INTERFERENSI DAN DIFRAKSI. Mata Kuliah: Gelombang & Optik Dosen: Andhy Setiawan

INTERFERENSI DAN DIFRAKSI

Mata Kuliah: Gelombang & Optik

A. Interferensi

Interferensi

merupakan

perpaduan

dua

atau

lebih

gelombang

sebagai

akibat

berlakunya

prinsip

superposisisi.

Interferensi terjadi bila gelombang–gelombang tersebut

koheren, yaitu mempunyai perbedaan fase yang tetap.

koheren, yaitu mempunyai perbedaan fase yang tetap.

Interferometer

Interferometer

merupakan

alat

untuk

menghasilkan

gelombang yang koheren sehingga interferensi bisa

terjadi.

Jenis Interferometer :

1. Pembelah muka Gelombang

1. Pembelah muka Gelombang

2. Pembelah Amplitudo

A.1 Interferometer Pembelah Muka Gelombang Prinsip Kerja :

Dua gelombang yang koheren diperoleh dari sumber yang sama dengan intensitas yang tetap.

Contoh :

Interferometer Young dua celah

Interferometer Biprisma Fresnel

A.2 Interferometer Pembelah Amplitudo Prinsip Kerja :

Dua gelombang yang koheren diperoleh dengan membagi intensitas semula , misal dengan lapisan pemantul sebagian

Contoh : Contoh :

Interferometer Michelson

S

S₁

A.1. Interferometer Pembelah Muka Gelombang A.1.1. Percobaan Young

P y r₁ r₂ θ 1 S S₂ L θ 2

Persamaan gelombang cahaya dari S₁ dan S₂ di titik P pada layar :

( )

( ) 0 1 1 1

,

t

=

E

e

i kr −

ω

t +

ϕ

r

E

( )

(

)

0

2

2 2

,

t

=

E

e

i

kr

−

ω

t

+

ϕ

r

E

Superposisi di titik P : Superposisi di titik P :

2

1

E

E

E

=

+

( )

r

,

t

=

E

₀

(

e

i (kr1 −

ω

t +

ϕ

1 )

+

e

i (kr2 −

ω

t +

ϕ

2 )

)

....

( )

1

E

Intesitas :

[

][

]

1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 2 2 1 1 2 2 1 1−ω +ϕ

+

−ω +ϕ − −ω +ϕ

+

− −ω +ϕ

≈

i kr t i kr t i kr t i kr t

e

e

e

e

E

I

2

E

I

≈

(

)

(

)

(

(

)

)

[

1

( 2 1) 2 1 ( 2 1) 2 1

1

]

2 0

+

+

+

≈

−i k r −r + ϕ −ϕ i k r −r + ϕ −ϕ

e

e

E

I

(

)

(

)

(

(

)

)

[

( ) ( )

]

2

2

+

− − + ϕ −ϕ

+

− + ϕ −ϕ

≈

i k r r i r r k

e

e

E

I

[

2

2

cos

φ

]

2 0

+

≈

E

I

(

)

(

)

(

(

)

)

[

( 2 1) 2 1 ( 2 1) 2 1

]

2 0

2

ϕ ϕ ϕ ϕ − − + − + − −

₊

+

≈

i k r r i r r k

e

e

E

I

(

2 1

) (

2 1

)

dengan

φ

=

k

r

−

r

+

ϕ

−

ϕ

[

1

cos(

)

]

2

₀

+

φ

=

I

I

maka

karena

I

₀

≈

E

₀ 2

≈

E

₀2

1

2

cos

2

2

2

cos

=

2

−









φ

φ













∆

+

∆

=

2

2

cos

4

I

₀ 2

k

r

ϕ

I

[

1

cos(

)

]

2

₀

+

φ

=

I

I

(

) (

)

ϕ

ϕ

ϕ

φ

∆

+

∆

=

−

+

−

=

r

k

r

r

k

_{2 1 2 1}

dengan

0

=

∆

ϕ

Kedua gelombang dari sumber yang sama

∆

ϕ

=

0













∆

=

2

cos

4

I

₀ 2

k

r

I

S S₁ S₂ P y r₁ r₂ θ 1 θ 2 d θ ∆∆∆∆r Dari gambar S₂ L ∆∆∆∆r

,

sin

θ

d

r

=

∆

Karena

L

y

=

≅

θ

θ

tan

sin

<<

θ

maka













=

L

dy

I

I

λ

π

2 0

cos

4

mengingat

λ

π

2

=

k

maka

I

akan maksimum jika :

