APLIKASI GRAF PADA PERMAINAN CATUR
APLIKASI GRAF PADA PERMAINAN CATUR
SKRIPSI SKRIPSI
Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Il
Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Il mu Pengmu Pengetahuan Alametahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
Universitas Negeri Yogyakarta
Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Disusun Oleh Disusun Oleh Epri Kurniawan Epri Kurniawan NIM. 06305144031 NIM. 06305144031
PROGRAM STUDI MATEMATIKA PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2010 2010
PENDAHULUAN PENDAHULUAN
A.
A. Latar BelakangLatar Belakang
Matematika mempunyai andil cukup besar dalam kemajauan diberbagai Matematika mempunyai andil cukup besar dalam kemajauan diberbagai bidang. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang turut bidang. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang turut
memberikan andil. Konsep graf Eulerian yang diawali oleh karya Euler pada memberikan andil. Konsep graf Eulerian yang diawali oleh karya Euler pada permasalahan jembatan Konighsberg pada tahun 1736, Euler merupakan permasalahan jembatan Konighsberg pada tahun 1736, Euler merupakan
matematikawan yang terkenal dar
matematikawan yang terkenal dari Swiss.i Swiss.
Konigsberg merupakan suatu kota di Prusia bagian timur Jerman. Di kota Konigsberg merupakan suatu kota di Prusia bagian timur Jerman. Di kota itu mengalir sebuah sungai pregel yang membelah kota dan memisahkan itu mengalir sebuah sungai pregel yang membelah kota dan memisahkan daratannya menjadi empat bagian. Untuk menghubungkan keempat daratan daratannya menjadi empat bagian. Untuk menghubungkan keempat daratan tersebut dibutuhkan tujuh jembatan. Dari hal tersebut dibuat sebuah teka-teki tersebut dibutuhkan tujuh jembatan. Dari hal tersebut dibuat sebuah teka-teki yaitu mungkinkah seseorang berjalan mengelilingi kota yang dimulai dan diakhiri yaitu mungkinkah seseorang berjalan mengelilingi kota yang dimulai dan diakhiri pada tempat yang sama, dengan melintasi ketujuh jembatan masing-masing tepat pada tempat yang sama, dengan melintasi ketujuh jembatan masing-masing tepat
satu kali. satu kali.
Graf merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika Graf merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpresentasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari graf digunakan diinterpresentasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi
sebagai visualisasi objekobjek-objek a-objek agar lebih mudah gar lebih mudah dimengerti.dimengerti. Secara informal, suatu
Secara informal, suatu graf graf adalah himpunan benda-benda yang disebutadalah himpunan benda-benda yang disebut vertex (atau
vertex (atau nodenode)) yang terhubung oleh sisi (atauyang terhubung oleh sisi (atau edgeedge atauatau arcarc)). Biasanya graf . Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan vertex
digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan vertex )) yangyang dihubungk
dihubungkan an oleh garis-garis (melambangkan sisioleh garis-garis (melambangkan sisi ))..
Secara formal atau dalam bahasa matematika, suatu graf disimbolkan Secara formal atau dalam bahasa matematika, suatu graf disimbolkan dengan G terdiri dari
dengan G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu hidua himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titikmpunan titik-titik -titik tidak kosong disimbolkan dengan V(G
tidak kosong disimbolkan dengan V(G)) dan himpunan garisdan himpunan garis-gari-garis disimbolkas disimbolkann E(G
Setiap garis
Setiap garisbberhuerhubbunganungan ((adjacent adjacent )) dengan satu titik atau dua titik, titik-dengan satu titik atau dua titik, titik-titik tersebut disebut
titik tersebut disebut Titik UjungTitik Ujung (( Is Isolating Poinolating Poin)). Garis yang ha. Garis yang ha nya berhubunnya berhubungangan dengan satu titik ujung dinamakan
dengan satu titik ujung dinamakan LoopLoop. Dua garis berbeda yang. Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut
menghubungkan titik yang sama disebut Garis ParalelGaris Paralel..
Dua titik dikatakan berhubungan jika ada garis yang menghubungkan Dua titik dikatakan berhubungan jika ada garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Titik yang tidak mempuyai garis hubung dengan titik lain kedua titik tersebut. Titik yang tidak mempuyai garis hubung dengan titik lain dinamakan
dinamakan Titik TerasingTitik Terasing..
