Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia

(1)

Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia

Sri Fitria Metrikawati 115

Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh

Manusia

Sri Fitria Metrikawati

Program Studi Matematika FMIPA UAD

Abstrak

Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui pemodelan matematika mengenai transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia dan mengetahui dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia yang menyebabkan penyakit demam berdarah. Tulisan ini membahas suatu model matematika transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia yang memberikan gambaran mengenai virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran darah manusia. Hasil yang diperoleh menunjukan bahwa setelah beberapa hari masa viremia, populasi virus akan menurun. Pertumbuhan virus dipengaruhi oleh kemampuan virus menginfeksi dan kemampuan sistem kekebalan tubuh.

Kata Kunci : Titik equilibrium, matriks Jacobian,

1. Pendahuluan

Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit menular yang disebabkan oleh virus dengue. Penyakit ini merupakan salah satu masalah kesehatan masyarakat di Indonesia yang cenderung semakin meningkat jumlah penderita dan semakin luas penyebarannya. Nyamuk Aedes aegypti merupakan vector utama penyebar virus dengue, spesies lain seperti Aedes albopipictus,Aedes polynesiensis, berperan sebagai nyamuk sekunder. Nyamuk Aedes aegypti terinfeksi melalui pengisapan darah dari orang yang sakit dan dapat menularkan virus dengue kepada manusia, baik secara langsung (setelah menggigit orang yang sedang dalam fase viremia) maupun secara tidak langsung, setelah melewati masa inkubasi dalam tubuhnya (masa inkubasi ekstrinsik/extrinsic incubation period) (Soewondo, 2002).

Secara garis besar patogenesis DBD adalah setelah virus dengue masuk ke tubuh manusia, virus ini selama 3-8 hari berada dalam masa inkubasi di lokasi gigitan (sebagian turut peredaran darah). Setelah berkembang biak virus akan masuk ke dalam peredaran darah dan menyebabkan terjadinya viremia. Masa viremia ini dimulai 6-18 jam sebelum terjadi sakit dan berlangsung antara 1-7 hari (Vaughn dkk 2000). Setelah masa viremia virus tidak ditemukan di darah. Viremia adalah masa dimana virus berada di dalam aliran darah sehingga dapat ditularkan kepada orang lain melalui gigitan nyamuk.

Masa inkubasi dari infeksi virus dengue berkisar 7 sampai 10 hari. Fase viremia terjadi ketika pasien mulai demam dan terinfeksi. Viremia dimulai pada hari sebelum terserang penyakit dan berakhir pada hari terakhir dimana virus tersebut

(2)

terdeteksi. Adanya virus didalam tubuh menimbulkan reaksi hebat sel-sel tubuh. Walaupun virus pada akhirnya lenyap, namun reaksi tubuh akan menimbulkan tanda-tanda dan gejala penyakit DBD (Malavige dkk, 2004).

Aplikasi model matematika memiliki peran penting dalam berbagai bidang ilmu. Permasalahan yang ada dalam lingkungan kehidupan dapat ditransformasikan dalam model matematika dengan menggunakan beberapaasumsi. Dari model matematika yang ada selanjutnya dapat dianalisis perilaku-perilaku di dalamnya.

Nuning Nuraini et al membangun sebuah model matematika mengenai transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia yang memberikan gambaran mengenai virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran darah manusia. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk mengkaji pemodelan tersebut dengan menambahkan asumsi bahwa sel terinfeksi akan tereliminasi konstan setiap kali mengadakan kontak dengan sel fagosit.

Model dan simulasi mengenai transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia pada tulisan ini terdapat tiga kompartemen yaitu sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Virus ditransmisikan ke dalam tubuh manusia melalui gigitan nyamuk Aedes aegypti. Sel darah yang menjadi target utama virus dengue adalah sel monosit/makrofag kemudian menginfeksi sel darah putih dan jaringan limfatik. Virus yang masuk akan berkembangbiak. Virus tersebut bersikulasi di dalam darah. Pada saat virus masuk , sel-sel sistem imun (monosit, makrofag, limfosit B dan T) akan mengenali virus yang masuk dan berusaha mengeliminasinya. Sistem imun dalam tubuh akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat lainnya.

