BAB 3 UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATA. Hikmah Agustin, S.P.,MM

BAB 3

UKURAN PEMUSATAN DAN

PENYEBARAN DATA

Ukuran Pemusatan

1.Rata-rata (Average)

• rata-rata merupakan nilai yang cukup representative untuk memberikan gambaran tentang nilai-nilai yang ter dapat dalam data yang bersangkutan.

• Jenis rata-rata yang lazim digunakan sebagai penguku ran lokasi atau pengukuran pusat adalah rata-rata, me dian, dan modus.

Contoh :

Rata-rata data Tunggal

• Jumlah produksi PT Eka Utama selama 5 bulan adalah : 10 ; 15 ; 13 ; 10 ; 12 (dalam ton),

Rata Hitung data Kelompok

Rata-rata hitung dari data yang dikelompokkan dapat di cari dengan meggunakan rumus :

mi = titik tengah interval kelas • fi = frekuensi kelas

Contoh

Data produksi roti gandum 100 buah

Hasil produksi m_i f_i m_if_i 20 – 34 27 8 216 35 – 49 42 24 1008 50 – 64 57 27 1539 65 – 79 72 20 1440 80 – 94 87 8 696 95 – 109 102 8 816 110 – 124 117 4 468 125 – 139 132 1 132 Jumlah 100 6315

2. Median

• Median merupakan nilai pusat dari sekelompok data. istilah lain adalah nilai tengah dari nilai-nilai pengamatan yang disusun secara teratur menu rut besarnya data.

• Median juga disebut sebagai rata-rata posisi / letak (positional average).

• Pengamatan yang tepat di tengah-tengah apabila banyaknya peng

amatan itu ganjil atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah

apabila banyaknya pengamatan genap.

• Secara teoritis median membagi seluruh jml observasi yang lebih kecil ke dalam 2 bagian yang sama.

Contoh soal

Berat 5 barang (dalam ton) yang dihasilkan oleh PT Sejahtera adalh 86, 98, 81, 94 dan 102. Tentukan median dari berat barang tsb.

Setelah mengurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar mk diperoleh median 94,karena posisinya ada ditengah

81 86 94 98 102

• Rumus Median data Berkelompok :

B = tepi kelas bawah dari interval dimana median terletak n = jumlah nilai observasi (frekuensi total)

f = frekuensi dibawah kelas yg berisi median(sebelum nilai median) fm = frekuensi dari kelas yang mengandung median.

Contoh soal

Hasil produksi f Tepi kelas Frekuensi kumulatif

20 – 34 8 19,5 8 35 – 49 24 34,5 32 50 – 64 27 49,5 59 65 – 79 20 64,5 79 80 – 94 8 79,5 87 95 – 109 8 94,5 95 110 – 124 4 109,5 99 125 – 139 1 124,5 100 jumlah 100

3. Modus

• Nilai yang terjadi dengan frekuensi terbesar, yaitu nilai yang paling banyak.

• Modus mungkin tidak ada dan mungkin tidak unik.

• Modus berguna untuk mengetahui tingkat keseringan ke jadian/peristiwa.

Contoh

• Di bawah ini adalah data tentang jumlah karyawan PT Kiat Makmur yang tidak masuk kerja tiap harinya sela ma 11 hari.

2 ; 2 ; 5 ; 7 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12

Maka modusnya adalah 9 orang, karena frekuensi atau ju mlah 9 orang adalah yang sering muncul.

Rumus Modus data Berkelompok

Li = tepi kelas bawah dari kelas modus (kelas yang mengandung modus)

∆1 = selisih/kelebihan frekuensi modus dengan frekuensi sebelum nya ( lebih rendah)

∆2 = selisih/kelebihan frekuensi modus dengan frekuensi sesudah

nya ( lebih tinggi)

Contoh:

Distribusi frekuensi hasil produksi roti gandum (dalambuah) selama 100 hari yang diproduksi oleh PT Miti adalah:

Hasil produksi f Tepi kelas Frekuensi kumulatif

20 – 34 8 19,5 8 35 – 49 24 34,5 32 50 – 64 27 49,5 59 65 – 79 20 64,5 79 80 – 94 8 79,5 87 95 – 109 8 94,5 95 110 – 124 4 109,5 99 125 – 139 1 124,5 100 jumlah 100

Latihan !

Data Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif Tepi Kelas Bawah Titik Tengah (mi) mi.fi 10 – 24 12 25 – 39 20 40 – 54 25 55 – 69 18 70 – 84 25

Jawab :

= 39,5 + 100/2 – 32 x 14 = 49,58

57-32

b. Median :

a. Rata Hitung x=5060 /100 = 50,60

c. Modus :

Mo 1 = 39,5 + ..5... x 14 = 45,33

5+7

Mo 2 = 69,5 + ..7... x 14 = 72,56

7+25

B. UKURAN PENYEBARAN

Ukuran penyebaran digunakan untuk mengukur

penyim-pangan nilai-nilai data disekitar nilai rata-rata.

Perhitungan deviasi didasarkan pada penyimpangan nilai

-nilai data secara individu terhadap rata-ratanya, karenan

ya deviasi akan semakin besar jika nilai-nilai datanya me

-nyebar

1. Variansi

• Ukuran variansi menggambarkan seberapa jauh nilai penyimpangan dari

serangkaian nilai observasi.