π

λ

π

n

L

dy

=













=

L

dy

I

I

λ

π

2 0

cos

4

cos

2



=

1











L

dy

λ

π

d

L

n

y

=

λ

Jarak terang ke-n dari pusat

2

,

1

,

0

±

±

=

n

I

akan minimum jika :

_cos

2



=

₀











L

dy

λ

π

π

λ

π









+

=

2

1

2n

L

dy

2

,

1

,

0

±

±

=

n

d

L

n

y

=

_



+

_



λ

2

1

2

Jika :

0

=

n

y

=

0

1

=

n

d

L

y

=

λ

2

=

n

d

L

y

=

2

λ

L

λ

•jarak antara dua terang / dua gelap berurutan

d

L

y

2

λ

=

d

L

y

2

3

λ

=

d

L

y

2

5

λ

=

1 2 0 1

y

y

y

y

y

=

−

=

−

∆

d

L

y

=

λ

∆

• jarak gelap ke terang berurutan adalah

L

=

−

=

−

=

−

=

∆

y

y

_0g

y

_0t

y

_1t

y

_0g

y

_1g

y

_0t

d

L

y

2

λ

=

∆

A.1.2. Interferometer Biprisma Fresnel

Interferometer Biprisma Fresnel menggunakan prisma sebagai pembelah muka gelombang. Untuk itu sebelumnya kita harus memahami jalannya sinar pada prisma

α θ i1 θ r1 a x θ_i 2 θ r2 δ y c

α θ i1 θ r1 a x θ_i 2 θ r2 δ y c a = 900 _{- θ} r1 ; b = 900_{- θ} i2 α _{+ a+ b = 180}0 x = θ i1 - θr1 ; y = θ r2 - θ i2 c +x +y = 1800 c = 1800 _{- ( θ} i1 - θr1 ) - ( θr2 - θ i2 ) = 1800 _{- (θ} i1 + θr2) + (θr1 + θ i2) = 1800 _{- ( θ} i1 + θr2) + α ………..(*) δ _{= 180}0 _{- c} = 1800 _{- (180}0 _{- ( θ} i1 + θr2) + α ) = ( θ i1 + θr2) – α …………(**)

Sudut Deviasi Minimum

• Terjadi bila θ_r1 = θ i₂ dan θ_i1 = θ_r2 α

θ i1 θ r1 θ i2 θ r2

Gamba 4. Prisma dengan sudut deviasi minimum

2

1

α

θ

_r

=

α

=

2

θ

r1

(

θ

θ

)

α

δ

=

_i1

+

_r2

−

dengan

Gamba 4. Prisma dengan sudut deviasi minimum

2 1 r i

θ

θ

=

α

θ

δ

=

2

_i

₁

−

2

1

α

δ

θ

_i

=

+

Berdasarkan hukum Snellius : 1 1

1

Sin

θ

_i

=

nSin

θ

_r

2

2

α

α

δ

nSin

Sin

+

=

Selanjutnya untuk α yang kecil :

2

2

α

α

δ

n

=

+

( )

1

α

...

....(*

*

*)

δ

=

n

−

Interferometer Biprisma Fresnel

S d S₁ α

δ

2

p q Layar L S d S₂ R

δ

2

r s

<<

δ

S

=

d

=

2

δ

R

d R = R’

S

₂

_δ

R’ R R = R’

d

L

y

=

λ

∆

Maka :

δ

λ

R

L

R

y

2

)

(

+

=

∆

)

(

R

L

L

→

+

R

d

=

2

δ

δ

R

y

2

=

∆

(

)

α

δ

=

n

−

1

karena

δ

yang minimum :

(

)

(

)

α

λ

1

2

−

+

=

∆

n

R

L

R

y

A.1.3. Interfereometer Young Banyak Celah P S₁ S₂ d sin

( )

θ

r₁ r₂ r₃ r S₃ S₂ S₄ S₅ θ

( )

θ

sin d r₄ r₅

Semakin jauh celah maka Δφ semakin besar.