2. Perumusan Model

Pada penelitian ini, sel dibagi menjadi dua kelas, yaitu sel rentan yang dinotasikan dengan 𝑆(𝑡)dan sel terinfeksi yang dinotasikan dengan 𝐼(𝑡). Serta virus dengue yang dinotasikan dengan 𝑉(𝑡). .

1. Sel rentan 𝑆(𝑡)

Sel rentan adalah sel sehat yang belum diinfeksi oleh virus. Hal-hal yang mempengaruhi laju sel rentan :

a. Kelahiran alami dengan laju yang konstan.

b. Jumlah sel rentan akan berkurang karena adanya interaksi sel rentan dengan partikel virus (adanya penginfeksian virus). c. Kematian alami dengan laju yang konstan.

2. Sel terinfeksi 𝐼(𝑡)

Sel terinfeksi adalah sel rentan yang terinfeksi virus. Hal-hal yang mempengaruhi laju sel terinfeksi :

(3)

a. Jumlah sel terinfeksi akan bertambah karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan.

b. Kematian alami akan mengurangi jumlah sel terinfeksi dengan laju yang konstan.

c. Sel terinfeksi akan tereliminasi konstan setiap kali mengadakan kontak dengan sel fagosit.

Mekanisme destruksi sel yang terinfeksi virus dengue berjalan sebagai berikut : virus mengifeksi tubuh lewat nyamuk masuk ke dalam peredaran darah. Sel-sel sistem imun (monosit, makrofag, limfosit B dan T) akan mengenali virus yang masuk ini dan berusaha mengeliminasinya. Sel-sel sistem imun bersama faktor larut yang ada akan membangun respons imun. Faktor larut yang ada (misalnya CRP dan komplemen) yang mempunyai fungsi membantu penjagaan tubuh (kekebalan innate). Selain itu juga memfasilitasi respons yang terjadi agar bekerja sebagaimana mestinya (kekebalan adaptive) sehingga sel fagosit (sel T dan makrofag) dapat mengeliminasi virus yang ada. Perlu di ingat bahwa virus dengue dapat mengelak respons yang terjadi sehingga tidak dikenali dan dapat berkembang biak dalam sel yang diinfeksinya.

3. Virus dengue 𝑉(𝑡)

Virus merupakan parasit yang berukuran mikroskopik yang menginvasi dan memanfaatkan sel makhluk hidup lain untuk melanjutkan siklus hidupnya. Untuk melangsungkan hidupnya, virus mencari sel inang untuk ditempati, ketika virus mendapatkan sel inang untuk melangsungkan hidupnya, virus akan bereproduksi dan menghasilkan virus-virus baru. Dalam penelitian ini virus tersebut adalah virus degue. Hal-hal yang mempengaruhi laju virus dengue :

a. Jumlah virus dengue akan bertambah dari banyaknya sel yang terinfeksi dikalikan dengan banyaknya duplikasi virus dengue baru tersebut.

b. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya kematian alami dengan laju yang konstan.

c. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya sel T yang menghancurkan virus dengue tersebut.

d. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya partikel virus dengue yang menginfeksi sel rentan.

Setelah virus masuk ke dalam tubuh, virus akan mencari sel inang tanpa memperhatikan tipe sel inang untuk diinfeksi. Selanjutnya, virus akan melakukan beberapa tahapan untuk bereproduksi. Saat virus masuk ke dalam tubuh, tubuh akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat lainnya. Terdapat beberapa sel yang berperan dalam sistem imun, yaitu sel B, sel T dan makrofag.

Saat virus masuk kedalam tubuh dan mengenai sel inang, sel T akan menjadi aktif. Sel T terbagi menjadi tiga, yaitu :

(4)

a. Sel T sitotoksik yang berfungsi menghancurkan sel inang yang memiliki antigen asing.

b. Sel T penolong yang berfungsi meningkatkan perkembangan sel B aktif menjadi sel plasma, memperkuat aktivitas sel T sitotoksik dan sel T penekan yang sesuai, dan mengaktifkan makrofag.

c. Sel T penekan yang menekan produksi antibodi sel B dan aktifitas sel T sitotoksik dan penolong.

