Untuk mentukan titik tetap dari persamaan (3.1) maka persamaan tersebut dibuat sama dengan nol, yaitu dt 0. seperti dalam persamaan berikut dt dt dt

(1)

(2)

Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap dari Persamaan (3.1)

Untuk mentukan titik tetap dari persamaan (3.1) maka persamaan tersebut dibuat sama dengan nol, yaitu _₀ dt dT , * ₀  dt dT dan _₀ dt

dV seperti dalam persamaan berikut

) 3 ...( ... 0 ) 2 ...( ... 0 ) 1 ....( ... 0 * *        cV T N T kVT kVT d s T  

Dari persamaan (1) akan diperoleh nilai T sebagai berikut

kV d s T kVT d s dt dT T T         0 0

Dari persamaan (2) akan diperoleh nilai T* sebagai berikut

   T T d s T kV d s kV T T kVT dt dT                 * * * * 0 0

Dari persamaan (3) akan diperoleh nilai V sebagai berikut





c d s N V d s N cV cV T N dt dV T T                    * * 0 0

Substitusi nilai V untuk mendapatkan nilai T





kN c T c d s N k d s T kV d s T T T T              

Jadi diperoleh titik tetap









_

        c d s N d s kN c V T T T T , , , , *



(3)

Lampiran 2 Penentuan Nilai Eigen dari Persamaan (3.1) Diketahui matriks Jacobi sebagai berikut

                                c N KT KV KT KV dV dV dT dV dT dV dV dT dT dT dT dT dV dT dT dT dT dT J   0 0 * * * * * * * *

Pelinearan pada titik tetap dari persamaan (3.1)





      _ _   c d s N d s T kN c T _, * T_, T

 , diperoleh matriks sebagai berikut

                       c N N c c d s kN N c c d s kN J T T   0 ) ( 0 ) (

Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det(J-λI)=0

0 ) ( )) ( ( ) ( 0 0 ) ( 0 ) ( 2_ _ _ _ _        _         T T T T d s kN c c d s kN c N N c c d s kN N c c d s kN       

Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut

2 )) ( ( 4 ) ( ) ( 2 )) ( ( 4 ) ( ) ( ) ( 2 3 2 2 1 T T T d s kN c c d s kN c c c d s kN                          

Lampiran 3 Program Penentuan Dinamika Populasi Sel Darah Putih Terinfeksi dan virus HIV (Gambar 2) dengan software Mathematica7.

Needs["PlotLegends`"]

Plot[{T1[𝑡]/. tes1, T1[𝑡]/. tes2}, {𝑡, 0,8}, PlotLegend → {"T′(t) saat s < "d

_T

, "T′(t) saat s

> "d

_T

}, Frame → True, FrameLabel

→ {"waktu", "sel darah putih terinfeksi"}, LegendSize → 1, PlotStyle

→ Thick]

(4)

Plot[{𝑉[𝑡]/. tes1, 𝑉[𝑡]/. tes2}, {𝑡, 0,8}, PlotLegend → {"V′(t) saat s < "d

_T

, "V′(t) saat s

> "d

T

}, Frame → True, FrameLabel → {"waktu", "Virus HIV"}, LegendSize

→ 1, PlotStyle → Thick]

Untuk mentukan titik tetap dari persamaan (3.2) maka persamaan tersebut dibuat sama dengan nol, yaitu 0 *  dt dT

,

1_0 dt dV dan 0 1_ dt

dVN seperti dalam persamaan berikut

) 3 ..( ... ... 0 ) 2 ...( ... 0 ) 1 ( ) 1 ...( ... ... 0 1 * 1 * * 1 0        N p p cV T N n cV T N n T V kT



Dari persamaan (1) diperoleh nilai T* sebagai berikut



1 0 * * 1 0 0 V kT T T V kT    

Dari persamaan (2) diperoleh nilai V1 sebagai berikut

0 ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 1 * 1 1 *                  V V kT N n cV T N n cV cV T N n p p p    

Substitusi nilai V1 untuk mendapatkan nilai T *

0

*_

T

Dari persamaan (3) diperoleh nilai VN1 sebagai berikut

0 0 0 1 1 * 1 1 *         N N p N N p V cV T N n cV cV T N n  

Jadi diperoleh titik tetap bebas penyakit ( , 1, 1) (0,0,0)

* 

N

V V

T .