Beda fase antara dua gelombang yang masuk ke celah secara berurutan menghasilkan Δφ = k.Δr

(

kr

t

)

i

e

E

E

=

−

ω

E

=

E

e

i

(

kr

2

−

ω

t

)

r

r

r

₂

=

₁

+

∆

(

n

)

r

r

r

_n

=

₁

+

−

1

∆

r

r

r

r

r

₃

=

₂

+

∆

=

₁

+

2

∆

Fungsi gelombang :

(

)

i

(

k

(

r

( )

n

r

)

t

)

n

t

kr

i

n

E

e

E

E

e

E

=

n

−

ω

→

=

+

−

1

∆

−

ω

0

0

1

(

kr

t

)

i

e

E

E

=

1

−

ω

0

1

(

kr

t

)

i

e

E

E

=

2

−

ω

0

2

Fungsi gelombang di titik P merupakan perpaduan gelombang

cahaya yang melewati celah 1 sd N, maka:

( )

(

)

(

k

r

n

r

t

)

i

N

n

e

E

E

+

−

∆

−

ω

=

∑

=

1

1

0

1

Dapat ditulis ulang sebagai :

(

)

_∑

(

( )

)

= ∆ − −

=

N n r n k i t kr i

e

e

E

E

1 1 0 1

ω

(

)

(

( )

)

_...

₉

₎

)

,

(

1 1 0 1

∑

= ∆ − −

=

N n n i t kr i

e

e

E

t

r

E

ω ϕ S

r

k

∆

=

∆

ϕ

.

( )

(

)

(

k r n r t

)

i N n

e

E

E

+ − ∆ −ω =

∑

=

1 1 0 1

Selanjutnya bagian S diekspansikan dalam deret :

Merupakan deret ukur dengan rasio

S

( )

(

)

₁

2 3

_...

1 1 ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ = ∆ −

₌

₊

₊

₊

∑

i i i N n n i

e

e

e

e

ϕ

∆

=

i

e

R

Deret ukur dengan rasio R memiliki jumlah

( )

1

1

1 1

−

−

=

_∆∆ ∆ − =

∑

ϕ _ϕϕ i iN n i N n

e

e

e

(

)

(

)

(

ϕ ϕ

)

(

ϕ ϕ

)

ϕ ϕ ϕ ϕ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + ∆

−

−

=

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 i i N N i N N i

e

e

e

e









−

     ∆ − ∆ ∆ 2 ϕ ϕ ϕ _iN i N N i

e

e

e

Sehingga :

1

1

−

−

=

R

R

S

N N

















−

















−

=

_∆ − ∆ ∆     ∆ − ∆ ∆ 2 2 2 2 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ i i i i i i

e

e

e

e

e

e

( ) ( )





















∆

∆

=

∆ − = ∆ −

∑

2

sin

2

sin

1 2 1 1

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

N

e

e

i N N n n i

maka persamaan 9 menjadi :

( )

(

)

(

)

(

)





































∆

∆

=

− ∆ −

2

sin

sin

,

2 1 2 0 1

ϕ

ϕ

ϕ ωt i N N kr i

e

e

E

t

r

E

(

N

)

t

kr

ϕ

ω

φ

=

+

−

1

∆

−

2

1

1 ( ) ( )





















∆

∆

=

∆ − = ∆ −

∑

2

sin

2

sin

1 2 1 1

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

N

e

e

i N N n n i Jika













2

( )

(

)





































∆

∆

=

2

sin

sin

,

₀ 2

ϕ

ϕ

φ N i

e

E

t

r

E

Maka : 2 0

2

sin

2

sin





















∆

∆

=

_ϕ

ϕ

N

I

I

2

E

I

≈

φ φ

ϕ

ϕ

i i

e

e

N

E

I

−





















∆

∆

≈

.

2

sin

2

sin

2 2 0

Untuk kasus celah ganda (dua celah) maka N = 2 : 2 0

2

sin

sin





















∆

∆

=

I

_ϕ

ϕ

I

2 0

2

sin

2

cos

.

