ANALISIS CANGKANG AKSISIMETRIS DENGAN METODA ELEMEN HINGGA

(1)

1 EDISI FEBRUARI 2012

ANALISIS CANGKANG AKSISIMETRIS DENGAN METODA ELEMEN HINGGA

Ir. Effy Hidayaty, MT¹

ABSTRACT

Axyssimetrical shell structures more often found in a variety of civil engineering construction, but there are still obstacles in the direct application of the theory of elasticity, which involve mathematical problem are very complicated. Finite Element Method as a numerical approximation method which is based on the theory of elasticity implemented into a computer program t5o solve the problem of stress and displacement distributed of the axyssimetrical shell structures with axyssimetrical load too. This implemented produces a computer program that can be relied on various shell structure with a good level accuracy and in a time not too long, as in the test case in water tank structure and cooling tower structure.

KATA KUNCI : Cangkang Aksisimetris, metoda Elemen Hingga, Elemen Isoparametrik quadrilateral

1. PENDAHULUAN

Dewasa ini, struktur yang berbentuk cangkang aksisimetris (axisymmetric shell) makin banyak dijumpai pada berbagai konstruksi teknik sipil, seperti pada bangunan tangki air, atap

1 Dosen Tetap Jurusan Teknik Sipil Sekolah Tinggi Teknologi Sapta Taruna, Jakarta

(2)

EDISI FEBRUARI 2012 2

kubah (dome), silo, reaktor nuklir menara pendingin dan lainnya.

Seperti pada bangunan cangkang lainnya, persoalan penentuan distribusi tegangan dan perpindahan tidak dapat dilakukan dengan teori elementer biasa. Demikian juga penerapan teori elas-tisitas secara langsung akan melibatkan persoalan-persoalan matematis yang sangat rumit dan juga hanya untuk bentuk-bentuk pembebanan yang teratur dan sederhana yang dapat diselesaikan dengan teori elastisitas.

Dengan adanya keterbatasan dan kerumitan dalam pemakaian teori elas-tisitas, telah mendorong timbulnya suatu metode pendekatan numerik yang didasarkan pada teori elastisitas ini.

Metode ini dikenal dengan Metode Elemen Hingga (Finite Element Methods). Dalam perkembangannya, metode ini tidak pernah lepas dari pemakaian sarana komputer. Saat ini telah dikembangkan berbagai program untuk menganalisis berbagai persoalan distribusi tegangan dan perpindahan pada berbagai struktur

Salah satu program tersebut adalah untuk menyelesaikan masalah distribusi tegangan dan perpindahan pada struktur cangkang aksisimetris dengan beban aksisimetris pula.

Masalah yang akan dibahas berupa penelitian tentang analisis struktur cangkang aksisimetris dengan menggunakan Metoda Elemen Hingga yang diimplementasikan ke dalam program komputer.

Tujuan penelitian adalah untuk mendapatkan hasil analisis struktur cangkang berupa distribusi tegangan dan perpindahan pada elemen cangkang aksisimetris, dengan tingkat keakuratan hasil yang baik dan dalam waktu yang lebih singkat.

2. METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan untuk mencapai tujuan penelitian tersebut, berupa pengembangan suatu metode pendekatan numerik yaitu Metode Elemen Hingga, yang diimplementasikan ke program

(3)

komputer. Program komputer tersebut akan digunakan dalam analisis struktur cangkang aksisimetris dengan beban aksisimetris, berikut berat sendirinya.

Dalam penelitian ini akan dilakukan uji kasus penggunaan Metoda Elemen Hingga yang diimplementasikan ke dalam program komputer untuk menganalisis struktur aksismetris sederhana. Hasil analisisnya akan dibandingkan dengan hasil analisis konvensional untuk melihat tingkat keakuratan program komputer terrsebut.