Sedangkan untuk titik tetap endemik diperoleh dengan terlebih dahulu menyelesaikan persamaan (2). Nk n c T NkT n c V kT N n cV T N n cV cV T N n p p p p p ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 0 1 0 1 * 1 1 *                         

Substitusi nilai T0 kedalam persamaan T *

(5)

   N n cV T V Nk n c k T V kT T p p ) 1 ( ) 1 ( 1 * 1 * 1 0 *     

Substitusi nilai T* kedalam persamaan (3)

) 1 ( ) 1 ( 0 1 1 1 1 1 * p p N N p p N p n V n V cV N n cV N n cV T N n         

Jadi diperoleh titik tetap endemik

           ) 1 ( , , ) 1 ( ) , , ( 1 1 1 1 1 * p p p N n V n V N n cV V V T  .

Lampiran 5 Penentuan Nilai Eigen dari Persamaan (3.2) Diketahui matriks Jacobi sebagai berikut

                                  c N n c N n kT dV dV dV dV dT dV dV dV dV dV dT dV dV dT dV dT dT dT J p p Ni Ni Ni Ni Ni Ni 0 0 ) 1 ( 0 0 1 * 1 1 1 * 1 * 1 * * *   

Pelinearan pada titik tetap dari persamaan (3.2) terhadap titik tetap



*_0, ₁_0, ₁_0



N V V T dan            ) 1 ( , , ) 1 ( ) , , ( 1 ₁ 1 1 1 * p p p N n V n V N n cV V V T

 diperoleh matriks sebagai berikut

               c N n c N n kT J p p 0 0 ) 1 ( 0 0   

0 ) ) 1 )( ( ) ( )( ( 0 ) ) 1 )( ( )( ( 0 ) ) 1 )( ( ) )( )(( ( 0 ) ( ) 1 )( ( ) )( )( ( 0 0 0 ) 1 ( 0 0 2 0 2 0 0 0                                                                        N n kT c c c N n kT c c c N n kT c c c N n kT c c c N n c N n kT p p p p p p

(6)

2 ) ) 1 )( ( ( 4 ) ( ) ( 2 ) ) 1 )( ( ( 4 ) ( ) ( 0 2 3 0 2 2 1            N n kT c c c N n kT c c c c p p                  

Lampiran 6 Penentuan Persamaan (4.3) pada Model Tundaan Dari persamaan (3.3) didapatkan

* * 0 ₀ 1 * 1 * 0 1 0 * 1 * 0 1 0 * 1 0 (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( 1)! (1 ) (1 ) ( ) ( 1)! (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) ( 1)! m m rt n b rt n n n m b rt n n n n rt n n dT n kT f V t e d T dt dT n kT e e V t d T dt n b dT mb n kT e V t d T dt n b mb dT mb n kT dt mb n b     _



 



_{  }



_{  }



  _      _                       



* 1 0 1 * 1 * 0 1 0 * 1 * 1 0 1 0 * 0 , 1 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( 1)! (1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( 1)! 1 (1 ) ( ) m b b b mb n b rt n n n b n mb rt n n rt n b e V t d T dT k n T e V t d T b dt mb n mb dT k n T e V t d T dt mb b n mb dT n kT g V t dt    

  



_{  }



_{  }



 _      _  _ _      __ _         _       _ _  _ _ _   



* 0 d

 

T  



Catatan : , ) 1 ( _mb n k k   , 1 mb b b    1 ,

( )

(

1)!

n b n b n

f

g

e

n

b









 



, (1 ) 1 , ( ) ( 1)! 1 mb n b n b n g e b n mb 



        _ _ _ ,

nb





Untuk mentukan titik tetap dari persamaan (4.3) maka persamaan tersebut dibuat sama dengan nol, yaitu * ₀  dt dT , 1₀ dt dV dan 1₀ dt

dVN seperti dalam persamaan berikut

) 3 ...( ... ... ... ... 0 ) 2 ..( ... ... ... ... 0 ) 1 ( ) 1 ..( ... 0 ) ( ) ( ) 1 ( 1 * 1 * * 0 , 1 0         

_

  N p p b n rt cV T N n cV T N n T d t V g T k n      

(7)

