Usaha dalam pengertian di Fisika
Usaha dalam pengertian di Fisika sebanding
sebanding
dengan gaya dan perpindahan
dengan gaya dan perpindahan
Usaha yang dilakukan makin besar jika
Usaha yang dilakukan makin besar jika
gaya yang bekerja pada benda juga besar
gaya yang bekerja pada benda juga besar
Jika gaya yang bekerja pada benda besar
Jika gaya yang bekerja pada benda besar
namun benda belum bergerak maka tidak
namun benda belum bergerak maka tidak
ada usaha
ada usaha
DEFINISI USAHA
DEFINISI USAHA
Energi dideinisikan sebagai kemampuan untuk
Energi dideinisikan sebagai kemampuan untuk
melakukan usaha
melakukan usaha
!eberapa "#nt#h energi !eberapa "#nt#h energi
Energi yang dimiliki #leh benda yang bergerak dinamakan Energi yang dimiliki #leh benda yang bergerak dinamakan
energi
energi kinetikkinetik
Energi yang ada karena letak atau Energi yang ada karena letak atau k#nigurasi sistem dinamakank#nigurasi sistem dinamakan
energi
energi p#tensialp#tensial
$#nt#h m#bil yang bergerak akan memiliki energi kinetik $#nt#h m#bil yang bergerak akan memiliki energi kinetik
DEFINISI ENERGI
DEFINISI ENERGI
Usaha disimb#lkan dengan lambang % memiliki satuan Internasi#nal J#ule &J'
Jika gaya (F) k#nstan dan berimpit
dengan perpindahan (
∆
r)
benda maka% !F(
∆
r) Jika gaya (F) k#nstan dan tidak berimpit
dengan perpindahan (
∆
r)
benda makaθ
cos
)
(
.
r
F
r
F
W
=
∆
=
∆
*e"ara umum jika gaya tidak k#nstan
dan+atau lintasan tidak membentuk garis lurus maka
. .
∫
=
B A AB F d r W F ! F !θ
F !Contoh
,aya bekerja pada sebuah partikel
.artikel berpindah dari titik (/0/) ke titik !(02) Hitung
usaha yang dilakukan gaya tersebut jika lintasan partikel a
dalah
(
yi x j)
N F=
ˆ+
2 ˆa ,aris patah $!
b ,aris patah !
" ,aris lurus !
d ,aris parab#la
4(m) y(m) ! $ Usaha yang dilakukan gaya tsb dari ke ! adalah
(
yi x j)
(
idx jdy)
W B A AB=
∫
ˆ+
2 ˆ . ˆ+
ˆ(
ydx xdy)
W B A AB=
∫
+
2a 5elalui lintasan $!
(
ydx
xdy
)
(
ydx
xdy
)
W
W
W
B C C A CB AC AB=
+
=
∫
+
2
+
∫
+
2
(
ydx
xdy
)
(
ydx
xdy
)
W
AB2
2
) 4 , 2 ( ) 0 , 2 ( ) 0 , 2 ( ) 0 , 0 (+
+
+
=
∫
∫
Untuk lintasan $ hanya k##rdinat 4 yang berubah sementara
y tetap0 yaitu y/ (dy/)0 *edangkan untuk lintasan $! k##rdinat 4 tetap0 yaitu 4 (d4/) dan k##rdinat y berubah
J
dy
xdy
W
AB2
4
16
4 0 ) 4 , 2 ( ) 0 , 2 (=
=
=
∫
∫
b 5elalui lintasan !
(
ydx
xdy
)
(
ydx
xdy
)
W
W
W
B D D A DB AD AB=
+
=
∫
+
2
+
∫
+
2
(
ydx xdy)
(
ydx xdy)
W AB 2 2 ) 4 , 2 ( ) 4 , 0 ( ) 4 , 0 ( ) 0 , 0 (
+
+
+
=
∫
∫
Untuk lintasan hanya k##rdinat y yang berubah sementara
4 tetap0 yaitu 4/ (d4/)0 *edangkan untuk lintasan ! k##rdinat y tetap0 yaitu y2 (dy/) dan k##rdinat 4 berubah
J dy ydx W AB 4 8 2 0 ) 4 , 2 ( ) 4 , 0 (
=
=
=
∫
∫
" 5elalui lintasan garis lurus ! .ersamaan garis lurus ! adalah
dx dy
x
y
=
2→
=
2(
ydx xdy)
(
ydx xdy)
W B A AB 2 2 ) 4 , 2 ( ) 0 , 0 (
+
=
+
=
∫
∫
(
)
∫
∫
+
=
=
2 0 2 06
4
2
xdx
xdx
xdx
W
ABUsaha yang dilakukan melalui garis lurus ! adalah
,anti 6ariabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis ! sehingga
J W AB
=
12" 5elalui lintasan garis parab#la !