2

sin

2

























∆

∆

∆

=

_ϕ

ϕ

ϕ

I

2

cos

4



∆



=

I

ϕ

I

₀ ∆ϕ = k∆r

2

cos

4









∆

=

I

ϕ

I

2

cos

4

₀ 2

∆

ϕ

=

I

I

L

kdy

I

I

2

cos

4

₀ 2

=

L

dy

I

I

λ

π

2

0

cos

4

=

L y kd L y d r d d r r k = ∆ = ∆ → ≈ = ∆ ∆ = ∆ ϕ θ θ ϕ tan sin

A.2. inferometer Pembelah Ampliudo (Pemecah Berkas) A.2.1. Interferometer Michelson

M₁

Gambar Interferometer Michelson S

M₂

M₁ d M₁’ S M₂ C

“Kaca planpararel pada interferometer berfungsi untuk menyamakan lintasan optik”

Pada awalnya:

Selanjutanya ketika M1 digeser sebesar d, maka : 2 1

CM

CM

=

_dan

r

1

=

r

2

d

CM

CM

₁

'

=

₁

+

d

r

r

₁

'

=

₁

+

2

d

r

r

₁

'

=

₂

+

2

karena

r

₁

=

r

₂ Persamaan gelombangnya : ) ) 2 ( ( 0 1 1 d t r k i

e

E

E

=

+ −ω dan

E

₂

=

E

₀

e

i(kr2 −ωt)

2 1 1 1

r

r

r

r

r

=

′

−

=

′

−

∆

(

r

1

2

d

)

r

1

r

=

+

−

∆

d

r

r

d

r

=

2

→

₁

′

=

₁

+

2

∆

(

2

)

) ( 0 ) ( 0 1 1 1 t i k r d t r k i

e

E

e

E

E

₁

=

E

₀

e

′−

ω

=

E

₀

e

+ −

ω

E

=

=

) ( 0 2 2

(

e

i kr t

E

E

=

−

ω

)

(

(

(

2

)

)

(

)

0

2 1

d

t

i

kr

t

r

k

i

e

e

E

E

=

+

−

ω

+

−

ω

2 1

E

E

E

=

+

Superposisi :

Intensitas :

(

)

(

)

[

2 ( )

]

[

(

(

2

)

)

( )

]

2 0 2 1 2 1 d t i kr t i k r d t i kr t r k i

e

e

e

e

E

I

≈

+ −ω

+

−ω − + −ω

+

− −ω 2

E

I

≈

(

)

(

)

(

(

)

)

[

1

( 2 ) ( 2 )

1

]

2 0 1 2 1 2

+

+

+

≈

−i k r − r + d i k r − r + d

e

e

E

I

(

)

(

)

[

i k d i k d

]

e

e

E

I

≈

₀2

2

+

− 2

+

2

maka

karena

r

₂

=

r

₁

[

kd

]

E

I

≈

₀2

2

+

2

cos

2

[

1

cos(

2

)

]

2

I

₀

kd

I

=

+

maka

karena

I

₀

≈

E

₀ 2

≈

E

₀2

[

]

)

(

cos

4

1

)

(

cos

2

1

2

2 0 2 0

kd

I

I

kd

I

I

=

−

+

=

I

akan maksimum jika :

λ

π

λ

π

π

n

d

n

d

n

kd

=

=

→

=

2

2

( )

kd

I

I

=

4

₀

cos

2

cos

2

( )

kd

=

1

n

d

n

d

2

2

→

=

=

λ

λ

terang ke-n diperoleh dengan mengeser M1 sebesar

2

,

1

,

0

±

±

=

n

I

akan minimum jika :

cos

2

( )

kd

=

0

π









+

=

2

1

2n

kd

2

,

1

,

0

±

±

=

n

n

2

1

2

4

4

1

2

+

=

→









+

=

n

d

n

d

λ

λ

A.2.2. Interferometer Fabry Perot ∆r n r k i

e

E

t

r

4 2 ₀ 2 ∆ r ik

e

E

t

r

2 2 ₀ ∆ 0 4

tE

r

0 3

tE

r

D d C C’ ∆r θ

Gambar 11. Pemantulan ganda pada Interferometer Fabry Perot

∆r = perbedaan jarak antara dua lintasan berurutan E₀ θ tE₀ 0 2 tE r 0 rtE 0 2

E

t

A B B’ D

(

) (

)

B

B

AB

r

B

B

AB

CD

BC

AB

r

′

−

=

∆

′

+

−

+

+

=

∆

2

AB

d

=

θ

cos

d

AC

AB

AC

θ

θ

'

'

cos

sin

=

=

θ

cos

d

AB

=

'

tan

'

d

CC

AC

=

θ

=

D

BB'

segitiga

BD

BB'

sin

θ

=

'