Selanjutnya, untuk melihat kemampuan program tersebut menganalisis struktur cangkang aksismetris yang lebih rumit, pada bagian akhir akan diaplikasikan program tersebut pada struktur menara pendingin pada suatu reaktor nuklir.

Metode Elemen Hingga ini mengasumsikan material yang digunakan bersifat homogen, isotropik, serta mempunyai hubungan tegangan yang mengikuti Hukum Hooke.

3. TINJAUAN PUSTAKA

3.1 KONSEP DASAR METODA ELEMEN HINGGA

Metoda Elemen Hingga didasarkan pada bentuk yang tidak beraturan, dimana bentuk elemen tersebut didekati dengan struktur idealisasi yang kontinu terdiri dari diskret elemen kecil (elemen hingga) yang dapat berdimensi satu atau lebih, tergantung dari struktur yang diidealisasikan. Proses pendekatan dilakukan terhadap bentuk struktur seutuhnya, sehingga dapat mengubah struktur dengan derajat kebebasan tak terhingga menjadi struktur dengan derajat kebebasan terhingga. Proses pendekatan ini menggunakan prosedur numerik, dengan asumsi perpindahan atau asumsi tegangan.

Dalam menentukan perpindahan dan tegangan, diperlukan matriks kekakuan yang menghubungkan nodal load dan nodal displacement, dengan menggunakan teori kerja maya (virtual work principle) dan berdasarkan hubungan regangan dan perpindahan,

(4)

      

 

^N

 

^A^d ^d

f





 ^1

…(1) dimana

    

^N ^ ^ ^A^¹ …(2)

: displacement shape function yang merupakan fungsi dari {x,y}

    

^B   ^N ...(3) : matriks regangan -perpindahan akhirnya diperoleh

B EB dV

K ^t ...(4) : matriks kekakuan elemen 3.2 ELEMEN ISOPARAMETRIK

Elemen isoparametrik memungkinkan untuk membentuk elemen yang melengkung dengan menggunakan sistem koordinat yang melengkung dengan tata sumbu koordinat khusus (ζ, η, ξ). Elemen ini cocok untuk analisis cangkang dan aplikasi non-struktural.

Elemen isoparametrik adalah elemen yang mempunyai shape function yang sama untuk mendefinisikan generic geometric dan displacement, atau dinyatakan bahwa [N] identik dengan [N], dimana :

[N] : matriks yang menghubungkan generic geometric dan displacement

[N] : matriks yang menghubungkan generic geometric dan nodal coordinate

3.3 STRUKTUR CANGKANG

Suatu cangkang dapat berupa datar atau lengkung, mempunyai bentuk yang sama dengan plat, tetapi tidak menerima momen dan gaya geser. Batasan suatu cangkang, apabila ketebalan cangkang, t

(5)

jauh lebih lebih kecil dibanding dengan jari-jari kelengkungannya dan besaran lainnya. Permukaan yang membagi ketebalan cangkang sama besar disebut permukaan tengah (middle surface).

Dengan menspesifikasikan bentuk permukaan tengah dan ketebalan cangkang pada setiap titik, maka suatu cangkang ditentukan sepenuhnya secara geometris.

Analisis struktur cangkang dapat menggunakan dua teori, yaitu teori membran dan teori lentur. Teori membran lebih diterapkan pada seluruh cangkang, sedangkan teori lentur mencakup pada lentur (bending) yang memperbolehkan adanya diskontinous pada distribusi tegangan, sehingga dapat dinyatakan teori cangkang lebih sederhana dibandingkan teori lentur.

Asumsi kinematis dasar yang terkait dengan deformasi cangkang tipis, yaitu:

1. Perbandingan ketebalan cangkang terhadap jari-jari kelengkungan pada permukaan tengah relatif kecil,

2. Defleksinya kecil dibandingkan ketebalan cangkang

3. Perpotongan bidang pada cangkang tegak lurus pada permukaan tengah dan tetap tegak lurus setelah deformasi.

Hipotesa menyatakan regangan γxz dan γyz diabaikan.