.ersamaan garis parab#la ! adalah
xdx dy
x
y
=
2→
=
2Usaha yang dilakukan melalui garis lurus ! adalah
(
ydx xdy)
(
ydx xdy)
W B A AB 2 2 ) 4 , 2 ( ) 0 , 0 (
+
=
+
=
∫
∫
,anti 6ariabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis para-b#la ! sehingga
∫
∫
+
=
=
2 0 2 2 0 2 2 5 4 x dx x dx x W AB J W AB=
40/3Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif
,aya 7#nser6ati (Fk) adalah gaya yang usahanya
tidak bergantung pada lintasan tempuh
,aya 8#n 7#nser6ati (Fnk) adalah gaya yang usahanya
bergantung pada lintasan tempuh
,aya pada "#nt#h di atas termasuk gaya n#n
k#nser6ati karena usaha yang dilakukan gaya ini dari ke ! melalui tiap lintasan berbeda-beda nilainya
(
yi x j)
N F=
ˆ+
2 ˆ
Untuk ,aya 8#n 7#nser6ati (F
nk)0 usaha yang
dilakukan gaya ini pada suatu lintasan tertutup
tidak n#l0
0 . . . . . 2 1 2 1≠
−
=
+
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
B C A nk B C A nk A C B nk B C A nk nkd
r
F
d
r
F
d
r
F
d
r
F
d
r
F
W
! $1 $,aya gesekan juga termasuk gaya n#n k#nser6ati
karena gaya gesekan adalah gaya disipasi yang
usahanya selalu negati (gaya gesekan arahnya
selalu mela9an perpindahan) sehingga usahayang
dilakukan gaya gesekan pada suatu lintasan tertutup
tidak akan pernah n#l
$#nt#h gaya k#nser6ati adalah gaya gra6itasi0 gaya
pegas0 dan gaya :istrik 7etiga gaya ini usahanya
tidak bergantung lintasan
,aya adalah "#nt#h lain gaya k#nser6ati0 karena gaya ini tidak bergantung pada lintasan tempuh $#ba kita masukkan gaya ini pada "#nt#h sebelumnya
(
y
i
x
j
)
N
F
=
ˆ+
ˆ(
)
(
)
∫
∫
+
+
=
+
=
B A B AAB yi x j idx jdy ydx xdy
W ˆ 2 ˆ . ˆ ˆ
∫
∫
+
=
=
=
) 4 , 2 ( ) 0 , 0 ( ) 4 , 2 ( ) 0 , 0 ( 8 ) ( xy J d xdy ydx W ABDaya
aya menyatakan seberapa "epat usaha berubah terhadap
9aktu atau dideinisikan sebagai laju usaha yang dilakukan per detik
aya disimb#lkan dengan . memiliki satuan J#ule+detik atau
%att v F dt r d F dt dW P
=
=
.=
.dengan F adalah gaya yang bekerja dan 6 adalah ke"epatan benda
Energi Kinetik
Energi kinetik adalah energi yang dimiliki
#leh setiap benda yang bergerak
Energi kinetik sebanding dengan massa
benda dan sebanding juga dengan kuadrat
laju benda
Jika suatu gaya F bekerja pada benda bermassa m maka usaha yang dilakukan gaya tsb dari ke ! adalah
∫
=
B A AB F d r W . dr dt v d m B A .∫
= Ingat Hk 8e9t#n Fma
A B A B B A Ek Ek mv mv v v md
=
−
=
−
=
∫
2 2 1 2 2 1 . dengan Ek! adalah energi kinetik di ! dan Ek energi kinetik di
ari persamaan terakhir disimpulkan ;
Contoh
*ebuah benda bermassa kg dilepaskan dari ketinggian < m !erapa usaha yang dilakukan gaya gra6itasi dan berapa laju benda setelah sampai di tanah=
! mg h
Usaha gaya gra6itasi
∫
=
=
=
=
B A grav ABW
mgdy
mgh
J
W
100
5en"ari ke"epatan di tanah (!)