2

'

sin

CC

BB

=

θ

BB

'

=

2

sin

θ

.

d

tan

θ

'

segitiga ABC

BD

sin

θ

=

'

2

sin

CC

=

θ

BB

'

=

2

sin

θ

.

d

tan

θ

'

2

AB

BB

r

=

−

∆

_θ

2

tan

θ

sin

θ

cos

2

d

d

r

=

−

∆













−

=

∆

θ

θ

θ

cos

sin

cos

2

2

d

d

r













₋

=

∆

θ

θ

cos

sin

1

2

2

d

r













=

∆

θ

θ

cos

cos

2

2

d

r

∆

r

=

2d

cos

θ

r

k

∆

=

.

ϕ

θ

ϕ

=

2kd

cos

Fungsi Gelombang:

L

+

+

+

=

ikϕ i kϕ

e

E

t

r

e

E

t

r

t

E

E

₀ 2 2 2 ₀ 4 2 ₀ 2

[

ikϕ i kϕ

]

e

r

e

r

t

E

E

=

₀ 2

1

+

2

+

4 2 ϕ

ρ

ik

e

r

2

=

ρ

−

=

∞

1

1

S

ϕ ik

e

r

S

₂

1

1

−

=

∞ ϕ ik

e

r

t

E

E

₀ 2 ₂

1

1

.

−

=

Deret ukur tak hingga dengan rasio

(

)(

)

2 … Intensitas: 2 2 4 2 0

1

r

e

ikϕ

t

E

I

−

≈

(

₍

)(

₎

)

( )

(

ϕ

)

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

cos

1

2

1

cos

2

2

2

1

cos

2

1

1

1

1

1

2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2

−

+

−

=

−

+

+

−

=

+

−

=

+

+

−

=

−

−

=

−

− −

r

r

r

r

r

r

r

r

r

e

e

r

e

r

e

r

e

r

i i i i ik Karena reflektansi

_R

=

_r

2 maka

(

)

(

ϕ

)

ϕ

₁

₂

₁

_cos

1

−

r

2

e

ik 2

=

−

R

2

+

R

−

(

)













+

−

=

−

2

sin

4

1

1

r

2

e

ikϕ 2

R

2

R

2

ϕ

(

)

₍

₎

_











−

+

−

=

−

2

sin

1

4

1

1

1

2 ϕ 2 2 ₂ 2

ϕ

R

R

R

e

r

ik

(

)

(

ϕ

)

ϕ

cos

1

2

1

1

−

r

2

e

ik 2

=

−

R

2

+

R

−

_











−

=

2

sin

2

1

cos

ϕ

2

ϕ

1 2

2

sin

1

−













∆

+

=

I

F

ϕ

I

_maks

F

dinamakan sebagai

koefisisen

finess

(kehalusan) Sehingga intensitas: 2 2 4 2 0

1

r

e

iϕ

t

E

I

−

≈

menjadi:

(

)

_











−

+

−

=

2

sin

)

1

(

4

1

1

2 ₂ 2 4 0

ϕ

R

R

R

t

I

I

B. Difraksi

• Difraksi merupakan gejala pembelokan

(penyebaran) gelombang ketika menjalar

melalui celah sempit atau tepi tajam suatu

Benda.

Benda.

• Difraksi terjadi bila ukuran celah lebih kecil

dari panjang gelombang yang melaluinya.

Teori yang mendasari gejala difraksi

Prinsip Huygens-Fresnel:

Dalam proses perambatan gelombang

bebas, setiap titik pada suatu muka

gelombang berfungsi sebagai sumber

gelombang berfungsi sebagai sumber

sekunder sferis untuk anak gelombang

(wavelet), dengan frekuensi yang sama

dengan gelombang primernya.

B.1. Difraksi Fresnel dan Difraksi Fraunhofer

•Menurut prinsip Huygens-Fresnel titik A dan B pada tepi celah,

merupakan sumber sekunder dengan fase yang sama.

•Efek difraksi diamati pada sutu titik P pada arah θ _terhadap

sumbu celah.

Difraksi Fresnel: jika titik P dan Difraksi Fresnel: jika titik P dan sumber gelombang datang tidak begitu jauh dari celah, sehingga gelombang datang tidak dapat dianggap sebagai gelombang datar.