Regangan normal εz juga dapat dihilangkan.

4. Tegangan normal arah Z dapat diabaikan

3.4 PROSES IDEALISASI ELEMEN CANGKANG AKSISIMETRIS

Elemen aksisimetris ini dikembangkan berdasarkan elemen isoparametrik quadrilateral dengan 8 titik nodal.

Dengan melakukan beberapa prosedur, yaitu membuat sumbu  dan  yang saling tegak lurus, mengurangi dimensi  menjadi tebal t dan melakukan pembatasan-pembatasan, sehingga akhirnya diperoleh elemen axisymmetric shell 3 node, yang selanjutnya disebut elemen AXSH3. Elemen ini merupakan penyederhanaan

(6)

dari elemen isoparametrik quadrilateral 8 titik nodal, karena hanya mempunyai jumlah nodal displacement yang lebih sedikit untuk satu elemen, yaitu 2 translasi dan 1 rotasi pada arah koordinat global. Bentuk geometrik elemen AXSH3 seperti berikut ini.

Gambar 1. Bentuk geometri elemen AXSH3

Regangan untuk elemen AXSH3,





































  3 1

sin cos

2 sin 0 1

cos 0

sin 0

i

i i i

i i i i i i

i i i i

i i i

v u

e d

a b

r t N r

N

e b

d a

 





,,,(5)

dan matriks regangan-perpindahannya,

 





















i i i i i i

i i i i

i i i

i

e d

a b

r t N r

N

e b

d a

B



sin cos

2 sin 0 1

cos 0

sin 0

…(6) dimana :

(7)

 ,

* 11 i

i J N

a 

 ,

* 21 i

i J N

b 

 

2

* 12

i i i

i

N t J a d  _ 

 

2

* 22

i i i

i

N t J b e  _  dan

 1 ,

*

11 z

J  J

 1 ,

*

12 r

J  J 

 1 ,

*

21 z

J  J 

 1 ,

*

22 r

J  J

 

_



 









 , ,

, ,

z r

z J r

dimana :

i i

i i i

N t r N

r  _ _  cos

, ³ 2

1 ,

3

1 , 





i i

i i i

N t z N

z  _ _  sin

, ³ 2

1 ,

3

1 , 





i i

N t

r _ cos

, ³ 2

1 ,





i i

N t

z _ sin , ³ 2

1 ,





Matriks kekakuan elemen ditulis sebagai

(8)

 

^K  ^ ^B^T^E ^B^T ^J ^r^d^ ^d^

  1

1 1

1

2

…(7) Untuk mempermudah integral terhadap η atau arah tebal elemen, maka perlu menghilangkan bagian yang mengandung besaran η dalam persamaan r dan matriks J. Selain itu juga, matriks regangan dan perpindahan perlu dipisahkan antara bagian yang mengandung η dan bagian yang tidak. Bagian yang mengandung η disebut Ba dan yang lainnya Bb, sehingga persamaan matriks kekakuan elemen dituliskan sebagai,

 

K  Ba^TEBa Bb^TEBb J rd



 



 



 1

1 3

2 2 2

…(8)

Tegangan eleman cangkang aksisimetris dapat ditentukan setelah nodal displacement diperoleh.

Pada elemen cangkang, dapat ditentukan tegangan selaput/membrane dan tegangan lentur/flexure.

Pada tegangan membrane, elemen AXSH3 dianggap sebagai elemen membran aksisimetrus dengan hanya mempunyai nodal translasi arah r dan z, masing-masingnya adalah u dan v.Tegangan yang ada adalah σx’ dan σz’.

Gambar 2. Elemen Membran Aksisimetris

(9)

Khusus untuk tegangan lentur, elemen AXSH3 dianggap sebagai balok lengkung dengan nodal displacement sama dengan elemen AXSH3 itu sendiri.