s
m
v
mv
mgh
mv
mv
W
B B A B AB/
10
2 2 1 2 2 1 2 2 1=
=
−
=
Pembahasan Usaha dari Grafik
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah satu dimensi0 dan
gaya tersebut dinyatakan dalam bentuk kur6a atau graik maka usaha adalah luas daerah di ba9ah kur6a
4 F(4) !
∫
=
B A AB F x dx W ( )= luas daerah arsir
Contoh
,aya yang bekerja pada benda kg digambarkan dalam graik di samping Jika ke"epatan a9al benda m+s0
berapa ke"epatannya setelah menempuh > m F(8)
?(m)
2 >
Usaha luas daerah di ba9ah kur6a
m
W
AB=
8+
16+
8=
32 Usaha perubahan energi kinetik
s
m
v
v
mv
mv
W
AB32
(
2
)
2 12(
2
)(
2
)
26
/
2 1 2 0 2 1 2 2 1−
→
=
−
→
=
=
Contoh
!al#k kg melun"ur ke kanan dengan laju 1/ m+s pada lantai kasar dengan Ak seperti graik di samping
4(m) Ak
2 1/
/0<
Bentukan ; Usaha yang dilakukan #leh gaya
gesekan dari 4/ sampai 41/ m
!esar gaya gesekan adalah k k k k N mg f
=
µ=
µ=
20µUsaha yang dilakukan gaya gesekan adalah
J kurva daerah luas x dx dx f W x x k x x k ges 80 ) 3 1 ( 20 ) ( 20 20 10 0 10 0
−
=
+
−
=
−
=
−
=
−
=
∫
=∫
= = = µ Usahaperubahan energi kinetik
2 2 1 2 2 1 2 0 2 1 2 2 1 ) 10 )( 2 ( ) 2 ( 80
=
−
−
−
=
v mv mv W ges s m v=
20 /(tanda minus pada usaha yang dilakukan gaya gesekan disebabkan 7arena gaya gesekan berla9anan arah dengan perpindahan bal#k)
da gesekan menyebabkan ke"epatan bal#k menjadi ber-kurang (perlambatan)
Energi Potensia
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya
k#nser6ati maka usaha yang dilakukan gaya ini
tidak bergantung pada lintasan tempuh0
usahanya hanya bergantung pada titik a9al dan
titik akhir saja (usahanya hanya bergantung pada
p#sisi)
Oleh karena itu dapat dideinisikan besaran U yang merupa-kan ungsi dari p#sisi a9al dan akhir
(
( ))
) ( .d r U B U A F W B A k AB=
∫
=
−
−
−
dengan U(!) adalah energi p#tensial di titik ! dan U() adalah energi p#tensial di titik
!iasanya dalam pendeinisian energi p#tensial digunakan titik
5isalnya dalam kasus di atas diambil titik sebagai a"uan0 di mana U()/ maka
(
( ))
( ) )(
.d r U B U A U B
F W B Acuan k AB
=
∫
=
−
−
−
=
−
engan kata lain0 untuk sembarang p#sisi r0 energi p#tensial
di p#sisi r tersebut adalah
∫
−
=
r Acuan kd
r
F
r
U
(
)
.
Jadi energi p#tensial di titik r adalah usaha untuk mela9an gaya 7#nser6ati yang bekerja pada benda agar benda berpindah dari
Contoh
Energi p#tensial benda bermassa m yang terletak pada
keting-gian h ;
mgh
dy
j
j
mg
h
U
h=
−
−
=
∫
0ˆ
).
ˆ
(
)
(
Bitik a"uan diambil di permukaan h/ dengan energi p#tensial sama dengan n#l
Energi p#tensial benda bermassa m yang terletak pada sistem
pegas yang teregang sejauh 4 ;
2 2 1 0
)
(
x
kxdx
kx
U
x=
−
−
=
∫
Bitik a"uan diambil di 4/0 yaitu saat pegas dalam keadaan 7endur0 dengan energi p#tensial sama dengan n#l
H!k!m Keka Energi
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya k#nser6ati
maka usaha yang dilakukan gaya ini dari ke ! adalah
(
( ))
) ( .d r U B U A F W B A k AB=
∫
=
−
−
−
i sisi lain semua usaha yang dilakukan suatu gaya dari ke !
sama dengan perubahan energi kinetik
A B
B
A k
AB
F
d
r
Ek
Ek
W
=
∫
.
