Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

(1)

V. UKURAN PENYEBARAN DATA

5.1 Penyebaran

· Ukuran penyebaran data adalah ukuran statistik yang menggambarkan bagaimana

berpencarnya data kuantitatif.

· Ukuran penyebaran data disebut juga ukuran simpangan (ukuran dispersi) atau ukuran

variasi (ukuran keseragaman), ukuran ini dapat menggambarkan keseragaman data.

Makin kecil bilangan yang diperlihatkan oleh ukuran statistik ini, maka makin seragam keadaan data. Sebaliknya, makin besar ukuran variasi, maka makin tidak seragam keadaan data yang ada.

· Ukuran penyebaran mengukur penyimpangan nilai-nilai data di sekitar nilai

rata-ratanya.

· Perhitungan deviasi didasarkan pada penyimpangan nilai-nilai data secara individu

terhadap rata-ratanya, karena itu deviasi akan makin besar jika nilai-nilai data menyebar.

· Ada beberapa macam ukuran dispersi, diantaranya adalah rentang, rentang antar kuartil,

simpangan kuartil, deviasi rata-rata (rata-rata simpangan), varians, standar deviasi (simpangan baku) dan koefisien variasi.

5.2 Rentang, Rentang Antar Kuartil Dan Simpangan Kuartil

· Rentang/Range/Jangkauan

Rentang = data terbesar – data terkecil (5.1)

· Rentang Antar Kuartil

Rentang Antar Kuartil (RAK) = Q3 – Q1 (5.2)

· Simpangan Kuartil/Rentang Semi Interkuartil

Rentang Semi Interkuartil (SK) = ½ RAK = ½ (Q3 – Q1) (5.3)

dengan : Q1 = kuartil pertama Q3 = kuartil ketiga

· Rumus untuk ketiga jenis ukuran penyebaran tersebut berlaku sama untuk data tunggal

maupun untuk data berkelompok, hanya saja berbeda dalam menentukan nilai kuartil pertama dan kuartil ketiga. (lihat pembahasan bab 4)

· Contoh 5.1

Dari data berikut ini : 2, 4, 5, 6, 8, 9, dan 12, hitunglah Rentang, Rentang Antar Kuartil, dan Simpangan Kuartilnya ?

Jawab :

« Rentang = data terbesar – data terkecil =

☺ Rentang untuk data tersebut adalah

« Rentang Antar Kuartil (RAK) = Q3 – Q1

Nilai Q1 =

Nilai Q3 =

Rentang Antar Kuartil =

☺ Rentang antar kuartil untuk data tersebut adalah

« Simpangan Kuartil = ½ (RAK) =

(2)

Contoh 5. Tabel 5.1 Pengeluaran 30 keluarga

Hitunglah Rentang Antar Kuartil dan

Simpangan Kuartil untuk data pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 30 keluarga yang telah dikelompokan pada tabel di samping ini :

(coba sendiri....) Catatan :

Menghitung Q1 dan Q3 seperti pada contoh 4.16 (hal.28)

Q1 = Q3 =

RAK = Q3 – Q1 =

SK = ½ (RAK) = ½ (RAK) =

5.3 Ukuran Penyebaran Untuk Data Tunggal 5.3.1 Simpangan Rata-rata (Deviasi Rata-rata)

N x SR N i i

å

= -= 1 m i = 1,2,..,N (parameter) (5.4) n x x SR n i i

å

= -= 1 _{i = 1,2,..,N} _(statistik) _(5.5) dengan :

_å

= -N i i x 1

m = jumlah harga mutlak data dikurangi rata-rata hitung

N = banyak data

· Contoh 5.3

Berapa simpangan rata-rata dari data berikut : 2, 5, 6, 8, 9 ?

Jawab : = =

å

= N x N i i 1 m = -=

å

= N x SR N i i 1 m

☺ Simpangan rata-rata untuk data tersebut adalah

5.3.2 Varians dan Standar Deviasi

« Varians didefinisikan sebagai :

(parameter)

(

)

N x N i i

å

= -= 1 2 2 m s (5.6) atau 2 1 1 2 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ -=

å

=

å

= N x N x N i i N i i s (5.7)

(Metode Deviasi Pangkat Dua) (Metode Rata-rata Pangkat Dua)

Pengeluaran Frekuensi (fi) 50 – 55 1 56 – 61 5 62 – 67 6 68 – 73 10 74 – 79 5 80 – 85 3 Jumlah 30

(3)

(statistik)

(

)

1 1 2 2 -=

å

= n x x s n i i _(5.8)

« Sedangkan, Standar Deviasi (simpangan baku) didefinisikan sebagai akar dari Varians.

2 s s = (parameter) (5.9) 2 s s = (statistik) (5.10) · Contoh 5.4

Diberikan data 2, 5, 6, 8, 9. hitunglah varians dan standar deviasinya !