•Difraksi Fraunhofer: jika titik P dan sumber gelombang datang cukup jauh dari celah, sehingga gelombang datang dapat

dianggap sebagai gelombang datar.

Gambar gejala difraksi dari suatu gelombang datar yang menjalar melalui suatu celah.

Difraksi Celah Tunggal: Difraksi Fraunhofer

• gelombang datang berupa gelombang

datar

• jartak titik P ke celah, jauh lebih besar dari

• jartak titik P ke celah, jauh lebih besar dari

Difraksi gelombang datang berupa gelombang datar

•Titik-titik pada celah antara A dan B, dapat dipandang sebagai sumber-sumber gelombang sekunder.

•Jadi Pola difraksi celah ini, dapat didekati sebagai pola interferensi sistim banyak celah sempit, masing-masing berjarak a.

Apabila fungsi gelombang yang berasal dari celah sempit pertama (celah sempit paling atas dititk A) adalah:

Misalkan:

_E

₁

=

_E

₀

_e

−iωt

(

)

(

ω 1 sinθ

)

0 a n k t i n

E

e

E

=

− − −

Sehingga di titik P akan terjadi superposisi dari

E

₁

,

E

₂

,

E

₃

,...,

E

_n

∑

=

+

+

+

+

=

E

E

E

E

n

E

E

...

=

−

∑

( )

− N n ika t i

e

e

E

E

₀ ω 1 sinθ

∑

=

=

+

+

+

+

=

n n n

E

E

E

E

E

E

1 3 2 1

...

t i

e

E

E

=

₀ − ω

+

E

₀

e

−i

(

ωt−kasinθ

)

+

E

₀

e

−i

(

ωt−2kasinθ

)

+

...

+

E

₀

e

−i

(

ωt−k

(

N−1

)

asinθ

)

(

)

(

θ θ θ

)

ω sin 2 sin 1 sin

0

1

...

− −

₊

₊

₊

₊

=

i t ika ia ika N

e

e

e

e

E

E

∑

=

=

n

e

e

E

E

1 0

1

1

1

1

sin sin

−

−

=

−

−

=

n ikaN_{ika θ}θ N

e

e

r

r

S

        − − −

















−

=

θ θ

θ

θ

θ

θ

sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 ka i ka i e e ka i N ika N ika N ika N

e

e

e

e

S

















θ

sin

sin

2

i

ka

N

ka

e

(

)

(

)

















































=









































=

− −

θ

θ

θ

θ

θ θ

sin

2

sin

sin

2

sin

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin 1 2 sin 1 2

ka

N

ka

e

ka

i

ka

i

e

S

N ka i N ka i N

Maka persamaan ..1 berubah menjadi:

(

)

























































=

− −

θ

θ

θ ω

sin

2

sin

sin

2

sin

sin 1 2 0

ka

N

ka

e

e

E

E

N ka i t i

(

)

























































=

− + −

θ

θ

θ

ω

sin

2

1

sin

sin

2

1

sin

sin 1 2 1 0

ka

kaN

e

E

E

i t ika N

Kemudian bila jumlah sempit N diperbanyak sehingga menuju tak hingga, maka

N

ka

N

kb

e

E

E

i t ikb













































=

− +

θ

θ

θ ω

sin

1

sin

sin

2

1

sin

sin 2 1 0

(

N

−

1

)

a

=

b

misalnya

(

N

−

1

)

a

≅

Na

=

b

ka

N

_



















θ

sin

2

1

sin

θ

θ

sin

2

1

sin

2

1

sin

ka



≈

ka











karena

N

kb

kb

e

E

E

i t ikb

















































=

− +

θ

θ

θ ω

sin

2

1

sin

2

1

sin

sin 2 1 0

θ

sin

2

1

b

r

=

misal

( )

[

]

_N

kr

kr

e

E

E

=

₀ −iωt+ikr

_



sin

_



N

kb

kb

e

E

E

i t ikb

















































=

− +

θ

θ

θ ω

sin

2

1

sin

2

1

sin

sin 2 1 0

kr





0

θ

β

=

_kr

=

₂1

_kb

sin

Jika Maka :

(

)

N

e

E

E

i t

_











=

− −

β

β

β ω

sin

0

(

)

_N

e

E

E

i t kr

_











=

− −

β

β

ω

sin

0

Superposisi gelombang di titik P

Maka pola difraksinya dapat diperoleh melalui Intensitas gelombang dititik P 2 2 0

sin

N

I

I

_











=

β

β

Untuk θ = 0 diperoleh pucak intensitas maksimum sebesar ,

_I

₀ jadi intensitas maksimum terletak pada arah sumbu celah

0

R

r

r

r

r

r

.