Setelah sel T aktif, sel T penolong akan mengaktifasi sel B yang kemudian terbagi menjadi dua. Yaitu menjadi plasma sel yang menghasilkan antibodi untuk melawan virus dan sel pengingat yang siap merespon lebih cepat agar apabila virus kembali ke dalam tubuh, sel B bisa lebih cepat memproduksi antibodi.

Diagram dibawah ini menggambarkan proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia.

1.

Laju pertumbuhan sel rentan : Parameter 𝛿 menyatakan banyaknya sel rentan yang diproduksi (sumsum tulang, kelenjar limfa/organ limfoid) atau dengan kata lain adanya kelahiran alami dengan laju yang konstan. Jumlah sel rentan akan berkurang karena adanya interaksi sel rentan dengan partikel virus (adanya penginfeksian virus), 𝛽 menyatakan interaksi tersebut. Kemudian sel rentan akan berkurang dengan adanya kematian alami dengan laju yang konstan, 𝛿 menyatakan laju kematian alami.

2. Laju pertumbuhan sel terinfeksi : Pertambahan sel terinfeksi terjadi karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan. Sedangkan berkurang karena adanya kematian alami dengan laju yang konstan, dinyatakan

(5)

dengan 𝜎. Kemudian sel terinfeksi akan tereliminasi konstan setiap kali mengadakan kontak dengan sel fagosit, yang dinyatakan dengan 𝜂 .

3. Laju pertumbuhan populasi virus dengue : Jumlah virus dengue akan bertambah dari banyaknya sel yang terinfeksi, yang dinyatakan dengan 𝜇 dikalikan dengan banyaknya duplikasi virus dengue baru yang dinyatakan dengan 𝜂 . Sedangkan jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya kematian alami dengam laju yang konstan, dinyatakan dengan 𝛾1 dan jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya sel T yang menghancurkan virus dengue tersebut yang dinyatakan dengan 𝛾2 . Kemudian jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya partikel virus dengue yang menginfeksi sel rentan sebesar 𝛽 .

Dari diagram di atas dihasilkan formula untuk mengetahui dinamika virus dengue yang disajikan dalam suatu model matematika :

1) 𝑑𝑆(𝑡)_𝑑𝑡 = 𝛼 − 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡) − 𝛿𝑆(𝑡) 2) 𝑑𝐼(𝑡)_𝑑𝑡 = 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡) − 𝜎𝐼(𝑡) − 𝜂𝐼(𝑡)

3) 𝑑𝑉(𝑡)_𝑑𝑡 = 𝜇𝑛𝐼(𝑡) − 𝛾1𝑉(𝑡) − 𝛾1𝑉(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡) …(1) Dengan

𝛼: kelahiran alami sel rentan

𝛽 ∶ peluang perpindahan virus dengue 𝛿 ∶ kematian alami sel yang terinfeksi

𝜂 ∶ kematian sel yang terinfeksi oleh sel fagosit

𝜇 ∶ peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue 𝑛 ∶ banyaknya duplikasi virus dengue baru

𝛾1 ∶ kematian alami virus dengue 𝛾₂∶ kematian virus dengue dengan sel T Dimana 𝛼, 𝛽, 𝜎, 𝜂, 𝛾1, 𝛾2> 0 dan 𝑆, 𝐼, 𝑉 ≥ 0

3. Analisa Model

Salah satu masalah yang penting dalam pemodelan ini adalah analisis dinamika sistem persamaan diferensial nonlinier model yang telah disusun. Pertaman akan ditentukan titik equilibrium model. Titik equilibrium memenuhi persamaan-persamaan

(6)

0 = 𝛼 − 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡) − 𝛿𝑆(𝑡) 0 = 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡) − 𝜎𝐼(𝑡) − 𝜂𝐼(𝑡) 0 = 𝜇𝑛𝐼(𝑡) − 𝛾₁𝑉(𝑡) − 𝛾₁𝑉(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡)