Graf yang tidak mempunyai titik, sehingga tidak mempunyai garis Graf yang tidak mempunyai titik, sehingga tidak mempunyai garis dinamakan
dinamakan Graf KosongGraf Kosong. Berdasarkan jenis garis-garisnya, graf dibedakan dalam. Berdasarkan jenis garis-garisnya, graf dibedakan dalam dua kategori yaitu
dua kategori yaitu Graf BerarahGraf Berarah (( D Directed Graphirected Graph atau yang sering disebutatau yang sering disebut dengan
dengan D Digraphigraph)) dimana semua garis berarah dandimana semua garis berarah dan Graf Tidak BerarahGraf Tidak Berarah ((U U ndirected Graph)) dimana semua garisnya tidak berarah.ndirected Graph dimana semua garisnya tidak berarah.
Lintasan
Lintasan (( Path Path)) bila semua titiknya berbeda. Sedangkan jika setiapbila semua titiknya berbeda. Sedangkan jika setiap sisinya yang berbeda maka jalan tersebut dinamakan
sisinya yang berbeda maka jalan tersebut dinamakan JJekak ekak ((T T rail rail )). Jekan tertutup. Jekan tertutup disebut sirkel sirkuit yangs emua titiknya berlainan disebut sirkuit (
disebut sirkel sirkuit yangs emua titiknya berlainan disebut sirkuit ( CycleCycle)).. Order dari graf, ditulis dengan notasi |V(G
Order dari graf, ditulis dengan notasi |V(G ))|, yang menyatakan banyaknya|, yang menyatakan banyaknya titik pada graf G. Pada graf G, jalan (
titik pada graf G. Pada graf G, jalan (Walk Walk )) v ke w adalah barisan titik-titik v ke w adalah barisan titik-titik berhubungan dan garis secara selang-seling, diawali dari titik v dan diakhiri pada berhubungan dan garis secara selang-seling, diawali dari titik v dan diakhiri pada titik w. Jalan dengan panjang n dari v ke w ditulis sebagai berikut : titik w. Jalan dengan panjang n dari v ke w ditulis sebagai berikut :
dengan
dengan adalah adalah titik- titik-titik
titik ujung ujung garis garis untuk untuk ii = 0, 1, 2, «, n.= 0, 1, 2, «, n. Path denga
Path dengan panjang n darn panjang n dari v ke w adalah wai v ke w adalah walk dari v ke lk dari v ke w yang semuaw yang semua garisnya berbeda dan dituliskan sebagai
garisnya berbeda dan dituliskan sebagai dengan
dengan dengan dengan . Path . Path sederhana sederhana dengan dengan panjang panjang n n dari dari v v ke ke ww adalah path dari v ke w yang semua titiknya berbeda, berbentuk adalah path dari v ke w yang semua titiknya berbeda, berbentuk
dengan
dengan dengan dengan dandan untuk k m.
Sirkuit dengan panjang n adalah path yan dimulai dan diakhiri pada titik Sirkuit dengan panjang n adalah path yan dimulai dan diakhiri pada titik yang
yang sama. sama. Sirkuit Sirkuit adalah adalah path path yang yang berbentuk berbentuk dengandengan . Sirkuit sederhana dengan panjang n adalah sirkuit yang semua titiknya . Sirkuit sederhana dengan panjang n adalah sirkuit yang semua titiknya berbeda.
berbeda. Sirkuit Sirkuit sederhana sederhana berbentuk berbentuk dengandengan dengan
dengan dan dan untuk untuk k k m m kecuali kecuali ..
Dalam perkembangannya aplikasi graf yang sering digunakan untuk Dalam perkembangannya aplikasi graf yang sering digunakan untuk menentukan jarak terpendek, atau yang sering digunakan oleh para penjaja, menentukan jarak terpendek, atau yang sering digunakan oleh para penjaja, traveling, knigh
traveling, knight¶s tour adalah t¶s tour adalah sirkuit Eulesirkuit Euler dan sirkuit Hamilton.r dan sirkuit Hamilton.