0

=

x

r

P

Untuk bukaan (aperture) yang tidak berbentuk celah, misalnya bebentuk lingkaran dengan jari-jari R, maka :

(

sin

θ

,

0

.

cos

θ

)

0

=

r

r

(

R

cos

ϕ

,

R

sin

ϕ

,.

0

)

R

=

r

θ

ϕ

sin

cos

0

R

R

r

⋅

=

r

r

R z y

θ

ϕ

R₀ 0

r

(

)

_θ

π

R

e

ϕ θ ω

RdRd

E

dE

=

0₂ −i kR cos sin − t

θ

RdRd

dS

=

RdR

d

e

e

R

E

E

d ikR t i

∫ ∫













=

− 0 2 0 cos sin 2 0

2

1

2

_ω π _{θ ϕ}

ϕ

π

θ

ρ

=

kR

sin

Misal :

θ

ρ

sin

k

R

=

dR

k

d

ρ

=

sin

θ

θ

ρ

sin

k

d

dR

=

θ

sin

k

(

)

2

sin

θ

ρ

ρ

k

d

RdR

=

Subtitusikan ke persamaan …1 akan diperoleh persamaan

RdR

d

e

e

R

E

E

d i t i

∫ ∫













=

− 0 2 0 cos 2 0

2

1

2

_ω π _{ρ ϕ}

ϕ

π

(

)

∫ ∫













=

−ω θ π ρ ϕ

θ

ρ

ρ

ϕ

π

sin 0 2 2 0 cos 2 0

sin

2

1

2

_{i t} kd _i

k

d

d

e

e

R

E

E

(

)

∫

−

=

ω

ρ

θ

ρ

ρ

θ

sin 0 2 2 0

)

(

sin

1

2

_{i t} kd

d

J

k

e

R

E

E

(

θ

)

ϕ

ρ

ρ

π

θ π ϕ ρ ω

d

d

e

k

e

R

E

E

kd i t i

∫ ∫













=

− sin 0 2 0 cos 2 2 0

sin

1

2

1

2

(

θ

)

∫

0 0 2 2

sin

k

R

Dengan menggunakan fungsi Bessel

( )

ϕ

π

ρ

π ρ ϕ

d

e

J

=

∫

i 2 0 cos 0

2

1

( )

θ

ρ

d

=

kd

sin

( )

(

)

_ϕ

π

ρ

π ϕ ρ ϕ

d

e

J

=

∫

i + 2 0 cos 1

2

1

(

)

∫

( )

−

=

ω

ρ

θ

ρ

ρ

θ

sin

0

0

2

2

0

sin

1

2

_i

_t

dk

d

J

k

e

R

E

E

θ

sin

Rk

u

=

( )

u

( )

J

( )

u

d

ρ

J

d u

∫

=

0 0

(

θ

)

( )

ρ

ρ

ρ

θ ω

d

J

e

Rk

E

E

kd t i

∫

−

=

sin 0 0 2 0

sin

1

2

( )

( )

ρ

ρ

θ ω

ud

J

e

u

E

E

kd t i

∫

−

=

2

₀

1

₂ sin ₀

∫

0

( )

u

u

J

e

E

E

=

2

₀ −iωt

Intensitas pada arah θ adalah

( )

2 0

2









=

u

u

J

I

I

( )

u

e

J

( )

ρ

ud

ρ

E

E

=

∫

0 0 2 0

2

( )

u

J

e

u

E

E

=

2

₀

1

−iωt

Kisi Difraksi

Kisi Difraksi merupakan sistem N buah celah, dengan lebar celah yang teratur. Diraksi oleh kisi seferti ini akan

menghasilkan pola difraksi tunggal tak sempit dengan pola interferensi N buah sumber yang sinkron.

r₀ P

Gambar 6.13 Diraksi oleh N buah celah

b a

θ

(

n

−

1 a

)

sin

( )

θ

Gambar 6.13 memperlihatkan difraksi oleh sebuah kisi, lebar celah dan jarak antara celah masing-masing b dan a. Bila kisi ini disinari cahaya monokromatik, osilasi listrik di titik P yang

ditimbulkan oleh celah ke nomor ke n adalah:

( )













=

− − −

β

β

ω

sin

0 t u kr i n

E

e

E

_







β

0 n Dimana =

−

+

=

−

=

∆

+

∆

=

−

=

∆

o o o o

r

a

n

r

r

a

n

r

r

r

r

r

r

r

θ

θ

sin

)

1

(

sin

)

1

(

n

E

E

E

E

E

=

₁

+

₂

+

₃

+

...