Gambar 3. Elemen Lentur Aksisimetris

3.5 JENIS PEMBEBANAN

Pembebanan yang ditinjau adalah beban aksisimetris saja, Beban ini harus diubah menjadi beban terpusat yang bekerja pada titik nodal, karena displacement yang akan ditentukan adalah juga nodal displacement.

4. ANALISIS & PEMBAHASAN

Metoda Elemen Hingga yang diimplementasikan ke dalam program komputer akan digunakan untuk uji kasus struktur cangkang akisisimetris sederhana dan struktur yang lebih rumit.

4.1 STRUKTUR TANGKI AIR

Uji kasus untuk struktur cangkang aksisimetris sederhana dilakukan pada suatu struktur tangki air. Tangki ini akan dianalisis dengan metoda elemen hingga, yang kemudian hasilnya dibandingkan dengan analisis konvensional plat. Bentuk struktur

(10)

seperti ini sengaja dipilih karena analisis konvensionalnya tidak terlalu rumit karena bentuknya yang sederhana.

Suatu struktur tangki air dengan beban hidrostatis, seperti tergambar. Ketebalan dinding tangki t, konstan sepanjang tingginya dan bagian atas tangki dibiarkan terbuka dan bagian bawahnya terjepit.

Gambar 4. Struktur Tangki Air Data struktur diberikan sebagai berikut:

Ro = 505 cm H = 505 cm T = 40 cm

E = 2380000 t/m² γ air = 1 t/m³

ν = 0,3

METODA ELEMEN HINGGA

Tangki air dibagi atas 20 elemen dengan 41 nodes, yang masing- masingnya mempunyai bentuk yang sama.

(11)

Gambar 5.Beban yang bekerja pada masing-masing elemen

Beban yang bekerja berupa beban hidrostatis, berarti bebannya merupakan beban area dengan bentuk segitiga. Beban terbesar berada pada alas tangki, sebesar 5,5 t/m².

HASIL ANALISIS CANGKANG Dari struktur, diperoleh :

Untuk x = 0, w = 0, 0 dx dw

Dihitung parameter geometris β, yang difformulasikan sebagai

 

2 2

2

4 3 1

4a D a t

t

E 

   ^

 

3

2 2

2

4 3,160 10

550 550

19 , 0 1

3   

 x



dimana :

ν : Poisson’s ratio

a : jari-jari silinder tangki t :tebal dinding tangki D : kekakuan lentur

(12)



²



3

1 12 

 Et

Tekanan pada dinding tangki ditentukan oleh ρr, dimana : ρr= -γ (h – x)

Persamaan differensial cangkang,

 

D x w h

dx w

d⁴₄ 4⁴   Solusi khususnya adalah

 

t E

a x

h ²



dan solusi umumnya adalah,

   











 



 



 

 



 





 f x

x h x h f x t E

h

a 

 

 

2 4

2 1

1 cos 1

Besar perpindahan aksialnya ditentukan oleh,

0 0

u a dx u w

h 



Dimana u(0)=0 atau uo = 0

Nilai f2(βx) dan f4(βx) dapat dilihat pada tabel 11.1 Buku “Stresses in Plates and Shells” karangan A. C. Ugural.

Berikut ini dilampirkan nilai-nilai yang diperoleh dari Metoda Elemen Hingga dan dari hasil analisis cangkang konvensional.