=
−
ari dua pernyataan di atas dapatdisimpulkan jika gaya yang
bekerja pada benda adalah gaya k#nser6ati maka
(
( ))
) ( B U A U Ek Ek B−
A=
−
−
−
)
(
)
(
B
Ek
U
B
U
Ek
B+
=
A+
atau .ernyataan di atas dikenal dengan Hukum 7ekal Energi (H7E)0 yang arti isisnya adalah bah9a energi t#tal di titik ! sama de-ngan energi t#tal di titik (energi di semua titik adalah sama)
)
(
)
(
B
Ek
U
B
U
Ek
B+
=
A+
Energi t#tal di suatu titik adalah jumlah semua energi p#tensial
pada benda tersebut ditambah energi kinetiknya
)
(r
U
Ek
E
=
+
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya gra6itasi maka
hukum kekal energi menjadi
A A B B
mgh
mv
mgh
mv
2+
=
12 2+
2 1dengan 6! dan 6 adalah ke"epatan di titik ! dan 0 serta h! dan h adalah ketinggian titik ! dan
Contoh 1
!al#k kg melun"ur pada bidang miring dari titik tanpa ke"e-patan a9al menuju titik ! Jika bidang miring 3C#li"in dan jarak
! adalah < m0 tentukan ;
Usaha yang dilakukan gaya
gra6itasi dari ke ! 7e"epatan bal#k di ! ! 3C# mg 8 mgsin3C 4 h
Usaha yang dilakukan gaya gra6itasi adalah
∫
∫
= = = = = B A B A grav grav F d r mg dx mg AB J W . sin37 sin37( ) (2)(10)(0,6)(5) 60 .ada bal#k hanya bekerja gaya gra6itasi yang termasuk gaya 7#nser6ati sehingga untuk pers#alan di atas berlaku Hukum 7ekal Energi A A B B
mgh
mv
mgh
mv
2+
=
21 2+
2 1,
)
10
(
2
0
0
)
2
(
2 2 1 A Bh
v
+
=
+
←
h A=
( AB)sin37=
3ms m v
B = 60 /
5enentukan ke"epatan bal#k di titik ! dapat pula di"ari dengan
"ara dinamika (!ab II)0 dengan meninjau semua gaya yang bekerja0 kemudian masukkan dalam hukum 8e9t#n untuk men"ari per"epatan0 setelah itu "ari ke"epatan di !
Contoh 2
!al#k m kg bergerak ke kanan dengan laju 2 m+s
kemudian menabrak pegas dengan k#nstanta pegas k m
! $
Jika jarak !m0 !$/0<m dan titik $ adalah titik pegas Bertekan maksimum0 tentukan
ke"epatan bal#k saat manabrak pegas di !
.enyelesaian ;
,unakan hukum kekal energi untuk titik sampai !
) ( ) ( 12 2 2 2
1 mv U B mv U A A
B
+
=
+
karena energi p#tensial di dan di ! tidak ada U()U(!)/ maka ke"epatan di ! sama dengan ke"epatan bal#k di 0 yaitu 2 m+s
7e"epatan bal#k di $ adalah n#l karena di titik $ pegas tertekan maksimum sehingga bal#k berhenti sesaat
sebelum bergerak kembali ke tempat semula
,unakan hukum kekal energi untuk titik ! sampai $
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 B B C C
kx
mv
kx
mv
+
=
+
m
N
k
k
BC
k
/
128
)
4
)(
2
(
)
(
0
)
4
)(
2
(
)
(
0
2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1=
=
+
=
+
Contoh 3
!enda bermassa m diputar dengan tali *ehingga membentuk lintasan lingkaran 6ertikal berjejari D
berapa ke"epatan a9al minimum di titik agar m dapat men"apai lingkaran (titik !)
berapa ke"epatan a9al minimum di titik agar m dapat men"apai satu putaran penuh
! $ D mg B
Binjau benda m di titik !0 gaya yang bekerja pada m
adalah mg dan B Usaha yang dilakukan B adalah n#l
karena tegak lurus perpindahan
.enyelesaian
,unakan hukum kekal energi di titik dan !
