dan mengelompokkan suku-suku yang serupa, kita peroleh padanan sistem

 



22



2 ^00. 1

21

2 12 1 11













A a

A a

A a A a



 (3)

Sistem (3) hanya terdiri dari dua persamaan, yang memuat tiga besaran yang takdiketahui, , A₁, dan A₂. Meskipun demikian, kita dapat menyelesaikan sistem ini dengan cara berikut. Kita tinjau sistem (3) sebagai suatu sistem persamaan diferensial linear homogen, karena



A₁,A₂

  

 0,0 menghasilkan peyelesaian trivial x₁

 

t 0, x₂

 

t 0 dari sistem (1). Jadi,



A₁, A₂



harus berbeda dari (0,0).

Sekarang kita tinjau kembali (Apendik A) bahwa suatu sistem persamaan aljabar yang homogen mempu nyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika determinan koefisiennya sama degan nol. Dalam hal sistem (3), ini berarti ada penyelesaian



A₁,A₂

  

 0,0 jika dan hanya jika

; 0

22 21

12

11 







 a a

a

a (4)

atau



_{11 22}



_{11 22 12 21} 0.

2 a a a a a a 

 (4’)

Definisi 1

Persamaan (4’) dsebut persamaan karakteristik dari sistem (1), dan akar-akar persamaan karakteristik itu disebut akar-akar karakteristik dari sistem.

Akan berguna bagi pembaca untuk mencatat keadaan ini, bahwa determinan dalam persamaan (4) diperoleh dari determinan

22 21

12 11

a a

a a

Dari koefisien sistem (1) dengan mengurangi unsur diagonal utamanya oleh . Dalam analisis matriks, persamaan (4) disebut persamaan karakteristik dari matriks

22 21

12 11

a a

a

a (5)

Dan akar-akar persamaan karakteristik itu disebut akar-akar karakteristik atau nilai eigen matriks (5).

Andaikan ₁ dan ₂ akar-akar karakteristik sistem (1), maka ada tiga kemungkinan yang terjadi, yaitu;

1) ₁ ₂. selesaiannya adalah















 





t t

e A

e A x

x





2 1

2

1 dan















 





t t

e A

e A x

x





2 1

2 1

2)₁ ₂, selesaiannya adalah















 





t t

e A

e A x

x



 2 1

2

1 dan

 

 















 



 





t t

e b t a

e b t a x

x

1 1

2 2

1 1

2 1





3)₁abi,₂ abi..



 











 t bi a

t bi a

e A

e A x

x

) ( 2

) ( 1 2

1 dan 



 











 t bi a

t bi a

e A

e A x

x

) ( 2

) ( 1 2

1

(6) Contoh 1 Cari penyelesaian umum sistem homogen

2 1 2

2 1 1

6 3 2

x x x

x x x













 (7)

Penyelesaian

Akan kita cari suatu penyelesaian dari sistem (7) yang berbentuk















 





t t

e A

e A x

x

1 1

2 1

2 1





(8)

 adalah akar persamaan karakteristik (ingat bahwa 6

, 3 ,

1 ,

2 _{12 21 22}

11 a  a  dan a 

a )

. 0 15 8 ,

6 0 3

1

2 ₂







 



  



 atau

Akar-akar karakteristiknya adalah ₁ 3 dan ₂ 5. Jika  ₁ 3, konstanta A₁ dan A₂ dari penyelesaian (8) harus memenuhi sistem homogen (3), yaitu,

0 3 3

0

2 1

2 1













A A

A A

2

1 A

A 



Dengan memilih A1 = A2 = 1, kita dapatkan penyelesaian













t t

e e

3 3

(9) Jelaslah, setiap penyelesaian taktrivial dari sistem ini (misalnya, A₁ = A₂ = 2) akan memberikan penyelesaian lain yang bergantung linear dengan (9)]. Jika

,

2 5



 sistem (3) menjadi

0 3 3

0 3

2 1

2 1













A A

A A

1

2 3A

A 



Pilihan A₁ = 1 memberikan A₂ = 3, dan kita peroleh penyelesaian lain dari (7)













t t

e e

5 5

3 (10)

Mudah dilihat (dengan menerapkan Teorema 2 daei Bagian 3.1) bahwa kedua penyelesaian (9) dan (10) dari sistem (7) adalah bebas linear, dan karena itu penyelesaian umum dari (7) adalah

; 3 ⁵

5

3 2 3

1 2 1











 











 



 





t t

t t

e c e e c e x x

Ini berarti,

t t

t t

e c e c x

e c e c x

5 2 3 1 2

5 2 3 1 1

3







Contoh 2

Cari penyelesaian umum sistem

2 1 2

2 1 1

2 9 2

x x x

x x x











 (11)

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari sistem (11) adalah . 0 13 4 ,

2 0 9

1

2 ₂







 



  



 atau

Dengan akar-akar karakteristtik ₁23i dan₂ 23i. Bila₁ 23i , konstanta-konstanta A₁ dan A₂ dari penyelesaian (8) memenuhi sistem homogen (3) dengan a₁₁2,a₁₂ 1,a₂₂2, dan ₁ 23i . Jadi,

0 3

9

0 3

2 1

2 1







 iA A

A iA

1

2 3iA

A 



Dengan memilih A1 = 1, kita dapatkan A2 = -3i, dan karena itu.