Diperoleh dua titik equilibrium, yaitu keadaan yang bebas virus, 𝐸₁ = (𝑆, 𝐼, 𝑉) = (𝛼_𝛿, 0,0) dan keadaan dimana yang terdapat virus, 𝐸2 = (𝑆∗, 𝐼∗, 𝑉∗), dengan

𝑆∗₌(𝜎 + 𝜂)(𝛾1+ 𝛾2) 𝛽(𝜇𝑛 − (𝜎 + 𝜂)) 𝐼∗₌𝛼𝛽(𝜇𝑛 − (𝜎 + 𝜂)) − 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1+ 𝛾2) (𝜎 + 𝜂)𝛽(𝜇𝑛 − (𝜎 + 𝜂)) 𝑉∗₌𝛼𝛽(𝜇𝑛−(𝜎+𝜂))−𝛿(𝜎+𝜂)(𝛾1+𝛾2) 𝛽(𝜎+𝜂)(𝛾1+𝛾2) …(2)

Titik equilibrium 𝐸1 menunjukan keadaan yang bebas virus karena pada kondisi ini tidak ada virus dan sel terinfeksi, dan 𝐸2 merupakan titik equilibrium yang menunjukan keadaan yang terdapat virus.

Dalam model penyebaran penyakit menular, basic reproductive number (𝑅0) didefinisikan sebagai nilai ekspektasi dari jumlah infeksi baru yang terjadi setelah satu terinfeksi dalam populasi yang rentan. Besaran ini digunakan sebagai ambang batas untuk mentukan kondisi wabah penyakit. Jika 𝑅₀> 1 maka penyakit akan mewabah sedangkan jika 𝑅0< 1 maka penyakit tidak akan mewabah (Anderson and May, 1991). Dengan menentukan nilai 𝑅₀ , maka akan diketahui apakah virus tersebut akan menyebar atau tidak.

Ilustrasi dari 𝑅₀ misalnya terdapat populasi manusia yang peka dan tidak ada manusia yang terinfeksi. Kemudian ada manusia yang terinfeksi virus dan berinteraksi dengan manusia peka. Maka, jika 𝑅0 < 1 , tidak akan terjadi endemik. Dalam artian, manusia yang peka tersebut tidak akan tertular penyakit dan penyakit tidak menyebar, dan manusia yang sakit (yang terinfeksi virus) bisa sembuh setelah beberapa waktu. Sedangkan jika 𝑅0> 1 , akan terjadi endemik. Yang artinya, setelah beberapa waktu, manusia yang sakit akan menularkan penyakitnya. Sehingga, manusia yang awalnya sakit kemungkinan akan sembuh dan manusia yang sehat akan sakit.

Next generation matrix adalah salah satu metode untuk menentukan Basic Reproduction Number 𝑅₀ pada sebuah model epidemik. Misal 𝐹_𝑖 adalah laju kemunculan infeksi baru pada kompartemen 𝑖 karena hubungan antar kompartemen dan 𝑊_𝑖 = 𝑊_𝑖−_{− 𝑊}

𝑖+ , dimana adalah laju transfer individu antar kompartemen yang masuk kedalam kompartemen 𝑖 sedangkan 𝑊_𝑖− adalah laju transfer individu antar kompartemen yang keluar dari kompartemen 𝑖. Dari matriks 𝐹𝑖 dan 𝑊𝑖 dapat dibentuk next generation matrix𝐹𝑊−1 . Bentuk tersebut dapat diperoleh dengan membentuk matriks dari turunan parsial 𝐹_𝑖 dan 𝑊_𝑖 , yaitu

(7)

𝐹 = [𝜕𝐹𝑖(𝑋0)

𝜕𝑋𝑗 ] …(i)

Dan 𝑊 = [𝜕𝑊𝑖(𝑋0)

𝜕𝑋𝑗 ] …(ii)