+

Yang memberikan hasil:

)

(

1

θ

∑

=

=

N n n

E

E

) 0 ( 01

sin

_{i kro u t}

e

E

E

ω

β

β

− + − −













=

( ( ( 1) sin ) 01 ) sin ( ( 01

sin

sin

i k r_o a u t i k r_o n a u t

e

E

e

E

θ ω θ ω

β

β

β

β

− + − − − + − − −













+

+













+

L

[

]

β

sin 



_ω

[

_{θ θ}

]

β

β

( ) sin ( 1) sin 01

1

...

sin

_{i u t ikr ika i n ka}

e

e

e

e

E

E

− − − o

+

+

+

−













=

…..

1

Dengan

e

ika sin ϑ

1

1

1

1

sin sin

−

−

=

−

−

=

n ikaN_{ika θ}θ

e

e

r

r

S

………2

















−

−

−

















−

=

θ θ

θ

θ

θ

θ

sin 2 sin 2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

ka i ka i

e

e

ka

i

N

ika

N

ika

N

ika

e

e

e

e

S





2

e

( )

























































=

−

θ

θ

θ

sin

2

1

sin

sin

2

1

sin

sin 1 2 1

ka

kaN

e

S

ika N

Untuk lebar celah sempit a mendekati nol. Maka

(

N

−

1

)

a

=

Na

=

Nb

(

)













=

− − −

β

β

ω

sin

01 t u kr i _o

e

E

E













































θ

θ

θ

sin

1

sin

sin

2

1

sin

sin 2 1

kb

Nkb

e

ika





β

(

)













=

− − −

β

β

ω

sin

01 t u kr i _o

e

E

E





















θ

sin

2

1

sin

kb

























































θ

θ

θ

sin

2

1

sin

sin

2

1

sin

sin 2 1

kb

Nkb

e

ikb

misal

δ

=

kb

sin

θ













=

β

β

sin

01

E

E





























































− −

2

sin

2

sin

) (

δ

δ

ω δ

N

e

i k t

_…..

₂ sehingga 2 2



sin 

=

NE

β

I

2

sin

_























N

δ

2 1

sin













=

β

β

o

NE

I

2

sin

2

sin





















































δ

N

2 0

sin













=

β

β

I

I

2

2

sin

2

sin





























































δ

δ

N

N

Intensitas maksimum utama (primer) dicapai bila

δ

₌

_m

_π

2

m

m

kb

m

π

θ

π

θ

π

δ

=

=

=

2

sin

sin

2

1

2

dengan m bilangan bulat

b

m

b

m

kb

λ

θ

λ

π

π

θ

θ

=

=

=

sin

2

2

sin

sin

Maksimum tambahan (sekunder) dicapai apabila

π

δ

2

)

1

2

(

2

−

=

m

N

_dengan

2

,

1

±

±

=

m

Nb

m

m

kNb

π

θ

π

θ

)

1

2

(

sin

2

)

1

2

(

sin

2

1

+

=

+

=

Nb

Minimum (titik nol) terjadi bila

π

δ

m

N

=

2

dengan

m

=

±

1

,

±

2

Nb

m

m

kNb

λ

θ

π

θ

=

=

sin

sin

2

1

Apabila cahaya yang datang terdiri dari dua panjang gelombang yang

berbeda, maka kedudukan maksimum utama dari kedua panjang gelombang tersebut pada orde m yang sama akan terpisah bila

aN

a

m

=

∆

∆

=

∆

θ

λ

θ

θ

λ

θ

cos

cos

Nm

aN

a

m

atau

=

∆

=

∆

λ

λ

θ

λ

θ

λ

cos

cos

Nm

DP

=

∆

=

λ

λ