 

  











 ^

 t i t i

ie e

3 2 3 2

3 (12)

Merupakan sebuah penyelesaian dari (11). Jika ₂ 23i, konstanta-konstanta A1 dan A2 dari penyelesaian (8) memenuhi sistem homogen (3) dengan

, 2 ,

1 ,

2 _{12 22}

11 a  a 

a dan ₁ 23i . Jadi

 

  













 t i t i

ie e

3 2 3 2

3 (13)

Merupakan penyelesaian (11). Dengan menerapkan Teorema 2 dari Bagian 3.1, mudah dilihat bahwa penyelesaian (12) dan (13) dari sistem (11) adalah bebas linear, dan karena itu penyelesaian umum dari (11) berbentuk

, 3

3 ^{(2 3)}

) 3 2 (

) 2 3 2 ( ) 3 2 (

1 2 1











 













 



 













t i t i

t i t i

ie c e ie

c e x

x (14)

Di mana c dan c konstanta-konstanta sebarang.

Contoh 3

Cari penyelesaian umum sistem

2 1 2

2 1

2x x x

x x











 (15)

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari (15) adalah . 0 1 2 ,

2 0 1

1 ₂







 



  



 atau

Dengan akar-akar karakteristik ₁ ₂ 1. Karena itu, konstanta A₁ dan A₂ dari

sistem (8) memenuhi sistem homogen (3) dengan

. 1 ,

2 ,

1 ,

0 _{12 22}

11 a  a  dan  

a Jadi

0 0

2 1

2 1













A A

A

A  A₁  A_2.

Dengan memilih A1 = A2 = 1, kita peroleh penyelesaian













t t

e

e (16)

Karena akar-akar karakteristiknya sama, kita cari penyelesaian kedua dari (15) yang bebas linear, berbentuk (6),

 



2 2



^,

1 1

2 1















 



 





t t

e b t a

e b t a x

x (17)

Dimana konstanta-konstanta a₁, b₁, a₂, dan b₂ ditentukan demikian sehingga (17) penyelesaian dari (15) yang bebas linear dari (16). Dengan mensubstitusikan



at b



e^t dan x



a t b



e^t

x₁  ₁  _{1 2}  ₂  ₂ ke dalam (15), kita peroleh

   



_{2 2}

 

_{1 1}



2



_{2 2}



.

2

2 2 1

1 1

t t

t t

t t

t

e b t a e b t a e

b t a e a

e b t a e b t a e a























Dengan membagi oleh e^tdan menyamakan koefisien dari t yang berpangkat sama, kita dapatkan

2 1 2 2 1 2 2

2 1 2

1 1

2 ,

2 ,

a a a b b b a

a a b

b a



















 (18)

Atau karena dua persamaan terakhir dalam (18) sepadan dengan dua yang pertama

2 1 2

1

1 b b , a a

a    (19)

Sekarang sebarang pilihan dari a₁, b₁, a₂, dan b₂ yang memenuhi (19) dan memberikan suatu penyelesaian yang bebas linear dari (16), dapat diterima.

Misalnya, pilihan a1 = a2 = 1 dan b1 = 0, dan b2 = 1 menghasilkan penyelesaian

 

1 ^,











 ^t

t

e t

te (20)

Yang bebas linear dari (16) (Mengapa ?). jadi, penyelesaian umum dari (15) berbentuk

 

^{1 ;}

2 1

2 1













 











 



 





t t

t t

e t c te e c e x x

atau

 

1 ,

2 1 2 2

1 1

t t

t

t c te dan x ce c t e

e c

x     

Dimana c1 dan c2 konstanta-konstanta sebarang.

Contoh 4

Cari penyelesaian umum sistem

2.

2 1 1

x x

x x







 (21)

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari sistem (21) adalah . 0 1 2 ,

, 2 0

1

1 ₂







 



  



 yakni

Dengan akar-akar karakteristik ₁ ₂ 1. Karena itu, konstanta-konstanta A1

dan A₂ dari penyelesaian (8) memenuhi sistem homogen (3) dengan a₁₁ = 1, a₁₂ = 0, a₂₁ = 0, a₂₂ = 1, dan  1. Maka,

0 . 0 . 0

0 . 0 . 0

2 1

2 1







 A A

A

A  A₁ dan A merupakan konstanta sebarang. ₂

Mula-mula kita pilih A₁ 1, A₂ 0 dan kemudian A₁0, A₂ 1, kita peroleh dua penyelesaian yang bebas linear.



 



 



 





t t

dan e

e 0

0

Jadi, penyelesaian umum dari sistem (21) berbentuk 0 ;

0 ²

1 2

1 



 



 



 



 



 





t t

c e c e

x x

atau

2 .

2 1

1

t

t dan x c e

e c

x  

Sumber Bacaan:

Santoso, Widiarti. (1998). Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern edisi 2. Jakarta: Erlangga