Dengan mensubstitusikan ₍ ₎ ₀ 0 , 



  d

g_n_b dan kedalam persamaan (1) diperoleh nilai T* sebagai

berikut



1 0 * * 1 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( V T k n T T V T k n rt rt      

Dari persamaan (2) diperoleh nilai V1 sebagai berikut

0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 1 * 1 1 *                   V V T k n N n cV T N n cV cV T N n rt p p p    

Substitusi nilai V1 untuk mendapatkan nilai T *

0

*_

T

Dari persamaan (3) diperoleh nilai VN1 sebagai berikut

0 0 0 1 1 * 1 1 *         N N p N N p V cV T N n cV cV T N n  

Jadi diperoleh titik tetap bebas penyakit ( , 1, 1) (0,0,0)

* 

N

V V

T .

Sedangkan untuk titik tetap endemik diperoleh dengan terlebih dahulu menyelesaikan persamaan (2). k N c T T k N n n c V T k n N n cV T N n cV cV T N n c rt p rt p p p ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 0 1 0 1 * 1 1 *                             Catatan : ) 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 c rt p rt p c n n n n          

Substitusi nilai T0 kedalam persamaan T*

    N n cV T V k N c k n T V T k n T p c rt rt ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 * 1 * 1 0 *       

Substitusi nilai T* kedalam persamaan (3)

) 1 ( ) 1 ( 0 1 1 1 1 1 * p p N N p p N p n V n V cV N n cV N n cV T N n         

(8)

Jadi diperoleh titik tetap endemik            ) 1 ( , , ) 1 ( ) , , ( 1 ₁ 1 1 1 * p p p N n V n V N n cV V V T  .

Lampiran 8 Penentuan Persamaan Karakteristik (Persamaan 4.4) Diketahui matriks Jacobi sebagai berikut

                                   c N n c N n T k n dV dV dV dV dT dV dV dV dV dV dT dV dV dT dV dT dT dT J p p rt Ni Ni Ni Ni Ni Ni 0 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( ₀ 1 * 1 1 1 * 1 * 1 * * *   

Pelinearan pada titik tetap dari persamaan (4.3) terhadap titik tetap



0, 1 0, 1 0



*   N V V T dan            ) 1 ( , , ) 1 ( ) , , ( 1 ₁ 1 1 1 * p p p N n V n V N n cV V V T

 diperoleh matriks sebagai berikut

                c N n c N n T k n J p p rt 0 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( ₀   





0 ) ) 1 ( ) ( )( ( 0 ) ) 1 ( )( ( 0 ) ) 1 )( 1 ( ) )( )(( ( 0 ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) )( )( ( 0 0 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 2 0 2 0 0 0                                                                             N T k c c c N T k c c c N T k n n c c c N n T k n c c c N n c N n T k n C C p rt p rt p p rt

Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut

1 2 0 2 2 0 3 ( ) ( ) 4( (1 ) ) 2 ( ) ( ) 4( (1 ) ) 2 C C c c c c kT N c c c kT N                               

Lampiran 9 Penentuan Persamaan (4.5)



  



0 ,

(

)

(



g



e



d



F

_n_b n n n b         ) 1 ( ) 1 (







catatan : n b



 n

n

F

(



,



)



(

1 







)



(9)

Lampiran 10 Penentuan Persamaan Karakteristik (4.6) Berdasarkan persamaan karakteristik dengan adanya tundaan

0 )) ( ) 1 ( ) ( )( ( 0 2_ _ _ _ _  c





c



c kT N



F



Sehingga diperoleh persamaan karakteristik yang hanya difokuskan pada persamaan kuadratik

 



,





P

(



)



K

(



)

F

(



,



)



0 H

dimana : 0 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( T k N K c c P c















     

Lampiran 11 Pembuktian Lemma 1 Menggunakan kontradiksi

Diketahui pada pembahasan sebelumnya

 



,





P

(



)



K

(



)

F

(



,



)



0 H

Dengan P(



)



2(



c)







c ; K()(1c)NkT₀ dan ( ) ( ) 1 0 ,  

_

      d e g F nb sehingga diperoleh 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 , 0 ,         













    i L d e g i L d e g i L i b n i b n Kemudian 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ....( ... 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) (                     i F i K i P i F i K i P i F i K i P i F i K i P i H Substitusi ke persamaan (1)