Dimna 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑚 dan 𝑋0adalah Diseases Free Equilibrium (DFE). 𝑅0diperoleh dengan mencari nilai eigen dominan dari matriks 𝐹𝑊−1 (Zhien Ma dan Jia Li). 𝐹_𝑖= (𝛽𝑆𝑉_{𝛽𝑆𝑉)} 𝐹 = (0 𝛽𝑆_{0 𝛽𝑆) = (}0 𝛼𝛽 𝛿 0 𝛼𝛽 𝛿 ) 𝑊_𝑖−= (_(𝛾(𝜎 + 𝜂)𝐼 1+ 𝛾2)𝑉) 𝑊_𝑖+= (_{𝜇𝑛𝑙)}0 𝑊𝑖 = (_(𝛾 (𝜎 + 𝜂)𝐼 1+ 𝛾2)𝑉 − 𝜇𝑛𝑙) Dengan menggunnakan (𝑖𝑖) diperoleh

𝑊 = (𝜎 + 𝜂_−𝜇𝑛 _𝛾 0 1+ 𝛾2)

Setelah diketahui matriks 𝐹 dan 𝑊, selanjutnya dibentuk next generation matrix 𝐹𝑊−1_. 𝑊−1₌ 1 (𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂)( 𝛾₁+ 𝛾₂ 0 𝜇𝑛 𝜎 + 𝜂) = ( 1 (𝜎 + 𝜂) 0 𝜇𝑛 (𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) 1 (𝛾₁+ 𝛾₂₎₎ Maka

(8)

𝐹𝑊−1_{= (}0 𝛼𝛽 𝛿 0 𝛼𝛽 𝛿 ) ( 1 (𝜎 + 𝜂) 0 𝜇𝑛 (𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) 1 (𝛾₁+ 𝛾₂₎₎ = ( 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂) 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂₎₎ Akan ditentukan nilai eigen dari 𝐹𝑊−1

𝜆𝐼 − 𝐹𝑊−1_{= (𝜆 0} 0 𝜆) ( 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂) 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂₎₎ = ( 𝜆 − 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) − 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂) − 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) 𝜆 − 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂₎₎ Maka persamaan karakteristik dari 𝐹𝑊−1_adalah

det(𝜆𝐼 − 𝐹𝑊−1_{) = 0} det(𝜆𝐼 − 𝐹𝑊−1_{) = ||} 𝜆 − 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) − 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂) − 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂) 𝜆 − 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂) || = 0 Didapat (𝜆 − 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂)) (𝜆 − 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂)) − (− 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂)) (− 𝛼𝛽 𝛿(𝛾₁+ 𝛾₂)) = 0 𝜆2₋ 𝜆𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1+ 𝛾2)− 𝜆𝛼𝛽 𝛿(𝛾1+ 𝛾2)= 0

(9)

𝜆 [𝜆 − (𝜆𝛼𝛽𝜇𝑛 − 𝛼𝛽(𝜎 + 𝜂)_{𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾} 1+ 𝛾2) )] = 0 Maka 𝜆 = 0 atau

𝜆 =𝜆𝛼𝛽𝜇𝑛 − 𝛼𝛽(𝜎 + 𝜂) 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂)

Maka diperoleh basic reproduction number dari model ini adalah

𝑅₀=𝛼𝛽𝜇𝑛 − 𝛼𝛽(𝜎 + 𝜂) 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾₁+ 𝛾₂)

Titik equilibrium yang bebas dari virus (𝐸₁) , akan stabil asimtotik lokal jika dan𝑅₀< 1 tidak stabil untuk lainnya.