A A B B
mgh
mv
mgh
mv
2+
=
21 2+
2 1 0 0+
=
21 2+
A mv mg g v A=
2→
! $
D mgB
gar m dapat men"apai satu putaran penuh maka saat m men"apai titik $ semua k#mp#nen gaya pada m yang berarah ke pusat lingkaran harus
bertindak sebagai gaya sentripetal0 shg
g m ! v v m F mg ! C C s" + = = = + 2 2
,unakan Hukum kekal energi di titik dan $
C C A Amgh
mv
mgh
mv
2+
=
21 2+
2 1
mg
g
m
mv
!m A0
2(
)
2
1 2 2 1+
=
+
+
g
v
!m A5
2=
+
g
v
Amin=
5
→
(ambil B/)
H!k!m Keka Energi daam gaya non konservatif
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya
k#nser6ati dan gaya n#n k#nser6ati maka gaya t#tal
nkk
F
F
F
=
+
Usaha yang dilakukan gaya t#tal ini dari ke ! adalah
(
)
nk AB B A nk B A k AB W A U B U W r d F r d F W+
−
−
−
=
+
=
∫
∫
) ( ) ( . .
Duas kiri %
!adalah sama dengan perubahan
energi kinetik0 sehingga
nk A
B U B Ek U A W
Ek
+
( )=
+
( )+
.ersamaan terakhir ini yang disebut dengan Hukum
7ekal Energi
Contoh 1
!al#k kg melun"ur pada bidang miring dari titik tanpa
ke"e-patan a9al menuju titik ! Jika bidang miring 3C# kasar dengan
Ak1+ dan jarak ! adalah < m0 tentukan ;
Usaha yang dilakukan gaya
gesekan dari ke ! 7e"epatan bal#k di ! ! 3C# mg 8 mgsin3C 4 h k
Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah
∫
∫
=
−
=
−
=
−
=
B A k B A ges ges F d r m mg dx J W . cos37 (1/2)(2)(10)(0,8)(5) 40,aya gesekan adalah gaya n#n k#nser6ati sehingga dalam
pers#alan di atas terdapat %nk
*elain gesekan0 pada bal#k hanya bekerja gaya gra6itasi yang termasuk gaya 7#nser6ati sehingga untuk pers#alan di atas berlaku Hukum 7ekal Energi dalam gaya k#nser6ati dan n#n k#nser6ati
J
W
W
nk=
ges=
−
40
nk A A B B mgh mv mgh W mv2+
=
21 2+
+
2 1 , 40 ) 10 ( 2 0 0 ) 2 ( 2 2 1+
=
+
−
A B hv
←
h A=
( AB)sin37=
3ms m v B
=
20 /Contoh 2
!
3C#
F
!al#k /01 kg did#r#ng pada bidang
miring dengan gaya h#ris#ntal F1/ 8 di titik tanpa ke"epatan a9al Jika
bidang miring 3C#kasar dengan A
k1+
dan jarak ! adalah < m0 tentukan ;
Usaha yang dilakukan gaya gra6itasi sepanjang !
Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang !
Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang !
7e"epatan bal#k di titik ! .enyelesaian
Usaha yang dilakukan gaya gra6itasi sepanjang !
∫
∫
= − = − = − = − = B A B A grav grav F d r mg dx mg AB J W . sin37 sin37( ) (0,1)(10)(0,6)(5) 3 Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang ! J W dx F mg r d F W ges B A k B A ges ges 8 ) 5 )}( 6 , 0 )( 4 ( ) 8 , 0 )( 10 )( 1 , 0 ){( 2 / 1 ( ) 37 sin 37 cos ( .
−
=
+
−
=
+
−
=
=
∫
∫
µ Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang !
∫
∫
=
=
=
=
B A B A F F d r F dx J W . cos37 (4)(0,8)(5) 16 7e"epatan di titik ! dapat di"ari dengan menggunakan k#nsep usaha t#tal perubahan energi kinetik
A B
F ges
grav
AB W W W Ek Ek
W
=
+
+
=
−
0 ) 1 , 0 ( 16 8 3− + = 21 2 − − = B AB v Ws
m
v
B=
10
/
1 !al#k dengan massa / kg did#r#ng sepanjang permukaan mendatar tanpa gesekan dengan gaya F yang membentuk
sudut
θ
dengan permukaan *elama gerakannya gayabertambah mengikuti hubungan F>40 dengan F dalam 8
dan 4 dalam meter *udut
θ
pun berubah menurut"#s
θ
/0C−
/0/4!erapa kerja yang dilakukan #leh gaya bila bal#k bergerak dari 4 1/ m sampai 4 / m
!enda seberat / 8 did#r#ng ke atas bidang miring yang
panjangnya 3/ "m (kemiringan 3/#)0 tanpa gesekan dengan
gaya h#ri#ntal F !ila laju di dasar adalah > "m+s dan di pun"ak adalah 3/ "m+s0
a berapa usaha yang dilakukan F b !erapa besar gaya F
" !ila bidang adalah kasar dengan
µ
k/01<0 berapa jarak maksimum yang dapat ditempuh bendaSeb!ah benda di"!tar dengan tai sehingga membent!k intasan ingkaran vertika
dengan #ari
a$ %ent!kan ke&e"atan minim!m di titik A agar da"at menem"!h ' ingkaran
(titik )*
b$%ent!kan ke&e"atan minim!m di titik A
agar benda da"at men&a"ai sat! ingkaran "en!h$ ! $ +$ #ari R$
! F
Seb!ah benda ,-. kg ada di atas bidang
miring dengan s!d!t kemiringan +/o$
Pada benda ini beker#a gaya F0. N
mendatar$ 1!a m!a benda diam di A kem!dian bergerak ke )- "an#ang
A)02 m$
3ika koefisien gesekan kinetis bidang adaah ,-2 tent!kanah ke&e"atan benda ketika sam"ai di )dengan &ara energi 4
5#mentum linier atau ditulis m#mentum saja
adalah kuantitas gerak yang bergantung pada
massa dan ke"epatan benda (6)
5#mentum adalah 6ekt#r dan besarnya
disimb#lkan dengan . memiliki satuan kg m+s
v
m
"
=
*e"ara matematis impuls dideinisikan
sebagai integral dari gaya yang bekerja pada
benda terhadap 9aktu
Definisi Impuls
Impuls juga besaran 6ekt#r0 disimb#lkan
dengan I memiliki satuan 8s
∫
=
t tdt
F
#
0
H!k!m Ne5ton daam Im"!s
Hukum 8e9t#n dapat ditulis kembali
dalam bentuk
dt
(
m
v
)
d
dt
"
d
F
=
=
0 0 0 0 v m v m " " " d dt F " " t =
−
=
−
=
∫
∫
Jika gaya F tersebut diintegralkan untuk seluruh 9aktu maka
persamaan di atas menjadi
dengan p adalah m#mentum akhir0 p/ m#mentum a9al0 6 ke"epatan akhir dan 6/ ke"epatan a9al
engan deinisi impuls dan m#mentum maka diper#leh
"
"
"
#
=
−
0=
∆
tau dengan kata lain ;
Contoh
!enda bermassa kg bergerak dengan ke"epatan a9al m+s dalam arah sb 40 dan 2 m+s dalam arah sb y 7emudian pada benda bekerja gaya dalam arah
sb y Fyt 80 dan gaya dalam arah sb 4
seperti gambar di samping
F4(8) t(s) 2 < -< Bentukan ; a Impuls antara t/ sampai t2 s
b 7e"epatan saat t2 s .enyelesaian
a Impuls pada benda yang gayanya dua dimensi ditulis dalam bentuk
j
#
i
#
#
=
xˆ
+
yˆ
dengan I4 dan Iy adalah k#mp#nen impuls dalam arah sumbu 4
7#mp#nen impuls dalam arah sumbu 4 dapat diper#lah dengan "ara men"ari luas daerah dari graik0 yaitu
0
)
5
)(
2
(
)
5
)(
2
(
21 2 1+
−
=
=
x#
7#mp#nen impuls dalam arah sumbu y adalah
Ns t tdt # y 2 4 16 0 2 4 0
=
=
=
∫
Jadi ;#
=
16
j
ˆ
Ns
b Impuls perubahan m#mentum
(
i
j
)
"
j
"
"
#
=
−
0⇒
16
ˆ
=
−
2
2
ˆ
+
4
ˆ
s kgm j i "=
4ˆ−
24 ˆ /*ehingga ke"epatan saat t2 s adalah
s m j i m " v= = 2ˆ+12 ˆ /
Sistem )anyak Partike
Binjau suatu sistem yang terdiri atas banyak partikel0
katakan-sejumlah 8 partikel
5#mentum t#tal sistem adalah resultan dari m#mentum setiap