0 )

(

)

(

)

(

i





K

i



F

i





P

karena F(i



)1 maka diperoleh

P

(

i



)



K

(

i



)



0

Ambil nilai akar absolut dari P(i



) dan K(i) untuk mendapatkan





2 0 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( T k N i K c c i P c















     

Sehingga diperoleh persamaan



(1 )



0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 2 2 2 2 2 2 2         K i c c N kT i P











c



Karena c(1



c)N



kT (1



c)NkT₀ sehingga didapatkan nilai kk. Persamaan tersebut tidak

tepat. Pengandaian tersebut salah maka terbukti, sehingga dapat disimpulkan, jika L(i)1 dan

0

) 1

( NKT

(10)

Lampiran 12 Program Penentuan Kurva Dinamika populasi sel darah putih terinfeksi (T*), virus HIV menular (V1) dan virus HIV tidak menular (VN1) saat laju kematian

sel darah putih terinfeksi lebih kecil daripada laju kegagalan terapi (Gambar 3) dengan software Mathematica 7.

𝑒 = Plot[T1[𝑡]/. tes3, {𝑡, 0,1}, PlotStyle → {Blue, Thick}, Frame → True, FrameLabel

→ {"waktu", "sel darah putih terinfeksi"}]

𝑓 = Plot[T1[𝑡]/. tes5, {𝑡, 0,6}, PlotStyle → {Red, Thick}, Frame → True, FrameLabel

→ {"waktu", "sel darah putih terinfeksi"}]

𝑗 = Plot[V1[𝑡]/. tes3, {𝑡, 0,1}, PlotStyle → {Blue, Thick}, Frame → True, FrameLabel

→ {"waktu", "virus HIV menular"}]

𝑘 = Plot[V1[𝑡]/. tes5, {𝑡, 0,4}, PlotStyle → {Red, Thick}, Frame → True, FrameLabel

→ {"waktu", "virus HIV menular"}]

𝑛 = Plot[VN1[𝑡]/. tes3, {𝑡, 0,1}, PlotStyle → {Blue, Thick}, Frame → True, FrameLabel

→ {"waktu", "virus HIV tidak menular"}]

𝑜 = Plot[VN1[𝑡]/. tes5, {𝑡, 0,4}, PlotStyle → {Red, Thick}, Frame → True, FrameLabel

→ {"waktu", "virus HIV tidak menular"}]

Lampiran 13 Program Penentuan Kurva Dinamika populasi sel darah putih terinfeksi (T*), virus HIV menular (V1) dan virus HIV tidak menular (VN1) saat laju kematian

sel darah putih terinfeksi lebih besar daripada laju kegagalan terapi (Gambar 4) dengan software Mathematica 7.

𝑕 = Plot[T1[𝑡]/. tes4, {𝑡, 0,35}, PlotStyle → {Blue, Thick}, PlotRange → {0,500}, Frame

→ True, FrameLabel → {"waktu", "sel darah putih terinfeksi"}]

𝑖 = Plot[T1[𝑡]/. tes6, {𝑡, 0,35}, PlotStyle → {Red, Thick}, PlotRange → {0,500}, Frame

→ True, FrameLabel → {"waktu", "sel darah putih terinfeksi"}]

𝑙 = Plot[V1[𝑡]/. tes4, {𝑡, 0,35}, PlotStyle → {Blue, Thick}, PlotRange → {0,70}, Frame

(11)

𝑚 = Plot[V1[𝑡]/. tes6, {𝑡, 0,35}, PlotStyle → {Red, Thick}, PlotRange → {0,70}, Frame

→ True, FrameLabel → {"waktu", "virus HIV menular"}]

𝑝 = Plot[VN1[𝑡]/. tes4, {𝑡, 0,55}, PlotStyle → {Blue, Thick}, PlotRange → {0,70}, Frame

→ True, FrameLabel → {"waktu", "virus HIV tidak menular"}]

𝑞 = Plot[VN1[𝑡]/. tes6, {𝑡, 0,55}, PlotStyle → {Red, Thick}, PlotRange → {0,70}, Frame

→ True, FrameLabel → {"waktu", "virus HIV tidak menular"}]