Menurut Definisi 8.9 Sirkuit Euler G adalah sirkuit dimana setiap titik Menurut Definisi 8.9 Sirkuit Euler G adalah sirkuit dimana setiap titik dalam G muncul paling sedikit sekali dan setiap garis dalam G muncul tepat satu dalam G muncul paling sedikit sekali dan setiap garis dalam G muncul tepat satu kali (Drs. Jong Jek Siang, 2002 : hal 213
kali (Drs. Jong Jek Siang, 2002 : hal 213 )). Sedangkan sirkuit Hamilton adalah. Sedangkan sirkuit Hamilton adalah suatu gaf terhubung G bila ada sirkuit yang
suatu gaf terhubung G bila ada sirkuit yang mengunjungmengunjungi setiap ti setiap titiknyitiknya tepat sata tepat satuu kali (kecuali titik awal yang sama dengan titik akhirnya
kali (kecuali titik awal yang sama dengan titik akhirnya )) (Drs. Jong Jek Siang,(Drs. Jong Jek Siang, 2002 : hal 220
2002 : hal 220))..
Perbedaan sirkuir Euler dan sirkuit Hamilton adalah pada sirkuit Euler, Perbedaan sirkuir Euler dan sirkuit Hamilton adalah pada sirkuit Euler, semua garis harus dilalui
semua garis harus dilalui tepat satu kali,tepat satu kali, sedangkan semua titiknya bolehsedangkan semua titiknya boleh dikunjungi lebih dari satu kali. Sebaliknya, dalam sirkuit Hamilton semua titiknya dikunjungi lebih dari satu kali. Sebaliknya, dalam sirkuit Hamilton semua titiknya tidak harus dikunjungi tepat satu kali dan tidak harus melaluli semua garisnya. tidak harus dikunjungi tepat satu kali dan tidak harus melaluli semua garisnya. Dalam sirkuit Euler, yang diperhatikan adalah garisnya, sebaliknya dalam sirkuit Dalam sirkuit Euler, yang diperhatikan adalah garisnya, sebaliknya dalam sirkuit Hamilton, yang diperhatikan adala
Hamilton, yang diperhatikan adalah kunjungan pada titiknya.h kunjungan pada titiknya.
Terlepas dari perbedaan antara sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton, terdapat Terlepas dari perbedaan antara sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton, terdapat perbedaan yang nyata tentang cara menentukan apakah suatu graf merupakan perbedaan yang nyata tentang cara menentukan apakah suatu graf merupakan sirkuit Euler dan apakan suatu graf merupakan sirkut Hamilton. Teorema 8.4 sirkuit Euler dan apakan suatu graf merupakan sirkut Hamilton. Teorema 8.4 misalkan G adalah graf terhubung. G adalah sirkuit Euler bila dan hanya bila misalkan G adalah graf terhubung. G adalah sirkuit Euler bila dan hanya bila semua titik dalam G mempunyai derajat genap (Drs. Jong Jek Siang, 2002: hal semua titik dalam G mempunyai derajat genap (Drs. Jong Jek Siang, 2002: hal 216
216)). Sebaliknya, tidak ada syarat-syarat yang pasti untuk menentukan apakah. Sebaliknya, tidak ada syarat-syarat yang pasti untuk menentukan apakah suatu graf merupakan sirkuit Hamilton. Hanya saja ada petunjuk untuk suatu graf merupakan sirkuit Hamilton. Hanya saja ada petunjuk untuk menentukan bahwa suatu graf
Jika G
Jika G merupakan simerupakan sirkuit rkuit Hamilton, mHamilton, maka G memaka G mempunyai punyai subgraf Hsubgraf H dengan sifat (1
dengan sifat (1)) H terhubung, (2H terhubung, (2)) H memuat semua titik G, (3H memuat semua titik G, (3)) H mempunyaiH mempunyai jumlah garis yang sama dengan jumlah titiknya, dan (4
jumlah garis yang sama dengan jumlah titiknya, dan (4)) setiap titik dalam Hsetiap titik dalam H mempunyai derajad 2. Syarat (1
mempunyai derajad 2. Syarat (1)) dan (2dan (2)) jelas menurut definisi sirkuit Hamilton,jelas menurut definisi sirkuit Hamilton, yang mengharuskan mengunjungi semua titik dalam G. Syarat (4
yang mengharuskan mengunjungi semua titik dalam G. Syarat (4 )) adalah sebagaiadalah sebagai akibat kunjungan semua titik yang hanya boleh dilakukan sekali. Selama akibat kunjungan semua titik yang hanya boleh dilakukan sekali. Selama kunjungan, di setiap titik pasti ada suatu garis masuk dan satu garis keluar kunjungan, di setiap titik pasti ada suatu garis masuk dan satu garis keluar sehingga derajad setiap titik sama dengan 2. Karena dalam sirkuit Hamilton, sehingga derajad setiap titik sama dengan 2. Karena dalam sirkuit Hamilton, setiap dua titik dihubungkan dengan tepat satu garis, maka jumlah garis sama setiap dua titik dihubungkan dengan tepat satu garis, maka jumlah garis sama dengan jumlah titiknya. Hal ini dinyatakan dalam syarat (3
dengan jumlah titiknya. Hal ini dinyatakan dalam syarat (3 )). Jika salah satu dari. Jika salah satu dari ke-4 syarat tersebut tidak dipenuhi maka graf-nya bukanlah graf Hamilton.