Lakukan linierisasi dengan menggunakan matriks Jacobian dari sistem (1) yang didasarkan pada 𝐸₁ . Dimana 𝐸₁ merupakan titik equilibrium dengan keadaan bebas virus. 𝐽𝐸1 = ( −𝛿 0 − 𝛼𝛽 𝛿𝑅₀ 0 −𝜎 − 𝜂 𝛼𝛽 𝛿𝑅0 0 𝜇𝑛 −𝛾₁− 𝛾₂− 𝛼𝛽 𝛿𝑅0) Diperoleh nilai eigen – 𝛿 dan persamaan karakteristik :

𝑞(𝑠) = 𝑠3_{+ 𝑎𝑠}2_{+ 𝑏𝑠 + 𝑐} Dimana 𝑎 = 𝜆 + 𝛼𝛽 𝛿𝑅0+ 𝜎 + 𝜂 + 𝛿𝑅0 𝑏 = (𝜎 + 𝜂)𝜆 +(𝜎 + 𝜂)𝛼𝛽 𝛿𝑅₀ − 𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛿𝑅₀ + 𝛿𝑅0𝜆 + 𝛿𝑅0𝜎 + 𝛿𝑅0𝜂 + 𝛼𝛽 𝑅₀ 𝑐 = 𝛿𝑅₀(𝜎 + 𝜂)𝜆 −𝛼𝛽𝜇𝑛_𝑅 0 + 𝛼𝛽(𝜎 + 𝜂) 𝑅₀ Dan 𝜆 = (𝛾₁+ 𝛾₂).

(10)

Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz untuk mendapatkan determinan yang positif, haruslah memenuhi 𝑎𝑏 > 𝑐 atau

𝑟1𝑅04+ 𝑟2𝑅03+ 𝑟3𝑅02+ 𝑟4𝑅0+ 𝑟5> 0 …(4) Dimana 𝑟₁= 𝛿3_{(𝜆 + 𝜎 + 𝜂)} 𝑟₂= 𝛿2_(𝜆2_{+ 𝜎}2_{+ 𝜂}2_{+ 𝜆𝜎 + 𝜆𝜂 + 2𝜎𝜂)} 𝑟₃= 𝛼𝛽(𝜆𝛿 + 𝜎𝛿 + 𝜂𝛿 + 𝛿2_{) + 𝜆𝛿}2_{(𝜎 + 𝜂)} 𝑟₄= 𝛼𝛽(𝛿(𝜆 + 𝜎 + 𝜂)) 𝑟₅= 𝛼2_𝛽2

Maka dari penjabaran diatas dapat disimpulkan: titik equilibrium 𝐸2 ada jika 𝑅0> 1, dan dikatakan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika memenuhi kondisi (4).

4. Simulasi Numerik

Simbol Definisi Satuan Nilai Sumber

𝛼 Laju kelahiran alami

sel rentan 𝑗𝑎𝑚 −1 _{0.05556 − 0.1668} _{Yudi Ari A} 𝛽 Peluang perpindahan virus dengue 𝑗𝑎𝑚 −1 _{0.001 − 0.01} _{Yudi Ari A} 1 𝛿

Laju kematian alami

sel rentan 𝑗𝑎𝑚 2.4 𝑥 10

3_{− 7.2 𝑥 10}3_{Yudi Ari A}

𝜎 Laju kematian alami sel yang terinfeksi 𝑗𝑎𝑚

−1 _{0.03 − 0.32} _{Nuning et al}

𝜂 Laju kematian alami sel yang terinfeksi 𝑗𝑎𝑚

−1 _0.001 Nuning

nuraini et al

(11)

yang menghasilkan virus dengue

𝑛 Banyaknya duplikasi virus dengue baru 𝑗𝑎𝑚

−1 _{600 − 700} _Ririn

𝛾1

Laju kematian alami virus dengue 𝑗𝑎𝑚

−1 _{1 − 4} Nuning

nuraini et al

𝛾₂ Laju kematian virus dengue dengan sel T 𝑗𝑎𝑚

−1 _{4 − 33} _{Yudi Ari A}

Simulasi dalam Keadan Bebas Virus

Simulasi pada keadaan ini menggunakan syarat awal bahwa terdapat sejumlah sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Nilai awal sel rentan 𝑆(0) = 60 , sel yang terinfeksi 𝐼(0) = 10 , virus dengue 𝑉(0) = 100 .

Dari nilai parameter tersebut diperoleh titik equilibrium pada saat keadaan bebas virus, populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (135.5122,0,0)pada saat 𝑡 → ∞ Asumsi mengenai simulasi pada keadaan ini, yaitu jika 𝑉 < 1 maka dapat diartikan tidak terdapat virus dengue.