• Nilai variansi diperoleh lebih kecil apabila nilai-nilai tersebut

berkonsen-trasi di sekitar rata-ratanya,atau nilai tunggal yang menunjukkan rata-rata

distribusi secara lengkap.

• Nilai ukuran variansi yang kecil menunjukkan tingkat keragaman data

yang rendah. tetapi sebaliknya nilai keragaman besar, mk nilai variansi

juga besar dan nilai-nilai observasi menyebar jauh dari nilai rata-ratanya

atau saling berjauhan.

Variansi dibedakan mjd 2 yaitu :

1. Ukuran variansi absolut,

digunakan untuk membandingkan su

atu ukuran variasi yang satu dengan yang lain dalam populasi yang sama

contoh: rupiah, kg, ton.

2.

Ukuran variansi relatif,

biasanya digunakan untuk membanding

kan beberapa variansi dari beberapa populasi dengan unit pengukuran yang

berbeda .

Rumus Variansi

• Rumus Karl Pearson biasanya digu nakan untuk menghitung variansi dari data populasi,

• Fisher dan Wilk digunakan untuk data sampel.

Contoh

• Sebuah industry yang bergerak dalam bidang pemintal mempunyai 6 mesin

pemintal. Berat ke6 mesin pemin tal (dalam ton) tersebut adalah:

Contoh

-Hasil produksi X_i (Xi – x¯)2 _f

i (Xi-x)2 fi 20 – 34 27 1306,82 8 10454,58 35 – 49 42 447,32 24 10735,74 50 – 64 57 37,82 27 1021,21 65 – 79 72 78,32 20 1566,45 80 – 94 87 568,82 8 4550,58 95 – 109 102 1509,32 8 12074,58 110 – 124 117 2899,82 4 11599,29 125 – 139 132 4740,32 1 4740,32 Jumlah 100 56742,75

Range/Jangkauan

Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data.

Jangkauan dapat dihitung dengan rumus: • _{R = X maks – X min}

Contoh :

Tentukan range dari data : 10,6,8,2,4 Jawab :

3.Simpangan Baku / standar deviasi

Simpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah

akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bila

ngan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan atau

akar dari rata-rata deviasi kuadrat.





n

x

x

_i





2 a. Data Tunggal S = S = 2 2

n

x

n

x



















atau

Contoh :

Tentukan simpangan baku dari data : 2,3,5,8,7. Jawab : = = 5

x

5

7

8

5

3

2









x 2 3 5 8 7



x



x



- 3 - 2 0 3 2





2

x

x



9 4 0 9 4 26





n x x_i



 2 S =

5

26

2

,

5

= =

Simpangan Baku

b. Data berbobot / berkelompok S = S = atau

 





 f x x f 2 2 2 f f.x f fx         









Contoh:

Tentukan standar deviasi dari data berikut

Data Frekw x 3 – 5 2 4 6 – 8 4 7 9 – 11 8 10 12 - 14 6 13 Jumlah 20

Penyelesaian :

Data Frek x 3 – 5 2 4 6 – 8 4 7 9 – 11 8 10 12 - 14 6 13 Jumlah 20 2 2 f f.x f fx       









2

20

194

20

2042











Jawab : S = =

8

,

01

x2 _{f.x f.x}2 16 8 32 49 28 196 100 80 800 169 78 1014 194 2042 =

PENYAJIAN DATA

1. Diagram batang dan daun

Langkah-langkah membuat diagram batang dan daun:

1. Dari angka-angka yang diteliti pilihlah batang dan daun. Perlu diingat bahwa batang mencakup angka terkecil dan terbesar.

2. Batang diurutkan dari bagian terkecil di ujung atas dan bagian terbesar di ujung bawah.

3. Bagian daun diletakkan pada batang yang bersesuaian. Urutkanlah daun dari terkecil sampai terbesar untuk setiap batang.

4. Buatlah catatan mengenai satuan batang dan daun.

5. Periksa kembali apakah tidak ada angka yang terlewati dengan menghitung jumlah daun.

KUARTIL

Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat

bagian yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.

Dengan garis bilangan letak kuartil dapat ditunjukkan sebagai

berikut:

Q₁ Q₂ Q₃

Menentukan nilai Kuartil a. Data tunggal

Letak Q_i = data ke

dengan i = 1, 2, 3 dan n = banyaknya data

4 ) 1 (n  i

Contoh :

Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai b erikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan : a. Kuartil bawah (Q₁) b. Kuartil tengah (Q₂) c. Kuartil atas (Q₃) Jawab : Data diurutkan : 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4 a.Letak Q₁ = data ke = data ke 3 ¼

Nilai Q1 = data ke-3 + ¼ (data ke4 – data ke3)

= 1 + ¼ (2 – 1) = 1¼ 4 ) 1 12 ( 1 

b. Letak Q

₂

= data ke

= data ke 6½

Nilai Q

₂

= data ke 6 + ½ (data ke7 – data ke6)

= 3 + ½ (3 – 3) = 3

4 ) 1 12 ( 2 

Lanjutan>>

c. Letak Q

₃

= data ke

= data ke 9 ¾

Nilai Q

₃

= data ke 9 + ¾ (data ke10 - data ke 9)

= 4 + ¾ (4 – 4) = 4

4

)

1

12

(

3



Terima Kasih