ke-4 syarat tersebut tidak dipenuhi maka graf-nya bukanlah graf Hamilton.
Pada kesempatan kali ini penulis akan membahas lebih detail tentang Pada kesempatan kali ini penulis akan membahas lebih detail tentang sirkuit Hamilton, sehingga pembahasan dalam tulisan ini
sirkuit Hamilton, sehingga pembahasan dalam tulisan ini ddifokuskan pada aifokuskan pada aplikasiplikasi teori graf pada permainan catur.
teori graf pada permainan catur.
B.
B. Rumusan MasalahRumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang permasalahan tersebut, maka permasalahan Berdasarkan latar belakang permasalahan tersebut, maka permasalahan yang diangkatpun dikhususkan pada sirkuit Hamilton dan langkah kuda (Knight¶s yang diangkatpun dikhususkan pada sirkuit Hamilton dan langkah kuda (Knight¶s Tour
Tour )) pada permainan catur. Permasalahan yang dapat diambil yaitu sebagaipada permainan catur. Permasalahan yang dapat diambil yaitu sebagai berikut:
berikut: 1.
1. Bagaimana cara menentukan sirkuit Hamilton pada permainan catur?Bagaimana cara menentukan sirkuit Hamilton pada permainan catur? 2.
2. Dipermainan catur, apakah tDipermainan catur, apakah t erdapat erdapat sirkuit Hamilton pada langkah kuda?sirkuit Hamilton pada langkah kuda? 3.
3. Jika diberikan papan catur dengan ukuran standar, yaitu ukuran 8 x 8,Jika diberikan papan catur dengan ukuran standar, yaitu ukuran 8 x 8, apakah terdapat sirkuit Ha
C.
C. TujuanTujuan
Dari rumusan masalah tersebut, maka tujuan dari penulisan tugas akhir ini Dari rumusan masalah tersebut, maka tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
adalah sebagai berikut: 1.
1. Dapat mengetahui cara menetukan sirkuit Hamilton secara tepat, sehinggaDapat mengetahui cara menetukan sirkuit Hamilton secara tepat, sehingga diharapkan nantinya
diharapkan nantinya dapat diaplikasikan pada dapat diaplikasikan pada kehidupan seharikehidupan sehari-hari;-hari; 2.
2. Dapat mengetahui ternyata aplikasi graf juga dapat diaplikasikan padaDapat mengetahui ternyata aplikasi graf juga dapat diaplikasikan pada permainan catur;
permainan catur; 3.
3. Dapat menyelesaikan Dapat menyelesaikan permasalahan yang apermasalahan yang ada dengan menggunakan da dengan menggunakan sirkuitsirkuit Hamilton;
Hamilton; 4.
4. Dapat mengetahui keunggulan/ kelebihan dalam menggunakan sirkuitDapat mengetahui keunggulan/ kelebihan dalam menggunakan sirkuit Hamilton.
Hamilton.
D.
D. ManfaatManfaat
Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah: Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah: 1.
1. Mengetahui cara menentukan sirkuit Hamilton secara tepat;Mengetahui cara menentukan sirkuit Hamilton secara tepat; 2.
2. Mengetahui macam-macam sirkuit HaMengetahui macam-macam sirkuit Hamilton;milton; 3.
3. Mengetahui kelebihan dalam menentukan rute terpendek denganMengetahui kelebihan dalam menentukan rute terpendek dengan menggun
menggunakan sakan sirkuit Hamilton;irkuit Hamilton; 4.
4. Dapat mengaplikasikan sirkuit Hamilton pada kehidupan sehari-hariDapat mengaplikasikan sirkuit Hamilton pada kehidupan sehari-hari secara