Keti ng- gian

Displacement Radial

Displacement Aksial Hasil

FEM

Hasil Analisis

Hasil FEM

Hasil Analisis

5,550 -8,979E-06 -9,880E-05 -1,070E-03 -1,256E-03 4,125 4,918E-04 5,226E-04 -9,555E-04 -9,670E-04 2,750 9,105E-03 9,267E-03 -6,136E-04 -6,538E-04 1,375 7,810E-03 8,101E-03 -1,763E-04 -1,782E-04

Tabel 1. Perbandingan perpindahan struktur tangki air antara metoda Elemen Hingga dan hasil analisis konvensional

(13)

13 EDISI FEBRUARI 2012 Keting-

gian

Tegangan Membran

TeganganRadial TeganganAksial Hasil

FEM

Hasil Analisis

Hasil FEM

Hasil Analisis

5,550 6,696E-14 6,956E-14 -3,886E-01 -3,921E-01 4,125 -4,492E-13 -4,674E-13 2,129E+01 2,153E+01 2,750 -9,213E13 -9,534E-13 3,948E+01 4,004E+01 1,375 -1,087E-12 -1,241E-12 3,394E+01 3,573E+01

Tabel 2. Perbandingan tegangan struktur tangki air antara metoda Elemen Hingga dan hasil analisis konvensional

Gambar 6. Diagram tegangan membran struktur tangki air

Gambar 7. Diagram tegangan lentur struktur tangki air

(14)

4.2 STRUKTUR MENARA PENDINGIN

Uji kasus struktur cangkang yang lebih rumit dilakukan pada struktur menara pendingin (cooling tower) dengan bentuk dinding hiperbolik. Uji kasus bentuk hiperbolik dilakukan untuk melihat kehandalan analisis Metoda Elemen Hingga.

Struktur menara pendingin mempunyai tebal dinding t dan tinggi H. Konstruksi terbuat dari beton pratekan. Beban yang diterima menara adalah beban cincin dengan intensitas Pr dan berat sendiri menara tersebut sebesar g.

Detail struktur menara digambarkan sebagai berikut.

Gambar 8. Struktur menara pendingin, elemen dan bebannya Ro = 600 inch

R1 = 2 Ro H = 4 Ro Ho = 2,5 Ro T = 8 inch ν = 0,3

(15)

E = 3000 k/in² Pr = 1 k/in²

g = 0,8671 E-04 k/in²

Letak titik-titik menurut persamaan, r² = 0,48(z – Ho)² + Ro

Struktur dibagi atas 19 elemen, dimana masing-masing elemen terdiri dari 3 node, yang berarti total node seluruhnya adalah 39.

Perbedaan jarak antara dua titik dalam arah z adalah : Titik 1-11 11-21 21-29 29-39

10 20 75 150

Struktur bertumpu pada perletakan sendi pada bagian bawahnya.

Untuk menganalisis struktur, diperlukan data-data sebagai berikut : Data Kontrol, Data Koordinat Titik, Data Elemen, Data Restraint, Data Beban berupa Beban Titik, Beban Per-satuan luas, Beban Volume, Beban Hidrostatik.

Dari hasil analisis Metoda Elemen Hingga, diperoleh perpindahan pada masing-masing titik, yaitu :

DN1 : perpindahan arah radial (arah R), DN2 : perpindahan arah meridian (arah Z) DN3 : rotasi pada bidang R-Z

Tegangan yang terjadi terbagi atas dua jenis tegangan, yaitu tegangan membran dan tegangan lentur (flexural). Tegangan membrane yang dihasilkan dalam arah R’, Z’ dan tegangan lentur dalam R’Z’ dan tegangan geser bidang R’Z’.

(16)

EDISI FEBRUARI 2012 16 Gambar 9. Diagram tegangan membran struktur menara pendingin

Gambar 10. Diagram tegangan lentur struktur ttruktur menara pendinginr

4.3 PEMBAHASAN

Dari hasil analisis struktur aksisimetri dengan metoda elemen hingga yang diimplementasikan pada program komputer, diperoleh dua jenis tegangan yaitu tegangan membran dan tegangan lentur.

Tegangan yang terjadi pada struktur yang sederhana, yaitu pada struktur tangki air, berupa tegangan membran pada gambar 6 dan tegangan lentur pada gambar 7. Pada gambar tersebut, terlihat tegangan maksimum lentur terbesar berada pada alas tangki (tumpuan jepit) baik untuk arah R dan Z, serta tegangan geser RZ,

(17)

sedangkan tehgangan membran terbesar pada elemen 13 (sekitar setinggi H/3 dari alas tangki).