partikel N
"
"
"
"
"
=
1+
2+
3+
+
Jika pada partikel 1 dalam sistem tersebut bekerja gaya
ekster-nal Fe
1 maka dinamika partikel 1 adalah
N e F F F F dt " d 1 13 12 1 1
+
+
+
+
=
dengan F10 F130G0 F18 adalah gaya internal+interaksi antara .artikel ke-1 dengan ke-0 dengan ke-30 G0 dengan ke-8
Hal yang Hal yang sama akan terjadsama akan terjadi pada pai pada partikel ke-0 ke-30 rtikel ke-0 ke-30 G0 ke-80G0 ke-80
jika pada setiap partikel tsb bekerja gay
jika pada setiap partikel tsb bekerja gaya eksternala eksternal
N N ee
F
F
F
F
F
F
F
F
dt
dt
"
"
d
d
2 2 23 23 21 21 2 2 2 2 ++
++
++
++
==
N N ee F F F F F F F F dt dt " " d d 3 3 32 32 31 31 3 3 3 3 ++
++
++
++
==
)) 1 1 (( 2 2 1 1++
++
++
−−++
==
ee N N N N N N N N N N N N F F F F F F F F dt dt " " d d inamika sistem inamika sistem banyak parbanyak partikel ini tikel ini akan ditentukaakan ditentukan #lehn #leh
resultan
resultan dari dari dinamika dinamika masing-masing masing-masing partikel0 partikel0 yaituyaitu
1 1 1 1 21 21 12 12 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 ... )) (( N N N N ee N N ee ee ee N N F F F F F F F F F F F F F F F F " " " " " " " " dt dt d d
++
++
++
++
++
++
++
++
==
++
++
++
++
.asangan .asangan gaya ingaya interaksi antar teraksi antar partikel sapartikel saling menialing meniadakandakan
karena masing-masing gaya interaksi besarnya sama dan
karena masing-masing gaya interaksi besarnya sama dan
berla9anan arah
berla9anan arah
Jadi dinamika Jadi dinamika sistem hanya sistem hanya dipengaruhi dipengaruhi gaya eksternagaya eksternal sajal saja
ee N N ee ee ee F F F F F F F F dt dt " " d d
++
++
++
++
==
11 22 33 ... Jika dihubuJika dihubungkan dengkan dengan Impuls ngan Impuls dan m#mdan m#mentum makaentum maka
persamaan
persamaan di di atas atas menjadimenjadi
( (
F
F
F
F
F
F
F
F
))
dt
dt
"
"
#
#
ee ee ee N N ee N N∆∆
==
++
++
++
++
==
∫ ∫
∑
∑
1122 33
....
....
Impuls t#tal yang bekerja pada sistem sama dengan Impuls t#tal yang bekerja pada sistem sama dengan .erubahan 5#mentum sistem
P!sat 1assa
P!sat 1assa
alam alam sistem banysistem banyak partikel0 ak partikel0 m#mentum t#m#mentum t#tal sistem tal sistem adalahadalah
resultan dari m#mentum setiap partikel penyusunnya
resultan dari m#mentum setiap partikel penyusunnya
N N " " " " " " " " " "
==
11++
22++
33++
++
N N N N vv m m vv m m vv m m vv m m " "==
11 11++
22 22++
33 33++
++
dt dt r r d d m m dt dt r r d d m m dt dt r r d d m m dt dt r r d d m m " "==
11 11++
22 22++
33 33++
++
N N N N Jika massa Jika massa t#tal sit#tal sistem adastem adalah lah 5m5m11mmmm33GmGm88 maka maka
m#mentum t#tal sistem dapat ditulis
m#mentum t#tal sistem dapat ditulis
++ ++ ++ == $ $ r r m m r r m m r r m m r r m m dt dt d d $ $ " " 11 11 11 11 11 11 11 11 "m "m
%
%
$
$
"
"
=
=
P!sat 1assa (6*
dengan "m "m dt d % =
disebut dengan ke"epatan pusat massa sistem banyak partikel0 dan
+
+
+
+
=
$ r m r m r m r m "m 1 1 2 2 3 3 N NContoh
Bentukan letak pusat massa sistem yang tersusun atas empat
buah partikel yang bermassa m11kg0 mkg0 m33kg0 dan
m22kg 7eempat partikel terletak pada titik sudut bujur sangkar
yang memiliki panjang sisi 1 m
engan sumbu k##rdinat seperti gambar maka p#sisi pusat massa terbagi k#m-p#nen
m
x
"m 0,5 4 3 2 1 0 . 4 1 . 3 1 . 2 0 . 1=
+
+
+
+
+
+
=
m1 m m3 m2 4 ym
y
"m0
,
7
4
3
2
1
1
.