Jawab :

« Metode Deviasi Pangkat Dua

Tabel 5.2 Perhitungan Varians & Standar Deviasi Dengan Metode Deviasi Pangkat Dua

Dari data diperoleh rata-rata → =

å

= =

N x N i 1 i m § Varians →

(

)

= -=

å

= N x N i 1 i 2 2 m s § Standar deviasi → _s = _s 2 =

☺ Varians data adalah ☺ Standar deviasi data adalah

« Metode Rata-rata Pangkat Dua

Tabel 5.3 Perhitungan Varians & Standar Deviasi Dengan Metode Rata-rata Pangkat Dua

§ Varians → ₌ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ -=

å

=

å

= 2 1 1 2 2 N x N x N i i N i i s § Standar deviasi → _s = _s 2 =

☺ Varians data adalah

☺ Standar deviasi data adalah

5.3.3 Koefisien Variasi

· Koefisien variasi digunakan untuk membandingkan variasi data, apabila satuan

pengukuran dari variabel-variabel yang diukur berbeda satu sama lain (misalnya berat badan dalam kg, dan tinggi badan dalam cm).

· Definisi : Apabila sebuah populasi diukur variabel X dengan rata-rata hitung μ dan

standar deviasi σ, maka koefisien variasi didefinisikan sebagai : % 100 ´ = m s KV (parameter) (5.11) % 100 ´ = x s KV (statistik) (5.12) xi x_i-m

(

-m

)

2 i x 2 5 6 8 9 =

å

= N i i x 1 -

(

-

)

=

å

= N i i x 1 2 m xi 2 i x 2 5 6 8 9 =

å

= N i i x 1 =

å

= N i i x 1 2

(4)

· Contoh 5.5

Data berikut menunjukan umur dan pendapatan 5 orang karyawan di sebuah perusahaan X :

Tabel 5.4 Data Mengenai Umur & Pendapatan 5 Orang Karyawan

Manakah yang lebih seragam, umur atau pendapatan karyawan? Jawab : « Umur Karyawan Rata-rata → 31 5 155 5 25 32 37 27 34 1 ₌ + + + + ₌ ₌ =

å

= N x n i i m Standar Deviasi :

(

)

₍

_{) (}

₎

₍

₎

43 , 4 5 98 5 31 25 .. 31 27 31 34 2 2 2 1 2 = = -+ + -+ -= -=

å

= N x N i i m s Koefisien variasi → 100% 14,29% 31 43 , 4 % 100 = ´ = = x KV m s

☺ Koefisien variasi umur karyawan adalah 14,29%

« Pendapatan Karyawan Rata-rata → 122 5 610 5 135 187 123 90 75 1 ₌ + + + + ₌ ₌ =

å

= N x n i i m Standar Deviasi :

(

)

₍

_{) (}

₎

₍

₎

06 , 39 5 7628 5 122 135 .. 122 90 122 75 2 2 2 1 2 = = -+ + -+ -= -=

å

= N x N i i m s Koefisien variasi → 100% 32,02% 122 06 , 39 % 100 = ´ = = x KV m s

☺ Koefisien variasi pendapatan karyawan adalah 32,02%.

☺ Ternyata KV umur lebih kecil daripada KV pendapatan (14,29%<32,02%). Maka umur karyawan lebih seragam daripada pendapatan karyawan.

5.4 Ukuran Penyebaran Untuk Data Berkelompok 5.4.1 Simpangan Rata-rata

(

)

N m f SR k i i i

å

= -´ = 1 m i=1,2,..,k (5.13)

dengan : mi = titik tengah kelas N = banyak data/jumlah frekuensi

fi = frekuensi tiap kelas interval k = banyak kelas interval

m

= rata-rata hitung

· Contoh 5.6

Untuk data pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 30 keluarga, hitunglah simpangan rata-ratanya !

Karyawan 1 2 3 4 5

Umur ( Tahun ) 34 27 37 32 25 Pendapatan ( $ ) 75 90 123 187 135

(5)

Tabel 5.5 Perhitungan simpangan Rata-rata Pengeluaran fi mi m_i -m f_i ´m_i -m 50 – 55 1 52,5 I 52,5-68,9 I = 16,4 1X16,4=16,4 56 – 61 5 58,5 10,4 52 62 – 67 6 64,5 4,4 26,4 68 – 73 10 70,5 1,6 16 74 – 79 5 76,5 7,6 38 80 – 85 3 82,5 13,6 40,8 Jumlah 30 - - 189,6

Catatan : berdasarkan perhitungan pada contoh 4.5 dan 4.6 (hal.20-21) diperoleh m =....