Perbandingan hasil analisis Metoda Elemen Hingga dengan metoda konvensional plat memberikan hasil relatif sama, sehingga dapat diartikan bahwa tingkat keakuratannya metoda Elemen Hingga cukup tinggi.

Hasil analisis struktur pendingin memberikan hasil tegangan membran seperti pada gambar 9 dan tegangan lentur pada gambar 10. Waktu yang diperlukan untuk pemrosesan relatif sebentar dan program analisis cangkang aksisimetris dapat digunakan dengan baik untuk struktur yang cukup rumit.

5. KESIMPULAN

Met oda Elemen Hingga yang merupakan analisis pendekatan, adalah salah satu cara pemecahan masalah terhadap sulitnya analisis struktur cangkang. Metoda ini dikembangkan dengan bantuan komputer, kiranya mampu mengatasi masalah-masalah cangkang, seperti bentuk cangkang yang tidak teratur dan pembebanannya yang kompleks.

Analisis cangkang aksisimetris ini dikembangkan dari elemen isoparametrik quadrilateral 8 node menjadi elemen 1 dimensi dengan3 node, serta mempunyai 3 perpindahan, yaitu perpindahan translasi arah R dan Z, serta rotasi RZ. Pengembangan ini menjadikan elemen yang lebih sederhana sehingga memudahkan untuk dianalisis.

Penelitian ini menganalisis cangkang aksisimetris dengan bantuan program komputer yang mengimplementasikan Metoda Elemen Hingga, dengan melakukan uji kasus struktur tangki air sebagai struktur sederhana dan struktur menara pendingin sebagai strukur yang relative rumit. Hasil analisis struktur tangki dibandingkan dengan analisis konvensional plat memberikan hasil yang tidak berbeda jauh (relatif sama) sehingga dapat dinyatakan

(18)

tingkat keakuratannya cukup tinggi. Hasil analisis struktur menara pendingin memberikan hasil yang baik dalam waktu yang tidak terlalu lama, sehingga metoda ini dapat diandalkan dalam menganalisis struktur cangkang yang cukup rumit.

6. DAFTAR PUSTAKA

1. Cook, R. D., Concept and Application of Finite Element Methods, John Wiley & Sons. Inc., United States of America, 1981.

2. Ugural, A. C., Stresses in Plates and Shells, Mc-Graw Hill Inc., United States of America, 1981

3. Gould, P. L., Finite Element Analysis of Shells of Revolution, Pitman Advanced Publishing Program, London, 1985.

4. Timoshenko, S; Woinowsky, S.; Kreiger: Teori Plat dan Cangkang: Terjemahan oleh S. Hindarko, Erlangga, Jakarta, 1986

5. Weaver, W; Johnston. P. R., Elemen Hingga untuk Analisis Struktur, Terjemahan oleh Markus Rubijanto Kusumo, PT.

Eresco, Bandung, 1990.

6. Prathap. G; Babu Ramesh, C., A Field Consistent Three Nodes Quadratic Curved Axissymmetric Shell Element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 23, 711 – 723, 1986

7. Chan, A. S. L.; Trboji. V. Thin Shell Finite Element by The Mixed Method Formulation-part 1, Computer Methods in Applied Mechanic and Engineering 9, London, 1976

8. Chan, A. S. L.; Trboji. V. Thin Shell Finite Element by The Mixed Method Formulation-part 2, Computer Methods in Applied Mechanic and Engineering 9, London, 1976

9. Chan, A. S. L.; Trboji. V. Thin Shell Finite Element by The Mixed Method Formulation-part 3, Computer Methods in Applied Mechanic and Engineering 9, London, 1976

(19)