4
1
.
3
0
.
2
0
.
1
=
+
+
+
+
+
+
=
.usat massa untuk benda k#ntinu
.ada prinsipnya sama dengan benda yang tersusun atas !anyak Bitik0 hanya n#tasi sigma diganti dengan integral
dm
r
$
r
"m=
1
∫
5assa t#tal sistem
∫
=
dm
Contoh
!atang yang panjangnya 1/ m dibentangkan pada sumbu 4 dari ?/ sampai dengan 41/ m Jika batang tidak h#m#gen0 rapat
massanya ungsi dari p#sisi
λ
14 kg+m0 tentukanlah pusat5assa batang
elemen ke"il batang pada p#sisi 4 yang panjangnya d4 akan
memiliki elemen ke"il massa dm
λ
d4 5assa t#tal batang
kg
xdx
dx
dm
$
12
600
10 0 10 0=
=
=
=
∫
∫
λ
∫
.usat massa batang
m
dx
x
$
x
"m3
20
1
=
=
∫
λ
H!k!m Keka 1oment!m
Jika resultan gaya eksternal pada benda atau sistem sama dengan n#l maka
0
=
dt
P
d
atautan
k&ns
P
=
5#mentum t#tal sistem tetap (tidak berubah terhadap 9aktu) 5#mentum tiap bagian b#leh berubah0 tetapi m#mentum t#tal sistem adalah tetap
*ebagai "#nt#h berlakunya hukum kekal
m#mentum adalah pada peristi9a tumbukan0
misalnya dua buah benda bertumbukan maka
benda tsb dipandang sebagai satu sistem0
sehingga m#mentum t#tal sistem sebelum
tumbukan sama dengan m#mentum sistem
sesudah tumbukan
%!mb!kan
alam setiap tumbukan berlaku hukum kekal m#mentum0 meski-pun dalam tumbukan antara benda bekerja gaya yang sangat singkat (gaya impulsi) namun jika benda dipandang sebagai satu sistem masing-masing gaya impulsi dapat dipandang se-bagai pasangan gaya aksi-reaksi
da 3 jenis tumbukan ;
Bumbukan lenting sempurna
(pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekal energi kinetik)
Bumbukan tidak lenting sama sekali
Contoh
!enda m1 kg bergerak dengan ke"epatan 13 m+s ke kanan menumbuk benda lain m2 kg yang sedang bergerak ke kiri dengan laju m+s *etelah tumbukan kedua benda bersatu Bentukan ;
7e"epatan kedua benda setelah tumbukan
Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah peristi9a
tumbukan terjadi .enyelesaian ;
!erlaku hukum kekal m#mentum
5#mentum a9al sistem m#mentum akhir sistem
s
m
v
v
v
m
v
m
v
m
v
m
/
3
'
'
)
4
2
(
)
2
(
4
)
13
(
2
'
'
1 2 2 1 2 2 1 1=
+
=
−
+
+
=
+
Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan
Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan
Energi kinetik kedua benda setelah tumbukan
J
v
m
Ek
1=
21 1 12=
169
J
v
m
Ek
21 2 228
2=
=
J
v
m
m
Ek
21(
1 2)
'
227
1=
+
=
Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah tumbukan tidak sama
1 *ebuah pesa9at angkasa 1/// kg bergerak dengan ke"epatan /// i m+s *ebuah mete#r menumbuk
pesa9at tsb sehingga ke"epatannya menjadi /// i /// j m+s !erapa Impuls tumbukkan =
Soal
6$ *ebuah b#la /0< kg bertumbukan lenting sempurna dengan b#la kedua yang sedang diam !#la kedua tersebut men-jauh dengan laju setengah laju a9al b#la pertama
D
*ebuah peluru bermassa m dan ke"epatan 6 menembus bal#k bermassa 50 dan keluar dgn ke"epatan 6+ !al#k ini ada pada
ujung tali dengan panjang D !erapa ke"e-patan minimum peluru agar bal#k berayun satu lingkaran penuh =
<
3 *ebuah b#la bilyar bergerak dengan ke"epatan 2 m+s me-numbuk b#la lain yang identik dalam keadaan diam *etelah
tumbukan b#la pertama membentuk sudut 3/# terhadap
arah semula !ila tumbukkan lenting sempurna0 tentukan ke"epatan masing-masing b#la setelah tumbukan