(

)

= -´ =

å

= N m f SR k i i i 1 m

☺ Simpangan rata-rata pengeluaran per hari untuk 30 keluarga adalah Rp 5.4.2 Varians Dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)

« Rumus Perkiraan Varians & Standar Deviasi Dengan Metode Langsung

Varians →

(

)

[

]

N m f k i i i

å

= -´ = 1 2 2 m s (5.14) Standar Deviasi → _{s =} _s 2 _(5.15)

dengan : mi = titik tengah kelas N = banyak data/jumlah frekuensi

fi = frekuensi tiap kelas interval k = banyak kelas interval

m

= rata-rata hitung

· Contoh 5.7 (berdasarkan contoh 5.6)

Hitunglah Varians dan Standar Deviasi untuk pengeluaran per hari untuk 30 keluarga!

Tabel 5.6Perkiraan Varians & Standar Deviasi Dengan Metoda Langsung

Pengeluaran fi mi mi-m

(

mi-m

)

2

(

)

2 m -´ i i m f 50 – 55 1 52,5 52,5-68,9=-16,4 268,96 1X268,96=268,96 56 – 61 5 58,5 -10,4 108,16 540,80 62 – 67 6 64,5 -4,4 19,36 116,16 68 – 73 10 70,5 1,6 2,56 25,60 74 – 79 5 76,5 7,6 57,76 288,80 80 – 85 3 82,5 13,6 184,96 554,88 Jumlah 30 - - - 1795,20 Jawab :

Catatan : berdasarkan perhitungan pada contoh 4.5 dan 4.6 (hal.20-21) diperoleh m =....

§ Varians

(

)

[

]

= -´ =

å

= N m f k i 1 i i 2 2 m s § Standar Deviasi → _s = _s 2 =

☺ Varians pengeluaran per hari untuk 30 keluarga adalah dan standar deviasinya adalah Rp

(6)

« Rumus Perkiraan Varians & Standar Deviasi Dengan Metode Short Cut Varians →

(

)

(

)

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ _´ -´ ´ =

å

=

å

= 2 1 1 2 2 2 N d f N d f p k i i i k i i i s (5.16)

dengan : p = panjang kelas interval

di = nilai sandi, dimana

p m d i a i m -= 0

m

= rata-rata hitung yang diasumsikan, yakni nilai titik tengah kelas

interval dimana di dihargakan nol. Letak di = 0 disembarang kelas

interval, namun diusahakan di kelas dengan frekuensi terbesar.

fi = frekuensi kelas

N = banyak data/ jumlah frekuensi · Contoh 5.8 (berdasarkan contoh 5.7)

Hitunglah Varians dan Standar Deviasi untuk pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 30 keluarga dengan metode short cut !

Jawab :

Tabel 5.7 Perkiraan Varians & Standar Deviasi Dengan Metoda Short Cut

Pengeluaran fi mi di di 2 fi x di fi x di 2 50 – 55 1 52,5 -3 9 -3 9 56 – 61 5 58,5 -2 4 -10 20 62 – 67 6 64,5 -1 1 -6 6 68 – 73 10 70,5 0 0 0 0 74 – 79 5 76,5 1 1 5 5 80 – 85 3 82,5 2 4 6 12 Jumlah 30 - - - -8 52 Catatan :

Dari tabel diperoleh : p =

0

m

= (nilai titik tengah dengan frekuensi kelas terbesar)

§ Varians →

(

)

(

)

₌ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ _´ -´ ´ =

å

=

å

= 2 1 1 2 2 2 N d f N d f p k i i i k i i i s § Standar deviasi → _s = _s 2 =

☺ Varians pengeluaran per hari untuk 30 keluarga adalah dan standar deviasinya adalah Rp

5.4.3 Koefisien Variasi % 100 ´ = m s KV (5.17) · Contoh 5.9

Untuk contoh soal pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 30 keluarga, besarnya koefisien variasinya adalah... ?

(7)

Jawab : = ´ = 100 % m s KV

☺ Koefisien variasi untuk data pengeluaran per hari 30 keluarga adalah

5.5 Nilai Baku (Skor z)

· Definisi : Apabila dari sebuah populasi berukuran N, diukur variabel X yang

memberikan hasil pengukuran x1, x2,..., xN, dengan tingkat pengukuran interval/rasio.

Diperoleh rata-rata μ, dan simpangan baku σ. Maka penyimpangan data dari rata-rata yang dinyatakan dalam satuan simpangan baku didefinisikan sebagai :

s

m

-=

i i

x

z

i =1,2,...,N (5.18)

· z1, z2,..., zn mempunyai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1.

· Bilangan baku sering digunakan untuk membandingkan keadaan distribusi dari dua

fenomena.

· Contoh 5.10

Budi memperoleh nilai 83 pada UAS Statistik, dimana rata-rata kelas dan simpangan bakunya masing-masing 75 dan 12. Sedangkan pada UAS Kalkulus dimana rata-rata kelasnya 83 dan simpangan bakunya 16 ia memperoleh nilai 90. Dalam mata kuliah mana Budi mencapai kedudukan yang lebih baik?