(12)

Dari gambar di atas, dapat disimpulkan bahwa jika pada saat 𝑅0< 1 maka tidak akan terjadi endemik. Artinya, tidak akan terjadi penyebaran virus di dalam tubuh. Meskipun 𝐼 dan 𝑉mengalami kenaikan tetapi kenaikan itu tidak signifikan, kemudian 𝐼 dan 𝑉 tersebut lama-lama menuju angka dan konstan di angka 0tersebut sampai 𝑡 → ∞ , yang berarti populasi𝐼 dan 𝑉 akan habis. Setelah menganalisis dan melihat hasil numerik ternyata hal tersebut sama denganbahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang bebas dari virus, dalam hal ini 𝐸1 = (135.5122,0,0) akan stabil asimtotik lokal jika 𝑅₀< 1 dan tidak stabil untuk lainnya.

Simulasi dalam Keadaan Terdapat Virus Bebas

Simulasi pada keadaan ini menggunakan syarat awal bahwa terdapat sejumlah sel rentan dan virus dengue. Nilai awal sel rentan 𝑆(0) = 200 , sel yang terinfeksi 𝐼(0) = 0, virus dengue 𝑉(0) = 10 .

Dari nilai parameter tersebut diperoleh titik equilibrium pada saat keadaan terdapat virus bebas,, populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (57.1995, 4.6252, 2.5102) pada saat 𝑡 → ∞.

Dari gambar di atas, dapat disimpulkan bahwa jika pada saat 𝑅₀ > 1 maka akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran virus dengue di dalam tubuh. Karena nilai I dan V pada hasil simulasinya berturut-turut akan mendekati angka4.6252 𝑑𝑎𝑛 2.5102, kemudian konstan di titik tersebut sampai 𝑡 → ∞. , yang berarti populasi I dan V masih tetap ada di dalam tubuh. Setelah menganalisis dan melihat hasil numerik ternyata hal tersebut sama dengan bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang terdapat virus bebas, dalam hal ini𝐸₂ = (57.1195, 4.6252, 2.5102) akan stabil asimtotik lokal jika 𝑅0> 1 dan tidak stabil untuk lainnya.

(13)

5.

Kesimpulan

Dalam suatu model matematika, persamaan diferensial digunakan untuk

mempresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari hari

pada interval waktu kontinu. Model matematika mengenai transmisi virus

dengue di dalam tubuh manusia pada penulisan ini terdapat 3

kompartemen (sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue) yang memberikan

gambaran mengenai virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran

darah manusia. Pertumbuhan virus dipengaruhi oleh kemampuan virus

menginfeksi dan kemampuan sistem kekebalan tubuh.

6.

Daftar

Pustaka

[1] Adi, Y.A., 2007Model Interaksi Virus Dengeu dan Sel Darah Manusia. Jurnal Penelitian dan kajian Ilmiah MIPA

[2] Anton, Howard.1995. Aljabar Linear Elementer (Edisi 5), Terj. Elemntary

Linear Algebra (5th ed). P.Silaban, I.N. Susila (Pen), R.Hutauruk (Ed) P.Silalahi (Kor.) Jakarta:Erlangga

[3] Anderson,. May R.1991.Infection Desease of Human : Dinamic and

Control. New York : Oxford University Press,. Ditemukali 17 maret 2011,

dari http://www.princeton.edu/aglaser/lecture2007_desease.pdf

[4] Burden, Richard., Faires, Douglas. 2001. Numerical Analysis (7th ed). United States of America : Thompson Learning

[5] Ma, Zhien., Li, Jia. Synamical Modeling and Analysis of Epidemic. World Scientific Publising Co. Pte. Ltd Sitemukenali 17 Maret 2011, dari

http://worldscibooks.com/medsci/6799.html

[6] Misnadiarly,2009. Demam Berdarah Dengue (DBD). Jakarta : PPO (Yayasan Obor Indonesia).